BÖLÜM 9 Kök-yer Eğrisiyle Tasarım GİRİŞ Kök-yer eğrisi bize grafik olarak sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi verir. Sistemin geçici hal cevabı ve kararlılığı ile ilgili bilgi almak için kazancın değişimine göre kabaca bir kök-yer eğrisi çizilebilir. Kök-yerin belirli noktaları bize sayılabilir ve kesin dizayn bilgisi sağlar. İstediğimiz geçici hal cevabına ulaşmak için kontrol sisteminin kazancını değiştirebiliriz. Kazancın değişimi bizi farklı bir cevap bölgesine götürür. Fakat kazanç değerleri sadece kök-yerin üzerinde olan noktalarla sınırlandırılmıştır. Bu durumda geçici hal cevabı da kök-yer eğrisi üzerindeki kazanç değişim aralığı ile sınırlıdır. İlerleyen bölümlerde kök-yer eğrisinin tasarıma getirdiği bu kısıtlamaların nasıl aşıldığı anlatılmaktadır.
2 1. Geçici Hal Cevabının İyileştirilmesi Kök-yer eğrisi üzerindeki noktalar istediğimiz geçici hal cevabını vermiyorsa, kök-yerin dışında bir nokta istediğimiz geçici hal cevabını vermek zorundadır. Şekil 1a'dan da görüldüğü gibi B noktası istenilen geçici hal cevabını vermektedir. S düzlemi Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Şekil 1a) Kazanç ayarlaması ile gidilebilen A noktası ve istenilen dizayn noktası B. Kutup B'de iken Kutup A'da iken Şekil 1b) Kök-yerin A'dan geçme ve B'den geçmesi durumunda geçici hal cevabının değişimi görülmektedir. Şekil 1b'de ise kök-yer eğrisinin istediğimiz kutuptan geçmesi halinde yüzde üstaşım ve oturma zamanının arzu ettiğimiz gibi olduğunu görüyoruz. Kök-yerin A noktasından
3 geçmesi durumunda basit bir kazanç ayarı ile oturma zamanını istediğimiz değere getirebiliriz. Fakat amacımız yüzde üst aşımı değiştirmeden geçici hal cevabını iyileştirmektir ve bu iyileştirme B noktası kök-yer eğrisi üzerinde olmadıkça basit bir kazanç ayarı ile gerçekleştirilemez. Şekil 1b'de aradığımız daha hızlı geçici hal cevabı ve yüzde üst aşım elde edilmiştir. Eğer bu değişikliği varolan bir sistem üzerinde yapmak istersek maliyet çok yüksek olacaktır. Bir çok sistem parçası geçici hal cevabından başka nedenlerle seçilmektedir. Örneğin bir asansör oluşturmak için güçlü ve hızlı bir motor gerekmektedir. Diğer taraftan geçici hal cevabı uygun olan bir motor ise güçlü ve hızlı olma özelliğinden yoksun olabilmektedir. Var olan sistemi değiştirmek yerine, sisteme kutup ve sıfır ekleyerek kök-yerin istediğimiz bir noktadan geçmesini dolayısı ile kazanç ile ayarlanabilen bir noktadan geçmesini sağlayarak sistemi kompanze etmiş oluruz. Bu şekilde bir sisteme kutup ve sıfır ekleyerek kompanze etmenin avantajlarından biri ise sistemi fabrikaya kurmadan önce sisteme dahil edebilmektir. Kompanzasyon kutupları ve sıfırları eklemenin var olan sistemin güç gereksinmelerine, sistemin tasarım aşamasına ek bir yük getirmez. Kompanzasyon kutupları aktif veya pasif elemanlar ile gerçekleştirilebilir. Bir sistemi ek açık çevrim sıfır ve kutupları ile kompanze etmenin olası bir zararı sistemin derecesinin artması ve istenilen geçici hal cevabında yan etkilerin ortaya çıkmasıdır. Tasarım aşamasının sonuna kadar yüksek dereceli kapalı çevrim kutuplarının yerini bilemeyiz. Bu nedenle tasarım bittikten sonra gerekli şartların sağlanıp sağlanmadığından emin olmak için geçici hal cevabı hesaplanmalıdır. Geçici hal cevabını iyileştirmenin bir yolu da ileri transfer fonksiyonuna bir diferansiyel alıcı eklemektir. Örneğin birim basamak fonksiyonu ile sürülen bir pozisyon kontrolü yaptığımızı düşünelim. Burada hata başlangıçtaki hızlı değişimden kaynaklanır. Bu hızlı değişimin diferansiyel alıcıdan geçtikten sonraki hali daha yavaş değişen bir işarettir. Bu işaret ile sürülen G () s fonksiyonu ise daha hızlı cevaplar üretir. E () s hata
