Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Matematik Başarılarını Açıklayan Bir Yapısal Eşitlik Modeli *

Transkript

1 Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice 14(4) Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. DOI: /estp Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Matematik Başarılarını Açıklayan Bir Yapısal Eşitlik Modeli * Eyüp YURT a Necmettin Erbakan Üniversitesi Ali Murat SÜNBÜL b Necmettin Erbakan Üniversitesi Öz Bu çalışmada ortaokul sekizinci sınıf öğrencilerinin matematiksel problem çözme ve akıl yürütme becerileri, matematik öz yeterlik kaynakları, uzamsal yetenekleri ve matematik başarıları arasındaki açıklayıcı ve yordayıcı ilişkilerin bir model üzerinde incelenmesi amaçlanmıştır. Tarama modeli ile gerçekleştirilen araştırmanın örneklemini Konya merkezinde farklı ortaokullarda öğrenim gören 470, 8. sınıf öğrencisi oluşturmaktadır. Yaşları aralığında değişen öğrencilerin 238 i kız (%50,6), 232 si erkektir (%49,4). Araştırmada öğrencilerin öz yeterliklerinin belirlenmesinde Matematikte Öz Yeterlik Kaynakları Ölçeği; problem çözme becerilerinin ölçülmesinde Problem Çözme Testi; akıl yürütme becerilerinin ölçülmesinde Akıl Yürütme Testi; uzamsal yeteneklerinin belirlenmesinde Zihinsel Çevirme ve Kâğıt Katlama Testleri; matematik başarılarının ölçülmesinde ise Matematik Başarı Testi kullanılmıştır. Araştırmada toplanan veriler yapısal eşitlik modellerinden biri olan Yapısal Regresyon Modeli ile analiz edilmiştir. Elde dilen sonuçlara göre, matematik başarısına doğrudan ve dolaylı etkileri bulunan matematik öz yeterlik kaynakları, uzamsal yetenek, problem çözme ve akıl yürütme becerileri matematik başarısındaki değişimin yaklaşık %75 ini açıklamaktadırlar. Bu değişkenler matematik başarısı üzerinde oldukça önemli bir etkiye sahiptir. Birbiri ile ilişkili olan bu değişkenlerin bir arada bulunduğu bir matematik öğretim programının geliştirilerek öz yeterliliği destekleyici etkinliklerle uygulanması, matematik başarısını önemli ölçüde artırabilir. Anahtar Kelimeler Akıl Yürütme Becerisi, Matematik Başarısı, Öz Yeterlik Kaynakları, Problem Çözme Becerisi, Uzamsal Yetenek, Yapısal Eşitlik Modellemesi. Olağanüstü ve çok hızlı değişimlerin yaşandığı günümüzde matematik bilmek ve matematiği anlamak oldukça önem kazanmıştır. Çünkü günlük hayatın temelleri artarak matematiksel bir hâl almaktadır. İnsanlar günlük hayatlarında alım satım, sigorta, seçme ve karşılaştırma gibi birçok şeye karar verirken matematiği bir araç olarak kullanmaktadırlar. Bireyler için matematiksel gereksinimler sürekli artarken, sağlıktan grafik tasarımına kadar birçok meslekte de bu duruma bağlı olarak matematiksel düşünebilme ve matematiksel becerilere sahip olma ihtiyacı hızla artmaktadır. Değişen dünyada matematiği anlayan ve kullanabilen bireyler geleceklerini şekillendirebilecek fırsat ve imkânları artırmada daha fazla söz sahibi olacaklardır (NCTM, 2000). Bu bağlamda matematiği anlamak, matematiksel * Bu çalışma ilk yazarın doktora tezinden üretilmiştir. a b Sorumlu Yazar: Dr. Eyüp YURT Eğitim Programları ve Öğretim alanında öğretim görevlisidir. Çalışma alanları arasında matematik başarısı, uzamsal yetenek, öz yeterlik kaynakları, matematiksel problem çözme ve akıl yürütme becerileri yer almaktadır. İletişim: Necmettin Erbakan Üniversitesi Ahmet Keleş Eğitim Fakültesi, Eğitim Bilimleri Bölümü, Meram, Konya. Elektronik posta: eyupyurt@gmail.com Dr. Ali Murat SÜNBÜL Eğitim Programları ve Öğretim alanında profesördür. İletişim: Necmettin Erbakan Üniversitesi Ahmet Keleş Eğitim Fakültesi, Eğitim Bilimleri Bölümü, Meram, Konya. Elektronik posta: asunbul@konya.edu.tr

2 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ becerilere sahip olmak, matematikte başarılı olmak daha da önem kazanmıştır. Başarı, okul ortamında belirli bir disiplinden veya akademik programdan bireyin ne ölçüde faydalandığının bir ölçüsü ya da göstergesi olarak tanımlanabilir (Özgüven, 2005, s. 74). Matematik başarısı ise, Matematik Öğretim Programı dikkate alınarak yapılan sınavlardan öğrencinin aldığı notların ya da puanların ortalaması olarak düşünülebilir. Başarıda olduğu gibi matematik başarısında da bireysel faktörler oldukça önemlidir (Akyüz, 2014; Peker, 2005; Usher, 2009). Bireysel faktörler nedeni ile her öğrenci aynı düzeyde başarı gösterememektedir (NCTM, 2000; Özgüven, 2005). Bu doğrultuda; öğrencilerin yetenekleri düzeyinde başarı gösterip göstermediklerini kontrol etmek, başarıyı etkileyen faktörleri araştırmak, öğretmenlere ve öğrencilere uygulamaya yönelik önerilerde bulunmak oldukça önemlidir. Literatürdeki araştırmalar incelendiğinde matematiği ve matematik başarısını etkileyen birçok faktörün bulunduğu görülmektedir. Matematiği ve matematik başarısını etkileyen başlıca faktörlerin; öz düzenleme stratejileri (Üredi ve Üredi, 2005), uzamsal yetenek (Battista, 1990; Casey, Pezaris ve Nuttall, 1992; Mohler, 2001), problem çözme becerisi (Alcı, Erden ve Baykal, 2010; Arsal, 2009; Günhan ve Başer, 2008; Özsoy, 2005), akıl yürütme becerisi (Ball ve Bass, 2003; Brodie, Coetzee ve Lauf, 2010; Kilpatrick, Swafford ve Findell, 2001; Umay, 2003), öğrenme stilleri (Peker, 2005; Şentürk ve İkikardeş, 2011), motivasyon (Fadlelmula, 2011; Üredi ve Üredi, 2005; Yıldırım, 2011), öz yeterlik (Alcı ve ark., 2010; Yıldırım, 2011), okul türü (Dursun ve Dede, 2004; Savaş, Taş ve Duru, 2010; Weissglass, 2002), aile gelir düzeyi (Savaş ve ark., 2010), ders çalışma süresi (Savaş ve ark., 2010), tutum ve ilgi (Demir ve Kılıç, 2010; Peker ve Mirasyedioğlu, 2003; Savaş ve ark., 2010), kaygı (Dursun ve Bindak, 2011) ve dershaneye gitme süresi (Savaş ve ark., 2010) olarak sıralanması mümkündür. Matematik başarısını etkileyen faktörler gruplanarak incelendiğinde bu faktörlerin; bilişsel, motivasyonel, ailevi ve sosyoekonomik kaynaklı olduğu anlaşılmaktadır. Bilişsel ve motivasyonel faktörlerin doğası gereği ailevi ve sosyoekonomik faktörlere göre daha esnek ve eğitim ile değiştirilebilir olduğu söylenebilir. Bu doğrultuda öğrencilerin matematik alanında bilişsel becerilerini ve motivasyon düzeylerini artırmak için birçok çalışma gerçekleştirilmiştir (Arsal, 2009; Koç ve Bulut, 2002; Küpçü, 2012; Mevarech ve Kramarski, 1997; Özsoy, 2007; Sulak, 2005). Bazı bilişsel faktörler matematiksel beceriler olarak da görülebilir. Literatürde tanımlanan matematiksel becerilerden hangilerinin daha önemli olduğunu belirlemek için ulusal ve uluslararası kurumların tanımlamış oldukları matematiksel becerilerin incelenmesi faydalı olacaktır. Ulusal Matematik Öğretmenleri Kurulu nun (NCTM, 2000, s ) hazırlamış olduğu standartlar kitabında; problem çözme, akıl yürütme, iletişim, ilişkilendirme ve görselleştirme becerilerinin sekizinci sınıf öğrencileri için temel standartlar içerisinde yer aldığı bilinmektedir. Milli Eğitim Bakanlığı (MEB, 2009) matematik öğretim programında, matematik alanına özgü becerileri Ulusal Matematik Öğretmenleri Kurulu na (NCTM, 2000) benzer şekilde; problem çözme, akıl yürütme, iletişim ve ilişkilendirme olarak sınıflamıştır. Problem çözme; çözüm yolu önceden bilinmeyen bir alıştırma ve sorun olarak tanımlanmıştır (MEB, 2009, s. 12). Matematiksel problemlerin alışagelmiş çözüm yolları olmayan birkaç farklı bilginin ve becerilerin birlikte kullanılmasını gerektirdiği ifade edilmiştir (MEB, 2009). Akıl yürütme becerisinin; matematik öğrenirken genellemeler ve çıkarımlar yapma, matematikteki ve matematik dışındaki çıkarımlarının doğruluğunu savunma, yaptığı çıkarımların, duygu ve düşüncelerinin geçerliliğini sorgulamayı kapsadığı ifade edilmiştir (MEB, 2009, s. 17). İletişim becerisinin; matematiksel sembolleri ve terimleri etkili ve doğru kullanma, matematiksel dili farklı disiplinlerde ve günlük yaşamda etkili kullanma, matematiksel kavramları ve durumları farklı temsil biçimlerinde kullanarak ifade etme, matematikle ilgili konuşulanları dinleme ve anlamayı gerektirdiği belirtilmiştir (MEB, 2009, s. 16). İlişkilendirme becerisinin ise; matematik öğrenirken ilişkilendirmeden yararlanma, matematikteki iç ilişkilendirmeleri yapma, matematikle diğer disiplinler ve günlük yaşam arasında ilişkilendirmeler yapma, matematiksel kavramların ve durumların farklı temsil biçimlerini ilişkilendirme ve farklı matematiksel temsil biçimleri arasında dönüşüm yapmayı gerektirdiği ifade edilmiştir (MEB, 2009, s. 20). NCTM nin (2000) matematik standartları ve MEB in (2009) matematik öğretim programı birlikte incelendiğinde, iletişim, ilişkilendirme ve görselleştirme becerilerinin problem çözme ve akıl yürütme süreçleri içerisinde kullanılan beceriler olduğu görülmektedir. Çünkü bir matematik problemin çözümü için gerekli denklem veya denklemleri oluştururken; uygun matematiksel sembollerin ve terminolojinin kullanılması, matematiksel kuralların, sembollerin, şekillerin ve işlemlerin bir anlam bütünlüğü içerisinde ele alınarak düzenlenmesi gerekmektedir. Benzer şekilde akıl yürütme sürecin- 1630

