T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELMHOLTZ DENKLEMİNİN ROLATE KÜRESEL KOORDİNAT SİSTEMİNDE AYRIŞTIRILMASI VE UYGULAMALARI ıa NAYİR Yüksk Lisas Ti Daışa: Y. Doç. D. Cgi DANE

T.C. TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HELMHOLTZ DENKLEMİNİN ROLATE KÜRESEL KOORDİNAT SİSTEMİNDE AYRIŞTIRILMASI VE UYGULAMALARI INAR NAYİR YÜKSEK LİSANS TEZİ UYGULAMALI MATEMATİK ANABİLİM DALI DANIŞMAN YRD. DOÇ. DR. CENGİZ DANE 7

i ÖZET Kısi Tüvi Difasiy Dk Uyguaaı Matatiği bi aı oup bu ki T Bii v Müisiği aıa pk çok uyguaası vaı. Öği bi bi otaa aaa bağısı ısı ağııı aaa bağı ısı yayıası ğişik tiptki aga yayıaaı gibi fiiks oaya Kısi Difasiy Dk yaıı i ibikti. Fiiks bi oayı Kısi Tüvi Dk yaııya atatiks oaak ifa tk üküü. E i ki ğişik kooiat sisti çöüi yapıaktaı. Bu çaışaı I. Böüü Difasiy Dk igii g bigi viiş Kısi Difasiy Dk igii g kavaa v sııfaıa yapıaak Daga oisso Lapa v Difüyo Dki taıtııştı. II. Böü iptik bi Kısi Difasiy Dk oa Ska Daga Dkii oat Küs Kooiataa ayıştııası yapıış v çöü küsi i ö ği iişti. III. Böü oat Küs Kooiat Sisti Küt Difüyo Dkii çöüüü ası yapıaağı iiş v tasfii taıaya aaitik çöü viişti. IV. Böü Bss v Lg Foksiyoaıı t öiki i iğ ö foksiyoaa aaaıaki bağıtıa viişti. Aata Ki: Eiptik Skaa Dagaa Difüyo Dki oat.

ii SUMMARY atia Difftia Equatios a ba of appi Matatis av ay appiatios i basi si a vy ba of giig. Fo ap pysia vts su as ti ipt at iffusio i a tai viot ti pt at iffusio a ifft typs of wav iffusio a b ai by as of atia Difftia Equatios. It is possib to pst a pysia vt wit a atatia statt by t p of atia Difftia Equatios. Obtai quatios a sov i ifft ooiat systs. I tis stuy i at I ga ifoatios a giv at wit Difftia Equatios a by givig ga opts a assifiatios at wit atia Difftia Equatios Wav oisso Lapa a Diffusio Equatios a pst. I at II Saa Wav Equatio wi is a Eipti atia Difftia Equatio is spaat i oat Spoia Cooiats a t soutio st a igvaus a ai. I at III it is ai tat ow is to b sov Mass Diffusio Equatio i t oat Spoia Cooiat Syst a giv a aaytia soutio to sib t oistu taspot. I at IV basi poptis of t Bss a Lg Futios a ti atiosip btw t ot spia futios a giv. Ky Wos: Eiptia Saa Wavs Diffusio oat.

iii ÖNSÖZ T çaışa boyua tüü yaıaıı sigy v çaışaı otaya çıkasıa ği gç oa Y.Doç.D.Cgi DANE y tşkküii suaı. H yaıaı avi stkiy yaıa oa başta of.d. Hüya İŞCAN oak ü tü Matatik Böüü şükaaıı suaı. Ayıa başıa bi bi stky v aia yaıa oa svgii şi v ai içt tşkküii suaı.

4 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET SUMMARY. ÖNSÖZ i ii iii I. BÖLÜM. Giiş. G Bigi. II. BÖLÜM. Ska Daga Dkii oat Küs Kooiataa Ayıştııası. III. BÖLÜM. oat Küs Kooiat Sisti Küt Difüyo Dki.. 4 IV. BÖLÜM 4. Bss Foksiyoaı.. 4.. Bss Difasiy Dki V Bss Foksiyoaı... 4.. Bss Foksiyoaı İçi Rküas Bağıtıaı Tüv Foüi V Baı Gösti.. 8 4. Lg Foksiyoaı. 4 4.. Lg Difasiy Dki V Lg Foksiyoaı.. 4 4.. Lg Foksiyoaı İçi Rküas Bağıtıaı Ö İfa V Baı Gösti.. 5 TARTIŞMA. 6 KAYNAKLAR 6 ÖZGEÇMİŞ 6

I.BÖLÜM. GİRİŞ İsaoğu tai boyua oğa oayaıı v vi açıkaak içi büyük çaba saf tişti. Bi yaa uak gök isiii aktii öt yaa ato atı paçaıkaı aktii açıkaaya çaışışaı. Doğa sistii atatiks o kaakti isi sö kousu ouğua gik ifasiy k vya ifasiy k sistiy kaşıaşıı. Matatiks o yöti; g oaak bi gçk üya pobii atatik foü ifa isi yai bi atatiks oi kuuası otaya çıka atatiks pobi çöüü v aaii atatiks souçaı oijia gçk üya oayı açısıa youu şki öti. Bi oğa oayıı yapısı i kısi ifasiy k ouştuak uyguaaı atatiği güç kouaıa bii v ayı aaa aaii kasik bi aıı. Difasiy Dki Müisik Biii Sosya Bii kaa uaa giş bi uyguaa aaı vaı. Matatik o ifa i v ifasiy k öüştüü oayaı aaii bu oayaı tsi ifasiy k yaa k sistii çöüü oa foksiyoaı isi i yapıı. Eğ basit akti tsi ifasiy k ya a k sisti i kaşı kaşıyaysak bua gik i ki v g çöüü aaitik foksiyoaa ouşa bi uay biti. Aaitik çöüü buuası k aıa sisti taa biisi kti. Eğ oğa oayıı tsi ifasiy k vya k sisti oi is gik bu tip ki aaitik çöüi aı vya yoktu. Bu sisti çöüi üik yöt yakaşık oaak sapaı. Öği Ektoaytik ayasyo Sisooji Akustik gibi Fiik v Uyguaaı Bii kaşıaşıa ( k φ ( y

