Analiz I (Temel Gerçel Analiz)

Transkript

1 Ali Nesin Analiz I (Temel Gerçel Analiz)

2 Nesin Yayıncılık A.Ş. İnönü Mahallesi Çimen Sokak No: 50/A Elmadağ Şişli/İstanbul Tel: Faks: [email protected] Ali Nesin Analiz I İlk basım Ekim 20 (000 adet) Genişletilmiş ikinci basım Haziran 202 (000 adet) Soyut Matematik 3 Analiz Nesin Matematik Köyü Kitaplığı : ISBN Sertifika No : 823 Editör Ali Nesin Grafik Danışmanı İlhan Bilge Dizgi ve iç sayfa tasarımı Aslı Can Korkmaz Çiğdem Şahin Baskı ve cilt Yazın Basın Yayın Matbaacılık Turizm Tic. Ltd. Şti. Çiftehavuzlar Cad. Prestij İş Merkezi No: 27/806 Zeytinburnu/İstanbul Tel: Sertifika No : Nesin Yayıncılık A.Ş. Tüm hakları saklıdır. Kitabın tamamı ya da bir bölümü yayıncıdan yazılı izin alınmaksızın hiçbir şekilde çoğaltılamaz, dağıtılamaz, depolanamaz.

3 İçindekiler İkinci Basıma Önsöz Önsöz I Gerçel Sayılar 5 Gerçel Sayılar ve Özellikleri 7. Gerçel Sayıların Aksiyomları Toplamanın Özellikleri Çarpmanın Özellikleri Sıralamanın Özellikleri Mutlak Değer ve Mesafe SUP Aksiyomu R nin içindeki N, Z ve Q 2 2. Doğal Sayılar Tamsayılar ve Kesirli Sayılar Kesirli Üsler ve Kökler Kesirli Üs Alma ve Kök Bulma Bazı Basit Sonuçlar Bernoulli-vari Eşitsizlikler Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği I Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği II II Diziler 6 4 Yakınsak Gerçel Sayı Dizileri Dizi Yakınsak Diziler Limitin Biricikliği Örnekler v

4 5 Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler Yakınsak Diziler ve Sıralama Yakınsak Dizilerle İşlemler Yakınsak Dizi Örnekleri I 99 7 Dizi Çeşitleri Monoton Diziler Sonsuza Iraksayan Diziler I Cauchy Dizileri Gerçel Sayıların Tamlığı Altdiziler Gerçel Sayıların Tamlığı Okuma Parçası: Onluk Tabanda Açılım Vize Sınavı 4 9 Sınırlı Diziler Büzen Diziler Kapalı Kutular Teoremi Bolzano-Weierstrass Teoremi Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Euler Sayısının Tanımı (( + x/n) n ) n Dizisi e ye Yakınsayan Bir Başka Dizi exp Fonksiyonu e ye Yakınsayan Bir Başka Dizi (devam) exp x in Yaklaşık Değerini Bulmak exp(x + y) = exp x exp y Okuma Parçası : e Kesirli Bir Sayı Değildir Okuma Parçası 2 : Bileşik Faizler Okuma Parçası 3: e Sayısının Değişik Gösterimleri Okuma Parçası 4: Yer Bulma Olasılığı Yakınsak Dizi Örnekleri II 95 2 Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar Sonsuza Iraksayan Diziler II Sonsuzları R ye Eklemek Dizilerin Alt ve Üstlimitleri 23

5 III Seriler Seriler Tanımlar Teleskopik Seriler Serilerle İlgili İki Basit Gözlem Serilerin Terimleriyle Oynamak Pozitif Seriler ve Mutlak Yakınsaklık Pozitif Seriler Kıyaslama Teoremleri Mutlak Yakınsaklık Serilerle İşlemler Toplama, Çıkarma ve Bir Sayıyla Çarpma Cauchy Çarpımı Cesàro Ortalaması ve Toplamı Dalgalanan Seriler Leibniz Testi Riemann Düzenleme Teoremi d Alembert ve Cauchy Kıstasları d Alembert Kıstasları Cauchy Kıstası (Kök Testi) Cauchy-d Alembert Karşılaştırması Yakınsaklık Yarıçapı Kuvvet Serilerinin Türev ve İntegralleri Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha Riemann Serisi ve Kıstası Raabe Kıstasları Kummer-Dini Kıstası Dirichlet ve Abel Kıstasları Karışık Alıştırmalar 339 IV Ekler Ekler Üs Almak - Yusuf Ünlü Çifte Diziler ve Seriler

6 20.3 Sonsuz Çarpımlar Toplanabilir Aileler Formüler 369 Kaynakça 378

7 İkinci Basıma Önsöz Birinci basımdaki bazı hatalar düzeltildi, beceriksizlikler giderildi. Bazı bağımsız bölümler tek bir bölüm altında toplanarak kitap daha derli toplu bir hale getirildi. Bunun dışında, gereksiz yere uzun olduklarına hükmettiğim bazı kanıtlar kısaltıldı. (Ama bu konuda yanılmış da olabilirim, eski uzun kanıtları seviyordum!) Kitap daha az sayfaya insin ve böylece fiyatı artmasın diye mizanpajla oynandı. Bu çabalar sonucunda 20 sayfa kadar kısalan kitap, kitabın sonuna eklediğim eklerle ve en ilginçleri [A], [Bro] ve [Kn] şaheserlerinden apartılan ya da uyarlanan alıştırma ve örneklerin eklenmesiyle birlikte 80 sayfa kadar da uzadı! Ama kitabın özünün bu değişikliklerden pek etkilendiğini söyleyemem. Örnekleri ya da alıştırmaları tek başına çözemeyen öğrenci karamsarlığa kapılmamalı, kimisi hiç kolay değildir çünkü. Birçoğunda ben de zorlandım, hatta kimisinde resmen çuvalladım, bir bilene sordum. Önemli olan kavramları, teoremleri ve kanıtlarını özümsemektir. Uygulamada ustalaşma işi zamanla (ve ancak gerekirse!) olacaktır. Birinci basımda bir örneğin uzun açıklamalarını iki üç satıra indiren İlham Aliyev e ve eşitsizliklerle ilgili birçok kanıtı kısaltan Yusuf Ünlü ye sonsuz teşekkürler. Yusuf Ünlü, pozitif gerçel sayıların üslerini almayı çok şık bir biçimde tanımlayıp yolladı. Bunu ek olarak Altbölüm 20. e koydum ama tanım Altbölüm 3.3 ün sonuna gelebilecek kadar basitti! Ama bu durumda kitap baştan aşağı değişmek zorunda kalacak ve hedeflediğimden bambaşka bir kitap ortaya çıkacaktı. Yapmadım. Bunun dışında, kitabın sonuna, meraklılar için, seri kavramını bir anlamda (ve sadece belli bir anlamda) genelleştiren toplanabilir ailelerle, iki göstergeçli çifte serilerle ve sonsuz çarpımlarla ilgili birer altbölüm ekledim. Bir de ayrıca kitabın en sonuna bir formüler ekledim. Böylece hangi diziden ya da seriden hangi sayfada sözedildiği bir bakışta görülebilecek. Mükerrer örnekler ve alıştırmalar özellikledir. Bu arada bu analiz serisinin topoloji ve metrik uzaylar konularını işleyen dördüncü cildi çıktı ve hatta ikinci basımını yapmak üzere. İkinci cildin ise hâlâ daha eli kulağında. Tek bir cilde sığacağından giderek daha fazla kuşku

8 2 İkinci Basıma Önsöz duyduğum üçüncü cildin yayımlanması ise 203 ü bulabilir. Analizden sonra sıra cebire gelecek. Kitapların çıkmasını bekleyemeyecek okur Matematik Dünyası dergisini ( takip etmeli. Bu kitap da büyük ölçüde Matematik Dünyası nda yazılan yazıların derlenmesiyle ortaya çıktı. Ali Nesin / Mayıs 202

9 Önsöz En az dört ciltten oluşacak olan bu analiz serisi, 995 ten beri İstanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci sınıf matematik öğrencilerine verdiğim analiz derslerinden ve daha sonra Matematik Dünyası dergisine yazdığım yazılardan ortaya çıktı. Her cildin bir dönemlik bir ders oluşturacağı düşünülmüştür. Türev ve integral konuları öğrenciyi kaçınılmaz olarak otomatizme ve ezbere iteklediğinden, birkaç yıl sonra birinci sınıfta bu konulara hiç girmeme kararı aldım. Başlangıçta bu kısıtlama yüzünden işleyebileceğim konuların oldukça sınırlı olacağını düşünürken, zamanla bu tahminimde ne derece yanıldığımı anladım. Meğer türev ve integralsiz de analiz yapılabiliyormuş ve bayağı derine inilebiliyormuş. Dolayısıyla ilk üç ciltte bu konulara girmeyeceğiz. Türev ve integralsiz analiz yapmak kimi zaman ayaklarından tavana asılı halde ve fırça ağızda resim yapmaya benzeyebiliyor, ama çekilen zorluğa değecek bir güzellik çıkıyor ortaya. (Biraz abarttım galiba!) Burbakist bir yaklaşımla, kitaba gerçel sayılar sisteminin aksiyomları yla, yani tanımıyla başladım. Kanıtlanmamış hiçbir olgu kullanmadım. Raabe Kıstasları bölümü gibi daha ileri seviyede olan bazı bölümler de ilk okuyuşta atlanabilir. Ama her matematik öğrencisinin bu ciltteki Cauchy çarpımını (Altbölüm 6) ve ikinci ciltteki Weierstrass M-testini okumasında, anlamasında ve özümsemesinde yarar vardır. Bu iki teorem hayatınızı kolaylaştıracak ve ayrıntılarla zaman kaybetmeyip kısa zamanda daha derine inmenize olanak sağlayacaktır. Her ne kadar kitapta bir boyutlu (yani R de) analiz yapılmışsa da, daha deneyimli okurun kanıtladığımız olguların birçoğunu, R n ye, C ye, topolojik ve metrik uzaylara ve hatta daha genel olarak Banach uzaylarına ve cebirlerine genelleştirmesi işten bile değildir. Konuları en ekonomik biçimde alaburbaki işlemedim ve bunu özellikle yapmadım. Analiz gibi hesap kitap isteyen ve üstelik böylesine temel bir konuda ekonomik olmanın pedagojik değerine inanmıyorum. Örneğin exp fonksiyonuyla ilgili her şeyi, kitabın sonlarına doğru çok daha kısa bir biçimde sunabilirdim ya da eşitsizlikleri türev kullanarak çok daha kolay kanıtlayabilirdim. Tam tersine en ilkel yöntemlerle olabildiğince derin sonuçlar kanıtlamak istedim. Tabii sebat edip kitabı bitiren okur, yaptığımız karmaşık kanıtları ba-

10 sitleştirebilecektir. Ne mutlu ona! Bir öğrenci iki tehlikeye maruz kalabilir. Ya çok fazla kuramsal matematiğe yönelip hesap yapmasını unutur, ya da tam tersine, hesaba kitaba çok fazla önem verir ve kavramların derinliğine vakıf olamaz, kavramsal düşünemez. Gençliğinde ikinci tehlikeye maruz kalmış biri olarak öğrencilerimin böyle yetişmesini istemedim ve İstanbul Bilgi Üniversitesi nde gereken önlemleri aldım, ama bu sefer tam tersi oldu, bir fonksiyonun grafiğini çizemeyen ya da çizmekten imtina eden öğrenciler yetişti. İşte bu kitap öğrencileri her iki tehlikeye karşı korumak için yazılmıştır. Bir matematikçi gerektiğinde hesap yapabilmeli! Bu kitabı okumak amacıyla eline alan ciddi matematik öğrencisi, teoremleri önce kendi kanıtlamaya çalışmalıdır, çözümlü örnekleri önce kendi çözmelidir. Sanılanın aksine zaman kaybı olmaz ve çok şey kazandırır. Bu önerim her matematik kitabı için geçerlidir. Düşünmekten kitap okuyamadığı zaman öğrenci araştırma yapmaya hazır demektir! Zaten bu yüzden birçok kez, daha sonra metinde kanıtlanacak olan teoremleri alıştırma olarak koydum. Kitabın bir iki yerinde pek pedagojik değeri olduğuna inanmadığım hesaplamalar yaptığımın farkındayım. Engelleyemedim. Daha doğru yaklaşımlara açığım. Lütfen kitapta bulduğunuz fazlalıkları, eksiklikleri, yanlışları, anlatım bozukluklarını adresine bildirin. Kanıtlayamadığım eşitsizliklerde hızır gibi imdadıma yetişen Görkem Özkaya ya, bu ders notlarını yazmam için bana gereken ortamı sağlayan ve desteği veren eşim Özlem Beyarslan a ve asistanlarım Aslı Can Korkmaz ve Çiğdem Şahin e, kitabın hazırlanışının çeşitli kademelerinde yardımcı olan ve daha da olacak olan (!) Sonat Süer e sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Herkese kolay gele. Ali Nesin / NMK, 0 Ekim Eylül 20

11 . Gerçel Sayılar ve Özellikleri. Gerçel Sayıların Aksiyomları [N2] de, kümeler kuramının en basit aksiyomlarından yola çıkarak, gerçel sayılar kümesi R yi matematiksel olarak yaratmıştık. Ayrıca, adına 0 (sıfır) ve (bir) dediğimiz iki gerçel sayıya özel önem vermiş ve R kümesi üzerine, + (toplama) ve (çarpma) diye adlandırdığımız iki işlemle birlikte bir de < olarak simgelediğimiz bir tamsıralama tanımlamıştık. Yine aynı kitapta, (R, +,, <, 0, ) yapısının birtakım özelliklerini kanıtlamıştık. [N2] de kanıtlanmış özelliklerin 6 sını birazdan sıralayacağız. Bu kitapta, gerçel sayılar yapısının [N2] de nasıl inşa edildiğini unutarak, sadece bu 6 özellikten hareketle, yani gerçel sayıların sadece ve sadece bu özelliklerini doğru varsayarak, matematiksel analizi geliştireceğiz; çünkü bu kitapta analiz yapılacak ve analizde gerçel sayıların nasıl yaratıldıklarından ziyade ne oldukları önemlidir. [N2] de kanıtlanmış bu 6 önermeyi bu kitapta aksiyom olarak kabul etmenin psikolojik, pedagojik ya da matematiksel düzeyde hiçbir sakıncası yoktur. Gerçekten de bu 6 önerme, çocukluğumuzdan beri sezgilerimizle hissettiğimiz gerçel sayıların özünü oluşturur. Doğru varsayılan bu 6 önermeden hareketle, gerçel sayıların sezgilerimize göre doğru olması gereken tüm özellikleri kanıtlanabilir. Yani bu kitapta, [N2] de gerçek anlamda ve somut olarak inşa ettiğimiz R kümesinin, 0 ve elemanlarının ve toplama ve çarpma işlemlerinin ve < sıralamasının nasıl tanımlandıklarını unutup, gerçel sayıları, aşağıdaki 6 özelliği sağlayan matematiksel bir yapı olarak kabul edebilirsiniz. Aşağıdaki önermelerde ab ifadesi a b anlamına gelmektedir. R nin Aksiyomları T. Her a, b, c için, (a + b) + c = a + (b + c). T2. Her a için, a + 0 = 0 + a = a. T3. Her a için, a + b = b + a = 0 eşitliklerini sağlayan bir b vardır. T4. Her a, b için, a + b = b + a.

