PİEZOELEKTRİK YAMALARIN AKILLI BİR KİRİŞİN TİTREŞİM ÖZELLİKLERİNİN BULUNMASINDA ALGILAYICI OLARAK KULLANILMASI ABSTRACT



Benzer belgeler
PİEZOELEKTRİK YAMALARIN AKILLI BİR KİRİŞİN TİTREŞİM KONTROLÜNDE ALGILAYICI VE UYARICI OLARAK KULLANILMASI

AKILLI BİR PLAKANIN SERBEST VE ZORLANMIŞ TİTREŞİMLERİNİN KONTROLÜ

AKILLI BİR KİRİŞİN UZAMSAL SİSTEM MODELİNİN ELDE EDİLMESİ

ACTIVE VIBRATION CONTROL OF FIRST TWISTING MODE OF A SMART PLATE

(SPATIAL SYSTEM IDENTIFICATION OF A SMART BEAM)

AKILLI BİR KİRİŞİN TİTREŞİM KONTROLÜNDE UZAMSAL ve NOKTASAL DENETÇİLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

AKILLI BİR KİRİŞİN STATİK AERODİNAMİK YÜKLER ALTINDAKİ DAVRANIŞI

AKILLI BİR KİRİŞİN TİTREŞİMLERİNİN AKTİF DENETİMİ İÇİN PI λ D µ ve PID DENETÇİLERİN DEĞERLENDİRİLMESİ

Aktif Titreşim Kontrolü için Bir Yapının Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Modelinin Elde Edilmesi ve PID, PPF Kontrolcü Tasarımları

SMART STRUCTURES APPLICATIONS

HARAKETLİ YÜK PROBLEMİNİN DENEYSEL OLARAK İNCELENMESİ

Hava Aracının Üzerinden Titreşim Kaynaklı Enerji Hasatı Çalışmaları

Aktif Titreşim Kontrolü için Bir Yapının Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Modelinin Elde Edilmesi ve PID, PPF Kontrolcü Tasarımları

Volkan Nalbantoğlu. E-posta:

Hava Yapıları Üzerinden Farklı Tip Piezoelektrik Malzemeler Kullanılarak Enerji Hasatı Çalışmaları

PİEZOELEKTRİK KUMANDA ELEMANI VE ALGILAYICI İÇEREN ESNEK BİR KİRİŞİN AKTİF TİTREŞİM KONTROLÜNÜN SİMÜLASYONU

LAZER SENSÖRLERLE BİR ROBOTUN DOĞAL FREKANSLARININ VE STATİK ÇÖKMELERİNİN ÖLÇÜMÜ

Musa DEMİRCİ. KTO Karatay Üniversitesi. Konya

Farklı Karakteristikli Piezoelektrik Algılayıcıların Dinamik Performanslarının Karşılaştırılması

SANDVİÇ KOMPOZİT PLAKA ÜZERİNDE AKTİF TİTREŞİM KONTROLÜ AMACIYLA KULLANILACAK PİEZOELEKTRİK YAMALARIN YERLERİNİN BELİRLENMESİ

KARA/DENİZ/HAVA-UZAY PLATFORMLARINDAKİ KARMAŞIK SINIR KOŞULLU YAPILAR İÇİN AKTİF TİTREŞİM KONTROL SİSTEMİNİN TASARIMI VE ENİYİLEŞTİRİLMESİ

PİEZOELEKTRİK MALZEMELER YARDIMIYLA ENERJİ HASATI

TESTBOX Serisi Cihazlar ile Tarihi Bir Yapıda Kablosuz Yapısal Sağlık Takibi

Yapı Sağlığı İzleme Sistemlerinin Farklı Taşıyıcı Sistemli Uzun Açıklıklı Tarihi Köprülere Uygulanması

AKILLI YAPILAR YARDIMIYLA AKTİF TİTREŞİM KONTROLÜ. Tarkan Çalışkan Havacılık Mühendisliği Bölümü, ODTÜ, 06531, Ankara