Hot Dki v ou uyguaası oaak kuuta işi kaşıaşıa Küt Difüyo Dki yaa Sıvı Difüyo Dki öii. Bu tü ki çöüii giş bi uyguaa aaı vaı. Güüü Uyguaaı Bii bu tü pobi çöüi yapıaktaı. Bu çaışaa Hot Dkii k > içi öüştüğü Ska Daga Dkii oat Küs Kooiataa ayıştıası yapıaak g çöü iişti. Ayıştıa souua otaya çıka Bss v Lg Difasiy Dki Lg Dki iiş v öğ sapaıştı. Ayıa uuu içi ök oaak Küt Difüyo Dki ik Lg v Bss ö foksiyoaı i igii bigi viişti.. GENEL BİLGİLER Bağısı ğişki bu ğişki foksiyoaıı v bu foksiyoaı tüvii iç bağıtıaa ifasiy k i. Tk bi ğişk bağı bi foksiyou bu bağısı ğişk gö tüvii iç bi k Bayağı Difasiy Dk iki yaa aa çok bağısı ğişk bağı bi foksiyou bu bağısı ğişk gö tüvii iç bi k Kısi Difasiy Dk i. Bi ifasiy k yüksk tüvi tbsi ifasiy ki Mtbsi kki yüksk tbi tüvi bis si ki Dsi i. Difasiy ki; g ö v tki oak ü üç tü çöüü basibii.. tb bi ifasiy ki g çöüü ta kyfi sabit vaı. G çöü sabit ö ğ vik ö çöü ii. Ba ifasiy ki sağaya aak g çöü iy bi vya bikaç çöü i kaşıaşıabii. Bu çöü tki çöü i. φ bağıı y bağısı ğişk oak ü bi Kısi Difasiy Dk g oaak

F ( y... φ φ... φ φ... φ (.. y yy şkii. bağısı v bi bağıı ğişk saip kısi tüvi ki g şki (... φ φ oak ü F (... φ... φ φ φ... φ (.. fouaı. Bi Kısi Difasiy Dkki bağıı ğişk v buaı kki tü kısi tüvi biii v ki bağıı ğişk i ou tüvi paati yaığııa katsayıa yaıa bağısı ğişki foksiyou ouyosa bu k Li Kısi Difasiy Dk i. İki bağısı ğişki biii tb bi i k ( y φ Q ( y φ y R ( y φ S ( y (.. biçii iki bağısı ğişki ikii tb bi i k A ( y φ B ( y φ C ( y φ D ( y φ E ( y φ F ( y φ G ( y y yy y (..4 şki ifa ii. Eğ bi Kısi Difasiy Dk o k buua yüksk tbi kısi tüv gö i is k Yaı Li Kısi Difasiy Dk i. Biii tb iki bağısı ğişki yaı i k ( yφ φ Q ( yφ φ R ( yφ y (..5 biçii ikii tb yaı i k

4 A ( y φ φ φ φ B ( y φ φ φ φ C ( y φ φ φ φ D ( y φ φ φ y y y y yy (..6 y şki göstii. Bi kısi tüvi k yaı i is v k göü yüksk tbi tüvi katsayıaı sa bağısı ğişki bi foksiyou is k Li Kısi Difasiy Dk i. İkii tb iki bağısı ğişki i k A ( y φ B ( y φ y C ( y yy φ D ( y φ φ φ (..7 y şkii. Bi ifasiy ki biiy katsayıa iç g çöüüü buak ba ytii. Baı uuaa is ifasiy ki bii koşuaı sağaya çöüii buuası gki. Bu koşua gik pobi yapısıa vaı vya oğua k biikt vii. Eğ koşua yaı bi oktaya ait ö koşua is başagıç koşuaı ğ iki vya aa faa oktayı kapsaya koşua is sıı koşuaı oaak aaııı. Başagıç koşuaıa bağı oaak çöü pob başagıç ğ pobi yaa Cauy pobi sıı koşuaıa bağı oaak çöü pob sıı ğ pobi sıı koşuaıı yaı sıa başagıç koşuaı a viis bu koşuaa gö vi pob başagıç sıı ğ pobi i. İkii tb Li Kısi Difasiy Dki üç t böü sııfaıabiii. Aφ Bφ y Cφ yy Dφ Eφ y Fφ (..8 kaaktistik kii so taafıı y ifasiyi isi bi kuaatik fo gibi üşüüsk Q ( y A ( y - B ( ( y C ( (..9

5 ii. Bu fou biiği gotik ği yaııya ikii tb kısi ifasiy ki sııfaa ayıak üküü. Li k içi; bii bi ( y oktasıa A B C sabit ğ aı. Q ( y osu. Bu uua vi ( y oktası i igii oaak Q kuaatik ki - y üi koiki bi. Yai - y üiki oktaya kaşıık - y üi bi koik ği buuu. Bu uua koiği isi Q ( y i katsayıaıa bağıı. Bua gö i B - 4AC > is kök v fakıı. Yai Q ki bi ipbo bi. ii B - 4AC is kök v ayıı. Yai Q ki bi paabo bi. iii B - 4AC < is kök kaaşık şik sayıaı. Yai Q ki bi ips bi. Böy (..8 Kısi Difasiy Dki i B - 4AC > is Hipboik ii B - 4AC is aaboik iii B - 4AC < is Eiptik oaak sııfaııı. Hot Dki ( y a v oijiki ği φ ki oiji buua v ka uuuğu

6 φ ( φ (.. oa küp içi taıı bi ska aa osu. Küpü içiki bi oktaa bu ska aaı otaaa ği a / a / / φ ( y φ ( y y (.. a a / a / a / a ifasi i vii. φ ( y ( oktası ivaıa kuvvt sisi açıı v sii yüksk tb tii ia ik buua açıı (.. kuaıısa a φ y ( y φ 4 φ ( φ( y φ( y y y vya (.. a φ ( y φ ( φ (.. 4 buuu. Bu ifa φ a (..4 4 ( y φ ( φ ( y vya ( φ 4 ( φ φ a (..5 foua yaıı. Çükü çok ğişki foksiyoa içi

7...... t y f t k y f R t y f t k y...... (..6... ( t t y y k şki aıa Tayo Toi y oktasıa y φ foksiyoua uyguaısa y φ φ φ y y φ φ y y φ φ φ... y y y y φ φ φ (..7 ifasi ii. (..7 Dğii (.. yi kouası i tk kuvvtt oa ifa sıfı v çift kuvvtt ifa 4 a a a a a a a y a φ φ ; (..8 4 a a a a a a y a y y y a φ φ ; (..9 4 a a a a a a a y a φ φ ; (..