4 fonksiyonu son değerine yaklaşırken, onun türevi ise kazançtan elde edilen çıkış değeri yanında ihmal edilebilir bir değerdir. 2. Sürekli Hal Hatasının İyileştirilmesi Kompanzatörler sadece geçici hal cevabını iyileştirmek için değil sürekli hal hatasını da iyileştirmek için kullanılır. Daha önce, önceden belirlediğimiz geçici hal değerine ulaşmak için gereken kazanç değeri sürekli hal hatasının değerini kötüleştirir. Çünkü geçici hal cevabı ve sürekli hal hatası kazanç ile değişmektedir. Daha yüksek kazanç değerleri daha küçük sürekli hal hatası fakat daha büyük yüzde üst aşım demektir. Diğer taraftan yüzde üst aşımı düşürmek için yapılan kazanç ayarı sürekli hal hatasını arttırmaktadır. Eğer dinamik kompanzatör kullanılırsa aynı anda hem geçici hal cevabını hem de sürekli hal hatası istenilen değere getirilebilir. Dinamik kompanzasyon ile sistem lineer bölgede çalıştıkça geçici hal cevabı ve sürekli hal hatası arasında gidip gelmemize, ayar yapmamıza gerek kalmayacaktır. Sürekli hal hatası sistemin orijinine açık çevrim kutbu ekleyerek de iyileştirilebilir. Orijine kutup ekleme işlemini gerçekleştirmek için integral alıcıya ihtiyacımız vardır. Özetle, geçici hal cevabı bir diferansiyel alıcı ekleyerek, sürekli hal hatası ise bir integral alıcı ekleyerek iyileştirilebilir. 3. Kompanzasyon Konfigürasyonları Bu bölümde iki tür kompanzasyon konfigürasyonu incelenecektir. Birincisi Kaskat Kompanzasyon ikincisi ise Geri Beslemeli kompanzasyondur. Bu methodlar Şekil 2a ve Şekil 2b'de görülmektedir. Kaskat Kompanzatör Orijinal Kontrolör Kontrol Edilen Sistem Şekil 2a) Kaskat Kompanzasyon.
5 Kaskat kompanzasyonda G 1 () s ileri yola yerleştirilir, geri beslemeli kompanzasyonda ise G 1 () s geri besleme yolu üzerine yerleştirilir. Her iki yöntemde açık çevrim sıfırlarını değiştirerek, kapalı çevrim kutuplarını değiştirir. Böylece kök-yer bizim arzu ettiğimiz dizayn noktasından geçer. Orijinal Kontrolör Kontrol Edilen Sistem Geri beslemeli kompanzasyon Şekil 2b) Geri beslemeli Kompanzasyon.. 4. Kompanzatörler Sürekli hal hatasını saf integratör ile, geçici hal cevabını saf diferansiyel alıcı ile iyileştiren kompanzatörlere İdeal Kompanzatörler denir. İdeal kompanzatörler aktif elemanlar ile uygulanmalıdır. Aktif elemanlar aktif ampli ve ek güç kaynakları ile oluşturulmuş elektronik devrelerdir. İdeal kompanzatör kullanılarak kararlı hal hatası sıfır yapılabilir. Takometre gibi elektro-mekanik ideal kompanzatörler sıklıkla geçici hal cevabını iyileştirmek için kullanılır. Aktif elemanların kullanılamadığı durumlarda başka dizayn teknikleri kullanılabilir. Direnç, kapasite gibi pasif elemanlarla gerçekleştirilen elektronik devreler saf integral ve diferansiyel almazlar ve ideal kompanzasyon yapmazlar. Pasif elemanlar aktif elemanlara göre ucuzdurlar ve ek güç kaynaklarına ihtiyaç duymazlar. Fakat bunun yanı sıra sürekli hal hatasını aktif elemanlar gibi sıfır yapamazlar.
6 Fiyat, ağırlık, performans, transfer fonksiyonu ve diğer cihazlarla aralarındaki arayüz gibi faktörler kompanzatör seçiminde göz önüne alınan kriterlerdir. İlerleyen bölümlerde kaskat kompanzatörün ideal olan ve olmayan integral ve diferansiyel alıcı ile kullanımını incelenecektir. 5. Kaskat Kompanzatör Kullanarak Sürekli Hal Hatasının İyileştirilmesi Burada geri beslemeli bir sistemde sürekli hal hatasını iyileştirmenin iki farklı bir yolu incelenecektir. Bu iki yolu uygularken bir amacımızda sürekli hal hatasını iyileştirirken geçici hal cevabını kabul edilebilir sınırlar içinde tutmak olacaktır. Birinci yol ideal integratör kompanzasyonudur. Bu teknikte orjine bir açık çevrim kutbu eklenir. Kutup eklemek sistemin tipini bir arttırır ve sürekli hal hatasını sıfıra götürür. İkinci yolda ise ideal integratör kullanılmaz. Bu teknikte kutup orjine yakın bir noktaya koyulur. Sürekli hal hatası sıfır olmaz fakat sürekli hal hatasında ölçülebilir bir iyileşme sağlanır. Birinci teknikte sürekli hal hatası sıfır olmuştur. Sürekli hal hatasını sıfır yapabilmek için ampli gibi aktif elemanlar kullanmak gerekir. İkinci teknikte sürekli hal hatası sıfır olmaz. Fakat burada daha ucuz ve ek güç kaynağı istemeyen pasif elemanlar kullanılmıştır. Kompanzatörler