-- -.. UL DERECE-HOLİNOMLAR'_XAffilMlYLA_ HER TÜRLÜ ARAZİ İÇİN UYQULANABİLECE1< BLOK DENQELEME YÖNTEMİ (*) Hayrettin GÜRBÜZ Ankara.,.. 1.. Giriş Fötogrâmetrik yöntemle harita yapımında, maliyetin %50 den fazlası arazide yer kontrol noktalarının tesisi için harcanmaktadır. Memle lekelimizin ana nirengi şebekesi mevcut olduğundan 1/5000 ölçekli standart topografik kadastral haritaların yapımı için gerekli yer kontrol nok talan, nokta sıklaştırması suretiyle temin edilmektedir. Nokta sıklaştırması, Havuz sistemi, Standart sistem, Havai Nirengi yöntemiyle yapılmaktadır. Bunlardan standart sis tem havuz sistemine nazaran daha ekonomiktir. Havai nirengi yöntemi ise en ekonomik yöntemdir. Günümüzde uygulanan çeşitli Havai Nirengi yöntemleri vardır. Her birinin sıhhati ve sağladığı ekonomi ayrı ayrıdır. Havai nirengi yapımında uygulanan dengeleme yöntemi zaman maliyet ve??hhat üzerinde büyük bir etkendir. Havai Nirengi, dengeleme çeşitleri iki ana grupta toplanabilir. a Kolonların teker teker dengelenmesi suretiyle yapılan Kolon Havai Nirengisi (*) Bakanlıklararası Harita İşlerini Koordinasyon ve Plnlama Kurulunun «Bilimsel Araştırma ve Koordinasyon» toplantılarının 4.4.1973 gönlü oturum'uncfa tebliğ edilmiştir. 44
b Bir blok içerisinde bulunan kolonların bir arada ve birbirine bağlı olarak dengelenmesi suretiyle yapılan Blok Havai Jşliı:engisL-.~- ------ - - -----. ---..-.-.-.-.- -- Bunlardan blok havai nirengisi, rölatif sıhhat ve ekonomi yönünden kolon havai nirengisinden daha üstün olduğundan, daha yaygın şekilde uygulanmaktadır. 2 Tapu Kadastro Genel Müdürlüğünde Havai Nirengi Uygulamaları Tapu Kadastro Genel Müdürlüğünde havai nirengi uygulaması, 1963 yılında Zarzycki yöntemiyle kolon dengelemesi şeklinde başlamıştır. 1965 yılına kadar yılda ortalama 1200 km 2 lik sahanın bu yöntemle nirengi sıklaştırılması yapılmıştır. 1965 yılında genel müdürlükçe IBM 1620 model komputerin satın alınmasından sonra dengeleme, üçüncü derece polrnomlar yardımıyla yapılmaya başlanmıştır. Halen bu yöntemin uygulanmasına devam edilmektedir. Dengelemede kullanılan polînomlar 45
ğu - Batı 1/21000 lik alımlar için 7,5 km, Kuzey-Güney 1/17000 lik _ alımjar için 6 km dir. İki zincir arasındaki bir sıra aplikasyon noktasına nivelmanla kot verilmektedir^ :T^~ ; ------ --......:r.r-.-^=^~r-^^-,. Dengelemeden sonra bulunan koordinatların ortalama hatası, formülleriyle bulunmaktadır. Daha sonra OMİ NİSTRİ TA3/A Streokomparator satın alındıktan 'sonra kolon koordinatları V.d.Hout metoduyla analitik olarak elde edii-7. miş ve dengeleme gene (1) formüllerindeki üçüncü derece polinomlar yardımıyla yapılmıştır. Streokomparatordan alınan resim koordinatlarından, dengelenmiş koordinatları veren programlar yazılıp komputere uygulanmıştır. Analog yöntemde elde edilenlerden daha hassas sonuçlar el de edilmiş isede, streokomparatorun arızalanması sebebiyle bu yoldaki uygulamaya devam edilememiştir. Ancak yakın zamanda, streokomparatorun yeni yaptırılan özel yerine nakli ve bu arada revizyon işlemi tamamlandıktan sonra analitik yöntemin uygulanmasına tekrar başlanacaktır. 3 Yapılması Gerekli Değişiklikler Haritacılık yönünden memleketimizin bu günkü şartlan gözönüne alınarak uygulanan havai nirengi yönteminde bazı değişikliklerin yapılması gerekmektedir. Değişikliği îcabettiren zorlayıcı sebepleri şöylece sı ralamak mümkündür. 3.1. Sürat Zorunluluğu Tapu Kadastro Genel Müdürlüğünün tapulama çalışmaları, norma! talepleri karşılamakla beraber, yakında uygulanması beklenen toprak ve tarım reformu isteklerine cevap verecek kapasiteye çıkarılması gerekecektir. Artan çalışma sahasında, nirengi sıklaştırmasının, harita yapımında bir dar boğaz yaratmasını önlemek için, daha az arazi çalışmasın' icabettiren, daha süratli bîr yöntemin getirilmesi lâzımdır. 46
