ÜNİTE 11 ÜNİTE 9 MATEMATİK. Kümeler. 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler. 9. Sınıf Matematik

Transkript

1 ÜNİTE 11 ÜNİTE Kümeler 1. Bölüm: Kümelerde Temel Kavramlar 2. Bölüm: Kümelerde İşlemler 9 MATEMATİK

2 1. ÜNİTEDE HEDEFLENEN KAZANIMLAR 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Kazanım : Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler kullanır. Kazanım : Evrensel küme, boş küme, sonlu küme ve sonsuz küme kavramlarını örneklerle açıklar. Kazanım : Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar. Kazanım : İki kümenin eşitliğini açıklar. 2 BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER Kazanım : Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar; bu işlemler arasındaki ilişkileri ifade eder. Kazanım : İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar. Kazanım : Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer.

3 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR KONU ÖZETİ A. KÜME KAVRAMI VE GÖSTERİMİ Küme Kavramı: Küme, nesnelerin özelliklerine göre iyi tanımlanmış bir topluluğudur. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine o kümenin elemanları (öğesi) denir. Kümeler genellikle A, B, C, gibi büyük harflerle gösterilir. Bir a elemanı A kümesinin elemanı ise bu durum "a A" biçiminde ifade edilir ve "a elemandır A" diye okunur. Bir b elemanı B kümesinin elemanı değil ise bu durum "b B" biçiminde ifade edilir ve "b elemanı değildir B" diye okunur. Kümelerde, bir eleman birden fazla yazılmaz. Kümeler aşağıdaki yöntemlerle gösterilir. Püf Noktası { } kümesi boş küme değildir. Yani; { } dir. 2. Alt Küme: A ve B herhangi iki küme olsun. B kümesinin her elemanı A kümesininde elemanı ise, B ye A kümesinin alt kümesi denir. B A B, A nın alt kümesidir. A B A, B yi kapsar. Alt Kümenin Özellikleri 1. Liste Yönetimi: Kümenin elemanlarının, { } biçimindeki bir parantez içine sıra gözetilmeden, yazılmasına "liste yönetimiyle gösterme" denir. 2. Ortak Özellik Yönetimi: Kümenin elemanlarının ortak özellikleri belirtilerek yazılmasına "ortak özellik yöntemi" denir. 3. Venn Şeması Kümeyi oluşturan elemanların kapalı bir şekil içine, önüne (nokta) konularak yazılmasına "Venn şeması" ile gösterim denir. B. KÜME ÇEŞİTLERİ 1. Sonlu, Sonsuz ve Boş Küme a. Sonlu Küme: Elemanları sayılarak bitirilebilen kümelere sonlu kümeler denir. Örneğin, {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} kümesi sonlu bir kümedir. b. Sonsuz Küme: Elemanları sayılarak bitirilemeyen kümelere sonsuz kümeler denir. Örneğin, {x x 10 ve x R} kümesi sonsuz bir kümedir. c. Boş Küme: Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da sembollerinden biri ile gösterilir. 1. Boş küme her kümenin alt kümesidir. ( A) 2. Her küme kendisinin alt kümesidir. (A A) 3. A, B ve C kümeleri verilsin. (A B) ve (B C) ise A C dir. 4. A ve B kümeleri verilsin. (A B) ve (B A) A = B dir. 5. s(a) = n olmak üzere, a. A nın alt küme sayısı; 2 n dır. b. A nın r elemanlı alt kümelerinin sayısı; _ n r i dir. 3. Öz Alt Küme: Bir kümenin kendisi hariç diğer alt kümelerine o kümenin öz alt kümeleri denir. n elemanlı bir kümenin (2 n 1) tane öz alt kümesi vardır. 4. Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsadığı varsayılan kümeye "evrensel küme" denir. Genellikle E ile gösterilir. 5. Kuvvet Kümesi: Bir kümenin tüm alt kümelerinin kümesine "kuvvet kümesi" denir. A kümesinin kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir. Örneğin, A = {a, b} kümesinin kuvvet kümesi; P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}} dir. 6. Eşit Kümeler: Aynı elemanlardan oluşan kümelere "eşit kümeler" denir. A ile B kümeleri birbirine eşit ise bu durum, A = B şeklinde gösterilir. 13

4 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR ALIŞTIRMALAR 1. BÖLÜM KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR A. KÜME KAVRAMI VE GÖSTERİMİ 1. Liste Yöntemi Kazanım : Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler kullanır. Elemanları 1, 3, 5, 7 ve 9 olan kümeyi liste yöntemiyle gösteriniz. Aşağıda verilen nesne topluluklarından hangileri küme belirtmez? a. Asal sayılar b. P harfi ile başlayan aylar. c. Uzun boylu insanlar Liste yönteminde elemanlar küme parantezi içine ve aralarına virgül konularak yazılır. Buna göre, A = {1, 3, 5, 7, 9} Küme, iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Buna göre, a. Asal sayılar Küme belirtir. b. P harfi ile başlayan aylar. Küme belirtir. c. Uzun boylu insanlar Küme belirtmez ten küçük asal sayıların kümesini liste yöntemiyle yazınız. {2, 3, 5,7, 11,13} 1. "Haftanın 10 harfli günleri" ifadesi küme belirtir mi? (Belirtir) 2. Haftanın 4 harfi günlerinin kümesini liste yöntemiyle yazınız. {Salı, Cuma} 2. "Türkiye 1. lig futbol kulüpleri" ifadesi küme belirtir mi? (Belirtir) 3. "Sınıfımızdaki zeki kızlar" ifadesi küme belirtir mi? (Belirtmez) 3. Alfabemizdeki sesli harflerin kümesini liste yöntemiyle yazınız. {a, e, ı, i, o, ö, u, ü} 14

5 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR ALIŞTIRMALAR 2. Ortak Özellik Yöntemi 3. Venn Şeması Yöntemi Elemanları 1, 3, 5, 7 ve 9 olan kümeyi ortak özellik yöntemiyle gösteriniz. Elemanları 1, 3, 5, 7 ve 9 olan kümeyi Venn şeması yöntemiyle gösteriniz. Küme elemanlarının ortak özellikleri belirlenerek yapılan gösterime ortak özellik yöntemi denir. Buna göre, Küme elemanlarının kapalı bir eğri içine ve önüne (nokta) konularak yazılmasına Venn şeması yöntemi denir. Buna göre, A = {Tek rakamlar} A dan küçük asal sayıların kümesini ortak özellik yöntemiyle gösteriniz. 1. Karesi 4 olan tamsayıların kümesini Venn şeması yöntemiyle gösteriniz. ({x: x < 16, x asal sayı}) A Karesi 36 dan büyük olmayan doğal sayıların kümesini ortak özellik yöntemiyle gösteriniz. ({x: x 2 36 ve x N}) den küçük çift doğal sayıların kümesini Venn şeması yöntemiyle gösteriniz. B {9, 10, 11, 12, 39, 40} kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösteriniz. ({x: 9 x 40, x N}) 3. Haftanın "P" harfi ile başlayan günlerinin kümesini Venn şeması yöntemiyle gösteriniz. C Pazar Pazartesi Perşembe 4. İki basamaklı çift sayıların kümesini ortak özellik yöntemiyle gösteriniz. ({x: 10 x 98, x = 2k, k N}) 4. Yılın 4 harfi aylarının kümesini Venn şeması yöntemiyle gösteriniz. D Ocak Mart Ekim 15