adlarını kullandıkları methodtan veya kompanzatörün karakteristiği ile ilgilidir. Hatayı belli oranda arttırıp G () s 'i süren sistemlere Oransal Kontrol Sistemi denir. Hatanın integralini alıp G () s 'i süren sistemlere İntegral Kontrol Sistemleri denir. Hatanın türevini alıp G () s 'i süren sistemlere Türev Kontrol Sistemleri denir. Bu açıklamalar doğrultusunda ideal integral kompanzatöre Orantılı ve İntegral (PI) kontrolör diyebiliriz. Çünkü PI kontrolör hatanın belli bir katını alıp sonra integralini alır ve G () s 'i bu şekilde sürer. Kaskat kompanzatör ideal integrasyon yapmıyorsa bu kompanzatöre Lag Kompanzatör denir. 6. İdeal İntegral Kompanzasyon (PI) Sürekli hal hatası orijine bir açık çevrim kutbu koyarak iyileştirilebilir. Bunun nedeni sistem tipinin bir artmasıdır. Mesela sıfır tipi bir sistemin birim basamak fonksiyonuna
7 olan hata cevabı sonlu bir değerken, sistem tipi bir arttırıldığında hata cevabı sıfır olacaktır. Aktif elemanlar orjine açık çevrim kutbu koymak için kullanılabilir. Şekil 3'de sürekli hal hatasını geçici hal cevabını değiştirmeden nasıl iyileştirilebileceği görülmektedir. Sistem istediğimiz geçici hal cevabı ile çalışmaktadır. Orijine bir kutup eklersek sistem tipini arttırmış oluruz. A noktasına çizilmiş olan vektörlerin açıları toplamı 180 olmayacaktır. Yani kök-yer eğrisi Şekil 3b'de de görüldüğü gibi A noktasından geçmeyecektir. Kazanç K. Edilen Sistem Kompanzatör K. Edilen Sistem S düzlemi S düzlemi Şekil 3a) ve Şekil 3b) Orijine açık çevrim kutbu koyarak yapılan kompanzasyon.
8 Kompanzatör K. Edilen Sistem S düzlemi Şekil 3c) Kutup ve sıfır ilavesi ile yapılan kompanzasyon. Bu sorunu çözmek için Şekil 3c'de de görüldüğü gibi orijine eklediğimiz kutbun yanına bir sıfır ekleriz. Böylece A noktasına kutup ve sıfırlardan çizilen vektörlerin açıları toplamının 180 veya katı olması sağlanacaktır. Bu şekilde kök-yer A noktasından geçecektir. Sistem tipi bir artmış ve dominant kutba ait gereken kazanç değeri kompanzasyon kutup ve sıfırının A noktasına olan uzunluklarının oranı sabit olduğu için kompanzasyondan önce ve sonra değişmemiş olacaktır. Böylelikle sürekli hal hatasını geçici hal cevabını değiştirmeden iyileştirmiş oluyoruz. Orijine bir kutup ve kutba yakın bir sıfır ekleyerek yaptığımız kompanzasyona İdeal İntegral Kompanzasyon denir. Aşağıdaki örnekte ideal integral kompanzasyonun etkilerini göreceğiz. Sistem tipini arttırmak için orijine bir açık çevrim kutbu koyulur ve böylelikle sürekli hal hatasın sıfır yapılabilir. Bir açık çevrim sıfırını da orijine çok yakın koyarak orjinal kök-yer eğrisi
9 üzerindeki orijinal kutup ve sıfırları kompanzasyondan önceki yaklaşık aynı noktalara denk gelecek şekilde değiştirilebilir. 6.1 Bir İdeal İntegral Kompanzatörün Kontrol Sistemine Etkisi Kazanç K. Edilen Sistem Kompanzatör K. Edilen Sistem Şekil 4 a) Kompanzasyondan önce b) İdeal integral alıcıdan sonraki sistemler. Problem-1 : Şekil 4a da görülen sistemin sönüm oranı 0.174 tür. Şekil 4b de ise birim basamak fonksiyonu girişli sistemde ideal integral kompanzatör eklenmesi ile sürekli hal hasının sıfır yapılması ve buna karşılık geçici hal cevabının önemsenmeyecek kadar az değişmesi sağlanmıştır. Kompanzasyon için orijine bir açık çevrim kutbu yerleştirilmiştir. Bu kutup sayesinde sistem tipi bir artacaktır. Kök-yer eğrisinin orijine eklenen kutuptan etkilenip bozulmaması için 0. 1 noktasına da bir açık çevrim sıfırı eklenmiştir. Böylelikle kompanzasyon için eklenen kutup ve sıfırın açıları hemen hemen eşit olacak ve toplamı sıfır olacaktır. Sonuçta orijinal kök-yer eğrisi kompanzasyon kutup ve sıfırları eklendikten sonra da bozulmadan kalacaktır. Çözüm-1 : Önce kompanze edilmemiş sisteme ait ikinci dereceden dominant kutuplar bulunur. Daha sonra yine kompanze edilmemiş sistemin birim basamak fonksiyonuna karşı verdiği sürekli hal hatası bulunur. Kompanze edilmemiş sistemin kök-yer eğrisi Şekil 5 de görülmektedir.
