Magnetic Materials 7. Ders: Ferromanyetizma Numan Akdoğan akdogan@gyte.edu.tr Gebze Institute of Technology Department of Physics Nanomagnetism and Spintronic Research Center (NASAM)
Moleküler Alan Teorisinin İyileştirilmesi Fe, Co ve Ni için doyum mıknatıslanmasının sıcaklıkla nasıl değiştiği şekilde gösterilmiştir. Cullity, Introduction to magnetic materials kt T = ( ) a = ( ) a µγρ T 0 0 3 c (4.11) Bu eğri S / 0 vs T/T C formunda çizildiği zaman neredeyse tek bir eğri haline dönüşürler. Böylece Weiss ın corresponding states kanunu doğrulanmış olur. Fakat Weiss-Langevin teorisiyle tahmin edilen S / 0 vs T/T C eğrisinin şekli deneyle uyumlu değildir. Bu yüzden Weiss ın teorisi Brilliouin fonksiyonu ile modernize edilmelidir.
Moleküler Alan Teorisinin İyileştirilmesi kt T ( ) a ( ) a µγρ T = = (4.11) 0 0 3 c Brillouin fonksiyonunun orijindeki eğimi (J+1)/3J olduğundan: T C a 0 kt C = = µγρ ve 0 J + 1 3J µγρ 0 J + 1 = k 3J (4.12) (4.13) olur.
Moleküler Alan Teorisinin İyileştirilmesi 4. 13 denklemini 4.11 de T yerine yazarsak: 0 J + 1 T = a 3J Tc (4.14) elde ederiz. Şimdi J=1/2, J=1 ve J= için S / 0 vs. T/T C eğrilerini çizdirelim.
Moleküler Alan Teorisinin İyileştirilmesi Cullity, Introduction to magnetic materials
Moleküler Alan Teorisinin İyileştirilmesi Bu zamana kadar yalnızca moleküler alanın olduğunu varsaydık ve uygulanan alanı sıfır aldık. Eğer herhangi bir H alanı da varsa, malzeme üzerine etkiyen toplam alan H+H m olur. a Böylece, µ ( H + H ) µ H µ H µ H kt kt kt kt m m = = + = + a (4.15) a ve = a µ H kt Bunu aşağıdaki (4.11) denkleminde a yerine yazarsak: kt ( ) a µγρ = (4.11) 0 0
Moleküler Alan Teorisinin İyileştirilmesi kt kt H = a= a µ 0 µγρ 0 µγρ 0 kt buradan kt H = a 0 µγρ 0 γρ 0 (4.16) yazılabilir. Bu denklem 4.11 denklemine paralel, ancak H/γρ 0 kadar sağa kaymış düz bir çizgiyi verir.
Moleküler Alan Teorisinin İyileştirilmesi Aşağıdaki şekilde sıcaklık ve uygulanan dış alanın mıknatıslanmaya etkisi gösterilmektedir. 2 ve 4 yalnızca moleküler alanın olduğu durumları, 2 ve 4 moleküler alan ve dış alanın olduğu durumları göstermektedir. 1 eğrisi J=1/2 için Brillouin eğrisidir. Cullity, Introduction to magnetic materials a = µ H kt
Moleküler Alan Teorisinin İyileştirilmesi χ kt H = a 0 µγρ 0 γρ 0 Yalnızca orijin civarıyla ilgilendiğimiz için: 0 J + 1 = a 3J 4.16 ve 4.17 denklemlerini kullanarak: µ ( J + 1) 3kJ H T ( J 1) 3kJ = = 0 µγρ + 0 (4.16) (4.17) (4.18) bulunur.
Moleküler Alan Teorisinin İyileştirilmesi χ µ ( J + 1) 3kJ H T ( J 1) 3kJ = = 0 µγρ + 0 (4.18) Bu denklem Curie-Weiss yasası formudur. C χ = T θ µ J + = 3kJ ( ) 0 1 C θ = µγρ 0 J + 1 3kJ ( ) (4.19) (4.20) 4.13 ve 4.20 denklemleri aynı olduğundan, kendiliğinden mıknatıslanmanın sıfır olduğu sıcaklık T C ile duygunluğun sonsuz olduğu sıcaklık θ aynıdır.
Moleküler Alan Teorisinin İyileştirilmesi Moleküler alan teorisinin sonuçları aşağıdaki şekilde özetlenmiştir. Cullity, Introduction to magnetic materials Moleküler alanla deney arasında önemli bir uyumsuzluk daha vardır. Bu da, Curie sıcaklığının altında ve üstünde atom başına manyetik moment değerlerinin aynı çıkmamasıdır. Bu fark ferromanyetizmanın band teorisi kullanılarak açıklanacaktır.
