SEKİZDAL YÖNTEMİ İLE 3 BOYUTLU DÜZENSİZ ÇÖZÜM AĞLARININ SEYREKLEŞTİRİLMESİ VE ÇOK KATMANLI AKIŞ ÇÖZÜMLERİNİN ELDE EDİLMESİ

Transkript

1 III. ULUSAL HAVACILIK VE UZAY KONFERANSI Eylul 2010, Anadolu Üniversitesi, Eskişehir SEKİZDAL YÖNTEMİ İLE 3 BOYUTLU DÜZENSİZ ÇÖZÜM AĞLARININ SEYREKLEŞTİRİLMESİ VE ÇOK KATMANLI AKIŞ ÇÖZÜMLERİNİN ELDE EDİLMESİ Emel MAHMUTYAZICIOĞLU 1 TÜBİTAK-SAGE, Ankara İsmail H. TUNCER2 ve Haluk AKSEL3 ODTÜ, Ankara ÖZET Bu çalışmada, üç boyutlu çok katmanlı (Multigrid) çözüm uygulamalarında kullanılmak üzere sekizdal (Octree) veri yapısı tabanlı yeni bir ardışık seyrekleştirilmiş çözüm ağları oluşturulma yöntemi geliştirilmiştir. Çözüm ağını oluşturan hücreler, hücre merkezlerine göre sekizdal veri yapısı kullanılarak gruplandırılmış ve oluşan bu veri yapısına göre birleştirilerek ardışık seyrekleştirilmiş çözüm ağları oluşturulmuştur. Ardından, çok katmanlı çözüm algoritmaları TÜBİTAK-SAGE de geliştirilen akış çözücüye eklenmiştir. Yeni geliştirilen seyrekleştirme programı düzensiz çözüm ağına sahip ONERA M6 ve düzenli çözüm ağına sahip NACA0012 kesitli kanada uygulanmış ve çok katmanlı akış çözümleri elde edilmiştir. Çok katmanlı çözümler incelendiğinde, ağdasız durumlarda aerodinamik katsayıların 5 katın üzerinde, ağdalı çözümlerde ise sürükleme kuvvetinde 13, kaldırma kuvvetinde ise yaklaşık 4 kat hızlanma görülmüştür. GİRİŞ Düzensiz çözüm ağına sahip Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği çözümlemelerinin hızlandırması için yapılan araştırma ve incelemelerde, çok katmanlı çözüm tekniğinin çözüm zamanı azaltımında en etkin yöntem olduğu görülmektedir [1-8]. Çok katmanlı çözüm yönteminde ardışık seyrekleştirilmiş çözüm ağları kullanılarak akış çözümlerindeki yakınsamanın hızlandırılması sağlanır. Bu yaklaşımın başlangıcında, sayısal hata kalıntı frekanslarının incelenmesi bulunmaktadır. Açık uçlu çözümlemelerde bölgesel olarak görülen veya yüksek frekanslı olan hataların, özellikle çözümlemelerin başlangıcında çabuk bir şekilde yok edildiği ancak genel olarak görülen veya düşük frekanslı olan hataların çabuk sönümlenemediği bilinmektedir. Çok katmanlı çözüm stratejisi bu ilk hata sönümlenmesi üzerine kurulur. Sık çözümleme ağından elde edilen çözümleme sonuçları ve hata kalıntıları kendine göre seyrek olan çözümleme ağına aktarılır. Sık çözüm ağı için düşük frekanslı olan çözüm hataları, seyrek çözüm ağlarında yüksek frekanslı olarak belirir ve çözümleme seyrekleştirilmiş çözüm ağlarında yapılarak bu yüksek frekanslı çözüm hataları yok edilir. En seyrek çözüm ağına ulaşıldıktan sonra, seyrek çözüm ağında elde edilen çözümlemeler tekrar kendine göre sık çözüm ağına alınarak doğruluk artırılır. Bu döngü sürekli tekrarlanarak hızlı ve daha doğru akış çözümleri elde edilir. 1 Başuzman Araştırmacı, e-posta: emel.mahmut@sage.tubitak.gov.tr Prof. Dr., Havacılık ve Uzay Müh. Böl., e-posta: tuncer@ae.metu.edu.tr 3 Prof. Dr., Makina Müh. Böl., e-posta:aksel@me.metu.edu.tr 2