12 8. Gerçel Sayılar ve Özellikleri Ç. Her a, b ve c için, (ab)c = a(bc). Ç2. Her a için, a = a = a. Ç3. Her a 0 için, ab = ba = eşitliklerini sağlayan bir b vardır. Ç4. Her a ve b için, ab = ba. SB. 0. D. Her a, b ve c için, a(b + c) = ab + ac. O. Hiçbir a için a < a olamaz. O2. Her a, b ve c için, a < b ve b < c ise a < c. O3. Her a ve b için, ya a < b ya a = b ya da b < a. TO. Her a, b ve c için, a < b ise a + c < b + c. ÇO. Her a, b ve c için, a < b ve 0 < c ise ac < bc. SUP. Boş olmayan üstten sınırlı her altkümenin bir en küçük üstsınırı vardır. Bundan böyle bu önermelere aksiyom adını vereceğiz. Bunlar matematiğin değil, analizin aksiyomları olarak kabul edilmelidirler. Daha doğru bir ifadeyle, tek bir aksiyomumuz var, o da şu: Bu 6 önermenin doğru olduğu bir (R, +,, <, 0, ) yapısı vardır. Yukardaki önermelerin bir anlam kazanması için şunları da eklemek lazım:. R bir kümedir ve, R nin birer elemanıdır. 0 a sıfır, e bir denir ve, R R kartezyen çarpımından R ye giden iki fonksiyondur. Ama aksiyomları yazarken, +(a, b) yerine çok daha alışık olduğumuz a + b yazılımını kullandık. a + b yazılımını a artı b diye okuyacağız. Benzer şekilde (a, b) yerine ab yazdık; bunu da a çarpı b diye okuyacağız. Gerekli gördüğümüzde a b ya da a b yazılımlarına da başvuracağız. 4. <, R nin ikili bir ilişkisidir, yani < aslında R R kartezyen çarpımının bir altkümesidir. (a, b) < yerine, daha alışık olduğumuz a < b yazılımını tercih ettik. a < b ifadesi a, b den küçüktür diye okunur. Dikkat ederseniz, toplama ve çarpma üzerine yukarıdaki aksiyomlar dışında hiçbir şey bilmiyormuşuz gibi davranıyoruz. Örneğin 2 diye bir eleman henüz tanımlamadık. Bu elemanı daha sonra + olarak tanımlayacağız. Soyut matematik işte böyle bir şeydir. Aksiyomların sonuncusu hariç her biri R nin elemanlarından bahsetmektedir, yani ilk 5 aksiyomda söz edilen a, b ve c şeyleri R nin birer elemanıdır. Sonuncu aksiyomda (SUP) ise R kümesinin (üstten sınırlı olan ama boşküme olmayan) altkümelerinden sözedilmektedir. SUP aksiyomu dışındaki tüm aksiyomların kesirli sayılar kümesi Q için de geçerli olduklarına dikkatinizi çekeriz. Kesirli sayılarla gerçel sayıların arasındaki ayrımın, elemanlardan değil de altkümelerden sözeden SUP aksiyomunda saklı olduğunu görmek gerekir.

13 .. Gerçel Sayıların Aksiyomları 9 Bazı Notlar. Yukarda sıralanan aksiyomları sağlayan iki (R, +,, <, 0 R, R ) ve (S, +,, <, 0 S, S ) yapısı birbirine öylesine benzer ki, elemanlarının adları değişik olmasa aralarındaki farkı anlamanın olanağı yoktur. Matematiksel deyişle, R ile S arasında, toplamaya, çarpmaya ve sıralamaya duyarlı, yani her x, y R için, önermelerini sağlayan bir f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y), x < y f(x) < f(y) f : R S eşlemesi vardır [N2]. Günlük ifadeyle bu şu demektir: Toplamaya, çarpmaya ve sıralamaya dokunmadan R nin x elemanını atıp yerine f(x) koyarsak aynen S yapısını elde ederiz, yani R ile S yapıları arasında, kümelerin elemanlarının adları dışında - ki bunun da matematiksel ve düşünsel açıdan en küçük bir önemi yoktur - en küçük bir ayrım yoktur. Bu durumda, (R, +,, <, 0 R, R ) (S, +,, <, 0 R, R ) yazarız. Bunu, gerçekten (yani özünde, yani esaslı bir biçimde) birbirinden değişik iki gerçel sayı sistemi yoktur diye ifade edebiliriz. Bu biricikliği SUP aksiyomuna borçluyuz. SUP aksiyomunu sağlamayan (Q, +,, <, 0, ) ya da (Z, +,, <, 0, ) yapıları için böyle bir biriciklik doğru olmadığı gibi, doğru olması sözkonusu bile olamaz! Öte yandan sonuncu SUP aksiyomunun diğer aksiyomlar kadar doğal olmadığına dikkatinizi çekerim. Bir sonraki gözlem biraz da bu dediğimizle ilgili. Matematiksel anlamda [N2] de inşa ettiğimiz ya da yukarda varlığını kabul ettiğimiz gerçel sayılar yapısının gerçek dünyayla (her ne demekse!) ya da liselerde öğretilen sayı doğrusuyla ilgisi pek açık değil. Gerçel sayıları bu kitapta fiziksel anlamda mesafe olarak tanımlamadık, tanımlayamazdık da, çünkü matematik yapıyoruz ve matematik sadece ve sadece zihinsel bir uğraştır. Gerçel sayılar yapısı, matematiksel anlamda yukarıda sıraladığımız özellikleri sağlayan bir yapıdır. Tekrar etmekte yarar var: Böyle bir yapının varlığı [N2] de kanıtlanmıştı. Bu kitapta matematiksel mantık dışında sadece bu özellikleri veri olarak kabul edeceğiz ve analizi geliştireceğiz. Analize meraklı okur [N2] ye başvurmadan bu noktadan devam etmelidir.

14 0. Gerçel Sayılar ve Özellikleri Bu satırdan itibaren, bütün kitap boyunca gerçel sayılar sistemi ya da yapısı, bir önceki bölümdeki 6 önermeyi sağlayan bir (R, +,, <, 0, ) altılısıdır. Bu önermelere R nin aksiyomları diyeceğiz. Tabii bunlar aslında aksiyom değildirler, [N2] de kanıtlanmışlardır, ama bu kitapta bu önermelere aksiyom muamelesi yapacağız. R nin elemanlarına gerçel sayı diyeceğiz. Bu arada, [N2] de yaptıklarımızı yok saydığımızdan R nin içinde kesirli sayılar kümesi Q nün ya da en azından bir kopyasının bulunduğunu henüz bilmediğimizi de dikkatinizi çekerim. Gelecek bölümde R nin içindeki Q yü bulacağız. Bu bölümde gerçel sayı sisteminin en basit özelliklerini kanıtlayacağız. Kanıtlarda SUP aksiyomunu sadece en sonda kullanacağız. SUP dışındaki aksiyomların sağlandığı yapılara sıralı cisim denir. Demek ki hemen aşağıda kanıtlayacağımız önermeler sadece R de değil, tüm sıralı cisimlerde doğrudur..2 Toplamanın Özellikleri A. T ve T4 ün anlamı. T, sayıları toplarken paranteze gerek olmadığını söylüyor. Örneğin, (a + b) + c ve a + (b + c) yerine a + b + c yazabiliriz. Aynı biçimde, (a + b) + (c + d) ve (a + (b + c)) + d yerine a + b + c + d yazabiliriz. T4 de toplama yaparken sıralamanın önemli olmadığını söylüyor. Örneğin, a + b + c + d yerine b + d + c + a yazabiliriz. T e birleşme özelliği, T4 e de değişme özelliği adı verilir. B. 0 ın biricikliği. T2 özelliğini sağlayan 0 elemanının biricik olduğunu kanıtlayalım: 0 elemanı da aynen 0 gibi T2 özelliğini sağlasın, hatta bu özelliğin sadece yarısını sağlasın, diyelim her a R için, a + 0 = a olsun. Özel bir durum olarak, a = 0 için = 0 elde ederiz; o zaman, olur. 0 T2 = = 0 C. Toplamsal Ters. Şimdi, verilmiş bir a R için T3 özelliğini, hatta T3 ün sadece yarısını sağlayan b nin biricikliğini kanıtlayabiliriz: olsun; o zaman, a + b = b + a = 0 ve a + c = 0 b T2 = b + 0 = b + (a + c) T = (b + a) + c = 0 + c T2 = c.

15 .2. Toplamanın Özellikleri Demek ki b = c. Yani verilmiş bir a için T3 ü sağlayan b biricik. Benzer şekilde c + a = 0 ise de c = b eşitliği kanıtlanabilir. Tabii a değiştikçe T3 eşitliğini sağlayan b de değişir, ama verilmiş bir a için T3 özelliğini sağlayan b biriciktir, bir ikincisi daha yoktur. O zaman b ye özel bir ad verebiliriz: b ye a nın toplamsal tersi denir ve b yerine a yazılır ve bu eleman eksi a diye okunur. Elbette, () ( a) + a = a + ( a) = 0 eşitliği sağlanır ve a bu eşitliklerin birini sağlayan yegâne elemandır, yani, b = a a + b = 0 b + a = 0. Ayrıca, = 0 olduğundan, 0 = 0 olur. D. Çıkarma. a + ( b) yerine a b yazılır ve bu işleme çıkarma denir. ifadesi ( a) b anlamına gelir: a b a b = ( a) b = ( a) + ( b). a + b ifadesi de ( a) + b anlamına gelir. Tahmin edilen (a + b) = a b ve (a b) = b a gibi eşitlikleri kanıtlamak zor değildir. Birincisini kanıtlayalım misal olarak: (a + b) + ( a b) = a + b + ( a) + ( b) = (a + ( a)) + (b + ( b)) = = 0, ve bundan ve (C) den istenen eşitlik çıkar. Demek ki a b, a + b sayısının toplamsal tersidir. E. Sadeleştirme. R de toplamaya göre sadeleştirme de yapılabilir, yani ise, a = b olur. Nitekim, a + c = b + c a = a + 0 = a + (c + ( c)) = (a + c) + ( c) = (b + c) + ( c) = b + (c + ( c)) = b + 0 = b. Tabii, T4 sayesinde, sadece sağdan değil, soldan da sadeleştirme yapılabilir. Eğer a + b = a ise a + b = a = a + 0 olur ve buradan sadeleştirerek b = 0 buluruz.

16 2. Gerçel Sayılar ve Özellikleri F. Tersin Tersi. () eşitliğinde a yerine a alırsak, buluruz. Demek ki ve sağdaki a ları sadeleştirerek ( ( a)) + ( a) = 0 ( ( a)) + ( a) = 0 = a + ( a) a = ( a) elde ederiz. Özetle, a nın tersinin tersi a dır. Bunu şöyle de görebiliriz; T3 te a ve b nin simetrik rolleri olduğundan b, a nın tersiysea da b nin tersi olur, yani a nın tersinin tersi a dır, yani olur. ( a) = a G. a + b = c eşitliğinden kolaylıkla a = c b ve b = c a eşitlikleri çıkar. Bundan böyle toplamayla ilgili tüm bu bilgileri ve kimbilir belki de kanıtlamayı unuttuğumuz başka eşitlikleri de özgürce kullanacağız..3 Çarpmanın Özellikleri H. Ç ve Ç4 ün anlamı. Ç, çarpma işlemi için paranteze gerek olmadığını söylüyor. Ç4 de elemanları çarparken sıralamanın önemli olmadığını söylüyor. Örneğin, ((ab)c)d yerine bdca yazabiliriz. Ç e (çarpma için) birleşme özelliği, Ç4 e (çarpma için) değişme özelliği denir. I. in Biricikliği. Aynen toplamadaki gibi, Ç2 özelliğini sağlayan elemanının biricik olduğunu kanıtlayalım: elemanı da Ç2 özelliğini sağlasın, yani her a R için, a = a olsun. Bunun özel bir durumu olarak, a = için = elde ederiz. Demek ki, olur. Ç2 = = J. 0 la Çarpma. Her a için a0 = 0 olur, çünkü, a0 + 0 = a0 = a(0 + 0) D = a0 + a0 ve sadeleştirerek ((E) nin son paragrafı) a0 = 0 buluruz.

17 .3. Çarpmanın Özellikleri 3 Bundan ve SB den, Ç3 özelliğinde neden a elemanının 0 dan değişik olması gerektiği anlaşılır. Çünkü bir b R elemanı için 0b = olsaydı, 0 = 0b = olurdu; dolayısıyla her x R için x = x = 0x = 0 olurdu, yani R = {0} olurdu; pek arzuladığımız bir sonuç olduğu söylenemez! K. Çarpımsal Tersin Biricikliği. Verilmiş bir 0 a R için Ç3 özelliğini sağlayan b elemanının da biricikliğini kanıtlayabiliriz: olsun; şimdi, ab = ba = ac = b Ç2 = b = b(ac) Ç = (ba)c = c Ç4 = c. Demek ki b = c, ve b gerçekten biricikmiş. b ye a nın çarpımsal tersi denir. a nın çarpımsal tersi a, /a ya da a olarak gösterilir. Elbette, (2) a a = aa = eşitliği sağlanır ve a bu eşitliklerin birini sağlayan yegâne elemandır. (J) den dolayı a, 0 olamaz, çünkü aksi halde, = aa = a0 = 0 olur ve bu da SB ile çelişir. Son olarak = olduğundan, = olur. L. Bölme. xy yerine kimileyin x/y ya da x y yazılır. Bu yazılım anlaşmasından dolayı eşitlikleri geçerlidir. x = /x = x x yz = x y z = y x z = x z y gibi tahmin edilen çeşitli eşitlikleri kanıtlamak zor değildir. M. Sadeleştirme. Eğer ac = bc ve c 0 ise, a = b olur. Nitekim, a = a = a(cc ) = (ac)c = (bc)c = b(cc ) = b = b. N. Tersin Tersi. a 0 olsun. (K) nın ikinci paragrafına göre a 0. Demek ki a elemanının tersini de alabiliriz. (2) denkleminde a yerine a alırsak, a (a ) = buluruz. Demek ki a (a ) = = a a. Sadeleştirerek, (a ) = a

18 4. Gerçel Sayılar ve Özellikleri buluruz. a yerine /a yazılımı tercih edilirse, bu eşitlik, şeklini alır. /a = a O. Eğer ab = c ve b 0 ise, a = cb olur. Bunun kanıtı kolaydır ve okura bırakılmıştır. P. Her a için, a = ( )a, çünkü, 0 = 0a = ( + ( ))a = a + ( )a = a + ( )a ve (C) ye göre (toplamsal tersin biricikliği), (3) a = ( )a olur. Özel bir durum olarak bulunur. Ayrıca (3) ten ( )( ) = ( ) = (4) (xy) = x( y) = ( x)y eşitliklerinin kanıtı kolaydır, mesela (xy) = ( )(xy) = (( )x)y = ( x)y. (4) eşitliklerinden dolayı (xy) yerine, daha kısa olarak xy yazılır. Q. Her a için, ( a) 2 = a 2 olur. (Burada x 2 = xx anlamına geliyor.) Bu da (P) den çıkar: ( a) 2 = ( a)( a) = ( )a( )a = (( )( ))aa = ( ( ))aa = aa = aa = a 2. R. Eğer ab = 0 ise ya a = 0 ya da b = 0 olur; nitekim eğer b 0 ise olur. a = a = a(bb ) = (ab)b = 0b = 0.4 Sıralamanın Özellikleri Yukardaki kanıtlarda hiç sıralamayı kullanmadık. Şimdi sıralamayla ilgili özellikleri kanıtlayalım. Bilinmesi gerektiği gibi, x y önermesi x < y ya da x = y anlamına gelir. x > y ve x y yazılımlarının anlamlarını okur tahmin ediyordur.

