AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a m a l a r ı» i s i m l i k i t a p t a n h a z ı r l a n m ı ş t ı r.
2. BÖLÜM: Temel Yapılar: Kümeler, Fonksiyonlar, Diziler, Toplamlar ve Matrisler 2.2. Küme İşlemleri Giriş İki küme birçok farklı şekilde birleştirilebilir. Mesela, okulunuzdaki matematik öğrencileri kümesi ve okulunuzdaki bilgisayar bilimleri öğrencileri kümesi ile başlayarak, matematik veya bilgisayar bilimleri öğrencileri kümesi, matematik ve bilgisayar bilimlerinde çift anadal yapan öğrenciler kümesi, matematik bölümünde olmayan öğrenciler kümesi vb. gibi kümeler oluşturulabilir.
2.2. Küme İşlemleri Giriş TANIM 1: A ve B kümeler olsun. A ve B kümelerinin birleşimi, A B olarak gösterilir ve ya A kümesinde ya da B kümesinde olan, veya her iki kümede de olan elemanlardan oluşur. Bir x elemanı ancak ve ancak x, A ya veya B ye ait olduğunda A ve B kümelerinin birleşiminin elemanıdır. Yani, A B = {x xϵa xϵb} ÖRNEK: {1,3,5} ve {1,2,3} kümelerinin birleşimi {1,2,3,5} olur; yani, {1,3,5} {1,2,3} = {1,2,3,5} ÖRNEK: Okulunuzdaki bilgisayar mühendisliği öğrencileri kümesi ile okulunuzdaki matematik bölümü öğrencileri kümelerinin birleşimi, okulunuzdaki öğrencilerden bilgisayar mühendisliğinde olanları veya matematik bölümünde olanları (veya her ikisinde birden olanları) içerir.
2.2. Küme İşlemleri Giriş TANIM 2: A ve B kümeler olsun. A ve B kümelerinin kesişimi A B olarak gösterilir ve A ve B kümelerinin her ikisinde birden olan elemanları içerir. Bir x elemanı ancak ve ancak x hem A nın elemanı hem de B nin elemanı ise A ve B kümelerinin kesişiminin elemanıdır. Bu A B={x xϵa^xϵb} demektir. A ve B birleşimini gösteren Venn Şeması A ve B kesişimini gösteren Venn Şeması
2.2. Küme İşlemleri Giriş TANIM 3: İki kümenin kesişimi boş küme ise bu iki küme ayrık kümedir. ÖRNEK: A={1,3,5,7,9} ve B={2,4,6,8,10} olsun. A B=Ø olduğundan, A ve B ayrık kümelerdir. TANIM 4: A ve B kümeler olsun. A fark B kümesi, A-B olarak gösterilir, A nın içinde olup da B nin içinde olmayan elemanlardan oluşan kümedir. A fark B aynı zamanda B nin A ya göre tümleyeni olarak adlandırılır. ÖRNEK: {1,3,5} ve {1,2,3} kümelerinin fark kümesi {5} tir; yani, {1,3,5}-{1,2,3}={5}. Bu sonuç, {1,2,3} ve {1,3,5} kümelerinin fark kümesi olan {2} den farklıdır.
2.2. Küme İşlemleri Giriş NOT: A ve B kümelerinin farkları A\B olarak da gösterilir. Bir x elemanı ancak ve ancak xϵa ve x B ise A fark B kümesinin elemanıdır. Bunun anlamı: A-B={x xϵa^x B} A-B taralı alana karşılık gelmektedir. Ā taralı alana karşılık gelmektedir.
2.2. Küme İşlemleri Giriş TANIM 5: U evrensel küme olsun. Bir A kümesinin tümleyeni, Ā olarak gösterilir, A nın U ya göre tümleyenidir. Dolayısıyla, A kümesinin tümleyeni U-A dır. Bir eleman ancak ve ancak x A ise, Ā nin elemanıdır. Diğer bir ifadeyle: Ā={xϵU x A}. ÖRNEK: A={a,e,i,o,u} (evrensel küme İngiliz alfabesindeki harfler olsun). O halde, A={b,c,d,f,g,h,j,k,l,m,n,p,q,r,s,t,v,w,x,y,z}. ÖRNEK: A 10 dan büyük pozitif tamsayılar kümesi olsun (evrensel küme tüm pozitif tamsayılardan oluşuyor). O halde, Ā={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. A ve B nin farkını, A ve B nin tümleyeninin kesişimi olarak gösterebiliriz. Yani A-B=A B
Küme Özdeşlikleri ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ
Küme Özdeşlikleri Dağılma Özelliği için bir üyelik tablosu
Genelleştirilmiş Birleşimler ve Kesişimler Kümelerin birleşimleri ve kesişimleri birleşme kanunlarını sağladıkları için, A B C kümesi A B C kümesi iyi tanımlanmış kümelerdir. Diğer bir deyişle, A, B ve C kümeler olduğu durumda notasyonda bir belirsizlik bulunmamaktadır. Yani, hangi işlemin daha önce yapılacağını belirtmek için parantez kullanmaya gerek yoktur. Çünkü A (B C) = (A B) C ve A (B C) = (A B) C dir. (a) A B C taralı alana karşılık gelmektedir. (b) A B C taralı alana karşılık gelmektedir.