3.2 Arazi Şartlarının Etkileri (1) Formülleri, düz araziler için, yani bir kolondaki" yükseklik farkları, uçuş yüksekliğinin % 10 unu geçmeyen sahalar için hazırlanmıştır Bu günkü uygulamada havai nirengi sahaları seçilirken bu husus gö?- önüne alınmaktadır. Ancak memleketimizde bugün haritası yapılmamış olan sahaların %70-80 ni bu tarife göre arızalı sayılmaktadır. Yakın zamanda bu özellikteki sahalar tamamen biticek veya çok küçük alanlara inhisar edecektir. Formüllerde ve komputer programında gerekli değişiklikler yapılarak havai nirengi yönteminin arıza yönünden her türlü arazide uygulanabilmesi olanağı yaratılmalıdır. 3.3 Ekonomi Yönünden Bu gün uygulanan kolon havai nirengi yöntemi, havuz ve standart sistemine nazaran, arazide tesisi gereken koordinatlı nokta sayısı yönünden %60 civarında bir tasarruf sağlamaktadır. Ancak uygulama, yukarda sözü edilen arazi durumundan dolayı sınırlı sahalara inhisar ettiğinden ve anolog yöntemde aletsel çalışmanın uzun zaman alması sebebiyle, tesisi gereken nirengi sayısında %60 civarındaki tasarruf, büyük rakamlarla ifade edilebilecek bir mali tasarruf olamamaktadır. Bu sebeple hem %60 oranının artırılması hemde alet çalışmalarının süratlendirilmesi gerekmektedir. 4 Uygulanması Planlanan Yöntem Yeni yöntem planlaması yapılırken a Hesaplanacak koordinatlardan istenen sıhhat derecesi, b Uygulama sahalarındaki arazi durumu, c ^ Mevcut alet olanakları göz önünde tutulmuştur. Önce (1) formülleri arızalı arazilerde uygulanabilecek şekle getiri! mistir. Bilindiği üzere dağlık arazilerde dış yöneltme elemanlarından AO nin X koordinatı üzerinde, Afi nın Y ve ölçek transfer hatası olan AS in Z koordinatı üzerinde etkileri doğmaktadır. Bu etkilerde hesaba katılarak (1) formülleri 47
şeklinde yeniden düzenlenmiştir. Böylece halen uygulanmakta c a n havai nirengi yöntemini her türlü araziye uygulayabilme olanağı sevinmiştir. Sonra istenen sıhhat derecesi ve Genel Müdürlüğümüzün ='-*. olanakları bir arada düşünülerek (3) formülleriyle blok dengelemesin en uygun yöntem olacağı sonucuna varılmıştır. (3) Formülleri üçüncü dereceden polinomsaldır. Polinorrsal denge-." jemede her dereceden.polinomlar.kullanılabilir- Ancak, en küçv< kareler yöntemiyle yapılan dengeleme sonuçlarına en yakın sonuçlar üçüncü derece polinomlarla elde edildiğinden, blok için üçüncü derece seçilmiştir. Ayrıca blok dengeleme çeşitleri içinde, en az sayıda bilinmeyeni ihtiva eden yöntem polinomsal blok dengelemedir. Mevcut *3M 1620 komputer kapasitesinin sınırlı olması bu seçimi etkileyen en bvyük faktördür. 5 Üçüncü Derece PoîinomSaHa Yapılacak Bîok Dengelemedeki Çalışma Safhaları Bu yöntemin uygulanmasında gerekli arazi, alet ve hesap ama çalışmalarını ve her safhanın sürat ekonomi ve incelik üzerindeki etkilerini şu şekilde sıralamak mümkündür. S.l Arazi Çalışmalara Mevcut komputerin kapasitesi küçük olduğundan blok boyutları küçük alınmıştır (Şekil : 2 ve 3). Her blok üç kolondan meydana gelmiştir. Kolonlardaki pafta sayısı Doğu - Batı 1/21 000 alımlar için 9, <-zey-gü ney 1/17 000 lik alımlar için 6 tanedir. Alım ölçeğine göre bir o'okda 27 veya 18 adet 15 000 lik pafta bulunmaktadır. (Şekil : 2 ve 3) re blokların durumu ile dengeleme için gerekli yer kontrol noktalarının korumu görülmektedir. 48
A : X, Y, Z ti bilinen noktalar O : Kotlu aplikasyon noktalan m : Kolon bağlantı noktalan Kolon uzunlukları iş sahasının durumu gerektiriyorsa, birer pafta arttırılabilir. (Şekil : 2 ve 3) te gösterilen konuma göre uygulanacak blok dengeleme için gerekli yer kontrol noktası, havuz ve standart sisteme oranla %85-90 ciavrında daha azdır. Bu ise arazi çalışmalarının aynı oranda azalması demektir. 49
