YILDIZLARIN İÇ YAPI MODELLERİ

YILDIZLARIN İÇ YAPI MODELLERİ INTRODUCTION TO STELLAR ATMOSPHERES AND INTERIORS EVA NOVOTNY - Model B: Konvekif Zarf ve Radyaif Çekirdek - Yayınlanmış Tablolardan Elde Edilen Poliroik İçyaı Modelleri - Shwarzshild Dönüşümü Sinan ALİŞ 6563 Haziran 6

3. MODEL B : KONVEKTİF ZARF VE RADYATİF ÇEKİRDEK 3-1) PROBLEMİN TANIMI: Bu konunun amaı konvekif zarfı ve radyaif çekirdeği olan homojen bir model oluşurabilmekir. Bunun için önelikle Güneş in ilkel haline benzeyen bir model oluşurmaya çalışalım. İç yaı aramerelerini şu şekilde alalım: M M 1.991 1 33 gr, X.7 Y.6, Z. (μ,679). Zarfın n 1.5 oliroik indeksine sahi olduğu varsayılmakadır. Yüzeydeki sınır şarları: P T ve r R alınabilir. Eğer hesalamaya yüzeyden başlarsak; R, L ve K değerlerini varsaymamız gerekir. Diğer yandan, merkezden başlarsak sadee P ve T değerlerini varsaymamız gerekir. Yoğunluğun sıfır olduğu M r külesinin 1 M olması gerekmez. Bu yaklaşımın avanajı, ek bir inegrasyon ile ulaşılabileek bir denge modeli olmasıdır. (Yanlış küle bile olsa). Burada yaılan hesaların sonuçları gerçeke.6 M lik bir model oluşurmakadır. Önemli amaımız olan radyaif çekirdek ve konvekif zarf hesalamalarını yansısa dahi başarısız bir ilk deneme olarak düşünülmekedir. Merkezi basınç ve sıaklık, P 157 1 15 dyne m -, T 1. 1 7 K olarak alınabilir. Büün değerler, sınır şarlarını sağlayan ahminler olarak görülmekedir. P ve T nin bazı kombinasyonları merkezde konveksiyonu oluşururken, diğerlerini amamen radyaif yaramakadır. Bununla beraber diğerleri yarıçala aran bir yoğunluk üremekedirler ki; bu da anak sıra dışı şarlarda görülebilir. Burada seçilen merkezi değerler isenen modeli oluşurmakadır. 3-) RADYATİF ÇEKİRDEK Önelikle κ ve ε için karşılaşılan basınçlarla ve sıaklıklarla uyumlu açık formülleri elde emeliyiz. P ve T ye karşılık gelen yoğunluk ρ 96.41 g / m -3 Oasieyi Kramers in bağlı-serbes geçişler için verdiği kanun ile ele aldık 5 4.34 1 ρ κ κ bf Z(1 + X) 3. 5 T g bf 1

ρ bf değeri de Tablo (1-15) en olarak alınmışır. κ ff ve σ e nin hesalamaları ihmal edilmişlerdir. κ bf den dikkae değer ölçüde az çıkmakadır. Burada da ε, enerji üreim hızının değeri Tablo (1-13A) dan elde edilebilir. Burada hesalanan model, büün sıaklıklar için şu ilişkiyi kullanmakadır: ε ε.1 X ρ T 7 4 CN çevrimi bu düşük sıaklıklarda ekili değildir ve ihmal edilmişir. (Tablo 1-9) Şimdi M r, P, L r ve T için başlangıç değerini hesalıyoruz. M r.438 r 3 P 157 19.8r L r 4.185r 3 T 1..3695r. Türevler, (1-13) en (1-16) ya kadar olan denklemler ile hesalanmışır. dm h dr r P.96h r T (1-84) dp h dr 4.914h P T M r r (1-85) dlr h dr.3537hp T r (1-86) dt h dr P.3374h T 8.5 L r r (1-87) Başlangıç değerleri hesalandığında, M r ve L r formülleri (1-85) ve (1-87) denklemlerinde yerine yazılmalıdır. M r ve L r sadee bir veya iki anlamlı basamağa sahiirler. Daha sonra farklar hesalanır. ( 1 Δ, Δ,...) Tablo (1-7) deki veri sei oluşurulur. Bölüm (1-3A) da belirildiği gibi, inegrasyon yaılır ve her saırdan sonra radyaif dengenin sağlanı sağlanmadığına bakılır.