Genelleştirilmiş Birleşimler ve Kesişimler ÖRNEK: A={0,2,4,6,8}, B={0,1,2,3,4}, ve C={0,3,6,9} kümeleri olsun. A B C ve A B C kümeleri nelerdir? ÇÖZÜM: A B C kümesi A, B ve C kümelerinden en az bir tanesinde bulunan elemanları içerir. Dolayısıyla, A B C={0,1,2,3,4,6,8,9}. A B C kümesi, A, B ve C kümelerinin üçünde birden bulunan elemanları içerir. Dolayısıyla, A B C={0}.
Genelleştirilmiş Birleşimler ve Kesişimler TANIM 6: Bir kümeler topluluğunun birleşim kümesi, koleksiyondaki kümelerden en az bir tanesinin elemanı olan unsurları içerir. A 1, A 2,..., A n kümelerinin birleşimini göstermek için şu gösterimi kullanırız: TANIM 7: Bir kümeler koleksiyonunun kesişim kümesi, topluluktaki kümelerden hepsinin birden elemanı olan unsurları içerir.
ALIŞTIRMALAR 1. Okulun bir kilometre uzaklığı çevresinde oturan öğrencilerin kümesi A ve okula yürüyerek gelen öğrencilerin kümesi B olsun. Aşağıdaki kümelerin içindeki öğrencileri tarif ediniz. A. A B B. A B C. A-B D. B-A
ALIŞTIRMALAR 1. Okulun bir kilometre uzaklığı çevresinde oturan öğrencilerin kümesi A ve okula yürüyerek gelen öğrencilerin kümesi B olsun. Aşağıdaki kümelerin içindeki öğrencileri tarif ediniz. A. A B Okulun bir kilometre çevresinde yaşayan ve okula yürüyerek gelen öğrencilerin kümesi B. A B Okulun bir kilometre çevresinde yaşayan veya okula yürüyerek gelen öğrencilerin kümesi (ya da ikisini de yapan) C. A-B Okulun bir kilometre çevresinde yaşayan ve okula yürüyerek gelmeyen öğrencilerin kümesi D. B-A Okula yürüyerek gelen öğrencilerin kümesi fakat okuldan bir kilometreden uzakta yaşayan öğrencilerin kümesi
ALIŞTIRMALAR 2. A={1,2,3,4,5} ve B={0,3,6} olsun. Aşağıdakileri bulunuz: A. A B B. A B C. A-B D. B-A
ALIŞTIRMALAR 2. A={1,2,3,4,5} ve B={0,3,6} olsun. Aşağıdakileri bulunuz: A. A B {0,1,2,3,4,5,6} B. A B {3} C. A-B {1,2,4,5} D. B-A {0,6}
ALIŞTIRMALAR 3. A={0,2,4,6,8,10}, B={0,1,2,3,4,5,6} ve C={4,5,6,7,8,9,10} olsun. Aşağıdakileri bulunuz: A. A B C B. A B C C. (A B) C D. (A B) C
ALIŞTIRMALAR 3. A={0,2,4,6,8,10}, B={0,1,2,3,4,5,6} ve C={4,5,6,7,8,9,10} olsun. Aşağıdakileri bulunuz: A. A B C {4,6} B. A B C {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} C. (A B) C {4,5,6,8,10} D. (A B) C {0,2,4,5,6,7,8,9,10}
ALIŞTIRMALAR 4. Aşağıdaki eşitlikleri biliyorsak A ve B kümeleri hakkında ne söyleyebilirsiniz? A. A B = A? B. A B = A? C. A-B = A? D. A B = B A? E. A-B = B-A?
ALIŞTIRMALAR 4. Aşağıdaki eşitlikleri biliyorsak A ve B kümeleri hakkında ne söyleyebilirsiniz? A. A B = A? B A B. A B = A? A B C. A-B = A? A B=Ø D. A B = B A? Hiçbir şey, çünkü her zaman doğru E. A-B = B-A? A=B
ALIŞTIRMALAR 5. A sonsuz bir küme ve B herhangi bir küme ise A B nin de sonsuz bir küme olduğunu gösteriniz.
ALIŞTIRMALAR 5. A sonsuz bir küme ve B herhangi bir küme ise A B nin de sonsuz bir küme olduğunu gösteriniz. Eğer A B kümesi sonlu olsaydı n tane doğal sayı için n elemanı olurdu. Fakat A nın eleman sayısı n den fazladır ve eleman sayısı sonsuzdur. Bu nedenle A B nin eleman sayısı da n den fazladır. Bu çelişkiden A B nin eleman sayısı da sonsuz olmalıdır.