P M K K E Ü Nİ V E R Sİ T E Sİ M Ü H E N DİS İK F K Ü T E Sİ P M K K E N I V E R S I T Y E N G I N E E R I N G F C T Y M Ü H E N DİS İK İİM E Rİ D E R GİSİ O R N O F E N G I N E E R I N G S C I E N C E S YI CİT SYI SYF : : : : 95- S İÇERİSİNDE ĞIRIĞI DİKKTE INN İR KOONN RKM NİZİ Yeliz PEKEY Ege Üniveritei, Mühendilik Fakültei, Makine Mühendiliği ölümü, 5, rnva, İzmir Geliş Tarihi :.. Kal Tarihi :.. ÖZET EER, yılında ait enine keitli çkların kritik rklma kvvetlerini, çk ağırlığını ihmal ederek heaplamıştır. Daha eknmik çklar için, çk ağırlığının da dikkate alınmaı ve çözüm yapılmaı gerekir. iteratürde, değişik menetleme drm için çk ağırlığı da dikkate alınarak hava rtamında kritik rklma kvvetleri ve aimpttik rklma kvvetleri heaplanmış ve kvvetlerden hareketle menetleme drm için daki kritik kvvetlerin lnaileceği, diğer menetleme drmna ait daki kritik rklma kvvetlerinin ie hava rtamındakinden heaplanamayacağı elirtilmiştir. çalışmada, güne kadar kritik rklma kvvetleri heaplanmamış, içeriinde, üt c ankatre menetli alt c ankatreli kayıcı menetli çk için çözüm verilmiştir. nahtar Sözcükler : Sda rklma, eel-hankel nkiynları, ytz kritik rklma kvveti, ytz çk znlğ. CKING NYSES OF HEVY COMN CONSIDERTED IN WTER STRCT In, the critical ckling lad with the amptin nirm cr-ectin witht weight clmn were cmpted y Eler. Whenever an ecnmical ltin i reqired, the weight clmn mt e cnidered r ltin ckling analye. In literatre, the critical ckling lad and aympttic ehavir heavy clmn in cnditin atmphere have invertigated r ten dierent pprt type. When thi literatre i eamined, it i tated that the dierential eqatin r r dierent ppprt type in cnditin water i imilar t cnditin atmphere. Hwever, the dierential eqatin ther r dierent ppprt type in cnditin water i dierent rm t cnditin atmphere. nd it i tated that the critical ckling lad thee dierent ppprt type in cnditin water i nt calclated rm cnditin atmphere. The gal thi paper are t develp el weight ckling clmn at it tp ied and lwer end ied-rller pprted in cnditin water. Thi paper, preent a analytical methd r calclating the critical ckling lad the heavy clmn. Key Wrd : ckling in water, eel-hankel nctin, Dimeninle critical ckling lad, Dimeninle, Critical length.. GİRİŞ ğırlığı dikkate alınan zn çklardaki rklma prlemi, yapıal mekanikte en temel prlemlerden iridir. Kendi ağırlık kvveti etkii altında ir çğn rklmaı, ünirm yayılı, ekenel kvvete marz ir çğn tailite prlemi larak iade edilmektedir (Sgiyama v.d., 9. Eler ( ait enine keitli çkların kritik rklma kvvetlerini, çk ağırlığını ihmal ederek, her iki cndan maallı çk, ir cndan ankatre diğer cndan eret çk, ir c ankatre ve diğer c maallı çk ve her iki c ankatre lan çklar için heaplamıştır. Daha eknmik çklar için, çk ağırlığının da dikkate alınmaı ve çözüm yapılmaı gerekir. İlk larak 95