8 şkii aı. (..8 (..9 (.. Kuaıı v yüksk tb tüv ia iis (.. (..5 ifasi buuu. (..5 İfasi ( y bi ( y oktasıaki φ ( y otaaa ği i ( φ ska aaıı φ başagıç ği aasıaki fakıı bu ska aaı başagıç oktasıaki apasyi i biğii ifa. (..5 İfasii sağ taafıa buua φφ fakıı şki gö uyguaaı bii çok kuaıa kısi tüvi k ii. Buaa başıaaı ; - Eğ ( y φ ska aaıı bi oktaaki ği bu okta ivaıaki otaaa ği şits (..5 Lapa Dki aı vi φ (.. ki ii. Bu k iptik bi ki. Bua gö bi ska aa bi oktaaki ği bu okta ivaıaki otaaa ği şit oa öiği saips bu ska aa bu oktaa (.. kii gçk. Gavitasyo Ektostatik v Astooi aaaıa ait ska potasiy bu tü aaaa ök aaaı v bu aaa (.. Lapa Dkii sağaa. - ( y otaaa ği aasıaki fak bi başka ( φ ska aaı bi oktaaki ği i bu okta koşuuğuaki ska aaıa şits (..5 ki φ ( (.. şkii aı. ε bi sabit v ρ bi başka ska aa oak ü φ ρ (.. ε

9 şki yaıığıa oisso Dki oaak bii k öüşü. Bu k iptik tü bi ki. (.. ki kayak foksiyou oaak aaııa ρ ( foksiyou sıfıa şits k Lapa Dki öüşü. Bu ki Ektostatik Mkaik Müisik v Toik Fiikt giş bi kuaı aaı vaı. - Gik (.. v (.. kii gçky ska aaa ( y t φ φ biçii oabii. Bu uua bu aaı bi oktaaki ği o okta koşuuğua y aa başka bi oktaaki otaaa ği fakı ğ aı. Kaaı uuaa bu fak aa süi gy ou. Bu uu ( φ φ ~ φ ( y t t (..4 şki ifa ii. E aıa oktaaki apasiyi ( φφ a oatıı ouğu yai φ ~ ( φ φ (..5 şki ifa iiği gö öü aıısa (..4 v (..5 ifai φ ~ φ ( y t t (..6 vya α bi oatı katsayısı oak ü φ φ( y t ( y t α t (..7 ki ii. Bu k Difüyo Dki oaak biii. Difüyo Dki paaboik bi ki. (..7 Dkiki α katsayısıa gçigik katsayısı i. Bu ki uyguaaı bii giş bi kuaı aaı vaı.

4- Ska aaı aaa bağı ouğu uuaa ( φφ fakı foksiyou ivsiy oatıı is bu uu ( φ φφ ~ t (..8 biçii ifa ii. Ayı aaa ( φφ fakıı φ a oatıı oasıa oayı φ t φ ~ (..9 ı. (..9 İfasi agi bi okta içi bi oatı sabiti oak ü φ φ t (.. biçii ifa iis Daga Dki oaak bii k ii. Bu k ipboik bi ki.

II. BÖLÜM. SKALER DALGA DENKLEMİNİN ROLATE KÜRESEL KOORDİNATLARDA AYRIŞTIRILMASI ( y Dk oa φ bi ska foksiyo oak ü bi iptik Kısi Difasiy ( ( y k φ (. ki bi ska Daga Dkii. Bu k ayı oakı ips v ipbo ouşa iki boyutu iptik kooiat sistii ksi tafıa ösi i ouşa poat kooiat sisti ayıştııabii ( şki... ( y Katy Kooiata ( ϕ kooiat sisti aasıa oaka aası uuuk v - < ϕ oak ü oat Kooiata oak ü iki y [( ( [( ( ] ] / / os si ϕ ϕ (. öüşüi vaı []. Mtik katsayıa (. v s ϕ ϕ (.

şki. şki.

bağıtıaıa yaaaıaak [ ] ϕ (.4 ii. Lapasy is ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (.5 bağıtısıa yaaaıaak ϕ φ ϕ φ φ φ 4 (.6 oaak buuu. φ i bu ği (. ki yi yaıısa k oak ü φ ϕ (.7 ki ii. ( ϕ φ φ yi ϕ ϕ φ R S os si (.8

4 şki ğişki ayıı v Laé çapı foua yaasak (.7 ki ϕ R S os si ϕ R S os si ( [ ] ϕ ϕ ϕ R S R S os si os si (.9 şkii aı []. Bu k is gki kısataa yapıaak S S R R (. şki yaıı. (. Dki S S R R (. foua yaıısa S S λ (. R R λ (.

5 ki ii. (. v (. üis ( S ( λ S ( (.4 ( R ( λ R ( (.5 fouaki k uaşıı. Diğ taafta ğişk ouşa λ v µ ayıa sabiti oak ü açısa v aya u ( u λ (.6 kii gö öü aaı []. (.6 Dkii çöüü oak ü küs foksiyoaa ifa ibii. (.6 Dki ± ügü a ügü oaya oak ü üç ta tki oktaya saipti. Bu ki çöüü çöüi öiki i igii ii çaışaa yapıış v çöü iişti []. (.6 Dkiki µ ü ğii bi tasayı oası uuua ± oktasıaki üs fakı bi tasayıı v sa poitif üs ait çöü gçii. Bu çöü biii çşit foksiyoa oaak aaıııa. Diğ bağısı çöü ± ogaitik tkiik saipti v ikii çşit foksiyoa oaak aaıııa. (.4 Dki açısa foksiyoaı sağaığı bi ki. (. v (. göüüğü gibi ( λ ği ± ki öğii. Bu öğ kaşıık g S ( ö foksiyoua. v. tb biii çşit poat küs açısa foksiyoaı.