5.2 Aiet Çalışmaları Kolon koordinatları streokomparatörden alınacak resim koordinatları kullanılarak, analitik yöntemle elde edilmektedir. Bunun için lüzum lu programlar daha önceki kurullara sunulmuş olduğu gibi tamamen hazırdır. Böylece analog yöntemdeki günlük 5-6 model olan alet verimi, asgari 15 modele çıkarılacak ve bu safhadaki sürat üç misli arttırılmış olacaktır. Ayrıca analitik yöntemde kolonların başlangıç modelinde mut- 50
lak cihetlendirme yapılmayacağı için, burada dört adet yer kontrol nok tası tesisine de ihtiyaç kalmamaktadır.._. vr -.. ; - ; --.--^ 5.3 Dengeleme İşlemi 5.3.1 Sfokastik Model Dengelemede ölçü olarak kolon koordinatları alınmaktadır. Bunlar bağımsız ve eşit hassasiyetle kabul edilmektedir. Aslında kolon koordinatları arasında, bilhassa analitik olarak elde edilmeleri halinde, korelasyon vardır. Ancak bu korelasyonun ihmali, sonucu fazla etkilememektedir. Aksine dengelemeye dahi! edilmesi hesaplamalarda küçümsenmiyecek zorluklar meydâna getirmektedir. Yer kontrol noktalarının nivelmanla ve jeodezik hesaplarla bulunan koordinatları hatasız kabul edilmektedir. Ağırlık, bağlantı noktaları triyangutasyon koordinatlarında (1) alın mış, yer kontrol noktalarınkinde ise (2) olarak hesaplanmıştır. 5.3.2 Matematik Model : Matematik mcdel (3) formülleridir. Bu formüllere yakından bakıldığı zaman AX, AY ve AZ arasında kuvvetli korelasyonlar olduğu görülür. Bu sebeple blok içerisinde üçünün birarada dengelenmesi, yani a, b, eve d parametrelerinin aynı anda çözülmesi gerekmektedir. Her kolondaki blinmeyen bu parametrelerin sayısı 15 tanedir. Üç kolonda 45 tane yapar. Halbuki mevcut komputer, kapasite itibariyle ancak 27 bilinmeyeni bir arada çözebilmektedir. Bu engel, dengelemede iteratif bir çözüm uygulanarak giderilebilir. Dengelemede iki türlü hata denklemi vardır. Birincisi yer kontrol noktaları için; dır. V/j-Hj-An.U,,.... (4) 51
Burada :.._...,... t^- :._.YjşL arazi sistemine dönüştürülmüş kolon koordinatları arasındaki fark - (AX AY, AZ) W i : Buna getirilecek düzeltme, A n : Her kolon için katsayı matrisi, U n : Her kolon için bilinmeyen parametreler matrisidir. U, noktanın bulunduğu kolonun bilinmeyen parametrelerini ihtiva eder. i : Nokta numarası, n : Kolon numarasıdır. _"' İkinci tip hata denklemleri, iki komşu kolonda müşterek olan kolon bağ- Jantı-noktaları içindir. :.. j n A a U n Wj : Nokta numarası, : Kolon numarası, : Her kolon için katsayı matrisi, : Her kolon için bilinmeyen parametreler matrisi, : tj ye getirilecek düzeltmelerdir. Her iki tip hata denklemleri, Ölçülerin fonksiyonu = Bilinmeyenlerin fonksiyonu şeklinde bağıntılardır. Bunlar standart problem IV yapısına uygun denk lemlerdir. Genel olarak W = B. Y t... (6) şeklinde gösterirsek, normal denklemler 52
B. T G."' B.Y = B. T G.-'-t N h [Z'l---.'.' N.Y="h~ olarak teşkil edilir. (7) denklemindeki (G), (t) nin kofaktör (ağırlık katsayıları) mat risidir. Yer kontrol noktaları için t = ölçülen koordinat - jeodezik koordinatdsr. Bir ölçünün ortalama hatasına İ dersek, jecdezik koordinatlar hatasız kabul edildiğinden e>d 2 (9) dur. Kolon bağlantı noktaları için ise durum farklıdır. Burada t = Bir kolondan ölçülen koordinat + Bir sonraki kolondan ölçülen koordinat, olup iki öiçü farkıdır ve "t'u* (10) dır. Birim ağırlık 1/2 2 6 alınırsa, kolon bağlantı noktalarındaki (t) lerin ağırlığı (1), ve yer kontrol noktalarındaki (t) lerin ağırlığı ise (2) olarak bulunur. Bu, (5.3.1) stokastik modelde sözü edilen kabulün aynıdır G matrisi bu esaslar çerçevesinde hazırlandıktan sonra aslında hesaplanmış ölçüler olan t ler, dengelemede doğrudan doğruya ölçü olarak alınabilir. W ler de t lerin hatası kabul edildiğinden 4 ve 5 denklemleri : (Ölçüler = Bilinmeyenlerin fonksiyonu) şeklinde bağıntılar şeklina dönüştürülmüş olur. Bunlar ise dengeleme problemlerinden standart problem II yapısına uygun hata denklemleridir. İşte (7) deki normal denklemler bu problemin çözüm akışı içinde kurulmuşlardır. 