. ƏDƏDİ BƏRABƏRSIZLİKLƏR VƏ ONLAR ÜZƏRİNDƏ ƏMƏLLƏRİN YERİNƏ YETİRİLMƏSI METODİKASI Hal-hazırda ümumtəhsil məktəblərinin tədris proqramında bərabərsizliklərin təliminə geniş yer verilmişdir. Hələ ibtidai siniflərdə şagirdlər ədədlərin müqayisə edilməsində bərabərsizlik işarələrinin işlədilməsi ilə tanış edilirlər. Tədris proqramında bərabərsizliklərə aid vərdişlərə yiyələnmək üçün ardıcıllığın gözlənilməsi nəzərdə tutulur. Bunun üçün geniş imkanlar vardır. Hər dəfə yeni təbiətli ədədlər, yəni müsbət və mənfi ədədlər, adi və onluq kəsrlər keçilərkən bərabərsizlik anlayışından istifadə edərək onları müqayisə edirlər. Bərabərsizlik işarəsindən tədricən istifadə edilməsi və onun tez-tez tətbiq olunması bu anlayışın formalaşması üçün əsas təşkil edir. Orta məktəb dərsliklərində bərabərsizlik mövzusunun məzmunu təğribən aşağıdakılardan ibarətdir: I. Ədədi bərabərsizliklər və onların əsas assələri.. Ədədi barabərsizliklər;. Ədədi bərabərsizliklərin əsas assələri;
. Ədədi bərabərsizliklərin toplanması və vurulması. II. Birdəyişənli bərabərsizliklər sistemi.. Eynigüclü bərabərsizliklər;. Birdəyişənli bərabərsizliklərin həlli;. Birdəyişənli bərabərsizliklər sisteminin həlli; 4. Mütləq qiymət işarəsi dailində dəyişəni olan sadə bərabərsizliklərin həlli. Xassələrin öyrənilməsinə başlamazdan əvvəl müəllim şagirdlərə eyni mənalı və əks mənalı bərabərsizliklər haqqında məlumat verməlidir. Dərsliklərdə əvvəlcə bu mövzu üzrə aşağıdakı assələr öyrədilməlidir:. a b olduqda b a nəticəsi alınır.. Tranzitivlik assəsi: a b və b c isə, a c olar.. Toplamanın monotonluq assəsi a b və c d isə a c b d olar. Yəni bərabərsizliyin hər iki tərəfinə bərabər ədədlər əlavə etsək bərabərsizliyin işarəsi dəyişməz. 4. Vurmanın monotonluq assəsi. a b və m 0 olarsa, am bm, yəni bərabərsizliyin hər iki tərəfini eyni müsbət ədədə vursaq (bölsək)
bərabərsizliyin işarəsi dəyişməz. a b və m 0 olarsa, a m b m olar, yəni bərabərsizliyin hər iki tərəfini eyni mənfi ədədə vursaq (bölsək) bərabərsizliyin işarəsi əksinə dəyişər. Bu assələrin isbatı da şagirdlərdə çətinlik törətməməlidir. Onların isbatı a ədədi b ədədindən yalnız və yalnız o zaman böyük olar ki, a b fərqi müsbət ədəd olsun tərifinə əsaslanır. Müəllim bu tərifi şagirdlərə düşüncəli surətdə öyrətməlidir. Bu assələrdən birini, vurmanın monotonluq assəsini isbat edək. Tutaq ki, və m 0-dır. İsbat edək ki, İsbatı: a m b m olar. a b a b olduğu üçün tərifə əsasən a b 0 olmalıdır. Şərtə görə isə m 0-dır. İki müsbət ədədin hasili də müsbət ədəd olduğu üçün a bm 0 və ya am bm 0 olmalıdır. am bm fərqi müsbət olduğu üçün isə tərifə əsasən tələb edilirdi. am bm olar ki, bunu da isbat etmək Ədədi misallar üzərində şagirdlərə izah edilməlidir ki, iki bərabərsizliyin tərəfləri üzərində aparılan əməllərdə aşağıdakı hallar vardır.. Eyni mənalı iki bərabərsizliyi tərəf-tərəfə toplamaq 4
olar. olar. a b və + c d olarsa, a b c d a c b d Əks mənalı bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə toplamağın mümkün olmadığına aid 5 6 5 misalını göstərmək yerinə düşər.. Əks mənalı bərabərsizlikləri tərəf-tərəfə çımaq olar. Bu zaman birinci bərabərsizliyin işarəsi salanılır. a b və olar. c d olarsa, a b c d a c b d 5
. Müsbət hədli eyni mənalı iki bərabərsizliyi tərəftərəfə vurmaq olar. müsbət ədədlər olarsa, olar. a b c d a c b d a b və c d olduqda a, b, c, d Bu təklifin mənfi hədli bərabərsizliklər üçün ödənilmədiyini bir misalla, məsələn 0 5 5 4 dərinləşdirər. göstərmək şagirdlərin biliyini Bundan sonra təkliflərin isbatına keçmək olar. Məsələn, çıma əməli üçün bunu isbat edək. Fərz edək ki, a b və c d -dir. İsbat edək ki, bu halda a c b d olar. İsbatı: a b şərtinə əsasən a b 0, c d şərtinə əsasən d c 0 olar. İki müsbət ədədin cəmi də müsbət olduğundan a b d c 0 olar. Buradan da a c b d alınar ki, bunun da isbatı tələb olunurdu. 6
4. Müsbət hədli bərabərsizliyi qüvvətə yüksəltmək olar və bərabərsizlik işarəsi dəyişməz. a b olarsa, onda n n a b olar. a b, b 0 olduqda Bərabərsizliklər üzərində aparılan əməllərə aid bir neçə misal göstərək: ) Bərabərsizlikləri toplayın: 0 00 65 64 ; 65 6 ) Bərabərsizlikləri çıın: 4 5 0 5 6 0 0 0 5 6 ; 5 6 7 ) Bərabərsizlikləri vurun: 6 4 ; 4 5 00 0 ; 500 0 7 9 0 9 70 4) 5 6 və ya 8 ədədlərdən hansının böyük olduğunu göstərin: Hər bir ədədi ayrılıqda kvadrata yüksəldirik: 5 6 5 0 6 8 4 8 4. 0; 7
Aşkardır ki, 0 4. Birinci ədədin kvadratı ikinci ədədin kvadratından böyükdür. Bu ədədlərin hər biri müsbət olduğundan olar. 5 6 8 8
. BİRDƏYİŞƏNLİ BƏRABƏRSİZLİKLƏR Tutaq ki, y f və y funksiyaları G R oblastında təyin olunmuşdur. Əgər 0 G üçün f ( 0 ) g( 0 ) ədədi bərabərsizliyi doğru olarsa, onda 0 f ( ) g( ) bərabərsizliyinin həlli, bu şərti ödəyən 0 -a -lar çoluğuna isə f ( ) g( ) bərabərsizliyinin həllər çoluğu deyilir. Tənliklərdə olduğu kimi bərabərsizliyi həll etmək, onun həllər çoluğunu tapmaq və ya həllinin olmadığını göstərmək deməkdir. Həllər çoluğu eyni olan bərabərsizliklərə eynigüclü və ya ekvivalent bərabərsizliklər deyilir. Bərabərsizlikləri həll edərkən bir qayda olaraq onların ekvivalentlik assələrinə əsaslanmaq lazımdır. Bunlar aşağıdakılardır: f f f f f f 0,, a R f a a,, a 0 af a,, a 0 af a,, g 0 f g g, 9
0. 0,,,,,, 0, k g f k g f k g f k g f k g f k g f g g f g f Misal həll edərkən eyni mənalı bərabərsizliklər sistemi alınarsa və n a... a a olarsa, onda n a... a a bərabərsizliklər sistemi a bərabərsizliyi ilə, n a... a a bərabərsizliklər sistemi isə n a bərabərsizliyi ilə ekvivalentdir. Xətti bərabərsizliklər Tərif: 0 b a və ya 0 a 0 b a şəklində olan bərabərsizliyə ətti bərabərsizlik deyilir.