2 Düzenli ve kartezyen tip çözüm ağlarında seyrek çözüm ağları kolaylıkla elde edilir. Ancak düzensiz çözüm ağlarında, çözüm ağı yapısının farklı olması nedeni ile seyrek çözüm ağları elde edilmesi zordur ve bu konuda çeşitli teknikler önerilmiştir [3,4,5,6,7,10]. Günümüzde bu yöntemler altı ana grup altında değerlendirilebilir. İlk yaklaşım, çözüm ağının seyrekleştirilmesi yerine, seyrek bir çözüm ağında hücrelerin bölünmesi ile ardışık sıklaştırılan çözüm ağlarının oluşturulmasıdır. Diğer bir yaklaşım her katmanda çeşitli seyreklik oranında birbirinden tamamen bağımsız çözüm ağı oluşturulmasıdır. Daha otomatikleştirilmiş olan diğer yöntem ise sık bir çözüm ağından seyrek çözüm ağlarını oluşturmak üzere düğüm noktalarının seçilmesi ve ters Delaunay triangulation algoritması kullanarak seyrek üçgenlerin oluşturulmasıdır. Özellikle karmaşık geometrilerin modellenmesi ve geometri özelliğinin kaybedilmemsi amacı ile kullanılan yöntem ise toplama-birleştirme (Agglomeration) yöntemidir. Bu yöntemde tüm düğüm noktaları ve kenarlar ortak bir şekilde içi içe geçmiştir. Karmaşık geometrilerde uyarlanabilir (Adaptive) çözüm ağı oluşturmaya dayalı yaklaşımlar da kullanılmaktadır. Son olarak çözüm ağları yaratılmadan çok katmanlı çözüm uygulamasının yapıldığı cebir (Algebraic) yöntemi de mevcuttur. Toplama-birleştirme ile seyrekleştirme yöntemi geometriyi koruması, iç içe geçmiş orjinal yüzeyleri kullanması ve kolayca otomatikleştirilmesi nedeni ile en yaygın kullanılan metodtur [8]. Bu metotun amacı verilen sık çözüm ağından komşuların incelenerek uygun bir şekilde birleştirilmesi ile seyrek çözüm ağlarının yaratılmasıdır. Toplama-birleştirme ile seyrekleştirme yönteminin en büyük dezavantajı ise uygun en boy oranlı hücreler oluşturulabilmesi için orjinal bir hücrenin hangi komşuları ile birleşeceği ve böylece hangi düğüm noktalarının silineceğinin belirlenmesidir [10]. Bu yöntem birkaç durum dışında özellikle düğüm noktası tabanlı çözücülere uygulanmıştır [2]. Bu çalışmada, üç boyutlu çok katmanlı çözüm uygulamalarında kullanılmak üzere, düzensiz/melez çözüm ağları ve hücre merkezli