3 YURT, SÜNBÜL / Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Matematik Başarılarını Açıklayan Bir Yapısal Eşitlik Modeli de; teorem ve ispatları sorgularken matematiksel dilin kullanılması, elde edilen sonuçların görselleştirilerek bir anlam bütünlüğü içerisinde ele alınması gerekmektedir. Sonuç olarak problem çözme ve matematiksel akıl yürütme süreçlerinde iletişim, ilişkilendirme ve görselleştirme becerilerinin kullanıldığı açık bir şekilde görülmektedir. Ulusal Eğitimsel Gelişimi Değerlendirme Birimi (NAEP) (2002, s. 35), matematik becerilerini kavram anlama, işlem bilgisi ve problem çözme olmak üzere üçe ayırmıştır. Kavram anlama en basit anlamda bireyin sahip olduğu bilgi seviyesinin ölçüsü olarak tanımlanabilir. İşlem bilgisi ise öğrencinin bir işlemin nasıl gerçekleşeceği hakkındaki bilgisidir (NAEP, 2002, s. 37). Öğrenciler yeni karşılaştıkları durumlarda matematiksel bilgi birimlerini kullanarak problem çözerler. Problem çözme; (i) problemleri ayırt etme ve formülleştirme, (ii) verilerin yeterliği ve tutarlığı hakkında karar verme, (iii) matematik ile ilişkili stratejileri, verileri, modelleri kullanma, (iv) işlemleri üretme, genişletme ve yeniden üretme, (v) yeni matematiksel durumlarda uzamsal, tümdengelimsel, tümevarımsal, istatistiksel ve orantısal akıl yürütme yaklaşımlarını kullanma ve (vi) geliştirilen çözümleri doğruluk ve mantıksal tutarlılık açısından değerlendirme aşamalarını kapsamaktadır (NAEP, 2002, s. 39). NAEP e (2002, s. 37) göre kavram anlama ve işlem bilgisi becerileri; (i) bir problemin tanımlanmasına ve anlaşılmasına, (ii) problemi çözmek için bir planın hazırlanmasına, (iii) problem için bir sonuca varılmasına ve (iv) ulaşılan sonucun değerlendirilmesine esas teşkil etmektedir. Dolayısı ile problem çözme, kavram ve işlem bilgisi becerilerini kapsayan üst düzey bir matematiksel beceri olarak görülebilir. Uluslararası Matematik ve Fen Bilgisi Çalışması nın (TIMSS) yaptığı uluslararası sınavlarda sekizinci sınıf öğrencileri için üç adet bilişsel alan tanımlamıştır. Bu alanlar; bilme, uygulama ve akıl yürütmedir. TIMSS e (Mullis, Martin, Ruddock, O Sullivan ve Preuschoff, 2012) göre bilme, matematikte ustalığın veya matematiksel bir durum için akıl yürütmenin bir ön koşuludur. Bilme; hatırlamayı, fark etmeyi, işlem yapmayı, veri okumayı, uygun ölçme araçlarını seçmeyi ve sınıflama yapmayı içeren bir süreçtir. Uygulama, matematiksel araçların farklı durumlara uygulanabilmesi olarak görülebilir. Uygulama; seçim yapmayı, görsel olarak ifade etmeyi, model oluşturmayı, matematiksel yönergeleri uygulamayı ve rutin matematiksel problemleri çözmeyi ifade eder. Akıl yürütme ise, sistematik ve mantıklı düşünme kapasitesini olarak görülebilir. Akıl yürütme modeller ve örüntüler üzerinde gerçekleştirilen tümevarımsal ve tümdengelimsel akıl yürütme yöntemlerini kapsamaktadır. Özellikle akıl yürütme, öğrencilerin rutin olmayan problemler ile karşılaştırdıklarında kullandıkları bir problem çözme yaklaşımıdır. Yapılan tanımlar incelendiğinde bilişsel alan olarak akıl yürütme, bilme ve uygulama alanlarına göre daha üst düzey bir alandır ve bu alan bilme ve uygulama bilişsel alanlarını kapsamaktadır (Mullis ve ark., 2012, s ). NCTM (2000), NAEP (2002), TIMSS (akt., Mullis ve ark., 2012) ve MEB in (2009) matematik öğretim programlarında tanımlanan matematiksel beceriler incelendiğinde, problem çözme ve akıl yürütme becerilerinin ön plana çıktığı anlaşılmaktadır. Tanımlanan ve açıklanan diğer matematiksel beceriler problem çözme ve akıl yürütme becerilerinin doğru ve etkili bir şekilde kullanılmasında bir araç vazifesi görmektedir. Literatürdeki problem çözme ve akıl yürütme becerileri ile ilgili çalışmalar incelendiğinde bu beceriler arasında pozitif yönlü ilişkilerin bulunduğu anlaşılmaktadır (Barbey ve Barsalou, 2009; Çelik ve Özdemir, 2011; Çetin ve Ertekin, 2011; Umay, 2003). Her hangi bir matematiksel problemi çözmek ve aynı problemin çözümü için alternatif yollar üretmek muhakeme becerisi ile yakından ilişkilidir (Umay, 2003). Akıl yürütme yaklaşımlarından biri olan tümevarıma dayalı akıl yürütme yaklaşımı problem çözme sürecinde sıklıkla kullanılmaktadır (Barbey ve Barsalou, 2009). Bir diğer akıl yürütme yaklaşımlarından biri olan orantısal akıl yürütme becerisi ile problem kurma becerisi arasında anlamlı bir ilişki vardır ve orantısal akıl yürütme beceri düzeyi arttıkça oran-orantı problemi kurma oranı artmaktadır (Çelik ve Özdemir, 2001). Ayrıca, orantısal akıl yürütme becerisi ile denklem çözme başarısı arasında pozitif yönlü bir ilişki bulunmaktadır (Çetin ve Ertekin, 2011). Yapılan çalışmalar ve ilgili araştırmalar, problem çözme ve akıl yürütme becerilerinin birbiri ile ilişkili iki beceri olduğunu açık bir şekilde göstermektedir. English (2004), akıl yürütme yaklaşımlarından biri olan benzetime dayalı akıl yürütmenin problem çözmede kullanılması ile ilgili çalışmaların sayısının son dönemlerde önemli ölçüde arttığını belirtmiştir. Bu çalışmalarda, akıl yürütme yapanın, daha önce çözdüğü problem (kaynak) ile yeni karşılaştığı problemin (hedef) ilişkisel yapıları arasındaki benzerliği algılaması üzerinde durulmaktadır. Akıl yürütme yapanın kullandığı bu yöntem, iki problem arasında yapısal hizalama veya haritalama olarak adlandırılmıştır. Leighton ve Sternberg e (2004) göre akıl yürütme, en genel anlamı ile bir sonuca 1631

4 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ varma veya bir sonuç çıkarma süreci olarak tanımlanabilir. Sonuca varma veya sonuç çıkarma süreçleri problem çözme ve karar verme işlemlerinin temel birer ögesidir (Leighton ve Sternberg, 2004). Ayrıca, akıl yürütmenin problem çözme sürecinde aracı bir rolü vardır. Bir aracı olarak akıl yürütme, sahnenin arkasında çalışır, fikirleri ve önermeleri koordine eder (Leighton ve Sternberg, 2004). Problem çözme ve akıl yürütme becerileri ile ilişkili olan ve matematik başarısı üzerinde önemli etkilere sahip olan bir başka değişken, uzamsal düşünme yeteneğidir. French (1951) uzamsal yeteneği, üç boyutlu uzayda nesnelerin hareketlerini canlandırarak nesneleri kavrama veya nesneleri zihinsel olarak hareket ettirebilme yeteneği olarak tanımlamıştır (s. 21 den akt., McGee, 1979). Guilford ve Zimmerman (1947) uzamsal yeteneği, nesne veya nesneleri zihinsel olarak hareket ettirme, çevirme, bükme veya döndürme yeteneği olarak tanımlamışlardır. Ayrıca bu yeteneğin farklı yönlerde döndürülmüş nesnelerin yeni görünümlerini veya pozisyonlarını algılayabilmeyi de gerektirdiği belirtilmişlerdir (s. 8 den akt., Thompson, 1987). Tartre (1990, s. 216) ise uzamsal yeteneği, ilişkileri görsel olarak anlamayı, değiştirebilmeyi, kullanabilmeyi, yeniden düzenlemeyi ve ifade etmeyi içeren bir zihinsel yetenek olarak tanımlamıştır. Linn ve Petersen e göre (1985, s ) uzamsal yetenek; temsil etme, dönüştürme, geliştirme, üretme, simgesel ve sözel olamayan bilgileri hatırlama alanlarında yetenekli olmayı gerektirir. Yapılan tanımlar dikkate alındığında genel olarak uzamsal yeteneğin, görsel şekillerin iki ve üç boyutlu uzayda zihinde manipüle edilebilmesini gerektiren bir yetenek olduğu anlaşılmaktadır. Yapılan çalışmalar uzamsal yeteneğin öğrencilerin matematik başarısı, akıl yürütme ve problem çözme becerileri ile ilişkili olduğunu göstermiştir (Battista, 1990; Bishop, 1980 den akt., Tartre, 1990; Booth ve Thomas, 1999; Delialioğlu ve Aşkar, 1999; Fennema ve Sherman, 1977; Fennema ve Tartre, 1985; Guay ve McDaniel, 1977; Hegarty ve Kozhevnikov, 1999; Kayhan, 2005; Markey, 2009; McGee, 1979; Smith, 1964; Van Garderen ve Montague, 2003; Wheatley ve Wheatley, 1979). Bu çalışmalarda uzamsal yeteneğin matematik öğretiminde temel bir beceri olduğu vurgulanmıştır. Örneğin Arcavi ye (2003, s. 235) göre uzamsal yeteneğin bir bileşeni olan görselleştirme becerisi, matematiksel akıl yürütme, problem çözme ve kanıtlama becerilerinin temel bir ögesidir. Bazı araştırmalarda uzamsal yetenek bileşenlerinin mantıklı düşünme ve akıl yürütme becerileri üzerinde önemli etkilere sahip olduğu da vurgulanmıştır (Battista, 1990; Wheatley ve Wheatley, 1979). Ayrıca Uzamsal düşünme yeteneğinin matematiksel ve bilimsel düşünmede önemli bir rol oynadığı da söylenebilir (Kayhan, 2005; Van Garderen ve Montague, 2003; Wheatley, 1998). Örneğin, mantıksal düşünme yeteneği ile uzamsal düşünme yeteneği arasında pozitif yönlü bir ilişki bulunmaktadır (Kayhan, 2005). Ayrıca, yüksek uzamsal yeteneğe sahip öğrencilerin daha yüksek mantıksal düşünme becerisine sahip olduğu anlaşılmıştır (Tai, 2003, s. 12 den akt., Kayhan, 2005). Alan yazında öğrencilerin akademik aktivitelerini ve öğrenmelerini etkileyen motivasyonel faktörleri ele alan çalışmalar incelendiğinde, öz yeterlik inancının ön plana çıktığı görülebilir (Bandura, 1997; Haşlaman ve Aşkar, 2007; Phan, 2012; Schommer Aikins, Duell ve Hutter, 2005; Schunk, 2011). Bunun en önemli nedenlerinden biri, öğrenme ile ilişkili diğer motivasyonel kavramlara göre öz yeterlik inancının öğrenenlerin performanslarını daha fazla yordamasıdır (Bong ve Clark, 1999; Bong ve Skaalvik, 2003; Ferla, Valcke ve Cai, 2009). En yalın anlamıyla öz yeterlik, kişinin öğrenme düzeyini ve davranışlarını hedeflediği seviyeye ulaştırmak için kendi kapasitesine olan inancı olarak tanımlanabilir (Bandura, 1997). Öz yeterlik, kişinin kendini gerçekleştirmesinde oldukça önemli bir role sahiptir (Bandura, 1997). Öz yeterlik kişinin ne yapmak istediğini bilmesinden çok neyi yapmaya yeterli olduğunu bilmesidir (Senemoğlu, 2007). Öz yeterlik inancı bir bireyin; etkinlik seçimleri, çaba ve azmi, sabır ve sebatı, öğrenme ve başarısı hakkında önemli ipuçları vermektedir (Bandura, 1997; Schunk ve Pajares, 2009). Öz yeterlik, bireylerin üretkenlik yetileri üzerinde de önemli bir etkiye sahiptir (Bandura, 1997). Benzer becerilere sahip farklı bireylerin veya farklı koşullar altında bulunan benzer becerilere sahip bireylerin, öz yeterlik inançlarına bağlı olarak ortaya koydukları performansları farklılık gösterebilmektedir (Bandura, 1997; Usher, 2009). Bandura (1997) bireylerin öz yeterliklerinin faklı dört kaynaktan beslenerek geliştiğini belirtmiştir. Bu kaynaklar; kişisel deneyimler, dolaylı yaşantılar, sosyal iknalar, psikolojik ve duyuşsal durumlar olarak adlandırılmıştır. Bandura nın öz yeterlik kavramını açıklamasından sonra, eğitim araştırmacılarının yaptığı çalışmalarda öz yeterlik inancının her düzeydeki akademik yaşantıda etkili olduğunu gözlenmiş ve öz yeterlik inancının her tip başarılı davranışın önemli bir unsuru olduğu görülmüştür (Schunk, 2011). Yani her başarılı davranışın arkasında o davranışı yerine getirebilecek öz yeterlik inancının bulunduğu 1632

