Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışları. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER"

Su Ece Şipal
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Bölüm 5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Doç.D. Suat ŞAHİNLE

2 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık: Eşit saşla meydaa gele tae olayda A taesi A olayı olsu. Bu duumda A olayıı meydaa gelme olasılığı; P A ) A olaak taımlaabili. Buada; P A) : A olayıı olasılığıı, A) : A olayıı meydaa gelme sayısı, : Tolam deeme sayısıı göstemektedi. Öek: Bi oyu kağıdı desteside asgele alıa bi katı bili gelme olasılığı edi? Çözüm: A olayı katı bili olma duumuu göstesi A Bili ). Bi deste oyu kağıdıda 5 kat vadı. Ayıca bu 5 katı A) 4 taesi bilidi. Bu duumda asgele alıa bi katı bili gelme olasılığı; P 4 5 A A) olu. Doç.D. Suat ŞAHİNLE

Buada; P A) : A olayıı olasılığıı, A) : A olayıı meydaa gelme sayısı, : Tolam deeme sayısıı göstemektedi.

3 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Bi olayı olasılığı P A) aasıda değe alı. Olay: Öek uzayıdaki elemala kümesi olay olaak taımlaabili. Geçekleşmesi asgele ola olaya ise asgele şasa bağlı) olay dei. Olayla geelde iki guba ayılıla: -Bibiii Egelleye Olayla: Yaıla bi deeme souda meydaa gele bi olay, diğeleii ayı ada meydaa gelmesii egelliyosa, bu ti olaylaa bibiii egelleye olayla dei. Öeği A ve B gibi iki olay bibiii egelleye olayla ise ABø. Öeği, atıla bi aada yazıy) gelmesi, tua T) gelmesii; atıla bi zada bi gelmesi, diğe sayılaı gelmesii egelle. Beze e şekilde, çekile bi katı kız gelmesi olayı, aaz gelmesii egelle. e İşte bu ti olaylaa bibiii egelleye olayla dei. Doç.D. Suat ŞAHİNLE

Olayla geelde iki guba ayılıla: -Bibiii Egelleye Olayla: Yaıla bi deeme souda meydaa gele bi olay, diğeleii ayı ada meydaa gelmesii egelliyosa, bu ti olaylaa bibiii

4 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı - Bi Aada Meydaa Gelebile Bibiii Egellemeye) Olayla: : Bu ti olaylada biii meydaa gelmiş olması diğeleii meydaa gelmesi egellemez. Öeği, bi za bi aayla bilikte atıldığıda, zada tek sayı gelmesi aada yazı gelmesii egellemez, emez, buu teside doğudu. Calılada biçok özellikle ayı ada buluabili. Öeği, bi bitki hem çok yıllık, hem kazık köklü ve hem de da yaaklı olabili. Bi aada meydaa gelebile olayla bağımlı ve bağımsız diye ikiye ayılı. iki olayda biii gelmiş veya gelmemiş olması diğeii i meydaa gelmesii veya gelmemesii etkiliyosa bu iki olay istatistik istik bakımda bağımlıdı dei. Doç.D. Suat ŞAHİNLE

Calılada biçok özellikle ayı ada buluabili. Öeği, bi bitki hem çok yıllık, hem kazık köklü ve hem de da yaaklı olabili.

5 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık Kuallaı: Değişik özellikteki bide fazla olay bi aada icelemesi söz kousu olduğuda bu olaylaı meydaa gelme olasılıklaıı buluması, istatistikte çok öemli ola değişik kualla kullaılaak işlemlei lei yaılmasıı geektii. Tolama Kualı Tolama kualıı, A ve B gibi iki olayı bibilei ile ola duumlaıa umlaıa göe iki alt guta iceleebili. Eğe A ve B olaylaı bibiii egellemeye veya bi aada meydaa gelebile) olayla ise, PA veya B) PA)PB)-PA ve B) A) B) AveB) Doç.D. Suat ŞAHİNLE

geektii. Tolama Kualı Tolama kualıı, A ve B gibi iki olayı bibilei ile ola duumlaıa umlaıa göe iki alt guta iceleebili.

6 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Öek: Bi oyu kağıdı desteside asgele çekile bi katı kua veya bili gelme olasılığı e olu? Çözüm: A Kua, B Bili ise, A), B)4 ve AB AB) olu, bu duumda, PA veya B) PA)PB)-PA ve B) olu. A) B) AveB) Doç.D. Suat ŞAHİNLE

Çözüm: A Kua, B Bili ise, A), B)4 ve AB AB) olu, bu duumda, PA

7 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Eğe A ve B olaylaı bibiii egelleye ayık) olayla ise, PA veya B) PA)PB) A) B) Öek: Bi oyu kağıdı desteside asgele çekile bi katı kua veya siek olma olasılığı e olu? Çözüm: A Kua, B Siek ise, A), B) olu, bu duumda, A) P AveyaB) P A) P B) B) 5 5 olu. Doç.D. Suat ŞAHİNLE

çekile bi katı kua veya siek olma olasılığı e olu?