d log P n + 1 (6-53) eşisizliği kullanılarak, d logt d log P T hdp / dr n + 1 hesalanır. d logt P hdt / dr Değer.5 e düşüne inegrasyon, konvekif sıaklık gradyeni ile devam emelidir. Tablo (1-7) deki çekirdek sınırının yeerli doğruluğu r.8 de olmakadır. 3-3) KONVEKTİF ZARF Dönüşürülmüş değişkenler kullanılarak elde edilmiş olan çözümler adyabaik zarflar içindi. Anak burada sesifik model için yeni bir model elde edileekir. Arık P ve L r için inegrasyonlara devam edilmeyeekir. T için inegrasyon amamlandıkan sonra P yi şu ilişkiden bulabiliriz: P К T.5, P К, r.8 de.. 5 oranı olarak anımlanmakadır. Bununla beraber yuvarlama T haalarını ve konvekif ve radyaif bölgelerin emel benzerliklerini elemine emek için r 1. ye kadar P yi inegre emeye devam edileekir. dt GH M r h dt / dr ürevi.4 μ (1-19) denkleminden hesalanaakır, dr k r 3

dt h dr M 1.965h r r L r nin inegrasyonu diğer inegrasyonlar amamlanana kadar erelenebilir. Bu durumda h dl r / dr süununun amamı ve farklar, bir kerede hesalanabilir ve sonra L r, saır saır inegrasyonla bulunur. r 1. saırına ulaşıldığında К için oralama ( r.8 den r 1. ye kadar) bulunur ; К (P / T.5 ) av 97.8 Bu değer modelin devamında P nin hesabında kullanılır. (Tablo 1-8A). h dm r / dr değeri şimdi, dm h dr r 1.5.957hT r (1-88) ifadesinden bulunabilir. (1-84) denklemlerindeki P / T, К T 1.5 ile yer değişirmişir. Tablonun sonuna doğru L r açıkça sabi bir değere ulaşmakadır. Faka r, M r, ve T yüzey değerlerine ulaşmadan ek belli olmaz. Eksraolasyon yüzeyin, Mr 1,194 ve r.61 olduğunda ulaşılaağını söylemekedir. Bu değerleri kullanarak yüzeyin yakınında inegrasyon başlaılmış ve içerilere doğru devam eirilmişir. (Tablo 1-8B). Sıaklık için başlangıç değerleri denklem T GH 1 1 μ M ( ) (1-41) 4.5k r R ile verilmişir. T 1.347( r 1 ).61 r R dışındaki saırlarda M r değeri sayısal inegrasyon ile elde edilmişir. M r yüzeye yakın yerlerde yavaşça değişiğinden 1 Δ in olması önemli bir haaya neden olmakadır. h dm r / dr için denklem (1-88) kullanılmışır. Daha öne olduğu gibi P şu şekilde hesalanmışır: P 97.8 T.5 Tablo (1-8A) ve Tablo (1-8B) nin karşılaşırılması, yuvarlama haalarının limileri dahilinde uyum içindedir. 4

5

6

ρ, κ ve ε değerleri (Tablo 1-9) da liselenmekedir. Sonuça çıkan yaı Şekil (1-4A) dan (1-4E) ye kadar göserilmekedir. 3-4) SONUÇLARIN TARTIŞILMASI Açıkır ki burada elde edilen model asarlanandan daha az külelidir. Ana hedef olan 1 Güneş külesindeki model oluşurmayı gerçekleşirmek için P ve T yi değişirmemiz gerekiyor. (Yarıça ve ışınımgüünün anakola uygun hale gelene kadar). Probleme bir diğer yaklaşım, avsiye edilen küleyi ve yarıça, ışınımgüü ve К arameresi için ahmin edilen değerleri kullanarak, inegrasyonu yüzeyden başlamakır. Hesalarımızda.6 M lik bir model elde ememizden dolayı bunun yerini H-R Diyagramında işarelemek isiyoruz. Ekin sıaklık L ve R den bulunmuşur ve Şekil (1-5) e görsel çif bileşenlere göre göreli konumu işarelenmişir. 7

Modelimizde Şekil (1-6) da küle lüminozie ilişkisinde gaye iyi bir konumda olurken, H-R diyagramında anakolun solunda yer almışır. Anakoldaki bir yıldızın yarıçaı ve lüminoziesi ile uyumlu ve aynı küle ve kimyasal komozisyonda bir model elde elde edebilmek için; P ve T yi değişirmek gerekmekedir. Gerçekçi bir modelde κ ve ε için daha doğru ifadelere ihiyaç vardır. Maddenin iyonizasyon dereesi ve iyonlaşmadan dolayı ideal gaz kanunundan ayrılması da göz önüne alınmalıdır. Ayrıa modelin yarıçaı, yüzeyin yakınındaki konvekif abakalar için kullanılan eoriye bağlıdır ve sınır şarları için en basi denklemler kullanılmışır. Haa, H molekülünün oluşumu, düşük sıaklıklarda modeli önemli dereede ekilemekedir. Bizim modelimiz, aynı küleli ama şimdiye kadar bahsedilen iyileşirmeler yaılmış başka bir modelle karşılaşırılabilir. Örnek olarak Coeland ve ark (197) çalışması verilebilir. Buradaki kimyasal komozisyon X.7 ve Y. değerleri ile bizim kullandığımıza benzemekedir. Karışım uzunluğunun, yükseklik ölçeğine oranı 1.5 ir. 8

