Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji Kavrama Soruları - iziksel iş ile günlük hayatta alışık oluğumuz iş kavramları aynımıır? - Kuvvet ve yer eğiştirmenin sıfıran farklı oluğu urumlara iş sıfır olabilir mi? 3- Dairesel harekette merkezcil kuvvetin yaptığı iş neir (veya iş yapar mı?)? 4- İki vektörün skaler çarpımı neen skaler bir sayıır? 5- Bir ton buğay tanesini bir binanın tepesine çıkaran bir vinç ile bir karıncanın yaptıkları iş aynımıır? 6- Bir karınca mı yoksa bir vinç mi aha güçlüür? Konu İçeriği Sunuş 7- Sabit bir kuvvetin yaptığı iş 7- İki vektörün skaler çarpımı 7-3 Değişken kuvvetin yaptığı iş 7-4 Kinetik enerji ve iş-kinetik enerji teoremi 7-5 Güç Sunuş Bu bölüme, iş tanımı yapılacak, önce sabit bir kuvvetin yaptığı iş, aha sonra büyüklüğü konuma göre eğişen bir kuvvetin yaptığı iş hesaplanacaktır. İki vektörün skaler çarpımı anlatılacak ve iş ifaesinin skaler çarpım olarak nasıl ifae eileceği gösterilecektir. Son olarak a güç kavramına eğinilecektir. Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji, Hazırlayan: Dr. H.Sarı /9 Güncel: Temmuz 008
7- Sabit Bir Kuvvetin Yaptığı İş İş: Sabit bir kuvvetin bir cisim üzerine yaptığı iş, W, kuvvetin () yer eğiştirme yönüneki bileşeni (cosθ) ile yer eğiştirmenin () çarpımıır. W=(.cosθ) θ Buraa: : uygulanan kuvvet : yer eğiştirme θ: ile yer eğiştirme vektörü arasınaki açı İş, skaler bir niceliktir. Boyutu [kuvvet].[uzunluk] ya a temel boyutlar cinsinen [Kütle.Uzunluk /Zaman], [ML /T ]. İşin SI birim sistemine birimi Newton-Metre (N.m) veya Joule (J) olarak ifae eilir. İşin sıfıran farklı olabilmesi için kuvvet () ve yer eğiştirme () niceliklerinen her ikisinin e eğerinin sıfıran farklı olması gerekmekteir. W=. // W=(.cosθ) W=0 0, =0 Bu şartın yanına, yer eğiştirmenin kuvvet yönüne bileşeninin e sıfıran farklı olması gerekmekteir. Eğer yer eğiştirme ile kuvvet arasına 90 o lik bir açı varsa yapılan iş sıfırır. Bu uruma en güzel örnek airesel harekettir. Dairesel harekette cisme etki een kuvvet merkeze oğru olmasına rağmen cismin yer eğiştirmesi bu kuvvete ik olan yörüngeye teğet oğrultuaır. r m W=0 r O W=(.cos90 ο )=0 Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji, Hazırlayan: Dr. H.Sarı /9 Güncel: Temmuz 008
Örnek 7. Bir aam bir cismi yatayla 30 o lik bir açıa =50 N büyüklüğüne bir kuvvet ile çekiyor. Cisim yataya oğru 3m yer eğiştiriğine kuvvetin cisim üzerine yaptığı işi hesaplayınız. Çözüm: n =50 N 30 ο W=(cosθ) =(50 N).(cos 30 o ).(3m) =30 J mg Kuvvetin yukarı yönlü bileşeni sinθ, cisim üzerine hiçbir iş yapmaz çünkü bu kuvvet yer eğiştirmeye iktir. 