UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

Transkript

1 UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında bir de yükseklik kavramı vardır. (Derinlik te denilebilir.) Dolayısıyla uzay üç boyutludur. Uzayda x, y, z eksenleri olduğu için kartezyen koordinat olarak R x R x R veya R ile sembolize edilir. Aşağıda üç boyutlu cisimlerin bazıları belirtilmiştir. 1. Uzay Belirtme Aksiyomları Dördü aynı düzlemde bulunmayan farklı dört nokta uzay belirtir. E düzlemindeki A, B, C noktaları ile düzlem dışındaki P noktası, uzay belirtir.

2 Bir düzlem ile bu düzlemin dışındaki bir nokta, uzay belirtir. Bir düzlem ve düzlem üzerinde olmayan bir doğru uzay belirtir. Uzayda farklı iki düzlem ya paraleldir ya da kesişirler. Paralel olmayan farklı iki düzlem daima kesişir. Farklı iki düzlem daima uzay belirtir. Kesişen iki düzlemin ortak noktalarının oluşturduğu doğruya arakesit doğrusu denir. Farklı K ve L düzlemleri uzay belirtir. E ve F düzlemlerinin kesişim kümesi d doğrusudur. E F d dir.

3 DİK PRİZMALARIN ALAN ve HACİMLERİ Alt ve üst tabanları paralel eş şekillerden oluşan cisimlere prizma denir. Yan yüzeyleri taban düzlemine dik olan prizmalara dik prizma adı verilir. Prizmalarda yan yüzeyleri birleştiren ayrıtlara yanal ayrıt denir. [AA ], [BB ], [CC ], [DD ] yanal ayrıtlardır. Dik prizmalarda yanal ayrıt cismin yüksekliğine eşittir. Cismin yüksekliğine h dersek h = AA = BB = CC = DD olur. Prizmanın Hacmi Hacim=Taban Alanı x Yükseklik

4 Dik prizmanın taban biçimi nasıl olursa olsun, yanal yüzeyi daima bir dikdörtgen olur. Yanal yüzü oluşturan dikdörtgenin alt kenarı tabanın çevresi kadardır. Diğer kenarı ise h yüksekliği kadar olur. Bütün dik prizmaların yanal alanı taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. Yanal Alan = Taban çevresi x Yükseklik Bütün Alan ise yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır. Tüm Alan = Yanal Alan +. Taban Alanı 1. Dikdörtgenler Prizması Dikdörtgenler prizması yan yüzeyleri karşılıklı ikişer ikişer eş olan altı adet dikdörtgenden oluşan prizmadır. Burada hacim, taban alanı olan (a.b) ile yükseklik olan (c) nin çarpımıdır. Alan ise (a.b), (b.c) ve (a.c) yüzey alanlarının ikişer katlarının toplamıdır. Dikdörtgenler prizmasında birbirine en uzak iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir. Cisim köşegeni daima prizmanın içinden geçer. Yüzeylerinden geçmez. Sadece bir yüzeyden geçen köşegene o yüze ait yüzey köşegeni denir. Burada köşegenlerin uzunlukları: AC = A C = BD = B D = e (cisim köşegeni

5 BD = f (Yüzey köşegeni) olsun. Bu durumda; Hacim = a.b.c Alan =(ab+bc+ac) Alan = (ab + bc + ac) Cisim Köşegeni: e = a b c Yüzey Köşegeni:. Kare Prizma f = a b Tabanı kare olan prizmalara kare prizma denir. Yan yüzü dört adet eş dikdörtgenden oluşur. Hacim V a.h Yanal Alan Y.A 4.a.h Alan 4.a.h.a Cisim köşegeni : e = a a h

6 . Küp Bütün ayrıtları birbirine eşit olan dik prizmaya küp denir. Tüm yüzeyleri kare dir. Küpün yüzey köşegenleri birbirine eşittir. Yüzey köşegeni: f = a Cisim köşegeni: e = a 4. Üçgen Prizmalar Hacim = a Alan = 6a Prizmalar tabanlarının şekline göre isim aldıklarından tabanı üçgen olan prizmalara üçgen prizma denir. Üçgen prizmalar tabanını oluşturan üçgene göre isimlenir. a. Eşkenar Üçgen Prizma Eşkenar üçgen prizmanın tabanları eşkenar üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane eş dikdörtgenden oluşur.tabanı eşkenar üçgen olduğundan

7 Tabanı eşkenar üçgen olduğundan; Taban alanı a. T.A= 4 a. Hacim V=.h 4 Taban çevresi a olduğundan, yanal alan Y.A.ah dır. Buradan tüm alanı b. Dik Üçgen Prizma Dik üçgen prizmanın tabanı dik üçgendir. Yan yüzeyleri ise üç tane dikdörtgenden oluşur. Tabanı dik üçgen olduğundan Taban alanı T.A b.c Hacim V b.c.h a. T.A=.a.h 4 Taban çevresi a + b + c olduğundan, Yanal alan Y.A= (a + b + c). h Tüm Alan A= b. c + (a + b + c). h olur. olur.