6 (.4 ki aıısa k Bişik Lg Dki öüşü v bu yü ( ( λ (.7 i. Eğ is k sosua tkiik içiği Bişik Lg Dki fakıı. Bu uua ki çöüi S ( ( ( (.8 şkii []. (.4 Dki ( ( S ( S λ S ( (.9 şki yaıı v (.8 S ( ( ( (. v S ( ( ( (. tüvi buuu v (.8 i biikt (.9 ki yi yaıı v

7 ( ( ( (. bağıtısı kuaıısa katsayıaı içi ( ( ( ( 5 ( ( ( ( ( [( ( λ ( ] ( ( ( ( ( (. küas bağıtısı ii. Bu küas bağıtısı ikii tb i ooj bi fak ki ouştuu. Bu fak ki ikii tb bi ifasiy k kaşıık gi v iki ta tivia oaya bağısı çöü saipti. (. Dki ifasi 4 ik v y bağı oaak ya ata ( 4 yaa sıfıa yakaşı. yakısaktı. içi (.8 ifasi tü sou ği içi utak ( 4 ı sosu oası uuua aasıa bi tasta k uaşaıı sağa. Çükü i iitii sıfı oası λ v 4 γ ( ( ( ( (.4 4 ( ( ( ( ( ( β (.5 N ( ( ( ( (.6

8 is (. ki β N γ λ (.7 N v N γ λ γ λ N (.8 oak ü N γ β λ N (.9 ki öüşü. Diğ taafta i N oası koşuua (.9 kii itasyou i N γ β λ γ 4 β 4 λ γ 6 β 6 λ... (. yakısak sosu süki ksi ii []. Buaa a b f K süki ksi göstii yi a b K f

9 açık göstii kuaııştı. Diğ yaa < içi koşuu i (. a b şki (.7 kii itasyou i N γ λ γ β λ γ β 4 λ. (. sou süki ksi buuu. Buaa ksi payasıa kaa so tii γ λ vya γ λ λ v oası i tk vya çift oasıa bağıı. Böy aasıa söü i k v U β β λ (. γ λ γ λ γ λ... 4 U β β λ (. γ λ γ λ 4... 4 oak ü U ( λ U ( λ U ( λ (.4 şkii. Bu yakaşı i küçük ği içii. Bu küs foksiyoaı göstii i küçük ği içi kuaıı v açııa i.9 ği içi gçii.

i büyük ği içi is asiptotik açııaa uygu bi gösti bik içi içi küs foksiyoaı avaışaı ii. oat foksiyoaı asiptotik avaışaı obat foksiyoaı avaışaıa fakıı. (.4 ki ö S / ( ( U ( (.5 y ğiştisi v soa ( (.6 öüşüü yapıısa k U U ( ( ( U λ (.7 şki öüşü. Eğ >> is ik bu k U λ U 4 (.8 şkii aı. (.8 Dki D D 4 (.9

biçii D paaboik siiiik foksiyoa taafıa sağaa k ayı foaı. içi D foksiyoaı D 4 (.4 şki yaıısa D i D H 4 (.4 biçii Hit oioaı i ifa ibiği göüü. Ayıa U i D foksiyoaı içi oatıı oaağıa ( ( λ (.4 i. Diğ taafta U oak ü (.4 U ( D ( şki D foksiyouu tii i yaıabii. (.4 İfasi (.7 ki yi yaıı v (.9 ki kuaıısa ± ± 4. içi

4 4 4λ 8 4 - ( ( ( ( ( ( ( 4 4 4 (.44 küas bağıtısı ii. ( λ v yakaşıa tou i ibii. Böy (.44 küas bağıtısıa aışık ( O ± (.45 v λ ( 4 O ± 4 ( ( ( 4 ( ( 8 4 6 [ 5( 7 48 ( ] [66 5 65 4 96 78 45 (.46 [5 4 {57 5 4 ( 68 55 4448 6 ( 56 8 ] 6 756 5 5885 4 5 8478 49 4 ( 47 944 64 498 78 4 ( 644 644 7 ] 445 7 5 ( 659( 496( 4599( 5 [ 579( 755( 9895( ] 4 6 6 5 55( 55( }... [ ] (.47 buuu []. Diğ taafta ibii. içi katsayıaı (. küas bağıtısıı tkaıa

S çift (.48 oak ü oaiasyo çift (.49 şki buuu [].

4 III. BÖLÜM. ROLATE KÜRESEL KOORDİNAT SİSTEMİNDE KÜTLE DİFÜZYON DENKLEMİ Tasit Difüyo Dki i atatiks çöüi Kuuta İşi çok öii. Kuuta işi i igii çöüi yapıasıa içik ağıııı v otaaa içikii biisi gki. Dğişik çaışaaa iptik gotiy saip taısa üüi ifüyo katsayıaı sabit fa ik poat küs kooiataa küt ifüyo kii aaitik çöüi iişti []. Bu çöü i üüü tüü gö kuuta süsi kuuta işii avaışıı tai t kuaıı. Difüyo kii aaitik çöüü ö koşuaa bii sıı koşuaı i ibii. Ksiki uua içi küt ifüyo ki ö sıı koşuaı i vi siii kü v paka gibi tk gotii isiki yük tasfi içi çöübii [4]. Bu uuaa taısa üüki içik ağıııı biisi gki. Doğaaki pk çok taısa üü poat küs foaı. Bu yü bu fo oğa fo oaak kabu ii. Gö öü aığıı ökt iki boyutu iptik kooiat sisti kuaıaak yüyi sıakığı sabit ouğu poat küs isiki küt tasf kii aaitik çöüü yapıaak tasfii taıaya aaitik çöü viişti [5]. Küt Difüyo Dki; D küt ifüyo katsayısı v M ( y aaıa üüü içiği oak ü t M t M M M D D D y y (. biçii taıaı. ( y Katy Kooiata ( φ ω oat Kooiata

