KAR YER: KARMA IK H PERBOL K GEOMETR (COMPLEX HYPERBOLIC GEOMETRY)

Transkript

1 . KAR YER: KARMA IK H PERBOL K GEOMETR (COMPLEX HYPERBOLIC GEOMETRY) Doç. Dr. A. Muhammed Uluda Galatasaray Üniversitesi Mühendislik ve Teknoloji Fakültesi Bilgisayar Mühendisli i Bölümü Çra an Cad. No: Ortaköy/ Istanbul Tel: muludag@gsu.edu.tr Açklamalar: 1. Ara³trmac bilgisayar mühendisli i bölümünde çal³maktadr, ancak uzmanlk alan, dolaysyla da önerilen proje pür matematikle ilgilidir ve TBAG (Temel Bilimler Ara³trma Grubu) kapsamnda de erlendirilmelidir. 2. Ara³trmac doktorasn 2000 ylnda alm³tr. 3. Galatasaray Üniversitesi bir devlet üniversitesidir.

2 KAR YER : Karma³k Hiperbolik Geometri Proje Özeti: Öklid'in be³inci aksiyomu, düzlemde bir do ruya verilen bir noktadan bir ve sadece bir paralel çizilebilece ini söyler. Bunun yerine, verilen bir do ruya bir noktadan sonsuz sayda paralel çizilebilece ini kabul ederek, Öklidgil olmayan ama tutarl yeni bir geometriye ula³lr ki buna hiperbolik geometri ad verilir. Karma³k fonksiyonlar, saylar kuram gibi alanlarla içi içe geçmi³ bu geometri Gauss tarafndan ke³nden bu yana matemati in ana temalarndan biri olmu³tur. Karma³k hiperbolik geometri ise bu geometrinin dört boyuta genellemelerinden biridir ve cebirsel geometri ile organik ba lar vardr. 1880'lerde Lauricella, Picard ve Le Vavasseur tarafndan yaplan çal³malardan sonra 50 yllk bir durgunlu un ardndan Terada, Deligne, Mostow, Hirzebruch, Yoshida ve Holzapfel gibi matematikçilerin çal³malaryla yeniden faaliyete geçen alan bugüne dek kararl bir geli³me göstermi³tir. Moduli uzaylar, cebirsel geometri ve saylar kuram ile ba lantlar sayesinde bu alandaki geli³meler önemli uygulama alanlar bulmaktadr. Alanda çözülmeyi bekleyen ana sorun karma³k top üzerinde etkiyen kesikli gruplarn snandrlmasdr. Özgün katklar: Ara³trmac, alandaki kuramsal çal³malarna önümüzdeki dönem de devam etmekle birlikte konunun saylar kuram ile ba lantlarn da irdelemeyi dü³ünmektedir. Öte yandan, alandaki önemli sonuçlar lisans üstü ö rencilere hitap eden tarzda sunan bir ba³vuru eserine ihtiyaç vardr. Ara³trmac, alann uzmanlarndan Prof. R.P. Holzapfel ile bu nitelikleri ta³yan bir kitap hazrlamaktadr. Ara³trmac bu alanda 2005'te Galatasaray Üniversitesi'nde gerçekle³ecek olan bir yaz okulu düzenlemektedir. Yaz okulunun ana destekçisi bir fransz kurulu³u olan CIMPA olmakla beraber, TÜB TAK-TÜSEP'ten da bir katk beklenmektedir. Özellikle Türkiye ve kom³u ülkelerden gelen lisans üstü ö rencilerine yönelik olan yaz okulunun son iki günü konferans ³eklinde düzenlenecek olup konunun uzmanlarna da hitap etmektedir. Yaz okulu ders notlarnn da yaynlanmas dü³ünülmektedir. Ara³trmac, izleyen yllarda konu üzerinde ara³trma yapma, ö renci