8 5. Silindir Tabanı daire olan prizmalara silindir denir. Silindirin yan yüzü dikdörtgen biçimindedir. Dikdörtgenin bir kenarı yükseklik kadar, diğer kenarı ise taban dairesinin çevresi kadardır. Taban alanı T.A= r Hacim V= r.h Taban çevresi r olduğundan yanal alan Y.A r.h olur. Tüm alan A= rh+ r olur. Bir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edilir.

9 6. Düzgün Çokgen Prizmalar Tabanı düzgün çokgenlerden oluşan prizmalara düzgün çokgen prizmalar denir. Taban ayrıtları birbirine eşittir. Diğer dik prizmalarda olduğu gibi düzgün çokgen prizmalarda da yanal ayrıt aynı zamanda yüksekliktir. Dik prizmalarda taban şekli ne olursa olsun, hacmi; taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ve yanal alanı ise taban çevresi ile yüksekliğin çarpımıdır. EĞİK PRİZMALAR 1. Eğik Kare Prizma Tabanı, bir kenarı a olan kareden oluşan prizma bir yöne doğru taban düzlemi ile açısı yapacak kadar eğilirse eğik kare prizma elde edilir. Prizmanın yanal ayrıtlarına l dersek, Prizmanın yüksekliği h =l.sin olur. Eğik prizmanın yanal ayrıtlarına dik olacak şekilde oluşan kesitine dik kesit denir. Eğik kare prizmanın iki yan yüzeyi dikdörtgen, diğer iki yan yüzeyi ise paralelkenardır. Eğik kare prizmanın dik kesitinin bir kenarı taban kenarı a kadar, diğeri ise, ' a =a.sin kadardır.

10 Buradan; Dik Kesit Alanı = Taban Alanı x Sinα Dik kesit çevresi = a +a.sinα Eğik prizmaların yanal alanlarının toplamı Yanal alan= Dik kesit çevresi x Yanal Ayrıt bağıntısı ile bulunur. Alt ve üst tabanlar ilave edildiğinde tüm alan bulunmuş olur. Bütün prizmalarda olduğu gibi eğik prizmalarda da hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımı ile bulunur. Hacim = Taban Alanı x Yükseklik Ayrıca dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımı ile de hacim bulunabilir. Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt

11 . Eğik Silindir AA = BB = l Yanal ayrıtı l olan ve taban düzlemi ile α açısı yapan eğik silindirde yükseklik, h=l.sinα Dik Kesit Alanı=Taban Alanı x Sinα D.K.A= r.sin Eğik silindirin yan yüz alanı, dik kesit çevresi ile yanal ayrıtının çarpımıdır. Y.A= r.sin.l Bütün eğik prizmalarda olduğu gibi eğik silindir de de hacim, dik kesit alanı ile yanal ayrıtın çarpımına eşittir. Hacim = Taban Alanı x Yükseklik V= r.h r.l.sin SONUÇ: Hacim = Dik Kesit Alanı x Yanal Ayrıt Yanal Alan = Dik Kesit Çevresi x Yanal Ayrıt

12 PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin tepe noktasıdır. Kapalı bölge ise piramidin tabanıdır. Piramit; tabanı oluşturan şeklin ismiyle adlandırılır. Taban kare ise, kare piramit; taban altıgense altıgen piramit gibi. Eğer, piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. T noktasının taban düzlemi üzerindeki dik izdüşümüne H dersek [TH] piramidin yüksekliği olur. TH = h biçiminde yazılır. [TA], [TB], [TC] piramidin yanal ayrıtlarıdır. Piramitlerin hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri kadardır. V T.Axh

13 1.Kare Piramit Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur. İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir. PH = h piramidin yüksekliğidir. Yan yüz yüksekliği PK =k dır. Tabanının bir kenarı a ise, Yan yüz yüksekliği; PHK dik üçgeninden PK = PH + HK dır. a k h olur. Taban Alan Yükseklik Hacim a.h V Tüm alan yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.

14 . Eşkenar Üçgen Piramit Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir. Tabanı eşkenar üçgen olduğundan, a. Taban Alan= dür. Dolayısı ile Eşkenar üçgenin Hacmi a..h V= olur. Tüm alan, yan yüz alanları ile taban alanının toplamına eşittir.

15 .Düzgün Dörtyüzlü Dört yüzü de eşkenar üçgenlerden oluşan cisimdir. Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner. Bir ayrıtı a olan düzgün dörtyüzlünün Yan yüz yüksekliği k a a a k olur. cisim yüksekliği ( mavi dik üçgenden) a h k 6 a a h 6 a 6 h olur. Buradan Dügün dörtyüzlünün hacmi; 1 a a 6 V 4 a V olur. 1 Bütün yüzeyler eşkenar üçgen olduğu için toplam alan A= 4.a dır.