R / R L/L T eff (K) T (K) ρ (gm/m 3 ) Model B.375.4 75 1.1 7 96.4 Coeland ve ark..569.95 47.991 7 91. Bu model H. Coeland, J. O. Jensen ve H. E. Jorgensen arafından hesalanmışır. Daha doğru olan bu model, daha düşük bir merkezi sıaklığa, yoğunluğa ve böylee daha düşük bir merkezi basına sahiir. Yüzey değerleri bu modeli aşağı anakola yerleşirmişir. Aslında bir alüe yıldıza uygun bir model hesalandığı görülebilir. Bununla beraber durum böyle değildir. Po II yıldızlarının bir karakerisiği olarak, bu yıldızların bazıları düşük meal yoğunluğundan dolayı anakolun sol arafında yer alırlar. Alüe yıldızların amosferlerinde moröesi ve mavi dalgaboyu bölgelerinde meal çizgilerinden dolayı Po I yıldızlarında olduğundan çok daha az ışınım engellemesi olur. Dolayısıyla bu kısa dalgaboyu bölgesinde aynı ışınımgüçlü Po I yıldızlarından daha yüksek oranda ışınım geçeekir. Blankeing ekisinin eksikliği hesaba kaılarak, arlaklıkların ve renklerin düzelilmesi ile bu alüe yıldızlar Po I anakoluna yakınlaşaakırlar. Hyades kümesindeki gibi bulunan diğer düşük arlaklıklı yıldızlar muhemelen daha farklı bir yaıya sahiirler. 9

Değinilmesi gereken bir noka daha vardır: Eğer hesalamaya yüzeyden başlarsak,.5 değerine karşın dlogp / dlogt oranının es edilmesi ile, yüzey abakalarının radyaif dengede olduklarını bulmalıyız. Şimdi am ersinin doğru olduğunun bilinmesine rağmen, Güneş e ai öneki modeller radyaif zarflar ve konvekif çekirdekle yaılmışı. Göreli olarak ine olan abakanın hemen alında konveksiyon bölgesi olduğunun göserilmesi için Hidrojenin iyonizasyonu göz önüne alınmalıdır. Burada bunu ihmal emekeyiz. 4. YAYINLANMIŞ TABLOLARDANDAN ELDE EDİLEN POLİTROPİK İÇYAPI MODELLERİ 4-1) GENEL TARTIŞMA Lane Emden denkleminin sonuç ablolarına ölçekleme fakörü uygularsak bazı yaklaşık sonuçlar elde edilir. Modeller, merkezden yüzeye yıldızlar, amamen oliroik gösermesine rağmen, yerlerini sayısal inegrasyona dayanan yönemlere bırakılar. Bununla beraber basiliken dolayı oliroik modellerin hesalanması daha öğreiidir. Kısım ve 3 eki Model A ve B yi karşılaşıraağımız modeller elde edileekir. 1

On yıllar öne Eddingon, aşağıdaki düşüneler ışığında basınç ve yoğunluk arasındaki ilişkiyi oliroik forma dönüşürmüşür. P g Gaz basını P rad radyasyon basını P P g + P rad β P P g olsun 11

1 P radυ ( χ) Iυ ( χ, θ )os θ dw (-11) denklemindeki I ν (θ) yı B ν (T) ile C küre değişirmek iyi bir yaklaşım olaakır. Frekans üzerinden inegre edilirse, P rad 1 C küre. Bν ( T ) dν os θ dw 1 σ 4 4π T C π 3 elde edilir. 1

13

σ B( T ) T π 4. (1-9) denklemi kullanılarak P rad 3 1 a T 4 ( 1 - β ) P (1-89) ve P g k μh ρt βp (1-9) elde edilir (1-9) denkleminden elde edilen T yi elemine ederek ve (1-89) a bölerek, 3 a k μh 1 β ( μβ ) 1 3 4 3 4 P ( ) (1-91) 4 elde edilir. Bu denklem (6-5) deki forma sahiir. P κ ρ γ (1-9) ρ Bu çıkarımın ρ nun üssü olan γ nın sesifik ısıların oranını yorumlamaya gerek duyulmadığına dikka edilmelidir. β nın değeri eğer radyaif denge varsa ve κl r / M r yıldızın amamında sabi kalıyorsa, sabi olmakadır. κl r / M r ; genel oasienin oralama enerji üreim hızıyla çarımı ile oranılıdır. Bu, Eddingon un zamanı için makul bir varsayım olmakla beraber, bugün κl r / M r nin ve β ve κ nın yıldız içerisinde değişiğini biliyoruz. Buna rağmen, Eddingon un varsayımına devam ederek β yı sabi uuyoruz ve daha da ilerleyerek μ yü de sabi kabul ediyoruz. (1-9) denklemindeki κ nın yıldızın iç yaısı boyuna sabi olduğunu varsayıyoruz. Dolayısıyla indeksi; n 1 3 γ 1 olan bir oliroik modeli göz önüne alıyoruz. Ayrıa n 1.5 olan ve konvekif denge uygun bir örnek de ele alınakır. Bu iki oliroik indeks için gerekenler Tablo (1-11) ve Tablo (1-1) de verilmişir. Süunlardaki aramereler şu anlamlara sahiir. r ξ (6-8) (1-93) α ξ ξ r R (1-94) T θ (6-9) (1-95) T 14