Əgər a 0 olarsa, onda a b 0 bərabərsizliyinin b həlli,a 0 olarsa, a b olar. a Qeyd edək ki, bir sıra bərabərliklər üzərində eyni çevirmələr apardıqdan sonra onlar ətti bərabərsizliyə gətirilir. Məsələn, olduqda ətti bərabərsizliyə gətirilir. a b c d bərabərsizliyi a c Misallar. Aşağıdakı bərabərsizlikləri həll edin.. 4 0. Əvvəlcə ədədini bərabərsizliyin sağ tərəfinə keçirək. Onda verilən bərabərsizliklə eynigüclü olan 4 bərabərsizliyini alarıq. Hər tərəfi 4 -ə bölsək (bu zaman bərabərsizliyin işarəsi əksinə çevrilir), alınır. olar. Deməli, bərabərsizliyin həllər çoluğu ;. 5 4. Mötərizəni açaq: 5 6 8
və məchulları bərabərsizliyin bir, məlumları isə digər tərəfinə keçirək, onda alarıq. 5 6 8, Və buradan da oşar hədləri islah etdikdən sonra 5 Nəticədə verilmiş bərabərsizliyin həllər çoluğunu 5; alarıq. 0. 4 0,. Mötərizəni açaq: 8 0,. Bərabərsizliyi kəsrdən qurtaraq: 8,6 0. Məchulları bərabərsizliyin bir tərəfinə, məlumları isə digər tərəfinə keçirək: 8 0,6, 6,6.
Hər tərəfi -yə bölək (bu zaman bərabərsizliyin işarəsi dəyişər): olar.,. Beləliklə,, ; bərabərsizliyin həllər çoluğu Qeyd edək ki, ətti tənliklərin həllində olduğu kimi, ətti bərabərsizliklərin həlli zamanı da bərabərsizlikdə kəsr varsa, əvvəlcə kəsrdən qurtarmaq, sonra isə mötərizələri açıb məchulları bərabərsizliyin bir tərəfinə, məlumları isə bərabərsizliyin digər tərəfimə keçirmək lazımdır. 4. Bərabərsizliyim ən böyük tam həllini tapın. Mötərizəni açaq: Kəsrdən qurtaraq: 0. 5 0. 5 5 0 0 5. Məchulları bərabərsizliyin bir tərəfinə, məlumları isə digər tərəfinə keçirək: 0 5 0 5,
5. Bərabərsizliyin hər iki tərəfini -yə bölərək, 5 alarıq. Beləliklə, bərabərsizliyin həllər çoluğu ;,5 olar, buradan bərabərsizliyi ödəyən ən böyük tam ədəd alınar. Çalışmalar. Bərabərsizlikləri həll edin. ) 5 6 ; ) 4 8 6 4 8 6; ) 5 6 95 6; 4) 4 6 9 6; 4 5) 7; 5 5 6) ; 8 7),5 ; 5 8) 0, 5 ; 9) 0,5 6 4,8; 0),, 5. 4
. XƏTTİ BƏRABƏRSİZLİKLƏR SİSTEMİ a a b b 0 0 şəklində bərabərsizliklər birdəyişənli iki ətti bərabərsizliklər sistemi adlanır. Xətti bərabərsizliklər sistemini həll etmək üçün, hər bir bərabərsizliyin ayrılıqda həlli tapılır və tapılmış həllər çoluğunun kəsişməsi verilən bərabərsizliklər sisteminin həlli olur. Misallar. Aşağıdakı bərabərsizliklər sistemini həll edin:. 5 4 7 Birinci bərabərsizliyin həllər çoluğunu tapaq: 6 5, 5,5. İkinci bərabərsizliyin həllər çoluğunu tapaq: Beləliklə, 4 7, 0, 5 5,5; 4 7 ;0 5
olur. 5 4 7 5,5; ;0 5,5;0., 5 9. 4 Hər iki bərabərsizliyi kəsrdən qurtaraq: 4 5 9 Sadələşdirək: 6 9 4 7 0 6 7 5 Sonuncu bərbərsizliklər sistemindən:, 4, alarıq. Beləliklə, bərabərsizliklər sisteminin həlli ; ; çoluğu olur. 4 4 6
. 5 8 54 5, 6 7 9 Mötərizələri açaq:, 5. 54 0 5, 5 6, 8 56 6 7 5, Məchulları bir, məlumları digər tərəfə keçirək: 8 64, 4, 4. Məchulların bərabərsizlikləri ödəyən həllər çoluqlarını təyin edək və ədəd ou üzərində göstərək: 8, 7, 7. Şəkil. Şəkildən göründüyü kimi, bərabərsizliklər sisteminin həlli 7 7, yarım parçası olar. 7
Qeyd edək ki, ilk iki bərabərsizlik eyni mənalı olduğundan alınan bərabərsizliklər sistemini, onunla 7 eynigüclü olan bərabərsizliklər sisteminə gətirmək 7 olardı. Buradan da ədəd ou üzərində göstərmədən həllin 7 7, olacağını müəyyən etmək olardı. 4. Bərabərsizliklər sisteminin ən böyük həllini tapın. 5 7, 6. 5 Sistemin bərabərsizliklərini kəsrdən qurtaraq: 6 6 5 7, 5 0 5 4 0. Məchulları bir, məlumları digər tərəfə keçirək: 5, 4 50. Buradan birinci bərabərsizliyin hər iki tərəfini -yə, ikinci bərabərsizliyi 4-ə bölərək 7,5 alarıq.,5 Alınmış eyni mənalı bərabərsizliklər sisteminin həlli 7,5 olar. 8
9 Aşkardır ki, ;7,5 çoluğunun ən böyük elementi -7,5-dir. Çalışmalar: Bərabərsizliklər sistemini həll edin. ) ; 8 8, 5 ) ; 4 5 7, ) 0,; 6 5 9 8, 5 5 6 0,6 5 4 4) ;, 8 9 4 5) ; 5 7, 6 7 6) ; 7 5 4, 4 5 5 4 7),5; 5,, 5 5
0 8) ; 6 4 7, 6 4 9) ; 4 4, 5 4, 5 8 0). 5, 6, 0 9 4
4. KƏSR-XƏTTİ BƏRABƏRSİZLİKLƏR a b 0, a 0 a b şəklində bərabərsizliklər kəsr-ətti bərabərsizliklər adlanır. Belə bərabərsizlikləri analitik və məntiqi olmaqla iki üsulla həll edək: I üsul. Burada iki mümkün hal ola bilər: a) b 0. a () Bu halda bərabərsizliyin hər iki tərəfini a b ifadəsinə vurmaqla ətti sistemini alarıq. a b 0, a b 0, () b) b 0 olduqda isə yenə də hər iki tərəfi a a b ifadəsinə vurmaqla a b 0, a b 0, ətti bərabərsizliklər sistemini alarıq. Alınmış hər iki ətti bərabərsizliklər sistemini həll etməklə () bərabərsizliyinin həllini taparıq. Aşağıdakı - nömrəli misallar bu üsulla ()
həll edilmişdir. II üsul. Burada kəsrin işarəsinə əsasən surət və mərəcin işarələrinin mümkün olan iki halına baılır (məsələn, kəsr müsbətdirsə, onun surət və mərəci eyni işarəlidir): və a b 0, a b 0, a b 0, a b 0. Yenə də alınmış bərabərsizliklər sistemi məlum qayda ilə həll olur. Aşağıdakı 4 nömrəli misal bu üsulla həll edilmişdir. Alınmış () ilə ( / ) və () ilə ( / ) bərabərsizliklərinin eyni olması hər iki halda bərabərsizliyin həllinin eyni ətti bərabərsizliklər sisteminə gətirildiyini göstərir. Həll zamanı üsulun seçilməsi sərbəstdir. edin. Misallar. Aşağıdakı kəsr-ətti bərabərsizlikləri həll. 5 4 0,.