5.3.3 Norma! Denklemlerin Çözümü Norma! denklemlerin çözümünde yukarda değinildiği gibi iteratif bir çözüm uygulanır. İteratif çözümde önce (1) formülleri kullanılarak üç kolonun bir arada AZ dengelenmesi yapılır. Bu, her kolonda dördü (c), üçü (d) olmak üzere 7 ve blok için 3x7 = 21 bilinmeyenin çözümü de mektir. 21 bilinmeyen, komputer kapasitesi içindedir. Buradan bulunan değrler, c ve d parametrelerinin birinci yaklaşık değerleridir. Bu değerler, bilinen olarak, (3) formüllerinde yerlerine konulup Ax ile AY bir arada dengelenir Ax ve AY arasındaki korelasyon, bun- 53
larla AZ arasındaki korelasyondan daha kuvvetli olduğundan, iceratiı - - - çözümde- bhe- birbirinden- ayrılamazlar. Bu dengejeruede,. her kolon için dördü (a) ve dördü (b) olmak üzere 8, ve blok için 3x8 = 24 bilinmeyen çözülür. Gene komputer kapasitesi aşılmamaktadır. Buradan bulunan (a), ve (b) değerleri de bu parametrelerin birinci yaklaşık değerleridir. Böylece bütün parametrelerin birinci yaklaşık değerleri hesaplanınca ilk iterasyon tamamlanmış olur. Birinci yaklaşık (a) değerleri (3) formu I erindeki AZ denklemine bilinen olarak yerleştirilip (AZ) tüm blok için yeniden dengelenir. Böylece (c) ve (d) lerin ikinci yaklaşık değerleri elde edilir. (c) ve (d) nin ikinci yaklaşık değerleri gene bilinen olarak alı ~ nıp, (3)-formülleri kullanılarak bütün blok için Âx ve AY yeniden den- "~gsienfr.~ Buradan" da (a~)-ve (by-nin-ikinci-yaklaşık-değerleri elda edilir. Buda ikinci iterasyonun sonudur. İki ardışık iterasyondan sonra, aynı bir parametrenin bulunan yaklaşık değerleri arasındaki fark, belirtilen bir sınıra varıncaya kadar iterasyona devam edilir. Arazi engebesinin fazlalığı iterasyon sayısını arttırır. Genel olarak orta engebeli araziler için:ikr iterşsyon kâfi gelir. İterasyonlarda, sabit terim dışında normal denklemlerin kat sayıları değişmez. Bu bakımdan iterasyonlar fazla zaman almazlar. 5.3.4 Prezisyon Hesabı Normal denklemlerin çözümünden sonra, her kolona ait a, b, c, ö parametreleri hesaplanmış olacağından 3 formülleri her kolon için belirli polinomlar haline gelir. Bu poîinomlar yardımıyla her kolonda bulunan noktaların dengelenmiş triyangulasyon koordinatları bulunur. İki kolonda ortak olduklarından, kolon bağlantı noktaları için her kolondan bir değer olmak üzere iki ayrı koordinat bulunur. Komputerden çıkışta bun lar ortalanarak yazılır. Bu ortalama değerle her kolondan bulunan değerin farkı (11) formülleriyle V x/ V v, V, olarak hesaplanır. V x = X orta ı a ------ Xuolou V y = Y ortala Y Ulın... :... (11) V z ^-ortala ^-kolou 54
Bunlar rölatif kalıntı hatalardır. Yer kontrol noktalarının jeodezik _kq_ordlna]arl^ daki farklar hesaplanır. Bunlar da mutlak kalıntı hatalarıdır. karesel ortalama hataların hesabında Plammetri ve yükseklik için formülleri kullanılır. Burada, (11) formüllerinden bulunan rölatif kalın ti hatalar (V), ve kolon bağlantı noktaları sayısı (n) kullanılırsa, (13) formüllerinden blok için rölatif ortalama hata elde edilir. Absolut ortalama hatayı bulmak için (13 formüllerine, yer kontrol noktalarındaki mutlak kalıntı hataları (V), ve bu noktaların sayısı (n) olarak uygulanılır. Böylece tüm blok için hem rölatîf hemde absolut ortalama hata hesaplanmış olur. 55
56