6 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR ALIŞTIRMALAR B. KÜME ÇEŞİTLERİ 2. Alt Küme Kazanım : Evrensel küme, boş küme, sonlu küme ve sonsuz küme kavramlarını örneklerle açıklar. Kazanım : Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar. 1. Sonlu, Sonsuz ve Boş Küme A = {x: x asal sayı x 7 ve x Z} kümesinin türünü bulunuz. A kümesinin elemanları liste yöntemiyle yazılırsa A = {2, 3, 5, 7} dir. s(a) = 4 olduğundan A kümesi sonlu bir kümedir. A = {a, b, c, {b,c}, {d}} kümesi veriliyor. Buna göre, aşağıdakilerden hangilerinin doğru olduğunu bulunuz. I. {b, c} A II. {b, c} A III. s(a) = 5 IV. A nın 16 tane alt kümesi vardır. 1. A = {x: x 2 6x = 0, x Z} kümesinin türünü bulunuz. (sonlu küme) {b, c} kümesi A nın bir elemanı olduğundan dolayı {b, c} A dır. I. doğrudur. {b, c} A olduğundan dolayı II. doğrudur. A kümesi beş elemanlı bir kümedir. III. doğrudur. s(a) = 5 ise A nın 2 5 = 32 tane alt kümesi vardır. IV. yanlıştır. 2. B = {x: 0 < x 2 < x, x R} kümesinin türünü bulunuz. 3. C = {x: x 2 < 0, x R} kümesinin türünü bulunuz. (sonsuz küme) 1. A = {1, 2, {1, 2}, {1, 2, {1, 2}}} kümesi veriliyor. I. {1, 2} A, II. {1, 2} A III. s(a) = 8 ifadelerinden hangilerinin doğru olduğunu bulunuz. (I ve II) 4. D = {Haftanın A ile başlayan günleri} kümesinin türünü bulunuz. (boş küme) (boş küme) 2. A = {a, b (a, b), {a, b}, } olduğuna göre, I. {a, b} A II. A III. A IV. {a, b} A ifadelerinden hangilerinin doğru olduğunu bulunuz. (I, II, III ve IV) 16

7 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR ALIŞTIRMALAR A = {a, b, c, d, e} kümesinin kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı, 2 n dir. Buna göre, s(a) = 5 ise A nın alt küme sayısı 2 5 = 32 dir. 3. Öz Alt Küme A = {a, b, c} kümesi veriliyor. I. { }, II. {a, b}, III. {b, c} IV. {a, c}, V. {a}, VI. {a, b, c} ifadelerinden hangisinin A'nın öz alt kümesi olmadığını bulunuz. 1. A = {x: 7 < x < 7, x N + } kümesinin kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. (64) Bir kümenin kendisi hariç diğer alt kümelerine o kümenin öz alt kümeleri denir. s(a) = n ise A nın 2 n 1 tane öz alt kümesi vardır. Buna göre, {a, b,c} kümesi A = {a, b, c} kümesinin öz alt kümesi değildir. 2. A = {x: x 12 ve x asal sayı} kümesinin kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. (32) 1. A = {a, b, c} kümesinin kaç tane öz alt kümesi olduğunu bulunuz. (7) 3. A = {P harfi ile başlayan haftanın günleri} kümesinin kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. 4. A = {a, b, c, d} (8) 2. A = {x, y, z, } sonlu kümesinin 127 tane öz alt kümesi olduğuna göre, s(a) yı bulunuz. (7) kümesinin boş küme ile kendisi dışında kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. (14) 3. Alt kümeleri ile öz alt kümelerinin sayıları toplamı 63 olan kümenin eleman sayısını bulunuz. (5) 5. B = {2, 3, 4} ve B A dır. A nın B ye ait olmayan 4 elemanı daha olduğuna göre, A nın alt kümelerinin sayısını bulunuz. (128) 4. A nın özalt kümelerinin sayısı 15, B nin öz alt kümelerinin sayısı 31 olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamını bulunuz. (9) 17

8 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR ALIŞTIRMALAR A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde a. a bulunmaz. b. a bulunur. c. a ve e bulunur. d. a veya e bulunur. A = {a, b, c, d, e} kümesinin 2 5 = 32 tane alt kümesi vardır. a. A kümesinden a çıkarılırsa {b, c, d, e} kümesinin elemanları ile yazılacak 2 4 = 16 alt kümede a bulunmaz. b. a nın bulunmadığı 2 4 = 16 alt kümenin hepsine de a elemanı eklenirse 16 tane alt kümede a eleman olarak bulunur. c. A = {a, b, c, d, e} kümesinden a ve e çıkarılırsa geriye {b, c, d} kümesi kalır. {b, c, d} kümesinin elemanları ile 2 3 = 8 tane alt kümede a ve e bulunmaz. Bu sekiz alt kümenin hepsine de a ve e eleman olarak eklenirse, 8 tanesinde de a ve e eleman olarak bulunur. d. A nın tüm alt küme sayısından (32) a ve e nin bulunmadığı alt kümelerin (8) sayısı çıkarılırsa geriye a veya e nin eleman olarak bulunduğu alt kümelerin sayısı kalır = 24 tür. 1. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b bulunur. (32) 2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 3 ve 4 bulunur. 3. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (16) A = {1, 2, 3} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümeleri veriliyor. A K B koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi olduğunu bulunuz. B nin elemanları içinden A nın elemanları çıkarılır. Geriye kalan elemanlarla kaç tane alt küme yazılacağı bulunur. Yazılan bu alt kümelerin içerisine A nın elemanları dahil edilince A yı kapsayan ve B nin alt kümeleri olan K kümeleri bulunmuş olur. Buna göre, B = {1,2, 3, 4, 5, 6} kümesinden 1, 2, 3 çıkarılırsa {4, 5, 6} kümesi kalır. Bunlarla 2 3 = 8 tane alt küme yazılır. Bu 8 alt kümenin içerisine {1, 2, 3} dahil edilince aranılan K kümeleri bulunmuş olur. A K B koşulunu sağlayan 8 tane K kümesi vardır. 1. A = {a, b} ve B = {a, b, c, d, e, f} kümeleri veriliyor. A K B koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi olduğunu bulunuz. 2. A = {a, b, c} ve B = { a, b, c, 1, 2, 3, 4} kümeleri veriliyor. (16) A K B koşulunu sağlayan A kümesinden farklı kaç tane K kümesi olduğunu bulunuz. kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 veya 6 bulunmaz. (48) 3. A = {a, b, c} ve B = { a, b, c, 1, 2, 3, 4} (15) 4. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 5 bulunur, 6 bulunmaz. (8) kümeleri veriliyor. A K B koşulunu sağlayan A ve B kümelerinden farklı kaç tane K kümesi olduğunu bulunuz. (14) 18

9 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR ALIŞTIRMALAR A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin, a. İki elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. b. Üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 4 bulunur. c. Dört elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5 ve 6 bulunur. n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı; n a k dir. r a. s(a) = 6 ise A nın iki elemanlı alt kümelerinin sayısı, d n = = 15 tir b. Üç elemanlı alt kümelerdeki elemanlardan biri 4 olduğuna göre, geri kalan 2 eleman kalan 5 eleman içerisinden seçilir c m c m = 1. = dur. c. Dört elemandan iki tanesi 5 ve 6 olduğundan kalan 2 eleman 1, 2, 3, 4 ün arasından seçilir d n. d n = 1. = dır. A = {a, b, c, d, e, f} kümesinin, a. En az dört elemanlı alt kümelerinin sayısını, b. En çok üç elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. a. s(a) = n olmak üzere, A nın en az r elemanlı alt kümelerinin sayısı, n n n n c m r + a k r a k r a k dir. n s(a) = 6 ise A nın en az 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı c m + c m + c m = = 22 dir b. s(a) = n olmak üzere, A nın en çok p elemanlı alt kümelerinin sayısı, n n a k + a k + + n 0 1 c p m dir. s(a) = 6 ise A nın en çok üç elemanlı alt kümelerinin sayısı, d n + d n + d n + d n = = 42 dir. 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. (20) 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin en az 6 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. (8) 2. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin iki elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur. (4) 2. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin en çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. (29) 3. A = {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde b ve c bulunur a bulunmaz. (4) 3. A kümesinin en çok 1 elemanlı 11 tane alt kümesi olduğuna göre, A nın 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. (45) 19