5 oak ü iki kooiat sisti aasıa L ( L L < φ ω oak ü oak uuuğu v L.si.siφ. osω y L.si.siφ. siω L.os. osφ (. bağıtıaı vaı [6]. (. bağıtıaıa os osφ ζ osω öüşüi yapıısa [ [ ] ζ [ ] oak ü ( ( L. ( ( ( y L. ζ L.. (. buuu [7]. L (.4 ( ( i L ( ( ( ζ j L... k kuaıaak oat Kooiat Sisti içi L. (.5 L (.6

6 ζ ζ L (.7 tik katsayıaı ii. Eğis kooiataa Lapa opatöüü ζ ζ ζ ζ ζ ζ (.8 şkiki g ifasi (.5 (.6 v (.7 büyüküki yi yaıısa (. ki M D L M D L t M ζ ζ ζ ζ M D L (.9 şkii aı. Bu k ksi tafıaki siti oayı M D L M D L t M (. biçiii aı. Başagıçta isi içisiki içik ağıııı üi v yüy aia sabit ouğu vasayıaak (. ki içi sıı koşuaı yüy sabit M t M sabit M M (. şki aıaak (. ki çöüü. Buu içi M t foksiyou t t M ψ (.

7 biçii ğişki ayıısa ψ ψ ψ.d L t (. buuu. (. ü ikii yaı y şitis L D t (.4 ki ii. Buaa t içi çöü ( L Dt t (.5 şki buuu. Böy (. / p L Dt M ψ (.6 ifasi uaşıı. D yi sabit aaak (.6 ifasi (. ki yaıısa ψ ψ ψ L L L (.7 vya ψ ψ L (.8 ki ii. B şki (.7 ki ψ foksiyou içi

8 λ χ ψ (.9 ayıştıası yapıaak (.7 ki λ λ λ λ χ χ χ χ (. şki yaıı. Bu k λ λ λ b (. χ χ χ b (. biçii iki ai ifasiy k ii. (. v (. kii Böü II (.4 v (.5 ki içi i k i ayı foa ouğu göüü. Ayıa (. v (. ki b öğ oak ü ayı foa ki. Bu k λ ı [ ] aaığıa χ ı L L aaığıa taıı foksiyoaıı. λ foksiyou. çşit Lg foksiyou şki ifa iik χ foksiyou. çşit Küs Bss foksiyou şki ifa ii. (. v (. kii çöüi 4 oak ü χ J (. λ (.4

9 biçiii. Bu çöüki katsayıaıı bik içi (. v (.4 ü biii v ikii tüvi aıı v (. (. ki yi yaıısa katsayıaı içi 4 v 5 α (.5 [ ] β (.6 γ (.7 oak ü b γ β α (.8 küas bağıtısı ii. b öği içi L 4 b b b b U ϕ δ ϕ δ ϕ (.9 L 4 4 b b b U ϕ δ ϕ δ (. v ; 4 δ (.

ϕ ( ; ( ( (. oak ü ( b U ( b U ( b U (. tasta ki buuu [5]. Böü II basiiği gibi süki ksi tkiği i buua (. ifasi i küçük ği içi gçii. Eğ. is öğ asiptotik açıı i ii. Böü II (.47 ifasi içi bu öği 4 ( ( ( 5( 7 b 4 6 5 4 ( 66 65 96 78 45 6 5 4 ( 5 756 5885 5 8478 49 445 4 7 5 [ 57( 659( 496( 4599( ] 6 ( 5 oaak buuu. oak ü (.4 içi Böü II vi (.49 bağıtısı v ( ( (.5

şkii aı. (.5 ki (.8 v (.4 i biikt katsayıaıı ta oaak bisi yaıı ou. Böy pobi g çöüü k L M ( t M A χ ( λ ( (.6. k k Dt k k şki ifa ii. Buaaki ki uyguaısa A k katsayıaıı bik içi (. ki sıı koşuaı (.6 M M A χ ( λ ( (.7 k k k. k ifasi ii v (.7 i iki yaı χ ( λ ( ( i çapııp ipsoii ött bii itg iis p pk p pk L L χ p ( pk λ p ( pk ( ( M M L L χ ( λ ( ( A χ ( λ (. k p pk p pk k k k (.8 ifasi uaşıı.buaa χ v λ foksiyoaıı ikik koşuua buuu. L L L [ χ ( k λ ( k ] p içi χ ( k λ ( k ( ( M M Ak (.9 L (

IV. BÖLÜM 4. BESSEL FONKSİYONLARI 4.. Bss Difasiy Dki V Bss Foksiyoaı ( φ φ oak ü φ şkiki Lapa ki Siiiik Kooiataa φ φ φ φ (4... biçii yaıı v ( R( Q( Z( φ (4... ğişk ayışıı yapıısa Z Z. k (4... Q Q (4...4 R R k R (4...5 şki üç bağısı k ii. (4... (4...4 (4...5 kiki k v büyüküki ğişk ayışı paatii. (4... v (4...4 kii çöüi sıasıya;

Z ± k (4...6 ± i Q (4...7 oaak sapaı. (4...5 Dki k. ğişk öüşüü yapıısa R R ( R (4...8 ifasiy ki ii. (4...8 Dki Bss Dki v bu ki çöüi Bss Foksiyoaı i. (4...8 kii R j a j α j (4...9 şki bi çöüüü buaı. Bu uua (4...8 ki a içi ( α (4... iis ki [( j ] α (4... a j a j katsayıa bağıtısı ii. İis kii köki α ± oaak sapaı v (4... α ği yi yaıısa j oak ü a j j a j ( j (4...