çözücülere uygun, yaklaşık bir en boy oranına sahip hücrelerden oluşan ardışık seyrekleştirilmiş çözüm ağları oluşturulma yöntemi geliştirilmiştir. Bu yeni seyrekleştirme yöntemi, hücre merkezlerinin dörtdal veya sekizdal veri yapısı kullanılarak gruplandırılması ve oluşan bu veri yapısına göre birleştirilerek ardışık seyrekleştirilmiş çözüm ağları oluşturulması temeline dayanmaktadır [9]. Ardından, çok katmanlı çözüm tekniği TÜBİTAK-SAGE tarafından geliştirilen Euler/Navier Stokes temelli SENSE3D çözücüsüne uygulanmıştır. Uygulama sırasında ilk olarak seyrek çözüm ağlarında görülen düzensiz hücre yapılarının çözücü ile adaptasyonunun kolayca yapılabilmesi için çözücünün hücre merkezli yapısı bozulmadan akı hesabını kenar veya yüzey döngüsünde olması sağlanmıştır. Bu güncellemenin ardından, çoklu çözüm ağı tekniği çalışma yöntemleri olan çözüm ağları arasında kalıntı ve çözüm taşıma operatörleri ve döngü stratejileri temel alınan çözücüye eklenmiştir. Geliştirilen yöntem ile ilk olarak ONERA M6 kanadının etrafında oluşturulan düzensiz çözüm ağı seyrekleştirilmiş ve bu ağlar üzerinde çok katmanlı ağdasız çözüm elde edilmiştir. İkinci uygulama olarak düzenli çözüm ağına sahip NACA0012 kesitli kanatın ağdalı çok katmanlı çözümlemeleri elde edilmiş ve çok katmanlı çözüm yaklaşımının hızlanma oranları sunulmuştur. Seyrek çözüm ağları incelendiğinde, oluşan hücrelerin geometri özelliğini bozmadığı, en boy oranının yaklaşık bir olduğu ve seyrekleşme seviyesi yükseldikçe Kartezyen tip çözüm ağına yakınsadığı görülmektedir. Bu seyrek çözüm ağları kullanılarak, elde edilen çok katmanlı çözümlerde, ağdasız durumlarda aerodinamik katsayıların 5 katın üzerinde, ağdalı çözümlerde ise sürükleme kuvvetinde 13, kaldırma kuvvetinde ise yaklaşık 4 kat hızlanma olduğu görülmüştür. METOD Bu bölümde sekizdal veri yapısı kullanarak çalışan ardışık seyrekleştirilmiş çözüm ağları oluşturulma yöntemi anlatılmıştır. Ardından çok katmanlı çözüme uygunluğunun sağlanabilmesi için çözücüde yapılan güncellemelerden bahsedilmiştir. Son olarak çok katmanlı çözüm tekniği ve çeşitli döngü stratejileri tanıtılmıştır. 2