19 .4. Sıralamanın Özellikleri 5 Eğer x ve y iki gerçel sayıysa, max{x, y} sayısı x ve y sayılarının en büyüğü, yani maksimumu anlamına gelir: { x eğer x y ise max{x, y} = y eğer y x ise O3 ten dolayı max iyi tanımlanmıştır. max elbette maximum un kısaltılmışıdır. min{x, y} ise { y eğer x y ise min{x, y} = x eğer y x ise anlamına gelir. Alıştırmalar.. Her x, y R için max{x, y} + min{x, y} = x + y eşitliğini kanıtlayın..2. Her x, y, z R için max{max{x, y}, z} = max{x, max{y, z}} eşitliğini kanıtlayın. Benzer eşitliği max yerine min için kanıtlayın. Eğer 0 x ise x e pozitif diyeceğiz. (Genelde bu tanım 0 < x koşulunu sağlayan x elemanları için kullanılır, ama biz öyle yapmayacağız.) Eğer 0 < x ise x e mutlak pozitif diyeceğiz. Negatif ve mutlak negatif in anlamlarını okur tahmin ediyordur. S. Eğer a < b ise b < a olur. Bunu kanıtlamak için a < b eşitsizliğinin her iki tarafına a b eklemek yeterli. Dolayısıyla 0 < a eşitsizliği, ancak ve ancak a < 0 ise doğrudur; yani a pozitiftir ancak ve ancak a negatifse. Demek ki negatif sayılar, pozitif sayıların toplamsal tersleridir. T. Pozitif Elemanlar. Pozitif gerçel sayılar kümesi toplama ve çarpma altında kapalıdır. Çarpma altında kapalı olduklarını kanıtlamak çok kolay, bu hemen ÇO dan çıkıyor: 0 < a ve 0 < b ise, 0 = 0 0 < ab olur; ve eğer a ya da b = 0 ise ab = 0 0. Toplamaya geçelim. 0 < a ve 0 < b olsun. O zaman, TO ya göre, 0 = < a + 0 < a + b. a ya da b nin 0 a eşit olduğu durumlar da bariz. U. İki negatif sayının çarpımı pozitiftir ve negatif bir sayıyla pozitif bir sayının çarpımı negatiftir. İkinci önermeyi kanıtlayalım. Eğer 0 < x ve y < 0 ise, o zaman (S) ye göre 0 < y olur, dolayısıyla (P) ye göre, 0 < x( y) = xy ve xy < 0. Bundan karelerin (ve karelerin toplamlarının) negatif olamayacakları çıkar. Nitekim, eğer 0 a ise (T) ye göre 0 a 2 ve eğer a 0 ise, o zaman (S) ye göre 0 a ve yukarda kanıtladığımıza göre, (Q) den dolayı, 0 ( a) 2 = a 2 bulunur. a yerine koyarsak, 0 2 = olur. Dolayısıyla < 0.

20 6. Gerçel Sayılar ve Özellikleri V. Pozitif elemanlar kümesi çıkarma altında kapalı değildir elbet ama bölme altında kapalıdır. Nitekim 0 < a olsun. O zaman 0 /a olur ve eğer /a < 0 olsaydı = a(/a) < 0 olurdu ki bu da (U) nun en sonunda kanıtladığımız 0 < eşitsizliğiyle çelişirdi. Demek ki /a > 0. Dolayısıyla, a, b > 0 ise a/b = a(/b) > 0 olur. W. 0 < eşitsizliği (U) nun son satırında kanıtlandığına göre, her iki tarafa da ekleyerek < 2 elde ederiz. (2 yi + olarak tanımlıyoruz.) Demek ki, 0 < < 2 ve dolayısıyla 0 < 2 ve 2 0. Buradan 2 nin R de bir tersi olduğu çıkar: /2. Eğer < 2 eşitsizliğinin iki tarafına eklersek 2 < 3 elde ederiz. (3 ü 2 + olarak tanımlıyoruz.) Böylece, 0 < < 2 < 3 elde ederiz ve 3 0 olur. Bunu böyle devam edebiliriz. (Henüz doğal sayılardan ve doğal sayılar kümesinden sözetmediğimize dikkatinizi çekerim. R nin içinde N nin bir kopyasının olduğunu bir sonraki bölümde kanıtlayacağız.) X. Orta Nokta. İki sayının aritmetik ortalaması bu iki sayının arasındadır, yani x < y ise, x < x + y < y 2 olur. Kanıtı okura bırakıyoruz. Aralığın tanımını okur ilköğretim yıllarından biliyordur. İşte birkaç aralık örneği: (a, b) = {x R : a < x < b}, [a, b) = {x R : a x < b}, [a, b] = {x R : a x b}, (, b) = {x R : x < b}, [a, ) = {x R : a x}, R 0 = [0, ) = {x R : 0 x}, R >0 = (0, ) = {x R : 0 < x}, R = (, ). Diğer aralıkların tanımını okura bırakıyoruz. R, [a, b], (, b] ve [a, ) türünden aralıklara kapalı aralık ve R, (a, b), (, b) ve (a, ) türünden aralıklara açık aralık adı verilir. R ve hem açık hem kapalı aralıklardır ve başka da hem açık hem kapalı aralık yoktur. Alıştırmalar.3. Bir I R altkümesinin şu özelliği olsun: Her x, z I ve her y R için, eğer x < y < z ise y I. I nın bir aralık olduğunu gösterin. R için doğru olan bu özelliğin Q için yanlış olduğunu kanıtlayın. (Not: Q sıralı halkasının bir aralığının uç noktaları da qq de olmalıdır.).4. a bir gerçel sayı olsun. Eğer her b > 0 için a b oluyorsa a 0 eşitsizliğini gösterin..5. a ve b iki gerçel sayı olsun. Eğer her c > b için a c oluyorsa, a b eşitliğini gösterin.

21 .5. Mutlak Değer ve Mesafe 7.5 Mutlak Değer ve Mesafe Bir x R için, x in mutlak değeri denilen x R sayısı şöyle tanımlanır: x = max{x, x}, yani x ve x ten en büyüğünü seçiyoruz. Mutlak değerin şu önemli özellikleri vardır: Önsav.. Her x, y R için, i. x 0, ii. x = 0 x = 0, iii. x = x, iv. x 0 ise x = x ve x 0 ise x = x, v. xy = x y, vi. y x x y x, vii. x x x, viii. Üçgen eşitsizliği. x + y x + y, ix. x y x y, x. y a < x a x < y < a + x. Kanıt: i. x ve x sayılarının ikisi birden mutlak negatif olamaz. x, tanımı gereği x ve x sayılarından hangisi pozitifse ona eşittir. Demek ki x 0. ii. Eğer x = 0 ise x = 0 = max{0, 0} = max{0, 0} = 0 ve böylece ( ) kısmı gösterilmiş olur. Aksi istikamette: x = 0 olsun. Demek ki Dolayısıyla, olduğundan, 0 = x = max{x, x}. max{x, x} x ve max{x, x} x 0 x ve 0 x olur. Yani 0 x ve x 0. Bu da x = 0 demektir. iii. Bariz. iv. Eğer x 0 ise, x 0 olur; dolayısıyla x x ve x = max{x, x} = x olur. Eğer x 0 ise, x 0 olur; yani x x ve x = max{x, x} = x olur. v. Gerekirse x yerine x ve y yerine y alarak, (iii) ten dolayı, x ve y nin negatif olmadıklarını varsayabiliriz. O zaman xy de negatif değildir ve (iv) ten dolayı, xy = xy = x y elde ederiz. vi. y x ise, max{y, y} = y x olur. Demek ki, y x ve y x. Buradan y x ve y x çıkar. Sonuç: x y x.

22 8. Gerçel Sayılar ve Özellikleri Şimdi diğer istikameti kanıtlayalım. x y x olsun. O zaman y x ve y x. Yani y = max{y, y} x. vii. x max{x, x} = x. Aynı nedenden x x, yani x x. viii. (vi) ya göre, x y x+y x + y eşitsizliklerini kanıtlamalıyız. Bunlar da (vii) den çıkar. ix. (viii) ve (iii) ten, çıkar. Demek ki x = x y + y x y + y x y x y. Benzer biçimde y x y x, yani Bu iki eşitsizlik demektir ve (vi) dan x y x y. x y x y x y x y x y çıkar. x. (vi) dan çıkar. Daha ileri analizde çok önemli olacak olan bir kavramın temellerini atalım. İki x ve y gerçel sayısı arasındaki mesafeyi d(x, y) = x y olarak tanımlayalım. Mesafenin şu önemli özellikleri vardır: Önsav.2. Her x, y, z R için, i. d(x, y) R 0. ii. d(x, y) = 0 x = y. iii. d(x, y) = d(y, x). iv. d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Kanıt: Mesafenin tanımından ve sırasıyla Önsav..i, ii, iii ve viii den doğrudan çıkar. Üçgen eşitsizliği adı verilen sonuncusunun kanıtını yazmakta fayda olabilir: a = x z ve b = z y olsun. O zaman, d(x, y) = x y = a + b a + b = x z + z y = d(x, z) + d(z, y) olur. Önsav kanıtlanmıştır. Önsav.2 yi gündelik dille yorumlayalım:

23 .6. SUP Aksiyomu 9 i. İki nokta arasındaki mesafe negatif bir sayı olamaz. ii. İki nokta arasındaki mesafe, ancak ve ancak noktalar çakışıyorsa (aynıysa) 0 olabilir. iii. Bir noktanın ikinci bir noktaya mesafesi, ikinci noktanın birinci noktaya mesafesine eşittir. (Tek yönlü yollar yüzünden modern trafikte bu özellik doğru olmayabilir.) iv. Bir noktanın ikinci bir noktaya mesafesi üçüncü bir noktadan (yani z den) geçerek kısalamaz. Notlar. Ola ki bazı herkesin bildiği özellikleri kanıtlamayı unutmuş olabiliriz. Kanıtlamayı unuttuklarımızı okura alıştırma olarak bırakıyoruz. Örneğin, a b ve 0 c d ise ac ad önermesini kanıtlamadık. Okur, bu ve buna benzer kanıtlanmamış ama kanıtlaması kolay gibi görünen önermelere rastlarsa kanıtlasın. Her şeyin aksiyomlardan çıkması gerekir. Genel kural olarak, elemanlarla ilgili önermelerin kanıtı, altkümeler ve fonksiyonlarla ilgili önermelerin kanıtından çok daha kolaydır. 2. Son aksiyom olan (SUP) dışındaki aksiyomların uzun uzadıya açıklamalara ihtiyaçları yok. Şimdi kısaca bu aksiyomlarla ilgili birkaç tanım verelim. Bu tanımları bu ve sonraki analiz ciltlerimizde pek kullanmayacağız ama okurun matematiğin bu önemli kavramlarını bilmesinde yarar vardır. T, T2, T3 aksiyomlarını sağlayan bir (R, +, 0) yapısına grup adı verilir. Bir grup ayrıca T4 ü de sağlıyorsa, adına değişmeli grup denir. Bu yapılara daha ziyade cebirde rastlanır ve bu notlarda pek sözünü etmeyeceğiz. O ve O2 yi sağlayan bir (R, <) yapısına yarısıralama adı verilir. Eğer yarısıralama ayrıca O3 ü de sağlıyorsa, o zaman yapıya tamsıralama adı verilir. [N3] de sıralamalardan uzun uzadıya sözetmiştik. Eğer değişmeli bir grup aynı zamanda tamsıralıysa ve ayrıca TO yu sağlıyorsa, o zaman bu yapıya sıralı değişmeli grup adı verilir. T den D ye kadar olan aksiyomları sağlayan bir yapıya cisim denir. Eğer cisimde TO ve ÇO yu sağlayan bir sıralama varsa, o zaman bu yapıya sıralı cisim adı verilir. Cisimler de cebirin çalışma alanına girerler. Belki Ç3 dışında, T den D ye kadar olan aksiyomları sağlayan bir yapıya değişmeli halka denir. Biz değişmeli halka yerine kısaca halka diyeceğiz. Eğer halkada TO ve ÇO yu sağlayan bir sıralama varsa, o zaman bu yapıya sıralı halka adı verilir..6 SUP Aksiyomu Bizim için hayati önem taşıyacak olan ama bu bölümde bu ana dek hiç sözünü etmediğimiz (SUP) aksiyomunu biraz açalım. (R, <) bir tamsıralama olsun, yani O, O2, O3 aksiyomlarını sağlasın. Ayrıca A R herhangi bir altküme ve s R olsun. Eğer her a A için a s oluyorsa, s ye A nın üstsınırı denir. Örneğin ve 2 sayıları (0, ) ve (0, ] aralıklarının üstsınırlarıdır. Ama, 2 den daha küçüktür. En küçük üstsınıra en küçük üstsınır denir. sayısı (0, ) ve (0, ] aralıklarının en küçük üstsınırıdır.