dθ α dt dξ T dr ρ ρ n θ (6-11) (1-96) P P n+1 θ (6-11A) (1-97) M dθ ξ ξ (6-16) (1-98) 3 dξ 4πα ρ U ve V fonksiyonları Kısım -3B de arışılmışır. θ sıfıra doğru azaldıkça yıldızın yüzeyine ulaşılmakadır. 4-) n3 İÇİN BİR MODEL (MODEL A İLE KARŞILAŞTIRMA) Kısım deki A modeline karşılık gelen oliroik çözümün n3 olduğu bulunmuşur. Verilen nielikler; M.5 M 4.961 33 gr R 1.59 R 11.51 1 m (1-93) denkleminden, R α ξ 11.5 1 6.89685 1 (1-99) 1.61 1 m ve (1-98) denkleminden M ρ (1-1) 3 4πα ξ θ d ξ d ξ 4 π 4.96 1 33 1 3 ( 1.6 1 ). 18 47.57 gr / m 3 elde edilir. 15

( n + 1) κρ Bu sabilerle α 4πG (1/ n) 1 ( n + 1) ρ (1/ n) 1 4πGα κ (1-11) 4 (6.668 1 π 8 4(47.57) )(1.6 1 3.76 1 15 (gs biriminde) 1 ) 1 (6-13) denkleminden κ yu bulabiliriz. Ayrıa P 1+ 1 n κρ (6-5) (1-1) 11.7 1 15 dyne m - ve T μh P k ρ ( Kısım deki μ.534 olarak) 1.656 1 7 K Sonra modeldeki herhangi bir noka için, n ρ ρ θ (1-13) n+1 P P θ (1-14) T T θ (1-15) [ ξ ( dθ dξ )] ξ ( dθ dξ ) M M (1-16) [ ] ξ (1-3A) dan (1-3B) ye kadar olan şekiller oliro ile A modelini Kushwaha (Tablo 1-6) arafından elde edilen çözümlerle karşılaşırılmakadır. Model A nın çekirdek ve zarfa düzgün bir uyum gösermediği görülmekedir. L r fonksiyonu, sayısal inegrasyon olmadan elde edilmemekedir ve dolayısıyla burada göz önüne alınmamışır. Farkların en büyük olduğu, küçük yarıçalarda oliro, Kushwaha nın çözümünde A modelinden daha yakındır. 16

Poliroik çözüm, genel radyaif durum için hesalamalarda dikkae değer bir basileşirme yamakadır. κ oasiesine ya da enerji üreim hızı ε na ai bilgiye ihiyaç yokur. Aslında, yıldızın arlaklığını söylemeye bile gerek yokur. Eğer ışınımgüü hakkında veya enerji kaynaklarının dağılımı hakkında bilgiye ihiyaç duyulursa, L ξ için bir inegrasyon (1-83) denklemindeki Emden değişkeni insinden yaılabilir. 4-3) n 1.5 İÇİN BİR MODEL (MODEL B İLE KARŞILAŞTIRMA) Kısım 3 eki B modeline verilen merkezi basınç ve sıaklık için verilen başlangıç değerleri şöyledir: P 157 1 15 dyne / m T 1. 1 7 K B modeli yarıçaın büyük kısmında konvekif olduğunda, n 3 yerine n 1.5 oliroik indeks alınmışır. İlgili Emden fonksiyonları Tablo (1-1) de verilmişir. (1-13), (1-14) ve (1-15) denklemleri yıldızın içindeki herhangi bir ξ yarıçaı için ρ, P ve T yi vermekedir. ρ ise P ve T den hesalanmışır. ρ 96.41 gm m -3 ( Kısım 3 eki μ.679 olarak) Dolayısıyla Denklem (1-1) κ.7745 1 14 vermeke ve denklem (1-11) α.799 1 1 m olduğunu gösermekedir. Bu değerle (1-93) denklemine göre verilen herhangi bir ξ için r hesalanabilir. (1-99) ve (1-1) denklemlerini kullanarak, R.59 1 1 m.37 R M 1.176 1 33 gm.591 M elde edilir. Bu değerler B modelinin küle ve yarıça değerleri ile uyum içerisindedir: R.61 1 1 m.375 R M 1.194 1 33 gm.6 M Poliroik çözümü ve sayısayl inegrasyonu grafik olarak karşılaşırmak için, B modelinin küle ve yarıça değerleri kullanılmışır. Böylee iki çözüm de orak bir yarıçaın fonksiyonu olarak çizdirilebilir. 17