BİLGİSAYAR DESTEKLİ TASARIM HAFTA 9 COSMOSWORKS İLE ANALİZ

Ankastre Bir Kirişin Aktif Titreşim Kontrolü

Titreşim Deney Düzeneği

AKILLI BİR PLAKANIN TİTREŞİMLERİNİN SÖNÜMLENMESİNDE BAĞIMSIZ ÇALIŞAN PİEZOELEKTRİK YAMALARIN ETKİSİ

KOMPOZĐT VE SANDVĐÇ KĐRĐŞLERDEKĐ HASAR ŞĐDDETĐNĐN TĐTREŞĐM BAZLI ANALĐZLER VE YAPAY SĐNĐR AĞLARI ĐLE TESPĐTĐ

Prof. Dr. Yavuz YAMAN, Prof. Dr. Serkan ÖZGEN, Doç. Dr. Melin ŞAHİN Y. Doç. Dr. Güçlü SEBER, Evren SAKARYA, Levent ÜNLÜSOY, E.

Ferroelektrik Mems Jiroskopun Sonlu Elemanlar Analizi İle Modellenmesi Ve Simulasyonu

Araştırma Geliştirme Ltd. Şti. - Firma Tanıtım Sunumu -

Optik Modülatörlerin Analizi ve Uygulamaları Analysis of the Optical Modulators and Applications

AKILLI YAPILARIN ZORLANMIŞ TİTREŞİMLERİNİN AKTİF KONTROLU

Şekil 1. DEÜ Test Asansörü kuyusu.

YAPI MEKANİĞİ LABORATUVARI

Ölçme Kontrol ve Otomasyon Sistemleri 10

DERİNER BETON KEMER BARAJI NIN DENEYSEL DİNAMİK ÖZELLİKLERİNİN BELİRLENMESİ

UZUN AÇIKLIKLI BETONARME KARAYOLU KÖPRÜLERİNİN DEPREM GÜVENLİKLERİNİN HASARSIZ DİNAMİK DENEYSEL YÖNTEMLERLE BELİRLENMESİ: BİRECİK KÖPRÜSÜ ÖRNEĞİ

Hazırlayan: Tugay ARSLAN

Optik Filtrelerde Performans Analizi Performance Analysis of the Optical Filters

Kiriş Benzeri Yapılarda Titreşim Temelli Analizler ve Yapay Sinir Ağları ile Hasar Tespiti

DEPREMLERİN KAYIT EDİLMESİ - SİSMOGRAFLAR -

AKILLI MALZEMELER ve HAVACILIK

Lazer Tabanlı Dijital Ölçüm Sistemi ile Piezoelektrik Eyleyicilerin Rezonans ve Anti-Rezonans Frekanslarının Belirlenmesi

Taş, Yaman ve Kayran. Altan KAYRAN. ÖZET

DENEYSEL MODAL ANALİZ YÖNTEMİ İLE DÜZLEM ÇERÇEVELERİN DİNAMİK KARAKTERİSTİKLERİNİN BELİRLENMESİ

DOKUZ KATLI TÜNEL KALIP BİNA SONLU ELEMAN MODELİNİN ZORLAMALI TİTREŞİM TEST VERİLERİ İLE GÜNCELLENMESİ

Antakya da Güçlendirme Uygulaması Yapılan Okul Binalarında Uygulanan Titreşim Testleri ve Beklenen Sonuçlar

Optik Kuvvetlendiriciler ve Uygulamaları Optical Amplifiers and Applications

GERÇEK ZAMANLI YAPI SAĞLIĞI İZLEME SİSTEMLERİ

Algılayıcılar (Duyucular) - sensors

Manyetostatik algılayıcılar Manyetostatik algılayıcılar DC manyetik alan ölçüm prensibine göre çalışırlar. Bu tip algılayıcılar Manyetik endüktif

ENDÜSTRİYEL BİR TESİSTE ÇELİK BACA DAVRANIŞININ DENEYSEL VE TEORİK YÖNTEMLERLE BELİRLENMESİ

BÜYÜK ORANDA ŞEKİL DEĞİŞTİREBİLEN KANAT YÜZEYLERİNİN AERODİNAMİK YÜKLER ALTINDAKİ DAVRANIŞLARI

EGE ÜNİVERSİTESİ EGE MYO MEKATRONİK PROGRAMI

KÖPRÜ SARSMA DENEYLERİYLE ARAÇLARIN KÖPRÜ DEPREM DAVRANIŞI ÜZERİNDEKİ ETKİSİNİN İNCELENMESİ

DÖNEN MAKİNELERDE OLUŞAN ARIZALAR VE TİTREŞİM İLİŞKİSİ

BÖLÜM 4 TEK SERBESTLİK DERECELİ SİSTEMLERİN HARMONİK OLARAK ZORLANMIŞ TİTREŞİMİ

Zorlamalı Titreşim ş Testleri

UÇAK MÜHENDİSLİĞİ MÜFREDATI

Y Analog - Dijital Haberleşme Eğitim Seti Analog - Digital Communication Training Set

Elektromanyetik Radyasyon (Enerji) Nedir?