5 YURT, SÜNBÜL / Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Matematik Başarılarını Açıklayan Bir Yapısal Eşitlik Modeli belirtilmiştir. Bu açıklamalardan sonra yapılan çalışmalar, öz yeterlik inancının farklı akademik görevlerin performans sonuçları için bir belirleyicisi ve arabulucusu olduğunu ortaya koymuştur (Bandura, 1997; Chen, 2003; Fadlelmula, 2011; Pajares ve Kranzler, 1995; Zimmerman, Bandura ve Martinez-Pons, 1992). Ayrıca öz yeterlik inancının akademik başarıyı artırdığı pek çok çalışmada ortaya çıkmıştır (Bandura, 1997; Pajares, 1997; Schunk, 2011). Örneğin Schunk (2011, s. 148) art arda yürütmüş olduğu deneysel çalışmaları sonucunda, öz yeterlik inancı yüksek olan öğrencilerin öz yeterlik inancı düşük olan öğrencilere göre, farklı akademik görevleri daha başarılı bir şekilde yerine getirdiklerini ortaya koymuştur. İlgili kuramsal temel ve araştırmalar ışığında, yukarıda açıklanan ve birbiri ile ilişkisi bulunan uzamsal düşünme, problem çözme, akıl yürütme becerilerinin bireylere kazandırılmasında ve farklı akademik görevler içerisinde bu becerilerin etkili bir şekilde kullanılmasında, öz yeterlik inancının önemli bir etkisinin bulunduğu söylenebilir. Çalışmanın Amacı ve Önemi Ülkemizde sekizinci sınıf öğrencilerinin de katıldığı TIMSS uluslararası sınav sonuçları, Türk öğrencilerin matematik başarılarının uluslararası ortalamanın altında kaldığını göstermiştir (Mullis, Martin, Robitaille ve Foy, 2009; Mullis ve ark., 2012). Bu durum, matematik başarısına etki eden bilişsel ve motivasyonel değişkenleri araştırmaların odak noktası hâline getirmiştir (Akyüz, 2014; Bilican, Demirtaşlı ve Kilmen, 2011; Uzun, Bütüner ve Yiğit, 2010; Yıldırım ve Yıldırım, 2009; Yıldırım, Çıkrıkçı ve Akbaş, 2012). Diğer yandan yapılan çalışmalar incelendiğinde, matematik başarısına etki eden bilişsel ve motivasyonel değişkenlerin çoğunlukla ayrı ayrı ve daha çok ikili ilişkiler şeklinde ele alınarak incelendiği anlaşılmaktadır (Arslan, 2012, 2013; Booth ve Thomas, 1999; Çetin ve Ertekin, 2011; Delialioğlu ve Aşkar, 1999; Kayhan, 2005; Markey, 2009; Montague, 2003; Tartre, 1990; Üredi ve Üredi, 2005). Matematik başarısına etki eden bilişsel ve motivasyonel değişkenlerin bir arada incelendiği çalışmaların sayısı oldukça azdır (Alcı ve ark., 2010; Başaran, 2011; Fadlelmula, 2011; Kalender, 2010). Bu çalışma ile matematik başarısına etki eden matematiksel becerilerin ve matematik öz yeterlik kaynaklarının birlikte bir model üzerinde incelenmesi amaçlanmıştır. Bu amaç doğrultusunda matematik dersi ile ilgili bazı bilişsel beceriler ve motivasyonel kavramlar bir araya getirilerek bu kavramlar arasındaki doğrudan ve dolaylı ilişkileri açıklayan bir yapısal eşitlik modeli oluşturulmuştur. Bu sayede, öğrencilerin problem çözme, akıl yürütme, uzamsal yetenekleri, matematik öz yeterlik inançları ile matematik başarıları arasındaki doğrudan ve dolaylı ilişkiler incelenebilecektir. Son yıllarda öz yeterlik kavramı, öz benlik ve öz saygı kavramlarına oranla öğrenme ve motivasyon kuramlarında daha fazla yer almaktadır (Şahin, 2013). Bunun en önemli nedenlerinden biri, öğrenme ile ilişkili diğer kavramlara göre öz yeterlik inancının öğrenenlerin performanslarını daha fazla yordamasıdır (Bong ve Clark, 1999; Bong ve Skaalvik, 2003; Ferla ve ark., 2009). Alan yazında öz yeterlik inancı ile ilgili yapılan çalışmaların lise ve üniversite öğrencileri üzerinde yoğunlaştığı belirtilmektedir (Usher, 2009). Arslan (2012), ülkemizde öz yeterlik inancı ile ilgili yapılan çalışmaların büyük bir bölümünün öğretmenlerin ve öğretmen adaylarının üzerinde yürütüldüğünü belirtmiştir. Ülkemizde ortaokul öğrencileri ile gerçekleştirilen çalışmaların sayısı oldukça azdır (Arslan, 2012, 2013; Çetin, 2009; Özyürek, 2005). Bu çalışmalarda ise ortaokul öğrencilerinin öz yeterlik inancı; öğrencilerin demografik bilgileri (Arslan, 2013; Çetin, 2009), öğrenme ve performansla ilgili öz yeterlik inançları (Arslan, 2012) ve matematik öz yeterlik inançları (Özyürek, 2005) ile ilişki incelenmiştir. Yapılan bu çalışmalarda ise öz yeterlik inancının matematiksel problem çözme ve muhakeme becerileri, uzamsal yetenek ve matematik başarısı ile ilişkisi bir model üzerinde incelenecektir. Bu sayede öz yeterlik inancının matematik performansı ve farklı matematiksel beceriler üzerindeki etkileri birlikte görülebilecektir. Ayrıca, ortaokul yıllarının öğrencilerin matematik ve fen başarıları için kritik bir dönem olduğu bilinmektedir (Reynolds, 1991). Bu doğrultuda elde edilen bulgular, matematik başarısına etki eden bilişsel ve motivasyonel değişkenlerin bir bütün olarak anlaşılmasında öğretmen ve araştırmacılara yardımcı olacaktır. Ayrıca bu araştırmanın sonuçları öğrencilerinin matematik başarısını artırmak için yapılacak çalışmalara ışık tutacaktır. Özellikle elde edilen bulgular, öğrencilerin matematik öz yeterliklerinin artırılmasında ve matematiksel becerilerinin geliştirilmesinde hem teorik hem de pratik bilgiler sunacaktır. Yöntem Araştırmanın Modeli Bu araştırmada, sekizinci sınıf öğrencilerinin matematik öz yeterlik kaynakları, uzamsal yetenekle- 1633

6 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ ri, matematik başarıları, matematiksel problem çözme ve akıl yürütme becerileri arasındaki ilişkilerin varlığını ve derecesini belirlemek için ilişkisel tarama modeli kullanılmıştır. İlişkisel tarama modelleri, iki ya da daha çok sayıdaki değişken arasındaki değişimin varlığını ve derecesini ölçmeyi amaçlayan modellerdir (Karasar, 2008, s. 81). İşlem İlgili kuramsal temel ve araştırmalar ışığında, yukarıda açıklanan ve birbiri ile ilişkisi bulunan bilişsel ve motivasyonel kavramlar arasındaki doğrudan ve dolaylı ilişkileri incelemek için Şekil 1 deki model geliştirilmiştir. Modelde matematik öz yeterlik kaynakları uzamsal düşünme yeteneği, akıl yürütme, problem çözme becerileri ve matematik başarısı ile doğrudan ilişkilidir. Ayrıca matematik öz yeterlik kaynaklarının uzamsal yetenek, akıl yürütme ve problem çözme becerileri üzerinden, matematik başarısına dolaylı bir etkisi söz konusudur. Modelde aracı değişken olarak yer alan matematiksel akıl yürütme becerisinin matematik başarısına hem doğrudan hem de problem çözme becerisi ve uzamsal yetenek üzerinden dolaylı bir etkisi bulunmaktadır. Benzer şekilde uzamsal yeteneğin matematik başarısına hem doğrudan hem de problem çözme becerisi üzerinden dolaylı bir etkisi bulunmaktadır. Son olarak modelde problem çözme becerisinin matematik başarısına doğrudan bir etkisinin bulunduğu görülmektedir. Araştırmada ayrıca her bir yapısal eşitlik için etki büyüklüğü değerleri hesaplanacaktır. Şekil 1 Matematik Başarısını Açıklayan Yapısal Eşitlik Modeli Evren ve Örneklem Araştırmanın evrenini Konya merkezinde bulunan farklı ortaokullarda öğrenim gören 8. sınıf öğrencileri oluşturmaktadır. Bu öğrencilerin devam ettikleri okulların SBS puan ortalaması 195 ile 465 puan aralığında değişmektedir. Araştırmanın örneklemi tabakalı örnekleme yöntemi ile seçilmiştir. Buna göre, okulların SBS puan ortalaması dikkate alınarak evren üç tabakaya ayrılmıştır. Birinci tabakayı SBS puan ortalaması 350 puan ve üstü olan okullar (n=35, %18), ikinci tabakayı SBS puan ortalaması puan arası olan okullar (n=118, %58) ve üçüncü tabakayı ise SBS puan ortalaması 290 puan ve altı olan okullar (n=49, %24) oluşturmuştur. Tabakalarda bulunan okulların sayısının birbirine oranı dikkate alınarak; birinci tabakadan bir okul, ikinci tabakadan üç okul ve üçüncü tabakandan bir okul olmak üzere toplam 5 okul rastgele seçilmiştir. Daha sonra, seçilen okullardan üçer sınıf rastgele Tablo 1 Araştırmanın Örnekleminde Yer Alan Öğrencilerin Demografik Bilgileri Okullar SBS Ortalaması A Okulu 410 B Okulu 344 C Okulu 350 D Okulu 371 E Okulu 290 Toplam Cinsiyet Sınıftan Katılan Öğrenci Sınıflar Kız Erkek Sayısı A Okuldan Katılan Öğrenci Sayısı Yüzde (%) B C A B C A B C A B C A B C sınıf 238 (%50,6) 232 (%49,4)