10 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR ALIŞTIRMALAR 3 elemanlı alt kümelerin sayısı 5 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. s(a) = n olsun. n n a k = a k n = = 8 dir. 3 5 A = {x: 0 < x 6, x N} kümesinin alt küme sayısını bulunuz. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} olup s(a) = 6 dır. A nın alt küme sayısı 2 6 = 64 tür. A nın alt küme sayısı 2 n = 2 8 = 256 dır elemanlı alt kümelerinin sayısı 4 elemanlı alt kümelerin sayısına eşit olan bir kümenin kaç tane öz alt kümesi olduğunu bulunuz. (63) 1. A = {x: 1 < x 7, x asal sayı} kümesinin alt küme sayısını bulunuz. (16) 2. A = {x: 1 x 7, x N} 2. 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı 6 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. (45) kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde asal sayı bulunmaz. (8) 3. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 7 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en çok 2 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. (79) 3. A = {x: 2 x 8, x Z} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir asal sayı bulunduğunu bulunuz. (120) 4. s(a) = n olmak üzere, n n 8 a k + a k = c m olduğuna göre, A nın 2 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu bulunuz. (21) 4. A = {x: 3 x 8, x Z} kümesinin kaç tane öz alt kümesi olduğunu bulunuz. (63) 20

11 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR ALIŞTIRMALAR 5. Kuvvet Kümesi A = {1, 2} kümesinin kuvvet kümesini ve bu kümenin eleman sayısını bulunuz. Bir A kümesinin tüm alt kümelerinin kümesine "kuvvet kümesi" denir ve P(A) ile gösterilir. s(a) = n ise P(A) nın eleman sayısı 2 n dir. Buna göre, A kümesinin kuvvet kümesi P(A) = {, {1}, {2}, {1, 2}} ve eleman sayısı 2 2 = 4 bulunur. A = {x, y} kümesi için P(A) nın alt küme sayısını bulunuz. s(a) = n ise P(A) nın alt küme sayısı 2 (2n) dir. s(a) = 2 olduğundan P(A) nın alt küme sayısı 2 (22 ) =16 bulunur. 1. A = {a, b, c} kümesi için P(A) nın alt küme sayısını bulunuz. 1. A = {a, b, c, d} (256) kümesinin, kuvvet kümesinin kaç elemanı olduğunu bulunuz. (16) 2. B kümesinin 1 tane öz alt kümesi olduğuna göre, P(B) kümesin alt küme sayısını bulunuz. 2. s(b) = 6 olduğuna göre, (4) B nin kuvvet kümesinin eleman sayısını bulunuz. (64) 3. 8, 16, 32, 64, C kümesinin alt küme sayısı 32 olduğuna göre, P(C) nin eleman sayısını bulunuz. sayılarından hangisinin bir P(A) kümesinin alt küme sayısı olabileceğini bulunuz. (16) (32) 4. P(K) nın eleman sayısı 8 olduğuna göre, K kümesinin kaç tane öz alt kümesi olduğunu bulunuz. (7) 4. P(K) kümesinin tane alt küme olduğuna göre, K kümesinin eleman sayısını bulunuz. (6) 21

12 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR ALIŞTIRMALAR 6. Eşit Kümeler Kazanım : İki kümenin eşitliğini açıklar. A = {x: x, 1 ile 6 arasındaki doğal sayılar} B = {x: 8 x ve x doğal sayı} kümelerinin eşit kümeler olduğunu gösteriniz. A B ve B A A = B dir. Başka bir deyişle, aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. A = {2, 3, 4, 5} ve B = {2, 3, 4, 5} olduğundan A = B dir. A = {x x 2 = 9 ve x R} B = {32233 sayısının rakamları} C = {x x 2 5x + 6 = 0 ve x R} olduğuna göre, A, B ve C kümelerinden hangi ikisinin birbirine eşit olduğunu bulunuz. x 2 = 9 x = 3 veya x = 3 olduğundan, A kümesi, A = { 3, 3} dir. B kümesi, B = {2, 3} dir. x 2 5x + 6 = 0 (x 2) (x 3) = 0 x = 2 veya x = 3 olduğundan, C kümesi, C = {2, 3} dir. Buna göre, B = C dir. 1. A kümesi MATEMATİK kelimesinin sessiz harflerinin kümesi ve B = {K, M, T} dir. A ile B nin eşit kümeler olup olmadığını bulunuz. (eşit kümeler) 1. A kümesi, {2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin ve asal olmayan elemanlarının kümesi ve B = {x: 2 < x < 8, x = 2k, k N} kümeleri arasındaki ilişkiyi bulunuz. (A = B) 2. A kümesi {a, b, c} kümesinin 1 elemanlı alt kümelerinin kümesi ve B = {{a}, {b}, {c}, a, b, c} dir. A ile B nin eşit kümeler olup olmadığını bulunuz. (eşit kümeler değil) 2. A = {Ali, Ahmet, Ayşe} B = {Akın, İlhan, Can} kümeleri arasındaki ilişkiyi bulunuz. (A B) 3. A = {2, 3, 5, 7, 11, 13} B = {x: x < 15, x asal sayı} dir. A ile B nin eşit kümeler olup olmadığını bulunuz. 3. A = {a, b, c, d, e, f} B = {Alfabemizin ilk 6 harfi} kümeleri arasındaki ilişkiyi bulunuz. (eşit kümeler) (A B) 22

13 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR UYGULAMALI SORULAR 1. Aşağıdaki ifadelerde verilen noktalı yerleri uygun sayı, sembol ve kelimelerle doldurunuz. 2. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların karşısına (D) yanlış olanların karşısına (Y) harfi koyunuz. a. A = {1, 2, 3, } kümesi... kümedir. b. A = {x: 1 x 2, x R} kümesi... kümedir. c. A = {x: x 2 = x ve x R } kümesi... kümedir. d. Bir x elemanı A kümesinin elemanı ise,... biçiminde gösterilir. e. Bir y elemanı B kümesinin elemanı değil ise,... biçiminde gösterilir. f. Kümenin elemanlarının { } biçimindeki bir parantez içine sıra gözetilmeden yazılmasına... ile gösterme denir. g. Kümenin elemanlarının ortak özellik belirtilerek yazılmasına... yöntemi denir. h. A = {1, 2, {1, 2}, (1, 2), } kümesindeki verilenlere göre aşağıdaki tabloyu doldurunuz. a. A = {a, b, c, {a, b}, {a, b, c}} kümesinde {a, b, c} A ve {a, b, c} A dır. b. A = {a, b, c, {a, b}, {a, b, c}} kümesinde {a, b} A ve {a, b} A dır. c. A = {a, b, c, {a, b}, {a, b, c}} kümesi 8 elemanlı bir kümedir. d. A = {a, b, c, {a, b}, {a, b, c}} kümesinin 31 tane özalt kümesi vardır. e. A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin 24 tanesinde c eleman olarak bulunur. f. A = {a, b, c, d, e} kümesinin alt kümelerinin 16 tanesinde c eleman olarak bulunmaz. { } {1, 2} (1, 2) A A A A g. s(a) = 9 ise A nın 2 elemanlı 45 tane alt kümesi vardır. h. s(a) = 10 ise A nın 3 elemanlı 45 tane alt kümesi vardır. ı. s(a) = 6 olduğuna göre, A nın... tane alt kümesi vardır. j. s(a) = 6 olduğuna göre, A nın 2 elemanlı... tane alt kümesi vardır. k. s(a) = 6 olduğuna göre, A nın en çok iki elemanlı... tane alt kümesi vardır. l. s(a) = 6 olduğuna göre, A nın en az 5 elamanlı... tane alt kümesi vardır. m. s(a) = 6 olduğuna göre, A nın... tane öz alt kümesi vardır. ı. s(a) = 8 ise A nın en çok bir elemanlı 9 tane alt kümesi vardır. j. A = {a, b, c, d, e, f} ise A nın 4 elemanlı alt kümelerinin 6 tanesinde b ve c bulunur. k. A = {1, 2, 3, 4, a, b, c} ise A nın 5 elemanlı alt kümelerinin 6 tanesinde a, b ve c bulunur. 23

