Platonik Cisimler Hazırlayan: Emrah Akyar Özet Bu doküman MAT218 L A TEX ile Doküman hazırlama dersinin altıncı ödevi olarak hazırlanmıştır. Şekil Listesi Başlık, yazar ve özet mutlaka olacak Tüm resimler şekil listesinde yer alacak 1 Beş Platonik cisim.......................... 2 2 Düzgün dörtyüzlü.......................... 2 Küp.................................. Sekizyüzlü............................... Onikiyüzlü.............................. 6 Yirmiyuzlu.............................. 1 Giriş Platonik cisim, beş katı cisim veya düzgün katı cisim, bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimdir. Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar tanedir (bkz. Şekil 1): Dört yüzlü (tetrahedron) Küp (veya düzgün altı yüzlü) Sekiz yüzlü (oktahedron) Oniki yüzlü (dodekahedron) Yirmi yüzlü (ikosahedron) Platon, bu cisimlerin doğayı anlattığını düşünüyordu. Ona göre; her yüzü bir eşkenar üçgen olan dört yüzlü ateşi, sekiz yüzlü havayı, yirmi yüzlü suyu, yüzleri kareler olan küp dünyayı ve yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan oniki yüzlü ise evreni simgeliyordu. Platon, Timaus adlı eserinde bu düşüncesini açıklamıştı. Düzgün geometrik cisimlerden üçgen yüzlülerden tane, beşgen yüzlülerden 1 tane ve bir tane de kare yüzlü vardır. 1 tane figure environment içerisinde yan yana en az resim yer alacak 1
Şekil 1: Beş Platonik cisim 2 Dörtyüzlü Geometride tetrahedron veya dört yüzlü, dört üçgen yüzden oluşan bir çokyüzlüdür (polihedron), her köşesinde üç üçgen birleşir. Düzgün dört yüzlü dört üçgenin eşkenar olduğu bir dört yüzlüdür ve Platonik cisimlerden biridir. Dörtyüzlü, dört yüzü olan tek konveks çokyüzlüdür. Tetrahedron isminin sıfat hali (tetrahedrona ait veya tetrahedronla ilişkili anlamında) tetrahedral dir. Dörtyüzlü, simpleks kavramının üç boyutlu hâlidir. Dörtyüzlü, bir cins piramittir. Piramit, çokgen bir tabanı tek bir noktada birleştiren üçgen yüzlerden oluşur. Dörtyüzlü durumunda taban bir üçgendir (dört yüzün herhangi biri taban sayılabilir), dolayısıyla dört yüzlü ayrıca üçgen piramit olarak da bilinir. Tüm dışbükey (konveks) çokgenler gibi, dört yüzlü de tek bir kağıt yaprağın katlanması ile meydana gelebilir. İki ağdan oluşur. Her bir dört yüzlü için öyle bir küre (çevrel küre) vardır ki dört yüzlünün köşeleri bu kürenin yü- Şekil 2: Düzgün dörtyüzlü zeyinde yer alırlar. Kenar uzunluğu a olan bir düzgün dörtyüzlü için az 1 tane sağda resim olacak Taban yüzeyin alanı = a2, olur. Hacim = 2 12 a, 2
Küp Küp, üç boyutlu, alanları birbirine eşit altı karenin dik açılarla birleşmesinden oluşan altı yüzlü bir geometrik şekildir. Düzgün altıyüzlü olarak da anılır ve tamamı tane olan Platonik cisimlerden biridir. Küpün en önemli özelliği tüm yüzlerinin kare olmasıdır. Hacmi eşit ayrıtının çarpılması ile bulunur. Bir kenarı a olan küpün yüzey alanı 6a 2, Şekil : Küp hacmi de a olur. Analitik geometride merkezi (x 0, y 0, z 0 ) olan ve bir kenarının uzunluğu 2a olan küpün yüzeyi az 1 tane solda resim olacak max{ x x 0, y y 0, z z 0 } = a. max{ x x 0, y y 0, z z 0 } = a şeklinde (x, y, z) noktalarının kümesidir. Sekizyüzlü Geometride, sekiz yüzlü (oktahedral), sekiz düzlem parçasıyla çevrelenmiş cisimdir. Sekizyüzlüler, üç boyutlu bir görünüme sahiptir. Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisimlere ise düzgün sekiz yüzlü denir. Nulla malesuada porttitor diam. Donec felis erat, congue non, volutpat at, tincidunt tristique, libero. Vivamus viverra fermentum felis. Donec nonummy pellentesque ante. Phasellus adipiscing semper elit. Şekil : Sekizyüzlü Proin fermentum massa ac quam. Sed diam turpis, molestie vitae, placerat a, molestie nec, leo. Maecenas lacinia. Nam ipsum ligula, eleifend at, accumsan nec, suscipit a, ipsum. Morbi blandit ligula feugiat magna. Nunc eleifend consequat lorem. Sed lacinia nulla vitae enim. Pellentesque tincidunt purus vel magna. Integer non enim. Praesent euismod nunc eu purus. Donec bibendum quam in tellus. Nullam cursus pulvinar lectus. Donec et mi. Nam vulputate metus eu enim. Vestibulum pellentesque felis eu massa. az 1 tane sağda resim olacak.
