İTÜ LİSANSÜSTÜ DERS KATALOG FORMU (GRADUATE COURSE CATALOGUE FORM) Dersin Adı Diferansiyel Geometri II Kodu Yarıyılı (Code) (Semester) MAT 610E Bahar/Güz Fall/Spring Enstitü/ABD/Program (Institute/ Department/Program) Dersin Türü (Course Type) Course Name Differential Geometry II Kredisi AKTS Kredisi Ders Türü (Local Credits) (ECTS Credits) (Course Type) 3.0 7.5 Doktora/Ph.D. Matematik Mühendisliği (Mathematics Engineering) Seçmeli (Elective) Dersin Dili (Course Language) Türkçe/İngilizce (Turkish/English) Dersin İçeriği (Course Description) Dersin Amacı (Course Objectives) Dersin Öğrenme Çıktıları (Course Learning Outcomes) Tensör alanları, dış türev, diferansiyel formlar ve Lie türevi. Konneksiyonlar. Riemann metriği, Riemann manifoldu, kovaryant türev, paralel kayma, jeodezikler, üstel fonksiyon, normal koordinatlar. Eğrilik tensörleri, kesitsel eğrilik, Ricci eğriliği ve skaler eğrilik. Uzay formları. Riemann metriğinin konform değişimi. Riemann alt manifoldları, indirgenmiş konneksiyon, ikinci esas form. Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri. Cartan yapı denklemleri. Tensor fields, exterior derivative, differential forms and Lie derivative. Connections. Riemannian metric, Riemannian manifold, covariant derivative, parallel translation, geodesics and normal coordinates. Curvature tensors, sectional curvature, Ricci curvature and scalar curvature. Space forms. Conformal changes of Riemannian metric. Riemannian submanifolds, induced connection, second fundamental form. Equations of Gauss, Codazzi and Ricci. Cartan structure equations. 1. Tensör alanları, dış türev ve diferansiyel formları hatırlamak; Lie türevi, konneksiyonları, Riemann metriği ve Riemann manifoldunu tanıtmak; 2. Kovaryant türev, paralel kayma, jeodezikler, üstel fonksiyonlar ve normal koordinatları ve özelliklerini incelemek; 3. Eğrilik tensörleri, kesitsel eğrilik, Ricci eğriliği ve skaler eğriliği tanıtmak, özelliklerini incelemek ve uzay formlarına uygulamak; 4. Riemann metriğinin konform değişimini incelemek; 5. Riemann alt manifoldları, indirgenmiş konneksiyon ve ikinci esas formu tanıtmak; Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri ve Cartan yapı denklemleri elde etmek. 1. To recall tensor fields, exterior derivative, differential forms and to introduce Lie derivative, connections, Riemannian metric and Riemannian manifold; 2. To examine covariant derivative, parallel translation, geodesics and normal coordinates and their properties; 3. To teach curvature tensors, sectional curvature, Ricci curvature and scalar curvature and to apply them to space forms; 4. To investigate conformal changes of Riemannian metric; 5. To introduce Riemannian submanifolds, induced connection and second fundamental form, and to obtain equations of Gauss, Codazzi and Ricci and Cartan structure equations. Bu dersi başarıyla tamamlayan doktora öğrencileri aşağıdaki konularda bilgi, beceri ve yetkinlik kazanırlar; I. Tensör alanları, dış türev, diferansiyel formlar ve Lie türevi; II. Konneksiyonlar. Riemann metriği, Riemann manifoldu; III. Kovaryant türev, paralel kayma, jeodezikler, üstel fonksiyon, normal koordinatlar; IV. Eğrilik tensörleri, kesitsel eğrilik, Ricci eğriliği ve skaler eğrilik, uzay formları; V. Riemann metriğinin konform değişimi; VI. Riemann alt manifoldları, indirgenmiş konneksiyon, ikinci esas form. Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri; VII. Cartan yapı denklemleri. Ph.D. students who successfully pass this course gain knowledge, skills and competency in the following subjects; I. Tensor fields, exterior derivative, differential forms and Lie derivative; II. Connections, Riemannian metric, Riemannian manifold; III. Covariant derivative, parallel translation, geodesics and normal coordinates; IV. Curvature tensors, sectional curvature, Ricci curvature and scalar curvature, space forms; V. Conformal changes of Riemannian metric; VI. Riemannian submanifolds, induced connection, second fundamental form; Equations of Gauss, Codazzi and Ricci; VII. Cartan structure equations.
