. Oyun Teorisi Muhamet Yıldız Güz 005 Sınav Çözümleri.. sorunun çözümü a). oyuncu her iki oyunda da aynı kazanç fonksiyonuna sahip, dolayısıyla. oyuncu açıkça aynı tercihlere sahip. Ya. oyuncu? Başka deyişle,. oyuncunun sağdaki oyundaki kazançları soldaki oyundaki kazançlarının, negatif olmayan afin bir transformasyonu mudur? Yine başka bir deyişle, öyle a 0 ve b varmıdır ki, 0a + b = 0, a+b =, a+b = ve a+b = olsun? Ilk ikisini sağlamak için, a = ve b = 0 olmalı, ancak bunlar. eşitliği sağlamazlar. Demekki, böyle bir transformasyon yoktur ve. oyuncu aynı tercihlere sahip değildir. b). oyuncunun sağdaki oyundaki kazançları soldaki oyundaki kazançlarının, negatif olmayan afin bir transformasyonu mudur? Başka bir deyişle, öyle a 0 ve b varmıdır ki, 0a + b =, 6a + b =, a + b = ve a + b = olsun? Evet, bu eşitlikleri çözerek görebilirsiniz ki, a = / ve b = öyle sayılardır.. oyuncunun sağdaki oyundaki kazançları soldaki oyundaki kazançlarının, negatif olmayan afin bir transformasyonu mudur? Başka bir deyişle, öyle a 0 ve b varmıdır ki, a + b = 0, a + b =, 7a + b = ve a + b = olsun? Evet, bu eşitlikleri çözerek görebilirsiniz ki, a = / ve b = / öyle sayılardır. Evet her iki oyuncu da aynı tercihlere sahip... sorunun çözümü
transformation of the payoffs in the game on the left? In other words, do there exist a 0 b with a+b =0, a+b =, a+b =, 7a+b =, a+b =, a + b = 0? Yes, you can solve the equations see that a =/ b = / are such an a b. So yes, both s have the same preference relation on lotteries with strategy. oyuncu profiles için, as Mtheir L yi outcomes. kesin domine eder. Rasyonel bir oyuncu olarak,. oyuncu asla L oynamaz. nin rasyonel olduğunu bilen. oyuncu asla B oynamaz, çünkü indirgenmiş oyunda A B yi kesin domine eder. Elimizde alttaki Answer Problem For playing M strictly dominates playing L. As a rational, oyun kalır: will never play L. Knowing that is rational, will never play B since A strictly dominates B in the remaining game. Then we are left with the following game: M R A,,0 C,0, In this reduced game, the pure Nash equilibria are obvious: A, M) C, R). Indirgenmiş oyunda, saf Nash dengeleri açıktır: A,M) ve C,R). Şimdi de karma stratejilere bakalım.. oyuncu için P A) = p ve P C) = p,. oyuncu içinse P M) = q ve P R) = q olsun. O zaman bu olasılıkların Now, let s look at the mixed equlibrium. Let P A) = p P C) = p for sağlaması gerekenler P M) = q P R) = q for. Then the conditions that these probabilities have satisfy are Now, let s look at q the + mixed equlibrium. q) = Let P A) = p P C) = p for P M) p +0 = q P p) R) = = 0 qp for +. p) Then the conditions that these probabilities have satisfy are As a result we get q + q) = q = / şeklindedir. Sonuç olarak p +0 p) = 0 p + p) p = / As a result we get Then the mixed strategy Nash equlibrium is q = / ) A + p C, = M / + R Then the pure the strategy mixed strategy NE are Nash equlibrium is ) A, M) C, R). elde ederiz. Bu durumda, karma A + strateji C, M Nash + R dengesi Answer the pure strategy Problem NE are a) The backwards induction A, outcome M) is as C, below. R). We first eliminate action y for, assuming that is sequentially rational hence Answer will not play Problem y, which is conditionally dominated x. We also eliminate action r for, assuming that is sequentially rational. This is a) because The backwards r is conditionally induction dominated outcome is as l. below. Second, We assuming first eliminate that action y is for sequentially, rational assuming that knows is sequentially that rational is sequentially hence rational, will not we play eliminate y, which b is conditionally c. This is dominated because, knowing x. We that also eliminate is sequentially action r for rational,, assuming would that know that is sequentially will not play rational. r, hence This is b because would lead r is conditionally payoff of 0, dominated that l. playing Second, c would assuming leadthat a payoff of is. sequentially Being sequentially rational rational that she must knows play that a. Finally, assuming is sequentially that i) rational, we is eliminate sequentially b rational, c. This ii) is because, knowing knows that that is is sequentially rational, iii) would know knows that that will not play knows r, hence that b would is lead sequentially payoff rational, of 0, we that eliminate playing L. This c would is because lead ii) a payoff iii) of. lead Being sequentially conclude rational that she will must play play a a. Finally, x, thus assuming i) that he plays i) R. is sequentially rational, ii) knows that is sequentially rational, iii) knows that knows that