vurmaqla a) 0 olsun. İndi hər tərəfi -yə 0, 5 4 0, bərabərsizliklər sistemini alarıq. Buradan, 4, 5 Uyuşmanın bərabərsizliklər sistemini alarıq. Deməli, bu halda bərabərsizliyin həlli yodur. b) 0. Bu halda verilən bərabərsizlik sisteminə gətirilir. Buradan 4 5 0, 5 4 0, və ya 4, 5 alınar. Beləliklə, bərabərsizliyin həllər çoluğu olur. 4 ; 5
.. Aydındır ki, olmalıdır. Əvvəlcə bərabərsizliyi aşağıdakı kimi eynigüclü çevirək: a) 0 bərabərsizliyi 4 0, və ya 0. olsun, onda hər tərəfi sisteminə gətiririk. Buradan, 4, 0, 4 0, 4 və yaud ;. -a vurmaqla b) 0 olsun. Bu halda verilən bərabərsizlik 0, 4 0, və ya 4 uyuşmayan bərabərsizlik sisteminə gətirilir. Göründüyü kimi bu sistemin həlli yodur. 4 ; Beləliklə, verilən bərabərsizliyin həllər çoluğu intervalı olur. 4
5 5.. 7 a) 7 0 olsun. Onda 5 5 7, 0 6 0 5, alarıq ki, bu bərabərsizlik bütün, 5 üçün doğru olar. Deməli, -in, 5 şərtini ödəyən bütün qiymətlərində verilən bərabərsizlik doğrudur. b) 7 0 olsun. Bu halda bərabərsizlik 7 0, 5 5 7, və ya,5, 6 5, sisteminə gətirilir. Sistemin ikinci bərabərsizliyi doğru olmayan ədədi bərabərsizlik olduğundan onun həlli yodur. Beləliklə, bərabərsizliyin həllər çoluğu,5; olur. 4. 5 6. Verilən bərabərsizliyin sağ tərəfindəki həddini sol tərəfə keçirək və sadələşdirək: 5
5 0 4 6 0 0 6 6 6 0 0. 6 6 Bərabərsizliyin hər tərəfini 6-ya vursaq: 0 6 alarıq. Buradan a) 0, 0, 6 və yaud 6 alarıq ki, onun da həlli yodur (şəkil ). 6 Şəkil. b) 0, 0, 6 və ya 6 6
alarıq. Nəticədə (şəkil ): alarıq. 6 6 Şəkil. Qeyd: Kəsr ətti bərabərsizlikləri intervallar üsulunun köməyi ilə daha asan həll etmək olar. Çalışmalar: Bərabərsizlikləri həll edin. 9 ), 7 ), 5 4 ), 5 4), 6 9 5) 4, 7
6). 0 Bərabərsizliklərin ən kiçik tam həllini tapın. 5 7), 8). Bərabərsizliklərin ən böyük mənfi tam həllini tapın 7 6 9), 0) 0. 6 7 8
5. İKİQAT BƏRABƏRSİZLİKLƏR f g f g () şəklindəki bərabərsizliklər ikiqat bərabərsizliklər adlanır. () bərabərsizliyi f g f g bərabərsizliklər sistemi ilə eynigüclüdür. () Fəslin əvvəlində verilən assələr, ikiqat bərabərsizliklər üçün də doğrudur. Məsələn, ikiqat bərabərsizliyin hər tərəfini müsbət ədədə və ya məchulun bütün mümkün qiymətində mənası olan müsbət ifadəyə vurduqda və ya böldükdə, onunla eynigüclü olan ikiqat bərabərsizlik alınar. İkiqat bərabərsizliklərin həlli zamanı onu bir qayda olaraq eynigüclü sistemə gətirirlər. Misallar. Verilən ikiqat bərabərsizlikləri həll edin. ). Bərabərsizliyin hər tərəfini -yə vuraq: Buradan 6 4 6 4, 9
alarıq. Bu isə 7 4 6 4, 7 4, 4 6 4, bərabərsizliklər sistemi ilə eynigüclüdür. Buradan alarıq. ). a) ifadəsi və ya olduqda müsbətdir. Bərabərsizliyin hər tərəfini 0 ifadəsinə vursaq, bərabərsizlik işarəsini dəyişməz. Yəni, alınar. Buradan sistemini alarıq.,,, Sonuncu sistemi və və yaud,. olmasını nəzərə alsaq, 0
bərabərsizliyin həlli vursaq, olur. Bərabərsizliyin hər tərəfini mənfi ifadəsinə alınar. Buradan,, Sonuncu sistemi və, və ya,. halda bərabərsizliyin həlli olur. olmasını nəzərə alsaq bu Beləliklə, verilən ikiqat bərabərsizliyin həlli ; ; çoluğudur. ). 5 a) 5 olduqda 5 0 olur. Odur ki, bərabərsizlik şəklinə gətirilir.buradan 5 5 8 5, 5.
alınır. 5; 8 və bərabərsizliklərindən 8 b) 5 olduqda 5 0 olur. Onda verilmiş bərabərsizlik yaud 5 5, 5, 5, 8 şəklinə düşər. Buradan alınar. alınar. 5; 8 və bərabərsizliklərindən Beləliklə, verilmiş bərabərsizliyin həlli ; ; çoluğu olar. Aşağıdakı ikiqat bərabərsizlikləri həll edin. 4 ), ) 8, 5
). 4) 5 5) 5, 6) 5 7) 0 6, 8) 5 9) 8,5 5, 8, 0) 5, 4, 4 4 0 9, 9 5 0 5
6. KVADRAT BƏRABƏRSİZLİKLƏR Tərif. a, b və c verilmiş həqiqi ədədlər olduqda a b c 0 a 0 şəklində bərabərsizliklərə kvadrat bərabərsizliklər deyilir. Məlumdur ki, a b 4ac b b c a () a 4a münasibəti doğrudur. İndi aşağıdakı halları nəzərdən keçirək: ) D b 4ac 0. Bu halda () ifadəsinin sağ tərəfindəki hər iki toplananın işarəsi a-nın işarəsilə eyni olacaqdır. Deməli, a 0 olarsa, a b c 0, a 0 olarsa, a b c 0 olar. ) D 0. Bu halda () ifadəsinin işarəsi -in b bütün qiymətlərində a-nın işarəsinin eyni olar. a Deməli, b olduqda a a 0 a 0 olarsa, olarsa, a a b c 0, b c 0. 4
) D 0. Bu halda kvadrat üçhədli aşağıdakı şəkildə yazıla bilər: a Burada b c a kökü, isə böyük köküdür. a b c kvadrat üçhədlisinin kiçik a) olduqda, 0 olar və 0, 0 b) olduqda 0 və 0 olar 0, və v) olduqda ; 0 olur və 0 0 olar.. Deməli, və olduqda kvadrat üçhədlinin işarəsi a-nın işarəsinin eyni olduqda isə a-nın işarəsinin əksinə olur. Misallar. Verilən bərabərsizlikləri həll edin. ) 8 0 0. 8 0 kvadrat üçhədlisi üçün a 0 və D b 4ac 44 0 olduğundan onun iki həqiqi mütəlif kökü var. 5
8 0 0 tənliyini həll etməklə, kvadrat üçhədlinin köklərinin ; 0 olduğunu müəyyən edirik. Buradan da üçüncü hala görə a 0, D 0 bərabərsizliyin həlli 0 olar. ) 7 6 0. a 0 və D b 4ac 49 7 0 olduğundan kvadrat üçhədlinin iki həqiqi kökü vardır: və. Odur ki, bərabərsizliyin həlli: və və ya ; ; coluğu olar. ) 5 4 0. a 0 və D b 4ac 5 7 0 olduğundan 5 4 kvadrat üçhədlisi -in bütün qiymətlərində (yəni ; verilən bərabərsizliyin həlli yodur. 4) 4 4 0. ) müsbətdir. Deməli, 6
a 4 0 və D b 4ac 6 6 0 olduğundan kvadrat üçhədlinin kökləri 0. edin. Deməli, yalnız olur. Yəni, olduqda bərabərsizlik doğrudur. Çalışmalar. Aşağıdakı kvadratik bərabərsizlikləri həll ) 5 0, ) 6 8 0, ) 4, 4) 5 4 0, 5) 5 0, 6) 0, 5 7) 0, 8) 4, 9) 4 5 0, 0) 4 0. 7
7. RASİONAL BƏRABƏRSİZLİKLƏR Hər tərəfi məchula görə rasional ifadə olan bərabərsizliklərə rasional bərabərsizliklər deyilir. Belə bərabərsizliklərin bütün hədlərini bir tərəfə keçirməklə ümumi şəkildə P Q kimi yazmaq olar. Burada, Q 0 () P funksiyaları -ə nəzərən çohədlilərdir. Müəyyənlik üçün bu bərabərsizliyin P Q 0 halına baacağıq. Məlumdur ki, hər bir çohədli həqiqi ədədlər çoluğunda k n a, a, p q p q ; k,n N şəklində vuruqlara ayrılır. Burada p q və p q üçhədliləri həqiqi kökləri olmayan kvadrat üçhədlilərdir. Bu halda onların müsbət olduğu aydındır. Ona görə də () bərabərsizliyində həmin kvadrat üçhədliləri yazmasaq (əgər varsa), onda onunla eynigüclü olan bərabərsizlik alarıq. 8
a k m ifadəsini k m olduqda a ; m m k m olduqda isə a a şəklində yazmaqla yenə də a m a -i yazmasaq alınan bərabərsizlik a olduqda yenə () bərabərsizliyi ilə eynigüclü olar. Bundan əlavə () bərabərsizliyinin surət və mərəcində eyni a ətti vuruğu varsa, onu itisar etmək olar ( a şəklində). Beləliklə, () bərabərsizliyini a a... a k b b... b şəklində yazmaq olar (sol tərəf itisar olunmayan kəsrdir). b n 0, b,..., b n və a a... a 0 k () olduqda () bərabərsizliyini, onunla eynigüclü olan a a... a b b... b 0 k n bərabərsizliyi ilə əvəz edək. Bu bərabərsizliyi sıfıra çevirən a ədədlərini ədəd ou üzərində qeyd,a,..., a ;b,b,..., b k n edək (şəkil ). Tutaq ki, həmin ədədlər artan sıra ilə, e kimi işarə olunub k n e,...,. 9