3 Sekizdal Veri Yapısı Tabanlı Çözüm Ağı Seyrekleştirme Stratejisi Çok katmanlı çözüm stratejisinde orijinal çözüm ağına uygun ardışık seyrekleştirilmiş seyrek çözüm ağlarının oluşturulması önem taşımaktadır. Düzenli ve kartezyen çözüm ağlarında seyrekleştirme işleminde her yönde 2 çözüm noktasından birinin atlanması ile seyrek çözüm ağı otomatik olarak elde edilebilir. Bu işlem sayesinde 2 boyutlu çözüm ağında 2:1 veya 4:1 oranında seyrek katmanlar başarılı bir şekilde oluşturulur. Düzenli ve kartezyen çözüm ağlarının aksine, düzensiz çözüm ağlarında bu yöntemin en büyük zorluğu ardışık seyreltilmiş çözüm ağlarının elde edilmesidir. Bu çalışmada özellikle karmaşık geometrilerin modellenebilmesi ve seyrek çözüm ağlarında orjinal geometri tanımının korunabilmesi nedeni toplama-birleştirme yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntemde tüm düğüm noktaları ve kenarlar ortak bir şekilde içi içe geçmiştir, uygulaması kolay ve çözüm doğruluğu oldukça yüksektir. Toplama-birleştirme ile seyrekleştirme yönteminin amacı verilen sık çözüm ağından komşuların incelenerek uygun bir şekilde birleştirilmesi ile seyrek çözüm ağlarının yaratılmasıdır. Bu yöntemin en büyük dezavantajı ise bir hücrenin hangi komşuları ile birleşeceği ve böylece hangi düğüm noktalarının silineceğinin belirlenmesidir. Bu çalışmada sekizdal veri yapısı, birleşecek hücrelerin seçiminde kullanılarak üç boyutlu çalışmalar için yeni bir seyrekleştirme yöntemi oluşturulmuştur. Sekizdal veri yapılandırması, istenilen çözünürlüğe ulaşıncaya kadar veri uzayının sürekli olarak bölünmesi prensibine dayanmaktadır. Bu hiyerarşik veri yapısı; iki boyutlu uzayda dörtdal veya üç boyutlu uzayda sekizdal (Octree) yöntemi olarak isimlendirilir. Bu veri yapısı, sayısal görüntü işlenmesinde, harita ve coğrafi bilgilerin çizdirilmesinde ve robotikte giderek yaygın bir şekilde kullanılmaktadır [9]. Seyrekleştirme algoritmasında ise, çözüm ağında bulunan hücre merkezlerinin dağılımları alınarak bir yığın oluşturulur. Sekizdal yapısı ile çözüm hacmi herbirinde en fazla sekiz merkez noktası olan hayali küplere bölünür. Hayali küpler içindeki hücreler birleştirilerek seyrek çözüm ağları oluşturulmaya başlar. Ardından bu hayali küpleri oluşturan aile küplerde bulunan hücreler birleştirilir ve ardışık seyrekleştirilmiş çözüm ağları oluşturulur. Seyrek çözüm ağlarında yeni oluşturulan herhangi bir eleman bulunmamaktadır. Böylece çözüm ağlarında sınır koşulları hiç değişmez ve geometrinin bozulmaması sağlanır. Çözücünün Çok Katmanlı Çözüm Tekniğine Göre Güncellenmesi TÜBİTAK-SAGE tarafından geliştirilen SENSE3D çözücüsü bu çalışmada çok katmanlı akışl çözücü olarak kullanılmıştır. SENSE3D, düzensiz/hibrid çözüm ağları üzerinde, hücre merkezli, Roe akı hesaplamalı, 3. derece Runge-Kutta metodu ile açık uçlu ağdalı va ağdasız çözüm elde edilen ve sonlu hacim metodu kullanan bir akış çözücüsüdür. Seyrek çözüm ağlarında hücreler düzensizdir ve altıdan fazla yüzeye sahiptir. Uygulama sırasında ilk olarak seyrek çözüm ağlarında görülen düzensiz hücre yapılarının çözücü ile adaptasyonunun kolayca yapılabilmesi için çözücünün hücre merkezli yapısı bozulmadan akı hesabını kenar veya yüzey döngüsünde olması sağlanmıştır. Seyrek çözüm ağlarında yer alan aktif yüzeyler seyrekleştirme sırasında işaretlenmiş olup çözücü sadece aktif yüzeylerde çalışacak şekilde güncellenmiştir. Çok Katmanlı Çözüm Yöntemi ve SENSE3D Çözücüsüne Adaptasyonu Lineer olmayan problemleri çok katmalı çözüm uygulamasında çözebilmek amacı ile seyrek çözüm ağlarında da akış parametrelerinin kendisinin kullanıldığı şema (Full Approximation Storage Scheme FAS-) seçilmiştir [8]. FAS ile sık çözüm ağlarında elde edilen akış çözümleri ve kalıntılar transfer operatörleri ile seyrek çözüm ağlarına taşınırlar. Gelen bilgiler seyrek çözüm ağlarında hücrelerin ilk değerleri olarak kullanılır, seyrek çözüm ağlarında akış çözümlemeleri tekrarlanır, elde edilen sonuçlar ile sık çözüm ağından gelen akış çözümlerinin farkları alınarak hata değerleri bulunur ve yine transfer operatörleri ile sık çözüm ağlarına bu hata değerleri geri taşınır. Sık çözüm ağından seyrek çözüm H ağına akış parametlerinin taşındığı transfer operatörü, I h, (Restriction) Denklem 1 de sunulduğu üzere hacim ortalaması kullanır. 3