yeti³tirme, konferans ve yaz okulu düzenleme etkinliklerine devam etmeyi tasarlamaktadr. Yaygn etkiler: Yaz okulu ve kaynak kitap ile alann uzmanlarnca e itilmi³, en güncel konularda bilgi sahibi ara³trmaclar yeti³tirilecektir. Olu³turulacak çal³ma grubu uluslararas bilimsel i³birli inin güçlendirilmesine katkda bulunacaktr. Bu bilimsel i³birli i özellikle Avrupa ülkeleri ve Türkiye'nin tüm kom³u ülkelerine yöneliktir. Galatasaray Üniversitesi'ninFransz-Türki³birli iilekurulmu³olmas, dolaysylamerkezîavrupadevletleri ile sk ba lantlar bulunmas söz konusu bilimsel i³birli inin yürütülmesi için en uygun ortam sa lamaktadr. Galatasaray Üniversitesi'nin bu konumu sayesinde CIMPA ve Avrupa Toplulu u gibi d³ kaynaklarndan düzenli yardm almak ve söz konusu yaz okulunu ve bilimsel i³birli ini kurumsalla³trmak mümkün olacaktr. A. Muhammed Uluda

3 KAR YER: KARMA IK H PERBOL K GEOMETR / A. MUHAMMED ULUDA KAR YER GEL T RME PLANI Önerilen projenin amac: Ara³trmacnn uzmanlk alan olan Karma³k Hiperbolik Geometri alannda ve bu alann çevresindeki Hipergeometrik Türevsel Denklemler, Cebirsel Yüzeyler, Moduli Sorunlar, Do ru Düzenlemeleri konularnda ara³trma yapmak, bir ba³vuru kitab hazrlamak, çal³ma grubu olu³turmak, ö renci yetir³tirmek, uluslararas bilimsel i³birli ini geli³tirmek. Önerilen projenin yöntemi: Konu üzerine ba³vuru kayna niteli inde bir eser hazrlama, yaz okulu ve konferans düzenlemek üzere uluslararas kurulu³lardan parasal destek bulma, yazokuludersnotlarnnbaslmas, seminerlerdüzenleme, doktoravepost-doktora ö rencilerinekaynaksa lama, bilimselziyaretler, ulusalveuluslararastoplantlarakatlm. Önerilen projenin literatürdeki yeri: Alan, arasndaPicard, Appell, Lauricella ve Lavasseur gibi matematikçilerin hipergeometrik türevsel denklemler üzerine çal³malaryla açlm³tr, ancak 50 yl süren durgunlu un ardndan 1970'lerde Terada alana el atm³tr. Daha sonra Mostow, Deligne ve Hirzebruch alana girmi³tir. Alana Japon okulu da ilgi göstermi³ ve Naruki, R. Kobayachi, S. Kobayashi, Ichida, Yoshida, gibi isimler alanda çal³m³tr. Alanda baslm³ eserler: Deligne, Mostow Commensurabilities among lattices in PU(1, n) Barthel, Hirzebruch, Höfer Geradenkongurationen und Algebraische Flächen (1987) Yoshida Hypergeometric functions, my love (1997) Yoshida Fuchsian dierential equations (1987) Holzapfel Ball and surface arithmetics (1998), Holzapfel The Ball and Some Hilbert Problems (1996), Holzapfel Geometry and arithmetic around Euler partial dierential equations (1986) Ayn tema üzerinde hazrlanm³ bu kitaplarn isimlerindeki çe³itlilik, alann hipergeometrik fonksiyonlar ve diferansiyel denklemler, do ru düzenlemeleri, cebirsel ve izdü³ümsel geometri ve saylar kuram ile ba lantlarna i³aret etmektedir.