S İçeriinde ğırlığı Dikkate lınan ir Klnn rklma nalizi, Y. Pekey Willer (9, ağırlığı dikkate alınan ir çğn tailiteini incelemiştir. ğırlığı dikkate alınan ir çğn kritik rklma kvveti, çğn hava veya rtamında lnmaına göre arklılık göterecektir. ark, rtamında, hava rtamına göre ek larak akışkan kaynaklı hidrtatik aınç kvvetinin etkimeinden kaynaklanmakta lp, kendiini, prlemin dieraniyel denkleminde götermektedir. Plnkett (9; Sgiyama v.d., (9 ie, denizcilikte ndajlamada kllanılan, ağırlığı dikkate alınan çkların, kritik rklma kvvetini, ıraıyla aimpttik ve eri çözümü ile lmşlardır. yrıca, ernita ve Kkkini (9 de aimpttik çözümü, iry nkiynn kllanarak yapmışlardır. Özdamar (99, değişik menetleme drm için çk ağırlığını da dikkate alarak hava rtamında kritik rklma kvvetlerini ve aimpttik rklma kvvetlerini heaplamış ve kvvetlerden hareketle menetleme drm için daki kritik kvvetlerin lnaileceğini, diğer menetleme (üt c ankatre ve alt c ankatreli kayıcı menetli çk, üt c ankatre ve alt c maallı, kayıcı menetli lan çk, üt c maallı alt c ankatreli kayıcı menetli çk, üt c ankatreli kayıcı menetli alt c ankatre, üt c ankatreli kayıcı menetli alt c maallı ve üt c maallı, kayıcı menetli alt c ankatre çk drmna ait daki kritik rklma kvvetlerinin ie havadakinden hareketle heaplanamayacağını elirtmiştir. Üt c ankatre menetli alt c ankatreli kayıcı menetli çk, heaplanamayacağı iddia edilen menetleme drmlarından iridir. çalışmada amaç, literatürde güne kadar çözümü yapılmamış lan rtamındaki üt c ankatre ve alt c ankatreli kayıcı menetli çğa ait kritik rklma kvvetlerinin heaplanmaıdır. amaç için, öncelikle, prlemin dieraniyel denklemi rtamı için çıkarılacaktır. Daha nra, prlem eel ve Hankel Fnkiynları kllanılarak analitik larak çözülecektir. çözüm, aimpttik çözüm larak adlandırılan çk zn kirişlerdeki rklma değerini de vermektedir.. PROEMİN DİFERNSİYE DENKEMİ çalışmada, ağırlığı dikkate alınan, içinde aınca zrlanan ir çğn hareketinin, dieraniyel denklemi çıkartılacaktır. Şekil de, ağırlığı dikkate alınan, içeriinde, tatik denge drmndaki ir çk görülmektedir. pp( Şekil. S içeriinde tatik denge drmndaki çk. Şekil de ie, ağırlığı dikkate alınan ve çk küçük ir d znlğnda ir eleman görülmektedir. Q qd q d α pd M N N dn MdM Q dq Şekil. Keit üyüklükleri. w,z elemanda denge denklemleri aşağıdaki şekilde yazılailir: dn( F p( q (Sinα ( d dq( F q( q (Cα ( z d M N(( Q( dm( ( rada, M (, eğilme mmenti keit zr, N (, ekenel veya nrmal kvvetin ileşeni, Q (, keme kvveti keit zr ileşeni, q (, Mühendilik ilimleri Dergii ( 95-9 rnal Engineering Science ( 95-