7. İki Vektörün Skaler Çarpımı A ve B gibi herhangi iki vektörün skaler çarpımı, bu iki vektörün büyüklükleri ile bunların arasınaki açının kosinüsüsün çarpımına eşit olan skaler bir niceliktir. A.B= A. B.cosθ Skaler Çarpım Skaler çarpıma vektörleren birinin iğer vektör üzerineki iz üşümü alınarak aynı oğrultuya getirilir ve bunlara skaler sayı gibi işlem yapılabilir. A ve B vektörlerini birim vektörler cinsinen ifae eerek iki vektörün skaler çarpımını bulmaya çalışalım. A=A î+a y ĵ B=B î+b y ĵ θ A A.cosθ B A.B=( A î+a y ĵ).( B î+b y ĵ)=a B (î.î)+ A B y (î.ĵ)+a y B (ĵ.î)+a y B y (ĵ.ĵ) î.î= (İki birim vektör arasınaki açı θ=0 o, cos(0 o )=) ĵ.ĵ= (İki birim vektör arasınaki açı θ=0 o, cos(0 o )=) î.ĵ=ĵ.î=0 (İki birim vektör arasınaki açı θ=90 o, cos(90 o )=0) y ĵ î Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 3/9 Güncel: Temmuz 008
A.B=A B + A y B y A ve B arasınaki açı cos θ = A. B A. B Eğer vektör üç boyutta tanımlanmış ise; A=A î+a y ĵ+a z k B=B î+b y ĵ+b z k A.B=( A î+a y ĵ+a z k).( B î+b y ĵ+b z k)= A B (î.î)+ A B y (î.ĵ)+a y B (ĵ.î)+a y B y (ĵ.ĵ) z k.k= (İki birim vektör arasınaki açı θ=0 o, cos(0 o )=) ĵ.ĵ= (İki birim vektör arasınaki açı θ=0 o, cos(0 o )=) î.î= (İki birim vektör arasınaki açı θ=0 o, cos(0 o )=) î.ĵ=ĵ.î= î.k=ĵ.k=0 (İki birim vektör arasınaki açı θ=90 o, cos(90 o )=0) k î ĵ y bulunur. A.B=A B + A y B y + A z B z Örnek 7. Çözüm: A ve B vektörleri A=î+3ĵ ve B=-î+ĵ olarak veriliyor. a) A.B skaler çarpımını hesaplayınız. b) A ile B arasınaki açıyı bulunuz. a) A.B=(î+3ĵ).(-î+ĵ)=-+6=4 birim b) A.B= A B cosθ =>cosθ=(a.b)/ A. B A nın büyüklüğü A =( +3 ) / =(3) / B nın büyüklüğü B =((-) + ) / =(5) / cosθ=(a.b)/ A. B =4/[(3) /.(5) / ] =>θ=arccos(4/8,06)=60, o Skaler çarpım notasyonunu kullanarak aha önce tanımlaığımız işi kuvvet ve yer eğiştirme vektörleri cinsinen şu şekile ifae eebiliriz: W=.=.. cosθ Buraa ve her ikisi e vektörel niceliktir. Görülüğü gibi iş ifaesini vektör notasyonu ile yazığımıza kuvvetin yer eğiştirme yönüneki bileşeni e otomatik olarak ikkate alınmış olur. 7.3 Değişken Bir Kuvvetin Yaptığı İş Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 4/9 Güncel: Temmuz 008
Bölüm 7. e tanımlaığımız iş ifaesine kuvvetinin büyüklüğünü sabit kabul etmiştik. kuvveti sabit ise bu kuvvetin yaptığı iş ΔW, W=(cosθ). şekline tanımlamıştık Eğer kuvveti sabit eğil ise, yani in eğeri (büyüklüğü) konum ile eğişiyor ise; Kuvvet her küçük Δ yer eğiştirmesine sabit ise, her Δ aralığına yapılan iş; ΔW=.Δ : kuvvetinin yer eğiştirme (Δ) yönüneki bileşeni Δ: Yer eğiştirme Yapılan toplam işi bulmak istersek her Δ aralığına yapılan işleri (.