14 3. Aşağıdaki ifadeleri örnekteki gibi eşleştiriniz. a. A = {a, b} kümesinin 1 elemanlı alt kümelerini bulunuz. b. A = {a, b} kümesinin öz alt kümelerinin sayısını bulunuz. c. A = {a, b, c} kümesinin alt ve öz alt kümelerinin sayıları toplamını bulunuz. d. A = {a, b, c, d} kümesinin 2 ve 3 elemanlı alt kümelerinin toplamını bulunuz. e. A = {a, b, {a}, {b}} kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan elemanlarını bulunuz. 3 b 3 13 {a} {b} {a} {b} 6 ı. A nın 2 elemanlı 28 tane alt kümesi olduğuna göre, s(a) yı bulunuz. 15 j. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. k. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin en az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. l. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin en çok 3 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. 29 m. En çok 1 elemanlı 10 tane alt kümesi olan bir kümenin eleman sayısını bulunuz. n. A kümesinin 64 tane alt kümesi vardır. 15 f. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1, 2 ve 3 ün olduğunu bulunuz. 10 B kümesinin boş küme ile kendisi hariç 30 tane özalt kümesi olduğuna göre, s(a) + s(b) toplamını bulunuz. 11 g. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 5, 6 ve 7 nin olduğunu bulunuz. 16 o. 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 8 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en çok 1 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. 9 h. A nın en çok bir elemanlı 8 tane alt kümesi olduğuna göre, A nın öz alt kümelerinin sayısını bulunuz. 8 p. A = {x: 2 x 15, x asal sayı} kümesinin 2 elemanlı alt küme sayısını bulunuz

15 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Küme Kavramı ve Gösterimi 1 KONU KAVRAMA TESTİ TEST Aşağıdakilerden kaç tanesi küme belirtir? I. Okuldaki tembel öğrenciler. II. Rakamlardan herhangi üç tanesi III. Türkiye Cumhuriyeti'nin Cumhurbaşkanları IV. Bazı sessiz harfler V. İki ayaklı kediler. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4. Mayıs ayının 3 ve 4 ile bölünebilen günlerinin kümesinin Venn şeması ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 12 B) 12 6 C) D) E) Yılın 5 harfli aylarının kümesinin liste yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) {x: x, yılın 5 harfli ayları} B) {Şubat, Nisan, Mayıs, Eylül, Kasım} C) Nisan Şubat Mayıs Eylül Kasım 5. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonlu bir kümedir? A) {Doğal sayılar kümesi} B) {(a,b): a + b = 3 ve a, b Z} C) {x: x 3 ve x R} D) {x : x 3 ve x Z} E) {Gökteki yıldızların sayısı} D) {Yılın 5 harfli ayları} E) Şubat, Nisan, Mayıs, Eylül 6. Aşağıdaki kümelerden hangisi sonsuz bir kümedir? A) {x: x 2, x N} B) {x: x 2, x Z} C) {x: x 2, x R} D) {x: x < 0, x R} E) {x: x 0, x R} ten küçük asal sayıların kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) {2, 3, 5, 7, 11} B) C) {x: x < 13 ve x asal sayı} D) {x: 2 x < 13 ve doğal sayı} E) {x: 1 x 13 ve x asal sayı} 7. Aşağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? A) {x: x < 0, x R} B) {x: x 0, x R} C) { } D) {x: x 2 1 = 0, x Z} E) {x: x 1, x Z} 25

16 sayı doğrusu üzerinde işaretlenen doğal sayıların kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} B) {x: 1 x 8, x N} C) {x: 1 x 8, x R} D) {x: 1 x < 8, x N} E) Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir küme belirtmez? A) Türkiye'nin ilçeleri B) Türkiye'deki iller C) Türkiye'deki bazı arabalar D) 10 ile 11 arasındaki tam sayılar E) Türkiye'deki özel üniversiteler 12. A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} kümesinin ortak özellik yöntemiyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? 9. Aşağıdaki kümelerden hangisi boş kümedir? A) {2, 3} B) 2 3 A) {x: 0 < x < 17, x tek tam sayı} B) {x: 1 x 15, x tam sayı} C) {x: 1 x 15, x tam sayı} D) {x: 0 < x 17, x tek tam sayı} E) {x: 0 x 16, x, doğal sayı} C) {x: 2 x 3 x Z} D) {x: 2 x 3, x R} E) {x: 2 < x < 3, x N} 13. {p, p + 1, p + 2, p + 3, p + 4} kümesinin Venn şeması ile gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? 10. 3, 4, 5, 6,, 30 Yukarıdaki sayılardan asal sayı olanların oluşturduğu kümenin ortak özellik yöntemleriyle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? A) {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29} B) {x: 3 x 29, x N} C) {x: 3 x 29, x tek sayı} D) {x: 3 x 29, x asal sayı} E) {x: 2 x 29, x asal sayı} A) B) C) p p p + 3 p + 2 p + 1 p + 1 p + 4 p + 3 p + 4 D) p p + 1 p + 2 p + 4 E) p p + 1 p + 2 p + 3 p + 5 p + 1 p + 2 p + 3 p B 2. B 3. C 4. A 5. D 6. C 7. A 8. B 9. E 10. D 11. C 12. A 13. B 26

17 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Küme Kavramı ve Gösterimi 2 KONU KAVRAMA TESTİ TEST I. s(a) = 3 ise A nın 2 3 = 8 tane alt kümesi vardır. II. s(a) = 4 ise A nın = 15 tane öz alt kümesi vardır. III. s(a) = 5 ise A nın alt kümeleri ile öz alt kümelerinin toplamı 63 tür. 5. A kümesi 8 elemanlı bir küme olduğuna göre, 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 10 B) 15 C) 21 D) 28 E) 36 ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 6. {a, b, c, d, e, f, g} 2. A= {a, b, c, {a, b}, {a, c}, {a, b, c}} Yukarıdaki A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde d bulunmaz? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) A = {x: 5 < x < 5, x N} kümesinin alt küme sayısı kaçtır? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde f bulunur? A) 128 B) 112 C) 64 D) 56 E) A = {a, b, c, {a, b}, {a, b, c}, } kümesi veriliyor. I. A II. {a, b, c} A III. {a, b, c} A ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) Yalnız ll B) I ve II C) II ve III D) I ve III E) I, II ve III 8. {a, b, c, d, e, f, g} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde b ve c bulunur? A) 32 B) 40 C) 48 D) 56 E) 64 27

18 9. A = {m, n, p} ve B = { 1, 2, 3, 4, 5, m, n, p} kümeleri veriliyor. B K olmak üzere, A K B koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? 13. A = {a, b, c, x, y, m, n, p} kümesinin 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 28 B) 34 C) 48 D) 56 E) 64 A) 15 B) 31 C) 32 D) 63 E) Bir A kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 8 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir. Buna göre, bu kümenin 1 elemanlı kaç alt kümesi vardır? 14. A = {a, b, c, x, y, m, n, p} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde x ve y bulunur? A) 15 B) 18 C) 20 D) 24 E) 28 A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) A kümesinin eleman sayısı 2 artırıldığında alt kümelerinin sayısı 48 arttığına göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) A = {a, b, c, x, y, m, n, p} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde m ve n bulunur, p bulunmaz? A) 10 B) 12 C) 15 D) 20 E) Bir A kümesinin eleman sayısı, bir B kümesinin eleman sayısından 3 fazladır. A kümesinin alt küme sayısı B kümesinin alt küme sayısından 112 fazla olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) A = {a, b, c, x, y, m, n, p} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a, b, c bulunmaz ve x bulunur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 1. E 2. C 3. D 4. E 5. D 6. E 7. C 8. A 9. B 10. D 11. B 12. E 13. D 14. C 15. A 16. A 28