24 20. Gerçel Sayılar ve Özellikleri Örneğin R = R ise ve sıralama bu bölümdeki sıralamaysa o zaman R nin üstsınırı yoktur çünkü her r R için r +, r den daha büyük bir elemandır, üstsınırı olmayan R nin elbette en küçük üstsınırı da olamaz. Üstsınırı olan kümelere üstten sınırlı kümeler denir. Altsınır, alttan sınırlı küme ve en büyük altsınır kavramları benzer şekilde tanımlanır. A nın en küçük üstsınırı, olduğunda elbet, biriciktir ve sup A olarak yazılır. En büyük altsınır inf A olarak yazılır. Her gerçel sayı boşkümenin bir üstsınırıdır, dolayısıyla boşkümenin de en küçük üstsınırı yoktur. sup A = s eşitliği için, i. Her a A için a s, ve ii. Her ϵ > 0 için, s ϵ < a eşitsizliğini sağlayan bir a A sayısı vardır koşulları gerek ve yeter koşullardır. Nitekim birinci koşul s nin A nın bir üstsınırı olduğunu söylüyor; ikincisi ise s den küçük hiçbir sayının s nin üstsınırı olamayacağını söylüyor, yani s nin en küçük üstsınır olduğunu söylüyor. Alıştırmalar.6. Gerçel sayılar kümesinin boş olmayan ve alttan sınırlı bir X altkümesinin en büyük altsınırının olduğunu kanıtlayın. Bu altsınıra inf X adı verilir. inf X = sup( X) eşitliğini kanıtlayın..7. Eğer X R ve c > 0 ise, sup(cx) = c sup X ve inf(cx) = c inf X eşitliklerini kanıtlayın. (sup X ve inf X varsa elbette.) Eğer c < 0 ise, sup(cx) = c inf X ve inf(cx) = c sup X eşitliklerini kanıtlayın..8. X, Y R olsun. Her x X için, x y eşitsizliğini sağlayan bir y Y olsun. sup Y varsa sup X in de olduğunu ve sup X sup Y eşitsizliğini kanıtlayın..9. X, Y R boş olmayan iki altküme olsun. Her x X ve her y Y için x y eşitsizliği sağlanıyorsa, sup X ve inf Y nin olduğunu ve sup X inf Y eşitsizliğini kanıtlayın..0. X R üstten sınırlı ve boş olmayan bir altküme olsun. Y, X in üstsınırlarından oluşan küme olsun. sup X = inf Y eşitliğini kanıtlayın... X, Y R boş olmayan ve üstten sınırlı iki altküme olsun. X + Y = {x + y : x X, y Y } olsun. sup(x + Y ) nin olduğunu ve sup(x + Y ) = sup X + sup Y eşitliğini kanıtlayın..2. X, Y R >0 boş olmayan ve üstten sınırlı iki altküme olsun. XY = {xy : x X, y Y } olsun. sup(xy ) nin olduğunu ve sup(xy ) = (sup X)(sup Y ) eşitliğini kanıtlayın. Aynı şey R nin herhangi iki sınırlı altkümesi için geçerli midir?.3. I R olsun. Eğer her a, b I elemanı için, (a, b) I içindeliği doğruysa, o zaman I nın bir aralık olduğunu kanıtlayın. I sınırlıysa uç noktalarının inf X ve sup X olduğunu gösterin. (İlerde üstten sınırsız bir küme için sup X = ve alttan sınırsız bir küme için inf X = tanımlarını yapacağız ve bu dediğimiz bir anlamda her zaman doğru olacak.) Her aralığın bu özelliği olduğunu gösterin.

25 7. Dizi Çeşitleri 7. Monoton Diziler Artan ya da azalan bir diziye monoton dizi denir. Yani eğer bir (x n ) n dizisi her n için, x n x n+ koşulunu sağlıyorsa (yani artansa), ya da her n için, x n x n+ koşulunu sağlıyorsa (yani azalansa), o zaman bu diziye monoton dizi adı verilir. Örneğin ( ) n + 3 n + n azalan bir dizidir. Bazı diziler başlangıçta monoton olmasalar da zamanla, örneğin milyonuncu terimden sonra monotonlaşabilirler. Örnekler 7.. (a n) n dizisi artansa (azalansa), terimleri a a n n (n ) olan dizi de artandır (azalandır). Kanıt: Soruyu artan diziler için kanıtlayalım. a a n toplamına s n diyelim. İstediğimiz, s n n s n+ n + s n n s n + a n n + s n na n eşdeğerliğinden ve eşitsizliğinden çıkar. s n = a a n na n na n Eğer eşitsizliği mutlak eşitsizlikle değiştirirsek, kesin azalan ya da kesin artan dizi kavramını buluruz. Birçok kitapta bizim artan dediğimiz azalmayan dense de, bu terminolojinin pratik olmadığını düşünüyoruz.

26 0 7. Dizi Çeşitleri 7.2. a > 0 olsun ve yukarda kanıtladığımızı terimleri a n = a n ( a) olan diziye uygulayalım. Bu dizinin azalan olduğunu kanıtlamak zor değil (ama kanıtı a ve a olarak iki parçaya ayırmak gerekir). Demek ki (s n) n dizisi de azalandır. s n = a a n n olduğundan, buradan kolaylıkla = ( a) + a( a) + + an ( a) n na n ( a) < a n < n( a) = an n çıkar (a n ) n ve (b n ) n iki dizi olsun. Her n için b n > 0 olduğunu ve (a n /b n ) n dizisinin artan (azalan) olduğunu varsayalım. O zaman terimleri a a n b b n olan dizi de artandır (azalandır). Kanıt: Kanıtı sadece artan diziler için yapalım. (a n ) n ve (b n ) n dizilerinin kısmi toplamlarını sırasıyla s n ve t n ile gösterelim. Önce () s n t n a n+ b n+ eşitsizliğini n üzerinden tümevarımla kanıtlayalım. n = 0 için her şey yolunda. () eşitsizliğini kabul edip (2) s n+ t n+ an+2 b n+2 eşitsizliğini kanıtlayalım. () eşitsizliğinden kolayca yani eşitsizliği çıkar. Ama varsayıma göre s n + a n+ t n + b n+ a n+ b n+, s n+ t n+ an+ b n+ a n+ b n+ a n+2 b n+2. Demek ki (2), dolayısıyla () de doğru. Şimdi (s n /t n ) n dizisinin artan olduğunu kanıtlayabiliriz. s n t n sn+ t n+ sn t n sn + an+ t n + b n+ ki son eşitsizliği bir paragraf önce kanıtlamıştık. sn t n an+ b n+, Alıştırmalar 7.. Örnek 7. in ters istikametlisinin yanlış olduğunu kanıtlayın Örnek 7.2, n < 0 için doğru mudur? Doğru değilse ne tür bir eşitlik doğrudur? 7.3. Örnek 7.2, kesirli sayılar için doğru mudur? Doğru değilse ne tür bir eşitlik doğrudur? 7.4. Örnek 7.3 ün artan yerine azalan için de doğru olduğunu kanıtlayın.

27 7.. Monoton Diziler 7.5. Örnek 7.3 ün ters istikametlisinin doğru olmadığını gösterin. Yani öyle (a n) n ve (b n) n dizileri bulun ki, (s n/t n) n dizisi artan olsun ama (a n/b n) dizisi artan olmasın a > 0 olsun. Her a n = a n+ ( a) ve b n = n + olsun. Örnek 7.3 ü an/bn dizisine uygulayın. Monoton dizilerin diğer dizilere göre önemli bir üstünlüğü vardır: Bu dizilerin yakınsak olmaları için sadece sınırlı olmaları yeterlidir. Nitekim, sezgilerimiz de, sürekli (ya da bir zaman sonra) artan bir dizinin, eğer terimleri belli bir sayıyı hiçbir zaman aşamıyorsa, belli bir sayıya (en küçük üstsınırına) yoğunlaşması gerektiğini söylüyor. Teorem 7.. Artan ve sınırlı bir dizi yakınsaktır. Eğer (x n ) n böyle bir diziyse, bu dizinin limiti sup{x n : n N} olur. Teorem, kesirli sayılar kümesi için geçerli değildir. [N2] de kesirli bir sayıya yakınsamayan birçok artan kesirli sayı dizisi örneği gördük. Daha ince zevklere hitap eden bir örnek verelim. x, kesirli olmayan herhangi bir gerçel sayı olsun. x, x ile x arasında olan herhangi bir kesirli sayı olsun. Eğer kesirli sayıları, x <... < x n < x x x i < i eşitsizlikleri doğru olacak biçimde tanımlanmışsa, x n+ sayısını, ( (x n, x) x ) n +, x açık aralığından herhangi bir kesirli sayı olarak seçelim. O zaman (x n ) n dizisi sürekli artan bir kesirli sayı dizisidir ve gerçel sayılarda x e yakınsar, ancak kesirli sayılar kümesinde limiti yoktur (çünkü x kesirli değil.) Bundan da, teoremin kanıtında, gerçel sayılarda doğru olan ama kesirli sayılarda doğru olmayan (SUP) aksiyomunun kullanılması gerektiği çıkar. Teorem 7. in Kanıtı: x = sup{x n : n N} olsun. s nin varlığını dizinin sınırlı olmasına ve SUP aksiyomuna borçluyuz. Elbette, her n N için x n x. Herhangi bir ϵ > 0 alalım. x ϵ < x olduğundan ve x, dizinin en küçük üstsınırı olduğundan, x ϵ, dizinin bir üstsınırı değildir. Demek ki, belli bir N sayısı için, x ϵ < x N x

28 2 7. Dizi Çeşitleri olur. Dolayısıyla her n > N için de, x ϵ < x N x n x olur, yani x n x = x x n ϵ olur. Teorem kanıtlanmıştır. Dizi, zamanla artan bir dizi olsa da sonuç değişmez elbet. Sonuç 7.2. Zamanla artan ve sınırlı olan bir dizi yakınsaktır. Eğer (x n ) n böyle bir diziyse ve dizi M göstergecinden sonra azalmamaya başlıyorsa, o zaman bu dizinin limiti sup{x n : n > M} olur. Benzer sonuçlar azalan diziler için de geçerli: Sonuç 7.3. Zamanla azalan ve sınırlı bir dizi yakınsaktır. Eğer (x n ) n böyle bir diziyse, bu dizinin limiti inf{x n : n N} olur. Sonuç 7.4. Zamanla monotonlaşan sınırlı diziler yakınsaktır. Ve elbette monoton bir dizi sınırlı değilse yakınsak olamaz, çünkü bildiğimiz gibi yakınsak her dizi sınırlı olmak zorundadır. Bu sonuçlar çok önemlidir ve birçok uygulamasını göreceğiz. Hemen başlayalım. Örnekler 7.4. Genel terimi n 2 olan diziye bakalım. Bu dizinin sürekli arttığı belli, her terime yeni pozitif bir sayı ekleniyor. Teoreme göre, eğer dizi sınırlıysa yakınsak olması gerekir. Bu elektronik çağda, insanın eli mecburen aygıtlara gidiyor. Dizinin ilk birkaç terimini bilgisayara hesaplatalım. / 2 = / 2 + /2 2 =,25 / 2 + /2 2 + /3 2 =,36... / 2 + /2 2 + /3 2 + /4 2 =, / 2 + /2 2 + / /5 2 =, / 2 + /2 2 + / /6 2 =, / 2 + /2 2 + / /7 2 =, / 2 + /2 2 + / /8 2 =, / 2 + /2 2 + / /9 2 =, / 2 + /2 2 + / /0 2 =, Toplamlar gittikçe büyüyorlar, doğru, ama bu, toplamların her sayıyı aşacağı anlamına gelmez. Örneğin, 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999,...

29 7.. Monoton Diziler 3 dizisi de durmadan büyür, ama i hiçbir zaman geçemez. Birkaç terim daha hesaplayalım: / 2 + /2 2 + / /00 2 =, / 2 + /2 2 + / /200 2 =, / 2 + /2 2 + / /300 2 =, / 2 + /2 2 + / /000 2 =, / 2 + /2 2 + / / =, / 2 + /2 2 + / / =, / 2 + /2 2 + / / =, / 2 + /2 2 + / / =, Sanki dizi,65 i geçmeyecek gibi bir hisse kapıldınız mı? Doğru, haklısınız, hislerinizde yanılmadınız... Bu dizi π 2 /6 ya yakınsar. π yi ikinci ciltte tanımlayacağız. Limitin π 2 /6 ya eşit olduğunun kanıtı da bu kitabı aşar. Bunu olmasa da, dizinin en azından 2 yi geçemeyeceğini kanıtlayabiliriz. olsun. x n = n 2 Sav. Her n doğal sayısı için, x n 2 /n. Kanıt: n = için kanıtlayacak fazla bir şey yok. Eşitsizliği n için varsayıp n + için kanıtlayalım. Sav kanıtlanmıştır. x n+ = x n + (n + ) 2 2 n + (n + ) 2 = 2 n2 + n + n(n + ) 2 < 2 n2 + n n(n + ) 2 = 2 n +. Demek ki dizi 2 den küçük bir sayıya yakınsar. Bu arada, n 3n 2 2n + eşitsizliği tümevarımla kolaylıkla kanıtlandığından (kanıtlayın lütfen), dizinin limitinin, 5 ile 2 arasında bir sayı olduğu anlaşılır. (Bu dizinin limiti π 2 /6 dır. Euler kimsenin tahmin edemediği bu ünlü sonucu bulduğunda yer yerinden oynamıştı.) 7.5. Peki n 3 dizisinin limiti nasıl bir sayıdır? /i 2 /i 3 olduğundan, bu yeni toplam π 2 /6 dan daha küçük bir sayıdır. (Sonlu toplamlar π 2 /6 dan küçük ama artan bir dizidir, dolayısıyla yakınsaktır.) Bu sayının hangi sayı olduğu bilinmiyor. Nasıl bir sayı olduğu da bilinmiyor, tek bildiğimiz, bu sayının kesirli bir sayı olmadığı. Bu da, sadece 990 ların başında kanıtlandı / 4 + /2 4 + /3 4 + / /n 4 toplamının limitinin kaç olduğu biliniyor. Genel olarak, eğer k çift bir sayıysa, k + 2 k + 3 k + 4 k + + n k toplamının limitinin π k ile kesirli bir sayının çarpımı olduğu biliniyor (Euler), örneğin, n lim n i = π i=

30 4 7. Dizi Çeşitleri ve lim n n i= i 6 = π Ama eğer k 5 tek bir sayıysa, bu sonsuz toplam üzerine pek bir şey bilindiğini sanmıyorum [Gauss] 0 a 0 b 0 ve a n+ = a n + b n 2 ve b n+ = a nb n olsun. Tümevarımla a n a n+ b n+ b n eşitsizliklerini göstermek kolay. Demek ki (a n) n ve (b n) n dizileri yakınsaktır. Limitlere sırasıyla a ve b dersek, a = a + b 2 yani a = b olur. Bu ortak değere a 0 ve b 0 sayılarının aritmetik-geometrik ortalaması adı verilir s ve x 0 0 sayıları verilmiş olsun. Her n 0 için x n+ = s + x n tanımını yapalım. Her x n bu formülle gerçekten tanımlanır, nitekim eğer x n tanımlanmışsa, x n 0 olmak zorundadır, dolayısıyla s + x n 0 olur ve karekökü vardır, dolayısıyla x n+ de tanımlanmıştır. Her iki tarafın da karesini alarak x 2 n+ = s + x n buluruz, demek ki dizinin limiti eğer varsa, x 2 x s = 0 köklerinden biri olmalıdır. Ama köklerden küçük olanı negatif olduğundan, dizinin limiti varsa, bu limit ancak + + 4s 2 olabilir. Dizinin artanlığına azalanlığına karar verelim. x n+ x n x 2 n x n s önermesini kanıtlamak zor değil, x n+ yerine x n cinsinden ifadesini yazınca çıkıyor. Bunu kullanarak x n+ x n x n+2 x n+ önermesini kanıtlayabiliriz: x n+2 x n+ x 2 n+ x n+ s (x n + s) x n+ s x n+ x n. Demek ki dizi bir yerde artarsa her yerde artıyor, bir yerde azalırsa her yerde azalıyor, yani dizi monoton. Daha keskin bir ifadeyle (x n) n azalan x x 0 x 2 0 x 0 s. Dizi azalansa dizinin bir limiti olduğu belli. Şimdi dizinin üstten sınırlı olduğunu gösterelim ki dizinin her durumda yakınsadığı anlaşılsın. { α = max x 0, + } + 4s 2 olsun. Elbette x 0 α ve α 2 α s 0 olur. Eğer x n α eşitsizliğini varsayarsak, x 2 n+ = x n + s α + s α 2 ve buradan da x n+ α buluruz. Demek ki (x n ) n dizisi üstten sınırlıdır ve her durumda limiti vardır.