p +0 p) = 0 p + p) q = / As a result we get p = / Then the mixed strategy Nash equlibrium q is = / p = ) / Then the mixed A + strategy C, Nash M + equlibrium R is ) the pure strategy NE are idir ve saf strateji Nash dengeleri de A,M) A + ve C, C,R) dirler. M + R A, M) C, R)... sorunun çözümü the pure strategy NE are A, M) C, R). Answer a) Geriye Problem doğru tümevarım çözümü şöyledir. Önce,. oyuncunun sıralı rasyonel olduğunu varsayarak. oyuncu için x tarafından koşullu domine a) The backwards Answer induction Problem outcome is as below. We first eliminate action y edilen y yi eliyoruz.. oyuncunun da sıralı rasyonel olduğunu varsayarak not play r yi a) eliyoruz. y, for, assuming that is sequentially rational hence will The which backwards is Bunun conditionally induction nedeni l in outcome dominated r ı koşullu is as below. domine x. We We etmesidir. also first eliminate Ikinci action y for, assuming that is sequentially rational hence action olarak, r for nin sıralı, assuming rasyonel olduğunu that ve nin is sequentially in sıralı rasyonel rational. olduğunu This is will not play y, which is conditionally dominated x. We also eliminate because bildiğini r is varsayarak, conditionally dominated l. Second, assuming that action r for b ve c yi, assuming eliyoruz. that Bunun nedeni, is sequentially in sıralı rasyonel rational. This is is sequentially rational that knows that is sequentially olduğunu bilen because. oyuncu r is conditionally in r oynamayacağını dominated l. bilir Second, ve buassuming durumda that b 0 rational, we eliminate is sequentially b rational c. This is that because, knowing knows that that is sequentially is sequentially getirirken, c oynamak getirir. wouldsıralı know rasyonel that will olduğundan, not play r, a oynamalı. rational, we eliminate b c. This is because, knowing that hence is b would Son olarak, lead sequentially i) payoff. oyuncunun of rational, 0, sıralı that rasyonel would playing olduğunu, know c would that ii) lead will. not oyuncunun a play payoff r, hence of.. Being oyuncunun sequentially b would sıralılead rasyonel rational payoff olduğunu she of must 0, bildğini play that a. ve Finally, playing iii) inc assuming nin would in leadthat sıralı a payoff i) is of sequentially. Being sequentially rational, rational ii) she must knows play that a. Finally, assuming is that rasyonel olduğunu bildiğini bildiğini varsayarak L yi eliyoruz. Bunun nedeni, ii) is ve sequentially iii) nin in rational, nin we a veeliminate xiii) oynayacağına L. This knows kanaat is because that getirmesini ii) knows ve that sequentially rational, i) is iii) sequentially rational, knows that ii) knows knows that that is iii) dolayısıyla lead da i) sayesinde conclude is sequentially that R oynamasını rational, will play we sağlamasıdır. a eliminate x, L. This thus is because i) he ii) iii) lead conclude that will play a x, thus i) he plays R. b). oyuncunun plays R. stratejisi vardır,. oyuncununsa 6 seçilecek eylemlerle b) Player adlırılan). has b) Player strategies has while strategies while has 6 named has 6 named the actions the actions be be chosen). chosen). ax ay bx ax ay bxcx cy cx cy Ll 0, 0, Ll 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Lr 0, 0, Lr 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Rl,, Rl,, 0,, 0,, 0,, 0,, 0 Rr,, Rr,,,,, 0,, 0 c) Rasyonelleştirilebilir stratejileri hesaplayın. Ilk olarak, c) LlCompute ve Lr Rl the tarafından set of all rationalizable kesin dominestrategies. edilirler. in rasyonel olduğunu varsayarak, Ll ve Lr oynamayacağı sonucuna varıyoruz. Ll ve First, Ll Lr are strictly dominated strategy Rl. Assuming that Lr yi eliyoruz is rational, ve indirgenmiş we conclude oyun that alttaki he would halini not alıyor play Ll Lr. We eliminate Ll Lr, so the game is reduced ax ay bx cx cy Rl,,, 0, 0,, 0 Rr,,,,,, 0 Now for cx cy are strictly dominated ax. Hence, assuming that i) is rational, that ii) knows that is rational, we eliminate cx cy. This is because, ii), knows that will not play Ll Lr, hence i) she would not play cx cy. The game is reduced ax ay bx Rl,,, 0, 0 Rr,,,, There is no strictly dominated strategy in the remaining game. Therefore, all the remaining strategies are rationalizable.