19 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR Küme Kavramı ve Gösterimi 3 KONU KAVRAMA TESTİ TEST A = {a, b, c {a, d}, e, f} kümesi için; I. s(a) = 6 II. {a} A III. {a, b} A IV. {e, f} A V. {a,d} A 5. MATEMATİK kelimesinin harflerinden oluşan kümenin kaç tane öz alt kümesi vardır? A) 3 B) 5 C) 7 D) 31 E) 63 ifadelerinden kaç tanesi doğrudur? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. A = {a, b, c, d, e, f} B A olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olamaz? 6. MATEMATİK kelimesinin harflerinden oluşan kümenin en çok iki elamanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 7 B) 15 C) 21 D) 22 E) 35 A) {a, b, d} B) {c, e, f} C) {b, c, d} D) {a, b, c, d, f} E) {a, b, c, h} 3. A = {a, b, c, d} A B olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) {a, b, c} B) {a, b, c, d, e} C) {a, b, c, d, f} D) {a, b, c, d} E) {a, b, c, d, g} 7. {2, 3, 4, x, y} kümesinin en az üç elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? A) 10 B) 15 C) 16 D) 21 E) A = {1, 2, 3, 4} ve B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} olmak üzere, B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi, A kümesini kapsar? A) 8 B) 16 C) 112 D) 232 E) {x, y, z, 1, 2, 3, a, b} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a bulunur; 3 bulunmaz? A) 15 B) 20 C) 40 D) 50 E) 70 29

20 9. A = {89, 93, 97, 101, 105, 109, 113} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde üç basamaklı en az bir sayı bulunur? 13. A a b c d e g f A) 8 B) 16 C) 60 D) 112 E) 120 kümesinin; I. iki elemanlı 21 tane alt kümesi vardır. II. Üç elemanlı alt kümelerinin 15 tanesinde a elamanı vardır. III. En az dört elemanlı 63 tane alt kümesi vardır. ifadelerinden hangisi ya da hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III 10. A = {89, 93, 97, 101, 105, 109, 113} kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde üç basamaklı sayı bulunmaz? A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) A = {x: x 2 < 15 ve x tam sayı} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 bulunur? A) 4 B) 8 C) 48 D) 72 E) A = {10, 11, 12, 13, 14} kümesinin, üç elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 12 elemanı bulunur? A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 D) A = {a, b, c, d, e, f} ve B = {d, e, f, g, h, c} olmak üzere, B kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesininde bir alt kümesidir? A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) A = {x: 20 < x 36, x = 2k, k N} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 24 ve 32 bulunur ancak, 28 ile 36 bulunmaz? A) 6 B) 10 C) 12 D) 24 E) A = {1, 2, {1, 3}, {3, 4, 5}} kümesinin alt kümelerinin kaçında {1, 3} elemanı vardır? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) C 2. E 3. A 4. B 5. E 6. D 7. C 8. B 9. E 10. A 11. C 12. A 13. D 14. E 15. D 16. C 30

21 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER KONU ÖZETİ a. Kümelerde işlemler 1. Birleşim İşlemi: A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir. A B şeklinde gösterilir. 2. Kesişim İşlemi: A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin kesişimi denir ve A B şeklinde gösterilir. A B A B A B = {x: A ve x B} dir. A B = {x: x A veya x B} dir. Birleşimin Özellikleri: a. A A = A (Tek kuvvet özelliği) b. A = A c. A B = B A (Değişme özelliği) Kesişimin Özellikleri: a. A A = A dir. (Tek kuvvet özelliği) b. A = c. A B = B A (Değişme özelliği) d. A (B C) = (A B) C (Birleşme özelliği) d. (A B) C = A (B C) (Birleşme özelliği) e. A B = ise A = ve B = dir. e. A (B C) = (A B) (A C) (Birleşimin kesişim üzerine dağılma özelliği) f. A E = E g. E = E f. A (B C) = (A B) (A C) (Kesişimin birleşim üzerine dağılma özelliği) g. A E = A h. A B ise A B = B dir. h. E = ı. s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) ı. A B ise A B = A dir. j. s(a B C) = s(a) + s(b) + s(c) s(a B) s(a C) s(b C) + s(a B C) j. A ve B boştan farklı iki küme olmak üzere, A B = ise A ve B ayrık kümelerdir. 31

22 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER KONU ÖZETİ 3. Fark İşlemi: A ve B herhangi iki küme olsun. A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesine "A fark B" kümesi denir ve A \ B yada A B ile gösterilir. 4. Tümleme İşlemi: E, Evrensel küme ve A E olsun. A kümesinde olmayan E kümesinde bulunan elemanların kümesine A nın tümleyeni denir ve A ı ile gösterilir. A B A A ı E B A kümesi A B kümesi A B = {x: x A ve x B} dir. A ı = {x: x A ve x E} dir. Tümleme İşleminin Özellikleri: Fark İşleminin Özellikleri: a. (A ı ) ı = A a. A B olmak üzere A B B A dır. b. ı = E b. A A = c. E ı = c. A = A d. A A ı = d. A =, A = e. A A ı = E e. (A B) B = A B f. E A = A ı f. (A B) (B A) = g. A B = A B ı g. (A B) (B A) = (A B) (A B) h. A B B ı A I h. (A B) C = A (B C) ı. s(a) + s(a ı ) = s(e) ı. A B ise A B = j. (A B) I = A I B I De Morgan kuralları k. (A B) I = A I B I 32

23 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER KONU ÖZETİ 5. Kartezyen Çarpım İşlemi: 1. Sıralı İkili: a ve b elemanlarının belli bir öncelik sırasına göre (a, b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. (a, b) sıralı ikilisinde a ya ikilinin birinci bileşeni, b ye de ikilinin ikinci bileşeni denir. Sıralı ikilide bileşenlerin sırası önemlidir. a b iken (a, b) (b, a) dır. B. Küme problemleri Küme problemlerini çözerken aşağıdaki şema yöntemi kullanılabilir. F a V d b e g f c B h E (a, b) = (x, y) a = x ve b = y dir. 2. Kartezyen Çarpım: A ve B boş olmayan iki küme olsun. Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak oluşturulan bütün ikililelerin kümesine A ile B kümesinin kartezyen çarpımı denir ve A x B biçiminde gösterilir. AxB = " ^a, bh: a! A ve b! B, dir. Kartezyen Çarpımın Özellikleri a. A x B B x A (A B için) kartezyen çarpımın değişme özelliği yoktur. b. A x (B x C) = (A x B) x C, kartezyen çarpımın birleşme özelliği vardır. c. A x A = A 2, A x A x A = A 3,... tür. d. A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) kartezyen çarpımın birleşim, kesişim ve fark işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. e. s(a x B) = s(b x A) = s(a). s(b) dir. Yukarıdaki şemada bir kulüpteki üç farklı sporu yapan sporcular gösterilmiştir. Futbol oynayanlar F, Basketbol oynayanlar B, Voleybol oynayanlar V, kulüpteki tüm sporcular kümesi E ile gösterilmiştir. Şemada a, b, c, d, e, f, g ve h bulundukları bölgelerin eleman sayılarını göstermektedir. Buna göre, Futbol oynayanların sayısı: s(f) = a + b + d + e Basket oynayanların sayısı: s(b) = b + c + e + f Voleybol oynamayanların sayısı: s(v ı ) = a + b + c + h Üç sporunda yapanların sayısı: s(f B V) = e Üç sporunda yapmayanların sayısı: s[(f B V) ı ] = h Basketbol ve Voleybol oynayanların sayısı: s(b F) = e + f Futbol ve Basketbol oynamayanların sayısı: s[(f B) ı ] = a + c + d + f + g + h Futbol veya Voleybol oynayanların sayısı: s(f V) = a + b + d + e + f + g Futbol veya Basketbol oynamayanların sayısı: s[(f B) ı ] = g + h En az iki spor yapanların sayısı: s[(f B) (F V) (B V)] = b + d + f + e En çok iki spor yapanların sayısı: s[(f B V) ı ] = a + b + c + d + f + g + h 33