4 I hh ( u h ) = V V SIK uh (1) SEYREK Yine sık çözüm ağından seyrek çözüm ağına taşınan kalıntı değerleri ise seyrek hücreyi oluşturan sık H hücrelerin kalıntıları toplanarak hesaplanır I h ( rh ). Seyrek çözüm ağlarından sık çözüm ağlarına taşınan hata değerleri ise yine transfer operatörü kullanılarak, I Hh, (Prolongation) taşınır. Bu operator seyrek hücreleri oluşturan sık hücrelere hataların atanması şeklinde çalışır. Çok katmanlı çözüm uygulamalarında sık çözüm ağından seyrek çözüm ağına, seyrek çözüm ağından sık çözüm ağlarına geçiş stratejileri farklı döngüler olarak tanımlanabilir. Bu çalışmada, V-döngüsü, W döngüsü ve tüm çok katmanlı çözüm (Full Multigrid FMG-) döngüsü uygulanmıştır. V ve W döngülerinde çözüm sık çözüm ağından başlar, akış parametreleri ve kalıntılar kendisine gore seyrek çözüm ağına uygulanır ve herbir seviyede belirlenen adımda çözüm alınır. Bu adımlar en seyrek çözüm ağına kadar uygulanır. Ardından düzeltme bölümü başlayarak herbir seviyede elde edilen hata değerleri bir üst seviye sık çözüm ağına aktarılır. Hata değerleri ile bulunan seviyede elde edilen akış değerleri toplanır, ardından çözüm tekrarlanarak hücrelere gelen bu değerlerin uygun bir şekilde dağıtılması sağlanır. W döngüsünde V döngüsünden farklı olarak, çözümlemelerde sık çözüm ağına ulaşmadan önce tekrar seyrek çözüm ağına dönülür. Böylece sık çözüm ağına gelmeden önce seyrek çözüm ağlarında daha fazla sonuç alınır ve elde edilen hata paylarının güncellenmesi hedeflenir. Bu iki döngünün kombinasyonu olarak FMG döngüsü kullanılmaktadır. V-döngüsü başlamadan önce seyrek çözüm ağlarında hesaplamalar yapılır ve ilk sık çözüm ağı çözümlemesine oldukça yüksek doğrulukta değerlerin gelmesi hedeflenir. Bu ön aşama sırasında seyrek çözüm ağının bir üst seviyesinde bulunan daha az seyrek seviyenin en doğru değeri alması için V-döngüsü uygulanır. Ardından Vdöngüsüne bir üst seviye seyrek çözüm ağı eklenerek yeni bir V-döngüsü oluşturulur ve her bir seviyenin en doğru değeri bulması sağlanır. SONUÇLAR ve YORUMLAR Bu bölümde ilk olarak ONERA M6 kanadı etrafında oluşturulan yaklaşık 1.4 milyon üçgen prizmalara sahip çözüm ağı kullanılarak seyrek çözüm ağları oluşturulmuş ve çoklu ağ yöntemi kullanılarak ağdasız (Inviscid) akış çözümlemeleri elde edilmiştir. Uygulama 2 de ise sekizdal veri yapısı tabanlı seyrekleştirme algoritması 0.64 milyon düzenli hücrelere sahip NACA0012 kesitli kanat etrafı çözüm ağına uygulanmıştır. Ayrıca çoklu ağ yönteminin ağdalı akışlarda hızlanma oranı incelenmiştir. Uygulama 1:ONERA M6 Üzerinde Ağdasız Akış Çözümü Bu uygulamada akış çözümlemelerinde doğrulama amaçlı olarak sıkça kullanılan ONERA M6 kanat geometrisi kullanılmıştır. Kanat geometrisi etrafına Şekil 1 de sunulan noktaya ve hücreye sahip düzensiz çözüm ağı oluşturulmuştur. Geliştirilen sekizdal veri yapısı tabanlı seyrekleştirme yöntemi ile çözüm ağları arasında hücre sayısı oranı en fazla %40 olacak şekilde , 99851, ve hücreye sahip dört katman seyrek çözüm ağı oluşturulmuştur (Şekil 2). Oluşan seyrek çözüm ağlarında hücrelerin yüksek kalitede ve en boy en oranlarının yaklaşık 1 civarında olduğu, temel çözüm ağında görülen hücre büyüklüğü genişleme oranlarının ise korunduğu görülmektedir. 0.3 Mach sayısı, 7 milyon Reynolds sayısı ve 0 hücum açısında ağdasız açık uçlu akış çözümlemeleri 0.2 CFL sayısı kullanılarak elde edilmiştir. Aynı akış koşullarında, herbir seyrek çözüm seviyesinde 20 iterasyon adımı kullanırak, V-döngülü, W-döngülü ve FMG döngülü çok katmanlı çözümler de elde edilmiştir. Çok katmanlı çözümler kullanılarak elde edilen sonuçlardan ONERA kanadı üzerinde görülen Mach sayısı dağılımı de, simetri ekseninde görülen Mach sayısı dağılımı ise Şekil 4 de sunulmuştur 4