7 YURT, SÜNBÜL / Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Matematik Başarılarını Açıklayan Bir Yapısal Eşitlik Modeli seçilerek araştırmanın örneklemi oluşturulmuştur. Son durumda araştırmanın örnekleminde 470 sekizinci sınıf öğrencisi yer almaktadır. Yaşları aralığında değişen öğrencilerin 238 i kız (%50,6), 232 si erkektir (%49,4). Örneklemde yer alan öğrencilerin demografik bilgileri Tablo 1 de özetlenmiştir. Veri Toplama Araçları Araştırmada ortaokul 8 sınıf öğrencilerinin; (i) matematiksel akıl yürütme becerilerini ölçmek için açık uçlu Akıl Yürütme Testi, (ii) uzamsal yeteneklerini belirlemek için Zihinsel Çevirme ve Uzamsal Görselleştirme Testleri, (iii) problem çözme becerilerini ölçmek için açık uçlu Problem Çözme Testi, (iv) Matematik öz yeterlik inançlarını belirlemek için Matematikte Öz Yeterlik Kaynakları Ölçeği ve (v) başarılarını ölçmek için Matematik Başarı Testi kullanılmıştır. Matematik Başarı Testi: Araştırmada öğrencilerin matematik başarılarını ölçmek için araştırmacı tarafından geliştirilen Matematik Başarı Testi kullanılmıştır. Matematik Başarı Testi sekizinci sınıf öğrencilerinin bir dönemde görmüş oldukları konuları kapsamaktadır. Matematik Başarı Testi nin kapsam geçerliğinin sağlanmasında son iki yılda yapılan SBS sınavlarındaki soru dağılımı dikkate alınmış ve uzaman görüşüne başvurulmuştur. Matematik Başarı Testi; sayılar (3 soru), olasılık ve istatistik (4 soru), geometri (5 soru) ve cebir (4 soru) öğrenme alanlarını kapsayan 16 sorudan oluşmaktadır. Başarı Testi nin madde analizi çalışması 145 (%54 kız, %46 erkek) 8. sınıf öğrencisiyle gerçekleştirilmiştir. Matematik Başarı Testi nin ayırt edicilik katsayısı 0.36, güçlük katsayısı ise 0.46 olarak hesaplanmıştır. Testin KR-20 güvenirlik katsayısı 0.89 (n=145) olarak bulunmuştur. Matematik testinde yanlış yapılan ve boş bırakılan her bir soru 0; doğru yapılan her bir soru ise 1 puan olarak değerlendirilmektedir. Problem Çözme Testi: Araştırmada problem çözme becerisini ölçmek için sayılar, ölçme, geometri, örüntü, cebir, istatistik ve olasılık öğrenme alanlarını kapsayan 14 açık uçlu soru geliştirilmiştir (EK 1). Testte yer alan her bir soruda ilgili yönergeler ile öğrencilerin problemi kendi cümleleri ile ifade etmeleri, problemin çözümü için plan yapmaları, yaptıkları planı uygulamaları ve ulaştıkları sonucu kontrol etmeleri istenmiştir. Cevapların değerlendirilmesinde Polya nın (1957) tanımladığı problem çözme basamakları dikkate alınmış ve her bir soru 0-4 aralığında değişen değerlerle puanlanmıştır. Cevapların değerlendirilmesinde kullanılan dereceli puanlama anahtarı Tablo 2 de gösterilmiştir. Testtin geçerliğinin sağlanmasında uzman görüşü alınmış ayrıca Doğrulayıcı Faktör Analizi (DFA) gerçekleştirilmiştir. DFA sonucunda madde yükü 0.32 nin altında bulunan iki madde testten çıkarılmıştır (χ 2 =106.61; p < 0,001; χ 2 /Sd= 2,18; CFI=0.95; RMSEA=0.06; SRMR=0.05). 12 sorudan oluşan nihai testtin Cronbach Alpha güvenirlik katsayısı 0.75 (n=240) olarak hesaplanmıştır. Testtin uygulama süresi bir ders saatidir (40 dk.). Tablo 2 Problem Çözme Testi Dereceli Puanlama Anahtarı Ölçütler Puan Problemi tanımlama - Problemi kendi ifadesi ile yazma 1 - Bilinenleri ve bilinmeyenleri eksiksiz yazma Plan yapma - Problemin çözümü için uygun matematiksel cümleyi yazma 1 - Probleme uygun görselleştirmeler (şekil, şema, tablo vb.) oluşturma Planı uygulama - Kurulan denklemi hatasız çözme 1 - Görselleştirmeleri doğru yorumlama Kontrol - Farklı çözüm yolları ile sonucun sağlamasını yapma 1 - Ulaşılan sonucun doğru olup olmadığını nedeniyle yazma Toplam 4 Akıl Yürütme Testi: Matematiksel akıl yürütme becerisini ölçmek için Yeşildere (2006) tarafından geliştirilen Matematiksel Güç Ölçeği nin Matematiksel Akıl Yürütme alt testi kullanılmıştır. Yeşildere, Matematiksel Güç Ölçeği nin geliştirilmesinde NAEP (2002) tarafından belirlenen matematiksel güce yönelik temel yapıyı dikkate almıştır. Bu doğrultuda 8. sınıf öğrencilerinin akıl yürütme becerilerini ölçmek için açık uçlu 10 soru geliştirmiştir (EK 2). Açık uçlu problemlere verilen cevaplar, Tablo 3 te yer alan derecelendirilmiş puanlama anahtarı ile 0-4 aralığında değişen değerlerle puanlanmaktadır. Ayrıca bu araştırmada Akıl Yürütme Testi nin geçerliğinin sağlanmasında DFA kullanılmıştır. DFA sonucunda madde yükü 0.32 nin altında bulunan bir madde testten çıkarılmıştır (χ 2 = 44.78; p < 0.01; χ 2 /Sd= 1.95; CFI=0.96; RMSEA=0.06; SRMR=0.05). Dokuz sorudan oluşan nihai testtin Cronbach Alpha güvenirlik katsayısı 0.76 (n=240) olarak hesaplanmıştır. 1635

8 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Tablo 3 Problem Çözme Testi Dereceli Puanlama Anahtarı Ölçütler Problemi çözme şekli ve açıklaması doğru, düşüncelerini doğru matematiksel gösterim ve sembollerle ifade eden, muhakeme biçimini net olarak 4 ifade eden ve tam bir anlama içeresinde olduğunu belirten cevaplara verilmiştir. Problemi çözme sekli ve açıklaması birkaç küçük hata veya belirsizlik dışında doğru olan, düşüncelerini doğru matematiksel gösterim ve sembollerle ifade eden, muhakeme biçimini ifade eden 3 ve tam bir anlama içeresinde olduğunu belirten cevaplara verilmiştir. Problemi çözme sekli ve açıklaması problemin biraz anlaşıldığını gösterse de çözüme yönelik açıklamaları bazı yönlerden yetersiz bilgiye sahip 2 olduğuna işaret eden cevaplara verilmiştir. Problemi çözme şekli ve açıklaması, konu ile ilgili sınırlı bilgiye sahip olduğunu gösteren cevaplara 1 verilmiştir. Problemi yanlış çözen veya yanıtsız bırakılan cevaplara verilmiştir. 0 Puan Matematikte Öz Yeterlik Kaynakları Ölçeği: Araştırmaya katılan öğrencilerin matematik öz yeterlik kaynaklarını belirlemek için Usher ve Pajares (2009) tarafından geliştirilen, Yurt ve Sünbül (2013) tarafından Türkçeye uyarlanan Matematikte Öz Yeterlik Kaynakları Ölçeği kullanılmıştır. 24 maddeden oluşan ölçekte, Kişisel Deneyimler (6 madde), Dolaylı Yaşantılar (6 madde), Sosyal İknalar (6 madde) ve Psikolojik Durumlar (6 madde) olmak üzere dört boyut bulunmaktadır. Ölçekte her bir madde 1 ile 100 arası değerlerle puanlanmaktadır. Bir ve bire yakın düşük puanlar maddelere katılım derecesinin düşük olduğunu, yüz ve yüze yakın yüksek puanlar ise maddelere katılım derecesinin yüksek olduğunu işaret etmektedir. Ölçeğin geçerliğini test etmek için 520 öğrenciyle (%48 kız, %52 erkek; %34 ü 6. sınıf, %32 si 7. sınıf ve %34 ü 8. sınıf) AFA (n=266) ve DFA (n=254) gerçekleştirilmiştir. AFA sonucuna göre ölçek orijinalinde olduğu gibi dört faktörden oluşmaktadır ve bu faktörler toplam varyansın yaklaşık %70 ini açıklamaktadır. DFA sonucunda ise dört faktörlü modelin kabul edilebilir düzeyde uyum değerlerine sahip olduğu anlaşılmıştır (χ 2 = 488,15; p < 0.001; χ 2 /Sd= 2.10; CFI =.95, RMSEA = 0.07, SRMR = 0.07). Ölçeğin geneline ve boyutlarına ilişkin hesaplanan Cronbach Alpha güvenirlik katsayıları 0.80 ile 0.94 arasında değişen değerler almaktadır. Uzamsal Yetenek Testleri: Bu araştırmada Olkun un (2003) yapmış olduğu uzamsal yetenek bileşenleri tanımı temel alınmıştır. Olkun, uzamsal ilişkiler ve uzamsal görselleştirme becerilerinin uzamsal yeteneği oluşturan temel iki bileşen olduğunu belirtmiştir. Uzamsal görselleştirme becerisinin ölçülmesinde Kâğıt Katlama (Ekstrom, French, Harman ve Dermen, 1976) ve uzamsal ilişkiler becerisinin ölçülmesinde Zihinsel Çevirme (Vandenberg ve Kuse, 1978) testleri kullanılabilmektedir. Kâğıt Katlama Testi nde 20 soru bulunmaktadır. Testte yer alan her bir sorunun niteliği aynıdır. Testteki her bir soruda kâğıt önce katlanmakta, sonra delinmekte ve son olarak açılmaktadır. Her bir soruda farklı şekillerde katlanıp farklı yerlerinden delinen kâğıtların, açıldıklarında deliklerin nerede belireceği bulunmalıdır. Testtin puanlanmasında, verilen her bir doğru cevap için 1; yanlış ve boş bırakılan her bir cevap için ise 0 puan verilmektedir. Zihinsel Çevirme Testi nde ise 24 soru yer almaktadır. Testte yer alan her bir sorunun niteliği aynıdır. Zihinsel Çevirme Testi nde yer alan her bir soru verilen üç boyutlu şekillerin farklı görünümlerini zihinde manipüle edebilmeyi gerektirmektedir. Öğrencilerden testteki her soruda üç boyutlu bir şeklin verilen dört şekil arasından kendisi ile aynı fakat farklı görünümleri olan doğru iki şekli bulmaları istenmektedir. Test puanlanırken; bulunan her iki doğru şekil için 1, bulunan bir doğru şekil veya yanlış şekiller için ise 0 puan verilmektedir. Kâğıt Katlama ve Zihinsel Çevirme Testleri aynı zamanda birer hız testidir. Kâğıt Katlama Testi nin uygulama süresi 6 dakika, Zihinsel Çevirme Testi nin uygulama süresi ise 16 dakika sürmektedir. Araşa b Şekil 2 Zihinsel Çevirme (a) ve Kâğıt Katlama (b) Testleri Örnek Soruları (Olkun, 2003, s. 10) 1636