31 7.. Monoton Diziler [A] a 0 = 3/2 ve 3a n+ = 2 + a 3 n olsun. (a n) n dizisinin e yakınsadığını kanıtlayın. Kanıt: Eğer dizinin limiti varsa, bu limit 3x = 2 + x 3 eşitliğini sağlamalı. x 3 3x + 2 = (x ) 2 (x + 2) olduğundan bu limit ya olabilir ya da 2. a 0 < 0 ve a = /24 < 0 olduğundan, limit (eğer varsa) negatif gibi görünebilir ilk bakışta ama kolayca hesaplanabileceği üzere 0 < a 2 = , < oluyor. Dizinin tanımı kullanılarak buradan her n 2 için a n 0 eşitsizliği hemen görülüyor. Bu bilgiyle a n+ < a n < eşdeğerliğini de kanıtlamak kolay. Demek ki n 2 için 0 < a n <. Buradan n 2 için 3(a n+ ) = (2 + a 3 n) 3 = a 3 n = (a n )(a 2 n + a n + ) > 3(a n ) elde ederiz (çünkü a n < 0). Böylece (a n ) n dizisinin bir zaman sonra artan olduğu anlaşılır. Demek ki dizinin limiti dir. Alıştırmalar 7.7. (n!/n n ) n dizisinin bir zaman sonra azaldığını kanıtlayın. Bu dizinin limitinin 0 olduğunu kanıtlayın r (0, ) olsun. (nr n ) n dizisinin bir zaman sonra azaldığını, dolayısıyla yakınsak olduğunu kanıtlayın. Dizinin 0 a yakınsadığını kanıtlayın r (0, ) olsun. (n 2 r n ) n dizisinin bir zaman sonra azaldığını, dolayısıyla yakınsak olduğunu kanıtlayın. Dizinin 0 a yakınsadığını kanıtlayın r (, ) ve sabit bir k N için (n k r n ) n dizisinin 0 a yakınsadığını kanıtlayın. 7.. a = 3 ve a n+ = 3(+a n) 3+a n olsun. lim n a n = 3 eşitliğini kanıtlayın Terimleri n + n n + n olan dizinin ile 2 arasında değer aldığını ve arttığını kanıtlayın. Dolayısıyla bu dizinin bir limiti vardır a 0 ve b 0 iki pozitif sayı olsun. a n+ = a n+b n ve b 2 n+ = a n+ b n tanımını yapalım. (a n ) n ve (b n ) n dizilerinin monoton olduklarını ve aynı limite yakınsadıklarını kanıtlayın a 0 ve b 0 iki pozitif sayı olsun. a n+ = an+bn ve a 2 n+ b n+ = a n b n olsun. (a n ) n ve (b n ) n dizilerinin monoton olduklarını ve a 0 b 0 sayısına yakınsadıklarını kanıtlayın s 0, x 0 0 ve x n+ = s +x n olsun. Dizinin limiti varsa bu limitin ancak x 2 + x s = 0 denkleminin pozitif kökü olabileceğini, yani olabileceğini gösterin s 2 x n+ x n x n x n önermesini kanıtlayın. Dizinin monoton olduğunu kanıtlayın. Eğer dizi azalansa dizinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. Eğer dizi artansa, her n için a n s + a 0 eşitsizliğini kanıtlayın. Dizinin her durumda yakınsak olduğunu kanıtlayın. 2 Limit ln 2 dir. Ancak logaritma gelecek ciltte tanımlanacak.

32 6 7. Dizi Çeşitleri 7.6. s 0, x 0 0 ve x n+ = s/x n + olsun. Yukardakine benzer analizi bu dizi için yapın a n = olsun. } {{ } n tane i. (a n ) n dizisinin artan olduğunu kanıtlayın. ii. a n+ = + a n eşitliğini kanıtlayın. iii. Yukardaki eşitlikten, limitin eğer varsa (altın oran olarak bilinen) ϕ = sayısına eşit olduğunu kanıtlayın. iv. Altın oranın 2 den küçük olduğunu kanıtlayın. v. Her n için a n < 2 eşitsizliğini kanıtlayın. vi. Bütün bunlardan, lim n a n = ϕ eşitliğini kanıtlayın b n = n olsun. i. (b n ) n dizisinin artan olduğunu kanıtlayın. ii. b n = n eşitliğini kanıtlayın n iii. a n bir önceki alıştırmadaki gibi olsun. (b) kısmından hareketle b n < 2a n eşitliğini kanıtlayın. iv. (b n ) n dizisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın Terimleri a n = olan dizi yakınsak mıdır ve öyleyse hangi } {{ } n tane sayıya yakınsar? 7.2 Sonsuza Iraksayan Diziler I Bir önceki bölümde, Örnek 6.4 te sürekli artan n 2 dizisinin (örneğin 2 tarafından) üstten sınırlı olduğunu, dolayısıyla yakınsak olduğunu gösterdik. Bu bölümde, gene sürekli artan ve harmonik dizi adı verilen n dizisini ele alacağız. Bu dizi de bir önceki dizi gibi sınırlı mı ve dolayısıyla yakınsak mıdır? Bu altbölümde bu soruyu ele alacağız.

33 7.2. Sonsuza Iraksayan Diziler I 7 Dizinin ilk terimlerine bakıp bir tahminde bulunmaya çalışalım. = + 2 =, =, = 2, = 2, = 2, = 2, = 2, = 2, = 2, İlk on terimde sadece 2 yi geçtik, henüz 3 e varamadık. Bu toplamlar bir zaman sonra -örneğin- 00 ü geçer mi? Geçerse ne zaman geçer? Bilgisayara hesaplattık bu toplamları. Eğer H n = n tanımını yaparsak, bulduğumuz sonuçları daha rahat yazabiliriz: H = H = 3, H 2 =,5 H 2 = 3, H 3 =, H 3 = 3, H 4 = 2, H 4 = 3, H 5 = 2, H 5 = 3, H 6 = 2,45 H 6 = 3, H 7 = 2, H 7 = 3, H 8 = 2, H 8 = 3, H 9 = 2, H 9 = 3, H 0 = 2, H 20 = 3, İlk 20 toplamda henüz 4 e varamadık, yanına bile yaklaşamadık. Bilgisa-

34 8 7. Dizi Çeşitleri yarda daha da ileri gittik. 4 ü ancak 3 inci toplamda aşabildik: H 30 = 3, H 3 = 4, Ya 5 i aştık mı? Aştık. Ama oldukça geç aştık, ancak 83 üncü toplamda aşabildik: 6 yı da aştık. 227 nci toplamda... H 82 = 4, H 83 = 5, H 226 = 5, H 227 = 6, yi aşmak için çok bekledik. 7 yi ancak 66 ncı terimde aşabildik: H 65 = 6, H 66 = 7, i aşıp aşmayacağımız merak konusu... Onu da aştık: H 673 = 7, H 674 = 8, Ya 9? 9 u aşabilir miyiz? Aştık, daha doğrusu bilgisayar aştı: 0 u, i, 2 yi de aştık: H 4549 = 8, H 4550 = 9, H 2366 = 9, H 2367 = 0, H 3366 = 0, H 3368 =,... H 9328 = 2, Her sayıyı bir zaman sonra aşacak mıyız? Örneğin 00 ü aşacak mıyız? Evet aşacağız!, üncü toplamdan sonra...

35 7.2. Sonsuza Iraksayan Diziler I 9 Baklayı ağzımızdan çıkaralım: Yukardaki dizi sonsuza gider. Yani her sayıyı bir zaman sonra aşarız. Kanıtlayalım bunu. Şu tablodaki eşitsizliklere bakalım: > = > = > = > = 2. Bu hesaplardan sonra dizinin neden her sayıyı aştığı anlaşılıyor: H 2 n = + n } {{ 2} 2. n tane Dolayısıyla dizi bir sayıya yakınsamaz çünkü sürekli artarak her sayıyı bir zaman sonra geçer. Bu tür diziler için özel bir terim kullanılır: Dizinin sonsuza gittiği ya da sonsuza ıraksadığı söylenir. Hatta kimi zaman, sanki sonsuz diye bir sayı varmışçasına dizi sonsuza yakınsar denir. Matematiksel tanımı verelim: Tanım. (x n ) n bir dizi olsun. Hangi A sayısı verilirse verilsin, eğer her n > N için, x n > A eşitsizliğini sağlayan bir N göstergeci varsa, o zaman (x n ) n dizisinin sonsuza gittiği ya da ıraksadığı söylenir ve bu, olarak yazılır. lim x n = n Dikkat: Burada sonsuz diye bir kavramı tanımlamadık, sadece bir dizinin sonsuza gitmesi nin ne demek olduğunu söyledik, yani dizi sonsuza gidiyor kavramını tanımladık. Tanımımıza göre, sonsuza gitmek demek, her sayıyı belli bir aşamadan sonra hep geçmek demektir. lim n x n = yazıldığında aslında bir eşitlikten söz edilmemektedir, çünkü diye özel bir matematiksel nesne tanımlanmamıştır. Ama lafın gelişi ve alışkanlıklardan dolayı lim n x n = eşitliği nden bahsedeceğiz. Demek ki yukarıda, eşitliğini kanıtladık. lim n ( n ) =

36 20 7. Dizi Çeşitleri Örnekler ,, 2, 3, 4, 5, 6,... dizisi de sonsuza gider elbet. 7.. Ancak, 0,,,, 2,, 3,, 4,, 5,, 6,,... dizisi sonsuza gitmez, çünkü her iki terimin arasına konmuş olan ler dizinin sonsuza gitmesini engellerler Terimleri n olan dizi sonsuza gider çünkü bu dizi artandır ve içinde n 2 = n sayılarını barındırır, dolayısıyla her doğal sayıyı bir zaman sonra aşar Terimleri olan dizi sonsuza ıraksar çünkü, i=0 n i=0 i + + i i + + i = i + i eşitliği geçerlidir ve dolayısıyla n n ( i ) = + i = n + i + + i i=0 olur. Bir önceki örneğe göre n + sayısı her sayıyı aştığından dizimiz sonsuza ıraksar. x 7.4. (Cauchy, 82) Eğer lim n = ise lim + +x n n = olur. n Kanıt: 0 < A R olsun. M göstergeci, n > M x n > 2A olacak biçimde seçilmiş olsun. O zaman B = x + + x M 2MA tanımıyla x + + x n n = > x + + xm n x + + xm n xm+ + + xn + n 2(n M)A + n = 2A + x + + x M 2MA = 2A + B n n buluruz. Negatif de olabilecek olan B sayısı M ye bağımlı ama n den bağımsız. Sağ taraftaki n yi istediğimiz kadar büyük alabileceğimizden, n yi yeterince büyük, diyelim belli bir P den büyük seçersek B n < A olur. Şimdi N = max{m, P } olsun. Her n > N için, x + + x n > 2A + B n n > 2A A = A olur lim n x n = x ise ve (u n ) n pozitif dizisi için lim (u0 + + un) = n ise, u 0 x u n x n lim = x n u u n olur. Not: u i = alırsak bir önceki örneği elde ederiz.

37 7.2. Sonsuza Iraksayan Diziler I 2 Kanıt: ϵ > 0 olsun. Her i > N için x x i < ϵ eşitsizliğinin sağlandığı bir N seçelim. n > N olsun. n i=0 u n ix i i=0 n x = u i(x i x) N i=0 n = u n i(x i x) i=n+ n + u i(x i x) n i=0 ui i=0 ui i=0 ui i=0 ui olduğundan, üçgen eşitsizliğinden, N A = u i(x i x) tanımıyla, n i=0 u ix i n i=0 u i x i=0 n A i=n+ n i=0 u + u i x i x n i i=0 u < i A n i=0 u + ϵ i eşitsizliğini elde ederiz. n yi sonsuza götürdüğümüzde sağ taraf ϵ a yakınsadığından ve ϵ rastgele seçildiğinden, Sandviç Teoremi nden istediğimizi elde ederiz. x 7.6. (y n) n kesin artarak sonsuza ıraksayan bir dizi olsun. Eğer lim n x n n y n y n = z ise x lim n n yn = z olur 3. Kanıt: u n = y n y n > 0 ve u 0 = y 0 olsun. O zaman y n = u 0 + u + + u n olur. Ve v n = x n x n ve v 0 = x 0 olsun. O zaman x n = v 0 + v + + v n olur. Demek ki, (u n) n pozitif artan bir diziyse ve lim n (u u n) = ve lim n v n/u n = z ise v 0 + v + + v n lim = z n u 0 + u + + u n eşitliğini kanıtlamamız lazım. Şimdi z n = v n/u n tanımını yapalım. Bu tanımla, (u n) n pozitif artan bir diziyse ve lim n (u u n ) = ve lim n z n = z ise u 0 z 0 + u z + + u n z n lim = z n u 0 + u + + u n eşitliğini kanıtlamamız lazım, ki bunu da bir önceki örnekte kanıtlamıştık. Uygulama olarak bir 0 < k N alalım. x n = k + 2 k + + n k ve olsun. Yukarda kanıtlanana göre, y n = n k+ k + 2 k + + n k n k lim = lim n n k+ n n k+ (n ) = k+ k + olur (bkz. Alıştırma 5.2). Bir dizinin sonsuza gitmesi için, artan olması gerekmez, örneğin,, 0, 2,, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 5,... (terimleri ikişer ikişer gruplarsanız dizinin nasıl devam ettiğini anlarsınız) dizisi artan değildir ama sonsuza gider. Öte yandan aşağıdaki sonuç doğrudur: 3 Analizde pek sık kullanılan L Hospital kuralını bilene bu önerme ilginç gelecektir.

38 22 7. Dizi Çeşitleri Teorem 7.5. Artan bir dizi ya yakınsaktır ya da sonsuza gider. Kanıt: Dizi sınırlıysa, o zaman limitinin olduğunu biliyoruz. Eğer sınırsızsa, o zaman belli bir N göstergecinden sonra verilmiş herhangi bir A sayısını aşar. Ama dizi artan olduğundan, o göstergeçten sonra A sayısını sürekli aşar. Benzer biçimde eksi sonsuza gitme yi de tanımlayabiliriz. Tanım. (x n ) n bir dizi olsun. Hangi A sayısı verilirse verilsin, eğer her n > N için, x n < A eşitsizliğini sağlayan bir N göstergeci varsa, o zaman (x n ) n dizisinin eksi sonsuza (ya da a) gittiği söylenir ve bu, olarak yazılır. lim x n = n Teorem 7.6. lim n x n = lim n x n =. Kanıt: Kolaydır ve okura bırakılmıştır. Altbölümün başında ele aldığımız H n = n dizisi çok önemlidir, çünkü bu dizi sonsuza gider ama sonlu bir sayıya gitmesine - tabiri caizdir! - ramak kalmıştır, yani sonsuza çok yavaş gider. Örneğin eğer s > ise, s + 2 s + + n s dizisi yakınsaktır, limiti sonlu bir sayıdır, s, e ne kadar yakın olursa olsun, s =,000 olsa bile, yeter ki den büyük olsun... Bunu ilerde, gerçel sayılarda üs almayı tanımladığımızda kanıtlayacağız. Ama okur, şimdilik, s yi kesirli bir sayı alarak kanıtlamaya çalışabilir. Güzel ve yararlı bir alıştırmadır. Alıştırmalar Şu eşitlikleri kanıtlayın: lim n (n2 n) =, n 2 n 2 lim =, lim n n n 3 n = Sonsuza ıraksayan iki dizinin toplamının da sonsuza gittiğini kanıtlayın Sonsuza ıraksayan iki dizinin çarpımının da sonsuza gittiğini kanıtlayın.