Onikiyüzlü A regular dodecahedron or pentagonal dodecahedron is a dodecahedron that is regular composed of twelve regular pentagonal faces, with three meeting at each vertex, and is represented by the Schläfli symbol {, }. It is one of the five Platonic solids. It has 12 faces, 20 vertices, 0 edges, and 160 diagonals (60 face diagonals, 100 space diagonals). Şekil : Onikiyüzlü If the edge length of a regular dodecahedron is a, the radius of a circumscribed sphere (one that touches the regular dodecahedron at all vertices) is ( r u = a 1 + ) ( 1.01 28 8 ar u = a 1 + ) 1.01 28 8 a and the radius of an inscribed sphere (tangent to each of the regular dodecahedron s faces) is r i = a 1 2 2 + 11 1.11 16 6 ari = a 10 1 2 2 + 11 1.11 16 6 a 10 while the midradius, which touches the middle of each edge, is r m = a 1 ( + ) 1.09 016 99 ar m = a 1 ( + ) 1.09 016 99 a minipage kullanılarak resmin soluna ve sağına yazı yazdırılacak. minipage içerisinde figure kullanılamayacağından başlığın şekil listesine nasıl eklenebileceği bu dokümanın sonunda açıklanmıştır. Lütfen okuyunuz. 6 Yirmiyüzlü In geometry, a regular icosahedron is a convex polyhedron with 20 faces, 0 edges and 12 vertices. It is one of the five Platonic solids, and also the one with the most sides. Aynı resim farklı büyüklükte yan yana koyulacak Şekil 6: Yirmiyuzlu It has five equilateral triangular faces meeting at each vertex. It is represented by its Schläfli symbol {, }, or sometimes by its vertex figure as...
or. It is the dual of the dodecahedron, which is represented by {, }, having three pentagonal faces around each vertex. A regular icosahedron is a gyroelongated pentagonal bipyramid and a biaugmented pentagonal antiprism in any of six orientations. The surface area A and the volume V of a regular icosahedron of edge length a are: A = a 2 8.660 2 0a 2 A = a 2 8.660 2 0a 2 7 Açıklama V = 12 ( + )a 2.181 69 99a V = 12 ( + )a 2.181 69 99a minipage içerisinde figure environment i kullanılamaz yani \begin{minipage}{cm} \begin{figure} \includegraphics{elma.jpg} \end{figure} \end{minipage} komutları çalışmayacaktır. Ancak figure environment kullanılmadan \includegraphics komutu ile eklenen resimlere başlık (caption) vermek ve bu resimleri şekil listesi içerisine dahil etmek mümkündür. Bunun için caption paketi kullanılır. \usepackage{caption} komutu kullanıldıktan sonra \includegraphics{elma.jpg} \captionof{figure}{bir elma resmi} komutları kullanılacak olursa, eklenen resmin altında Şekil : Bir elma resmi şeklinde başlık görüntülenecek ve bu ifade şekil listesine eklenecektir.