9 YURT, SÜNBÜL / Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Matematik Başarılarını Açıklayan Bir Yapısal Eşitlik Modeli tırmada, Cronbach Alpha güvenirlik katsayısı Kağıt Katlama Testi için 0.75 (n=70); Zihinsel Çevirme Testi için ise 0.72 (n=70) olarak hesaplanmıştır. Kâğıt Katlama ve Zihinsel Çevirme Testleri ile ilgili örnek sorular Şekil 2 de yer almaktadır. Veri Toplama Süreci Araştırma verileri bahar dönemi süresince toplanmıştır. Bu doğrultuda araştırmada kullanılan ölçme araçlarının hazırlanmasına güz döneminde başlanmıştır. Ölçme araçlarının geçerlik ve güvenirlik çalışmaları, araştırmanın yapılacağı öğrencilerin özelliklerine benzer bir grup ile gerçekleştirilmiştir. Araştırmada kullanılan ölçme araçlarının geçerlik ve güvenirlik çalışmalarını gerçekleştirmek ve araştırma verilerini toplamak için uygun okullar seçilmiş ve Konya Milli Eğitim Müdürlüğü nden belirlenen okullarda çalışma yapmak için araştırma izni alınmıştır. Araştırma izni alındıktan sonra çalışmanın yapılacağı okulların her biri ile görüşülerek veri toplama süreci adım adım planlanmıştır. Veri toplama süreci araştırmacı tarafından yürütülmüştür. Veri toplama sürecinde ölçme araçlarının uygulama sırası Tablo 4 te yer almaktadır. Tablo 4 Veri Toplama Araçları ve Uygulama Süreci Veri Toplama Araçları Oturum Sırası ve Süresi Matematiksel Problem Çözme Testi Matematiksel Akıl yürütme Testi Kâğıt Katlama Testi Zihinsel Çevirme Testi Matematik Başarı Testi Matematikte Öz Yeterlik Kaynakları Ölçeği Birinci Oturum / Bir Ders Saati İkinci Oturum / Bir Ders Saati Üçüncü Oturum / Bir Ders Saati Dördüncü Oturum / Bir Ders Saati Verilerin Analizi Araştırmada toplanan veriler yapısal eşitlik modellerinden biri olan yapısal regresyon (YR) modeli ile analiz edilmiştir. Yapısal regresyon modeli Doğrulayıcı Faktör Analizi (DFA) ve Yol Analizi (YA) modellerinin bir sentezidir. YA modellerinde olduğu gibi YR modelleri de doğrudan ve dolaylı etkilerin test edilmesine imkân tanımaktadır. YR modelleri YA modellerinden farklı olarak gizil değişkenler içermektedir. Yani YR modelleri DFA modellerinde olduğu gibi, faktörlerin altında tanımlanmış gözlenen değişkenleri de temsil etmektedir. Dolayısı ile YR modelleri, bir model üzerinde hem yapısal hem de ilişkisel ölçümlerin test edilebilmesine imkân sağlayarak araştırmacılara büyük kolaylık sağlamaktadır (Kline, 2011, s. 218). Bu çalışmada matematik öz yeterlik kaynakları, matematiksel problem çözme ve akıl yürütme becerileri, zihinsel çevirme ve uzamsal görselleştirme yetenekleri ve matematik başarısı arasındaki ilişkileri incelemek ve bu değişkenler arasındaki doğrudan ve dolaylı etkileri belirlemek için yapısal regresyon modeli kullanılmıştır. Model AMOS programında maksimum olabilirlik tekniği ile analiz edilmiştir. Şekil 3 te, test edilen yapısal regresyon modeli gösterilmiştir. Matematik Öz Yeterlik Kaynakları dışsal (eksojen); Uzamsal Yetenek, Matematiksel Problem Çözme ve Akıl yürütme Becerileri ise içsel (endojen) değişken olarak modelde yer almaktadır. Matematik Öz Yeterlik Kaynakları; Temel Yeterlikler, Dolaylı Yaşantılar, Sözel İknalar ve Fizyolojik Durumlar boyutlarından; Uzamsal Yetenek ise, Uzamsal Görselleştirme ve Uzamsal İlişki bileşenlerinden oluşmaktadır. Modelde son değişken olan Matematik Başarısı ise; Sayılar, Olasılık, Geometri ve Cebir öğrenme alanlarını kapsamaktadır. Araştırmada aynı zamanda etki büyüklüğü de hesaplanmıştır. Etki büyüklüğünün hesaplanmasında Cohen in (1988) önerdiği yöntem kullanılmıştır. Cohen, Regresyon analizleri ve doğrusal modeller için etki büyüklüğünün hesaplanmasında standartlaştırılımış etki büyüklüğü (f 2 ) değerinin hesaplanmasını önermiştir. f 2 değeri, çoklu korelasyon katsayısının (R 2 ), birden çıkarılan değerine (1 R 2 ) bölünmesi ile elde edilmektedir (f 2 = R 2 /(1 R 2 )). Cohen nin sınıflandırmasına göre, 0.02 f 2 < 0,15 değeri küçük etkiyi, 0.15 f 2 < 0.35 değeri orta etkiyi ve 0.35 f 2 değeri ise geniş etkiyi göstermektedir. Bu değerler R 2 için dönüştürüldüğünde; 0.02 R 2 < 0.13 değeri küçük etkiyi, 0.13 R 2 < 0.26 değeri orta etkiyi ve 0.26 R 2 değerler ise geniş etkiyi göstermektedir. Araştırmada verilerin düzenlenmesinde, madde analizinin gerçekleştirilmesinde, etki büyüklüğünün ve güç analizinin hesaplanmasında Office 2010 ve SPSS 18.0 programları; yapısal regresyon modelinin analizinde ise AMOS 19.0 programı kullanılmıştır. Bulgular İlgili literatür kapsamında geliştirilen modeli test etmek için yapısal eşitlik modellemesi türlerinden biri olan yapısal regresyon modeli kullanılmıştır. Kullanılan model ile matematik öz yeterlik kaynakları, matematiksel problem çözme ve akıl yürütme becerileri, zihinsel çevirme ve uzamsal görselleştirme yetenekleri ve matematik başarısı arasındaki ilişkiler incelenerek bu değişkenler ara- 1637

10 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ sındaki doğrudan ve dolaylı etkiler belirlenmiştir. Tablo 5 te yapısal regresyon modeline ilişkin elde edilen uyum değerleri özetlenmiştir. Tablo 5 Yapısal Regresyon Modeline İlişkin Elde Edilen Uyum Değerleri Uyum Ölçütleri Mükemmel Uyum Değerleri Kabul Edilebilir Uyum Değerleri Elde Edilen Uyum Değerleri (χ2/sd) RMSEA SRMR CFI GFI AGFI IFI Tablo 5 te yer alan uyum değerleri incelendiğinde, genel olarak, modelin mükemmel düzeyde uyum değerlerine (χ2/sd =1,736; RMSEA=0,04; SRMR=0,04; CFI=95; IFI=0,95; GFI=0,91; AGFI=0,89; NFI=0,90) sahip olduğu anlaşılmaktadır (Bollen, 1990; Browne ve Cudeck, 1993; Byrne, 2006; Hu ve Bentler, 1999; Kline, 2011; Steiger, 2007; Tanaka ve Huba, 1985). Geliştirilen ve test edilen yapısal regresyon modeli Şekil 3 te gösterilmiştir. Modelde sadece anlamlı bulunan yollar yer almaktadır (p < 0,001). Yapısal regresyon modeli analiz sonuçlarına göre, matematik öz yeterlik kaynakları uzamsal yeteneği (β=0,202, p < 0.01), matematik başarısını (β=0.280, p < 0.001), matematiksel problem çözme (β=0.205, p < 0.001) ve akıl yürütme becerilerini (β=0.632, p < 0.001) doğrudan pozitif yönlü etkilemektedir. Özellikle matematik öz yeterlik kaynaklarının matematiksel akıl yürütme becerisine doğrudan pozitif yönlü önemli bir etkisi (β=0.632, p < 0.001) bulunmaktadır. Modelde matematik öz yeterlik kaynaklarının dolaylı etkileri incelendiğinde, matematik öz yeterlik kaynaklarının matematiksel problem çözme becerisine (β=0.533), uzamsal yeteneğe (β=0.306) ve matematik başarısına (β=0.457) dolaylı ve pozitif yönlü etkisinin de bulunduğu anlaşılmaktadır. Matematik öz yeterlik kaynaklarının problem çözme becerisi üzerindeki toplam etkisi 0.739; akıl yürütme becerisi üzerindeki toplam etkisi 0.632; uzamsal yetenek üzerindeki toplam etkisi ve matematik başarısı üzerindeki toplam etkisi olarak hesaplanmıştır. Buna göre, matematik öz yeterlik kaynaklarının matematiksel beceriler ve matematik başarısı için oldukça önemli bir değişken olduğu anlaşılmaktadır. Modelde matematiksel akıl yürütme becerisinin, problem çözme becerisini (β=0.621, p < 0.001) ve uzamsal yeteneği (β=0.484, p < 0.001) doğrudan ve pozitif yönlü etkilediği görülmektedir. Ayrıca matematiksel akıl yürütme becerisinin problem çözme becerisine (β=0.126, p < 0.001) ve matematik başarısına (β=0.446, p < 0.001) dolaylı ve pozitif yönlü bir etkisi de bulunmaktadır. Modelde akıl yürütme becerisinin uzamsal yeteneğe toplam etkisi 0.484; matematik başarısına toplam etkisi ve problem çözme becerisine toplam etkisi olarak hesaplanmıştır. Modelde matematik öz yeterlik kaynaklarının matematiksel akıl yürütme becerisindeki değişimin yaklaşık %40 ını açıkladığı anlaşılmaktadır. Tablo 6 Bağımlı ve Bağımsız Değişkenler Arasındaki Toplam Etkiler Doğrudan Bağımsız Değişken Bağımlı Değişken Toplam Etki a Etki Öz Yeterlik Kaynakları Öz Yeterlik Kaynakları Öz Yeterlik Kaynakları Öz Yeterlik Kaynakları Akıl yürütme Becerisi Akıl yürütme Becerisi Akıl yürütme Becerisi Akıl yürütme Becerisi Problem Çözme Becerisi Dolaylı Etki Standart Hata Kritik Oran (t) < *** < *** Uzamsal Yetenek *** Matematik Başarısı < *** Uzamsal Yetenek *** Problem Çözme Becerisi *** Matematik Başarısı Uzamsal Yetenek Problem Çözme Becerisi *** Uzamsal Yetenek Matematik Başarısı *** Problem Çözme Becerisi Matematik Başarısı *** a : Toplam Etki = Doğrudan Etki + Dolaylı Etki, ***p <

11 YURT, SÜNBÜL / Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Matematik Başarılarını Açıklayan Bir Yapısal Eşitlik Modeli Modelde yer alan bir başka bilişsel değişken uzamsal yetenektir. Modelde uzamsal yetenek, problem çözme becerisini (β=0.260, p < 0.001) ve matematik başarısını (β=0.358, p < 0.001) doğrudan ve pozitif yönlü etkilemektedir. Bununla birlikte modelde uzamsal yeteneğin, problem çözme becerisi üzerinden matematik başarısına (β=0.114) dolaylı ve pozitif yönlü etkisinin de bulunduğu anlaşılmaktadır. Uzamsal yeteneğin problem çözme becerisine toplam etkisi 0.260, matematik başarısına toplam etkisi ise olarak hesaplanmıştır. Modelde uzamsal yeteneği etkileyen matematik öz yeterlik kaynaklarının ve matematiksel akıl yürütme becerisinin uzamsal yetenekteki değişimin yaklaşık %44 ünü açıkladığı anlaşılmıştır. Modelde yer alan ve sadece matematik başarısını etkileyen tek değişken problem çözme becerisidir. Problem Çözme Becerisinin matematik başarısına (β=0.439, p < 0.001) doğrudan ve pozitif yönlü bir etkisi söz konusudur. Modelde problem çözme becerisine doğrudan ve dolaylı etkileri bulunan matematik öz yeterlik kaynakları, matematiksel akıl yürütme becerisi ve uzamsal yeteneğin problem çözme becerisindeki değişimin yaklaşık %92 sini açıkladığı anlaşılmaktadır. Modelde son değişken matematik başarısıdır. Matematik başarısı üzerinde doğrudan ve dolaylı etkileri bulunan matematik öz yeterlik kaynaklarının, uzamsal yeteneğin, matematiksel akıl yürütme ve problem çözme becerilerinin matematik başarısındaki değişimin yaklaşık %75 ini açıkladığı anlaşılmaktadır. Tablo 7 Her Bir Yapısal Eşitlik İçin Hesaplanan Etki Büyüklük Değerleri Yapısal Eşitlik R 2 f 2 Matematiksel Akıl yürütme 0,40 0,19 Matematiksel Problem Çözme 0,92 5,51 Uzamsal Yetenek 0,44 0,24 Matematik Başarısı 0,75 1,29 Son olarak modelde yer alan her bir yapısal eşitliğe ait etki büyüklüğü değerleri hesaplanmıştır (Tablo 7). Elde edilen sonuçlara göre, matematiksel problem çözme ve matematik başarısına ait yapısal eşitlikler için hesaplanan etki değerleri geniş; matematiksel akıl yürütme ve uzamsal yeteneğe ait yapısal eşitlikler için hesaplanan etki değerleri ise orta derecede etkiyi göstermektedir. Tartışma, Yorum ve Öneriler Bu araştırmada, matematik öz-yeterlik kaynakları, matematiksel akıl yürütme ve problem çözme becerileri ve uzamsal yetenek değişkenleri arasındaki ilişkiler ve bu değişkenlerin matematik başarısına Şekil 3 Matematik Başarısını Açıklayan Yapısal Regresyon Modeli, n= 470; χ2 = 720,34; p < 0.001; χ2/sd=