UZAYSAL VE DOLU GÖVDELİ AŞIKLARIN ÇELİK ÇATI AĞIRLIĞINA ETKİSİNİN İNCELENMESİ

AKILLI YAPILARIN. Fatma Demet Ülker (d), Eswar Prasad (e),

ÇEVRESEL TİTREŞİM VERİLERİ KULLANILARAK KEMER BARAJLARIN HASAR DEĞERLENDİRMESİ

GENİŞBAND SİSMOMETRELER NEDEN CLİP OLURLAR? Elektronik ve Hab. Yük. Müh. Kandilli Rasathanesi ve Deprem Arş. Ens. Boğaziçi Üniversitesi, İstanbul

ULUDAĞ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ OTOMOTİV MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

Bir Otomatik Taşıma Sisteminin Eniyilenmesi Çalışması

Algılayıcılar (Duyucular) - sensors

Lazer Sistemleri.

KST Lab. Shake Table Deney Föyü

ODTÜ'DE YAPILAN İNSANSIZ HAVA ARACI ÇALIŞMALARI

GÜÇLENDİRİLMİŞ TUĞLA DUVAR DENEYLERİNDE YÜK DEFORMASYON ÖLÇÜMLERİNİN POTANSİYOMETRİK DEPLASMAN SENSÖRLER İLE BELİRLENMESİ

DOKUZ EYLUL UNIVERSITY FACULTY OF ENGINEERING OFFICE OF THE DEAN COURSE / MODULE / BLOCK DETAILS ACADEMIC YEAR / SEMESTER. Course Code: MMM 4027

Lazer Sistemleri.

roketsan SAVUNMA SANAYİİNDE FİZİK MÜHENDİSLİĞİ VE EĞİTİMİNDEN BEKLENTİLER Roketsan Roket Sanayii ve Ticaret A.Ş.

Düzlem Çelik Çerçeve Sistemlerin Operasyonel Modal Analizi

GEAsystem. İnşaat mühendisliğinde vibrasyon ölçümleri için etkin çözümler. w w w. s e q u o i a. i t

ELASTİK DALGA YAYINIMI

İTME ANALİZİ KULLANILARAK YÜKSEK RİSKLİ DEPREM BÖLGESİNDEKİ BİR PREFABRİK YAPININ SİSMİK KAPASİTESİNİN İNCELENMESİ

UÇAK GÖVDE PANELLERİNDE AKUSTİK YÜKLEME ALTINDA OLUŞAN GERİLMELERİN İSTATİSTİKSEL ENERJİ ANALİZİ İLE İNCELENMESİ

Temel Kavramlar ve Hesap Yöntemleri. Döşeme Sistemlerinde Titreşim Ve Kullanım Durumlarına Göre Tasarım. Neden döşeme titreşimleriyle ilgileniyoruz?

SARSMA TABLASINA YERLEŞTİRİLMİŞ 3 KATLI HASARLI VE HASARSIZ ÇELİK YAPI MODELİNİN DİNAMİK KARAKTERİSTİKLERİNİN BELİRLENMESİ

ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ

KONVANSİYONEL VE KONVANSİYONEL OLMAYAN KONTROL YÜZEYİNE SAHİP İNSANSIZ HAVA ARACI KANATLARININ AĞIRLIKLARININ İNCELENMESİ

İzolasyon Yalıtım Direnç Ölçer Marka/Model METREL/ 3201

Ders Adı : Sensörler ve Transdüserler Ders No : Teorik : 2 Pratik : 0 Kredi : 2 ECTS : 2. Ders Bilgileri. Ön Koşul Dersleri.