S İçeriinde ğırlığı Dikkate lınan ir Klnn rklma nalizi, Y. Pekey hidrtatik aınçtan dğan yayılı yükü, q( içeriinde çğa etkiyen yayılı yükü, p( ile çkta irim znlk aşına gelen ağırlık kvveti imgelenmiştir. Çğn içi ş ie veya içinde ı vara, γ, ının özgül ağırlığı iade etmek üzere, çğn irim znlk aşına gelen kvvet, p( p γ ait ile yazılailir. yrıca, çk, γ özgül ağırlığına ahip ının içinde lmaından dlayı, çğa, hidrtatik aınçtan dğan ir yayılı yük ( q ( etkiyecektir, ki değer, [ ( (] q ( γ w ( ( larak da iade edilmektedir (Özdamar, 99. yrıca denklemlerde, w (,(, ( iadeleri, ıraıyla, çökme nkiynn ve çökme nkiynnn e göre irinci ve ikinci türevlerini götermektedir. ( nl denklem d e ölünüre, ( dm( N ( Q( (5 d d d d elde edilir. (, ( ve (5 nl denklemler ile çarpılır ve meydana gelen küçük çökmeler nedeniyle Sinα,C alınıra, dn( d N ( p( ( dq( d d Q ( q( q ( ( ( dm ( N ( Q ( N ( w ( Q ( M ( ( denklemleri elde edilecektir. d larak yazılaileceğinden, denklem itemi aşağıdaki şekle dönüşür: N ( p( (9 Q ( q( q ( ( M ( Q( N(w ( ( ( nl denklemin e göre türevi alınır ve ( nl denklemde Q ( yerine yazılıra, ( nl denklem elde edilmiş lr. ( nl denklemin elde edilmeinde, ( nl denklem ile göterilen elatik eğri denkleminden de yararlanılmıştır. M ( ( ( w ( Q ( ( N ( w ( veya q ( q ( ( N ( w ( ( (N(( q( q ( ( denklemde verilen, N ( ekenel veya nrmal kvvet iadeini açık ir şekilde yazmaya çalışalım. (9 nl denklem, p( p γ ait lmak üzere, üzerinden entegrayn işlemi gerçekleştirilire, N ( p ( c γ c ( lr. denklemde yer alan c aittir ve incelenen drma göre ınır şartlarından elirlenir. na göre, çalışmada incelenen menetleme drmna göre, ( da, N N( c P (5 γ yazılailir. öylece ( nl denklem, c aitinin yerine knmaıyla, N( γ γ P ( şekline dönüşür. na göre, ( nl denklemde, ( nl denklemin kllanılmaıyla, [ ( ( P ( ] ( γ γ ( q( q ( elde edilmiş lr. yrıca denklem, w ( q( q veya w ( q( q [ γ ( ( γ γ ( P ( ] ( [ ( ( ( ( γ γ P ] ( γ ( Mühendilik ilimleri Dergii ( 95-9 rnal Engineering Science ( 95-
S İçeriinde ğırlığı Dikkate lınan ir Klnn rklma nalizi, Y. Pekey şeklinde de yazılailir. Syn hareketiz ve akıntının lmamaı, q ( şartını getirir. Dlayııyla, ( nl denklemde q ( ve ( nl denklemde verilmiş lan, q (, yerine yazılıra, w ( [ γ w ( ((( γ γ P ] γ [w ( ( w ( (9 nl denklem elde edilmiş lr: w ( [P ( γ γ ]w ( ( γ γ ( veya w ( [[P ( γ γ ](] (9 İncelenen menetleme drmnn, daki ınır şartlarını elde etmek için, (9 nl denklemin entegrayn ile ( [ P ( γ γ ]w ( S k ( lnr. rada, k entegrayn aitini göterir. ( nl dieraniyel denklem, γ P γ a θ ( γ,, γ kıaltmalarıyla yerine yazıldığında, w ( a[ ( ]( k ( elde edilir. dieraniyel denklemin çözümü için, ( a ( θ ( ( φ( ( ( denklemleri ile verilen yeni değişken ( ( ve yeni nkiyn ( φ ( ( tanımlanın. ( nl denklemin türevi alınacak lra, d w( d φ( ( lnr. denklemde yer alan, nl denklemden hareketle, dφ d d (5 d iadei, ( d a ( θ a ( θ ( θ ( θ elde edilir. yrıca, yine denklemden hareketle, ( θ a ( ( a