24 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR 2. BÖLÜM KÜMELERDE İŞLEMLER A. KÜMELERDE İŞLEMLER 2. Kesişim İşlemi Kazanım : Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar; bu işlemler arasındaki ilişkileri ifade eder. 1. Birleşim İşlemi A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 3, 5, 6} kümeleri veriliyor. A B kümesini bulunuz. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {x: 3 x < 10, x N} kümeleri veriliyor. A B kümesini bulunuz. A B kümesi A ve B nin ortak elemanlarının oluşturduğu bir kümedir. A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A B = {3, 4, 5} olarak bulunur. Bir kümede her eleman yalnız bir kez yazılır. 2 ve 3 ortak elemanlar olduğundan, bir kez yazılır. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dır. 1. A = {x: x < 10 ve x asal sayı} B = {x: x 2 < 20 ve x doğal sayı} olduğuna göre, A B kümesini bulunuz. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} 2. A = {yılın dört harfli ayları} B = {haftanın dört harfli günleri) olduğuna göre, A B kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu bulnuz. (10) 1. A = {x: 3 x 6, x R} B = {x: 4 < x 7, x R} olduğuna göre, A B kümesini bulunuz. 2. A = {x: x < 10 ve x asal sayı} B = {x: x 2 < 20 ve x doğal sayı} olduğuna göre, A B kümesini bulunuz. 3. A = {x: x < 30 ve x, 2 nin tam katları} B = {x: 0 x 45 ve x, 3 ün tam katları} olduğuna göre, A B kümesini bulunuz. (4, 6] {2, 3} {0, 6, 12, 18, 24} 34

25 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR A = {a, b, c, d} B = {b, d, e, f} C = {c, d, f, g} kümeleri veriliyor. Buna göre, A (B C) kümesini liste yöntemiyle yazınız. A B, B A, A B, s(a) = 9 ve s(b) = 11 olduğuna göre, A B kümesinin en çok kaç elemanlı bir küme olduğunu bulnuz. A B A = {a, b, c, d} B C = {b, c, d, e, f, g} A (B C) kümesi A ile B C kümelerinin ortak elemanları olduğundan, A (B C) = {b, c, d} dir. 1. A = {a, b, c, d} B = {b, d, e, f} C = {c, d, f, g} olduğuna göre, A (B C) kümesini liste yöntemiyle yazınız. {a, b, c, d, f} A B s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) dir. s(a B) nin en çok olması için s(a B) nin en az olması gerekir. Buna göre, s(a B) = 1 olur. s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) = = 19 bulunur. 1. A B, B A, A B, s(a) = 5 ve s(b) = 14 ise A B kümesinin en çok kaç elemanlı olabileceğini bulunuz. (18) 2. A = {a, b, c, d, e} B = {c, d, e, f} C = {a, c, g, h} olduğuna göre, (A B) (B C) kümesini Venn şeması ile gösteriniz. d c e 2. A B, B A, A B, s(a) = 6 ve s(b) = 8 ise A B kümesinin en az kaç elemanlı olabileceğini bulunuz. (9) 3. A B = {1, 2, 3, 4} B C {2, 3, 5, 6} olduğuna göre, (A C) B kümesini bulunuz. {2, 3} 3. A ve B iki küme olmak üzere, s(a) = 13, s(b) = 10 ve s(a B) = 18 olduğuna göre, s(a B) yi bulunuz. (5) 35

26 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR A = {x: 20 < x < 130, x N} kümesinin 4 veya 5 ile tam bölünen eleman sayısını bulunuz. 1. A = {x: 10 < x 99, x N kümesinin 2 veya 3 ile tam bölünen eleman sayısını bulunuz. (59) Bu aralıkta 4 ile tam bölünen doğal sayılar, 24, 28, 32,, 124, 128 dir. Bunların kümesine B denirse, s(b) = + 1 = 27 dir. 4 5 ile tam bölünen doğal sayılar, 25, 30, 35,, dir. Bunların kümesine C denirse, s(c) = + 1 = 21 dir. 5 4 ve 5 ile tam bölünen doğal sayılar (Bunlar (4, 5) okek = 20 olduğundan 20 ile bölünen sayılardır.) 40, 60, 120. Bunların kümesi B C dir s(b C) = + 1 = 5 tir. 20 s(b C) = s(b) + s(c) s(b C) = = 43 tür. 2. A = {x: 15 x 150, x N} kümesinin 5 ve 6 ile bölünen kaç elemanı olduğunu bulunuz. 3. A = {[0, 190) aralığındaki 9 ile tam bölünen doğal sayılar} B = {x: 10 < x 250, x = 5 k, k N} olduğuna göre, s(a B) yi bulunuz. (5) (4) Püf Noktası 4. A = {x: 6 < x 90, x Z} Terim sayısı = Son terim ilk terim ortak fark + 1 kümesinin elemanlarından kaç tanesinin 3 ile tam bölünüp, 4 ile tam bölünemediğini bulunuz. (21) Püf Noktası Kümelerde "ve" bağlacı kesişime ( ) "veya" bağlacı birleşime ( ) karşılık gelir. 5. A = {x: 20 x 100, x N} kümesinin 4 ve 5 ile tam bölünmeyen kaç elemanı olduğunu bulunuz. (76) 36

27 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR A = {1, 2, 3, 4, 5} ve A B = {1, 2, 3, 4, 5, m, n, p} olduğuna göre, kaç farklı B kümesi yazılabilir. B kümesinde, m, n, p elemanları bulunmak zorundadır. Bu elemanların yanına A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanlarını 2 5 = 32 farklı şekilde yerleştirebiliriz. Buna göre, 32 farklı B kümesi yazılabilir. 1. A = {1, 2} ve A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A kümesinin eleman sayısı, B kümesinin eleman sayısından 8 fazladır. A B kümesinin eleman sayısı, B nin eleman sayısının 2 katından 3 fazladır. Buna göre, s(a B) yi bulunuz. s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) s(b) = x alınırsa, s(a) = x + 8 ve s(a B) = 2x + 3 tür. 2x + 3 = x x s(a B) s(a B) = 5 bulunur. olduğuna göre, kaç farklı B kümesi yazılabilir. (4) 1. A kümesinin alt küme sayısı 64, B kümesinin alt küme sayısı 8, A B kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı 1 olduğuna göre, s(a B) yi bulunuz. (7) 2. A = {a, b, c, d} ve B = {c, d, e, m, n, p} kümeleri veriliyor. 2. s(a B) = 32, s(a) = 5. s(b) ve s(a B) = 4 olduğuna göre, s(a) yı bulunuz. A B = B C koşulunu sağlayan en çok elemanlı C kümesinin 1 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. (30) (8) 3. s(b) = 6, s(a B) = 2 ve s(a B) = 9 A kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. (10) 3. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve B C = {2, 3, 5, 6, 7, 8} olduğuna göre, A C kümesinin en az kaç elemanlı olduğunu bulunuz. (4) 4. s(a) = 13 s(b) = 10 olduğuna göre, A B nin en az kaç elemanı olduğunu bulunuz. (13) 37

