Magnetic Materials. 8. Ders: Ferromanyetizma. Numan Akdoğan.

Transkript

1 Magnetic Materials 8. Ders: Ferromanyetizma Numan Akdoğan Gebze Institute of Technology Deartment of Physics Nanomagnetism and Sintronic Research Center (NASAM)

2 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi Weiss tarafından öne sürülen moleküler alan teorisi bu alanın fiziksel kaynağı hakkında hiçbir şey söylemiyor. Sadece moleküler alanın mıknatıslanmasıyla orantılı olduğunu ve böylece kristalin bir bölgesindeki yüksek sin yöneliminin o bölgedeki herhangi bir sin üzerine daha fazla kuvvet uygulayacağını söylüyor. Moleküler alanın fiziksel kaynağı 98 yılına kadar anlaşılamamıştır. 98 yılında Heisenberg H m in kuantum mekanik değiş-tokuş (change) kuvvetlerinden kaynaklandığını göstermiştir. Bir yıl önce yeni dalga mekaniği hidrojen molekülü roblemine uygulanmış ve neden iki hidrojen atomunun bir araya gelerek kararlı bir molekül oluşturduğu açıklanmaya çalışılmıştır. Her iki atom da, çekirdeği (tek bir roton) etrafında dolanan tek bir elektrona sahitir. Birbirinden belirli bir uzaklıkta yerleşmiş özel bir atom çifti için Coulomb kanunuyla hesalanabilen elektrostatik çekici (elektronlar ve rotonlar arasında) ve itici (iki elektron, iki roton arasında) kuvvetler vardır. Fakat bunlardan başka klasik olmayan diğer bir kuvvet de vardır. İki elektronun sin yönelimine bağlı olan bu kuvvet değiş-tokuş (change) kuvvetidir.

3 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi Eğer sinler antiaralel ise bütün kuvvetlerin tolamı çekicidir ve kararlı bir molekül oluşur. Değiş-tokuş (change) kuvveti Pauli dışarlama ilkesinin bir sonucudur. Bu ilkeye göre iki elektron aynı enerjiye ancak sinleri birbirine zıt ise sahi olabilir. Böylece iki H atomu birbirine çok yaklaşır. İki elektron da aynı hıza (aynı enerjiye) sahi olurlar ve uzaydaki aynı çok küçük bir bölgeyi işgal ederler. Eğer sinler aralel ise iki atom birbirini iter. Eğer sinleri aralel ise iki elektron birbirinden çok uzakta durmak isteyeceklerdir. Bu yüzden alışılagelmiş elektrostatik enerji (Coulomb) sin yönelimleriyle düzeltilmiştir. Bu da şu anlama gelir: Değiş-tokuş (change) kuvvetinin kaynağı aslında elektrostatiktir.

4 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi Değiş-tokuş (change) ifadesinin ortaya çıkması ise şöyle açıklanabilir: İki komşu atom olsun.. elektronun. roton etrafında,. elektronun. elektron etrafında dolandığını düşünelim. Fakat elektronlar birbirlerinden ayırt edilemez ve elektronların birbirlerinin yerlerini değiş-tokuş edeceği ihtimalini de göz önüne almak zorundayız. Böylece. elektron. roton etrafında,.elektron da.roton etrafında dolanacaktır. Bu durum dikkate alındığı zaman iki atomun tolam enerji ifadesine değiş-tokuş (change) enerjisi eklenecektir. Hidrojen molekülünde bu elektron değiş-tokuşu çok yüksek frekanslarda meydana gelmektedir (saniyede yaklaşık 0 8 defa). Değiş-tokuş enerjisi birçok katının kovalent bağlarının ve birçok molekülün tolam enerjilerinin önemli bir kısmını oluşturmaktadır. Heisenberg bu enerjinin ferromanyetizmada belirleyici bir işleve sahi olduğunu göstermiştir.

5 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi Eğer iki i ve j atomu sırasıyla h S ve i j π π sin açısal momentumlarına sahise, bu iki atom arasındaki değiş-tokuş enerjisi aşağıdaki ifadeyle verilir: E = J S S = J S S cosϕ i j i j S J : Değiş-tokuş integrali ϕ: Sinler arasındaki açı h (4.3) Eğer J ozitif ise: E ; sinler aralel olduğunda (ϕ=0, cos ϕ=) minimum, antiaralel olduğunda (ϕ=80, cos ϕ= - ) maksimumdur. Eğer J negatif ise: Minimum enerji durumu sinlerin antiaralel (ϕ=80, cos ϕ= - ) olduğu durumdur.