lnr.na göre, ( ve ( nl denklemlerin, ( nl denklemde yerine yazılmaıyla, d w( a ( ( θ φ( φ ( ( d w( lnr. na göre,, iadei ( nl denklem yardımıyla, d w( a φ( ( ( θ φ ( φ ( 9ξ (9 elde edilir. öylece, da ( nl denklem ile verilen ınır şartı, a ( ( θ a[ θ ] φ ( [ φ ( φ ( ] 9ξ k c a ( ( θ elde edilmiş lr. φ ( k veya φ ( φ ( [ ( θ ( c ] φ(, 9 (. PROEMİN ESSE-HNKE FONKSİYONRI İE HVD VE SDKİ ÇÖZÜMÜ çalışmada, güne kadar kritik rklma kvvetleri heaplanmamış, üt c ankatre ve alt c ankatreli, kayıcı menetli ağırlığı dikkate alınan daki çk için çözüm yapılacaktır. İncelenecek lan drm ve ınır şartları Şekil ve Tal de görülmektedir. Yapılacak lan çözümde, prlemin en genel şartlardaki dieraniyel denklemi çıkartılarak, çözüm, hem hava hem de için yapılacaktır. Dlayııyla Tal de ınır şartları hem hava hem de için verilmiştir. Mühendilik ilimleri Dergii ( 95-9 rnal Engineering Science ( 95-
S İçeriinde ğırlığı Dikkate lınan ir Klnn rklma nalizi, Y. Pekey P P-p ( nl denklem, φ ( c cy (5 w,z Şekil. İncelenen menetleme drm. Tal. İncelenen menetleme drmna ilişkin ınır şartları. Sınır Şartları Havada Sda w nktaı ( a γ a w nktaı ( w w ( nl denklem ile verilen dieraniyel denklem, ( ( θ kalü ile, φ ( φ ( [ ( ] φ( c ( haline dönüşmüş lr. dieraniyel denklemin çözümü ie, c ve c entegrayn aitleri lmak üzere, φ ( c c Y ( C ( C ( şekline dönüşür. İncelenen menetleme drm için, alt çta Q ( ınır şartından, k dlayııyla, k c lmaktadır. na göre, a ( ( θ lr. denklemlerde yer alan, vey iadeleri ie, ıraıyla ESSE ve HNKE nkiynlarını götermektedir ve aşağıdaki şekilde yazılmaktadır (Watn, 9: n n n n ( n n n n! n n (, n! n π C Y π Sin ( ( na göre, ( nl denklemde yer alan eel nkiynları; Γ (! Γ ( Γ (!... (! Γ!... ( (9 larak da verileilir. denklemlerde yer alan Γ iadei ie Gamma nkiyn larak iimlendirilmektedir (Watn, 9. ( nl denklem, ξ ( Mühendilik ilimleri Dergii ( 95-99 rnal Engineering Science ( 95-
S İçeriinde ğırlığı Dikkate lınan ir Klnn rklma nalizi, Y. Pekey yeni değişkeni ile, a a ( θ ξ ξ ( θξ ξ a [ ξ( θ ] ( dönüşmüş lr. değişkeni ξ nin alacağı değerlere göre incelenmelidir: a ξ ( θ ξ ξ pziti ve θ reeldir. ξ ( θ ξ θ c ±i kıaltmaıyla ξ ( θ ξ θ [ ξ ( θ ] ± [ ξ ( ] na göre, ξ, ( [ ξ ( ] i, [ ξ ( ] ξ ± [ α( ] i ± i, [ α( ] ( ( dir. yrıca, ξ, ξ α ( larak tanımlanmaktadır. Şekil de değişik krdinat itemleri araındaki ilişkiler görülmektedir. na göre ( nl denklem, [ c φ ( ( ( c Y ( ] (5 şeklinde yazılır. ± ξ α i ξ ξ θ w,z Şekil. Değişik krdinat itemleri araındaki ilişkiler. (5 nl denklem entegre edilire, için geçerli lan ınır şartını lmş lrz: ( [ α ( ] [ c F( α,, θ c F( α,, θ ] ( denklemde yer alan F( α,, ve θ F( α,, θ iadeleri de aşağıdaki şekilde yazılailir: F( α,, θ [ ( ( 9 [ α( ]!.. [ α( ]!.... F( α,, θ ( [ α( ]!.... [ α( ]!.. [ α( ]!.... 9 [ α( ]!.... [ ( [ α( ]!....5. [...]...] [ α( ]!.....] [ α( ] 9 [ α ( ] [ α ( ]!..5.!...5. 5 [ α( ] ( ( de, yani çğn üt c ankatre lmaından dlayı, ir diğer ınır şartı da, nktadaki çökme değerinin ıır lmaıdır. na göre, Mühendilik ilimleri Dergii ( 95- rnal Engineering Science ( 95-