8 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Çama Kualı A ve B gibi iki olay bibileide bağımsız olayla olsula. Bu B duumda, PA ve B) PA). PB) A) B). Öek: Bi za ile bi madei aa bilikte atıldığıda zada çift sayı ve aada yazı gelme olasılığı e olu? Çözüm: A Zada çift sayı, B aada yazı ise, A), B) olu, bu duumda, PA ve B) PA). PB) olu. A) B) Doç.D. Suat ŞAHİNLE

Öek: Bi za ile bi madei aa bilikte atıldığıda zada çift sayı ve aada yazı gelme

9 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Olasılık Dağılışlaı Poulasyo Dağılışlaı): Poulasyo dağılışlaıı şekli icelee değişkei göstediği özelliğe bağlıdı. Değişke kesikli ise oulasyo olasılık) dağılışı da kesiklidi. Değişke süekli ise bu özelliğe ait olasılık dağılışı da süekli olacaktı. Kesikli Olasılık Dağılışlaı -Beoulli dağılışı -Biom Dağılışı -Geometik Dağılış -Negatif Biom Dağılışı -Hiegeometik Dağılış -Poisso Dağılışı Süekli Olasılık Dağılışlaı - Uifom Dağılış - Nomal Dağılış - Stadat Nomal Dağılış - Gama Dağılışı - Beta Dağılışı - t Dağılışı - z Dağılışı - Khi-Kae Kae Dağılışı - F Dağılışı Doç.D. Suat ŞAHİNLE

Kesikli Olasılık Dağılışlaı -Beoulli dağılışı -Biom Dağılışı -Geometik Dağılış -Negatif Biom Dağılışı -Hiegeometik Dağılış -Poisso Dağılışı Süekli

10 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı kesikli bi şas değişkei ve P)P) ise kesikli bi foksiyo olsu. Bu foksiyou kesikli bi olasılık foksiyou olabilmesi içi; - P), tüm değelei içi, P ) - veile aalığıda) X süekli bi şas değişkei ve fx) ise süekli bi foksiyo olsu. Bu foksiyou bi yoğuluk foksiyou olabilmesi içi; - fx), tüm x değelei içi, - b f x) dx F x) I F b) F a) a koşullaıı sağlaması geeki. b a b, a-b aalığıda Doç.D. Suat ŞAHİNLE

süekli bi şas değişkei ve fx) ise süekli bi foksiyo olsu.

11 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Kesikli Olasılık Dağılışlaı Biom Dağılışı: Hehagi bi kesikli şas değişkeii Biom şas değişkei olabilmesi içi aşağıdaki koşullaı taşıması geeki.. Deemei istee ve istemeye şeklide iki soucu vadı.. İstee olayı olasılığı Pistee) ve istemeye olayı olasılığı Pistemeye) olu he deemede ayıdı.. 4. Deemele tekalaabili, bibileide bağımsız olu tolam deeme sayısı sabitti. Bu şatlaı taşıya şas değişkei biom dağılışı göstei ve {,,,, }{,,,,,} değeleii alı. Bu duumda i bu değede hehagi biisii alma olasılığı P)P) şeklide gösteili ve P ) P ) C,,,,,..., şeklide hesalaı. Buada, Doç.D. Suat ŞAHİNLE

. İstee olayı olasılığı Pistee) ve istemeye olayı olasılığı Pistemeye) olu he deemede ayıdı.. 4.

12 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Biom Olayı Öeklei -Doğacak bi çocuğu ekek veya kız olması, -asgele seçile bi kişii sigaa içi içmemesi, -Atıla bi aaı yazı veya tua gelmesi, -Bi souya veile evet veya hayı cevabı, -Bi testi soucuu ozitif ) veya egatif -) ) çıkması -Atıla bi zada tek sayı veya çift sayı gelmesi, -Bi sıavda başaılı veya başaısız oluması Doç.D. Suat ŞAHİNLE

veile evet veya hayı cevabı, -Bi testi soucuu ozitif ) veya egatif -) ) çıkması -Atıla bi

13 Doç.D. Suat ŞAHİNLE Doç.D. Suat ŞAHİNLE Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı C P P,...,,,,, ) ) Buada, : deeme sayısı, :istee olay sayısı, -: istemeye olay sayısı, : istee olayı olasılığı, : istemeye olayı olasılığıı,! )!! C P), tüm değelei içi, ) ) ) C P P

istemeye olay sayısı, : istee olayı olasılığı, : istemeye

14 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Öek: Üç çocuklu ailelede asgele alıa bi ailei a) Hiç ekek çocuğu olmaması olasılığı, b) E az bi ekek çocuk olma olasılığı c) E fazla iki ekek çocuk olma olasılığı, d) - aasıda ekek çocuk olma olasılığı, e) Dağılışı otalaması ve vayası e olu? Çözüm: Bu souda, istee olayı bi çocuğu ekek olması) olasılığı.5 olu, volu. İstee olay sayısı,,, değeleii alabilecekti. Bua göe, a) P)P)? Biici yol: P C )! )!! P) C ). ) Doç.D. Suat ŞAHİNLE

Dağılışı otalaması ve vayası e olu? Çözüm: Bu souda, istee olayı bi çocuğu ekek olması) olasılığı.5 olu, - -.5.5volu.