4 KAR YER: KARMA IK H PERBOL K GEOMETR / A. MUHAMMED ULUDA Yakn zamanlarda Livné, Thurston, Cohen gibi isimler alana ilgi göstermi³tir. Son günlerde konunun cebirsel geometrideki baz moduli sorunlaryla ilgisi ke³fedilmi³ ve Dolgachev, Kondo, Vakil, Allcock, Looijenga, Heckman, Kato, Deraux, Couwenberg, Doran, Wolfartgibiisimlerelatm³tr. Bumatematikçilerinço ununçal³malarnawww.arxiv.org adresinden arama yaparak ula³labilir. Görüldü ü gibi alan köklü bir geçmi³e ve gelene e sahiptir. Tannm³ bir çok matematikçinin ilgisini çekmi³tir. Di er bir çok alanla olan ba lantlar sayesinde bu alandaki geli³meler bir çok ara³trmac için önem arzetmektedir. Alanda son yllarda yaplan çal³malar dikkate alnd nda daha da geli³ece i görülmektedir. Önerilen projenin sa layaca katklar: Düzenlenen yaz okullar, ders notlar ve hazrlanan eserle güncel bilimsel sorunlara yakla³abilecek aletlerle donanm³ ara³trmaclar yeti³ecektir. Seminerler ve yaz okullar vesilesiyle davet edilen uzmanlar aracl yla Türkiye, kom³ular ve Avrupa ülkeleri arasndaki bilimsel i³birli i ve ileti³im artacaktr. Önerilen projenin, proje yöneticisinin kariyerindeki yeri: Ara³trmac, MilliE itim Bakanl bursu ile Fransa'da matematik doktorasn bitirmesinin ardndan Galatasaray Üniversitesi'nde (GSÜ) zorunlu hizmetini yapmaktadr. GSÜ bir devlet üniversitesi olup sa lad imkanlar di er devlet üniversiteleri ile ayndr. Önerilen proje, ara³trmacnn özel üniversiteler ve yurt d³ ile e³it ³artlarda çal³masna imkan verecektir. Önerilen projenin, proje yöneticisinin i³yeri ile uyumu: GSÜ Fransz-Türk i³birili iilekurulmu³birüniversiteolupmatematikbölümühenüzfaalde ildir. Uzunvadedebu bölümün faaliyete geçirilmesi arzu edilmektedir. Ö retim görevlilerinin bir ksm Fransa hükümetince sa lansa da Franszca bilen ve Türkiye'de devlet üniversitesi maa³laryla çal³abilecek matematikçi bulmada güçlükler vardr. Proje kapsamndaki etkinlikler sayesinde Franszca'nn yaygn oldu u Lübnan, Romanya gibi ülkelerden ara³trmac ve ö rencileri GSÜ'ye çekmek mümkün olacaktr. Öte yandan, güçlü Avrupa ba lantlar olan GSÜ, merkez Avrupa devletleri ve Türkiye'nin kom³ular arasnda bilimsel i³birli ini te³vik etmede önemli bir konumda bulunmaktadr. Bu konum sayesinde proje kapsamnda gerçekle³ecek olan yaz okulunun kalc hale gelmesi ve kurumsalla³mas mümkün olabilecektir. Proje yöneticisinin önceki çal³malarnn özeti: Master (Bilkent Üniversitesi): Karma³k analiz ve olaslk alanndadr. P. Levy tarafndan ortaya atlan giri³im i³lemi, olaslk yo unluklarnn süreklilik özelliklerini ancak geli³tirebilir ve hiç bir zaman bozamaz iddias, giri³imleri hiç bir yerde sürekli olmayan sürekli (hatta analitik) yo unluklar in³a edilerek çürütüldü. Sonuçlar Comptes Rendus Acad. Sci. vejournalofmathematicalanalysisandapplicationsdergilerindeyaymland.