10 S düzlemi Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Şekil 5) Kompanze edilmemiş sistemin kök-yer eğrisi 0.174 lük sönüm oranı karmaşık düzlemde kök-yer üzerinde 100.02 lik pozitif açıya sahip bir doğru ile gösterilir. Bu doğrunun kök-yer eğrisini kestiği noktayı bulmayı daha önceki bölümlerde öğrenmiştik.buradan K = 164.4 için - 0.694 + j3.926 noktası 0.174 lük üst aşım için elde edilen değerlerdir. K = 164.4 için K = kutup uzunlukları sııfı uzunlukları formülünden üçüncü kökün yeri 11.61 noktasında bulunur. K e ss p 164,6 = lims 0 G( s) = = 8,23 1* 2*10 1 = = 0,108 1+ 8,23 olarak bulunur bulunur ve buradan c=10µf seçersek 1MΩ R2 = 1MΩ, R1 = 6075Ω 164.6 olarak bulunur
11 Bir ideal integral alıcı ve 0.1 noktasına açık çevrim sıfırı ekledikten sonraki kök-yer eğrisi Şekil 6 da görülmektedir Şekil 6 Orijinal kutup ve sıfırlar kompanze edilmemiş sistem ile aynı noktalarda olup, kazanç da hemen hemen bu noktalarda aynıdır. Kompanze edilmiş kök-yerin bir dalı da 0.1 ile orijin arasındadır. Bu bölgede K=158.2 için dördüncü kapalı çevrim kutbu 0.0902 noktasında bulunur. Bu kutup 0.1 noktasındaki sıfır ile birbirini sıfırlar. Böylece kompanzasyondan önceki kapalı çevrim kutupları ve kazanç hemen hemen kompanzasyondan sonra da aynı kalmaktadır. Bu da bize kompanzasyon öncesi geçici hal cevabı ile kompanzasyon sonrası geçici hal cevabının yine yaklaşık aynı olduğunu gösterir. Kompanze edilmiş sistemin tipi birdir ve girişe birim basamak fonksiyonu uygulanırsa sürekli hal hatası sıfır olacaktır.
12 s düzlemi Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu 4. kapalı çevrim kutbu -0.0902 'dedir. Şekil 7) Kompanzasyon kutup ve sıfırı eklendikten sonraki kök-yer eğrisi. Şekil 8 de kompanze edilmiş ve edilmemiş sistemin cevapları karşılaştırılmaktadır. İdeal integral alıcı ile kompanze edilmiş sistemin birim basamak fonksiyonuna olan sürekli hal cevabı bire yaklaşırken, kompanze edilmemiş sistemin cevabı 0.892 civarındadır. İdeal integral alıcı ile kompanze edilmiş sistemin sıfır sürekli hal hatası ile çalıştığı söylenebilir. Kompanze edilmiş ve kompanze edilmemiş iki sisteminde geçici hal hatası üç saniye civarındadır. Bu sure geçtikten sonra integral alıcı sürekli hal hatasını yavaş yavaş sıfıra götürmektedir. Şekil 8 e bakarak kompanze edilmiş sistemin oturma zamanının 18 saniye olduğunu ve kompanze edilmemiş sistemin oturma zamanının ise 6 saniye olduğunu söyleyebiliriz. İlk bakışta kompanzasyonun oturma zamanında bir artma yaratıyormuş izlenimi verebilir. Fakat kompanze edilmiş sistem kompanze edilmemiş sistem ile aynı sürede aynı değerlere ulaşır. Bu andan sonra geçen süre sürekli hal hatasını azaltmak için harcanır.
13 İdeal İntegratör ile kompanze edilmiş sistem Kompanze edilmemiş sistem Zaman (saniye) Şekil 8) İdeal İntegral alıcı ile kompanze edilmiş sistemin cevabı ve kompanze edilmemiş sistemin cevabı. Sıfırın değeri K 2 / K1 oranı değiştirilerek ayarlanabilir. Bu uygulamada G () s hem hatanın K 1 katı ile hem de integrali ile sürülüyor. Şekil 9 daki sistemde hem orantılı hem de integral kontrolör olduğu için bu sisteme PI Kontrolör denilmiştir. Bir başka ideal integral alıcı uygulaması Şekil 9 da gösterilmiştir. Burada : () s K + ( K s) = [ K [ s + ( K K ) ] s G c = 1 2 1 2 1 (2) olduğundan G c () s ideal integral alıcıdır. İntegral Alıcı Orantılı Kontrolör K. Edilen Sistem Şekil 9) PI kontrolör.