Δ) toplamamız gerekecektir. Bu toplamı ( ) matematiksel olarak ifae eersek: W s = Δ i Yer eğiştirme Δ i çok küçük alırsak toplam iş ifaesi yukarıaki kesikli toplam ( ) ifaesi sürekli toplam ( ) ifaesine önüşür. Sürekli toplamı gösteren bu ifae matematikte integral olarak bilinir. s lim Δ = Δ 0 i s i W s = Değişken bir kuvvetin yaptığı iş i Konuma göre eğişen kuvvete verilebilecek güzel bir örnek kütle yay-sistemiir. Bir yayın uygulaığı kuvvet, yayın enge noktasınan ne kaar uzaklaştığı () ile ve yayı karakterize een yay sabiti (k) ile orantılıır. =-k k: yay sabiti, boyutu [k]=[kuvvet]/[l] : enge konumunan olan yer eğiştirme =0 Buraaki (-) işaret kuvvetin yer eğiştirme ile ters yönlü oluğunu göstermekteir. Buna göre bir kütle-yay sistemine yayı enge konumunan kaar uzaklaştırmakla yay üzerine yapılacak işi hesaplamaya çalışırsak: W = s i s = 0 0 s = = k = k k0 ( k ) i = = = i = k Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 5/9 Güncel: Temmuz 008
Buraan, yay sabiti k olan bir yayı enge konumunan kaar uzaklaştırmak için yapılması gereken iş için genel bir ifae ele eeriz: W = k Eğer, bu problemi sabit kuvvet için türettiğimiz iş ifaesini kullanarak yapmış olsayık ele eeceğimiz iş ifaesi: W=.= -k.=-k =-k (yanlış!) olacaktı ki bu yukara buluğumuz ifaeen (½) kaar farklı olacaktır. Örnek 7.4 Bir cismin üzerine etkiyen kuvvet şekile görülüğü gibi ile eğişmekteir. Cisim =0 an =6m ye hareket ettiğine kuvvetin yaptığı işi hesaplayınız. Çözüm: A (N) 4 B C (m) Kuvvetin yaptığı iş, =0 ile =6 m arasınaki eğrinin altına kalan toplam alana eşittir (. ifaesinen). A ve B arasınaki ikörtgenin alanı ve B ile C arasınaki üçgenin alanının toplamı toplam alana eşittir. A-B arası: (5N).(4m)=0 J B-C arası: (½)(5N).(m)=5J Toplam iş W=0J+5J=5 Joule 7.4 Kinetik Enerji ve İş-Kinetik Enerji Teoremi Sabit bir kuvvetinin etkisi altına sağa oğru hareket een m kütleli bir cismi göz önüne alalım. v i m v s Cismin, kuvvet uygulanmaan önceki hızı v i, kuvveti mesafesi boyunca uygulanıktan sonraki hızı a v s olsun. Kuvvet sabit oluğu için cisim, mesafesi boyunca sabit bir a=/m ivmesi ile hareket eecektir ve hızı v i en v s a çıkacaktır. net kuvvetinin mesafesi boyunca cismin üzerine yaptığı toplam iş: W=.=(ma). Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 6/9 Güncel: Temmuz 008
Bu ifaeyi hızlar cinsinen tekraran üzenleyebiliriz. Yer eğiştirme sabit oluğunan ortalama hızı kullanabiliriz) = ( vi + vs ) t (ivme İvme vs vi a = (ivme tanımınan) t W = m v v ( v + v ) t) = mv mv s i ( ).( i s s i t mv niceliği parçacığın hareketi ile ilgili enerjiyi temsil eer. Bu niceliğe Kinetik Enerji enir. Genel olarak bir v hızı ile hareket een m kütleli bir parçacığın kinetik enerjisi (K): K mv şekline tanımlanır. Kinetik enerji skaler bir niceliktir ve iş ile aynı boyut ve birime sahiptir. Yukarıaki ifaee cismin kuvveti uygulanmaan önceki v i hızınan olayı sahip oluğu kinetik enerjiyi K i, kuvvetinen sonra v s hızınan olayı a sahip oluğu kinetik enerjiyi K s ile