R α ξ.71433 1 1 m, ρ πα M [ ξ ( dθ dξ )] 3 4 ξ κ 96.4 gm m -3, 4πGα (1/ n) 1 ( n + 1) ρ.784 1 14 P κρ 1+1/ n 158.4 1 15 dyne m -, T μh k P ρ 1.15 1 7 K Yine ρ, P, T ve M, r nin fonksiyonu olarak (1-93) ve (1-13) (1-16) denklemleri kullanılarak bulunabilir. (1-4A) dan (1-4D) ye kadar olan şekiller sonuçları gösermekedir. Bu sefer oliroik çözüm oldukça iyi bir yaklaşım olmuşur. 5. SCHWARZSCHILD DÖNÜŞÜMÜ Belirli koşullar alında, M, R, L, X ve Z değerleri için verilen bir denge modeli başka bir denge modeline dönüşürülebilir. Bu yeni modeldeki aramerelerin değerleri farklı olabilir. Yeni modeldeki P, T, ρ, M r ve L r değerleri, sabi bir ölçek çaranı ile orijinal modeldeki değerlerle ilişkilidir. Dolayısıyla, örnek için, r / R nin bir fonksiyonu olarak ρ / ρ iki durumda da aynıdır. Bu şekilde ilişkili olan iki modele homologous denir. n oliroik indeksinin oluşurduğu örnekler homologous ailesine örnekir. Shwarzshild, verilen herhangi bir yıldızın ekil özellikleri çıkarıldığında inegrasyonların boyusuz değişkenler kullanılarak nasıl yaılaağını gösermişir. Boyusuz değişkenler ile yıldıza ai çekirdek ve zarf için bir denge çözümü elde edildiğinde, uygun ölçek çaranları belirlenerek bir yıldız modeli elde edilmiş olur. Şimdi Shwarzshild dönüşüm denklemleri ve yukarı ve aşağı anakol yıldızlarına uygulanma yönemi açıklanaakır. Kısım 3 eki B modelinin daha küçük küleli bir modele dönüşürüldüğü sayısal bir göserim sonra verileekir. 18

5-1) DENKLEMLER Şimdi r ve M r yi maksimum değerlerine oranılı olarak alalım. r R M r Mq burada ve q; r ve M r de yeni değişkenler olsun. Ayrıa, P Q T S olsunlar. ve ; P ve T nin yerini alan yeni değişkenler. Q ve S ise sabi. (1-13) denklemi ile; M R dq d H Q 4π μ R (1-17) k S ve (1-14) denkleminden, Q d R d GH Q Mq μ (1-18) k S R Q ve S yi bu iki denklemdeki sabilerden kurulaak şekilde anımlayabiliriz: dq d ve d d q Q ve S için ifadeler, (1-17) ve (1-18) denklemlerinin sabi çaranları eşilenerek elde edilebilir. M R 4πH Q μ R (1-19) k S ve Q R GH Q M μ (1-11) k S R Son ilişki şunu vermekedir: S GH M μ k R 19

ve (1-19) denkleminden, Q G M 4π R 4 elde edilir. Q ve S sabilerinin belirlenmesiyle, konvekif durum için geçerli olan form denklem (1-17) nin inelenmesiyle elde edilir. S R d d d d.4.4 S Q d d Q d R d Logarimik ürevlerde dönüşüm kasayıları ihmal edildiğinden, kasayılar orijinal denklemdeki çaranları içermekedirler. İnegrasyondan dolayı son denklem; log.5 log + sabi veya.5 E (1-111) haline gelir. Bu denklem (1-9) ile yer değişirir. Orijinal değişkenlere dönüşüm E nin belirlenebilmesini sağlar. 4πR GM faka 4 P E k GH R μm.5 T.5.5 P K'T (1-11) olduğundan,.5 1.5 H.5.5 1.5 E 4πG μ K' M R olur. k Eğer L r Lƒ ilişkisiyle verilen bir ƒ değişkeni anımlarsak, geri kalan diferansiyel denklemler sabi kasayılar içerirler. κ yı şu şekilde yazarsak; ρ 4.341 κ κ ve κ (1 ) T 3.5 z + g bf ve radyaif sıaklık gradyeni için (1-15) denklemini de kullanarak, 5