12 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ etkisi yapısal eşitlik modellemesi ile incelenmiştir. Bu amaçla ilgili kuramsal temel ve araştırmalar ışığında bir yapısal regresyon modeli oluşturulmuş ve test edilmiştir. Elde edilen sonuçlara göre; test edilen modelde matematik öz yeterlik kaynaklarının akıl yürütme ve problem çözme becerilerini, uzamsal yeteneği ve matematik başarısını pozitif yönde ve önemli ölçüde etkilediği belirlenmiştir. Elde edilen bu bulgu, öz yeterlik ile ilgili alan yazında yer alan kuramsal açıklamaları ve yapılan çalışmaları desteklemektedir. Bandura (1997), öz yeterlik inancının farklı akademik görevlerin performans sonuçları için önemli bir belirleyici olduğunu öne sürmüştür. Bu konuda yapılan çalışmalarla öz yeterlik inancının her düzeydeki akademik yaşantıda etkili olduğu gözlenmiş ve öz yeterlik inancının her tip başarılı davranışın önemli bir unsuru olduğu vurgulanmıştır (Chen, 2003; Chen ve Zimmerman, 2007; Fadlelmula, 2011; Multon, Brown ve Lent, 1991; Pajares ve Kranzler, 1995; Pajares ve Miller, 1994; Pietsch, Walker ve Chapman, 2003; Renga ve Dalla, 1993; Schunk, 2011; Zimmerman ve ark., 1992). Her başarılı davranışın arkasında o davranışı yerine getirebilecek öz yeterlik inancının bulunduğu belirtilmiştir (Schunk, 2011). Diğer yandan alan yazında yapılan çalışmalar, öz yeterlik inancının uzamsal yetenek (Kinsey, Towle, O Brien ve Bauer, 2008; Towle ve ark., 2005), akıl yürütme becerisi (Lawson, Banks ve Logvin, 2007), problem çözme becerisi (Güven ve Cabakcor, 2012; Pajares, 1996; Pajares ve Kranzler, 1995; Pajares ve Miller, 1994) ve matematik başarısı (Alcı ve ark., 2010; Chen, 2003; Chen ve Zimmerman, 2007; Lent, Lopez ve Bieschke, 1991; Lopez, Lent, Brown vegore, 1997; Pietsch ve ark., 2003; Usher, 2009; Üredi ve Üredi, 2005; Williams ve Williams, 2010) ile pozitif yönlü ve anlamlı ilişkilere sahip olduğunu göstermiştir. Örneğin Towle ve arkadaşları (2005), yapmış oldukları araştırmada öz yeterlik inancı ile uzamsal yetenek arasında pozitif yönlü ve anlamlı bir ilişki bulmuşlardır. Pajares ve Kranzler (1995), geliştirmiş oldukları bir yol analizi modeli ile öz yeterliğin matematiksel problem çözme becerisi üzerinde önemli bir etkisinin bulunduğunu ortaya koymuşlardır. Üredi ve Üredi (2005) ise öz yeterliğin matematik başarının anlamlı ve pozitif bir yordayıcısı olduğunu belirtmişlerdir. Literatürdeki çalışmalar ve bu araştırmanın sonucu, Bandura nın (1997) öz-yeterlik inancının farklı akademik görev ve performanslar için önemli bir belirleyicidir hipotezini desteklemektedir. Modelde yer alan akıl yürütme becerisi; uzamsal yeteneği doğrudan, problem çözme becerisini ise hem doğrudan hem de dolaylı olarak pozitif yönde etkilemektedir. Alan yazında, elde edilen bu bulguları destekleyen araştırmalara rastlamak mümkündür (Ball ve Bass, 2003; Barbey ve Barsalou, 2009; Battista, 1990; Brodie ve ark., 2010; Çelik ve Özdemir, 2011; Çetin ve Ertekin, 2011; Kilpatrick ve ark., 2001; Wheatley ve Wheatley, 1979). Barbey ve Barsalou (2009), muhakeme yaklaşımlarından biri olan tümevarıma dayalı muhakeme yaklaşımının problem çözme sürecinde bir araç olarak kullanıldığını belirtmişlerdir. Çelik ve Özdemir (2001) ise orantısal muhakeme becerisi ile problem kurma becerisi arasında anlamlı bir ilişki bulmuşlardır. Benzer şekilde Çetin ve Ertekin (2011), orantısal muhakeme becerisi ile denklem çözme başarısı arasında yüksek düzeyde ve pozitif yönlü bir ilişki keşfetmişlerdir. Markey (2009) de görsel-uzamsal muhakeme becerisi ile matematik ve geometri problemlerini çözme başarısı arasında pozitif yönlü ve anlamlı bir ilişkinin var olduğunu belirtmiştir. Battista (1990) ise mantıksal muhakeme ile geometri problem çözme performansı ve uzamsal görselleştirme becerisi arasında anlamlı bir ilişkinin bulunduğunu ifade etmiştir. İlgili çalışmalar ve bu araştırmanın sonucu muhakeme becerisinin, uzamsal yeteneğin ve problem çözme becerisinin matematikte etkili bir şekilde kullanılmasında önemli bir katkısı bulunduğunu göstermiştir. Araştırmada elde edilen en çarpıcı bulgulardan biri, modelde akıl yürütme becerisinin matematik başarısına doğrudan bir etkisinin bulunmamasıdır. Modelde, akıl yürütme becerisi uzamsal yetenek ve problem çözme becerisi üzerinden matematik başarısını dolaylı olarak etkilemektedir. Yani akıl yürütme becerisi uzamsal yetenek ve problem çözme becerisi ile birlikte çalışarak, onlara destek vererek, matematik başarısına dolaylı ve olumlu bir katkıda bulunmaktadır. Muhakeme becerisinin problem çözme sürecindeki işlevini açıklayan araştırmalar, bu bulguyu destekler niteliktedir. English (2004), muhakeme yaklaşımlarından biri olan benzetime dayalı muhakemenin daha önce çözülen problem ile yeni karşılaşılan problemin ilişkisel yapıları arasındaki benzerliğin algılanmasını sağlayarak problemlerin çözüm sürecine katkıda bulunduğunu belirtmiştir. Leighton ve Sternberg (2004) muhakemenin problem çözme sürecinde aracı bir rolünün bulunduğunu ve sahnenin arkasında çalışarak, fikirleri ve önermeleri koordine ettiğini ifade etmiştir. Modelde yer alan uzamsal yetenek matematik başarısını hem doğrudan hem de problem çözme becerisi üzerinden dolaylı olarak etkilemektedir. 1640

13 YURT, SÜNBÜL / Sekizinci Sınıf Öğrencilerinin Matematik Başarılarını Açıklayan Bir Yapısal Eşitlik Modeli Literatürde uzamsal yeteneğin matematik başarısı (Delialioğlu ve Aşkar, 1999; Fennema ve Tartre, 1985; Guay ve McDaniel, 1977; Kayhan, 2005) ve problem çözme beceri (Booth ve Thomas, 1999; Hodgson, 1996; Markey, 2009; Smith, 1964) ile ilişkili olduğunu gösteren birçok çalışma bulunmaktadır. Problem çözme becerisi ile uzamsal yetenek arasındaki ilişkiyi inceleyen çalışmaların ortak noktası, etkili problem çözme becerisine sahip öğrencilerin problemin çözümünde görselleştirme ve tasvir etme yöntemini etkili bir şekilde kullanmakta olduklarıdır. Bu durum öğrencilerin problem çözme performanslarına ve matematik başarılarına olumlu yönde bir katkı sağlamaktadır. Ayrıca, NCTM (2000) uzamsal yeteneğin öğrencilerin görselleştirmeler yapabilmesi, üç boyutlu düşünebilmesi, akıl yürütebilmesi ve geometrik modeller kullanarak problemler çözebilmesi için gerekli bir yetenek olduğunu belirtmiştir. Son olarak modelde problem çözme becerisinin matematik başarısına doğrudan ve pozitif yönde önemli bir etkisinin bulunduğu görülmektedir. Literatürdeki birçok çalışma elde edilen bu bulguyu destekler niteliktedir (Güven ve Cabakcor, 2012; Özsoy, 2005; Pape ve Wang, 2003; Saygı, 1990). Örneğin, Pape ve Wang (2003), problem çözme ve matematik başarısı arasında yüksek düzeyde bir ilişki bulmuşlardır. Benzer şekilde Güven ve Cabakcor (2012), öz yeterlik ve akademik başarısı arasında yüksek düzeyde bir ilişkinin bulunduğunu ifade etmişlerdir. Özsoy (2005) ise ilköğretim beşinci sınıf öğrencilerinin matematik başarıları ile problem çözme becerileri arasında oldukça yüksek düzeyde bir ilişki bulmuştur. Problem çözme becerisi matematik başarısı için oldukça önemlidir (NCTM, 2000) ve bu beceri farklı kurumlar tarafından tanımlanan temel matematiksel beceriler arasında yer almaktadır (NAEP, 2002; NCTM, 2000; MEB, 2009). Alan yazında yapılan çalışmalar ve bu araştırmanın sonucu problem çözme becerisinin matematik başarısı için önemli ve temel bir beceri olduğunu desteklemektedir. Araştırmanın en çarpıcı bulgularından biri de modelde matematik başarısına doğrudan ve dolaylı etkileri bulunan matematik öz yeterlik kaynakları, uzamsal yetenek, problem çözme ve akıl yürütme becerilerinin matematik başarısındaki değişimin yaklaşık %75 ini açıklamasıdır. Literatürdeki çalışmalardan farklı olarak bu araştırmanın sonucu göstermiştir ki; uzamsal yetenek, problem çözme ve akıl yürütme becerileri öz yeterlik inancı ile beraber matematik başarısı üzerinde oldukça önemli bir etkiye sahiptir. Birbiri ile ilişkili olan bu değişkenlerin bir arada bulunduğu bir matematik öğretim programının geliştirilerek öz yeterliliği destekleyici etkinliklerle uygulanması, matematik başarısını önemli ölçüde artırabilir. Mevcut ilköğretim matematik öğretim programı incelendiğinde, bu araştırmada ele alınan değişkenlere programda geniş yer verildiği görülmektedir. Fakat yapılan sınavlar ve araştırmalar öğrencilerin matematik başarısının istenen düzeyde olmadığını göstermiştir (Mullis ve ark., 2009; Mullis ve ark., 2012; Turğut, 2007). Bu doğrultuda programda yer alan kazanımların, etkinliklerin, öğretim yöntem ve tekniklerin, öğretmen ve okul faktörlerinin eleştirel bir gözle incelenmesi gerekmektedir. Bu amaç doğrultusunda yapılacak nitel ve nicel çalışmalara ihtiyaç vardır. 1641

14 Educational Sciences: Theory & Practice 14(4) Educational Consultancy and Research Center DOI: /estp A Structural Equation Model Explaining 8th Grade Students Mathematics Achievements * Eyüp YURT a Necmettin Erbakan University Ali Murat SÜNBÜL b Necmettin Erbakan University Abstract The purpose of this study is to investigate, via a model, the explanatory and predictive relationships among the following variables: Mathematical Problem Solving and Reasoning Skills, Sources of Mathematics Self-Efficacy, Spatial Ability, and Mathematics Achievements of Secondary School 8th Grade Students. The sample group of the study, itself conducted using a survey model, consisted of 470 8th grade students aging between 14 and 15 years old attending different secondary schools in the city of Konya, Turkey and its surrounding area. Of the total students, 238 were female (50.6%) and 232 were male (49.4%). In the study, the Scale of Sources of Mathematics Self-Efficacy was used to determine students levels of self-efficacy; the Problem Solving Test was used to measure their problem solving skills; the Reasoning Test was used to measure their reasoning skills; both the Mental Rotation and the Paper Folding Tests were used to measure their spatial skills; and the Mathematics Achievement Test was used to measure their level of mathematics achievement. The data collected in the study were analyzed using one of the Structural Equation Models, that being the Structural Regression Model. According to the results obtained, the variables Sources of Mathematics Self-Efficacy, Spatial Ability, and Problem Solving and Reasoning Skills were witnessed to account for 75% of the variation in mathematics achievement. These variables have a considerable effect on mathematics achievement. Knowing this, it is recommended that, in order increase mathematics achievement, a mathematics teaching model in which these interrelated variables coexist be developed and then implemented in activities supporting self-efficacy. Keywords Mathematics Achievement, Problem Solving Skill, Reasoning Skill, Sources of Self-Efficacy, Spatial Ability, Structural Equation Modeling. Today, in a time when extraordinary and rapid developments occur daily and because foundations of daily life are increasingly becoming mathematical, knowing and understanding mathematics have gained considerable importance. In such a changing world, individuals able to understand and use mathematics will have more say in enhancing opportunities and occasions that may shape their future (NCTM, 2000). In this context, understanding and being successful in mathematics have gained further importance. Individual factors are highly important in mathematics achievement and success (Akyüz, 2014; Özgüven, 2005; Peker, 2005; Usher, 2009). However, * This study was developed from the first author s doctoral dissertation. a Eyüp YURT, Ph.D., works in the field of Education Programs and Teaching. His areas of study include mathematical achievement, spatial skill, sources of self-efficacy, and mathematical problem solving, and reasoning skills. Correspondence: Necmettin Erbakan University, Ahmet Keleşoğlu Faculty of Education, Department of Educational Sciences, Meram, Konya, Turkey. eyupyurt@gmail.com b Ali Murat SÜNBÜL, Ph.D., is a professor of Education Programs and Teaching. Contact: Necmettin Erbakan University, Ahmet Keleşoğlu Faculty of Education, Department of Educational Sciences, Meram, Konya, Turkey. asunbul@konya.edu.tr