5 Ara³trmacnn ortaya att bir tahmin daha sonra A. Ilinskii tarafndan ispatland. DEA (Institut Fourier): Riemann yüzeyleri üzerinde harmonik fonksiyon kuram üzerinedir. Tkz bir yüzeyin, Galois grubu yeterince büyük örtülerinde Green fonksiyonu oldu u Varoropulos ve di erlerince ispatlanm³t. Bu sonuçlar tkz-olmayan yüzeylere genelle³tirildi. Ayn zamanda V. Lin'in snrl harmonik fonksiyonlar hiperbolik bir Riemann yüzeyinin örtü a acnda tam nerede ortaya çkar? sorusu cevapland. Sonuçlar Osaka Journal of Mathematics'de yaymland. Doktora (Institut Fourier): CebirselE ritümleyenlerinintemelgruplarüzerinedir. Zariski tarafndan ba³latlm³ bu konu dü ümler kuramndaki dü ümü anlamak için, tümleyenin topolojisine bak felsefesinin cebirsel e rilere uyarlanmasdr. Ancak, dü ümler için tümleyenin temel grubunun bir sunumunu vermek oldukça kolay iken cebirsel e riler için bu i³lem zordur. Doktora tezinde Artal ve Degtyarev'in ardndan gidilerek Flenner ve Zaidenberg tarafndan snandrlm³ bir rasyonel çimdikli cebirsel e rinin temel gruplar hesapland ve bu e riler için Fenchel sorunu (düzlemin, verilen bir e ri üzerinde verilen sayda çatallanm³ sonlu bir örtüsü var m?) çözüldü. Öte yandan, sonsuz sayda Zariski çifti (ayn tekillikli ama farkl temel gruplu e riler) örne i verildi. Temel grubu sonlu de i³kensiz olan sonsuz sayda e ri örne i verildi. Sonuçlarn bir ksm Manuscripta Mathematica dergisinde yaymland. Bu makale daha sonra D. Garber tarafndan geli³tirildi. Post-Doktora (Emmy Noether Institute): Bir grup e ri-konik düzenlemesinin temel gruplar hesapland. Sonuçlar Topology and Applications dergisinde yaymland. Karma³k Hiperbolik Geometri: 2004'te Mathematische Annalen'de çkan bir makalede düzlem üzerinde iki boyutlu karma³k topça örtülen sonsuz kuleler in³a edildi. Alana orbifold yakla³m geli³tirildi ve iki Poincaré diskinin kartezyen çarpmnca örtülen sonsuz kuleler in³a etmede kullanld. Ayn zamanda mukabil Picard modüler gruplarnn temsilleri verildi. A. Kasparyan ³u anda bu makale üzerinde çal³maktadr. International Journal of Mathematics'te 2003'te çkan makalede bu sonuçlarn bir ksm üst boyutlara genellendi. Üç boyutlu karma³k izdü³ümsel uzayn üç boyutlu ane uzayca, sekizinci dereceden bir yüzey boyunca dallanm³ bir örtüsü in³a edildi. Bu örtünün Galois grubuna kristalograk grup denmektedir. Ayn makalede orbifold örgü gruplar tanmland ve bir çok Picard modüler grubu orbifold örgü grubu olarak yorumland. Güncel: 2003 yaznda Max Plank Enstitü'sündeki ziyaret esnasnda düzlemin düzgün K3 yüzeylerince Galois örtüleri snandrld. Sonuçlar Annales Scientiques de l'institut Fourier dergisine gönderildi. Ara³trmac, 2004 yaznda Max Planck Enstitü'sünde elliptik e riler üzerinde sras 6 olan nokta kümeleri ile ilintili konik-do ru düzenlemeleri üzerinde çal³may tasarlamaktadr. Gelecekte: Ara³trmac, uzun vadede hipergeometri ve saylar kuram ile ba lantlar üzerinde çal³mak istemektedir. E itsel etkinlikler: Ara³trmac Saysal Analiz, Olaslk, Calculus, Kesikli Matematik, Otomatlar ve Diller Kuram gibi dersler vermektedir. Ara³trmac 2003 ylndan beri GSÜ'nün Franszca e itim veren liselerden ö renci ald ÖSS dengi iç snavn matematik sorularnn hazrlanmasnda görev almaktadr.