4 ifasi buuu. (4... İfasi; a ouğua tk kuvvt sıfı ou v çift kuvvt içi is ( ( j j a a j (4... j j ği ii. Bu uua a sçiis ( j j R (4...4 j j ( j ya a j j J (4...5 j j ( j Biii çşit Bss Foksiyoua uaşıı. Ayıa α içi j j J (4...6 j j ( j buuu. Eğ tasayı is (4...5 v (4...6 çöüi i bağııı. Bu uua ( J J (4...7 ı. Dki çöüü içi ikii bi i bağısı çöü buuası gki. Bu uu içi Nua Foksiyou vya. çşit Bss foksiyou oaak aaııa

5 N os J J (4...8 si foksiyou aıı. Böy g çöü N y J (4...9 ou. Diğ taafta i J ( J H J in i si (4... H J in J i J (4... i si şki taıaa foksiyoaa a üçüü tü Bss Foksiyoaı yaa Hk Foksiyoaı i. Bu foksiyoa aasıa J N [ ] (4... ( ( H H [ ] (4... ( ( H H bağıtıaı vaı. Hk Foksiyoaı a Bss kii bağısı çöüii. R R ( R (4...4 ifasiy ki ğiştiiiş vya Moifi Bss Dki i. bi tasayı oaak ü (4...4 kii i bağısı çöüi J ( i v ( i şki buuu. Bu çöü gik I v I J Moifi Bss Foksiyoaı oaak aaııı. i göstii v

6 Aak tasayı is bu çöü i bağııı. Yai I I (4...5 i. Bu uua ki çöüü içi ikii bi i bağısı çöü buuası gki. Buu içi K I I si (4...6 şki taıaa foksiyo gö öü aıı. Bu foksiyoa üçüü tü Moifi Bss Foksiyou i. Diğ taafta R ( { β γ ( α γ } R α R (4...7 kii g çöüü R γ α γ ( β B Y ( β α A J (4...8 biçiii. Buaa; α γ β γ k ( α γ (4...9 öüşüi yapıısa (4...7 ki { k ( } R R R (4...

7 biçii öüşü. (4...8 gö bu ki g çöüü k y A k j A R (4... biçiii. (4... g çöüü vi J j (4... N y (4... ifai Küs Bss Foksiyoaı i. J v I çöüi; 4 ; F J (4...4 i F J i ; ; (4...5 i i J I (4...6 4 ; F I (4...7 F I ; (4...8 şki Hipgotik foksiyoa yaıı i ifa ii.

8 4.. Bss Foksiyoaı İçi Rküas Bağıtıaı Tüv Foüi V Baı Gösti Bss Foksiyoaı içi çok kuaıa küas bağıtıaı tüv foüi v asiptotik ifa aşağıa viişti. I I I (4... I I I (4... K K K (4... ( i i i i H i H i K (4...4 K I i Y i i i (4...5 [ ] I I (4...6 J J J J si (4...7 I K I K (4...8 K ± ± J J i i (4...9 K ot si ± ± J i Y Y i i (4... Ψ og J J (4... t t J t α α α (4... J J (4... Y Y (4...4

9 I I (4...5 K K (4...6 J si (4...7 I si (4...8 K (4...9 Y J si (4... J Y os (4... i i ih H (4... i i ih H (4... I si (4...4 K K (4...5 os os os t t i t J t i t i t i (4...6

4 os si os t t t J (4...7 si os os tt t J (4...8 / R os / > t t t J (4...9 / t t I t (4... / R R si os > > t t K t (4... [ ] b K b t t t bt J (4... R R R > > > I i K K i i si si (4... içi; os J (4...4 si Y (4...5 I (4...6 K (4...7

4 içi J ( ( (4...8 I ( (4...9 ( ( K ( K (4...4 4. LEGENDRE FONKSİYONLARI 4.. Lg Difasiy Dki V Lg Foksiyoaı ( ϕ φ φ oak ü φ şkiki Lapa ki küs kooiataa si si ( φ si φ φ ϕ (4... biçii yaıı v φ ( ϕ R( ( Q( ϕ (4... ğişk ayışıı yapıısa Q Q ϕ (4...

4 R ( ( R( (4...4 ( si si ( [ ( si ] ( (4...5 şki üç bağısı k ii. (4... (4...4 v (4...5 Dkiki v ( büyüküki ğişk ayışı paatii. (4... v (4...4 Dkii çöüi sıasıya Q iϕ iϕ ( ϕ (4...6 v R ( A. B. (4...7 oaak sapaı. (4...5 Dkii çöüü içi; os (4...8 öüşüü yapıısa k ( (4...9 biçiii aı. Bu k aıısa ( (4... Lg ki uaşıı.

4 (4...9 kii çöüü içi i taı aaığı [ ] i. Bu ki çöüi i göstii. Diğ taafta ( V (4... öüşüü yapıı v ( V ( V (4... ( V ( V ( V V (4... tüvi (4...9 ki yi yaıısa ( V ( V ( ( [ ] V (4...4 ki ii. Öt yaa (4... Lg Dkii k tüvi aıısa ( [ ( ( ] ( (4...5 ki uaşıı. (4... İfasi gö öü aıaak (4...4 v (4...5 ki kaşıaştııısa

44 (4...6 ouğu göüü. Buaa foksiyoaıa Lg Foksiyoaı foksiyoaıa a Bişik Lg Foksiyoaı aı vii. (4... Dkii poiosa bi çöüüü tk içi ki j a j α j (4...7 şkiki kuvvt sisi çöüü buuu. Buu içi (4...7 ifasii biii v ikii tüvi aııp (4... ki yi yaıısa a o içi α ( α (4...8 iis ki ( j ( α j a [( α j( α j ( ] a j j α (4...9 katsayıa bağıtısı ii. İis kii köki α vya α oaak sapaı. (4...9 a α ği yi yaıısa j oak ü ( j ( j a j ( j ( j a j (4... ifasi buuu. (4... İfasi tk v çift sayıa içi ayı çöü buuaak g çöü

45 j j j j j j a y K K 4 j j j j j j a K K (4... oaak yaıabii. (4... İfasi (4... Lg kii çöüü oa Lg oioua uaşıı. Bua 5 5 M (4... şkii. p p p p p p K p p p (4...4 ifasi oayı

46 ( ( (4...5 yaıabii. (4... Lg oiou ( ( ( ( ( (4...6 şki iigbii. Bu ifa Roigus foüü oaak aaııı. v Lg kii bi çöüü oaıı. Bu uua (4...7 ifai çapıı [ ] aaığıa itgai aıısa I (4...8 ii. (4...8 İfasi k kısi itgasyo uyguaısa ( I (4...9