16 4. Düzgün Sekizyüzlü Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir. Bir ayrıtına a dersek yan yüz yüksekliği k a dir. Düzgün sekizyüzlünün ortak tabanlı iki piramit oldoğunu düşünürsek; 1 a V a dir. a V olur. Bütün yüzleri eşkanar üçgen olğuğu için düzgün sekizyüzlünün toplam alanı a A 8 dir. 4 A a olur. 5. Düzgün Altıgen Piramit Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir. Yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur. a Taban Alan 6 dir. 4 1 a Hacim V= h dir. 4

17 KESİK PİRAMİT Bir piramit tabana paralel bir düzlem ile kesilirse,tabanla düzlem arasında kalan piramit parçasına kesik piramit ve tepe noktası ie düzlem arasında kalan parçasına da küçük piramit denir. Küçük piramit başlangıçtaki büyük piramitin benzeridir. ' TA ' A 'B' h k TA AB h A(A 'B ' C 'D ') A(ABCD) V ' k V k Kesik piramitin hacmi V-V olur.ayrıca Taban alanı A, kesit alanı A olan bir kesik piramitin hacmi: h h' V V' (A A.A' A') olur. UYARI: Bİr piramit, eş yükskliklerde paralel düzlemlerle kesilmiş olsun.hacimler oranı benzerlik oranının küpü olduğundan elde edilen hacimler, v 7v, 19v,7v,61v,.. ile orantılıdır.

18 KONİ Tabanı daire biçiminde olan piramide koni adı verilir. Taban alanı, bir daire olduğu için Burada; Taban yarıçapı OB = r Cisim yüksekliği PO = h olur. PA = PB = l uzunluğuna ana doğru denir. POB dik üçgeninde, h + r = l bağıntısı vardır. Koninin yanal alanı bir daire dilimidir. daire diliminin merkez açısına dersek; Ana doğru ve taban yarıçap arasında, r = bağıntısı vardır, 60 l dir Daire diliminin alanı, yay uzunluğu ile yarıçapın çarpımının yarısıdır. Yay uzunluğu taban çevresine eşit olduğundan, Yanal alan Y.A= rl dir. Tüm alan bulunurken, taban alanı da ilave edilir. Tüm alan A= r rl olur. Konini hacmi ise taban alanı ile cisim yüksekliğinin çarpımının çarpımının 1/ ü dür. r h V= olur. T.A= r

19 Yükseklikleri ve taban yarıçapları eşit olan iki cismin hacimleri de birbirine eşittir. Üçgensel şekiller bir kenarı etrafında döndürüldüğünde koni elde edilir.şekildeki ABC dik üçgeninin AB kenarı etrafında döndürülmesi le BC yarıçaplı ve yüksekliği AB olan koni elde edilir.

20 KESİK KONİ Bir koni tabana paralel bir düzlemle kesildiğinde,tabanla düzlem arasında kalan parçasına kesik koni,teepe noktası ile düzlem arasında kalan parçasına da küçük koni adı verilir. ' ' TA ' A 'B ' r h k TA AB r h Konilerin taban alanları sırası ile A ve A olsun. A ' A V ' V k k ve, olur. Kesik koninin hacmi, V-V ile bulunur. Ayrıca, kesik koninin hacmi hesaplanabilir. h h' V V' (r r.r ' r ' ) formülü ile de

21 KÜRE Uzayda bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerine küre yüzeyi denir. Küre yüzeyinin sınırladığı cisme küre adı verilir. Sabit noktaya kürenin merkezi, merkezin küre yüzeyine uzaklığına da kürenin yarıçapı denir. O merkezli R yarıçaplı kürede; Alan A= 4 r 4 r Hacim V= tür 1. Küre Kuşağı Bir küre yüzeyinin paralel iki düzlem arasınada kalan bölümüne, küre kuşağı denir. Küre kuşağının alanı: Alan A= Rh. küre tabakası dir. Bir kürede, paralel iki düzlem ile küre kuşağının sınırladığı cisme küre tabakası denir. Küre tabakasının hacmi: 1 r V= h(r r h ) 6 dir.

22 . Küre Kapağı Bir küre merkezinden OP uzaklıkta bir düzlemle kesildiğinde kesit alanının daire şeklinde olduğu görülür. Kesilip çıkarılan kısma küre kapağı denir. Kesitin merkezinden uzaklığına OP, kesitin yarıçapına r ve kürenin yarıçapına R dersek Küre kapağının alanı: Alan A= Rh 4. Küre Dilimi dir. Kürenin AB çapından geçen İki yarım düzlem arasında kalan bölümüne, küre dilimi denir. Dilimin Alanı: Alan A= 4 R R 60 A= R 1 dır. 90 Dilimin Hacmi: 4 R Hacim V= R olur

23 5. Küre Parçası Küreyi kesen düzlemle, küre kapağı arasında kalan cisme, küre parçası denir. Küre parçasının Hacmi: 1 Hacim V= h (R-h) 6. Küre Kesmesi dır. Bir daire kesmesinin,kendisini kesmeyen bir çap etrafında dönmesinden elde edilen cisme, küre kesmesi denir. Yandaki şekil,obc diliminin AB etrafında 60 dönmesi ile elde edilmiştir.bu cisim; bir küre kapağı ve koni yüseyi tarafından sınırlandırılmıştır. Bu küre kesmesinin Hacmi: Hacim V= R h dır.