S İçeriinde ğırlığı Dikkate lınan ir Klnn rklma nalizi, Y. Pekey w( ( ( [cf( α,, θ θ a (9 c F( α,, θ c ] yazılailir. denklemde yer alan F( α,, ve θ F( α,, θ iadeleri de aşağıdaki şekilde yazılailir: F( α,, θ [ α( ]!.... [ 5 [ α( ]!.......] [ α( ] (5 F5( (...]!....!.... ( ( (. [!........]!..5..!...5.. dir. P P-p [!... (5 F ( α,, θ ( ( ( 5 5 [ α ( ]!.... ( [ [ α ( ]!.. [ α ( ]!...5. [ [ α ( ]!.... [ α ( ]...] [ α ( ]...] (5 ( [ α( ] [ cf ( α,, θ c F (( α,, θ] w( ( ( [ cf ( α,, θ cf ( α,, θ c ] θ a c F( c F5( w,z ( Çğn alt c yani için, (5 nl denklem yardımıyla, ( c F( cf5( (5 yazılır. denklemde yer alan F( ve F5( iadeleri de aşağıdaki şekilde yazılailir:!. F (!... (!..... [ Γ (...]... (5 Şekil 5. İncelenen menetleme drmna ilişkin lnan denklemler. raya kadar, prlemin en genel drmdaki dieraniyel denklemi çıkartılmış ve incelenen menetleme drm için ınır şartları elde edilmiştir. ndan nra, ağırlığı dikkate alınan havadaki ve daki ir çğn rklma davranışı incelenecektir. Şekil 5 de incelenen drma ilişkin elde edilen denklemler görülmektedir. Prlemin, ıırdan arklı ir çözümünün lailmei için, denklem takımının katayılar determinantı ıır lmalıdır: F( α,, θ F( α,, θ F( F( α,, θ F( α,, θ F5( (55 determinant açılıra, F ( α,, θ. F5( F( α,, θ. F( (5 denklemleri elde edilmiş lr. Mühendilik ilimleri Dergii ( 95- rnal Engineering Science ( 95-
S İçeriinde ğırlığı Dikkate lınan ir Klnn rklma nalizi, Y. Pekey ğırlığı dikkate alınan, üt c ankatre ve alt c ankatreli kayıcı menetli ınır kşllarına ahip lan çğn hava ve rtamları için, kritik rklma kvveti, (5 nl denklemin kökleri yardımıyla lnacaktır. denklemin çözümünde, γ γ F θ larak alınıra hava rtamındaki S γ F çğn, θ,;, larak γ S 5 alınıra da içeriindeki çğn kritik rklma kvveti lnmş lr. rada, elde edilen nçlar, ytz kritik rklma kvveti ile ytz çk znlğ ile iade edilecektir. nn için, ( nl ağıntıdan, iadei çekilire, a ( a ( p (5 lnr, iade ( nl ağıntı yardımıyla, α ( p α( (5 p şeklinde iade edilir. ağıntıda yer alan, α( (59 iadei, ytz kritik çk znlğ larak iimlendirilir. yrıca, P p ( ağıntıı, (5 nl denklem yardımıyla aşağıdaki şekilde iade edileilir: P p ( ( ( (p p ağıntıda, P ( ( iadei ie ytz kritik rklma kvveti larak iimlendirilir. Tal de, hava rtamında lnan, ağırlığı dikkate alınan ir çğn, ıraıyla (5 ve ( nl denklemden elde edilen kökleri ( ile ytz kritik rklma kvveti ( P görülmektedir. yrıca, nçlar, Özdamar ın (99 lmş ldğ değerler ile karşılaştırılmıştır. Her iki ncnda irirleri ile ym içeriinde ldğ gözlemlenmiştir. Tal de ie, üt c ankatre ve alt c ankatreli kayıcı menetli ınır kşllarına ahip ir çğn, rtamında lmaı drmnda elde edilen nçlar göterilmiştir. Tal. ğırlığı dikkate alınan ir çğn havada rtamındaki çözümü. PEKEY ( çalışma ÖZDMR (99 α P P. 5..5 5..55.5.5..5...55..55.........9..9.9..9...5.5.5.5.5.5..5...9..9...5.9.5.9..9..9...........5............. 