14 7. Kaskat Kompanzatörler ile Geçici Hal Cevabının İyileştirilmesi Sürekli hal hatasını geçici hal cevabını değiştirmeden iyileştirme problemi bir bölüm önce çözülmüştür. Şimdi geçici hal cevabı iyileştirilecektir. Burada geçici hal cevabını kaskat kompanzatörlerle iyileştirmenin iki yolu tartışılacaktır. Buradaki hedefler kompanze edilen sistemde istenen yüzde üst aşıma ve oturma zamanına ulaşmaktır. Geçici hal cevabını iyileştirmedeki ilk teknik İdeal Türev Kompanzatörüdür. İdeal türev kompanzasyonunda geri beslemeli sistemim ileri yoluna saf türev alıcı eklenir. İdeal türev alıcı eklemekle ileri transfer fonksiyonuna sıfır eklenmiş olur. Saf türev alıcı aktif elemanlarla gerçekleştirilebilir. Türev alma işlemi gürültü içeren bir.süreçtir. Asıl sinyal ile karşılaştırıldığında gürültü seviyesi düşük ve frekansı yüksektir. Bu nedenle yüksek frekanslı gürültü geniş istenmeyen bir sinyalin türev alıcı çıkışında görülmesine neden olur. İkinci teknik saf türev alıcı kullanmaz. Onun yerine bir sıfır ve onun uzağına bir ileri transfer fonksiyonu kutbu eklenir. Bu teknik pasif elemanlar ile gerçekleştirilir. Eklenen sıfır hemen hemen ilk teknik gibi saf türev alıcı görevi görür. Bu tekniğe önce hatayı belli oranda değiştirdiği ve sonra türev aldığı için Oransal ve Türev (PD) kontrolör denir. 8. İdeal Türev Kompanzasyonu (PD) Bir sistemin geçici hal cevabı karmaşık düzlemde herhangi bir noktada kapalı çevrim kutbu seçerek ayarlanabilir. Bu nokta kök-yer üzerindeyse basit bir kazanç ayarı ile geçici hal cevabı ayarlanmış olur. Eğer seçtiğimiz nokta kök-yer üzerinde değilse kökyeri istediğimiz noktadan geçecek şekilde ayarlanmalıdır. Kök-yeri istenilen noktadan geçirmek için ileri transfer fonksiyonuna yeni açık çevrim sıfır ve kutupları eklenir. Bunun hızlı ve çoğunlukla çalışan bir yolu ileri transfer fonksiyonuna bir sıfır eklemektir. Bu sıfırın transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi bir kompanzatör ile gösterilebilir : c () s s zc G = + (3)
15 PD kontrolör saf türev alıcı ve kazancın toplamı şeklinde ifade edilir. Sağ dayalı bir kompanzasyon sıfırı yeri seçimi ile geçici hal cevabı hızlandırılabilir. Özetle, basit bir kazanç ayarı ile geçici hal cevabı iyileştirilemez, bu ancak ideal kompanzatör yardımıyla sıfır ve kutup eklemek ile iyileştirilebilir. Şimdi de ideal türev kompanzatörün geçici hal cevabını nasıl iyileştirdiğini Şekil 10 dan takip edelim. Şekil 10a da kompanze edilmemiş sistem 0.4 sönüm oranı ile çalışmaktadır. Şekil 10b, c, d de sıra ile 2, 3, ve 4 noktalarında eklenen sıfırlar ile kompanze edilmiş sistemler görülüyor. Her durumda dominant ikinci dereceden kutuplar kompanze edilmemiş sisteme göre 0.4 sönüm oranından uzaklaşmaktadır. Yine her durumda kompanze edilmemiş sistem kompanze edilmiş sistemle aynı sönüm oranına sahiptir. Buradan da yüzde üst aşımın da aynı olacağı söylenebilir. Kompanze edilmiş sistemdeki kapalı çevrim kutupları kompanze edilmemiş sistem kapalı çevrim kutuplarına göre mutlak değerce daha büyük negatif gerçek kısma sahiptirler.
16 sdüzlemi Üçüncü kutup Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu sdüzlemi Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Şekil 10a) ve b) Kompanze edilmemiş sistem ve 2 noktasına sıfır eklenerek kompanze edilmiş sistem.
17 s düzlemi Üçüncü kutup Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu s düzlemi Üçüncü kutup Kap. Çev. Kutbu Açık Çev.Kutbu Şekil 10 c, d) Sıra ile -3 ve 4 noktalarına sıfır eklenerek kompanze edilmiş sistemler görülmektedir.
18 Buradan kompanze edilmiş sistemin oturma zamanının kompanze edilmemiş sisteme göre daha kısa olduğunu söyleyebiliriz. Şekil 10b de görülen sistemin oturma zamanı kompanze edilmemiş sisteme göre daha kısa ve kapalı çevrim kutupları diğerlerine göre mutlak değerce daha büyük reel kısıma sahiptir. Şekil 10 daki kompanze edilmiş sistemlerin hepsinin kapalı çevrim kutuplarının imajiner kısmı kompanze edilmemiş sisteme göre mutlak değerce daha büyüktür. Buradan da daha kısa tepe zamanına sahip olduğunu söyleyebiliriz. Şekil 10b de bunu görebiliriz. Kompanzasyon sıfırları dominant karmaşık kutuplardan uzaklaştıkça kompanze edilmiş kapalı çevrim kökleri orijine ve dominant karmaşık kapalı çevrim kutuplarına yaklaşmaktadır. Tablo 1 de kompanze edilmiş ve edilmemiş tüm kök-yer eğrileri ile ilgili değerler yer almaktadır. Tablo 1 :Kompanze edilmiş ve edilmemiş sistemlere ait değerler. Kompanze Edilmemiş Kompanzasyon b Kompanzasyon c Kompanzasyon d K G() s Baskın Kutuplar %ÜA 3. kutup Sıfır Açıkalama Yok İkinci derece yaklaşımı Yok Yok İkinci derece yaklaşımı İkinci derece yaklaşımı İkinci derece yaklaşımı Özetle c ve d de kullanılan methodlar b de uygulanan methoda göre daha yavaş cevap zamanı üretmiş, eklenen ideal türev alıcılar yüzde üst aşımı değiştirmeden cevap sürelerini kısaltmıştır.