S R d d veya 3 16πa H μ κ k ( Q) Lf ( S) 8.5 ( R) d d C 8.5 f elde edilir. Burada; 3 7.5.5 3 1 k κ LR C dur. 4a 4π GH 7.5 5.5 μ M Benzer şekilde, (1-16) denklemi ile L df R d H 4π ε X 1X μ R k ( ) υ Q ( S) ) ( ) veya df d D υ elde edilir. υ+ 1 GH M Burada D ( ) υ ε X 1X υ + 3 4π k LR Dönüşüm yaılmış denklemler ve değişkenler şöyledir: r (1-113) R M r q (1-114) M f Lr (1-115) L GM P / 4 4πR (1-116) GH M T / μ k R (1-117) dq (1-118) d 1

d d q (1-119) df d D υ (1-1) d d f C (radyaif) (1-11) 8.5 E.5 ye eşdeğer olan (1-1) d d d.4 (1-13) (konvekif) d Burada hala, kimyasal komozisyonun yıldız boyuna homojen olduğunu ve oasie kaynağının esas olarak bağlı-serbes geçişler olduğunu varsayıyoruz. Radyasyon basını ve dejenerelik ihmal edilmişir. 3 7.5.5 3 1 k κ LR C (1-14) 7.5 5.5 4a 4π GH μ M υ υ+ 1 GH υ M μ ε X 1X υ + 3 D (1-15) 4π k LR E.5 1.5 H.5.5 1.5 4π μ κ M R (1-16) G k (1-14) denklemi eorik küle-ışınımgüü ilişkisi gibi düşünülebilir. (R nin bu ilişkideki üssü küçük olduğundan ve anakol boyuna R yavaşça değişiğinden) 5-) YUKARI ANAKOLA UYGULAMA Şimdi yukarı anakoldaki bir yıldızın modelini elde emek için bu denklemlerin nasıl çözüleeği anlaılaakır. Radyaif zarf ve konvekif çekirdek için yaılan ayrı ayrı inegrasyonlar, ürdeş değişkenler U, V ve n + 1 biriminde bir arada fi edilmişir. Çekirdek için, U, V grafiğinde ek bir eğri ile emsil edilen ekil bir çözüm vardır. Bu da n 1.5 olan oliroik modeldir. (Tablo (1-11) ve Şekil (1-1) ).

Zarf için (1-118), (1-119) ve (1-11) denklemlerinin inegrasyonu gereklidir. Zarf için f 1 alabiliriz çünkü enerjinin sadee çekirdeke üreildiğini varsayıyoruz. (1-11) denklemindeki C kasayısının varlığı, C nin değişik değerleri için birçok deneme yamayı gerekiriyor. Bu denklemler n + 1 in.5 olduğu ve aynı zamanda U, V eğrilerinin konvekif çekirdek için uygun olduğu duruma kadar. (Bkz. Şekil 1-1). U, V grafiğinde bu çakışma bir denge modeli için gerekli olmakla beraber yeerli değildir. Sınır şarları, aşağıdaki koşullar gerçeklendiği ölçüde yeni aramerelere ihiyaç duymaz. 1: q 1,, (1-14) denklemi, C nin bulunan değerle birlike M, R, L, X ve Z nin değerlerine bir sınırlama geirmekedir. D nin değeri ile birlike (1-15) denklemi ikini bir sınırlama geirmekedir. D yi belirlemek için, ν ye bir değer aayarak (1-1) denkleminin inegre edilmesi gerekmekedir. Bir değer seçerken, merkez yakınındaki sıaklığı ahmin emeli ve sesifik bir yıldız modeli amamlandığında Tablo (1-13) ve Tablo (1-14) en yararlanarak konrol edilmelidir. Belki ν için yeni bir ahmin yamak ve hesalamaları başan yamak gerekebilir. Çekirdek sınırında f nin değeri 1 dir. (Tüm enerjinin çekirdeke üreildiği varsayıldığından) Çekirdek sınırındaki değerleri b al indisi ile göserirsek, f b 1 D b υ d (1-17) İnegral, merkezi ve değerlerine bağlıdır ve görülmekedir ki; fiziksel değişkenlerin yerine boyusuz değişkenler kullanma avanajını kaybemiş durumdayız. Bu zorluk Emden değişkenlerine yaılaak ilave bir dönüşüm ile çözülebilir. (1-93), (1-95), (1-97), (1-113), (1-116) ve (1-117) denklemlerinden, r b r b ξ ξ (1-18).5 P θ (1-19) θ b P b b T b b.5 b T θ (1-13) θ bulunmuşur. (1-17) denklemini şu şekilde yazabiliriz: 3 ξ υ b 1 b b b υ 3 D θ ζ dξ υ 3 θ ξ + + b b 3