Şəkil. e olduqda e müsbət olduğundan deməli, qalan bütün vuruqlar nöqtəsində əyri ətt ounu e kəsməklə müsbətdən mənfiyə doğru çəkilir. Bundan sonra əyri əttin çəkildiyi nöqtə ilə ounu kəsmək şərti ilə davam etdiririk. Alınan sematik qrafikin müsbət və mənfi qiymətlər aldığı intervallar müəyyənləşdirilir. Nəticədə tələb olunan bərabərsizliyin həllər çoluğu yazılır. Bərabərsizliyin sol tərəfi sıfırdan kiçik olan halda da bərabərsizlik analoji qaydada həll olunur. Bu qayda ilə bərabərsizliyin həllinin tapılmasına deyilir. intervallar üsulu Qeyd : üsusi halda () bərabərsizliyində Q yaud hər hansı sabit ədəd ola bilər ki, bu halda bərabərsizlik p 0 şəklinə düşür. 40
Qeyd : () şəklindəki rasional bərabərsizliyi o zaman intervallar üsulu ilə həll etmək mümkündür ki, Q çohədlilərinin kökləri məlum olsun. Misallar. Verilmiş bərabərsizlikləri həll edin. ) 6. P və Həlli: Bərabərsizliyin bütün hədlərini sol tərəfə keçirək, onda 6 4 0 0 4 0 alınar. Bu bərabərsizliyi 0 olduqda 4 0 şəklində yazaq. Buradan ; ; 4 götürüb intervallar üsulu ilə Şəkil. (Şəkil ) alarıq. Deməli, və 4 yəni, 4, çoluğu bərabərsizliyin həllidir. 4
gətirək: 5 ). Həlli: Bütün hədləri sol tərəfə keçirib, ortaq mərəcə 8 4 alarıq. Bərbərsizliyi 0 4 8 0 4 8 0 şəklində yazaq. D 0 olduğundan bütün -lar üçün 4 8 0 olur. Deməli, verilən bərabərsizlik, onunla eynigüclü olan 0, bərabərsizliyə gətirilir. Son bərabərsizliyin həlli isə və olar. Yəni ; ;. ) 0. 7 4 Həlli:, 7 4 olduğundan verilən bərabərsizlik 4 4
4 şəklinə düşər. Buradan isə alınır. Aydındır ki, bu bərabərsizlik 4 0 4 0 0 bərabərsizliyi ilə eynigüclüdür. Buradan intervallar üsulu ilə (şəkil ) alarıq. ; 4 Şəkil. 4 çoluğu verilmiş Beləliklə, ; ; bərabərsizliyin həlli olur. 4
4) 4 0 7 4 7 0. Həlli: 4 0 y ilə işarə etsək, verilən bərabərsizliyi y 7y 7 0 və yaud y 7 y 0 şəklində yaza bilərik. Bu bərabərsizliyin həlli 0 y 7 inervalıdır. Onda əvəzləməni nəzərə alsaq 0 4 0 0 alarıq. Buradan 4 0 bərabərsizliyini alarıq ki, onun da həllər çoluğu a, D 0 olduğundan, intervalı olar. Çalışmalar. Bərabərsizlikləri həll edin. 5 ) 0 5 ), ) 0, 5 6 5 4 4) 0, 5 6 5 5), 6 6),, 44
7) 6 5 4, 8) 4 7 5 6 9. 5 6 45
8. İRRASİONAL BƏRABƏRSİZLİKLƏR Kök altında məchulu olan bərabərsizliklər irrasional bərabərsizliklər adlanır. İrrasional bərabərsizlikləri həll etmək üçün aşağıdakıları bilmək lazımdır. Tənliyə dail olan cüt dərəcəli köklər hesabi köklərdir. Yəni cüt dərəcədən kökaltı ifadə mənfi olarsa, kök mənasını itirər, sıfra bərabər olarsa, kökün qiyməti sıfır olur, kökaltı ifadə müsbət olduqda kökün qiyməti müsbət götürülür. Bərabərsizliyə dail olan bütün tək dərəcəli köklər kökaltı ifadənin istənilən həqiqi qiymətində təyin olunur. Bu halda kökün işarəsi kökaltı ifadənin işarəsi ilə eyni olur. n Məlumdur ki, y n N; n funksiyası təyin olunduğu oblastda artan funksiyadır. Tərəfləri mənfi olmayan bərabərsizliyin hər iki tərəfini, işarəsini salamaqla, kvadrata yüksəltdikdə onunla eynigüclü bərabərsizlik alınar. Tərəfləri itiyari ədəd olan bərabərsizliyin hər iki tərəfini tək dərəcədən qüvvətə yüksəltdikdə, onunla eynigüclü olan bərabərsizlik alınır. 46
İndi irrasional bərabərsizliklərin həllində rast gəlinən ayrı-ayrı üsusi hallara baaq:. f. Bu halda verilən bərabərsizlik f f 0, 0,. bərabərsizliklər sistemi ilə eynigüclüdür. Buradan f f 0, 0, yazmaqla alınan bərabərsizliklər sisteminin həlli verilən bərabərsizliyin həlli olur.. f. Burada 0 və 0 nəzərdən keçirək:. olmaqla iki halı a) 0 olduqda verilən bərabərsizlik f f 0, 0,. 47
bərabərsizliklər sistemi ilə; b) 0 olduqda isə, f 0, 0, bərabərsizliklər sistemi ilə eynigüclüdür. Əvvəlcə araşdırmanın köməyi ilə həll edilən bərabərsizliklərə baaq. Misallar. Verilən bərabərsizlikləri həll edin. ). Həlli: Hesabi kökün qiyməti mənfi ola bilmədiyindən bərabərsizliyin həlli yodur. ) 7 0. Həlli: Mənfi olmayan iki ədədin cəmi (hesabi kökləri) mənfi ola bilməz, ona görə də bərabərsizliyin həlli yodur. ) 9. Həlli: Burada 0 9 0 olmalıdır. 0, yəni 0 olarsa, 9 olar, yəni 9 48
bərabərsizliyi -in mənfi olmayan bütün qiymətlərində doğrudur: 0,. 4) 9. Həlli: Əvvəlcə bərabərsizliyin təyin oblastını tapaq: Buradan alınır. 0, 9 0, 0. İstənilən üçün 9 doğru olduğundan 9 olur. Bu isə 9 0 deməkdir. Lakin verilən bərabərsizliyin sağ tərəfi 0 olduğundan ziddiyət alınar. Deməli, verilən bərabərsizliyin həlli yodur. İndi bərabərsizliklərin analitik həllinə baaq: Misallar. Verilən bərabərsizlikləri həll edin. ) 6, Həlli: Verilən bərabərsizliyin tərəfləri mənfi olmadığından hər tərəfini kvadrata yüksəltmək olar: 0, 6 49. 49
Buradan alınır. Beləliklə,, 7 7 7; ;7 çoluğu bərabərsizliyin həlli olar (şəkil ). Şəkil. ). Həlli: Bərabərsizlik 0, 0,, bərabərsizliklər sistemi ilə eynigüclüdür. Bu sistemi həll etsək:, 0 50
alınar. Beləliklə, bərabərsizliyin həlli ) 0. Həlli: ; olur. həlli Buradan 0 0 0 6 0 5 4 5 6 alınır. Deməli, bərabərsizliyin 4 5 ;6 4 yarımparçası olur. 4). Həlli: Bərabərsizlik 0, 0, bərabərsizliklər sistemi ilə eynigüclüdür. Bərabərsizliklər sistemini həll etsək,. 5
, alarıq. Buradan aşkardır ki, verilən bərabərsizliyin həlli olar, yəni ;. Çalışmalar. Bərabərsizlikləri həll edin. ) 0, ), ) 5, 4), 5) 0, 6) 0 8, 7), 9 8), 9) 6 5 8, 0). 5
9. ÜSTLÜ VƏ LOQARİFMİK BƏRABƏRSİZLİKLƏR Üstlü və loqarifmik bərabərsizlikləri həll edərkən, üstlü və loqarifmik funksiyaların assələrindən istifadə edilir. Bu funksiyaların monotonluq assəsinə əsasən aşağıdakı təkliflər doğrudur. ) a olduqda a a bərabərsizliyindən, 0 a olduqda isə alınar. ) a olduqda log a log a bərabərsizliyindən, 0 a olduqda isə alınar. Qeyd etmək lazımdır ki, bir sıra hallarda üstlü və loqarifmik bərabərsizliklər əvəzetmə üsulunun köməyi ilə cəbri bərabərsizliklərə gətirilir. baaq: Əvvəlcə üstlü bərabərsizliklərə aid nümunələrə Misallar. Verlən bərabərsizlikləri həll edin. ). 8 5
Buradan 5 5 Burada a olduğundan 5 olmalıdır. alınar. Deməli, verilən bərabərsizliyin həlli 5 ; intervalıdır. 5 7 ) 7 0. Həlli: Verilən bərabərsizliyi özü ilə eynigüclü olan 7 bərabərsizliyi şəklində yazaq. Burada a olduğundan üstlü funksiyanın assəsinə əsasən 7 alarıq. Bu bərabərsizliyi məlum üsulla həll edək: 7 0 7 9 7 0 54
55 0 7 9 7 6 9 7 4 9 0 7 9 0 0 7 9 5. Sonuncu bərabərsizlik 0 7 olduqda 0 7 5, bərabərsizliyi ilə eynigüclüdür. Buradan intervallar üsuluna əsasən bərabərsizliyin həllinin ; ; çoluğu olduğunu alarıq (şəkil ). Şəkil. ) 5 5 6 6.