19 Sıfır -2'deyeken Sıfır -3'deyeken Sıfır -4'deyeken Kompanze Edilmemiş Zaman (saniye) Şekil 11) Tablo 1 e göre düzenlenmiş kompanzasyon çözümleri. Yukarıda söz ettiğimiz değişim bütün kompanze edilmiş sistemlerde kompanze edilmemiş sisteme göre oturma zamanı ve yüzde üst aşımın yarıya inmesiyle gerçekleşmiştir. Ek olarak sürekli hal hatası da iyileşmiştir. e( ) ve K p değerlerinden de anlaşılacağı gibi kompanze edilmiş sistemlerde sürekli hal hatası kompanze edilmemiş sisteme göre 1 / 3 oranında azalmıştır. Tablo 1 deki tüm sistemlerin tipi birdir ve bir miktar sürekli hal hatası beklenebilir. Geçici hal cevabında iyileşme olması sürekli hal hatasında bir iyileşme olmasını gerektimez. Şekil 11 de her durumdaki zaman cevabı verilmiştir. Bütün kompanze edilmiş sistemler kompanze edilmemiş sisteme göre daha hızlı cevaplar vermekte ve daha az hata göstermektedir. Bir ideal türev kompanzasyonun neler yapabileceğini gördük. Şimdi geçici hal cevabını istediğimiz değere getirmek için kendi ideal türev kompanzatörümüzü tasarlayalım. İstediğimiz geçici hal cevabını veren kapalı çevrim kutbunu bulmak için açık çevrim transfer fonksiyonun kutup ve sıfırlarının açıları toplamını hesaplayacağız. 180 den
20 hesapladığımız değeri çıkardığımızda kompanzasyon sıfırının açısını bulmamız gerekir. Bu farkı ve trigonometriyi kullanarak kompanzasyon sıfırının yerini bulabiliriz. 8.1 İdeal Türev Kompanzatör Tasarımı Problem 2 : Şekil 12 de görülen sistemde 16% üst aşım ve oturma zamanında üç kat iyileşme sağlamak için bir ideal türev kompanzatörü tasarlayalım. Şekil 12 sdüzlemi Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Şekil 13) Kompanze edilmemiş sistemin kök-yer eğrisi. Çözüm 2 : Önce 16% üst aşımla çalışan orijinal sistemin performansını hesaplayalım. Kompanze edilmemiş sistemin kök-yer eğrisi Şekil 13 de görülmektedir.16% üst aşım 0.504 lük bir sönüm oranı demektir. Bu sönüm oranına ait radyel doğru üzerinde
21 180 nin tek katlarını aradığımızda karmaşık kutupları - 1.205 j2.064 olarak elde ederiz. K = L L 1 L2 3 = 43.35 olarak bulunur Kompanze edilmemiş sistemin oturma zamanı : Ts saniye olarak bulunur. ( ω ) = 4 /1.205 3. 320 = n 4 / ς = (4) Yüzde üst aşım ve oturma zamanını 2.derece yaklaşımına göre bulduk. Üçüncü kutbu hesaba katmalı ve ona göre ikinci derece yaklaşımında yaptığımız hatayı düzeltmeliyiz. Kazancın 43.35 olduğu noktada yani karmaşık kutupların bulunduğu kazanç değerinde reel eksen üzerinde 7.59 da üçüncü kutbu buluruz. Bu değer karmaşık kutbun reel kısmının altı katına eşittir,buda sisteme 2.derece yaklaşımı yapabileceğimiz anlamına gelir. Kompanze edilmemiş sistemin sürekli hal hatası ve geçici hal cevabı Tablo 2 de verilmiştir. Tablo 2: Kompanze edilmemiş sistemin karakteristikleri. Kompanze Edilmemiş Simülasyon Kompanze Edilmiş Simülasyon K G() s Baskın Kutuplar %ÜA 3. kutup Sıfır Açıkalama Yok 2. derece yaklaşımı Kutup-sıfır iptali yok Sistemi kompanze etmeye devam edelim. Önce kompanze edilmiş sistemin dominant kutuplarınının yerini bulalım. Oturma zamanını üçte bire indirmek demek
22 Kompanze edilmemiş sistemin karmaşık kutuplarının reel kısmı aşağıdaki gibi bulunursa T = 4 / σ = 4 /1.205 = 3.320 (5) sold Oturma zamanını üçte bire indirmek demek T snew = 3.32 / 3 = 1. 107sn olması demektir.buradan σ dnew = 4 /1.107 = 3.613. ( 120.28 ) 6. 193 ω = 3.613 tan 180 = (6) d yeni kutbun koordinatlarıdır.. İstenen kompanze edilmiş baskın kutup sdüzlemi Kompanze edilmemiş baskın kutup Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Şekil 15) Kompanze edilmemiş sistemin üzerinde gösterilen kompanzasyon kutbu. Artık kompanzasyon sıfırının dizaynına geçilebilir. 3.613 + j6. 193 noktasına çizilen vektörlerin açıları toplamını - 275.6051 olarak bulunabilir. İstenilen tasarım noktasının kök-yer üzerinde olması için :