DÖNER KİRİŞ BENZERİ HAVACILIK YAPILARININ YAPISAL TESTİ İÇİN EYLEYİCİ YÜKÜ HESAPLAMA ALGORİTMASI VE ÇOK EKSENLİ TEST İLE DOĞRULANMASI

Online teknik sayfa SEM70-HN025AK22 SES/SEM70 MOTOR FEEDBACK SISTEMLERI ROTATIF HIPERFACE

1,3-bis-(p-iminobenzoik asit)indan Langmuir-Blodgett filmlerinin karakterizasyonu ve organik buhar duyarlılığı

AKTĐF KÜTLE SÖNÜMLEYĐCĐLĐ ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ BĐR YAPININ DEPREME KARŞI LQR KONTROLÜ

SIZDIRMAZLIK ELEMANLARININ MONTAJI VE YÜKSEK BASINÇ ALTINDAKİ DAVRANIŞLARININ İNCELENMESİ

Ölçme Kontrol ve Otomasyon Sistemleri 2

GÖREVE UYUMLU KANAT TASARIM VE GELĐŞTĐRME ÇALIŞMALARI

5. (10 Puan) Op-Amp devresine aşağıda gösterildiği gibi bir SİNÜS dalga formu uygulanmıştır. Op-Amp devresinin çıkış sinyal formunu çiziniz.

AKTİF KAYNAKLI YÜZEY DALGASI (MASW) YÖNTEMINDE FARKLI DOĞRUSAL DIZILIMLERIN SPEKTRAL ÇÖZÜNÜRLÜLÜĞÜ

MESAFE VE KONUM ALGILAYICILARI

Transkript:

PİEZOELEKTRİK YAMALARIN AKILLI BİR KİRİŞİN TİTREŞİM ÖZELLİKLERİNİN BULUNMASINDA ALGILAYICI OLARAK KULLANILMASI Uğur Arıdoğan (a), Melin Şahin (b), Volkan Nalbantoğlu (c), Yavuz Yaman (d) (a) HAVELSAN A.Ş., Ankara, maridogan@havelsan.com.tr (b) Havacılık ve Uzay Müh. Böl. ODTÜ, Ankara, msahin@metu.edu.tr (c) MGEO, ASELSAN A.Ş., Ankara, vnalbant@mgeo.aselsan.com.tr (d) Havacılık ve Uzay Müh. Böl. ODTÜ, Ankara, yyaman@metu.edu.tr ABSTRACT In this study, vibration characteristics of a smart beam are investigated by using piezoelectric patches as sensors. Smart beam is excited by either impact hammer or piezoelectric patch and the frequency response of the system to these excitations are obtained from a piezoelectric patch used as sensor. The effect of the location of the piezoelectric sensor on frequency response of the system is also presented by choosing different piezoelectric patches along the smart beam. In order to investigate the performance of the piezoelectric patch in sensing, all results are then compared to those obtained from theory, single-axis accelerometer and laser displacement sensor. ÖZET Bu çalışmada, akıllı bir kirişin titreşim özelliklerinin piezoelektrik yamaların algılayıcı olarak kullanılmasıyla elde edilmesi incelenmiştir. Akıllı kiriş, darbe çekici veya piezoelektrik yama ile uyarılmış ve sistemin frekans cevapları algılayıcı olarak kullanılan piezoelektrik yama yardımıyla elde edilmiştir. Piezoelektrik algılayıcıların yerinin sistemin frekans cevapları üzerindeki etkisi ise akıllı kiriş üzerinde farklı piezoelektrik yama seçimi ile incelenmiştir. Sonuçlar piezoelektrik yamanın algılayıcı performansını test etmek amacıyla teorik, tek eksenli bir ivmeölçer ve lazer yardımıyla yer değiştirme ölçüm cihazından elde edilen veriler ile de karşılaştırılmıştır.