47 buuu. Eğ < is ( (4... oaağıa I ou. Bu bağıtı içi gçii. Eğ is yi kısi itgasyo i ( ( I (4... ii. İtga os öüşüü uyguaısa I ( ( (4... ifasi uaşıı. Bu uua δ (4... ikik bağıtısı ii. Bişik Lg oioaı içi ikik bağıtısı ( ( (4...4

48 i. Bua gö [ ] aaığıa bi ( f foksiyouu; ( a ( b ( f (4...5 şki si açak üküü. a b katsayıaı a b ( f ( ( ( foüiy bii. ( f ( (4...6 i tasayı oası ai (4... ifasiy ki kaşı g iis ki tki oktaaı ivaıa a şkii. Doayısıya siy aça youya ki iki bağısı çöüü aak bii bibii. Diğ bağısı çöüü bik içi (4... ki yaııya (4... ifasi Q ( i gösti bu bağısı çöüü Q ( ( p [ ( ] ( ( ( [ ] Q (4...7 ouğu göüü v bu çöü gik Q ( ( ( [ ] (4...8 şki göstii. ( ( ii bi poiou göstk ü Q ( q

49 Q (4...9 ( ( q ( şki yaıabii. Fakat Q ( çok ği bi foksiyo ouğua buu tk ği kıak içi kopks ü - kaa ksii v Q ( içi oaak taıaı. Eğ < < is Q ε (4...4 ( ± i ( i q ( i. Buaa Q ( i (4...9 ki yaaaaak Q ( [ Q ( iε Q ( iε ] (4...4 şki aittik otaaa oaak taıaabiği göüü. ( φ ii bi poio osu. Dik poioa aasıa; B A v C sabit oak ü ( ( A B φ ( C φ φ (4...4 şki küas bağıtısı vaı.

5 4.. Lg Foksiyoaı İçi Rküas Bağıtıaı Ö İfa V Baı Gösti Lg Foksiyoaı içi baı küas bağıtıaı ö v asiptotik ifa i bu foksiyoaı iğ ö foksiyoaa ifai aşağıa viişti. [( / ] (4... ( ( 4 (4... ( ( ( ( ( ( ( (4... ( ( ( ( (4...4 ( ( ( (4...5 ( ( ( (4...6 ( ( i ( ( ( ( ( ( ( ( (4...7 (4...8 ( ( ( y { ( ( y ( ( y } (4...9 y ( ( { ( ( } ( (4... ( ( ( ( ( ( (4... { } ( ( ( (4... { ( ( ( ( ( ( ( } (4... ( ( i (4...4 i ( Q ( ( Q ( (4...5

5 Q Q i ( si[ ( ] Q ( si[ ( ] os( ( i ( ( ( i [ ( ( si( Q ( ] ( i [ ( ( si( Q ( ] (4...6 si ( (4...7 (4...8 (4...9 ( K Q ( ( ( ( ( i ( ( ( [ ] (4... si[ ( ] Q ( Q ( (4... os i ( Q ( os( ( ( ( (4... Q Q Q i i ( ( ( si[ ( ] Q ( [ ] i i ( [ ( ] ( ( (4... si (4...4 ± i ( Q ( (4...5 i 4 ( ( ( ( ( R > ( ( (4...6 Q ( si( ( os( ( (4...7 ( ( os[ ( ] ( Q ( si[ ( ] (4...8 < < Q ( Q ( os[ ( ] ( ( si[ ( ] < < (4...9

5 [ ] si os Q Q (4... Q Q ; (4... [ ] si si os (4... [ ] os si os Q (4... si si os (4...4 K (4...5 K Q Q (4...6 K (4...7 (4...8 (4...9 (4...4 (4...4 < < < υ υ υ υ os os si os os os (4...4

5 < < < < υ υ υ υ υ υ os os si os os os (4...4 < < < < υ υ υ υ os os si os os (4...44 [ ] R os os > φ φ (4...45 [ ] < < si ; ; si os F (4...46 [ ] < < si ; ; ot os F (4...47 F ; ; (4...48 F ; ; (4...49 [ ] [ ] [ ] 4 4 i Q (4...5

54 [ ] [ ] [ ] 4 4 i Q (4...5 si os (4...5 ; ; ; ; F F (4...5 ; ; ; ; F F (4...54 K 7 si 7 5..5 5 si 5. si si os (4...55 < < 7 os 7 5..5 5 os 5. os os os K Q (4...56 ; ; (4...57 [ ] i Q i Q Q i i i os si (4...58

55 ( F ;; (4...59 ( osϕ F ;;si (4...6 ϕ ( osϕ ( F ;;os (4...6 ϕ ϕ ϕ ( osϕ os F ;; ta (4...6 Q Q i ( si[ ( ] Q ( si[ ( ] os( ( ( ( ( i [ ( ( si( Q ( ] (4...6 (4...64 ( ( ( ( ( ( ( si( (4...65 (4...66 ( os si ( ( ( ( ( os si ( ( ( ( si os [( ] [( ] (4...67 (4...68 ( F ;; (4...69 ( ( os t ( si t ( ( ( > R > R t (4...7

56 i ( ( Q ( ( ( ( os t ( si t t (4...7 Q Q Q ( si os i α ( os os ( υ υ α υ a a a > R( υ > R < ( ( ( ( ost ( si t υ (4...7 R < (4...7 ( ( i ( osα ( ( ( ( R > R R < R ( siα ( R ( ( ost ( si t ( > ( ( α ( os[ ( t ] ( os t osα si R si( os[ ( t ] t ( os t osα ( > R( > t t (4...74 t (4...75 ( os t [ ] os t ( > R( > [ os t ] i ( ( ( ( ± > K t t (4...76 (4...77

57 ( ( ( ( ( R si ( ost os( t ( ( os t t ( < R > R > ( K ( ( ( ( R > ( os ( os / R > [ ( ] ost os( t [ ( ost ] ( si ( / / i ( ( si / it t t t t ( os i si ost ( si (4...78 (4...79 (4...8 R < / (4...8 ( os i si os t ( ( os i si os t < < / R( > ( si ( / os t t it t t (4...8 ( os ( os os / os[ ( / ] υ Q < < R < / (4...8 ( / 4i si t ( si i os si t os t (4...84 / ( ( ( t ( t? t (4...85