Böylee merkezdeki sınır şarları şu hale gelir: ξ, θ 1 ve inegralin kendisi sonlu bir sayı olur. Böylee herhangi bir bilinmeyen aramereye bağlı olmaz. b, P b ve b değerleri zarf çözümünden bilinmekedir. ξ b ve θ b değerleri de Tablo (1-11) den bulunmuşur. Daha sonra D nin değeri belirlenir. Şu da belirilmelidir ki; çekirdekeki, ve yi (1-18) ve (1-13) denklemlerinden bulunabilirken, q (1-98) denkleminin yardımı ile benzer bir dönüşümle bulunabilir: q q b M M r rb d θ ξ dξ d θ ξ dξ b Eğer M, R, L, X ve Z den herhangi üçü verilirse, C ve D değerlerinin kullanılmasıyla (1-14) ve (1-15) denklemleri iki bilinmeyen içim çözülebilir. Bu sonuç Vog Russel eoremini onaylamakadır. Sonuç olarak, (1-113) en (1-117) ye kadar olan denklemler fiziksel değişkenlere geri dönüşüme imkan vermemekedirler. κ, ε, ve ν değerleri P ve T ile uyumlu olmalıdır aksi halde modelin yeniden hesalanması gerekir. Bu bölümdeki boyusuz çözümlerin hesabında yaılan varsayımları yeniden vurgularsak: Model boyuna kimyasal komozisyon değişmemeke, radyasyon basını ihmal edilmeke, zarfaki oasie kasayısı sabi ve Kramer in bağlı serbes geçişler için kanunu ile belirlenmeke, zarfa enerji üreimi ihmal edilmeke, merkezdeki enerji üreimi ε ε X 1 X ρtυ ile verilmeke ( ε, X 1, X ve υ sabiler), çekirdeke sıaklık ve basınç adyabaik gaz kanunu ile zarfa ise ideal gaz kanunu ile belirlenmeke, sıaklık ve basınç yüzeyde yok olmaka ve κ, ε, ve ν modelin koşulları ile uyumlu olmalıdır. Bu kısılamalarla, radyaif zarf ve konvekif çekirdeğe sahi üm modeller hesalanan boyusuz çözümle elde edilebilir. 5-3) AŞAĞI ANAKOLA UYGULAMA Şimdi Shwarzshild yönemi ile adyabaik konvekif zarfa ve radyaif çekirdeğe sahi aşağıdaki anakoldaki bir yıldızın modelini elde edeeğiz. Zarf için (1-118), (1-119) ve (1-13) denklemlerinin çözümlü gerekmekedir., ve q nun in fonksiyonu olarak bulunmasını sağlıyor. Yüzeydeki sınır şarları şöyledir: 1: q 1,, E arameresinin her değerine karşılık gelen sadee bir çekirdek çözümü bulunmakadır. E nin değeri zarfın kesirsel derinliğini belirlemekedir. Örneğin E olduğunda konvekif abakaların derinliği sıfır olmakadır. (radyaif zarf). Ya da 4

F 45.48 olduğunda konvekif bölge yüzeyden merkeze kadar uzanmakadır. E nin çeşili değerleri için çözümler yayınlanmış ablolarda mevuur. E nin içinde K nın bir çaran olarak bulunması, yıldızın dış abakalarında iyi belirlenemeyen karışım uzunluğuna bağlı olmasından dolayı, bir belirsizlik yaramakadır. Bu nedenle verilen herhangi bir durum için E nin çeşili değerleri için modeller hesalanır. Çekirdek için (1-118) ve (1-11) denklemlerinin aynı anda gerekmekedir. Merkezdeki sınır şarları şöyledir: çözülmesi 1: q,, f,, ye bağlılığı elemine emek için çekirdeke geçerli olan ve yıldızla işarelenmiş yeni değişkenler belirlenmişir. Şimdi bu değişkenleri sabiler çerçevesinde öneki değişkenlerle (sıfır al indisli) ilişkilendirelim., q q q,,, f f f (1-131) Böylee diferansiyel denklemler şu hale gelir: q dq d d d q q d d C 8.5 8.5 f f f df d D υ υ. Aşağıdaki eşisizliklerle bu diferansiyel denklemlerdeki sabi kasayıları eleminde edebiliriz: q 3 q f 1, 1, C 1, D 1 9.5 f υ 3 (1-13) 5

Beş yeni sabi için sadee dör koşul olduğundan, birini rasgele seçebiliriz:, Sonra, dq d d d q d d 8.5 f df d υ elde edilir. Merkezdeki sınır şarları şu hale gelmişir: 1: q,, f, 1. değerleri belirlenmemişir ve serbes aramere olarak bırakılmışır. Bu dönüşümle, merkez için çözüm verilen bir υ değeri için a bağlı bir ek aile çözümü ile elde edilebilir. U, V grafiğinde ekrar çekirdek ve zarf için uyum aranır. Merkez için çözüm, merkezdeki n+1 değeri.5 olduğunda zarfla aynı U, V değerine sahi olduğunda olmakadır. (Şekil 1-). Dolayısıyla ın her değeri bir E ye karşılık gelmekedir. Çekirdek ve zarf için herhangi bir uygun değer çifi için, denklem (1-131) de belirilen beş sabi oraya çıkmakadır. Çekirdek çözümü, q,, f ve ile yaılabilirken, zarf, q, ve ile çözülebilmekedir. Bu değerlerin (1-131)deki ilk dör denklemde yerine yazılmasıyla, q, ve bulunabilir. f ı bulmak için (1-1) denklemi inegre emek gerekmekedir. Bu inegrasyondan, f / 1 fb 1 f b D 1 b υ d (1-133) elde edilmekedir. Burada b al indisi çekirdekeki ve zarfaki sınırı ifade emekedir. f b ve D belirlenememekedir anak inegrasyona dayanan bir yönem bu değerleri ve f ı bulmaya yarayabilir. D için bir başlangıç ahmini (1-133) denkleminden f b nin bulunmasına imkan veriyor. Daha sonra (1-133) in son denkleminden f bulunmaka ve (1-13) denkleminden D için yeni bir değer bulunabilmekedir. Bu 6