5.5.........5.........5.........5.... Tal. ğırlığı dikkate alınan ir çğn rtamındaki çözümü. α P.. 5.55.9.5.9..9...5.95...59.....59.5.5.5....99.5.55.....5...9.9.........5.9.9.5.5 5..9.5...9.5..9.5 5.5 9.9.9.5 9.95.9.5.5.5.9.5..9.5.5.5.9.5..9.5.5.9.9.5 Mühendilik ilimleri Dergii ( 95- rnal Engineering Science ( 95-
S İçeriinde ğırlığı Dikkate lınan ir Klnn rklma nalizi, Y. Pekey. SONÇ VE DEĞERENDİRME çalışmada, güne kadar kritik rklma kvvetleri heaplanmamış, üt c ankatre ve alt c ankatreli kayıcı menetli ınır kşllarına ahip ir çğn, rtamındaki rklma davranışı incelenmiştir. Şekil da incelenen menetleme drmnn hava ve rtamında elde edilen ytz çk znlğ ile ytz kritik rklma kvvetleri araındaki ilişki görülmektedir. şekil incelendiğinde, küçük çk znlkları için, hem hava hem de içeriinde yer alan çkta, ytz kritik rklma kvvetinin ldkça iririne yakın ldğ görülmektedir. yrıca, ytz çk znlğ artıkça, ağırlığı dikkate alınan havadaki çğn daki çğa nazaran daha üyük ir ytz kritik rklma kvvetine ahip ldğ görülmüştür. nc Özdamar (99, çalışmaında, menetleme drmnn aimpttik çözümünü yaparak, aimpttik değerini, yani ytz kritik rklma kvvetini, larak lmştr. çalışmada da aynı menetleme drm için, içeriinde ağırlığı dikkate alınan çğn aimpttik değerinin,5 ldğ lnmştr. 5. TEŞEKKÜR Her zaman her knda özverili yardımlarını eirgemeyen ayın hcam Pr. Dr. ydğan ÖZDMR a teşekkürü ir rç ilirim.. KYNKR,5 hava Eler,.. De Crvi Elatici, aanne nd Gen. P,5,5,5,5 5 9 Şekil. ğırlığı dikkate alınan hava ve rtamında lnan çğn ytz kritik rklma kvveti ile kritik rklma znlğ araındaki ilişki. Şekil da görülen ir diğer önemli nçta, ağırlığı dikkate alınan havadaki çğn, ytz kritik rklma kvvetinin elli ir değere yaklaştığı görülmektedir. Yani ytz çk znlğ ne kadar üyük lra ln, çğn artık aynı kritik rklma kvvetinde ldğ görülür. Nitekim ernita, M.M. and Kkkini, T. 9. ympttic ehavir heavy clmn and rie taility ndarie. Tran. SME 5, 5-55. Özdamar,. 99. Da Knicken Schwerer Getänge, Yayınlanmış Dktra Tezi, VWF Verlag ür Wienchat nd Frchng, erlin. Plnkett, R. 9. Static ending tree in catenarie and drill tring.. Eng. Ind., Tran. SME 9, -. Sgiyama, Y., hida, K. and Kawage, H. 9. ckling lng clmn nder their wn weight. lletin the SME 5-5, -5. Watn, G.N. 9. Treatie n the Thery eel Fnctin. Camridge niverity Pre, Secnd Editin. Willer, F.. 9. Da knicken chwerer getänge. Z. ngew Math. Mech., -5. Mühendilik ilimleri Dergii ( 95- rnal Engineering Science ( 95-