Həlli: 5 0 bərabərsizlik 6 və 6 0 6 5 olduğundan, verilən 5 bərabərsizliyi ilə eynigüclüdür. Buradan 6 6 alınar. Üstlü funksiyanın əsası a 6 olduğundan, 5 və yaud 7 0 alarıq. 7 kvadrat üçhədlisinin, 9 həqiqi kökləri olduğundan və 5 -nın əmsalı müsbət olduğundan 7 0 bərabərsizliyinin həlli ; 9; çoluğu olar. Beləliklə, verilən bərabərsizliyin həlli ; 9 ; çoluğu olur. 4) 4 8 0. Həlli: Verilən bərabərsizliyi eynigüclü çevirib və yaud 5 5 şəklində yazaq. Bu halda a olduğundan, 5 7 0 56
7 0 0 0 0 0 olar. Buradan intervallar üsulu ilə (şəkil ) ; 0 ; olduğunu alarıq. Şəkil. baaq. İndi isə loqarifmik bərabərsizliklərə aid misallara Qeyd edək ki, loqarifmik bərabərsizlikləri həll edərkən birinci növbədə loqarifmik funksiyalar üçün məchulun mümkün qiymətlər çoluğu tapılmalıdır. Misallar. Verilən bərabərsizlikləri həll edin. ) 59 0 0,5 log 4 log 4 4. Həlli: Əvvəlcə bərabərsizlik üçün məchulun mümkün qiymətlər çoluğunu müəyyən edək: 59 0 0 5,9 4 0 4 59 0 0 5,8 57
Buradan 4;5,8 alınır. Bərabərsizliyi çevirib 0,5 59 0 log 4 log 4 log 4 4 4 şəklində yazaq, buradan alarıq. yaud 59 0 log 4 log 4 4 a 4 olduğundan isə alınar. Bu bərabərsizlik 59 0 59 0 7 59 0 0, 7 0, 59 0 7, 4 sistemi ilə eynigüclüdür. Buradan alınar ki, 5,9 5,9,5,5 4 8 0 0 0,5 5 Nəticədə: 5;5,9 parçası ilə bərabərsizliyin təyin oblastı olan 4;5,8 intervalının kəsişməsi olan 5 ;5,8 yarımintervalı verilən bərabərsizliyin həlli olur. 58
) log log 0, 0, 0. log Həlli: log 0, 0, 0 olduğundan verilən bərabərsizlik 0 bərabərsizliyi ilə eynigüclüdür. Burada a 0 olduğundan bərabərsizlik 0 olduqda doğrudur. Bu ikiqat bərabərsizlik 0 bərabərsizliklər sistemi ilə eynigüclüdür. Buradan,5 alınar. həlli olur. Beləliklə, ;,5 intervalı verilən bərabərsizliyin ) ln ln. Həlli: Əvvəlcə bərabərsizliyin təyin oblastını tapaq: Buradan,5 ; 0,5 0 alınır. Loqarifmin əsası e ədədi vahiddən böyük olduğu üçün verilən bərabərsizlik 59
bərabərsizliyi ilə eynigüclü olar. Nəticədə verilən bərabərsizliyin həlli,5;4 və,5; intervallarının kəsişməsi olan,5;4 intervalı olar. 4) log 4 log 5 0, 5. 4 4 Həlli: Bərabərsizliyi onunla eynigüclü olan bərabərsizliklər sistemi ilə əvəz edək: Buradan və yaud 4 0, 5 0, 4 log 4 log 5 4 5 4 5 4 4 5 0,5. 4 7 5,,, alınar. Beləliklə, bərabərsizliyin həlli ; 5 intervalı olur. 60
Çalışmalar. I. Bərabərsizlikləri həll edin. ) 4 9 ) 9, ) 4) 5) 5 8 64, 0 45 6,, 0,8. II. Bərabərsizliklərin ən kiçik tam həllini tapın. 6) lg lg 7, 7) lg5 4 lg. III. Bərabərsizliklərin ən böyük tam həllini tapın. 8) lg 4 lg, 9) log 8 60. IV. Bərabərsizliyin ən kiçik müsbət tam həllini tapın 0) log 5 log 0, 0,. 6
0. TRİQONOMETRİK BƏRABƏRSİZLİKLƏR Məchulu triqonometrik funksiya işarəsi altında olan bərabərsizliklər triqonometrik bərabərsizliklər adlanır. sin a, cos a, tg a, sadə triqonometrik bərabərsizliklərdir. ctg a Triqonometrik bərabərsizliklərin həlii triqonometrik funksiyaların və bərabərsizliklərin assələrinə əsaslanır. Triqonometrik bərabərsizliklərin həlli sadə triqonometrik bərabərsizliklərin həllinə gətirildiyindən, əvvəlcə onların həllinə baaq: edin.. sin m bərabərsizliyinin həllər çoluğunu təyin Həlli: Aşağıdakı mümkün hallara baaq: a) Əgər m olarsa, bərabərsizliyin həlli istənilən həqiqi ədəddir; b) m olarsa, sin m bərabərsizliyini həll etmək üçün m 0 və 0 m hallarını ayrıayrılıqda nəzərdən keçirmək lazımdır. 6
Şəkil. 0 m Şəkil. m 0 Şəkillərdən aydın olur ki, 0 m olduqda (şəkil ) sin m bərabərsizliyinin həlli 6
k arcsin m k arcsin m, çoluğu, m 0 olduqda isə k arcsin m k k Z arcsin m, k Z çoluğu olar; edin. c) m olarsa, bərabərsizliyin həlli yodur. II. sin m bərabərsizliyinin həllər çoluğunu təyin a) Əgər m olarsa, bərabərsizliyin həlli yodur; b) Birinci misalın (b) bəndində olduğu kimi burada da 0 m və m 0 hallarını nəzərdən keçirmək lazımdır. Şəkil və 4-dən aydın olur ki, (şəkil ) 0 m olduqda sin m bərabərsizliyinin həlli k arcsin m k arcsin m, k Z çoluğu, m 0 olduqda isə k arcsin m k arcsin m, k Z çoluğu olar; 64
Şəkil. 0 m Şəkil 4. m 0 65
c) m olduqda, bərabərsizlik -in bütün qiymətlərində doğrudur. ) cos m bərabərsizliyinin həllər çoluğunu tapın. Həlli: a) m olarsa, istənilən həqiqi ədəd cos m bərabərsizliyinin həllidir. b) m olduqda; ) 0 m olarsa, onda cos m bərabərsizliyinin həlli çoluğu olar. k arccos m k arccos m, k Z ) m 0 olduqda isə cos m bərabərsizliyinin həlli 66
çoluğu olar. k arccos m k arccos m olduqda Beləliklə, k arccos m,k arccos m k arccos m,k zrccos cos m bərabərsizliyi ödənilər. c) m olduqda, bərabərsizliyin həlli yodur. 4) cos m bərabərsizliyinin həllər çoluğunu tapın. yodur; a) m olarsa, bərabərsizliyin həlli b) m olduqda; m 67
) 0 m olarsa, cos m bərabərsizliyinin həlli k arccos m, k Z k arccos m çoluğu olar. ) m 0 olduqda isə, cos m bərabərsizliyinin həlli k arccos m, k Z k arccos m çoluğu olar. c) m olduqda, bərabərsizliyin həlli bütün həqiqi ədədlər çoluğu olur. 5) tg m bərabərsizliyinin həllər 68
çoluğunu təyin edin. kimidir. kimidir. Həlli: İstənilən m üçün verilən bərabərsizliyin həlli arctgm k k, k Z 6) tg m bərabərsizliyinin həllər çoluğunu tapın. Həlli: Bərabərsizliyin həlli: k arctgm k, k Z 7) ctg m bərabərsizliyinin həllər çoluğunu tapın. Həlli: Bərabərsizliyin həllər çoluğu 69
şəklindədir. k arctgm k, k Z 8) ctg m bərabərsizliyinin həllini tapın. Həlli: Bərabərsizliyin həlli: arctgm k Qeyd etmək lazımdır ki, f k, k Z sin,cos,tg,ctg m şəklində bərabərsizliklərin həllində əgər f sin,cos,tg,ctg funksiyası dövrüdürsə, onun ən kiçik dövrü həll tapılır, sonra isə funksiyanın dövrülüyü assəsinə əsasən bütün təyin oblastında bərabərsizliyin həlli yazılır. ) Misallar. Verilən bərabərsizliyi həll edin: sin. Həlli: -nin (b) halındakı düstura əsasən bərabərsizliyin həlli çoluğu olar. 5 k k, k Z 6 6 70