6 Görüldü ü gibi, ara³trmac de i³ik alanlarda bir çok konu ile ilgilenmi³tir. Yaynlar di erara³trmaclarndailgisiniçekmi³veyeniçal³malarayolaçm³tr. Doktoraardndan yapt yaynlarla ba msz çal³ma yetene i ve azmi oldu unu kantlam³tr. Ara³trma olanaklar: Ara³trmacnn ba l bulundu u kurumca sa lanan olanaklar:galatasarayüniversitesibir devlet üniversitesi olup, imkanlar snrldr. GSÜ do rudan parasal destek sa layamasa da, özel olarak Fransa ve genel olarak Avrupa ile ba lantlar sayesinde d³ destek bulunmasnaimkanvermektedir. Yazokuliçinyurtd³destekalnmasndaGSÜ'nünbukonumu yardmc olmu³tur. Ayn ³ekilde Fransz Büyükelçili i ve AUF (Agence Universitaire de Francophonie- Franszca Üniversiteler Kurumu) deste i de bu sayede edinilmektedir. Kariyerce sa lanmas istenen olanaklar: - A. Ara³trma personeli (Proje Yöneticisi): Ara³trmac yaz okulu, yaz okulu ders notlarnn hazrlanmas ve eser hazrlamada çal³maktadr. - A. Ara³trma personeli(misar Ara³trmac): Ara³trmac, senede iki misar ara³trmacnn seyahat ve barnma masraarnn (yol+toplam 20 gün) kar³lanmasn istemektedir. - B. Yardmc Personel: (Doktoral Personel): (1) Yaz okulu düzenlemesinde ba³ka ara³trmaclardan yardm almaktadr, bu ki³iler de i³ik seviyelerde katkda bulunmakta ve mesai harcamaktadr. (2) Ara³trmac, bir post-doktora ö rencisini bir yll na davet etmek istemektedir. - B. Yardmc Personel: (Lisans Ö rencisi): Yaz okulu düzenlemek için internet sayfas tasarlama ve güncelleme gibi i³ler için bir adet lisans ö rencisine ihtiyaç olmaktadr. E. Yaz okulu ve konferanslarda kullanlmak üzere bir adet yanstcya ihtiyaç vardr. - F. Seyahat: Ara³trmac, senede iki yurt d³ seyahat masraarnn (yol+toplam 20 gün)veikiyurtiçiseyahatmasraarnn(yol+toplam10gün)kar³lanmasnistemektedir. G. Sarf malzemesi: Lazer yazc için kartu³. - G. Bilgi- ³lem: Ara³trmac, bir adet lap-top bilgisayar ve lazer yazcya ihtiyaç duymaktadr. Çal³ma takvimi: Planlanm³ etkinlikler: Kaynak eser için: 2004 Bahar K³ AGAHF 2005 Yaz Okulu için: 2004 Bahar Yaz AGAHF 2005 Yaz Okulu ders notlarnn basm için: 2005 Bahar Sonbahar Konu üzerinde orijinal çal³ma yapma amacyla Max Planck Enstitüsünü ve Berlin Humboldt Üniversitesini ziyaret: A ustos-ekim 2005 Tasar a³amasnda olan etkinlikler: Ara³trma Kurumu ziyaretleri: yaz aylar boyunca (henüz kesinle³memi³) Ara³trmac, döneminde iki post-doktora ö rencisini birer seneli ine davet etmeyi tasarlamaktadr.

7 Ara³trmac, CIMPA yaz okulunu her sene (ama de i³ik konularda) düzenlemeyi tasarlamakta ve bu yaz oklulunun kurumsallasmasn ummaktadr. Ara³trmac, 2006'da NATO destekli bir Hypergeometry konferans düzenlemek istemektedir. Bütçeye ili³kin açklamalar: (A) Ara³trma personeli (Misar Ara³trmac): Ara³trmac, ortak çal³ma yapt ara³trmaclar ksa süreli bilimsel ziyaretler için davet ederek yol ve barnma masraarn kar³lama imkanna ihtiyaç duymaktadr. Bu kalem bütçe formunda net olarak gösterilmedi i için yardmc personel kalemine alnm³tr, gösterilen miktarlar yol ve barnma masraardr. Projenin yürütülece i kurulu³un deste i: Bkz. ek-1 Di er destekler: Yaz okulu için CIMPA(Center International de Mathématiques Pures et Appliquées) tarafndan Euro destek alnm³tr. Yaz okuluna destek için ba³ vurulacak di er kaynaklar ³unlardr: TÜB TAK (4000 $) ICTP-(International Center for Theoretical Physics)/Trieste, (5000 $) IMU (International Mathematical Union) (3000 $) AUF (Agence Internationale de Francophonie) ve Fransz Büyükelçili i (4000 $) Bu tutarlar, sadece 2005 yaznda düzenlenecek olan AGAHF yaz okulu için geçerli olup sonraki yaz okullar ve konferanslar için CIMPA, NATO ve AT fonlarndan ayrca parasal destek aranacaktr. Yaz okulu için daha ayrntl bilgi, CIMPA'nn internet sayfasndan edinilebilir: Ara³trmacnn yurtd³ ara³trma merkezlerine ve üniversitelere yapt ziyaretler de destek kapsamnda de erlendirilmelidir. Ara³trmac 2004 A ustos-ekim aylarnda Max Planck Enstitü'sünde ziyaretçi olarak bulunacaktr. Sonraki senelerde de bu çe³it ziyaretlere devam etmeyi tasarlamaktadr. Ara³trmac birlikte eser hazrlad Prof. R. P. Holzapfel tarafndan Humboldt Üniversitesi kaynaklaryla Almanya'ya davet edilmi³tir, önümüzdeki dönemde de bu ziyaretlerin gerçekle³mesi beklenmektedir. Bu kaynaklar da projeye dolayl deste olarak de erlendirilebilir. Prof. R. P. Holzapfel'in destek mektubu için bkz. ek-2 Özgeçmi³ ve yayn listesi: Bkz. ek-3 Kaynakça: 1. AGAHF 2005 yaz okulu CIMPA internet sayfasnda ilan edilmi³tir: 2. Ara³trcnn güncel yaynlarna adresinden arama yaparak ula³labilir.