1. GİRİŞ Akıllı kiriş olarak tanımlanmış yapı (Şekil 1), 8 adet 25.5mm boyutlarında Sensortech- BM5 tipi PZT (Lead-Zirconate-Titanate) yamanın (Şekil 2) 49 51 2mm boyutlarındaki bir alüminyum kirişin üzerine dörder adet ve simetrik olarak yapıştırılmasıyla oluşturulmuştur. Piezoelektrik yamalar ayrıca bulundukları yüzeylere (A ve B, arkalı önlü) ve konumlarına göre (1, 2, 3 ve 4) olarak da adlandırılmıştır (Şekil 3). Şekil 1. Akıllı Kiriş Şekil 2. BM5 Tipi Piezoelektrik malzemeler elektriksel alana maruz bırakıldığında boyutlarında değişiklik meydana gelmekte ve bu elektromekanik etki piezoelektrik malzemelerin uyarıcı olarak kullanılmasını sağlamaktadır. Piezoelektrik yamalar boyutsal şekil değişikliklerine zorlandıklarında elektrik sinyali de üretirler. Piezoelektrik yamaların mekanoelektrik etkileri bu malzemelerin algılayıcı olarak da kullanılmasına olanak vermektedir [1]. Orta Doğu Teknik Üniversitesi Havacılık ve Uzay Mühendisliği Bölümünde yapılan daha önceki çalışmalarda piezoelektrik yamalar uyarıcı, uzama ölçerler ve lazer yardımıyla yer değiştirme ölçüm cihazı da algılayıcı olarak kullanılmıştır. Adı geçen bu çalışmalarda ayrıca, tasarlanmış farklı kontrolcüler kullanılarak kiriş benzeri yapıların serbest ve zorlanmış titreşimlerinin aktif olarak sönümlenmesi de incelenmiştir [2,3]. 2. AKILLI KİRİŞİN FREKANS CEVABININ ELDE EDİLMESİ Bu çalışmanın ilk bölümünde akıllı kiriş, Brüel & Kjær 86 Darbe Çekici veya piezoelektrik yama kullanılarak uyarılmış ve sistemin frekans cevapları piezoelektrik yama yardımıyla elde edilmiştir. Sonuçlar piezoelektrik yamanın algılayıcı performansını test etmek amacıyla teorik [4], tek eksenli bir ivmeölçer (Brüel & Kjær 458B modeli) ve lazer yardımıyla yer değiştirme ölçüm cihazından (Keyence LB-31) elde edilen veriler ile karşılaştırılmıştır. Şekil 3. Akıllı Kirişin A Yüzeyinin Görünümü

2.1 Darbe Çekicinin Uyarıcı Olarak Kullanılması Yapı öncelikle, Şekil 3 te gösterilmiş olan noktadan darbe çekici kullanılarak uyarılmış, kirişin serbest olan ucuna yerleştirilmiş tek eksenli bir ivmeölçer yardımıyla ivme ölçümleri yapılmış ve Brüel & Kjær 356-5 PULSE platformu kullanılarak sistemin frekans cevapları elde edilmiştir. Daha sonra sistem aynı noktadan tekrar uyarılmış, lazer yardımıyla yer değiştirme ölçüm cihazı kullanılarak serbest ucun yer değiştirme ölçümleri yapılmış ve sistemin frekans cevapları elde edilmiştir. Son olarak darbe çekici testlerinde sistemin frekans cevabı, 1B ve 4A olarak tanımlanmış iki piezoelektrik yamanın algılayıcı olarak kullanılmasıyla elde edilmiştir. Darbe çekici kullanılarak elde edilen bütün frekans cevapları Şekil 4 te gösterilmiştir. (a) 6 4 - (b) (c) (d) 4 - -4 4 - -4 4 - -4 Şekil 4. Darbe Çekici Kullanılan Testlerden Elde Edilen Frekans Cevapları Algılayıcı: (a) B&K 458B İvmeölçer (b) Keyence LB-31 Lazer Yardımıyla Yer Değişimi Ölçüm Cihazı (c) Piezoelektrik Yama 1B (d) Piezoelektrik Yama 4A 2.2 Piezoelektrik Yamanın Uyarıcı Olarak Kullanılması Çalışmanın bu bölümünde akıllı kiriş, Şekil 3 te 1A olarak tanımlanmış ve uyarıcı olarak kullanılan piezoelektrik yama yardımıyla 2 Hz-152 Hz frekans aralığında ve sinüs dalgasıyla uyarılmıştır. Sistemin frekans cevapları yine ivmeölçer, lazer yardımıyla yer değiştirme ölçüm cihazı, 1B ve 4A olarak tanımlanmış iki ayrı piezoelektrik yamanın algılayıcı olarak kullanılmasıyla elde edilmiştir. Elde edilen frekans cevapları Şekil 5 te ve farklı piezoelektrik yama seçiminin sistemin frekans cevapları üzerindeki etkisi ise Şekil 6 da gösterilmiştir.