işlem gerekiği kadar devam eirilir., q,, f ve bilindiği akirde çekirdekeki değişkenleri, q, f ve insinden ifade edebiliriz. C nin değeri (1-13) deki üçünü denklemden bulunabilir. Yukarı anakolda olduğu gibi, C ve D; M, R, L, X ve Z den ikisinin belirlenmesi için iki koşulu oluşuruyorlar. Bu sonuç, eğer herhangi bir durum için bir şekilde E nin (veya ın) değeri biliniyorsa Vog-Russell eoremini doğrular. Fiziksel değişkenler (1-113) (1-117) denklemlerinden bulunabilir. Yaılan varsayımları özelersek; kimyasal komozisyon model boyuna homojen, radyasyon basını ihmal edilmiş, oasie kasayısı sabi olmak üzere Kramer in bağlıserbes geçiş kanunu ile belirli, enerji üreim hızı ε ε X ρt ile verilmeke (ε, ν X 1 X 1, X ve ν sabi), zarfa sıaklık ve basınç adyabaik gaz kanunu ile çekirdeke ideal gaz kanunu ile belirli, sıaklık ve basınç yüzeyde yok oluyorlar ve κ, ε ve ν değerleri sonuçaki modelle uyumlu olmalıdırlar. Bu kısılamalarla ve E nin değerinin bilinmesiyle radyaif çekirdeğe ve konvekif zarfa sahi üm modeller boyusuz çözümler ile elde edilebilir. 5-4) DÖNÜŞTÜRÜLMÜŞ BİR MODEL Kısım 3 e, normal kimyasal komozisyonda homojen bir yıldız için model yaılmış anak P ve T değerleri anakolun alında yeralmışı. Konvekif zarfın büyük derinliği aslında yıldızın emel yaısının daha geç ien bir yıldıza uygun olduğunu gösermekedir. Böyle bir yıldız daha az arlak ve daha az küleli olduğundan, modelimizi orjinal külenin /3 ü küleli (.4 M ) bir hale dönüşürebiliriz. X, Z, κ, ε ve ν nün değişmediği varsayılmışır. (1-14), (1-15) ve (1-16) denklemlerinden görülebileeği üzere herhangi bir modelin karakerisiklerini içermekedir. Orjinal modelin sembolleri üssüz, yeni modelin sembolleri üs işareli olarak kullanılmışır. C nin değeri iki durumda da aynı olduğundan (1-14) denkleminden, ' ' ( L L)( R R) ' 5.5 ( M M ).5 1 elde edilir. Benzer şekilde, (1-15) den, ' 6 ( M M ) ' ' ( L L)( R R) 7 1 (ν 4) bulunur. Bu denklemlerin M / M / 3 için çözülmesi ile, R / R.9694 L / L.191 elde edilir. (1-116) ve (1-117) denklemlerinden 7

' P P ' ( M M ) ' ( R 4 R).533 ' T T M R ' ' M R.6877 ve özel olarak Tablo (1-7) den, P ' 15.533P 79.1 dyne / m T '.6877T.851 7 K ρ ' 7.6gr / m 3 P ' b.533pb 46.7dyne / m T ' b.6877t.6731 b 7 K ρ ' b 51.1gr / m 3 bulunmuşur. T ve ρ nun değerleri ile Tablo (1-15) gösermekedir ki; varsayımı hala geçerlidir. Tablo (1-13A) ve Tablo (1-13B) gösermekedir ki; ε şu formülden hesalanmalıdır: ε ρ 5 5.866 1.9X T7.944X T7 ρ g bf buna göre daha öne varsayılan ifadeyle merkezdeki değerler %3 daha yüksek çıkmakadırlar. Şekil (1-5) eki H-R diyagramında ve Şekil (1-6) daki küle-ışınımgüü diyagramında B modelinin ve dönüşürülmüş modelin yerleri karşılaşırılmışır. Beklendiği gibi dönüşürülmüş model daha iyi bir uyum gösermişir. Bununla beraber gerçekçi bir model, B modelinde belirilen eorik iyileşirmelerin yaıldığı bir model olur. Tablo (1-1) da bu modellerdeki bazı boyusuz aramereler liselenmekedir. B modeline ai olan veriler kullanılsa da, dönüşürülmüş modelinkiler de eş geçerlilikedir. 8

9

3

31

3

33

34

35

36

37

38