39 7.3. Cauchy Dizileri Terimleri n n i= i olan dizi hangi terimden sonra azalmaya başlar? (Bkz. Örnek 5.2 ve 6.4) lim n x n = ise ve r > 0 ise, lim n rx n = eşitliğini kanıtlayın A, onluk tabanda yazıldığında içinde 0 rakamının belirdiği pozitif doğal sayılar kümesi olsun. n A /n = eşitliğini kanıtlayın p(x) = a k X k + + a X + a 0 bir polinom olsun. a k > 0 olsun. lim n p(n) = eşitliğini kanıtlayın p(x) = a k X k + + a X + a 0 bir polinom olsun. a k > 0 olsun. q(x) = b l X l + + b X + b 0 da bir polinom olsun ve b l > 0 olsun. Ayrıca k > l olsun. p(n) lim n q(n) = eşitliğini kanıtlayın α, bir 0-dizisiyse, f α (n), α nın ilk n terimindeki sayısı olsun. (f α (n)/n) n dizisinin ıraksadığı bir α dizisi yaratın. Verilmiş bir p [0, ] sayısı için f α(n) lim = p n n eşitliğini sağlayan bir α dizisinin varlığını kanıtlayın. 7.3 Cauchy Dizileri Yakınsak dizinin tanımına bakılırsa, bir dizinin yakınsak olduğunu kanıtlamak için önce dizinin limitini bilmek lazım gibi bir hisse kapılabilir insan. Bu bölümde, bir dizinin yakınsak olduğunu dizinin limitini bilmeden de kanıtlayabileceğimizi göreceğiz. Aslında Bölüm 7 de de yapmıştık bunu. Artan ve üstten sınırlı bir dizinin limiti olduğunu limiti bilmeden kanıtlamıştık, örneğin ( lim n ) n 2 limitinin kaç olduğunu bilmeden limitin varlığını kanıtlamıştık. Yakınsak bir dizi limitine çok çok çok yaklaştığından, dizinin terimleri birbirlerine çok çok çok yakınlaşırlar. Nitekim eğer ϵ > 0 verilmişse, a sayısına yakınsayan bir dizinin terimleri belli bir aşamadan sonra a ya ϵ/2 den daha yakın olurlar;

40 24 7. Dizi Çeşitleri dolayısıyla o aşamadan sonra, dizinin terimleri birbirlerine, yukardaki şekilde de görüleceği üzere, ϵ dan daha yakın olurlar. Bu tür dizilere Cauchy dizileri denir. (Koşi diye okunur.) Matematiksel tanım şöyle: Tanım. (x n ) n bir dizi olsun. Eğer her ϵ > 0 için, x n x m < ϵ eşitsizliğinin her n, m > N için sağlandığı bir N göstergeci varsa, (x n ) n dizisine Cauchy dizisi denir. Tanım, Cauchy dizilerinin terimlerinin belli bir zaman sonra birbirlerine çok yakın olduklarını, daha doğrusu, Cauchy dizilerinin terimlerini birbirlerine istediğimiz kadar yaklaştırabileceğimizi söylüyor, yeter ki göstergeçleri yeterince büyük seçelim. Cauchy olmak da, yakınsamak gibi, dizinin kuyruğunu ilgilendiren bir özelliktir. Bir dizinin başından istediğimiz kadar terim atalım ya da başına istediğimiz kadar terim ekleyelim, dizinin koşiliği bozulmaz. Bir dizinin Cauchy dizisi olduğunu kanıtlamak için önce rastgele bir ϵ > 0 sayısı seçilir. Ardından, x n x m < ϵ eşitsizliğinin doğru olması için n ve m nin ne kadar büyük olması gerektiği araştırılır. Bunun için de x n x m terimiyle dikkatli bir biçimde -terimi fazla büyütmemeye çalışılarak- oynanır. Örnekler 7.7. (x n ) n dizisinin Cauchy olduğunu kanıtlamak için, x k+ x k ifadesini (ardışık terimlerin farkını) küçük yapmak yetmez, çünkü x k+ x k ifadesi çok küçük olsa da x n x m çok küçük olmayabilir. buna bir örnektir; x n = n x k x k+ = k + olur, dolayısıyla çok küçülür ama m kaç olursa olsun, n yi çok büyük alarak x n x m sayısını dilediğimiz kadar büyütebiliriz, örneğin den büyük yapabiliriz. (Bkz. Bölüm 7.2.) 7.8. Öte yandan eğer her k için x k x k+ < 2 k ise o zaman (x n ) n dizisi Cauchy olur. Nitekim n > m olsun. x m x n = (x m x m+) + (x m+ x m+2) + + (x n x n)

41 7.3. Cauchy Dizileri 25 olduğundan, x m x n x m x m+ + x m+ x m x n x n 2 + m m+ 2 n = ( + 2 m 2 + ) n m = /2 n m = 2 m /2 2 ( m /2n m ) < 2 m olur. Demek ki verilmiş bir ϵ için N yi N > /ϵ olacak biçimde seçersek, her n > m > N için, x n x m < 2 m 2 N N < ϵ olur Her n > 0 için a n {0,, 2, 3,..., 8, 9} olsun, yani a n bir rakam olsun. a 0 da herhangi bir doğal sayı olsun. x n = a 0 + a 0 + a a n 2 0 n tanımını yapalım. Daha ekonomik bir yazılımla: x n = n a i 0 i. i= (x n) n dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu kanıtlayalım. ϵ > 0 herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. x n x m < ϵ eşitsizliğinin yeterince büyük n ve m göstergeçleri için doğru olduğunu kanıtlayacağız. Sanki bu dediğimiz doğruymuş gibi davranıp, bu eşitsizliğin doğru olması için n ve m nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulalım. n m varsayımını yapabiliriz çünkü x n x m = x m x n. Şimdi x n x m ifadesiyle oynayalım: n m x n x m = a i0 i a i0 i = = i= n i=m+ a i 0 i i= = 9 0 m n i=m+ n m = 9 0 m j=0 n i=m+ = 9 0 m 0 n m 9 0 n i=m+ 9 0 i = 9 a i0 i n i=m+ 0 i n m 0 i+m+ = 9 0 m j=0 0 = 9 j 0 m 0 0 n m = 0 m ( 0 n m 0 j ) 0 m. Üçüncü satırda son eşitlikte j = i m değişikliğini yaptık. Dördüncü satırda Önsav 3.4 te kanıtlanan eşitliği a = /0 için kullandık.

42 26 7. Dizi Çeşitleri Yukardaki hesaptaki eşitsizliklerin her biri son derece ekonomiktir: İkinci satırdaki eşitsizlik zorunlu bir eşitsizliktir, çünkü a i lerin her biri bal gibi de 9 olabilirler. Son satırdaki eşitsizlik de zorunlu, çünkü m sabit kalıp n çok büyüdüğünde (sonsuza gittiğinde), /0 n m sayısı e kadar dayanır. Bu hesaptan, 0 m yi ϵ dan küçük yapmamız gerektiğini anlıyoruz. olduğundan, Teorem 6. e göre, 0 < 0 < lim m 0 m = 0 olur. Dolayısıyla öyle bir N vardır ki, her m > N için, 0 m < ϵ olur. Görüldüğü gibi bir dizinin Cauchy dizisi olduğunu kanıtlamak her zaman kolay olmayabilir. Ama çoğu zaman bir dizinin limiti bilinemeyeceğinden, bilinebilse de bulmak kolay olmayabileceğinden, Cauchy dizisi kavramı çok yararlıdır. İlk paragrafta her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu söyledik ve bunun edebi bir kanıtını verdik. Bunu matematiksel olarak kanıtlayalım: Teorem 7.7. Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir. Kanıt: (x n ) n yakınsak bir dizi olsun. ϵ > 0, herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine a diyelim. Demek ki, öyle bir N doğal sayısı vardır ki, her n > N için, x n a < ϵ/2 olur. Dolayısıyla, n, m > N için, x n x m = (x n a) + (a x m ) x n a + a x m < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ. Kanıt tamamlanmıştır. Sonuç 7.8. (a n ) n bir dizi olsun. s n = a 0 + a + + a n olsun. Eğer (s n ) n dizisi yakınsaksa (a n ) n dizisi 0 a yakınsar. Kanıt: ϵ > 0 herhangi bir gerçel sayı olsun. (s n ) n dizisi yakınsak olduğundan, bir Cauchy dizisidir, dolayısıyla, her n, m > N için, s m s n < ϵ eşitsizliğinin sağlandığı bir N vardır. Böyle bir N yi sabitleyelim. Eğer n > N + ise, yukardaki m yerine n alarak, s n s n < ϵ

43 7.3. Cauchy Dizileri 27 buluruz. Ama s n s n = a n olduğundan, bu da a n < ϵ demek olur ve böyle-ce aradığımız sonuç kanıtlanır. İkinci Daha Basit Kanıt: a n = s n s n olduğundan ve lim n s n = lim n s n olduğundan, sonuç hemen çıkar. Sonuç 7.9. Eğer (a n ) n dizisi 0 a yakınsamıyorsa, terimleri s n = a 0 + a + + a n olarak tanımlanan (s n ) n dizisi yakınsak değildir. Yukardaki sonuçların tersi doğru değildir, yani bir (a n ) n dizisi 0 a yakınsayabilir ama terimleri, s n = a 0 + a + + a n olarak tanımlanan (s n ) n dizisi yakınsamayabilir. Örneğin, n için, a n = n + alırsak (a n ) n dizisi 0 a yakınsar ama terimleri n olan dizi bildiğimiz gibi sonsuza gider (Bölüm 7.2), yakınsamaz. Bir Cauchy dizisinin terimleri birbirlerine çok yakın olduğundan, bir Cauchy dizisinin sınırlı olması şaşırtıcı olmamalı. Nitekim öyledir, Cauchy dizileri sınırlıdır. Bunu şimdi kanıtlayacağız. Birkaç sayfa sonra, Teorem 8.5 te her Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu kanıtlayacağız, bundan da her Cauchy dizisinin sınırlı olduğu çıkar, ama bu bir kanıt sayılmaz çünkü zaten her Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu kanıtlamak için aşağıdaki bu olguya gereksineceğiz. Teorem 7.0. Her Cauchy dizisi sınırlıdır. Kanıt: (x n ) n bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki ϵ u, örneğin, seçelim. Demek ki, öyle bir N göstergeci vardır ki, her n, m > N için, olur. Demek ki, her n > N için, x n x m < x n x N+ <

44 28 7. Dizi Çeşitleri olur; bir başka deyişle, x N+ < x n < x N+ + olur. Şimdi b = max{x 0, x,..., x N, x N+ + } ve a = min{x 0, x,..., x N, x N+ } olsun. O zaman, her n için, a x n b olur. Alıştırmalar Eğer (x n ) n bir Cauchy dizisiyse ( x n ) n dizisinin de Cauchy olduğunu kanıtlayın Eğer (x 2 n) n bir Cauchy dizisiyse ( x n ) n dizisinin de Cauchy olduğunu kanıtlayın Monoton ve sınırlı bir dizinin Cauchy olduğunu kanıtlayın İki Cauchy dizisinin toplamının, farkının ya da çarpımının da Cauchy olduğunu kanıtlayın Eğer (x n) n bir Cauchy dizisiyse ve p(x) bir polinomsa, (p(x n)) n dizisinin de Cauchy olduğunu kanıtlayın (x n) n bir Cauchy dizisi ve a R olsun. Eğer {n N : x n < a} ve {n N : x n > a} kümeleri sonsuzsa, o zaman (x n) n dizisinin a ya yakınsadığını kanıtlayın Eğer (x n ) n bir Cauchy dizisiyse ve 0 a yakınsamıyorsa, her n > N için, x n > δ eşitsizliğinin sağlandığı bir N doğal sayısı ve bir δ > 0 olduğunu kanıtlayın Eğer (x n ) n Cauchy dizisi 0 a yakınsamıyorsa ve her terimi 0 dan değişikse, her n için, x n > δ eşitsizliğinin doğru olduğu pozitif bir δ sayısının varlığını kanıtlayın Eğer (x n ) n ve (y n ) n birer Cauchy dizisiyse, her n için y n = 0 ise ve (y n ) n dizisi 0 a yakınsamıyorsa, (x n /y n ) n dizisinin de Cauchy olduğunu kanıtlayın Diziler kümesi üzerine şu ilişkiyi tanımlayalım: (x n ) n (y n ) n (x n y n ) n Cauchy dizisidir. Bu ilişkinin bir denklik ilişkisi olduğunu kanıtlayın Diziler kümesi üzerine şu ilişkiyi tanımlayalım: (x n ) n (y n ) n lim n (x n y n ) = 0. Bu ilişkinin bir denklik ilişkisi olduğunu kanıtlayın (x n) n bir dizi olsun. Sabit bir r (0, ) ve her n için, x n+ r x n olsun. ( n i=0 )n xi dizisinin Cauchy olduğunu kanıtlayın.

45 7. Dalgalanan Seriler 7. Leibniz Testi Önceki bölümlerde daha çok terimleri pozitif sayılar olan serilere bakmıştık. Bu bölümde terimleri bir pozitif bir negatif olan serilere bakacağız. Bakacağımız seriler, a n 0 gerçel sayıları için, ( ) i a i biçiminde yazılan serilerdir. Bu tür serilere dalgalanan ya da alterne seriler denir. Perihan Mağden in tabiriyle içlerinden en en ennnnn bilineni, ( ) i+ i= serisidir. Bu seri yakınsaktır. (Ve limiti ln 2 dir, yani 2 nin doğal logaritmasıdır. Ama henüz logaritma mogaritma görmediğimizden bu ln 2 sayısı okura şimdilik bir şey ifade etmeyebilir.) Yukarda ele alınan ( ) i a i türünden bir serinin yakınsak olması için, Teorem 4.4 te gördüğümüz üzere, i lim a n = 0 n olmalıdır. Ancak bu koşul yetmez, daha fazlasına gerek var. Teorem 7. (Leibniz). (a i ) i azalarak 0 a yakınsayan pozitif bir dizi olsun. O zaman, ( ) i a i serisi yakınsaktır. Kanıt: s n = a 0 a + + ( ) n a n, kısmi toplamlar olsun. dizilerine bakacağız. (s 2n ) n ve (s 2n+ ) n

46 Dalgalanan Seriler Birincisinin azalan, ikincisinin artan olduğunu ve her ikisinin de aynı limite yakınsadığını kanıtlayacağız. Elde ettiğimiz bilgiler aşağıdaki şekli verecek. Sav. (s 2n ) n azalan bir dizidir. Kanıt: s 2n s 2n+2 eşitsizliğini göstermeliyiz. Ama s 2n+2 nin içindeki s 2n yi ortaya çıkarırsak, (a n ) n dizisinin azalan olmasını kullanarak bunu kolaylıkla görebiliriz: s 2n+2 = s 2n + ( ) 2n+ a 2n+ + ( ) 2n+2 a 2n+2 = s 2n a 2n+ + a 2n+2 = s 2n (a 2n+ a 2n+2 ) s 2n. Sav 2. (s 2n+ ) n artan bir dizidir. Kanıt: s 2n+ s 2n+3 eşitsizliğini göstermeliyiz. Kanıt aynen yukardaki gibi: s 2n+3 = s 2n+ + ( ) 2n+2 a 2n+2 + ( ) 2n+3 a 2n+3 = s 2n+ + a 2n+2 a 2n+3 = s 2n+ + (a 2n+2 a 2n+3 ) s 2n+. Sav 3. s 2n s 2n+. Kanıt: Çok kolay: s 2n s 2n+ = a 2n+ 0. Sav 4. Her n ve m için, s 2n+ s 2m. Kanıt: n m varsayımını yapalım. O zaman yukardaki üç savdan, s 2n+ s 2m+ s 2m s 2n. çıkar. n m varsayımında kanıt benzerdir.