28 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR 3. Fark İşlemi s(a B C) = 24, s(a) = 19, s(b) = 14, s(a B) = 7, s(a C) = 8, s(b C) = 9 ve s(a B C) = 3 A B olduğuna göre, s(c) yi bulunuz s(c) = x olmak üzere, s(a B C) = s(a) + s(b) + s(c) s(a B) s(a C) s(b C) + s(a B C) 24 = x x = s(c) = 12 bulunur. 1. A = {1, 2, 4, 5} B = {2, 3, 5, 6} C = {4, 5, 6, 7} olduğuna göre, A (B C) kümesini Venn şeması ile gösteriniz. Yukardaki şemaya göre, A B kümesini liste yöntemi ile yazınız. A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 6, 7, 8} A B kümesinin anlamı; A nın elemanları içinden varsa B nin elemanları çıkarılır. Buna göre, A B = {4, 5} bulunur. A B 1. A B C Yukarıdaki şemaya göre, B A kümesini liste yöntemiyle gösteriniz. 2. s(a B C) = 26, s(b) = 15, s(c) = 13 s(a C) = s(b C) = 6, s(a B) = 5 ve s(a B C) = 2 ({6, 7, 8}) olduğuna göre, s(a (B C)) yi bulunuz. 2. A = {a, b, c, d, e} ve B = {c, d, f} (17) kümeleri veriliyor. A B kümesini liste yöntemiyle yazınız. ({a, b, e}) 3. A, B, C birbirinden farklı kümelerdir. s(a) = 6, s(b) = 8 ve s(c) = 12 olduğuna göre, A B C kümesinin en az kaç elemanı olduğunu bulunuz. (12) 3. A = {x x Z} ve B = {x x Q} kümeleri veriliyor. A B kümesini liste yöntemiyle yazınız. ({ }) 38

29 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR A Yukarıda verilen kümelere göre, (A B) (A C) kümesini liste yöntemiyle yazınız. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10} olduğundan (A B) (A C) = {8} bulunur B C 4. Tümleme İşlemi E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 20} Evrensel küme olmak üzere, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 15} olduğuna göre, A nın tümleyenini bulunuz. A nın tümleyeni A ı dür. E evrensel kümesinde olup da A da olmayan elemanların kümesine A nın tümleyeni denir ve A ı gösterilir. A ı = {16, 17, 18, 19, 20} dir. 1. E, evrensel küme olmak üzere, 1. A B C E = [2, 12] dir. A = [2, 5) olduğuna göre, A ı kümesini bulunuz. ([5, 12]) Yukarıda verilen kümelere göre, A (B C) kümesini liste yöntemi ile yazınız. ({1, 2}) 2. E = ( 10, 8] evrensel kümesi veriliyor. A ı = ( 10, 8) [3, 8] olduğuna göre, A kümesini bulunuz. 2. A B ([ 8, 3)) a b c d e f 3. E, evrensel küme olmak üzere, Yukarıda verilen kümelere göre, (A C) B kümesini liste yöntemi ile yazınız g C s(a) = 12 s(a ı ) = 8 olduğuna göre, s(e) yi bulunuz. ({d}) (20) 39

30 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. A B olduğuna göre, B ı A ı olduğunu gösteriniz. 3. A = [0, 3] ve B = [ 3, 2) olduğuna göre, A ı B kümesini sayı doğrusunda gösteriniz. A B E ( ) 4. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. A nın tümleyeni A ı mavi renk ile gösterilmiştir. B nin tümleyini B ı kırmızı renk ile gösterilmiştir. Venn şeması bakıldığında kırmızı renkte boyananlar aynı zamanda mavi renkte de boyanmıştır. Buna göre B ı A ı dür. A B, s(a) = 3, s(b) = 10 ve s(b ı ) = 5 olduğuna göre, s(a ı )nü bulunuz. (12) 1. Evrensel kümesi, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {3, 4, 5} B = {2, 3, 4, 5, 6, 7} olduğuna göre, B ı ve A ı kümelerini Venn şemasını kullanarak bulunuz. E A B A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. A B = {a, b, c, d, e, f} A B = {e, f} A B ı = {a, d} olduğuna göre, A ı B kümesini bulunuz. ({b, c}) (B ı = {1, 8, 9, 10}) (A ı = {1, 2, 6, 7, 8, 9, 10}) 2. E, evrensel kümesi E = [ 2, 5] dir. A = [ 1, 1) ve B = [0, 3] olduğuna göre, (A B) ı kümesini sayı doğrusunda gösteriniz. ( ) 6. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(a) + s(b ı ) = 13 s(a ı ) + s(b) = 9 olduğuna göre, s(e) yi bulunuz. (11) 40

31 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR [(A ı B ı ) ı B ı ] B kümesini en sade biçimde yazınız. A B (A B) ı = A ı B ı De Morgan kuralları (A B) ı = A ı B ı Buna göre, (A ı B ı ) = (A B) ı [(A ı B ı ) ı B ı ] B = [(A B) B ı ] B (A B) = (A B) (B ı B) E = (A B) E = E C şekildeki taralı bölgeyi gösteren kümeyi yazınız. Pembe boyalı bölge, (A C) (A B C) ile mavi boyalı bölge, (B C) (A B C) ile gösterilir. Buna göre, taralı bölge [(A C) (B C)] (A B C) [(A B) C] (A B C) ile gösterilir. 1. A B = olduğuna göre, (A ı B ı ) B kümesini en sade biçimde yazınız. (A ı ) 1. A B C 2. B A olduğuna göre, (A ı B) A kümesini en sade biçimde yazınız. (A) şekildeki taralı bölgeyi gösteren kümeyi yazınız. (A [(B C) (C B)]) 3. [(A ı B ı ) A] (A B) ı kümesinin tümleyenini en sade biçimde yazınız.. (A B) 2. A B C 4. [(A B ı ) (A B) ı ] B kümesini en sade biçimde yazınız. ( ) şekildeki taralı bölgeyi gösteren kümeyi yazınız. ([(A B) C] (A B C)) 41

32 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, s(a B) = 4, s(b A ı ) = 6 ve s(a B) = 2 olduğuna göre, s(a B) yi bulunuz. 5. A ve B ayrık iki kümedir. s(a B) = 5 ve s(b A) = 3 olduğuna göre, A B kümesinin öz alt küme sayısını bulunuz. (255) B A ı = B A dır. s(b A ı ) = s(b A) = 6 dır. A B E 6. A ve B ayrık iki kümedir. s(a) s(b) = 7 ve s(a B) = 9 olduğuna göre, s(b) yi bulunuz (1) A B A B B A s(a B) = = 12 bulunur. 7. A B = [ 3, 4) ve A C = [ 1, 6] olduğuna göre, A (B C) kümesini bulunuz. 1. s(a) = 7 ve s(a B) = 3 ([ 1, 4)) olduğuna göre, s(a B) yi bulunuz. (4) 2. s(b) = 8 ve s(a B) = 4 olduğuna göre, B A ı kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz. (6) 8. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, s(a ı ) = 5, s(b) = 8 ve s(b ı ) = 4 olduğuna göre, s(a) yı bulunuz. (7) 3. A = {a, b, c, d, e} B = {a, c, e, f, g} C = {a, f, h} 9. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, (A B) ı B ı kümesini en sade biçimde yazınız. olduğuna göre, s(a (B C) ı ) yi bulunuz. (1) (E) 4. s(a \ B) = 3.s(B \ A) = 4.s(A B) dir. Buna göre, A kümesinin en az kaç elemanlı bir küme olduğunu bulunuz. (15) 10. A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesi olmak üzere, A (A ı B) kümesini en sade biçimde yazınız. ( ) 42

33 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR 5. Kartezyen Çarpım İşlemi 4. (3 n, 64) = (81, 4 m + 1 ) olduğuna göre, m.n çarpımını bulunuz. Kazanım : İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar. (8) (a + 1, 6) = (4, b + 2) olduğuna göre, a.b çarpımını bulunuz. 5. a c, m = c, m 12 b 4 2 olduğuna göre, a + b toplamını bulunuz. (a, b) = (x, y) a = x ve b = y dir. Buna göre, (a + 1, 6) = (4, b + 2) ise a + 1 = 4 ve 6 = b + 2 a = 3 ve b = 4 tür. a. b = 3. 4 = 12 dir. (7) 6. (3 a 4, 2 b+2 ) = (243,16) 1. (3 + a, b + 4) = (7, 5) olduğuna göre, a.b çarpımını bulunuz. olduğuna göre, a + b toplamını bulunuz. (18) (5) 2. (a.b, 3) = (12, a) olduğuna göre, a + b toplamını bulunuz. 7. (2 m + n, m 4 ) = (9,16) olduğuna göre, n kaçtır? (7) (5) 3. (m 3, 5n) = (2n, m + 3) olduğuna göre, m.n çarpımını bulunuz. 8. (7 x+1, y+11) = (28, 49 x ) olduğuna göre, y kaçtır? (14) (5) 43