Kaynaklar (References) 1. Boothby, W.M. (1975). An Introduction to Differential Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press Inc.. 2. Hicks, N. J. (1971). Notes on Differentail Geometry, Van Nostrand Reinhold Company. 3. do Carmo, M.P. (1990). Riemannian Geometry, Birkehauser, 4. Kobayashi, S. ve Nomizu, K. (1963). Foundation of Differential Geometry I, Interscience Publishers. 5. Chen, BY,( 1973). Geometry of Submanifolds, M. Decker. Ödevler ve Projeler (Homework & Projects) Laboratuar Uygulamaları Öğrencilerin dersi daha iyi öğrenmelerine yardım etmesi amacıyla dönem boyunca 5 adet haftalık ödev verilecek ve bunlar bir hafta sonra toplanacaktır. To help students learning and comprehending the course material better, 5 homeworks will be given, and all homeworks are to be handed in a week after they are assigned. (Laboratory Work) Bilgisayar Kullanımı (Computer Use) Diğer Uygulamalar Kısa Sınavlar (Other Activities) Quizzes Başarı Değerlendirme Sistemi Faaliyetler (Activities) Adedi* (Quantity) Değerlendirmedeki Katkısı, % (Effects on Grading, %) (Assessment Criteria) Yıl İçi Sınavları (Midterm Exams) Kısa Sınavlar (Quizzes) Ödevler (Homework) Projeler (Projects) Dönem Ödevi/Projesi (Term Paper/Project) Laboratuar Uygulaması (Laboratory Work) Diğer Uygulamalar (Other Activities) Final Sınavı (Final Exam) *Yukarıda Belirtilen Sayılar Minimum Olup Yerine Getirilmesi Zorunludur 2 50 5 0 1 50
Hafta DERS PLANI Konular Dersin Çıktıları 1 Tensor alanları ve Lie türevleri I 2 Diferansiyel formlar ve dış türev I 3 Konneksiyon, Riemann manifoldları II 4 Kovaryant türev, paralel kayma ve jeodezikler III 5 Üstel fonksiyon ve normal koordinatlar III 6 Eğrilik tensörü ve kesitsel eğrilik IV 7 Ricci eğriliği, skaler eğrilik ve uzay formları IV 8 Riemann metriğinin konform değişimi V 9 Riemann alt manifoldları, indirgenmiş konneksiyon ve ikinci esas form VI 10 Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri VI 11 Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri VI 12 Gauss, Codazzi ve Ricci denklemleri. Cartan yapı denklemleri VIVII 13 Cartan yapı denklemleri VII 14 Cartan yapı denklemleri VII COURSE PLAN Weeks Topics Course Outcomes 1 Tensor fields and Lie derivative I 2 Differential forms and exterior derivative I 3 Connections, Riemannian metric, Riemannian manifold II 4 Covariant derivative, parallel translation and geodesics III 5 The exponential function and normal coordinates III 6 Curvature tensors, sectional curvature IV 7 Ricci curvature and scalar curvature. Space forms. IV 8 Conformal changes of Riemannian metric V 9 Riemannian submanifolds, induced connection, second fundamental form. VI 10 Equations of Gauss, Codazzi and Ricci. VI 11 Equations of Gauss, Codazzi and Ricci. VI 12 Equations of Gauss, Codazzi and Ricci. Cartan Structure equations VIVII 13 Cartan Structure equations VII 14 Cartan Structure equations VII
Dersin Matematik Mühendisliği Doktora Programıyla İlişkisi İTÜ Matematik Mühendisliği ABD Doktora Programı Çıktıları i. Yüksek lisans yeterliliklerine dayalı olarak, alanındaki güncel ve ileri düzeydeki bilgileri özgün düşünce ve/veya araştırma ile uzmanlık düzeyinde geliştirebilme, derinleştirebilme ve alanına yenilik getirecek özgün tanımlara ulaşabilme (bilgi). ii. Alanının ilişkili olduğu disiplinlerarası etkileşimi kavrayabilme; yeni ve karmaşık fikirleri analiz, sentez ve değerlendirmede uzmanlık gerektiren bilgileri kullanarak özgün sonuçlara ulaşabilme (bilgi). Katkı Seviyesi 1 2 3 iii. Alanındaki yeni bilgileri sistematik bir yaklaşımla değerlendirebilme ve kullanabilme (beceri). iv. Alanına yenilik getiren, yeni bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulama geliştirebilme ya da bilinen bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulamayı farklı bir alana uygulayabilme, özgün bir konuyu araştırabilme, kavrayabilme tasarlayabilme, uyarlayabilme ve uygulayabilme (beceri). v. Yeni ve karmaşık düşüncelerin eleştirel analizini, sentezini ve değerlendirmesini yapabilme (beceri) vi. vii. Alanı ile ilgili çalışmalarda araştırma yöntemlerini kullanabilmede üst düzey beceriler kazanmış olma (beceri). Alanına yenilik getiren, yeni bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulama geliştiren ya da bilinen bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulamayı farklı bir alana uygulayan özgün bir çalışmayı bağımsız olarak gerçekleştirerek alanındaki ilerlemeye katkıda bulunabilme (Bağımsız Çalışabilme ve Sorumluluk Alabilme Yetkinliği). viii. ix. Alanı ile ilgili en az birer adet bilimsel makaleyi ulusal ve uluslararası hakemli dergilerde yayınlayarak veya özgün bir yapıt üreterek ya da yorumlayarak alanındaki bilginin sınırlarını genişletebilme (Bağımsız Çalışabilme ve Sorumluluk Alabilme Yetkinliği). Özgün ve disiplinlerarası sorunların çözümlenmesini gerektiren ortamlarda liderlik yapabilme (Bağımsız Çalış. ve Sorum. Alabilme Yet.). x. Yaratıcı ve eleştirel