23 275.6 180 = 95. 6 (7) lik açı yapan bir sıfır sisteme ilave edilmelidir. Şekil 16 da ilave edilmesi gereken sıfır ve açısı görülmektedir. Geometri ve trigonometri yardımı ile σ ile işaretlenmiş nokta bulunabilir. İstenen kompanze edilmiş baskın kutup sdüzlemi Kompanze edilmemiş baskın kutup Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Şekil 16) Kompanzasyon sıfırının yerinin belirlenmesi Şekilden.193 ( 3.613 ) = tan( 180 95. 6 ) 6 σ (8) ifadesi ile σ = 3. 006 bulunur. Şekil 17 de kompanze edilmiş kök-yer görülmektedir. Tablo 2 ise kompanze edilmiş ve edilmemiş sistemlerin karakteristiklerini göstermektedir. Üçüncü kutup baskın karmaşık kutupların reel kısmının en az beş katı olduğu sürece geçici hal cevabı tahmin edilebilir. Kompanze edilmiş sisteme ikinci derece yaklaşımı uygulamak yanlış olabilir. Çünkü açık çevrim kompanzasyon sıfırı ile kapalı çevrim kutbu birbirini götürmez.
24 Kompanze edilmiş baskın kutup s düzlemi Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Şekil 17) Kompanze edilmiş sistemin kök-yer eğrisi. Kompanze edilmemiş sistem Kompanze edilmiş sistem Zaman (saniye) Şekil 18) Kompanze edilmiş ve edilmemiş sistemin birim basamak fonksiyonuna olan cevapları
25 Şekil 19) PD Kontrolör İdeal türev alıcı uygulamada bir orantılı kompanzatör ve bir türev alıcının birleşimi şeklinde uygulanır. PD kontrolörün tranfer fonksiyonu : K G c (9) () = ( ) + = + 1 s K 2 s K1 K 2 s K 2 şeklindedir. Burada K 1 / K 2 oranı kompanzatör sıfırını, K 2 ise hatanın ne kadar yükseltileceğini belirlemek için kullanılır. İdeal türev kompanzasyonun uygulamasında bazı güçlükler vardır. Birincisi türev almak için aktif elemanlara ihtiyaç duyar. İkincisi türev alam işlemi gürültü içeren bir süreçtir. Gürültü seviyesi hata sinyaline göre düşük fakat hata sinyalinden yüksek frekanslıdır. Frekansın yüksek olması kompanzasyonda kullanılan ampli gibi aktif elemanların doyuma ulaşmalarına neden olabilir. 9. Sürekli Hal Hatasını ve Geçici Hal Hatasının Birlikte İyileştirilmesi Buraya kadar yapılan iyileştirmeler birbirinden bağımsız olarak yapıldı. Önce geçici hal cevabını iyileştirip sonra sürekli hal hatası iyileştirildiğinde geçici hal cevabında bir yavaşlama görülür. Bunun tersi bir sıra izlenirse bazı durumlarda sürekli hal hatasında bir kötüleşme görülebilir. Tasarımda aktif yada pasif eleman lar kullanılabilir. Eğer bir aktif PI kontrolörden sonra bir de aktif PD kontrolör kullanılırsa PID kontrolör elde edilir. 10. PID Kontrolör Tasarımı Şekil 20 de görülen PID kontrolörün transfer fonksiyonu aşagıdaki gibidir. (10)
26 G c K s 2 () s = K + + ( K s) 1 3 = 2 ( K s) + K + ( K s ) 1 2 s 3 = K 3 s 2 K1 s K + + K K s 3 2 3 Burada iki tane sıfır ve bir tane orijinde kutup vardır. Bir sıfır ve bir kutup ideal integral alıcı gibi, diğer sıfır ise ideal türev alıcı olarak tasarlanabilir. Şekil 20) PID Kontrolör Problem 3 : Şekil 21 de görülen sistemin tepe zamanı kompanze edilmemiş sistemin tepe zamanının 2 / 3 üne, 20 % üstaşım ve sıfır sürekli hal hatası veren PID kontrolörü tasarlayalım. Şekil 21) Kompanze edilmemiş sistem Çözüm 3 : Kompanze edilmemiş sistemde 20 % üstaşım ζ = 0. 456 lık sönüm oranı demektir. Matlab programı kullanılarak K = 121.55 ve - 5.4156 + 10.5709j değerlerini kolaylıkla bulabiliriz.üçüncü kapalı çevrim kutbu 8. 169 noktasında bulunur.
