2. BÖLÜM AKIŞKANLARIN STATİĞİ

Transkript

1 . BÖLÜM AKIŞKANLARIN STATİĞİ Akışknlr mekniğinin birçok probleminde reket yoktur. Bu tip problemlerde durn bir kışkn içinde bsınç dğılımı ve bu bsınç dğılımının ktı yüzeylere ve yüzen vey dlmış cisimlere etkileri ele lınır (Wite, 004). Bu bölümün mcı: - Durgun lde bulunn kışknlrl ilgili meknik knunlrı çıkrmk - Çıkrıln bu knunlrı prtik problemlere uygulmk. Kym gerilmesi oluşmyn kışkn idel kışkn denir. (Sürtünmesiz kışkn) Kym gerilmesi () = 0 Viskozite () = 0 Hız grdynı (du/dy) = 0 İdel kışkn. Bir Noktd Bsınç En ufk kym gerilmesinin etkisi ltınd di, kışknın şekil değiştirdiğini (yni reket ettiğini) görmüştük. Bun göre, kışkn reket etmiyors, yni durguns, içerisinde erngi bir kym gerilmesi oluşmz. Kym gerilmesi oluşmyn durgun kışknd boyutlrı dx.dz.ds oln üçgen prizmy bsınç gerilmeleri uygulnıyor. Şekil düzlemine dik derinlik () dir (Sümer vd., 993). df = p.dz. dz ds df 3 = p 3.ds. dx df = p.dx. dx.dz dw γ.. (Cismin ğırlığı nedeniyle oluşn kuvvet)

2 Prizmy etkiyen kuvvetler için denge denklemleri yzılırs; F x = p.dz p 3.ds.Sin = 0 () dx.dz F z = p.dx γ..- p 3.ds.Cos = 0 () Şeklin geometrisinden dolyı dx = ds.cos, dz = ds.sin (3) de yzıln ifdeleri () ve () de yerine koyrsk p = p 3 (4) p = p 3 + dz γ. (5) (3,b) dx 0 ve dz 0 ise dx.dz.ds üçgeni bir nokty indirgenecektir. Bu lde (4) denkleminden ve dz 0 için (5) denkleminden p = p =p 3 (6) bulunur. SONUÇ: Bir noktd bsınç doğrultudn bğımsızdır. Bir noktdki bsınç ngi doğrultud etkirse etkisin değeri değişmez.(x, y, z) koordintlrın (noktlrın) bğlıdır. Yönle değişmez. p p (yön) p = p(x,y,z) = p (nokt) yönle değişmediğine göre SKALER bir büyüklüktür.. Bsıncın Derinlikle Değişimi düşünelim. Durgun bir kışkn kütlesi içerisinde boyutlrı..dz oln bir kışkn prçsı H Atmosfer dz (p+dp).. dw =.dz. p 0 p0 Mutlk Bsınç Röltif Bsınç p 0 z z p...h p 0

3 Bu prizmtik elemnter prçnın tbnın etkiyen bsınç p olsun. dz kdr yukrıd bsınçtki değişiklik dp olsun; o lde bu prizmtik prçnın üst yüzüne etkiyen bsınç (p+dp) olck. Bu prizmtik prçnın ğırlığı dw =.dz dir. z doğrultusnd denge denklemi: F z = p (p+dp) - dz = 0 dp = - dz bu ifdenin integrl, lınırs p = - z + sbit (7) Sınır koşulu kullnılırs z = H olurs, burdki bsınç tmosfer bsıncıdır. z = H p = p 0 = tmosfer bsıncı integrl sbiti; sbit = p 0 + H...(8) (7) ve (8) denklemlerinden p = p 0 + (H-z) Burdn bsıncın derinlikle değişimi için şu önemli denklem elde edilir. p = p 0 + HİDROSTATİK BASINÇ KANUNU...(9) Mutlk Bsınç p - p 0 = Röltif bsınç Bsınç derinlikle lineer değişmektedir. Doğrunun eğimi suyun özgül ğırlığı () yi verir. Hidrosttik Bsınç Knunun göre, kışkn değişmemesi koşulu ile durgun bir kışknd ynı derinliklerde bsınç d ynıdır. Bu noktlrın geometrik yeri birer yty düzlem oluşturur. İşte bu yty düzlemlere EŞ BASINÇ YÜZEYİ vey NİVO YÜZEYİ diyoruz..3. Değişik Ağırlıklı Sıvılr Mutlk Bsınç En ğır ltt, n fifi en üstte olck Röltif Bsınç şekilde kbın içine sıvı yer lırlr. kbın tbnındki bsınç; p p = p

4 .3. Birleşik Kplr (-) d bir nivo yüzeyidir. Bun göre p 0 +. = p 0 +. ( - ). = 0 Civ Sıfır olmycğın göre ( - ) = 0 = = ifdesi sıvı yüzeylerinin ynı seviyede olduğunu göstermektedir..3.3 Mnometre Bsıncın değerini belirlemeye yrr. mnometre ile belirliyoruz. Akışkn B A y Civ - bir nivo yüzeyidir; bu yüzey üzerinde bsınçlr birbirine eşittir. p = p p = p B +.y = p A +.y p = p 0 + c. p A = p 0 + c. -.y ve y ölçülebilir p A bulunur..3.4 Toricelli Deneyi Boşluk p = 0 Tüpün tepesinde p = 0 dır. Şekilde - bir nivo yüzeyidir. p = p p = p 0 p = 0 + c. = c. Son iki denklem, ilk denklemde yerine konck olurs: Civ Civ p 0 = c. = 0,76 m ve c = 3,6 t/m 3 olduğun göre tmosfer bsıncı: p 0 = 0,33 t/m 4