47 7.. Leibniz Testi 29 Şimdi teoremin kanıtını bitirebiliriz. Sav 2 ve 4 e göre, (s 2n+ ) n artan ve üstten sınırlı bir dizidir; demek ki bir limiti vardır. Bu limite u adını verirsek, Sav 4 e göre, her m için, u s 2m olur. Sav e ve bu eşitsizliğe göre, (s 2m ) m azalan ve alttan sınırlı bir dizidir; demek ki bir limiti vardır. Bu limite v adını verirsek, yukardaki eşitsizlikten dolayı u v olur. Şimdi Sav 3 ü kullanalım: v u = lim n s 2n lim n s 2n+ = lim n (s 2n s 2n+ ) = lim n a 2n+ = 0. Demek ki u = v ve (s 2n+ ) n ve (s 2n ) n dizileri aynı sayıya yakınsıyorlar. Dolayısıyla (s n ) n dizisi de aynı sayıya yakınsar. Teorem kanıtlanmıştır. Yukardaki kanıttan, her n ve m için, bulunur. Demek ki ayrıca, s 2n+ ( ) i a i s 2m 0 s 2n ( ) i a i s 2n s 2n = a 2n ve 0 ( ) i a i s 2n s 2n 2 s 2n = a 2n olur. Yani her n N için ( ) i a i s n an olur. Bunu da not edelim. Sonuç 7.2 (Kanıtın Sonucu). (a n ) n azalan ve 0 a yakınsayan pozitif bir diziyse, ( ) i a i serisi yakınsaktır ve n ( ) i a i ( ) i a i a n olur. i=0 Böylece, ( ) i = i i=

48 Dalgalanan Seriler toplamına, yani henüz bilmediğimiz ln 2 sayısına dilediğimiz kadar (/n kadar) yakınsayabiliriz. Bu seriyi şöyle yazalım: ( ) i i + ve kısmi toplamları (Excel kullanarak) hesapladım: s 0 = s = 0,5 s 2 = 0, s 5 = 0, s 9 0, s 0 0, s 0, s 99 0, s 00 0, s 999 0, s 000 0, Örneğin, s 999 = 0, eşitliğinden, 0, ( ) i bulunur. Nitekim gerçek değer şudur: ( ) i i + 0, i + = 0, Alıştırma 7.. Aşağıdaki serilerin yakınsak olup olmadığını belirleyin. i= ( ) i 3 i, i= ( 2) i i 2, ( 2) i, ( ) i i 3 i i i 3 +, ( ) i i 3 i 4 i 2 +, i= i= ( ) i (e 2), ( ) i 2 +i i i/2 i + 5, ( ) i i + i, ( ) i i 2 i +. ( ) i 2 /i, Örnek 7.. Genel terimi 0 a gitmeyen serisine bakalım. Bu seriyi önce şöyle parantezleyelim: ( ) ( ) + 4 Bu durumda şunu elde ederiz: Bir de şöyle parantezliyelim: ( ) < 2. ( 2 2 ) ( ) ( ) 7

49 7.2. Riemann Düzenleme Teoremi 293 Bu durumda şunu elde ederiz: >. İki farklı parantezlemeyle farklı toplamlar elde edildiğine göre başlangıçtaki seri yakınsamaz. (Bkz. Teorem 4.8.) 7.2 Riemann Düzenleme Teoremi Pozitif bir serinin terimlerinin yerlerini değiştirirsek yakınsaklığın bozulmayacağını ve limitin değişmeyeceğini gördük (bkz. Teorem 4.3). Yakınsak olan ama mutlak yakınsak olmayan seriler (bu tür serilere koşullu yakınsak seri denir) bu konuda dramatik bir fark gösterirler: Böyle bir serinin terimlerinin yerlerini değiştirirsek seriyi dilediğimiz sayıya yakınsattırabiliriz, hatta dilersek ± a bile ıraksattırabiliriz! Teorem 7.3 (Riemann Düzenleme Teoremi). a i koşullu yakınsak olan bir seri olsun. b R, rastgele olsun. O zaman doğal sayılar kümesi N nin a σ(i) = b eşitliğini sağlayan bir σ eşleşmesi vardır. Kanıt: P = {i N : a i 0} ve N = {i N : a i < 0} olsun. Önce a i ve a i i N i P i serilerinin sırasıyla + ve a yakınsadıklarını kanıtlayalım. Nitekim, eğer ve P n = P {0,,..., n} N n = N {0,,..., n} ise, a i serisinin kısmi toplamı olan s n sayısı, s n = a i + i P n i N n a i eşitliğini sağlar. (s n ) n dizisinin bir limiti olduğundan, i P n a i ve i N n a i serilerinden biri yakınsaksa diğeri de yakınsaktır, biri ıraksaksa diğeri de ıraksaktır. Öte yandan a i serisi mutlak yakınsak olmadığından, ai =

50 Dalgalanan Seriler olur, yani i P n a i i N n a i serisi + a ıraksar, yani hem i P n a i hem i N n a i dizisi yakınsak olamaz. Demek ki i P n a i ve i N n a i serilerinin ikisi birden ıraksaktır, biri + a, diğeri de tabii ki a ıraksar. b nin bir gerçel sayı olduğunu varsayalım. Demek ki i P için, a i leri toplayarak toplamı istediğimiz kadar büyütebiliriz, örneğin b den büyük yapabiliriz ve daha sonra bu toplama i N için, a i leri ekleyerek toplamı istediğimiz kadar küçültebiliriz, örneğin b nin altına inebiliriz. Bu prosedürü böyle, bir ileri bir geri devam ettireceğiz. Aklımıza ilk geleni denersek başarıya ulaşırız. P ve N kümelerini artan bir şekilde göstergeçleyelim: ve için, p(0) < p() < p(2) <... < p(k) <... n(0) < n() < n(2) <... < n(k) <... P = {a p(i) : i N} ve N = {a n(i) : i N} olsun. b nin pozitif olduğunu varsayalım. a p(0), a p(), a p(2),... sayılarını b yi aşana kadar toplayalım ve b yi aştığımız ilk yerde duralım. Diyelim, a p(0) + + a p(k0 ) < b a p(0) + + a p(k0 ). Şimdi toplamına, negatif olan a p(0) + + a p(k0 ) a n(0), a n(), a n(2),... sayılarını, toplam b nin altına inene dek toplayalım. Diyelim a p(0) + +a p(k0 )+a n(0) + +a n(l0 ) < b a p(0) + +a p(k0 )+a n(0) + +a n(l0 ) oluyor. Şimdi toplamına a p(0) + + a p(k0 ) + a n(0) + + a n(l0 ) a p(k0 +), a p(k0 +2),...

51 7.2. Riemann Düzenleme Teoremi 295 terimlerini b yi geçene dek ekleyelim ve b yi geçer geçmez duralım. Bunu böyle sürekli devam edersek, elde edilen a p(0) + + a p(k0 ) + a n(0) + + a n(l0 ) + a p(k0 +) + + a p(k ) + a n(l0 +) + + a n(l ) + a p(k +) + + a p(k2 ) + a n(l +) + + a n(l2 ) + serisi k 0 + adımda b yi aşar, k 0 + l adımda b den küçük olur, sonra k 0 + l 0 + k + 3 adımda tekrar b yi aşar... Ve sonunda b ye yakınsar... Ama söylemek yetmez, bu serinin gerçekten b ye yakınsadığını kanıtlamak gerekiyor. Kanıtlayalım. Burada önemli olan nokta, her i için i k i ve i l i eşitsizlikleri ve lim i a i = 0 eşitliğidir (çünkü a i serisi yakınsaktır). Yani ϵ > 0 ne kadar küçük olursa olsun, eğer M yeterince büyükse i > M için, eklenen a p(ki +j) sayılarının mutlak değerleri ϵ dan küçük olurlar, çünkü p(k i + j) p(k i ) i > M olur. Dolayısıyla kısmi toplamlar b yi aştıklarında b + ϵ sayısını geçemezler, b nin altına indiklerinde de b ϵ sayısından küçük olamazlar, yani kısmi toplamlar bir zaman sonra (b ϵ, b + ϵ) aralığının içinde kalmak zorunda kalırlar. Örnekler < a < b < olsun olur. ( ) i + + a + b + a 2 + b 2 + a 3 + b 3 + = a i + b i = a + b i+ serisinin terimlerini iki pozitif terim ve bir negatif terim olarak karalım: ( ) i serisinin toplamına l dersek, bu serinin 3l/2 sayısına yakınsadığını kanıtlayacağız. Bunun için, Teorem 4.0 a göre s 3n kısmi toplamlarının 3l/2 sayısına yakınsadığını i+ kanıtlamak yeterli. Yani i= ( 4i 3 + 4i ) = 3l 2i 2 eşitliğini kanıtlamalıyız. Parantezi hesaplayalım önce. Kolay bir hesapla, 4i 3 + 4i 2i = 8i 3 2i(4i 3)(4i ) > 0

52 Dalgalanan Seriler çıkar. Kummer Kıyaslama Kıstası na göre (Teorem 5.7), /i 2 yakınsak olduğundan bu seri de yakınsaktır. Şimdi limiti zekice bir hesapla bulalım: ( s 3n = + 3 ) ( ) ( ) ( n 3 + 4n ) 2n ( = ) ( ) 8 ( ) ( + + 4n 3 4n 2 + 4n 2 + 4n 4n ) 4n (( = ) ( )) (( ) 8 (( ) ( )) (( 4n 3 4n 2 + 4n + 4n ( = n ) + En sondaki dizi de l + l/2 = 3l/2 sayısına yakınsar. ) ( + 4n 2 4n ( 6 )) 8 )) ( n )

53 Formüler Formüllerin doğru olduğu koşullar ve serilerin kapsam alanı belirtilmemiştir. Sağdaki sayı sayfa numarasıdır. Aynı formül birkaç farklı yerde belirebilir n < n k > k r + r r k = rk+ r ( + s) n + ns ( r) n nr px ( + x) p (n + )x n nx n x p p < xq q px ( + x) p px ( + x) p px ( x) p ( + /n) n ( ) ( + x n n+ n < + n+) x ( + k/n) n [( + /n) n ] k ab a+b a+bx 4 x 2 2(ab) / (abc) /3 a+b+c (a a 2 a n ) n a + +a n n n+ ab n a+nb n

54 370 Formüler ( ) ( ± n n+ n ± +n) ( ) n+2 + ( n+ < + n+ n) n! < ( n+ 2 2 n n! n < ( n+ n n ) n n n < ) n ( n n ( 2n+ 3 n(n+)/2 n+) ) n(n+)/ s = n i= a i ise n i= ( + a i) n i=0 si i! ( ) + s n n + s! + s2 2! + + sn n! n 2 n n x n+ = x 2 n x n+ = x n x n+ = x 2 n + 3x n x n+ = 6 /x n y n+ = y n x n+ = s + x n , 4, 49 lim a = a lim /n = lim n 2 = lim n 3 n 2 +n 5 = lim r/n q = a n+ = a +a n b n+ = a b n lim n!/n n = , 5, 59 lim n n i= i = lim n + n+ + + n+n n = n + n+ + + n+n ( n ) lim 2 + n n = /

55 Formüler 37 lim 3n2 4n+5 4n 2 5n+ = lim n n p n q (n+) p (n+) = q ) = lim ( n n n n 2 +n lim n i j i= j= = n lim a n = lim a 0+ +a n n lim ( + n + n 2 ) /n = lim n k= k2 +3k+ (k+2)! = lim ( 2 ) ( ) ( ) ( ) n(n+) = ( n ) lim 2 + n = lim n k n k+ (n ) k+ = k lim n i= = n 2 +i lim ( n 2 n ) = lim n k= k3 +6k 2 +k+5 (k+3)! lim n i j 2 i= j= n 4 lim r n lim ( + r + r r n ) lim r n /n! = lim (r + /n) n lim r /n = , 32, 95 lim a xn lim nr n = , 5, 35 lim n q r n = , 5, 43 lim n /n = , 32, 77, 95, 285, 309, 30 lim n i= i (n i) = a n+2 = an+a n , 42 lim n+4 3n 2 +2 = lim n n /n2 =

56 372 Formüler f n+2 = f n + f n , 43 a n+2 = (a n a n+ ) /2 (a 0 a 2 )/ a 0 + +a n n , 20, 226, 282 na n ( a) < a n < n( a) na n ( a) < a n < n( a) a 0 + +a n b 0 + +b n n n k 2 k 3 k 4 k n k n n 2 3n 2n a n+ = an+bn 2 ve b n+ = a n b n , 43 3a n+ = 2 + a 3 n , 5 lim n 2 r n = a n+ = 3(+a n) 3+a n n + n+ + + n+n a n+ = a n+b n 2 ve b n+ = a n+ b n a n+ = a n+b n 2 ve a n+ b n+ = a n b n x n+ = s +x n x n+ = s x n } {{ } n tane n , 7 n i=0 i++ i = n lim u 0x 0 + +u nx n u 0 + +u n = x n lim x n yn = lim x n x n y n y n lim k +2 k + +n k n k+ = k s + 2 s + + n s

57 Formüler 373 lim n n a 2n+ = a 2n+a 2n 2 ve a 2n+2 = a 2na 2n a 2n x n+ = x n+2 x n r + 2r nr n , = a n+ = 2a n a n+ = 2a nb n a n +b n ve b n+ = a n+b n a n+ = bn+cn 2, b n+ = an+cn 2, c n+ = an+bn a n+ = + 2 = a n = 2+a n a n a n+ = 2 + a n lim ( n + n) x n+ = xn+a x n x n+ = 6 /x n (( + /n) n ) n> lim ( + n) n = e ( ) ( + n n+ n + n+) e n! > ( ) n n e n! ( ) n+ n e ! > lim (n!) /n = , 204, 30 (( ) + x n ) n n ( + k n n) e k (( ) x n ) n n lim ( + q/n) n = e q ( + n n) e p lim ( + n) r n e q ( + n n) n i=0 i!