(a) (b) (c) (d) 6 4 - - -4-6 -8 22 18 16 - Şekil 5. Piezoelektrik Uyarıcı Kullanılan Testlerden Elde Edilen Frekans Cevapları Algılayıcı: (a) B&K 458B İvmeölçer (b) Keyence LB-31 Lazer Yardımıyla Yer Değişimi Ölçüm Cihazı (c) Piezoelektrik Yama 1B (d) Piezoelektrik Yama 4A 25 15 1 5-5 -1-15 - -25 PZT 1B PZT 4A -3 Şekil 6. Piezoelektrik Uyarıcı Kullanılan Testlerden Elde Edilen Frekans Cevapları Piezoelektrik Yama 1B ve 4A Karşılaştırması

3. SONUÇLAR Sistemin farklı algılayıcılar yardımıyla elde edilen frekans cevapları karşılaştırıldığında (Tablo 1 ve Tablo 2), ivmeölçerin kullanıldığı durumda bu algılayıcının ağırlığı sebebiyle sistemin rezonans frekanslarının teorik verilere göre daha düşük elde edildiği gözlenmiştir. Lazer yardımıyla yer değiştirme ölçüm cihazı ve piezoelektrik yamanın algılayıcı olarak kullanılması sonucunda elde edilen frekans cevaplarından bulunan rezonans frekanslarının aynı boyutlara sahip pasif kiriş için hesaplanmış teorik verilere, ivmeölçerden elde edilenlere göre daha yakın olduğu ortaya çıkmıştır. Son olarak, iki ayrı piezoelektrik algılayıcı yamanın (1B ve 4A), uyarıcı yamaya (1A) göre konumunun frekans cevabı üzerindeki etkisi incelenmiştir. Uyarıcının tam arkasında yer alan 1B algılayıcısından elde edilen frekans cevabı uyarıcının alt kısmında ve aynı yüzeyde yer alan 4A algılayıcısından elde edilen frekans cevabına göre rezonans frekanslarındaki genlik değerlerinde sıfır-kutup konumlarının iç içe geçmesi sebebiyle azalma göstermiştir. Tablo 1. Akıllı Kirişin Rezonans Frekans Karşılaştırması - Darbe Çekici ile uyarım Rezonans Frekanslar [Hz] Teori İvmeölçer Lazer Yardımıyla Yer Değişimi Ölçüm Cihazı 1B 4A 1. Biçim Şekli 6.79 6.5 6.75 6.75 6.75 2. Biçim Şekli 42.55 37. 39.5 39.5 39.5 3. Biçim Şekli 119.23 99.5 15. 15.5 15.5 Tablo 2. Akıllı Kirişin Rezonans Frekans Karşılaştırması - Piezoelektrik yama ile uyarım Rezonans Frekanslar [Hz] Teori İvmeölçer Lazer Yardımıyla Yer Değişimi Ölçüm Cihazı 1B 4A 1. Biçim Şekli 6.79 6.25 6.75 6.5 6.75 2. Biçim Şekli 42.55 36.75 39.5 39.25 39.5 3. Biçim Şekli 119.23 99. 15. 15.3 15.5 4. KAYNAKLAR [1] Yang, J., An Introduction to the Theory of Piezoelectricity. Vol. 9, New York: Springer, 5. [2] Şahin, M., Karadal, F. M., Yaman, Y., Kırcalı, O.F., Nalbantoğlu, V., Ulker, D.F., and Çalışkan, T., Smart Structures and Their Applications on Active Vibration Control: Studies in the Department of Aerospace Engineering, METU, Journal of Electroceramics, (3-4): p. 167-174, 8. [3] Kırcalı, O.F., Yaman, Y., Nalbantoğlu, V., Şahin, M., Karadal, F. M., and Ülker, F. D., Spatial Control of a Smart Beam, Journal of Electroceramics, (3-4): p. 175-185, 8. [4] Blevins, R. D., Formulas for Natural Frequency and Mode Shape, Litton Educational Publishing, Inc., 1979.