15 YURT, SÜNBÜL / A Structural Equation Model Explaining 8th Grade Students Mathematics Achievements not all students are able to exhibit the same level of achievement due to individual factors (NCTM, 2000). Accordingly, it is quite important to ascertain whether students achieve in accordance with their skills or not, to investigate the factors affecting achievement, and to make practical suggestions to teachers and students. When the studies conducted in the relevant literature are examined, many factors are observed to affect mathematics and mathematics achievement. The major factors affecting mathematics and mathematics achievement may be listed as follows: (Üredi & Üredi, 2005), spatial ability (Battista, 1990; Casey, Pezaris, & Nuttall, 1992; Mohler, 2001), problem solving skills (Alcı, Erden, & Baykal, 2010; Arsal, 2009; Günhan & Başer, 2008; Özsoy, 2005), reasoning skills (Ball & Bass, 2003; Brodie, Coetzee, & Lauf, 2010; Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2011; Yıldırım, 2011), school type (Dursun & Dede, 2004; Savaş, Taş, & Duru, 2010; Umay, 2003; Weissglass, 2002), learning style (Peker, 2005; Şentürk & İkikardeş, 2011), motivation (Fadlelmula, 2011; Üredi & Üredi, 2005; Yıldırım, 2011), self-efficacy (Alcı et al., 2010), family income level (Savaş et al., 2010), duration of study (Savaş et al., 2010), attitude and interest (Demir & Kılıç, 2010; Peker & Mirasyedioğlu, 2003; Savaş et al., 2010), anxiety (Dursun & Bindak, 2011), and the duration one has attended a university preparation course (Savaş et al., 2010). When the factors affecting mathematics achievement are grouped together and then investigated, it is seen that they form a part of the cognitive, motivational, familial, and socioeconomic source. It can be said that cognitive and motivational factors, by virtue of their very nature, are not only more flexible in general, but are also more mendable through education than are familial and socio-economic factors. Accordingly, various studies have been conducted in order to ascertain how to increase students cognitive skills and motivational levels in mathematics (Arsal, 2009; Koç & Bulut, 2002; Küpçü, 2012; Mevarech & Kramarski, 1997; Özsoy, 2007; Sulak, 2005). Some mathematical factors can also be seen as mathematical skills. It may be necessary to investigate what skills are defined as mathematical skills by various important institutions (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2009; NAEP, 2002; NCTM, 2000; TIMSS (Mullis, Martin, Ruddock, O Sullivan & Preuschoff, 2012) in order to determine which mathematical skills defined in the relevant literature are of greater importance When the mathematical skills defined in NCTM (2000), NAEP (2002), TIMSS (Mullis et al., 2012), and MEB s (2009) mathematical teaching programs are examined, it is seen that problem solving and reasoning skills are prominent. Other mathematical skills that have been defined and explained serve as tools in the accurate and effective use of problem solving and reasoning skills. When the studies conducted in the relevant literature on problem solving and reasoning skills are examined, it is understood that there are positive relationships among these skills (Barbey & Barsalou, 2009; Çelik & Özdemir, 2001; Çetin & Ertekin, 2011; Umay, 2003) Another variable linked to problem solving and reasoning skills which has significant effects on mathematics achievement is spatial thinking ability. Although spatial ability has been defined differently by different researchers (Linn & Petersen, 1985; McGee, 1979; Tartre, 1990; Thompson, 1987), a common point shared among its various definitions is that spatial ability is an ability that requires one to manipulate visual forms on two and three dimensional space within his or her mind. While studies conducted in this regard have indicated that spatial ability is connected with students mathematics achievement, reasoning, problem solving, and scientific thinking (Arcavi, 2003; Battista, 1990; Booth & Thomas, 1999; Delialioğlu & Aşkar, 1999; Fennema & Sherman, 1997; Fennema & Tartre, 1985; Guay & McDaniel, 1977; Hegarty & Kozhevnikov, 1999; Kayhan, 2005; Markey, 2009; McGee, 1979; Smith, 1964; Tartre, 1990; Van Garderen & Montague, 2003; Wheatley, 1998; Wheatley & Wheatley, 1979), it was also emphasized in these studies that spatial ability is a fundamental skill in the teaching of mathematics. When the motivational factors in the relevant literature affecting students academic activities and learning are examined, it can be said that the belief in self-efficacy appears in the forefront (Bandura, 1997; Chen, 2003; Fadlelmula, 2011; Haşlaman & Aşkar, 2007; Pajares 1997; Pajares & Kranzler, 1995; Phan, 2012; Schommer Aikins, Duell, & Hutter, 2005; Schunk, 2011; Zimmerman, Bandura & Martinez-Pons, 1992). One of the most important reasons for this is that compared with other motivational concepts linked to learning, the belief in self-efficacy is a better predictor of learners performance (Bong & Clark, 1999; Bong & Skaalvik, 2003; Ferla, Valcke, & Cai, 2009). In its simplest sense, self-efficacy can be defined as an individual s belief that s/he has the capacity to raise his or her learning levels and behaviors to the desired level (Bandura, 1997). The belief in self-efficacy provides significant 1643

16 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE clues as to an individual s choices of activity, effort & perseverance, patience & determination, and learning & achievement (Bandura, 1997; Schunk & Pajares, 2009; Senemoğlu, 2007; Usher, 2009). Self-efficacy is based on a number of basic sources, including Mastery Experiences, Vicarious Experiences, Social Persuasions, and Psychological States (Bandura, 1997). In light of the relevant conceptual bases and research, it can be said that the belief in selfefficacy plays a significant role in the effective use of the aforementioned interrelated skills of spatial thinking, problem solving, and reasoning in mathematics. Purpose of the Study The results of the TIMMS exam, in which 8th graders in Turkey participated, indicated that mathematics achievement of students of Turkey is below the international average (Mullis, Martin, Robitaille, & Foy, 2009; Mullis et al., 2012). This reality provoked the cognitive and motivational variables affecting mathematics achievement to become a central point for researchers in Turkey (Akyüz, 2014; Bilican, Demirtasli, & Kilmen, 2011; Uzun, Bütüner, & Yiğit, 2010; Yıldırım & Yıldırım 2009; Yıldırım, Çıkrıkçı, & Akbaş, 2012). On the other hand, when the studies conducted in this regard are examined, it is understood that cognitive and motivational variables affecting mathematics achievement have not only been investigated separately, but also while taking into account various mutual relationships (Arslan, 2012, 2013; Booth & Thomas, 1999; Çetin & Ertekin, 2011; Delialioğlu & Aşkar, 1999; Kayhan, 2005; Markey, 2009; Montague, 2003; Tartre, 1990; Üredi & Üredi, 2005). Since the number of studies in which cognitive and motivational variables affecting mathematics achievement were investigated is limited (Alcı et al., 2010; Başaran, 2011; Fadlelmula, 2011; Kalender, 2010), the purpose of the current study is to investigate mathematical skills affecting mathematics achievement and sources of mathematics self-efficacy via a model. In accordance with this purpose, a number of cognitive skills related to mathematics classes and motivational concepts were brought together and a structural equation model explaining the direct and indirect relationships between these concepts was formed. In this way, both direct and indirect relationships between students problem solving skills, spatial ability, and mathematics self-efficacy beliefs and their mathematics achievements were able to be investigated. In recent years, the concept of self-efficacy has been more frequently included in learning and motivation theories rather than the terms self and self-esteem (Şahin, 2013). One of the most important reasons for this is that the self-efficacy belief better predicts students performance compared with the other concepts related to learning (Bong & Clark, 1999; Bong & Skaalvik, 2003; Ferla et al., 2009). It is pointed out that the studies in the relevant literature on selfefficacy belief usually concentrate on high school and university students (Usher, 2009). Arslan (2012), on the other hand, states that while a large majority of the studies conducted in Turkey on self-efficacy have been implemented on teachers and student teachers, the number of studies conducted in Turkey with secondary school students is quite limited (Arslan, 2012, 2013; Çetin, 2009; Özyürek, 2005). In these studies, secondary school students self-efficacy beliefs were investigated in relation to their demographics (Arslan, 2013; Çetin, 2009), their self-efficacy beliefs about learning and performance (Arslan, 2012), and their mathematics self-efficacy beliefs (Özyürek, 2005). In the current study however, the relationship of self-efficacy belief with mathematical problem solving and reasoning skills, spatial ability, and mathematics achievement will be investigated via a model. In this way, the effects of self-efficacy belief on mathematics performance and on a variety of different mathematical skills will be seen together. Moreover, it is known that secondary school years constitute a critical period in regard to students mathematics and science achievements (Reynolds, 1991). As such, the findings of this study will help teachers and researchers in understanding cognitive and motivational variables affecting mathematics achievement as a whole. In addition, the results of this study will shed light on future studies whose goals will be to ascertain ways to increase students mathematics achievement. In particular, the findings obtained will provide both theoretical and practical information in increasing students mathematics self-efficacies and in improving their mathematical skills. Research Design Method This is a descriptive study conducted using the relational survey model. Relational Survey models are models that aim to measure the presence and degree of variation between two or more variables (Karasar, 2008, p. 81). 1644

17 YURT, SÜNBÜL / A Structural Equation Model Explaining 8th Grade Students Mathematics Achievements Universe and Sampling The population of the study is comprised of 8th grade students attending secondary schools in Greater Konya, Turkey. The sample group of the study however, was selected using the stratified sampling method in which 470 8th grade students aged between 14 and 15 were included. Of the total, 238 were female (50.6%) and 232 were male (49.4%). Data Collection Tools Mathematics Achievement Test: The Mathematics Achievement Test, developed by the researcher, was used to measure students mathematics achievement in the study. The Mathematics Achievement Test contains 16 questions covering the learning fields of numbers, probability and statistics, geometry, and algebra. The discrimination coefficient of the Mathematics Achievement Test was calculated to be 0.36, its difficulty coefficient was calculated to be 0.46, and its KR-20 reliability coefficient was found to be 0.89 (n=145). Problem Solving Test: The Problem Solving Test was composed of 14 open-ended questions covering the learning fields of numbers, measurement, geometry, pattern, algebra, statistics, and probability. Taking into account the problem solving stages stated by Polya (1957), students were asked via instructions, for each question included in the test, to express the problem in their own words, to make a plan to solve the problem, to implement the plan they made, and to check their result. The responses given to the questions in the test were scored in values varying between 0 and 4 using a rubric. The Cronbach Alpha Reliability Coefficient of the test was calculated to be 0.75 (n=240). Reasoning Test: In order to measure the mathematical reasoning skill, the Mathematical Reasoning sub-test of the Mathematics Strength Scale developed by Yeşildere (2006) was used. The test included 10 open-ended questions. The responses given to the open-ended questions were scored in values varying between 0 and 4 using a rubric. The Cronbach Alpha Reliability Coefficient of the test was calculated to be 0.76 (n=240). Sources of Self-Efficacy in Mathematics: In order to determine the sources of self-efficacy of participating students, the Scale of Sources of Self-Efficacy in Mathematics, developed by Usher and Pajares (2009) and adapted into Turkish by Yurt and Sünbül (2013), was used. There are four dimensions in the scale, itself composed of 24 items, namely: Mastery Experience (6 items), Vicarious Experience (6 items), Social Persuasions (6 items), and Psychological States (6 Items). Each item on the scale was scored with values varying between 1 and 100. The Cronbach Alpha Reliability Coefficients calculated for both the whole of the scale and for its dimensions took on values varying between 0.80 and Spatial Ability Tests: In this study, the definition of the spatial ability components made by Olkun (2003) was taken as a basis. Olkun stated that spatial relationships and spatial visualization skills are two fundamental components. While the paper folding test can be used in measuring one s spatial visualization skill (Ekstrom, French, Harman, Dermen, 1976), the mental rotation test can be used in measuring one s spatial relationships skill (Vanderberg & Kuse, 1978) (Olkun, 2003). In this study, the Cronbach Alpha Reliability Coefficient was calculated to be 0.75 (n=70) for the Paper Folding Testand 0.72 (n=70) for the Mental Rotation Test. Data Analysis The data obtained were analyzed using the Structural Regression Model, which is one of the structural equation models. This model is a synthesis of the Confirmatory Factor Analysis and the Path Analysis Models (Kline, 2011, p. 218). In this study, the Structural Regression Model was used not only to investigate the relationships between the Sources of Mathematics Self-Efficacy, Mathematical Problem Solving and Reasoning Skills, Mental Rotation and Spatial Visualization skills, and Mathematics Achievement, but also to determine their indirect effects. Furthermore, the effect size was also calculated in this study. The method proposed by Cohen (1988), in which he proposed that the standardized effect size (f 2 ) value be used in the calculation of effect size for regression analyses and for linear models, was used in calculating effect size. According to Cohen s classification (1988), the value of 0.02 f 2 < 0,15 indicates a small effect, 0.15 f 2 < 0.35 an intermediate effect, and 0.35 f 2 a large effect. Findings The adaptive values for the tested model were found to be χ2 =720,34; p < 0.001; χ2/sd =1,736; RMSEA=0,04; SRMR=0,04; CFI=95; IFI=0,95; 1645