) sin. Həlli: -nin (b) halında alınan düstura əsasən bərabərsizliyin həlli: 6 6 k k yəni 5 k k, k Z 6 6 çoluğu olar. ) sin 0 bərabərsizliyinin həllər çoluğunu tapın. Həlli: Bərabərsizliyi sin şəklində yazaraq, I (b) halındakı düstura əsasən 4 k k alınar. Buradan bərabərsizliyin həllər çoluğunun 5 k k; k Z 6 7
şəklində olduğunu alarıq. 4) tg bərabərsizliyinin həllər çoluğunu 4 təyin edin. Həlli: 5-ci misalda olduğu kimi bərabərsizliyin həllər çoluğu k k, k Z 4 4 və yaud k k, k Z 4 şəklində olar. Çalışmalar. Bərabərsizlikləri həll edin. ) sin, ) cos, 4 ) sin, 4) tg, 5) tg, 6) ctg, 7) sin, 8) cos, 9) sin cos, 0) sin sin. 7
. MÜTLƏQ QİYMƏT İŞARƏSİ ALTINDA MƏCHULU OLAN BƏRABƏRSİZLİKLƏR Mütləq qiymət işarəsi altında məchulu olan bərabərsizliklərin həllində, bərabərsizliyin təyin oblastını elə çoluqlara ayırmaq lazımdır ki, bu çoluqların hər birində mütləq qiymət işarəsi dailindəki ifadələr işarəsini salasın. Sonra mütləq qiymətin tərifindən istifadə etməklə bu çoluqların hər birində bərabərsizlik həll edilir və alınan həllər çoluğunun birləşməsi, verilən bərabərsizliyin həlli olur. Misallar. Verilən bərabərsizlikləri həll edin. ) 5. Həlli: Məchulun mümkün qiymətlər çoluğu ; intervalıdır. Aşağıdakı hallara baaq: a) 5 olduqda 5 0 olduğundan verilən bərabərsizlik 5 bərabərsizliyi ilə eynigüclüdür. Buradan 5,, bərabərsizliklər sistemi alınar ki, onun da həlli ;5 7
intervalıdır; b) 5 olduqda, 5 0 olduğundan, verilən bərabərsizlik 5 Buradan bərabərsizliyi ilə eynigüclüdür. 5, 7, bərabərsizliklər sistemi alınır ki, onun da həlli 5 7, yarımintervalıdır. Alınan çoluqların,5 və 5 7, birləşməsi,5 57, 7, bərabərsizliyin həlli olur. intervalı verilmiş ) 5 0 bərabərsizliyinin həllər çoluğunu təyin edin. Həlli: Məchulun mümkün qiymətlər çoluğu ; intervalıdır. Verilən bərabərsizlik aşağıdakı bərabərsizliklər sisteminə gətirilir: a) 0 5 0 D 5 4 0 olduğundan kvadrat üçhədlinin iki həqiqi kökü vardır. ;. a 0 olmasına 74
əsasən kvadrat bərabərsizliyin həlli ; olur. 0 şərtini nəzərə alsaq, bu halda alınan, ; 0 olar; bərabərsizlik sisteminin həlli b) 0, 5 0. D 5 4 0 olduğundan, olur. Odur ki, kvadrat bərabərsizliyin həllinin, olmasını və 0 şərtini nəzərə alsaq, bu halda alınan bərabərsizlik sisteminin həlli 0,, olur. Hər iki çoluğun birləşməsi, verilən bərabərsizliyin həlləri çoluğu ;, ) 9, olar. bərabərsizliyinin həllər çoluğunu tapın. Həlli: ifadəsi 0 və olduqda müsbət, 75
0 olduqda isə mənfi olduğundan 0, 0;, ; ; intervallarında verilən bərabərsizliklərə ayrı-ayrılıqda bamaq lazımdır. a) 0 ; ; çoluğunda 0 olduğundan bərabərsizlik 9 şəklinə düşər. Buradan 0, yəni 0 alınar. Nəticədə isə 0, yəni olur ( a 0; ; olduğundan). Odur ki, verilən bərabərsizliyin həlli üçün ; 0 ; və ; ;0 ; çoluğunu alarıq; b) ; çoluqlarının kəsişməsi olan 0 intervalında 0 olduğundan verilən bərabərsizlik 9, yaud 0 şəklinə düşər. Buradan isə 0 alınar. a 0 və D 0 olduğundan bərabərsizlik -in bütün həqiqi qiymətlərində doğrudur. Onda verilən bərabərsizlyin həlli ; və ; 0, olar. 0 intervallarının kəsişməsi, yəni Hər iki halı nəzərə alsaq, verilən bərabərsizliyin həlli 76
;0 0; ; olar. 4) log bərabərsizliyinin həllər çoluğunu təyin edin. Həlli: Verilən bərabərsizlik aşağıdakı bərabərsizliklər sistemi ilə eynigüclüdür: a) 0, log log 0,, və b) 0, log 0, log. Bu bərabərsizliklər sistemini ayrı-ayrılıqda həll etsək 0 0 a) log 8 log 8, 0 0 b) log 8 log 5 8, alarıq. Alınan çoluqların birləşməsi ;8 8; ; intervalı verilmiş bərabərsizliyin həllər çoluğu olar. Çalışmalar. Bərabərsizlikləri həll edin. ) 4 ; ) 0 ; ) ; 4) ; 77
5) 6 0 ; 6) 9 ; 7) 5 4 6 4 5 ; 8) 9) 4 log 4 9 ; ; 0) 4 log. 78
. BƏRABƏRSİZLİKLƏRİN FUNKSİYANIN TƏYİN OBLASTININ TAPILMASINA TƏTBİQİ Məlumdur ki, irrasional, loqarifmik, tərs triqonometrik və sair funksiyaların təyin oblastının tapılmasında bərabərsizliklərdən geniş istifadə olunur. Bunları misallar üzərində izah edək. I. İrrasional funksiyalar. Bildiyimiz kimi, cüt dərəcədən kökün mənası olması üçün kökaltı ifadə mənfi olmamalıdır. Misallar. Verilən funksiyaların təyin oblastını tapın. ) y. Hər iki kökün mənası olması üçün, ;, bərabərsizliklər sistemi alınar. Bu çoluqların kəsişməsi olan,, çoluğu verilən funksiyanın təyin oblastıdır. ) y funksiyanın təyin olunma 4 4 oblastını tapın. 79
Həlli: Verilən funksiyanın təyin oblastı -in elə qiymətlər çoluğudur ki, orada 4 4 0, 0, 4 4 0, və ya 4, 4, 0. münasibətləri ödənsin. Buradan təyin oblastının 4;0 0;4 çoluğu olduğu alınır. II. Loqarifmik funksiyalar. Loqarifmik funksiyaların təyin oblastını taparkən onun əsasının müsbət və vahiddən fərqli olmasını, eləcə də loqarifmi alınan ifadənin müsbət olmasını nəzərə almaq lazımdır. Misallar. Verilən funksiyaların təyin oblastını tapın. ) y log. Həlli: Aydındır ki, funksiya 0, yəni 0, 0, 0, 0 olduqda təyin olunub. Buradan 0. 0, 0. 0, 80
0, 0 və alarıq. və yaud 0 0 buradan Beləliklə, funksiyanın təyin olunma oblastı,, çoluğu olar. Nəticədə alarıq. Beləliklə, funksiyanın təyin oblastı, olur. ) y log 4 4 5. Həlli: Loqarifmin əsası üçün 0 və münasibətləri ödənilməlidir. Daha sonra loqarifması alınan ifadə 4 4 şərtini ödəməlidir. Buradan 4 5 0 5 0 Nəticədə isə və 5 alınar. Bu bərabərsizliklərdən birincisinin həlli boş çoluq, ikincisinin isə log 5 -dir. Beləliklə, funksiyanın təyin oblastı log 5; intervalı olur ( log 5 olması aydındır). 4) y lg. Həlli: lg 0 olmalıdır. Məlumdur ki, 8