58 Q ( ( / ( ( ( R > R > si ϕ ( / < ϕ < R < / ( osα a/ ( os t ( si t os( / ( ost osϕ t t / os( / t ( osα os t si α t ( / α > R < / ( osb ta a R a > ( α / i ( osb / t (4...86 (4...87 (4...88 (4...89 si os( a ( b / i a > b < ( b os a (4...9 os Q ( b ( os a / i < a < b ( R / ( ( ( > R > ( os t ( si t ( si os / / i α ( / ( os os ( / α υ υ α α a > R( > R < / ( os os t / (4...9 (4...9 υ (4...9 (4...94 si 4 v ε ε < ( os os (4...95 si 4

59 v ε ε < Ayıa ( v Q ( i aki avaışaı / ( / ( R > / (4...96 ( ( / ( R < / (4...97 Q i / ( ( / (4...98

6 TARTIŞMA Küt Difüyo Dki içi suua aaitik çöü üüki içik ağıııı tk içi kuaıabii. Yaı i bu çöü sa yüy g ouğu uu içi gçii. Kuaıa boyutsu kooiata agi bi uua uyguaabik g çöüü buak içi ytii. Ayıa içik ağıııı tk içi sçik kooiat sisti öii. Kooiat sistii sçii isii gotik şki bağıı. Bu aaa taısa üüi oğaaki oğa fou oat Küs oaak kabu iiş v uygu oa sisti oat Küs Kooiat Sisti ouğu üşüüüştü. [5] Böü II i Ska Daga Dkii oat Küs Kooiataa ayıştııası souu üç bağısı foksiyo ii. Bua; Küs Raya Foksiyoa ( R ( Küs Açısa Foksiyoa ( ( S Si v Cos Foksiyoaıı. Dki ayıştııası Lapa Dkii küs kooiataaki çöüü bi. E i üç foksiyoa ik ikisi sıasıya Küs oa Kooiataaki Lg v Küs Bss Foksiyoaıı gştiiiş şkii. Bu foksiyoaı sapaaaı öğ sapaıı v tkaaa foüii gktii. [] Büyük oak uuuku Küs Daga Foksiyoaıı sapaaaıa baı oukaa kaşıaşıı. Buu i bu foksiyoa aasıaki otogoaik pobii. Litatü çaışası v taaası oaak yapıa bu çaışaa Ska Daga Dki oat Küs Kooiataa ayıştııaak g çöüü iiş v ö uuu Küt Difüyo Dkii çöüü kuaııştı.

6 KAYNAKLAR - Fa C. 957 Spoia wav futios Stafo Uivsity s Stafo pp. 6-8 - Casaw H. S. Jag J. C. 959 Coutio of at i sois Ofo Uivsity s Nw Yok - Luikov A. V. 968 Aaytia at iffusio toy Aai ss I. Lt. Loo 4- Ska A. H.. 974 Diffusioa ass tasf Jo Wiy & Sos Nw Yok 5- Atoio G. B. D Lia Sivia A. N. auo H. S. 5t Baiia Cogss of Maia Egiig Novb -6 999 Aaytia soutio of t ass iffusio quatio appi to ipsois of voutio Sao auo 6- Haji-Sik A. Spaow E. M. 966 Tasit at outio i a poat spoia soi Joua of Hat Tasf v.88. pp. - 7- Abaowit M.& Stgu I. A. 97 Habook of atatia futios Dov ubiatios I. Nw Yok pp. 75-77 8- Bk D. Csoas G. 996 Basi patia ifftia quatios Itatioa ss Cabig Massaustts 9- Wiia J. T. 999 Spoia wav futios Coputig i Si&Egiig - Bitsa A. V. 98 Equatios of atatia pysis Mi ubiss - Magus W. Obttig F. Tioi F. G. 955 Hig tasta futios MGaw-Hi Book Copay I. Vou III - Gaabia. R. 964 atia ifftia quatios Jo Wiy&Sos - B W. W. 968 Spia futios fo sitists a gis D. Va Nosta Copay Lt 4- Haba R. 987 Etay appi patia ifftia quatios ti Ha I. Egwoo Ciffs Nw Jsy 5- Çağaya M. Çbi O. Kısi ifasiy k Vipaş A. Ş. Uuağ Üivsitsi Güçi Vakfı 6- Muay R. S. 96 Toy a pobs of ava auus MGaw-Hi I. pp. 4-4

6 7- Gasty I. S. Ryik I. M. 98 Tabs of itgas sis a pouts Aai Nw Yok 8- Statto J. A. Mos. M. Cu L. J. Litt J. D. C. & Cobato F. J. 956 Spoia wav futios T T. s of M.I.T. a Jo Wiy & Sos I. Nw Yok 9- Lia A. G. B. Nba S. A. Totia aaysis of t iffusio poss isi poat spoia sois Dyig Toogy 8. No. - - ay F. R. Couau C. C. Haji-Sik A. Huag T. 986 Itga tos i si a giig. Capt: O soutio of paaboi patia ifftia quatios usig gaki futios Hisp ubisig Copoatio Nw Yok

6 ÖZGEÇMİŞ Aı Soyaı : ıa NAYİR Doğu Yi : İSALA/EDİRNE Doğu Taii : 4.8.975 Mi Hai : Evi Eğiti v Akaik Duuu İkoku : Mk İkokuu Otaoku : Aafataa İköğti Okuu Lis : Ei Aaou Öğt Lissi Lisas : Ota Doğu Tkik Üivsitsi Eğiti Fakütsi Matatik Öğtiği Böüü Yabaı Di : İgii İş Tübsi 998 yııa Ö Ei Bykt Koji Matatik Öğti oaak göv başaı. yııa kaa bu gövi süüü. - Eğiti-Öğti yııa Şüküpaşa İköğti Okuu a İgii Öğtiği yaptı. - yıaı aasıa Ei Aaou Lissi Matatik Öğti oaak çaıştı. taii Ei Lissi Matatik Öğti oaak ataı. Ha bu gövi süüktyi.