6 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi E = J S S = J S S cosϕ i j i j Şimdiye kadar öğrendiğimiz gibi, ferromanyetizma komşu atomların manyetik momentlerinin aralel yönelimlerinden kaynaklanır. Dolayısıyla değiş-tokuş integralinin ozitif bir değer olması ferromanyetizmanın oluşması için gerekli bir koşuldur. Bu da nadir bir durumdur. Çünkü hidrojen molekülünde olduğu gibi J genellikle negatiftir. Weiss teorisine göre ferromanyetizma atomik momentleri aralel yönelten güçlü moleküler alandan kaynaklanır. Daha modern dille biz momentleri aralel hale getirenin değiş-tokuş kuvvetleri olduğunu söylüyoruz. Fakat sadece isimde yaılan değişiklikle ferromanyetizma üzerindeki bütün sırrı kaldırdığımızı söyleyemeyiz. H molekülü ile bir Fe kristali arasında çok büyük bir fark vardır. Bu yüzden Fe in değiş-tokuş enerjisini hesalamak çok zordur.

7 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi E = J S S = J S S cosϕ i j i j Yukarıdaki ifade iki atom içindir. Birçok atomdan oluşan bir kristal için bütün atom çiftleri üzerinden tolam yazılmalıdır. Değiş-tokuş kuvvetleri uzaklıkla azalır, dolayısıyla en yakın komşu atomları dikkate alabiliriz. Bu basitleştirme bile roblemin tam çözümüne imkan sağlamaz. Şuan ki bilgi seviyesiyle, Fe in ferromanyetik olacağını first rinciles ile tahmin etmek mümkün değildir (Cullity). Bununla birlikte, değiş-tokuş kuvvetlerinin ferromanyetizmaya, daha sonra göreceğimiz antiferromanyetizma ve ferimanyetizmaya sebe olduğu bilgisi birçok değerli sonuçlar elde etmemizi sağlamıştır. Mesela, ferromanyetizmanın bazı metallerde görünü de diğerlerinde niye olmadığını açıklamamıza yardım ediyor.

8 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi Mademki moleküler alan ve değiş-tokuş etkileşmesi aynı şeyler, öyleyse aralarında bir bağlantı bulunmalıdır. Bu bağlantı için yaklaşık bir ifade bulabiliriz. Bir kristal yaının koordinasyon sayısı Z olsun. Her bir atomun Z tane en yakın komşusu olsun ve değiş-tokuş kuvvetleri yalnızca en yakın komşular arasında etkili olsun. Her bir atom aynı S sine sahise ve bütün sinler birbirlerine aralelse, bir atom ve etrafını çeviren atomlar arasındaki değiş-tokuş enerjisi aşağıdaki gibi yazılabilir: E = Z( J S ) (4.4) Bu enerji, H m moleküler alanındaki bir atomun otansiyel enerjisine eşittir. E m = µ H (4.5) E = E Z( J S ) = µ H (4.6) m

9 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi H γρσ 0 ifadesi 4.3 denklemiyle Curie sıcaklığı T C ye bağlıdır. Z( J S ) = µ H (4.6) m T C ZJ S = = γρσ (4.7) µ µγρσ 0 J + = k 3J Sin için J=S olduğundan: 0 m ZJ S kstc = µ µ ( S + ) 3 (4.8)

10 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi J = 3kT C ZS( S + ) (4.9) Bu denklemde görüldüğü gibi değiş-tokuş integrali (J ) Curie sıcaklığı (T C ) ile orantılıdır. Değiş-tokuş kuvvetleri esas olarak atomların geometrik düzenine değil atomlar arası uzaklıklara bağlıdır. Dolayısıyla ferromanyetik düzen olması için malzemenin kristal yaıya sahi olması şart değildir. Bu yüzden amorf ferromanyetik malzemeler de vardır ve ilk defa 968 de Mader ve Nowick tarafından yayınlanmıştır.

11 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi Şekildeki eğri, genellikle Bethe-Slater eğrisi olarak isimlendirilir ve değiş-tokuş integralinin atomlar arasındaki uzaklıkla (r a /r 3d oranıyla) değişimini göstermektedir. Burada r a atomun yarıçaı, r 3d ise 3d kabuğunun yarıçaını göstermektedir. Bir katıda atomların birbirine değdiği kabul edildiğinden iki atom merkezinin birbirine uzaklığı atom çaı r a ile verilir. Eğer aynı cins iki atomun 3d kabuklarının yarıçaı (r 3d ) değişmeden birbirine çok yaklaştırılırsa, r a /r 3d oranı azalır. Bu oran büyük olduğu zaman J küçük ve ozitiftir. Oran azaldıkça ve 3d elektronları birbirine çok yaklaştırıldıkça ozitif değiş-tokuş etkileşmesi (sinler aralel) daha güçlü hale gelir ve sonra sıfıra gider. Atomlar arası uzaklığı daha da yakın hale getirirsek, sinler antiaralel hale gelir (negatif J ). Bu durum antiferromanyetizma olarak isimlendirilir.