5 Şekil 1: Uygulama 1 için düzensiz çözüm ağı Katman 2 Çözüm Ağı Katman 3 Çözüm Ağı Katman 4 Çözüm Ağı Katman 5 Çözüm Ağı Şekil 2: Uygulama 1 için seyrek çözüm ağları 5

6 . Şekil 3: Uygulama 1 için ONERA M6 kanadı üzeri Mach sayısı dağılımı Şekil 4: Uygulama 1 için simetri ekseni Mach sayısı dağılımı Tek katmanlı çözümlemeler ile V-döngüsü, W döngüsü ve FMG döngüsü ile elde edilen çok katmanlı çözümlemelerin kalıntı yakınsama grafikleri Şekil 5 de sunulmuştur. Çok katmanlı çözümlerin oldukça hızlı olarak tek katmanlı çözüm ile aynı kalıntı değerine yakınsadıkları görülmektedir. Kalıntı yakınsaması incelendiğinde, çok katmanlı çözümleri yaklaşık 5 kat daha hızlı bir şekilde sonuca ulaşmışlardır. Ayrıca FMG döngülü çok katmanlı çözümün hiçbir salınım yapmadan yakınsadığı görülmektedir. 6

7 Şekil 5: Uygulama 1 için kalıntı yakınsama grafikleri Ardından aerodinamik kuvvetlerin yakınsaması tek ve farklı döngü tiplerinde çok katmanlı çözümler için da incelenmiştir. Kalıntı yakınsama grafiğinde görülen karaktere benzer bir şekilde çok katmanlı çözümlemelerde aerodinamik kuvvetler oldukça hızlı bir şekilde yakınsamaktadır. Aerodinamik kuvvet yakınsamaları tek ve çok katmanlı çözümlemeler için %20, %10, %5, %1 ve %0.1 hata bandına girme hızları açısından incelenmiştir. FMG döngülü çok katmanlı çözüm sonuçları referans olarak alınmış ve tek katmanlı sonuçların 75,000 iterasyon sonucunda henüz %0.1 hata bandına giremediği görülmüştür. Çok katmanlı çözüm yöntemi ile elde edilen sürükleme ve kaldırma kuvvetlerinin tek katmanlı çözüme göre hızlanma oranları de sunulmuştur. W-döngülü çok katmanlı çözümler haricinde, diğer çok katmanlı çözümlerin %1 lik hata bandına girme hızlarının tek katmanlı çözümlere göre sürükleme kuvveti için yaklaşık 5, kaldırma kuvveti için yaklaşık 8 olduğu görülmektedir. Uygulama 2: NACA0012 Üzerinde Ağdalı Akış Çözümü Bu uygulamada ise Navier Stokes çözümlemelerinin elde edilmesi amacı ile 0.25 veter genişliğe sahip NACA0012 kesitli kanat geometrisi etrafına düzenli çözüm ağı oluşturulmuştur (). Geliştirilen sekizdal veri yapısı tabanlı seyrekleştirme yöntemi ile çözüm ağları arasında hücre sayısı oranı en fazla %40 olacak şekilde sırasıyla dört katman seyrek çözüm ağı oluşturulmuştur. Temel çözüm ağı ve oluşturulan seyrek çözüm ağları sırasıyla , , ve 4506 hücreye sahiptir. En seyrek çözüm ağının kanat üzerinde görünüşü ve seyrek çözüm ağlarının simetri ekseninden görünüşleri sırası ile Şekil 9 ve Şekil 10 da sunulmuştur. Diğer uygulama ile benzer şekilde oluşan seyrek çözüm ağlarında hücrelerin yüksek kalitede ve kartezyen tipe benzer hücrelere sahip olduğu görülmektedir. Tek katmanlı ve farklı döngülere sahip çok katmanlı çözümlemeler NACA0012 kesitli kanat üzerinde Reynolds sayısında, 0.1 Mach sayısında ve 3 hücum açısında 0.1 CFL değeri kullanılarak elde edilmiştir. Sık ve seyrek çözüm seviyerinde 20 iterasyon adımlarında çözüm alınmıştır. Seyrek çözüm seviyelerinde çözümlemeler ağdasız yapılmış, ancak aktif olan yüzeylerde sık çözümden gelen sabit ağdalı akı değerleri toplam akı hesaplanmasında sabit değer olarak kullanılmıştır. Simetri ekseninde görülen Mach sayısı dağılımı ve kanat üzerinde oluşan sınır tabaka hız profili görüntüsü de sunulmuştur. 7