Bu derste bant teorisini Fe, Co ve Ni le uygulayacağız ve bu metallerin 0 K deki manyetik moment (µ) değerlerini açıklayacağız. Fe, Co ve Ni için 0 K deki µ değerleri sırasıyla 2.22, 1.72 ve 0.60 Bohr magnetondur. Her yeterli manyetizma teorisi bu değerleri hesaplayabilmelidir. Birbirinden çok uzaklara yerleşmiş serbest atomların elektronik yapısını tekrar gözden geçirerek işe başlayalım. Bu tür atomlarda elektronlar Pauli dışarlama ilkesine uygun olarak kesin olarak belirlenmiş enerji seviyelerinde bulunurlar. Atomdaki her bir enerji seviyesinde en fazla iki bulunabilir ve bunların spinleri birbirine zıt olmak zorundadır. Aşağıdaki tabloda x-ışını ve kuantum mekanik gösterimine göre çeşitli enerji seviyeleri (K, L, M ) (1s, 2s, ) ve her seviyenin sahip olacağı elektron sayısı listelenmiştir. Kabuk K L M N Alt kabuk 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s Elektron sayısı 2 2 6 2 6 10 2
Kabuk K L M N Alt kabuk 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s Elektron sayısı 2 2 6 2 6 10 2 2p alt kabuğu aslında hemen hemen aynı enerjiye sahip olan 3 alt kabuktan meydana gelmiştir. Her bir alt kabukta 2 elektron vardır. 3d alt kabuğunun da benzer bir yapısı vardır ve elektron kapasitesi 10 dur. Bir katı oluşturmak için atomlar birbirilerine yaklaştırılırsa enerji seviyeleri önemli ölçüde değişir.
Fe atomları birbirinden yeterince uzakta olduğunda her ikisinin de 4s seviyesinde aynı enerjilere sahip 2 elektron bulunur. İki demir atomunun birbirine yaklaştığını düşünelim. İki atom birbirine yaklaştığında her birinin elektron bulutu birbirine yaklaşır ve üst üste biner. Bu durumda Pauli ilkesi 4s seviyesinde 4 elektrona izin vermeyeceğinden 4s seviyesi, her biri 2 elektrona sahip 2 seviyeye ayrılır. Benzer olarak, bir katı oluşturmak için N tane atom bir araya geldiğinde serbest atomun her bir seviyesi N tane seviyeye ayrılmak zorundadır. Fakat bu yarılma miktarı her seviye için aynı değildir.
Cullity, Introduction to magnetic materials Geçiş elementlerinde en dıştaki elektronlar 3d ve 4s elektronlarıdır. Atomlar birbirilerine yaklaştırıldığında bu elektron bulutları üst üste gelir. Dolayısıyla bu elektronların bulundukları enerji seviyeleri önce yarılır. Atomlar arası uzaklık d, d 0 a kadar (kristaldeki atomlar için denge uzaklığı) yaklaştırılırsa, 3d seviyeleri B den C ye uzanan bir banda ayrılır. 4s seviyeleri de A dan D ye uzanan çok daha geniş bir banda ayrılır. Çünkü 4s elektronları çekirdekten daha uzaktadır. Aynı atom uzaklığında içerideki elektronlar (1s ve 2s) daha az etkilenir ve enerji seviyeleri ihmal edilebilecek kadar az yarılır.
Çok küçük bir kristal parçası için bile, bir bantta birçok enerji seviyesi vardır. Örneğin 55.85 g Fe 6.02x10 23 tane atom içerir. Böylece 1 mg Fe 10 19 atom içerir ve 1 mg kristal içerisinde her bir atomun enerji seviyeleri yaklaşık 10 19 seviyeye ayrılır. Bu da şu anlama gelir; banttaki enerji seviyeleri birbirine o kadar yakındır ki, neredeyse izin verilmiş enerji seviyeleri sürekli bir enerji seviyesi gibi olur. Bununla birlikte biz yine de enerji seviyelerinin birbirinden farklı olmasıyla ilgileneceğiz. Diğer bir ifadeyle banttaki seviyelerin yoğunluğuyla ilgileneceğiz.
E Banttaki seviyelerin yoğunluğu D(E) ile (density of levels) gösterilir. D(E) sabit değildir ve enerjinin bir fonksiyonudur. D(E) ile her hangi bir enerji aralığının çarpımı o enerji aralığındaki seviyelerin sayısını verir. Band teorisindeki zor ve önemli bir problem de enerji bandlarının şeklini (yani bant için D(E) vs. E yapısını) hesaplamaktadır. D (E) Nikelin 3d bandı için yapılmış bu tür bir hesaplama yandaki şekilde gösterilmiştir.