15 Doç.D. Suat ŞAHİNLE Doç.D. Suat ŞAHİNLE İkici yol: kici yol: Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı. ) ) ) ) C P P idi..... ) ). ) ) P) P) P) P) 8 ) ) ) P P

16 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı b) P )P)P)P) P ) P ) C ) idi P ) P ) P ) P ) P ) P ) -{P )} P ) -{ } - ) Doç.D. Suat ŞAHİNLE

17 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı c) P )P)P)P) -{P)} ). P) P) P) P) P ) { d) P<<)P) P ) } e) Otalaması ve vayası μ..5 ) ) σ Doç.D. Suat ŞAHİNLE...75

18 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Poisso Dağılışı: Süekli bi aalıkta meydaa gele olay sayısı, geel olaak oisso deemelei olaak adladıılı. Aalık ;zama, uzuluk, ala ve hacim olabili. Sözü edile aalıkta meydaa gele olay sayısı,,,... değeleii alı. Öek: -Bi sadık otakalda çüük otakal sayısı, -Bi Bi kumaşı mete başıa ihtiva ettiği dokuma kusu sayısı, -Bi kg yoca tohumuda bulua yabacı ot tohum sayısı, Biom dağılışıda çok büyük ve çok küçük olduğu duumlada biom dağılışı oisso dağılışıa yaklaşı, yai λ Lim ) Lim! Böylece oisso dağılışıı olasılık foksiyou e λ P λ e λ ),!,,,... Doç.D. Suat ŞAHİNLE

Öek: -Bi sadık otakalda çüük otakal sayısı, -Bi Bi kumaşı mete başıa ihtiva ettiği dokuma kusu sayısı, -Bi kg yoca tohumuda bulua yabacı ot tohum

19 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Buada,,,,...olu istee olay olasılığıı, λ:otalama olu λ ve buada da, istee olayı olasılığıı deeme sayısıı, e.786 e eşitti ve bi sabitti. P) bi olasılık dağılış foksiyou olduğuda, P) ve ) e λ λ! Poisso dağılışı tek aameteli bi dağılıştı ve dağılışı otalaması ve vayası eşitti. Yai; λσ Doç.D. Suat ŞAHİNLE

deeme sayısıı, e.786 e eşitti ve bi sabitti.

20 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı Öek: He biide domates tohumu bulua aketlede çimleme gücü olmaya domates tohumu oaıı. olduğu bilimektedi. Bu aketle aasıda asgele seçile bi akette, a)hesii çimlemesi, b)yalız bi tohumu çimlememesi, c)e az iki tohumu çimlememesi, d)e fazla üç tohumu çimlememesi, e)iki ile beş tohum aasıda tohumu çimlememesi olasılıklaıı ı ve f)dağılışı otalaması, vayası ve stadat samasıı buluuz. Çözüm:,. ise λ*. e - λ e a) P)? P ) e λ λ! e!.498*!.498 Doç.D. Suat ŞAHİNLE

Bu aketle aasıda asgele seçile bi akette, a)hesii çimlemesi, b)yalız bi tohumu çimlememesi, c)e az iki tohumu çimlememesi,

21 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı b) P)? P ) e λ λ! e!.498*!.494 c) P )? ) e λ λ! ) ) )... ) idi P ) { ) )} { }.88 Doç.D. Suat ŞAHİNLE

22 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı d) P )? P ) ) ) ) ) P ) e λ λ! e!.498*!.4 P ) e λ λ! e!.498*!.4 P ) d) P<<5)? P < < 5) ) 4) Doç.D. Suat ŞAHİNLE

23 Olasılık ve Olasılık Dağılışlaı d) P<<5)? P < < 5) ) 4) P 4) e λ λ! e 4! 4.498* 4! 4.68 P < < 5) ) 4) e) Dağılışı otalaması ve vayası bibiie eşit olu λ μ *. Doç.D. Suat ŞAHİNLE

Benzer belgeler

Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT

Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT Üite 9: Koelasyo Öğ. Elemaı: D. Mustafa Cumhu AKBULUT 9.Üite Koelasyo 2 Üitede Ele Alıa Koula 9. Koelasyo 9.1. Değişkele Aasıdaki İlişkile 9.2. Koelasyo katsayısı 9.Üite Koelasyo 3 Koelasyo Buda öceki