vahiddən böyük ədədin loqarifması mənfi olmaz. Ona görə, yəni 0 alınar. Alınmış bərabərsizliyin həlli isə, Deməli,, təyin oblastıdır., şəklindədir., çoluğu verilən funksiyanın III. Triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyalar. Triqonometrik funksiyalar və eləcə də tərs triqonometrik funksiyalar dail olan funksiyaların təyin oblastını taparkən sadə triqonometrik və tərs triqonometrik funksiyaların təyin oblastını bilmək lazımdır. Misallar. Verilən funksiyaların təyin oblastını tapın: ) cos y. sin Həlli: sin və cos funksiyaları bütün həqiqi oda təyin olunduqlarından verilən funksiyanın təyin oblastı yəni k k Z sin 0, şərtini ödəyən bütün ədədlər çoluğu olar. ) y arccos. Həlli: Məlumdur ki, arccos m funksiyası m 8
şərtini ödəyən ədədlər üçün təyin olunub. Ona görə də olmalıdır. Buradan və yaud 0 0 0 və və 0 0 0 alınar. Alınan bərabərsizliklərdən birincisinin həlli ; ; isə ; ; çoluğu, ikinci bərabərsizliyin həlli çoluğudur. Beləliklə, verilən funksiyanın təyin oblastı tapılan çoluqların birləşməsi,, olar. Misallar. Aşağıdakı funksiyaların təyin oblastını tapın. ) y 4, ) y 5 5 ) y lg, 4) y lg4 8
, 5) y log 6 6) y 7) y lgtg, 5 8) y log 6 0, 9) y sin cos, 0) log log y log 4. 84
. FUNKSİYANIN ARTMA VƏ AZALMA İNTERVALLARININ TAPILMASINA BƏRABƏRSİZLİKLƏRİN TƏTBİQİ Tutaq ki, hər hansı bir aralıqda y f funksiyası verilmişdir. Bu aralıq interval, parça, yarıminterval, yarımo və ya bütün ədəd ou ola bilər. Tərif. Funksiyanın təyin oblastından götürülmüş şərtini ödəyən istənilən və nöqtələri üçün funksiyanın uyğun qiymətləri f f bərabərsizliyini ödəyərsə, onda belə funksiyaya həmin oblastda artan, f f şərtini ödədikdə isə azalan funksiya deyilir. olduqda f f ( f f ) münasibəti ödənilərsə, f -ə azalmayan (artmayan) funksiya deyilir. Azalan və artan funksiyalar birlikdə monoton funksiya adlanır. Misallar. ) y 5 funksiyası bütün ədəd ounda təyin olunub və istənilən üçün 5 5 münasibəti ödənir, yəni artan funksiyadır. 85
) y funksiyası da bütün ədəd ounda təyin olunub, lakin istənilən 0 üçün münasibəti; 0 üçün isə münasibəti ödənir, yəni verilən funksiya,0 intervalında azalan, 0, intervalında isə artan funksiyadır. Ikinci misaldan aydın olur ki, funksiya təyin oblastının bir hissəsində artan, digər hissəsində (yaud hissələrində) isə azalan ola bilər. Odur ki, onun artma və azalma intervallarını bilavasitə tərifinin köməyi ilə tapmaq həmişə mümkün olmur. Baılan funksiya təyin oblastında diferensiallanan olduqda onun artma və azalma intervallarını aşağıdakı teoremlərin köməyi ilə tapmaq olur. Teorem. f funksiyası,b a parçasında kəsilməz, a,b intervalında diferensiallanan funksiya isə və həmin intervalda:. f 0 olduqda f funksiyası a,b parçasında artan;. f 0 olduqda f funksiyası a,b parçasında azalan funksiyadır. 86
Qeyd etmək lazımdır ki, parçasında artması (azalması) üçün f funksiyasının a,b f törəməsinin bu parçanın bütün daili nöqtələrində müsbət (mənfi) olması zəruri deyil. Törəmə parçanın dailindəki sonlu sayda nöqtələrdə sıfıra bərabər ola bilər. Məsələn, funksiyası, intervalında artır, lakin onun y y törəməsi bu intervalın dailindəki 0 nöqtəsində müsbət deyil y 0 0. Teorem. f funksiyası,b a intervalında diferensiallanan və artandırsa (azalandırsa), onda onun həmin intervalda törəməsi mənfi (müsbət) deyil, yəni f 0 ( f 0 ). Yuarıdakı teoremlərdən aydın olur ki, funksiyanın monotonluq oblastını təyin etmək üçün aşağıdakı əməliyyatlar ardıcıllığı yerinə yetirilməlidir:. Funksiyanın təyin olunma oblastını tapmalı;. Funksiyanın birinci tərtib törəməsini hesablamalı;. Funksiyanın birinci tərtib törəməsinin müsbət olduğu və mənfi olduğu oblastı təyin etməli; 4. Törəmənin müsbət olduğu oblastda funksiya artır, 87
törəmənin mənfi olduğu oblastda isə funksiya azalır. Misallar. Verilən funksiyaların artma və azalma intervallarını tapın. ) y. Həlli: Verilən funksiyanın təyin oblastı, intervalıdır. Özü də orada həm kəsilməz, həm də diferensiallanandır. Funksiyanın birinci tərtib törəməsini tapıb müsbət olduğu untervalı seçək: və Buradan y 6 0 0 0 0 alınır. Deməli,, 6 0 6 yəni 0, yəni, və, 0 0 intervallarında verilən funksiya artandır. Onda,0 intervalı azalma intervalıdır. ) y e funksiyasının monotonluq intervalını 88
tapın. Həlli: Verilən funksiya, intervalında təyin olunub, kəsilməz və diferensiallanandır. y e e e e 5 5 0 e bərabərsizliyindən e 0 olduğundan 5 0 və yaud 5 alarıq. Deməli, 5, oblastında verilən funksiya artandır. Onda funksiya 5, intervalında azalar, çünki bu intervalda funksiyanın birinci tərtib törəməsi mənfi qiymət alır. ) y lg 5 6 intervalını tapın. funksiyasının monotonluq Həlli: Əvvəlcə verilən funksiyanın təyin oblastını tapaq. Loqarifmik funksiya yalnız müsbət ədədlər çoluğunda təyin olunduğundan 5 6 0 olmalıdır. Kvadrat üçhədli,, oblastında müsbət olduğundan verilən funksiya bu oblastda təyin olunar. Funksiya törəməsinin müsbət olduğu çoluğu tapaq: 89
5 6 5 y lg e lg e 0 5 6 5 6 5 Buradan log e 0 olduğundan 0 alarıq. 5 6 Bu bərabərsizlik və funksiyanın təyin olunma oblastını nəzərə alsaq, 5 0 5 6 0 alarıq ki, bu bərabərsizliklər sistemin həllər çoluğu da, oblastı olar. Deməli,, oblastında funksiya artır. Onda funksiya, oblastında azalan olar. 4) təyin edin. y funksiyasının monotonluq intervalını Həlli: Funksiyanın təyin oblastı,, çoluğudur. Bu çoluqda funksiya həm kəsilməz, həm də diferensiallanandır. Törəmənin müsbət olduğu çoluğu tapaq: 0. y 90
Buradan 0 Bərabərsizliyin həlli 0 və, alınar ( şərtilə). yəni, 0, olur. Deməli, verilən funksiya, 0, çoluğunda artan, təyin oblastının qalan 0,, hissəsində isə azalandır. Çalışmalar. Verilən funksiyaların monotonluq intervallarını tapın. ) y, ) y, ) y 6 5, 4 4) y 4 8, 5) 6) 7) 8) y 5 5, y, y e, y e, 9) y ln, 0) y ln. 9