12 Değiş-tokuş (Exchange) Etkileşmesi Eğer bilinen atom çaları ve kabuk yarıçalarından r a /r 3d hesalanabilirse, bu şekil birçok farklı elemente uygulanabilir. J ozitif olduğu zaman onun büyüklüğü Curie sıcaklığı ile orantılıdır. Çünkü güçlü değiştokuş kuvvetleriyle aralel halde bulunan manyetik momentleri bozmak için çok büyük miktarda termal enerji gerekir. Fe, Co ve Ni in eğri üzerindeki yerleri onların Curie sıcaklıkları ile uyumludur. Co en yüksek T c ye, Ni en düşük T c ye sahitir. Bethe-Slater eğrisinin arkasındaki teori çok eleştiri alsa da, bu eğri ferromanyetik olmayan elementlerden oluşan alaşımların nasıl ferromanyetik olabileceği izah edilebilmektedir. Mesela MnBi ve Heusler alaşımları (Cu MnSn ve Cu MnAl). Alaşımlarda Mn atomları saf Mn dakine göre birbirinden çok uzakta olduğundan, r a /r 3d oranı değiş-tokuş etkileşmesini ozitif yaabilecek kadar büyür.

13 Sin Dalgaları (Magnonlar) Biz basitleştirmek için ferromanyetik bir malzemedeki bütün manyetik momentlerin birbirine aralel olduğunu varsaydık. Bir çizgi veya çember üzerinde S sinine sahi Z tane atom olduğunu ve birbirine en yakın komşu atomların Heisenberg etkileşmesiyle birbirine bağlandığını düşünelim. Z E = J S S + = (4.30) Peki birbirine aralel yönelmiş manyetik momentlerden birini uyarırsak, yani bir tane manyetik momenti ters çevirirsek ne olur? Bir manyetik momentin dönüşü sonucunda bu hareket bir dalga şeklinde komşu manyetik momentlere iletilir. Dalga yaısındaki bu uyarılmaya magnon (sin dalgası) denir. Çünkü bir manyetik momenti diğerlerine göre antiaralel hale getirmek için çok yüksek enerji gerekiyor. Bunun yerine bu dönüş diğer manyetik momentler tarafından aylaşılıyor.

14 Sin Dalgaları (Magnonlar) Peki birbirine aralel yönelmiş manyetik momentlerden birini uyarırsak, yani bir tane manyetik momenti ters çevirirsek ne olur? Bir manyetik momentin dönüşü sonucunda bu hareket bir dalga şeklinde komşu manyetik momentlere iletilir. Dalga yaısındaki bu uyarılmaya magnon (sin dalgası) denir. Çünkü bir manyetik momenti diğerlerine göre antiaralel hale getirmek için çok yüksek enerji gerekiyor. Bunun yerine bu dönüş diğer manyetik momentler tarafından aylaşılıyor.

15 Sin Dalgaları (Magnonlar) Şimdi 4.30 denklemini kullanarak P ninci atom için değiş-tokuş enerjisini yazalım: E = J SS J SS (4.3) + E = J S ( S + S ) (4.3) + P noktasındaki atomun manyetik momenti ise aşağıdaki gibi yazılabilir: E ( ) B µ = gs µ (4.33) Böylece, ( E ) = µ ( J / gµ B )( S + S+ ) (4.34) olduğundan P noktasındaki manyetik moment üzerine = µ H etkiyen değiş-tokuş alanı veya etkin manyetik alan: H = ( J / g )( S + S ) (4.35) µ B +

16 Sin Dalgaları (Magnonlar) H = ( J / g )( S + S ) (4.35) µ B + Mekanikten hatırlayacağımız gibi açısal momentumun değişme oranı, manyetik momente etkiyen torka eşittir. Böylece: S t S t S = µ H (4.36) t = H (4.37) ( gs µ / ) B 4.35 denklemini 4.37 de H yerine yazarsak: = ( J / )( S S + S S ) (4.38) +

17 Sin Dalgaları (Magnonlar) S = ( J / )( S S + S S+ ) t 4.38 denkleminin kartezyen bileşenlerini yazarsak: (4.38) S t x y z z z y y = J S S + S+ S S + S+ ( / ) ( ) ( ) Benzer olarak (4.39) S t y S ve t z de yazılabilir. Uyarılmamış durumda z ekseni manyetik moment yönünü tanımlıyorsa, uyarılmış durumu manyetik momentin (S nin) z yönünden saması olarak tanımlayabiliriz. S x ve S y bu samanın oranını gösteriyor. Eğer uyarılma genliği küçükse, S x, S y çarımlarını içeren terimleri ihmal edebiliriz.