27 T pold = Π /10.57 = 0.297 Kompanze edilmiş sistemde 1 / 3 daha iyi tepe zamanı elde etmek için kompanze edilmiş sistemin baskın karmaşık kutuplarını bulmak gerekir. Baskın karmaşık kutupların imajiner ve reel kısımları aşağıdaki gibi bulunabilir: π π ω d = = = 15.87 Tpnew ( 2 / 3) 0.297 Kompanze edilmiş sistemin baskın karmaşık kutuplarının reel kısmı : ω d (11) σ = = 8.13 (12) tan117.13 olarak bulunur. Kompanze edilmemiş baskın s düzlemi Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Şekil 22) Kompanze edilmemiş sistemin kök-yer eğrisi.
28 Tablo 3: Öngörülen PD ve PID kontrolör ile kompanze edilmiş sistem karakteristikleri Kompanze Edilmemiş PD Kompanzatörlü PID Kompanzatörlü -55.92 ile 0.5 iptali yok PD Kompanzasyon baskın kutbu s düzlemi Kapalı çevrim kutbu Not : Bu şekil ölçeksiz çizilmiştir. Şekil 23) PD kontrolör sıfırının hesaplanması. Şekil 23 ü kullanarak kompanzasyon sıfırının yeri belirlenebilir. Baskın kompanzasyon kutbu olan 8.13 + 15.87 j noktasındaki açıların toplamı 198. 37 olarak bulunur.
29 Daha önceki örneklerde yapıldığı gibi bu toplamı bütünler açıya tamamlamak için gereken değer kompanzasyon sıfırının değeri olacaktır: 180 198.37 = 18. 37 (13) Şekil 23 de gösterildiği gibi kompanzasyon sıfırı zc nokrasında olsun. 15.87 8.13 z c = tan18.37 (14) ve z = 55.92 (15) c olarak bulunur. PD kontrolörün transfer fonksiyonu: ( + 55.92) G PD = s (16) olmaktadır. Bu PD kompanzatör ile kompanze edilmiş sistemin kök-yer eğrisi Şekil 24 te görülmektedir. PD kontrolör baskın kutbu sdüzlemi Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Not : Bu şekil ölçeksiz çizilmiştir. Şekil 24) PD kompanzatör ile kompanze edilmiş sistemin kök-yer eğrisi 8.13 + 15.87 j noktasında K = 5. 34 bulunur. PD kontrolör ile kompanze edilmiş sistemin karakteristikleri tablo 3 de görülmektedir.
30 PD kontrolör tasarımı bittikten sonra PI kontrolör tasarımına geçilir. Herhangi bir orijine yakın ideal kompanzasyon sıfırı integral kompanzatör için yeterli olacaktır. PI kompanzatörün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibidir: s + 0. 5 G PI () s = (17) s PID kontrolör baskın kutbu s düzlemi Kap. Çev. Kutbu Açık Çev. Kutbu Not : Bu şekil ölçeksiz çizilmiştir. Şekil 25) PID Kontolör ile kompanze edilmiş sistemin kök-yer eğrisi Sönüm oranın 0.456 olduğu noktada PID kontrolör ile kompanze edilmiş sistemin kazancı 4.6 ve bu kazanç noktasındaki karmaşık kutuplar - 7.516 ± j14.67 noktalarındadır. Şekil 25 de de bu değerler görülmektedir. Tablo 3 de PID kontrolör ile kompanze edilmiş sistemin karakteristikleri görülmektedir. Şekil 20 de görülen K 1, K 2, K 3 değerleri hesaplanmalıdır. (16) ve (17) denklemlerinden yararlanarak PID kontrolörün transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi bulunur:
31 ( s + 55.92) ( s + 0.5) 4.6( s + 55.92) ( s + 0. ) K 5 G PID () s = = s s 2 ( s + 56.42s + 27. 96) 4.6 = (18) s (10) ve (18) nuralı denklemleri birbirine eşitlenir ve K 1 = 259. 5, K 2 = 128. 6 ve K = 4.6 3 olarak bulunur. Kompanze edilmemiş sistem Zaman (saniye) Şekil 26) PD ve PID kontrolör ile kompanze edilmiş sistemlere ait birim basamak fonksiyonuna olan cevapları Şekil 26 ya bakarak şunlar söylenebilir. PD kompanzasyon geçici hal cevabını sistemin ilk tepeye ulaşma süresini kısaltmak sureti ile iyileştirmiştir. Bu sürekli hal hatasında da bir iyileşme demektir. PID kontolör, PD kontrolör ile tasarlanmış geçici hal cevabını bozmadan sürekli hal hatasında ek bir iyileşme sağlanmıştır. PID kontrolör sürekli hal hatasının sıfıra gitme süresini biraz uzatır. Eğer PID kontrolörün sürekli hal hatasındaki yavaşlatma etkisi yok edilmek istenirse ya PD kontrolör tasarımı değiştirilir yada PI kontrolör sıfırı orijinden biraz daha uzağa konulur.