8 Şekil 6: Uygulama 1 için aerodinamik kuvvet yakınsama grafikleri 8

9 Şekil 7: Uygulama 1 için sürükleme ve kaldırma kuvvetlerinin hızlanma oran grafiği 9

10 Şekil 8: Uygulama 2 için melez çözüm ağı Şekil 9: Uygulama 2 için en seyrek çözüm ağının kanat üzerinden görünüşü 10

11 Katman 2 Çözüm Ağı Katman 3 Çözüm Ağı Katman 4 Çözüm Ağı Katman 5 Çözüm Ağı Şekil 10: Uygulama 2 için seyrek çözüm ağlarının simetri ekseninden görünüşü Ağdalı çözümlemeler için tek katmanlı ve farklı döngülere sahip çok katmanlı çözümlemelerin kalıntı yakınsama grafikleri Şekil 12de sunulmuştur. Çok katmanlı çözümlerin ağdasız çözümlerler ile benzer bir şekilde oldukça hızlı olarak yakınsadıkları görülmektedir. Ardından aerodinamik kuvvetlerin yakınsaması tek ve farklı döngü tiplerinde çok katmanlı çözümler için Şekil 13 da incelenmiştir. Tek katmanlı çözümlemelerde görülen salınımlar çok katmanlı çözümlemelerde sönümlenmiş ve yakınsama zamanı bu şekilde oldukça hızlanmıştır. Ayrıca, FMG döngülü çok katmanlı çözümlemelerin bir miktar daha hızlı olduğu görülmektedir Aerodinamik kuvvet yakınsamaları tek ve FMG döngülü çok katmanlı çözümlemeler için %20, %10, %5, %1 ve %0.1 hata bandına girme hızları açısından ağdalı akışlar için de incelenmiştir. FMG döngülü çok katmanlı çözüm sonuçları referans olarak alınmış ve tek katmanlı sonuçların 150,000 iterasyon sonucunda henüz %1 lik hata bandına giremediği görülmüştür. Çok katmanlı çözüm yöntemi ile elde edilen sürükleme ve kaldırma kuvvetlerinin tek katmanlı çözüme göre hızlanma oranları de sunulmuştur. Grafik incelendiğinde FMG döngülü çok katmanlı çözümün %5 hata bandına sürükleme kuvveti yakınsamasında 13 kat, kaldırma kuvveti yakındamasında 4 kat hızlı girdiği görülmektedir. 11