Cullity, Introduction to magnetic materials E 3d ve 4s bandlarının enerjileri üst üste geldiğinden, bu bandların yoğunluk eğrilerini yandaki şekilde gösterildiği gibi çizmek daha uygundur. D (E) 3d seviyesinin yoğunluğu 4s den oldukça fazladır. Çünkü 4s 2 elektron 3d ise 10 elektron kapasitelidir. D(E) vs E eğrisinin altındaki alan banttaki toplam seviye sayısına eşittir. Şimdi yukarıdaki şekli Mn den Zn ye kadar elementlerin elektronik yapısını tartışmak için kullanacağız. Öncelikle bantların şeklinin bir elementten diğer bir elemente çok değişmediğini var sayacağız. Bu sabit bant modeli olarak isimlendirilir (rigid band model).
E Elektronların doldurduğu bu seviyelerin büyüklüğü atomdaki 3d+4s elektronlarının sayısına bağlıdır. Cullity, Introduction to magnetic materials D (E) 3d bandı toplam 10 elektron alır, ancak geçiş elementlerinde bu band asla tam dolmaz. Herhangi bir metal için en üst dolu seviye Fermi seviyesi olarak isimlendirilir. Her iki band da kısmen doluysa her ikisi de aynı yüksekliğe kadar dolar. Geçiş Elementleri Kabuktaki elektron sayısı Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn 3d 5 5 6 7 8 10 10 4s 1 2 2 2 2 1 2 3d+4s 6 7 8 9 10 11 12
Nikelin toplam (3d+4s) 10 elektronu vardır (katıda veya serbest atomda). Manyetik ölçümler bunun 9.4 nün 3d bandında, 0.6 sının da 4s bandında olduğunu göstermektedir. Serbest Nikel atomunda ise 8 ve 2 dir. Bu yüzden Ni için Fermi seviyesi 3d seviyesinin en üstünün hemen altındadır. Cu nun bir fazla elektronu vardır ve 3d bölgesi tam dolu 4s bölgesi ise yarı doludur. Zn de ise her iki bant da tam doludur. Dolu enerji seviyeleri manyetik momente katkıda bulunamazlar. Çünkü her seviyede spinleri birbirine zıt 2 elektron vardır ve birbirlerinin spinlerini yok ederler. Fe, Co ve Ni deki ferromanyetizma 3d bandındaki spin dengesizliği sebebiyledir. Yani 3d seviyesindeki bazı elektronlar eşleşmemiştir. 4s elektronlarının herhangi bir katkıda bulunmadığı varsayılmıştır. 3d bandında 5 tane spin yukarı ve 5 tane spin aşağı bulunabileceğinden dolayı maksimum dengesizlik band 5 elektronla yarı dolu olduğu zaman meydana gelir.
Şimdi; n: atom başına 3d+4s elektronlarının sayısı, x: atom başına 4s elektronlarının sayısı, n-x: atom başına 3d elektronlarının sayısı olsun. Maksimum dengesizlik durumunda 5 tane spin yukarı ve n-x-5 tane spin aşağı vardır. Bu yüzden atom başına manyetik moment: [ 5 ( n x 5) ] [ 10 ( n x) ] µ = µ = µ (4.21) B B
[ 5 ( n x 5) ] [ 10 ( n x) ] µ = µ = µ (4.21) B B Nikel için µ nün deneysel değeri 0.6 µ B dir. Bu değeri 4.21 denkleminde yerine yazarsak x=0.6 buluruz (Ni için n=10 dur). Yani Ni deki elektronların 9.4 ü 3d bandında, 0.6 sı da 4s bandındadır. Ni in yanındaki elementler için 4s elektronlarının sayısının 0.6 olduğunu varsayarsak! µ için aşağıdaki genel ifadeyi elde ederiz: µ = (10.6 n) µ B (4.22)
µ = (10.6 n) µ B (4.22) Bu eşitlikle tahmin edilen atom başına manyetik moment değerleri aşağıdaki tabloda karşılaştırılmıştır. Mn Fe Co Ni Cu n 7 8 9 10 11 µ deneysel (µ B /atom) 0 2.22 1.72 0.60 0 µ hesaplanan (µ B /atom) 3.60 2.60 1.60 0.60-0.40 Fe, Co, Ni ve bazı ferromanyetik alaşımlar için teori ve deney çok uyumlu olsa da, bu teori Mn ve daha hafif elementlerin Fe den daha manyetik olması gerektiğini söylüyor. Oysa onlar ferromanyetik değil. Ayrıca Cu için negatif moment tahmin edilmiştir ve bunun hiçbir fiziksel anlamı yoktur. Çünkü bakırın 3d bandı tamamen doludur.
µ = (10.6 n) µ B (4.22) Cullity, Introduction to magnetic materials