düşünme, sorun çözme ve karar verme gibi üst düzey zihinsel süreçlerkullanarak alanı ile ilgili yeni düşünce ve yöntemler geliştirebilme (Öğrenme Yetkinliği). xi. xii. xiii. xiv. xv. xvi. Sosyal ilişkileri ve bu ilişkileri yönlendiren normları eleştirel bir bakış açısıyla inceleyebilme, geliştirebilme ve gerektiğinde değiştirmeye yönelik eylemleri yönetebilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). Uluslararası platformlarda, uzman kişiler ile alanındaki konuların tartışılmasında özgün görüşlerini savunabilme ve alanındaki yetkinliğini gösteren etkili bir iletişim kurabilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). Bir yabancı dili en az Avrupa Dil Portföyü C1 Genel Düzeyi nde kullanarak ileri düzeyde yazılı, sözlü ve görsel iletişim kurabilme ve tartışabilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). Alanındaki bilimsel, teknolojik sosyal veya kültürel ilerlemeleri tanıtarak, yaşadığı toplumun bilgi toplumu olma ve bunu sürdürebilme sürecine katkıda bulunabilme (Alana Özgü Yetkinlik). Alanı ile ilgili karşılaşılan sorunların çözümünde stratejik karar verme süreçlerini kullanarak işlevsel etkileşim kurabilme (Alana Özgü Yetkinlik). Alanı ile ilgili konularda karşılaşılan toplumsal, bilimsel, kültürel ve etik sorunların çözümüne katkıda bulunabilme ve bu değerlerin gelişimini destekleyebilme (Alana Özgü Yetkinlik). 1: Az, 2. Kısmi, 3. Tam
Relationship between the Course and Mathematics Engineering Ph. D. Curriculum 1: Little, 2. Partial, 3. Full Program Outcomes i. Developing and intensifying the current and highlevel knowledge in the area with the use of original thinking and/or research processes and in a specialistic level, based upon the competency in M.S. level (knowledge). ii. Grasping the interdisciplinary interaction related to one s area; reaching original results by using the specialistic knowledge in analyzing, synthesizing and evaluating new and complex ideas (knowledge). Level of Contribution 1 2 3 iii. The ability to evaluate and use new information in the area with a systematical approach (skill). iv. Developing a new idea, method, design and/or application which brings about innovation in the area; or, applying a conventional idea, method, design and/or application to a different environment; researching, grasping, designing and applying an original subject (skill). v. The ability to critically analyze, synthesize and evaluate the new and complex ideas (skill). vi. Acquiring the most developed skills about using the research methods in studies in the related area (skill). vii. Contributing to the progress in the area by independently carrying out a study which uses a new idea, method, design and/or application which brings about innovation in the area; or, applying a conventional idea, method, design and/or application to a different environment (Competence to work independently and take responsibility). viii. Expanding the limits of knowledge in the area by publishing at least one scientific article in an international peer reviewed journal and/or creating or interpreting an original work (Competence to work independently and take responsibility). ix. Fulfilling the leader role in the environments where solutions are sought for the original and interdisciplinary problems (Competence to work independently and take responsibility). x. Developing arearelated new ideas and methods by making use of high level intellectual processes such as creative and critical thinking, problem solving and decision making (Learning Competence). xi. xii. xiii. xiv. xv. xvi. Ability to see and develop social relationships and the norms directing these relationships with a critical look and the ability to direct the actions to change these when necessary. (Communication and Social Competency). The ability to establish effective communication with experts in the international environments to discuss the arearelated subjects and to defend original opinions, showing one s competency in the area (Communication and Social Competency). Proficiency in a foreign language at least European Language Portfolio C1 Level and establishing written, oral and visual communication and developing argumentation skills with that language (Communication and Social Competency). Contributing to the society s state and progress towards being an information society by announcing and promoting the technological, scientific and social developments in one s area (Area Specific Competency). Ability to establish effective communication in the solving of the problems faced in the area, by using the strategic decision making processes (Area Specific Competency). Contributing to the solution of arearelated social, scientific, cultural and ethical problems and promoting the development of these values (Area Specific Competency). Düzenleyen (Prepared by) Prof.Dr. Uğur Dursun Doç.Dr. Elif Canfes Tarih (Date) 11/10/2011 İmza (Signature)