5 Eğer civ yerine, su kullnılmış olsydı, = t/m 3 ve p 0 = 0,33 t/m den p 0 0,33 0,33m Yni tmosfer bsıncı yklşık olrk 0 m lik su sütunun eşdeğerdir. Bun Teknik Atmosfer denir..3.5 Pscl Knunu F Şekilde görülen kbın içerisinde gz vrdır. Gz piston etkiyen F kuvveti vsıtsı ile sıkıştırılmıştır. Pistonun gzl temst oln yüzeyine etkiyen bsınç: p = F / A A, pistonun kesit lnıdır. Herngi bir noktsındki bsınç P = p +, gzın özgül ğırlığı, prtikte << p olcğı için, p ynınd iml edilerek: p p O lde Pscl Knunu: Denge linde bulunn bir kışkn, kplı bir kp içerisinde bsınc mruz klırs, ğırlık iml edildiği tkdirde, kbın er noktsınd bsınç ynıdır. 5

6 .3.6 Düzlemsel Yüzeylere Etkiyen Bsınç Kuvveti.3.6. Düşey Bir Duvr Üzerine Gelen Bsınç da A da elemnter lnının: Su trfınd bsınç = p 0 + Kesit - Hv trfınd bsınç = p 0 Bileşke bsınç = da lnın etkiyen bileşke bsınç = da Trlı ln (A) lnın etkiyen bileşke bsınç F da A Trlı A lnın etkiyen yyılı yükün bileşkesidir. Ttbik noktsı bu yyılı yükün ttbik noktsıdır. 6

7 .3.6. Eğimli Bir Duvr Üzerine Gelen Bsınç da sin =da df da A da cos =da x da elemnter lnının Su trfınd bsınç = p 0 + Kesit - Hv trfınd bsınç = p 0 Bileşke bsınç = da lnın etkiyen kuvvet df = da olcktır. Bu kuvvetin yty ve düşey bileşenleri: df x = da cos = da x df x soldn sğ doğru df = da sin = da df yukrıdn şğıy doğru da x ve da lnlrı da lnının sırsı ile düşey ve yty düzlemler üzerindeki izdüşümleridir. Bu ifdeleri integre edersek, F A lnın etkiyen bsınç kuvvetinin yty bileşeni bu lnın düşey düzlem x da x Ax üzerindeki izdüşümüne etkiyen bsınç kuvvetine eşittir. F Bu yüzey üzerindeki su prizmsının ğırlığın eşittir. Bu kuvvet su da A prizmsının ğırlık merkezinden geçer. 7

8 .3.7 Silindirik Yüzeylere Etkiyen Bsınç Kuvveti O B H p dx ds p 0 df df x df ds dx d da cos =da x Bu yüzeyin, lnı ds.b oln elemnter prçsın gelen bsınç p ise Su trfınd bsınç = p 0 + Hv trfınd bsınç = p 0 Bileşke bsınç = Bu prçy etkiyen bsınç kuvveti: df x = ds b cos = b d df = ds b sin = b dx Bütün yüzey lnın gelen bsınç kuvvetinin yty ve düşey bileşenleri; F F x x H H b d b 0 H b dx b Aln (OBAO) 0 8

9 .3.8 Arşimet Knunu Bu cismin üst yüzüne gelen bsınç kuvveti: F = 345 bölgesindeki suyun ğırlığı (üst) ( ) Cismin lt yüzüne gelen bsınç kuvveti: F = 365 bölgesindeki suyun ğırlığı (lt) ( ) Bileşke kuvvet: F = F -F = bölgesindeki suyun ğırlığı Bu kuvvetin yönü yukrı doğrudur. Bu demektir ki, bir cisim, yerini değiştirdiği kışknın ğırlığı kdr bir kuvvetle yukrı doğru kldırılır. Eğer cisim su yüzünde yüzen bir cisim olsydı, Cisme etkiyen kldırm kuvveti, cismin yerini değiştirdiği suyun ğırlığı kdrdır; yni F = 3 3 bölgesindeki suyun ğırlığıdır. Böyle bir cisme etkiyen iki kuvvet vrdır. ) cismin ğırlığı,w b) Cisme gelen kldırm kuvveti, F Şyet cismin ğırlık merkezi erngi bir sebeple, kldırm kuvvetinin etkidiği düşey doğrultudn sğ vey sol kyrs (örneğin simetrik olmyn bir yükleme dolyısyl) yüzen cismin stbilitesi bozulbilir. Yüzen cismin yer değiştirmesi linde, kldırm kuvvetinin ttbik noktsı d yer değiştireceği için, stbilite nlizi güçtür. 9