18 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE GFI=0,91; AGFI=0,89; and NFI=0,90. It can be said that these values are near perfect adaptive values (Bollen, 1990; Browne & Cudeck, 1993; Byrne, 2006; Hu & Bentler, 1999; Kline, 2011; Steiger, 2007; Tanaka & Huba, 1985). All the paths shown on the model are significant (p < 0,001). According to the results of the structural regression analysis model, mathematics self-efficacy sources have a direct and positive effect on spatial ability (β=0,202, p < 0.01), mathematics achievement (β=0.280, p < 0.001), mathematical problem solving (β=0.205, p < 0.001), and reasoning skills (β=0.632, p < 0.001). When the indirect effects of the Mathematics Self-Efficacy Sources are examined in the model, it is understood that Mathematics Self-Efficacy Sources have an indirect and positive effect on Mathematical Problem Solving Skill (β=0.533), Spatial Ability (β=0.306), and Mathematics Achievement (β=0.457). It is also seen in the model that the variable Mathematical Reasoning Skill has a direct and positive effect on Problem Solving Skill (β=0.621, p < 0.001) and on Spatial Ability (β=0.484, p < 0.001). Moreover, the Mathematical Reasoning Skill variable has an indirect and positive effect on Problem Solving Skill (β=0.126, p < 0.001) and Mathematics Achievement (β=0.446, p < 0.001). It is understood that the Mathematics Self-Efficacy Sources affecting Mathematical Reasoning Skill accounted for about 40 % of the variation in Reasoning Skill. Another important variable included in the model is Spatial Ability. In the model, Spatial Ability has a direct and positive effect on Problem Solving Skill (β=0.260, p < 0.001) and on Mathematics Achievement (β=0.358, p < 0.001). However, it is also understood that Spatial Ability has an indirect and positive effect on Mathematics Achievement (β=0.114) via the Problem Solving Skill. It is seen in the model that Mathematics Self-Efficacy Sources and Mathematical Reasoning Skills affecting Spatial Ability account for approximately 44% of the variation in Spatial Ability. The only variable included in the model which affects only Mathematics Achievement is Problem Solving Skill. The Problem Solving Skill variable has a direct and positive effect on Mathematics Achievement (β=0.439, p < 0.001). It is understood that in the model, the variables Mathematics Self- Efficacy Sources, Mathematical Reasoning Skill, and Spatial Ability account for about 92% of the variation in Problem Solving Skill. The last variable in the model is Mathematics Achievement. It is understood that the variables Mathematics Self-Efficacy Sources, Spatial Ability, Mathematical Reasoning and Problem Solving Skills, which have either direct or indirect effects on Mathematics Achievement, account for about 75% of the variation in Mathematics Achievement. Finally, values of effect size were calculated for each structural equation in the model. According to the results obtained, the effect size values calculated for the variables Mathematical Problem Solving and Mathematics Achievement indicate a large effect whereas the effect size values calculated for the variables Mathematical Reasoning and Spatial Ability indicate an intermediate level effect. Discussion and Suggestions In this study, the relationships among the variables of mathematics self-efficacy sources, mathematical reasoning and problem solving skills, and spatial ability as well as the effect of these variables on mathematics achievement were investigated using the structural equation modeling. To this end, a structural regression model was formed in light of the relevant theoretical basis and research and was then tested. According to the results obtained, in the tested model, mathematics selfefficacy sources positively and significantly affected reasoning and problem solving skills, spatial ability, and mathematics achievement. This finding is in support of the theoretical explanations and studies conducted in the relevant field on self-efficacy. In his study, Bandura (1997) argued that self-efficacy belief is an important predictor of one s performance results in different academic tasks. It was observed, thanks to the studies conducted on this issue, that self-efficacy belief is effective at all levels of academic life and has therefore been emphasized that self-efficacy belief is a significant component of all kinds of successful behaviors (Chen, 2003; Chen & Zimmerman, 2007; Fadlelmula, 2011; Multon, Brown, & Lent, 1991; Pajares & Kranzler, 1995; Pajares & Miller, 1994; Pietsch, Walker, & Chapman, 2003; Renga & Dalla, 1993; Shunk, 2011; Zimmerman et al., 1992). Shunk (2011) even stated that behind each successful behavior lies one s belief [of self-efficacy] that s/he would be able to perform that specific behavior successfully. Studies conducted in the relevant field have indicated that self-efficacy belief has positive and significant relationships with spatial ability (Kinsey, Towle, O Brien, & Bauer, 2008; Towle et al., 2005), reasoning skills (Lawson, Banks, & Logvin, 2007), problem solving skills (Güven & Cabakcor, 2012; Pajares, 1996; 1646

19 YURT, SÜNBÜL / A Structural Equation Model Explaining 8th Grade Students Mathematics Achievements Pajares & Kranzler, 1995; Pajares & Miller, 1994), and mathematics achievement (Alcı et al., 2010; Chen, 2003; Chen & Zimmerman, 2007; Lent, Lopez, & Bieschke, 1991; Lopez, Lent, Brown, & Gore, 1997; Pietsch et al., 2003; Usher, 2009; Üredi & Üredi, 2005; Williams & Williams, 2010). For example, in a study conducted by Towle et al. (2005), the researchers found a positive and significant correlation between one s self-efficacy belief and spatial ability. Pajares and Kranzler (1995), via the path analysis model that they developed, revealed that self-efficacy has a significant effect on mathematical problem solving skills. Üredi and Üredi (2005) furthermore stated that self-efficacy is a significant and positive predictor of mathematics achievement. Both studies present in the literature and the results of the current study support Bandura s (1997) hypothesis that one s self-efficacy belief is an important predictor of his or her success in different academic tasks and of his or her level of performance. Although the reasoning skill included in the model has a direct effect on spatial ability, it also both directly and indirectly affects problem solving skills in a positive way. It is possible to find studies in the relevant literature supporting these findings (Ball & Bass, 2003; Barbey & Barsalou, 2009; Battista, 1990; Brodie et al., 2010; Çelik & Özdemir, 2011; Çetin & Ertekin, 2011; Kilpatrick, et al., 2001; Wheatley & Wheatley, 1979). Specifically, while Barbey and Barsalou (2009) stated that the inductive reasoning approach may be used as a tool in the problem solving process, Çelik and Özdemir (2011) found a significant correlation between proportional reasoning skills and problem posing skills. Likewise, Çetin and Ertekin (2011) discovered both a high level and positive correlation between proportional reasoning skills and equation solving achievement. Markey (2009) also pointed out that there is a both positive and significant correlation between visual-spatial reasoning skills and success in solving mathematics and geometry problems. Furthermore, Battista (1990) found a significant relationship between logical reasoning and geometrical problem solving performance and spatial visualization skills. Both relevant studies and the results of the current study indicate that reasoning skills significantly contribute to one s ability to effectively use spatial skills and to one s skills in solving mathematics problems. One of the most striking findings of this study is that the reasoning skill within the model has no direct effect on mathematics achievement. In the model, the reasoning skill has an indirect effect on mathematics achievement via spatial ability and problem solving skills. In other words, reasoning skills have an indirect and positive effect on mathematics achievement by cooperating with and by supporting spatial ability and problem solving skills. Studies explaining the function of reasoning skills in the problem solving process support this finding. English (2004) stated that reasoning by analogy contributes to one s ability to solve problems by aiding him or her to perceive the similarity between the relational structures of a problem previously solved and those of a newly encountered problem. In a similar vein, Leighton and Sternberg (2004) have indicated that reasoning plays an intermediary role in the problem solving process and coordinates ideas and premises by operating behind the scenes. The spatial ability in the model affects mathematics achievement both directly and indirectly via problem solving skills. There are many studies within the relevant literature indicating that one s spatial ability is correlated with mathematics achievement (Delialioğlu & Aşkar, 1999; Fennema & Tartre, 1985; Guay & McDaniel, 1977; Kayhan, 2005) and problem solving skill (Booth & Thomas, 1999; Hodgson, 1996; Markey, 2009; Smith, 1964). A common point of those studies investigating the relationship between spatial ability and problem solving skills is that those students with effective problem solving skills effectively use the visualization and depiction method. This situation contributes positively to students problem solving performances and mathematics achievement. Moreover, NCTM (2000) stated that spatial ability is an ability necessary for students to make visualizations, think in a three-dimensional way, reason, and solve problems by using geometrical models. Finally, the problem solving skill in the model has a direct, positive, and significant effect on mathematics achievement. Various studies in the relevant literature support this result (Güven & Cabakcor, 2012; Özsoy, 2005; Pape & Wang, 2003; Saygı, 1990). For example, Pape and Wang, (2003) found a high correlation between problem solving and mathematics achievement. Likewise, while Güven and Cabakcor (2012) stated that there exists a high level of correlation between self-efficacy and academic achievement, Özsoy (2005) found a high level of correlation between the mathematics achievement of primary education 5th graders and their problem solving skills. Indeed, problem solving skills are quite important for mathematics achievement (NCTM, 2000), and these skills are 1647

20 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE among the fundamental mathematics skills defined by different institutions (NAEP, 2002; NCTM, 2000; MEB, 2009). In the same vein, studies conducted in the relevant literature and the result of the current study support the idea that problem solving skills are both important and fundamental skills for mathematics achievement. Another of the most striking findings of these study is that Mathematics Self-Efficacy Sources, Spatial Ability, Problem Solving and Reasoning Skills, which either directly or indirectly affect mathematics achievement, account for approximately 75% of the variation in mathematics achievement. Unlike the studies in the relevant literature, the result of the current study indicate that spatial ability, problem solving, and reasoning skills together with one s self-efficacy belief have a significant effect on mathematics achievement. Developing a mathematics teaching program including these interrelated variables together and using it in activities that support self-efficacy may significantly increase mathematics achievement. When the existing primary education mathematics teaching curriculum of Turkey is examined, it is seen that although the a large portion of the current study s variables are present in the curriculum, both students exams and research conducted indicate that students levels of mathematics achievement is not at the desired level (Mullis et al., 2009; Mullis et al., 2012; Turğut, 2007). As such, various other factors, including student acquisition, activities, teaching methods and techniques, teacher, and school need to be considered critically, leading to the need for both qualitative and quantitative studies to be conducted to this end. 1648