34 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR A = {3, 4, 5} ve B = {1, 2} olduğuna göre, A x B ve B x A kümesini bulunuz (A x B) = {(x, y): x A ve y B } dir. A x B = {(3, 1), (3, 2), (4, 1) (4, 2) (5, 1) (5, 2)} B x A = {(1, 3), (1, 4) (1, 5), (2, 3) (2, 4) (2, 5)} A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4} ve C = {Asal rakamlar} olduğuna göre, s[(a x B) (A x C)] yi bulunuz. s[(a x B) (A x C)] = s[a x (B C)] = s(a).s(b C) = 3.2 = 6 bulunur. 1. A = {a, b}, B = {b, c} olduğuna göre, A x B kümesini bulunuz. {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c)} 1. A = {a, b, c, d, e}, B = {1, 2, 3, 4} olduğuna göre, s(a x B) yi bulunuz. (20) 2. A = {x: 1 x < 2, x Z} B = {x: 2 < x 1, x N} olduğuna göre, B x A kümesini bulunuz. {(0, 1), (0,0), (0,1), (1, 1), (1,0), (1,1)} 2. B C = olmak üzere, s(a) = 5, s(b) = 7, s(c) = 12 olduğuna göre, s[(a x B) (A x C)] yi bulunuz. (95) 3. A = {a, b, c, d, e}, B = {e, f, g}, C = {m, n} olduğuna göre, C x (A B) kümesini bulunuz. {(m, e), (n, e)} 3. s(a) = 6, s(a B) = 3 ve s[(a x B) (B x B)] = 54 olduğuna göre, s(b A) yı bulunuz. (3) 4. s(a B) = 3, s(b) = 7 ve B A 4. A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {3, 4} olduğuna göre, (A x B) (A x C) kümesini bulunuz. olduğuna göre, s(a x B) nin en çok kaç olabileceğini bulunuz. {(1, 3), (2, 3)} (63) 44

35 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR B. KÜME PROBLEMLERİ Kazanım : Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer kişilik bir sınıfta, Türkçe dersinden geçen 25, Tarih dersinden kalan 10 kişidir. Her iki dersten geçen 17 kişi olduğuna göre, bu derslerin yalnız birinden geçenlerin sayısını bulunuz. (13) 35 kişilik bir sınıfta, fizik dersinden geçen 23, kimya dersinden kalan 17 kişidir. Her iki dersten geçen 14 kişi olduğuna göre, bu derslerin hiçbirinden geçemeyen kaç kişi olduğunu bulunuz. F, fizikten geçenlerin kümesi K, kimyadan geçenlerin kümesi K ı kimyadan kalanların kümesidir. s(f) = 23, s(k) = = 18 s(k F) = 14 tür. s(k F) = s(k) + s(f) s(k F) = s(k F) = 27 dir = 8 dir kişilik bir grupta 8 kişi santraç ve briç oynamaktadır. İki oyunu da oynamayı bilmeyen 8 kişinin olduğu grupta, bu oyunların yalnız birini oynayanların sayısını bulunuz. (12) 4. Bir sınıftaki öğrencilerin 18 i matematik, 22 side matematik veya Türkçeden geçmiştir. Buna göre, bu sınıfta yalnız Türkçe'den geçen kaç öğrenci olduğunu bulunuz. (4) II. yol Şema Yöntemi K F E x s(e) = 35 s(k ı ) = 17 s(k) = 18 s(f) = 23 x + 27 = 35 x = 8 dir kişilik bir kafiledeki turistler Almanca veya İngilizce'den en az birini konuşabilmektedir. Almanca konuşan 29, İngilizce konuşmayan 17 kişi olduğuna göre, yalnız İngilizce konuşan kaç kişi olduğunu bulunuz. (10) kişilik bir kafiledeki turistler Rusça veya Çince'den en az birini konuşabilmektedir. Rusça konuşan 19, Çince konuşmayan 14 kişi olduğuna göre, kafiledeki her iki dili konuşabilenlerin sayısını bulunuz. (5) 6. Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan oluşan bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da oynayanlar 4, futbol ve voleybol oynayanlar 6, voleybol ve basketbol oynayanlar 8, futbol ve basketbol oynayanlar 10 kişidir. Futbol oynayanlar 22, voleybol oynayanlar 15, basketbol oynayanlar 18 kişi olduğuna göre, kafilede kaç sporcu olduğunu bulunuz. (35) 45

36 2. BÖLÜM: KÜMELERDE İŞLEMLER ALIŞTIRMALAR 37 kişilik bir grupta, esmer erkeklerin sayısı, sarışın kadınların sayısının 3 katıdır. Gruptaki kadınların sayısı erkeklerden 7 kişi azdır. Grupta 4 tane sarışın erkek olduğuna göre, kaç tane esmer kadın olduğunu bulunuz. Bu tür sorular aşağıdaki gibi tablo yardımıyla çözülür. Esmer Sarışın Kadın 2x 3 x Erkek 3x 4 x tane sarışın kadın varsa, 3x tane esmer erkek vardır. Verilen bilgilere göre, esmer kadınların sayısı 2x 3 tür. 2x 3 + x + 3x + 4 = 37 6x + 1 = 37 6x = 36 x = 6 bulunur. Esmer kadınların sayısı, 2x 3 = 9 dur. Matematik veya Türkçe derslerinin en az birinden geçenlerin bulunduğu bir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı matematik dersinden, % 70 i ise Türkçe dersinden geçmiştir. Bu sınıfta yalnız Türkçe'den geçen 12 kişi olduğuna göre, sınıfta kaç öğrenci olduğunu bulunuz. Sınıftaki öğrenci sayısı x olsun. s(m T) = s(m) + s(t) s(m T) 40. x 70. x 10. x x = + - s( M + T) & s( M + T) = elde edilir s( T - M) = s( T) -s( M + T) 70. x 10. x 60. x s( T - M) = - = x = 12 & x = 20 bulunur. 100 yalnız Türkçeden geçenler kişilik bir sınıfta kızların ü matematikten başarılıdır. 3 Matematikten başarılı olamayan erkeklerin sayısı, matematikten başarılı kızların yarısına eşittir. Matematikten başarılı 12 erkek öğrenci olduğuna göre, sınıfta kaç tane kız öğrenci olduğunu bulunuz. (18) 2. Bir sınıftaki 30 öğrenciden16 sı erkektir. Sınıfta 12 kişi tenis kursuna gitmektedir. Tenis kursuna giden erkeklerin sayısı, tenis kursuna giden kızların sayısının 2 katıdır. Buna göre, tenis kursuna gitmeyen kaç tane kız öğrenci olduğunu bulunuz. (10) kişilik bir sporcu kafilesinde basketbolcu erkeklerin sayısı voleybolcu kızların sayısının 3 katıdır. Kafiledeki erekek sayısı, kızların sayısından 16 fazladır. Kafilede 5 tane voleybolcu kız olduğuna göre, basketbol oynamayan kaç tane erkek olduğunu bulunuz. (13) 1. Bir sınıftaki öğrencilerin % 58 inin tükenmez kalemi ve % 74 ünün karşun kalemi vardır. Buna göre, sınıftaki öğrencilerin en az yüzde kaçında hem tükenmez hem de kurşun kalem olduğunu bulunuz. (% 32) kişilik bir sporcu kafilesinin % 48 i futbol, % 40 ı basketbol ve % 16 sı hem futbol hem basketbol oynamaktadır. Buna göre, bu kafilede futbol veya basketbol oynamayan kaç kişi olduğunu bulunuz. 3. Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına oranı 3 2 tür. Sınıfın % 28'i, erkeklerin % 40 ı sarışındır. Buna göre, sınıftaki sarışın kızlar, sarışın olmayan erkeklerin yüzde kaçı olduğunu bulunuz. (7) (% 50) 46