8 3. Alann 1993'e kadarki bir özeti, Hirzebruch ve Cohen tarafndan yazlm³, Deligne ve Mostow'un kitabnn review'inde bulunabilir: adresinden ula³labilecek baz güncel makaleler: - Wim Couwenberg, Gert Heckman, Eduard Looijenga Geometric structures on the complement of a projective arrangement - Brent R. Doran Hurwitz Spaces and Moduli Spaces as Ball Quotients via Pull-back -BrentR.Doran Moduli Space of Cubic Surfaces as Ball Quotient via Hypergeometric Functions - I. Dolgachev, B. van Geemen, S. Kondo A Complex Ball Uniformization of the Moduli Space of Cubic Surfaces Via Periods of K3 Surfaces -T.Sasaki, M.Yoshida The uniformizing dierential equation of the complex hyperbolic structure on the moduli space of marked cubic surface II - William P. Thurston Shapes of polyhedra and triangulations of the sphere Kariyer programna uygunluk belgesi: Ara³trmacdoktorasn2000ylndaFransa'da alm³ olup Kariyer program ³artlarn sa lamaktadr. Bkz ek-4 Ara³trma grubu: TBAG - Temel Bilimler Ara³trma Grubu (Matematik) Uzmanlar: Konu hakknda bilgisine ba³vurulabilecek baz uzmanlarn adresleri: - Yaz okulu için CIMPA'nn yöneticisi Prof. M. Jambu'dan bilgi alnabilir. Michel Jambu, Directeur du CIMPA, 4 avenue Joachim, NICE, France tel : , fax: jambu@unice.fr - Alan hakknda ve ortak çal³ma hakknda Prof. Rolf- Peter Holzapfel'den bilgi alnabilir. R. P. Holzapfel, Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik, Rudower Chaussee 25, Berlin, Raum Berlin tel. +49 (0) , fax +49 (0) holzapfl@mathematik.hu-berlin.de - Alan hakknda bilgi edinmek için Prof. Masaaki Yoshida'dan bilgi alnabilir. myoshida@math.kyushu-u.ac.jp - Ara³trmacnn doktora çal³mas konusunda Prof. A. Degtyrarev uzmandr. Prof. A. Degtyrarev, Matematik Bölümü, Bilkent, Ankara 06533, Tel: +90 (312) Fax: +90 (312) degt@fen.bilkent.edu.tr - Ara³trmac master çal³masn Prof. I.V. Ostrovskii dan³manl nda yapm³tr. Prof. I.V. Ostrovskii, Matematik Bölümü, Bilkent, Ankara 06533, Tel: (90)(312) Fax: (90)(312) iossif@fen.bilkent.edu.tr - Prof. Dr. Hur³it Önsiper Ara³trmacnn doçenlik jüri ba³kanl n yapm³tr. Matematik Bölümü, Orta Do u Teknik Üniversitesi, Ankara, Tel: , Fax: , hursit@metu.edu.tr