58 374 Formüler n i=0 /i! n i=0 xi /i! ( ) exp x = lim + x! + x2 2! + + xn n! , 74 ( + x 0 )( + x ) ( + x n ) exp(x x n ) lim n i=0 /i! = e exp x = lim ( + x n) n (x a ) (x a k ) x k (a + + a k ) x k i! ( ) n i n i 2n (i 2)! lim n(n /n ) = exp x n x n+ exp x i=0 xi i! (n+)! lim (n + ) /n lim (n!) /(n )! lim e /n = lim n(e /n ) = exp(x + y) = exp x exp y exp 0 = exp( x) = exp x exp x < exp y f(n) = [e (n )/2 ] (n + ) n+ < n n (n + ) n n n lim ( + n 2 ) n = lim ( + n) n 2 = ( ) n lim n +n = e 2 lim ( 3n 5 7+4n) n = lim ( 3n 5 7+3n) n = e a k+ = 6 + a k

59 Formüler 375 n i= /i lim n3 2n+7 3n 2 +n+4 = x 2 i x 2i+ i(i+) = r i = r , 298, 306, , 329, 332 i 2 2i+3 i(i+)(i+2)(i+3) = i(i+2) = ( i + i) , 245 lim n ( + a n ) n = lim n (n /n ) /n = i+ i 2 (i+) 2 = i(i+2)(i+3) = n an i=0 (+a i) = lim n i=0 (+a i) i i! = i(i+)(i+3) = i+ (i+)(i+2)(i+3) = i(i+)(i+2) = i i(k+i) = ( k ) k x i /i! , 298, 306, 34 i= /i , 245 xi+ x i x i = xi+ x i x i+ = xi yakınsaksa, lim 2n i=n x i = lim ( n 2 + (n+) (n+n) 2 ) = lim n nx n =

60 376 Formüler = π n ( i i= i(n i) ) = xi+ x i x p i x i n C n x i /i , 267 2i 3i i i (i /i ) i i i +3 i i i+ xi x i n p n q , 326 i i(i+) (i+k) /2+ +/i = (exp x)(exp y) = exp(x + y) (n + )r n = ( r) 2 ( ) n ( n+ i= i(n+ i) ) sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y ir i = r , 39 ( r) 2 sin 2 x + cos 2 x = lim n n i= i = lim n i n i= i =

61 Formüler 377 lim (x x n ) /n = lim x n lim n n n! = e i ik x i ( 5) i /3 2i+ (i + ) i!/5 i i ( i+k i ) x i (3n+) (n+)! x n ( + x) n = n(n ) (n i+) i! x i ( + x) α = α(α ) (α i+) i! x i x 2 k x 2k i (i!) 2 /(2i)! i/a i cosh x = x 2i /(2i)! sinh x = x 2i+ /(2i + )! n ( 2n+ ) i=0 2i = 2 n cosh(2x) = 2 cosh x sinh x x i /i! /i 5i ( 3i 2i+) 5i x i /i i/ ( ) 5i 3ni 2i lim n n (n!) /n = e X i i! i!x i i /ip

62 378 Formüler i i+ / i(i 2 ) i i 3 + i /(2i + )p i ( )i /i p i x 2 i (ki+ k i )x ki (2i)! 4 i (i+)!i! (2i)! 4 i (i+)! i! lim (2n)! 4 n (n+)! n! = (3i+) (i+)!3 i + +a +b + (+a)(2+a) (+b)(2+b) + (+a)(2+a)(3+a) (+b)(2+b)(3+b) a(a+c)(a+2c) (a+ic) i b(b+d)(b+2d) (b+id) a b c x + a(a+) b(b+) 2 c(c+) x2 + a(a+)(a+2) b(b+)(b+2) 2 3 c(c+)(c+2) x n einz n a x x a lim[nx]/n = x i=2 ( /i) yi ( + y i ) exp ( y i ) ( + /i s ) i 2 (2i )(2i+) ( + z n ) ) i= ( ( )i i = ( ) z i 2 ( ) i = ( /i s ) ) i=2 ( 2 i(i+2) =

63 Kaynakça [A] Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, a modern approach to advanced calculus, Addison-Wesley, 3 üncü basım 969. [Bo] Alain Bouvier, Théorie Elementaire des Séries, Hermann 97. [BR] G. Bouligand ve J. Rivaud, L Enseignement des Mathématiques Générales par les Problèmes, Librarie Vuibert, 4 üncü basım, 968. [Bra] Robert L. Brabenec, Resources for the Study of Real Analysis, Classroom Resource Materials, Mathematical Association of America [Bro] T. J. I a Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, AMS Chelsea Publishing, üçüncü basım 99 ( inci basım 908). [CJ] [Kn] [Ko] Richard Courant ve Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis I, 98 basımı, Springer, Classics in Mathematics, 99. Konrad Knopp, Infinite Sequences and Series, (çeviren F. Bagemihl), Dover Publications 956. P.P. Korowkin, Eşitsizlikler, çeviri H. Şahinci, TMD 962, 60 sayfa. [MD] Matematik Dünyası dergisi ( TMD [N] Ali Nesin, Sezgisel Kümeler Kuramı, 3 üncü basım, Nesin Yayıncılık 20. [N2] [N3] Ali Nesin, Sayıların İnşası, Nesin Yayıncılık tarafından muhtemelen 202 de yayımlanacak. Bkz. TÜBA açık ders notları: Ali Nesin, Aksiyomatik Kümeler Kuramı, Nesin Yayıncılık tarafından yayımlanacak. Bkz. TÜBA açık ders notları: [SCY] D.O. Shklarsky, N.N. Chentzov ve I.M. Yalom, The USSR Olympiad Problem Book, Selected Problems and Theorems of Elementary Mathematics, Dover Publications, Inc [Sp] Murray R. Spiegel, Théorie et Applications de l Analyse, Serie Schaum, McGraw-Hill 974.

64 Dizin +, 8 >, 4, 70, 96, 96 n a, 33 ai,j, 35 i,j a i,j, 35, 8 a /n, 33 x q, 34 <, 7, 4, 4, 70, 20 2 a, 33 a, 33 /a, 3 0, 7, 8, 0 0 dan uzak durmak, la çarpma, 2, 7, 8, 2 a, 3 Abel kıstası, 336, 337 Abel, Niels Henrik, 243, 246 Abel in kısmi toplam formülü, 336 açık aralık, 6 aksiyom, 8, 0 Aliyev, İlham,, 04, 26 altaile, 365 altdizi, 29, 30 alterne seriler, 289 altın oran, 6, 43 altlimit, 23 altsınır, 20 alttan sınırlı küme, 20 alttan yakınsamak, 93 aralık, 6 aritmetik ortalama, 6, 43, 5 aritmetik-geometrik ortalama, 43 aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği, 43, 5, 4 Arşimet, 77 Arşimet cismi, 25, 72 artan dizi, 09, 22, 34, 20 aşkın fonksiyon, 32 aşkın sayı, 84 azalan dizi, 09, 34 Bell, Eric Temple, 88 Bell sayısı, 88 Bernoulli eşitsizlikleri, 39 Bernoulli, Jacob, 39, 4, 59 Beyarslan, Özlem, 4 biçimsel kuvvet serisi, 3 bileşik faizler, 86 binom açılımı, 302 binom katsayıları, 302 bir, 7, 8 birleşme özelliği, 0, 2 Bolzano, Bernard, 77 Bolzano-Weierstrass Teoremi, 44, 5 bölme, 3 bölme algoritması, 25, 27 Brun sabiti, 247 büyük O, 97 büzen dizi, 43, 45, 46 büzme katsayısı, 46 Cauchy ailesi, 365 Cauchy, Augustin-Louis, 77, 20, 282, 327 Cauchy çarpımı, 275, 279 Cauchy dizisi, 24, 26, 29, 34 Cauchy kıstası, 24, 306 Cauchy yakınsaklık kıstası, 308, 309 Cauchy Yoğunlaşma Teoremi, 328 cebirsel sayı, 84, 85 Cesàro ortalaması, 282 Cesàro toplamı, 285 Cesàro toplamları, 286 Cesàro, Ernesto, 286 cisim, 9 cos, 77, 270, 280, 32, 37 cosh, 305 çapraz matris, 04 çarpımsal ters, 3 çarpma, 7, 2 çarpma (doğal sayılarda), 23 çıkarma, çifte dizi, 349 çifte seri, 35 d Alembert kıstası, 329 d Alembert yakınsaklık kıstası, 297, 309, 328 d(x, y), 8 38

65 382 DIZIN D, 65 dalgalanan seriler, 289 değişme özelliği, 0, 2 değişmeli grup, 9 değişmeli halka, 9 Demokrit, 77 Dini, Ulisse, 333 Dirichlet kıstası, 336 dizi, 63 diziliş, 352 Dobinski formülü, 88 doğal sayılar kümesi, 22 du Bois-Reymond, Paul, 26 e, 02, 57 59, 85 eksi a, eksi sonsuza ıraksamak, 22 en büyük altsınır, 20, 23 en küçük eleman, 24 en küçük üstsınır, 9, 23 endis, 64 entegral, 39 Euler eşitliği, 85 Euler, Leonhard, 3, 59 Euler sabiti e, 57 exp, 57, 66, 74, 270, 273, 37 Fermat, Pierre de, 24 Fibonacci dizisi, 66, 06, 43, 49, 89 Fourier serileri, 282 Gauss, Carl Friedrich, 4, 43 genel terim, 23 geometrik dizi, 99 geometrik ortalama, 43, 5, 284 geometrik seri, 233, 298, 306 gerçel sayı, 0 gerçel sayılar sistemi, 0 gerçel sayılar yapısı, 0 gerçel sayıların aksiyomları, 7, 8, 0 gerçel sayıların tamlığı, 29 göstergeç, 64 grup, 9 halka, 9, 26 harmonik dizi, 6 harmonik seri, 230, 242 Hermite, Charles, 84 hiperbolik kosinüs, 305 hiperbolik sinüs, 305 hipergeometrik seri, 333 Huygens, Christian, 59 ıraksak, 67 ıraksamak, 230, 233 ikiz asallar, 247 ikiz asallar sanısı, 27 inf, 20, 23 integral, 35, 39 irrasyonel sayılar, 36 iyisıralı küme, 24 Jordan kanonik biçim, 04 kalanlar, 232 kaos, 07 kapalı aralık, 6 kapalı kutular teoremi, 49, 50 karşılaştırma kıstası, 264 kesin artan, 09 kesin azalan, 09 kesirli sayı, 27 kesirli sayılar kümesi, 0, 27 kısmi çarpım, 356 kısmi toplam (çifte serilerin), 35 kısmi toplamlar, 23 kıyaslama kıstası, 264 kıyaslama teoremleri, Koch kartanesi, 06 Korkmaz, Aslı Can, 4 koşullu yakınsak seri, 270 kök, 29 kök testi, 306 Kummer-Dini Kıstası, 333 Kummer dönüşümü, 267 Kummer, Ernst, 266, 333 Kummer kıstası, 266 kuvvet serisi, 3, 35 küçük o, 97 küçüktür, 8 L Hospital kuralı, 2 Leibniz, Gottfried, 59, 289, 338 Leibniz testi, 289 lim n, 70 liminf, 25 limit, 66, 70, 75 limit (R kümesinde), 24 limit (serilerde), 230 limit (çifte dizinin), 350 limsup, 25 Lindemann, Ferdinand von, 84, 85 Mağden, Perihan, 289 maksimum, 5 max, 5 Mechanica, 59 Mertens Teoremi, 280 mesafe, 8 min, 5 monoton altdizi, 35 monoton dizi, 09 mutlak değer, 7 mutlak negatif, 5 mutlak pozitif, 5 mutlak yakınsak çifte seri, 352 mutlak yakınsak sonsuz çarpım, 360 mutlak yakınsaklık,

66 DIZIN 383 N, 2, 22 Napier, John, 59 Napier sabiti, 58 negatif, 5 O, 97 o, 97 onluk tabanda açılımı, 39 oran kıyaslama testi, 265 orta nokta, 6 Oughtred, William, 59 özdeğer, 04 Özkaya, Görkem, 4, 42, 04 özvektör, 04 i=0 x i, 356, 357 π, 77, 84 86, 264, 303 Peano aksiyomları, 23 polinom, 92, 207, 209 polinomlarda yakınsaklık, 92 pozitif, 5 pozitif seriler, Q, 8, 0, 2, 27 R, 7 R, 20, 23 R >0, 6 R 0, 6 Raabe kıstası, Ramanujan, Srinivasa, 303 rasyonel sayı, 27 Riemann düzenleme teoremi, 293 Riemann kıstası, 325 Riemann serisi, 32 Riemann zeta fonksiyonu, 32 X, 262, 230 i, 230 x X, 262 i=0, 230 i 0, 230 sabit dizi, 7 sadeleştirme,, 3 Sandviç Teoremi, 79 sayı ailesi, 363 seri, 229, 23, 233 serilerle işlemler, 273 sıfır, 7, 8 sıfıra ıraksamak, 358 sınırlı dizi, 82, 96, 27 sıralama, 4 sıralı cisim, 0, 9 sıralı değişmeli grup, 9 sıralı halka, 9 Sierpinski halısı, 07 Sierpinski üçgeni, 06 sin, 77, 270, 280, 32, 37 sinh, 305 sonsuz, 9, 20 sonsuz çarpım, sonsuza ıraksamak, 9, 22, 230 sonsuza ıraksayan diziler, 6, 99 sonsuzdan iniş, 24 Stieltjes, Thomas Joannes, 243 SUP, 8, 9 sup, 20, 23 SUP aksiyomu, 9 Şahin, Çiğdem, 4 tamkısım, 27, 28 tamlık, 34, 35 tamsayılar kümesi, 26 tamsıralama, 9 teleskopik seri, 232, terim terim işlem, 65 tersin tersi, 2, 3 toplam (çifte serinin), 35 toplam (sayı ailesinin), 363 toplam (seri), 230 toplama, 7, 0 toplama (doğal sayılarda), 23 toplamanın özellikleri, 0 toplamsal ters, 0, toplanabilir aile, 363 tümevarımla kanıt ilkesi, 22, 23, 25 tümevarımsal altküme, 2 türev, 35 üçgen eşitsizliği, 7, 8 Ünlü, Yusuf,, 40 42, 240, 26, 345 üs almak, 29, üstlimit, 23 üstsınır, 9, 23 üstten sınırlı kümeler, 20 Wallis formülü, 359 X-dizisi, 63 yakınsak çifte seri, 35 yakınsak diziler, 66, 67 yakınsak sonsuz çarpım, 357 yakınsaklık yarıçapı, 33 yakınsamak, 66, 75, 230, 233 yarısıralama, 9 yoğun, 36 yoğun küme, 28 Z, 2, 26 zamanla 0 dan uzak durmak, 206 zamanla büzen dizi, 46 zamanla sabitleşen dizi, 64 Zenon, 77