18 Sin Dalgaları (Magnonlar) S t S t x y S, S S z S x y y y = JS S S S+ ( / )( ) y x x x = JS S S S+ ( / )( ) = S (4.40) z S t = 0 S = Ae, S = Be x i( ka wt) y i( ka wt) şeklinde tanımlayı 4.40 denklemlerinde yerlerine yazarsak: A ve B sabit, integer, a örgü sabitidir.

19 Sin Dalgaları (Magnonlar) ika ika iwa= ( J S/ )( e e ) B = (4 J S/ )( cos ka) B ika ika iwb = ( J S/ )( e e ) A= (4 J S/ )( cos ka) A (4.4) Eğer katsayıların determinantı sıfıra eşitse, 4.4 denklemleri A ve B için çözüme sahitirler. iw (4 JS / )( cos ka) = 0 ( 4 JS / )( cos ka) iw Böylece, w = 4 J S( cos ka) (4.4) (4.43) bulunur. Bu sonuç sin dalgası için disersiyon bağıntısıdır denklemiyle biz B=-iA buluruz. Bu da her sinin z-ekseni etrafında dairesel resesyon yatığını gösteriyor. B yerine ia yazarsak ve yalnızca reel kısımları alırsak: S = Acos( ka wt) S y Asin( ka wt) x = (4.44)

20 Sin Dalgaları (Magnonlar) Uzun dalga boyları için ka<< (k=π/λ), ve böylece 4.43 denklemindeki; cos ka ( ka) ve w ( J Sa ) k (4.45)

21 Sin Dalgalarının Termal Uyarılması Isıl denge durumunda k modundaki uyarılmış magnonların ortalama sayısı Planck dağılımı ile verilir: w ( J Sa ) k Bir T sıcaklığında uyarılan magnonların tolam sayısı ise: n k = wkt / e B n = n = dwd( w) n magnon k k k (4.46) (4.47) Burada D(w) birim frekans bölgesindeki magnon modlarının yoğunluğudur ve aşağıdaki ifadeyle verilir: 3 ( ( ).4 ) dk Dw = π k. π dw olduğundan, dw = 4J Sa kdk

22 Sin Dalgalarının Termal Uyarılması Böylece: Yine k = dw dk = 4J Sa k w ( J Sa ) k w ( ) J Sa / ifadesinden k yı çekelim: (4.48) Bu ifadeyi Bu ifadeyi 4.48 denkleminde yerine yazalım: / / w JSa JSa dw 4JSa = = dk 3 dk Dw ( ) = ( ) (4 πk )( ) π dw Dw ( ) = ( ) 4π J Sa 3/ / w w / denkleminde kullanırsak: bulunur. (4.49)

23 Sin Dalgalarının Termal Uyarılması Böylece 4.47 denkleminden tolam magnonların sayısı: 3/ 3/ / / w kt B x magnon = k = wkt / B x k π JSa = e π J 0 Sa e 0 n n dw dx 4 4 / x dx integrali tablolarda bulunabilir ve değeri (0.0587)4π ye eşittir. e x 0 n magnon 3/ 3/ kt B kt B = (0.0587)4 (0.0587) π = 4π JSa JSa (4.50)

24 Sin Dalgalarının Termal Uyarılması Her magnon mıknatıslanmayı gµ B kadar düşürür. O zaman net mıknatıslanma: n magnon ns nmagnon M = ngµ BS gµ Bnmagnon = ngµ BS( ) ns M M 0 = n magnon ns (4.5) ifadesi mıknatıslanmadaki oransal değişime ( M/M 0 ) eşittir. Birim hacimdeki atomların sayısı n, Q/a 3 tür. Burada sc, bcc ve fcc örgüleri için sırasıyla, ve 4 tür. 3/ kt B n M magnon JSa = = M Q 0 ns S 3 a M kt B = M 0 SQ JS Yani mıknatıslanma doyum değerinden T 3/ bağıntısı ile azalmaktadır. 3/ (4.5)