12 Şekil 11: Uygulama 2 için simetri ekseninde Mach sayısı dağılımı ve sınır tabaka hız profili görünüşü. 12

13 Şekil 12: Uygulama 2 kalıntı yakınsama grafiği. 13

14 Şekil 13: Uygulama 2 için aerodinamik kuvvet yakınsama grafikleri Şekil 14: Uygulama 2 için sürükleme ve kaldırma kuvvetlerinin hızlanma oran grafiği 14

15 SONUÇ Bu çalışmada, üç boyutlu çok katmanlı çözüm uygulamalarında kullanılmak üzere, düzensiz/melez çözüm ağları ve hücre merkezli çözücülere uygun, yaklaşık bir en boy oranına sahip hücrelerden oluşan ardışık seyrekleştirilmiş çözüm ağları oluşturulma yöntemi sunulmuştur. Bu yeni seyrekleştirme yöntemi, hücre merkezlerinin dörtdal veya sekizdal veri yapısı kullanılarak gruplandırılması ve oluşan bu veri yapısına göre birleştirilerek ardışık seyrekleştirilmiş çözüm ağları oluşturulması temeline dayanmaktadır. Ardından, çok katmanlı çözüm tekniği temel çözücü olarak kabul edilen SENSE3D yazılımına başarılı bir şekilde uygulanmıştır. Seyrek çözüm ağlarının başarısı üç boyutlu düzensiz ve düzenli çözüm ağları kullanılarak incelenmiştir. Seyrek çözüm ağları incelendiğinde, oluşan hücrelerin geometri özelliğini bozmadığı, en boy oranının yaklaşık 1 olduğu ve seyrekleşme seviyesi yükseldikçe kartezyen tip çözüm ağına sahip olduğu görülmektedir. Ardından, çok katmanlı çözüm tekniğine sahip yazılım kullanılarak ağdasız ve ağdalı çözümler elde edilmiştir. Yapılan çözümlemeler ile, çok katmanlı çözüm yaklaşımının, düşük hızlı ağdasız çözümlemelerde 8 kata kadar, ağdalı çözümlerde ise 4 ila 13 kat arasında hızlanma oranlarına sahip olduğu görülmektedir. Kaynaklar [1] Ahlawat, S., Johnson, R., Vanka, S.P., Object Based Library for 3D Unstructured Grid Representation and Volume Based Agglomeration, AIAA , 2006 [2] Pandya, M.J., Frink N.T., Agglomeration Multigrid for an Unstructured Grids Flow Solver, AIAA [3] Lambropoulos, N.K., Koubogiannis, D.G., Giiannakogluo, K.C., Agglomeration Multigrid and Parallel Processing For The Numerical Solution of The Euler Equations on 2D and 3D Unstructured Grids, 4th GRACM Congress on Computational Mechanics, GRACM June, 2002 [4] Waltz, J., Löhner, R., A Grid Coarsening Algorithm for Unstructured Multigrid Applications, AIAA , January 2000 [5] Ollivier-Gooch., C.F., Robust Coarsening of Unstructured Meshes for Multigrid Methods, AIAA , 1999 [6] Mavriplis., D.J., On Convergence Acceleration Techniques For Unstructured Meshes, AIAA , 1998 [7] Francescatto, J., Dervieux, A., A Semi-coarsening Strategy for Unstructured Multigrid Based on Agglomeration, International Journal for Numerical Methods in Fluids 26: , 1998 [8] Mavriplis, D.J.,. Multigrid Techniques for Unstructured Meshes, ICASE Report N0: 95-27, NASA Contractor Report , April 1995 [9] Samet, H., The Quadtree and Related Hierarchical Data Structures, Computing Surveys, Vol. 16, No.2, June 1984 [10] Bergen, B.K,. A Framework for Efficient Multigrid on High Performance Architectures Student Paper, Friedrich-Alexander-Universitat Erlangen Nürnberg 15