gösterirsek, yukarıaki ifaeyi W = mv s mv i ilk ve son kinetik enerjiler cinsinen W = K s K i = ΔK ifae eebiliriz. Buraa: K s : son kinetik enerji K i : ilk kinetik enerji ΣW: yapılan toplam iş Bu eşitlik İş-Kinetik Enerji teoremi olarak bilinir. Bu teorem, ışarıan uygulanan bir kuvvetinin cismin hızını v i en v s a çıkarmakla cismin kinetik enerjisine ΔK lık bir artışa neen olacağını söylemekteir. Bölüm 7 e konuman kaynaklanan enerji e ikkate alınığına bu ifae tekraran üzenlenecektir. Örnek 7.7 Başlangıçta urgun olan 6 kg lık bir blok, N luk sabit, yatay bir kuvvetle yatay sürtünmesiz bir yüzey boyunca çekilmekteir. Blok 3m lik bir uzaklığa hareket ettikten sonra hızını bulunuz. Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 7/9 Güncel: Temmuz 008
Çözüm: n mg v s W=.=(N).(3m)=36 N.m=36 J =,5 m/s İlk kinetik enerji sıfır oluğu ikkate alınırsa W=K s -K i =36 J K s - 0 =36 J K s =36 J=(/)mv s v s =3,5 m/s bulunur. Kinetik Sürtünmeyi İçeren Durumlar Eğer bir yüzey üzerine hareket een bir cisme sürtünme kuvveti etki eiyorsa, bu kuvvet cismin kinetik enerjisini azaltacak yöne olur. v i f k m Sürtünme kuvvetinin yaptığı iş W s : v s W s = - f k. f k : kinetik sürtünme kuvveti : yer eğiştirme Sürtünme kuvveti her zaman hızın oğrultusunun tersi yöne oluğu için, cisim üzerine yapılan toplam iş W t ifaesi ΣW-f k =W t İş-kinetik enerji formülüne sürtünmeyi e yazarsak W t =K s -K i =ΔK ΣW=ΔK+ f k. Buraa ΣW ifaesi sürtünme ışına net kuvvetnin cisim üzerine yaptığı işi vermekteir. 7.5 Güç İş yapma hızına güç enir. Bir cisme bir ış kuvvet uygulanırsa bu kuvvetin Δt süresine yaptığı iş ΔW ise bu süree harcanan ortalama güç (P ort ): P ort =ΔW/Δt Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 8/9 Güncel: Temmuz 008
olarak tanımlanır. Ani gücü tanımlarsak ( Δt 0) Güç ile kuvvet ilişkisine bakacak olursak W= oluğunan ΔW W P = lim = Δ t 0 Δt t W. P = = = =. v t t t SI birim sistemine güç birimi Joule/saniye (J/s) ir. Bu birim aynı zamana Watt (W) olarak a alanırılır. W= J/s= kg.m /s İngilizler güç birimi olarak Beygir Gücü kullanır (BG) BG=746 W a eşeğerir. Örnek 7.8 Pürüzlü bir yüzey üzerine çekilen blok: Örnek 7.7 eki yüzey 0,5 lik bir kinetik sürtünme katsayısına sahip ise bloğun son süratini bulunuz. Çözüm: W=.=(N).(3m)=36 J Sürtünme kuvvetinin büyüklüğü: f k =μ k.n= μ k mg=(0,5).(6kg).(9,8 m/s )=8,8 N ΔK=-fk.=(-8,8 N).(3m)=-6,5 J (½)mv i + W-f k =(½)mv s 0 +36J-6,5J=(½)(6kg)v s v s =,8 m/s bulunur. Bölüm 7 nin Sonu Kaynak: Bu ers notları, R. A. Serway ve R. J. Beichner (Çeviri Eitörü: K. Çolakoğlu), en ve Mühenislik için İZİK-I (Mekanik), Palme Yayıncılık, 005. kitabınan erlenmiştir. Bölüm 7: İş ve Kinetik Enerji, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 9/9 Güncel: Temmuz 008