4. BƏRABƏRSİZLİKLƏRİN İSBATI Bərabərsizlikləri isbat etmək ona dail olan hərflərin, bərabərsizliyin təyin oblastından götürülmüş qiymətlərində doğru olduğunu göstərmək deməkdir. Bərabərsizliklərin isbatı -də verilmiş assələri nəzərə almaqla mütəlif üsullarla yerinə yetirilir. Aşağıdakı əsas üsullardan daha ço istifadə olunur: a) Eynigüclülük assələrinə əməl etməklə isbat ediləcək bərabərsizlik çevirmələrin köməyi ilə aşkar bərabərsizliyə gətirilir; b) Eynigüclülük assələrinə əməl etməklə aşkar və ya məlum bərabərsizlikdən, isbat ediləcək bərabərsizlik alınır; c) Yuarıdakı iki üsulun eyni zamanda tətbiqi, yəni məlum və verilən bərabərsizliklərin çevrilməsi nəticəsində aşkar bərabərsizliyə gətirilir. Bərabərsizliklərin isbatında ço istifadə ediləcəyini nəzərə alaraq aşağıdakı aşkar və sadə bərabərsizlikləri nəzərdən keçirək: ) İstənilən həqiqi a və b ədədləri üçün aşağıdakı bərabərsizliklər doğrudur: 9
a b a) a b ab və ya ab bərabərlik yalnız və yalnız, burada a b olduqda doğrudur. Bu bərabərsizliyin doğruluğu a b 0 bərabərsizliyindən alınır; aşkar b) a b a b. Burada bərabərlik halı a b olduqda alınır. Bu bərabərsizliyi daha ümumi şəkildə a kimi yazmaq olar; a a... a a a... a n n c) a b a b. Burada bərabərlik halı a 0 və b 0 olduqda doğrudur; d) a 0 və D b 4ac 0 olduqda a b c 0 olur, bərabərlik D 0 olduqda alınır və bu halda b olar. a ) İstənilən müsbət ədədlər üçün aşağıdakı bərabərsizliklər doğrudur: a b a b a) ab iki ədədin ədədi ortası,. Bərabərlik halı a b olduqda alınar. ab isə iki ədədin həndəsi 9
ortası adlanır. a b 0 doğru bərabərsizliyindən a b a ab b 0, və yaud ab alarıq. Beləliklə, məlum doğru bərabərsizlikdən istifadə edərək isbatı tələb olunan bərabərsizliyi a b ab alarıq. Bu isə o demekdir ki, iki müsbət ədədin ədədi ortası, bu ədədlərin həndəsi ortasından kiçik deyildir. Bu bərabərsizlik n sayda müsbət ədəd üçün də doğru olub, a a... a n n n a a a... n şəklində yazılır və Koşi bərabərsizliyi adlanır. Bərabərlik halı a a... a n olduqda alınır; a b b) istənilən müsbət a və b ədədləri üçün b a bərabərsizliyi doğrudur. 94
Bərabərlik halı yalnız bərabərsizlik a b ab c) a b aba b a b olduqda doğrudur. Bu bərabərsizliyi ilə eynigüclüdür; bərabərsizliyi itiyari müsbət ədədləri üçün doğrudur. məlum Bərabərlik halı a a b olduqda alınır. Bu bərabərsizlik ab b ab bərabərsizliyini a və b ədədlərinə vurub tərəf-tərəfə toplamaqla alınır; d) c 0 və 0 a b olarsa, a b a c doğrudur. Bu b c bərabərsizliyin doğruluğu ab ac ab bc aşkar bərabərsizliyindən alınır. Misallar. Aşağıdakı bərabərsizliklərin doğru olduğunu isbat edin. ) İstənilən müsbət a və b üçün a b a b bərabərsizliyi doğrudur. İsbatı: İsbat olunacaq bərabərsizliyin hər tərəfini kvadrata yüksəldək (tərəflər müsbətdir): a b Buradan aşkar ab a b ab 0 95
bərabərsizliyini alarıq. Bu bərabərsizlik eynigüclülük assəsinə əməl edilməklə alındığından isbat olunacaq bərabərlik doğrudur. ) p 0 və 0 bərabərsizliyi doğrudur. q olarsa, p q p q 6 pq İsbatı: Məlum a b ab bərabərsizliyinə əsasən p q p q p q pq bərabərsizliklərini yaza bilərik. Tərəfləri müsbət olan bu bərabərlikləri tərəf-tərəfə vuraq: p q p q 8 4 p q alarıq. Buradan p q p q 6 pq ab ) a 0, b 0 olarsa, 4 ab a b bərabərsizliyi doğrudur. İsbatı. Bərabərsizliyin hər tərəfini 4 ab -yə bölək. 96
4 ab a b yaud a b 4 ab 4 4 Bu bərabərsizlik aşkar a b 0 bərabərsizliyi ilə eynigüclü olduğundan verilən bərabərsizlik doğrudur. doğrudur. 4) a olduqda a İsbatı: Bərabərsizliyi şəklində yazaq. a 4a 4 a 8 a a a a 4 bərabərsizliyi a bütün qiymətlərində a 0 () və a 4 0 olduğundan () bərabərsizliyinin hər tərəfini müsbət a a a 4 ifadəsinə vursaq, onunla eynigüclü olan a a 4 a a, yaud 8 0 aşkar bərabərsizliyini alarıq. Deməli, verilən bərabərsizlik doğrudur. Çalışmalar. Bərabərsizlikləri isbat edin. ) a bb cc a 8abc, a 0, b 0, c 0, ) a b a b ) a 4 b 4 8a 4 b,, 97
4) a b c olarsa, a 5) b a və 0 b c, b c olduqda log log b c a, 6) y y 6 y 0 0, 7) y 0 olarsa, y y 7, a c 8) a 4b olarsa, a 4b a, 9) a n n ardıcıllığı monoton artandır, n 0) y z 6 olarsa, y z olar. 98
CAVABLAR. ) 7,, ),, ),, 4),, 6) 7 5) ;7,5 8), 0, ;, 7) ;,5 4, 9),, 0) ;. ) ; 5) 5 ; 9) ; ), ) ;,., ) ;, 4) ;, 4, 6), 7) ; (, 0) ; 7 6 4. ) ; 5),. 6 9 7, 8) 4;,, ) 46; 5, ) ;5, 4) 6; 5, 6) 0;9,, 7), 8), 9) -4, 0) -9. 0 5. ) ;4, ) 4 ;6, ),, 4) 4 ;, 5 5 7 7 5) ; 8 7 5, 6) ; 5, 7) ;5 5 (. 7 9) ;, 0) ; ) 7 6 59 7, 8) ;, 99
6. ) ;,5, ) ;4 5) 0,5;, ) ;, 4),, 4 5 ;, 6) ;, 5 7) ; ;, 8) ;, 9), 4 0) ;. 7. ) ; 5 ;, ) ; ) ; ; ;,, 4) 6; 4 ; 5) 7; 7 4; ;, 6) ( ;0) (; ) (; ),,,7) ; ; 8) ; 8;. 8. ),5;, ) 5 ; 5, ) 5;, 74 ;, 4) ;, 5) 98;, 6) 5; 7), (, 5 4, 8) ( ;0) (5; ), 9) ;4 ) 0) ; 0;. 00
9. ) ; ( ; ) ) ;log, ) ;, 4), 0 (; ), 5) ( ; ) 6) 5, 7), 8) 7, 9), 0) 7., 0. ) ) ) 4) 5) 6) 7) 8) 9) arcsin 4 k, arcsin k ; k, 4 k, k ; k, (k ),4( k ) ; k, k, k; k k k, ; k 6 4 k, k ; k 4 4k 4k, ; k 9 9 k, k; k 6 6 5 k, k ; k 4 4,,,,,, 0
0) 4 4 4 k, 8k 5; k 4 8k, k 8k, 8k.. ) ;7, ) 4,8 8,, ),, 4),,, 5), 6),4 ;, 7 8, 7) ;, 8) ;, 9) ;7, 5 7 0),4 64, 0.. ),, ) 5, ), 4),,,, 5),, 6),,5,, 7) k k; k, 7 8),0 0) 4,, 9) k k ; k,. ),, artır,, azalır, ), (0, ) artır,,0 azalır, ), 0, artır, 0, azalır, 0
4), 4, artır, 4, azalır, 5), ; artır,, azalır, 6), ;, azalır, 7), artır,, azalılr, 8), artır,,, azalır, 9) 0, azalır,, artır, 0) 0, azalır,, artır. e e 0
MÜNDƏRICAT səh..ədədi bərabərsizliklər və onlar üzərində əməllərin yerinə yetirilməsi metodikası.... Birdəyişənli bərabərsizliklər...9.xətti bərabərsizliklər sistemi...5 4. Kəsr-ətti bərabərsizliklər... 5. İkiqat bərabərsizliklər...9 6. Kvadrat bərabərsizliklər...4 7. Rasional bərabərsizliklər...8 8. İrrasional bərabərsizliklər...46 9. Üstlü və loqarifmik bərabərsizliklər...5 0. Triqonometrik bərabərsizliklər...6. Mütləq qiymət işarəsi altında məchulu olan bərabərsizliklər...7. Bərabərsizliklərin funksiyanın təyin oblastının tapılmasına tətbiqi...79. Funksiyanın artma və azalma intervallarının tapılmasına bərabərsizliklərin tətbiqi...85 4.Bərabərsizliklərin isbatı...9 5. Cavablar...99 04