c) Compute the set of all rationalizable strategies. First, Ll Lr are strictly dominated strategy Rl. Assuming that is rational, we conclude that he would not play Ll Lr. We eliminate Ll Şimdi,. oyuncu Lr, için so the cxgame ve cy is reduced ax tarafından kesin domine edilirler. ax ay bx cx cy i) nin rasyonelrl olduğunu,, ve ii), nin 0, in 0 rasyonel,, 0 olduğunu bildiğini varsayarak cx verr cy yi, eliyoruz.,, Bunun, nedeni,, ii), sayesinde, 0 in Ll Now for cx cy are strictly dominated ax. Hence, assuming ve Lr oynamayacağını biliyoruz, dolayısıyla, i) sayesinde de cx ve cy that i) is rational, that ii) knows that is rational, oynamaycaktır. we eliminate Oyun alttaki cx haline cy. This indirgenir is because, ii), knows that will not play Ll Lr, hence i) she would not play cx cy. The game is reduced ax ay bx Rl,,, 0, 0 Rr,,,, There is no strictly dominated strategy in the remaining game. Therefore, Kalan oyundall başka the remaining kesin domine strategies edilenare strateji rationalizable. yoktur. Dolayısıyla, tüm kalan stratejiler rasyonelleştirilebilirdir. Answer Problem Denote y the winner of the first round of voting either the bill or the.. sorunun çözümü amendment). In the second round of voting between 0.6 y, the Moderates will vote for whichever is closer 0.5; the Democrats will vote for the higher tax Ilk tur oylamanınrate galibine the y diyelim Republicans kanun will tasarısı vote for ya the dalower değişiklik). tax rate. Ikinci Since the Democrats tur oylamada, 0.6 ile the y arasında, Republicans Ilımlılar will always hangisiback 0.5 edifferent yakınsaproposals, ona oy verecekler; Demokratlar the winner will be whichever dah yüksek is also olan backed vergi oranına, the moderates. Cumhuriyetçiler We can denote de düşük the winner of the second round of voting f y) defined as follows: olan vergi oranına oy verecekler. Demokratlar ve Cumhuriyetçiler hep farklı vergi oranlarına oy verecekleri için, kazananı f y) = Ilımlıların 0.6 if y >0.6 neye oy or verdikleri y <0. belirleyecek. Ikinci turun kazananını fy) olarak = alttaki y if y gibi [0., tanımlayabiliriz 0.6] For the first round of voting, the moderates will choose whichever of x x will cause the outcome of the second round of voting be closer 0.5; i.e. they fy) choose = 0.6 arg eger min y > 0.6 veya x {x,x } 0.5 y f < x) 0.. Similarly, the Democrats will choose arg max x {x,x } f x). And the Republicans will choose arg min x {x,x } f x). Again, since = the y eger Democrats y [0., 0.6] the Republicans will always back different proposals in the first round, the winner will be whichever is also backed the Ilk tur için, ılımlılar, moderates; x ve therefore x den ikinci y = turdaki arg min x {x sonucu,x } 0.5 0.5 e en f x) yakın. Then, yapacak olanı seçerler, optimal yani, choice argmin of x for the Democrats is min {0.6, 0.5+ 0.5 x }; i.e. if x is x {x,x } 0.5 fx) i seçerler. Benzer şekilde, given x,the larger than is 0., they would choose x be as large as possible while being Demokratlar da argmax closer x {x 0.5,xthan }fx) i is xseçerler. so that Cumhuriyetçiler the moderates back de, xargmin ); otherwise x {x,x they }fx) i choose seçerler. Ilk turda, 0.6. Demokratlar Then, if the ve Republicans Cumhuriyetçiler choose hep x farklı be tasarıları smaller than seçecekleri 0.5 in introducing the bill, the Democrats will introduce an amendment with a higher tax rate, için, kazanan ılımlıların seçtikleri olacaktır, yani y = argmin x {x,x that the moderates back in both rounds. So the best that } 0.5 the Republicans can fx). O zaman, xdo veriliyken, is choose Demokratların x =0.5. optimal x seçimi min{0.6, 0.5+ 0.5 x } dir, yani, eğer Thus, x a 0. ten full description büyükse, of x the yi olabildiğince strategies of the büyük three seçerler, parties in equilibrium are as follows: Republicans choose x = 0.5; in the first round, they vote 0.5 e x in olduğundan daha yakın olacak şekilde böylelikle ılımlılar x yi desteklerler); aksi durumda 0.6 seçerler. O zaman, eğer Cumhuriyetçiler x i
0.5 ten daha küçük seçerlerse, Demokratlar ılımlıların iki turda da destekleyecekleri daha yüksek bir vergi önerirler. Dolayısıyla, Cumhuriyetçilerin yapabileceklerinin en iyisi x = 0.5 seçmektir. Dolayısıyla, dengede üç oyuncunun stratejileri şöyledir: Cumhuriyetçiler ilk turda x = 0.5 seçerler ve argmin x {x,x }fx) için oy verirler, ikinci turda min{0.6, y} için oy verirler. Demokratlar x = min{0.6, 0.5 + 0.5 x } seçerler, ilk turda, argmax x {x,x }fx) için oy kullanırlar ve ikinci turda max{0.6, y} için oy kullanırlar. Ilımlılarsa, ilk turda argmin x {x,x } 0.5 fx) için, ikinci turdaysa argmin z {0.6,y} 0.5 z için oy kullanırlar. 5