Delaminasyonlu Sandviç Kompozitlerin Dinamik Davranışlarının İncelenmesi

Transkript

1 Delaminasyonlu Sandviç Kompozitlerin Dinamik Davranışlarının İncelenmesi A.İ. Güldoğan * G. Şakar Atatürk Üniversitesi Atatürk Üniversitesi E Erzurum Erzurum Özet Sandviç kompozitler, kompozit malzemelerin özel bir çeşidi olup, iki tane ince ve rijit alt ve üst yüzey tabaka arasına kalın ama oldukça hafif çekirdek malzemesinin yerleştirilmesiyle elde edilir. Sandviç kompozitler, özellikle klasik malzemelere oranla sahip oldukları hafiflik, yüksek dayanım/ağırlık oranı, dayanıklılık gibi özellikleri sayesinde havacılık ve uzay sanayinden, denizcilik, otomotiv ve yapı endüstrisine kadar değişen pek çok sahada geniş bir kullanım alanına sahiptir. Bu çalışmada delaminasyonlu (süreksizlik) sandviç yapıların serbest titreşim analizleri gerçekleştirilmiştir. Ankastre-serbest sınır şartına sahip delaminasyonlu kompozit yapıların doğal frekansları deneysel ve nümerik olarak belirlenmiştir. Delaminasyon büyüklüğü ve konumunun titreşim karakteristikleri üzerindeki etkileri incelenmiştir. Nümerik analizler ANSYS paket programı yardımıyla gerçekleştirilmiştir. ANSYS te sandviç yapının birebir aynı modeli (structural model) oluşturulmuştur. Anahtar kelimeler: sandviç yapı, delaminasyon, serbest titreşim, nümerik analiz Abstract Sandwich composites which are a special kind of composites are obtained by placing thick but light weighted core material in between two thin and rigid skin plates. Sandwich composites have a wider range of use in aircraft, space, marine, automotive and structural industry than the other conventional materials because of their lightweight, high strength-to-weight ratio and durability. In this study free vibration analysis of delaminated sandwich structures was carried out. The natural frequencies of delaminated sandwich structures for clamped-free boundary condition were determined experimentally and numerically. The effects of delamination size and locations on the vibration characteristics were examined. The numerical studies were performed with ANSYS package. Structural model was used for modeling the sandwich structure. Keywords: sandwich structure, delamination, free vibration, numeric analysis I. Giriş Günümüzde bir çok mühendislik uygulamasında hafif yapılar fazlasıyla kullanılmaktadır. Hafif yapılar olarak sandviç malzemeler bu uygulamalarda yoğun bir şekilde kullanılmaktadır. *guldogan_ali@hotmail.com gsakar@atauni.edu.tr 1 Sandviç yapılar, iki tane ince ve rijit alt ve üst yüzey tabaka arasına kalın ama oldukça hafif çekirdek malzemesinin yerleştirilmesiyle elde edilir (Şekil 1). Sandviç kompozitler, klasik malzemelere oranla sahip oldukları hafiflik, yüksek dayanım/ağırlık oranı, dayanıklılık gibi özellikleri sayesinde havacılık ve uzay sanayinden, denizcilik, otomotiv ve yapı endüstrisine kadar değişen pek çok sahada geniş bir kullanım alanına sahiptir. Sandviç malzemelerin, çeşitli uygulamalar için alt ve üst yüzey tabakaları ile çekirdeğinin farklı malzeme ve geometrik yapılardan seçilerek optimal dizaynların elde edilebilmesi en büyük avantajları arasındadır. Sandviç kompozit malzemelerin diğer alışılmış malzemelere göre bir çok avantajı olmasına rağmen, bu malzemeler sandviç yapıyı oluşturan çekirdek ve alt ve üst yüzey tabaka malzemeleri arasında delaminasyonların (süreksizliklerin) oluşmasına son derece müsaittirler. Ara yüzeyler arasında oluşan bu süreksizlikler, genellikle çekirdek ile alt ve üst yüzey tabaka malzemesinin yapıştırılmasında uygun yapıştırıcı seçilememesinden veya düşük hızlı veya şok darbe şeklinde yapı üzerinde medya gelen dış etkilerden kaynaklanmaktadır. Bu hatalar genellikle yapının rijitliğinin azalmasına sebep olurlar. Sandviç yapılarda bulunan delaminasyonlar doğal frekansları, sönüm oranını ve mod şekillerini değişikliğe uğratırlar. Bu sebeple sandviç yapıların dizayn edilip bunların sürdürülebilirliklerinin sağlanabilmesi için delaminasyonun yapının dinamik davranışları üzerine olan etkilerini iyi anlamak gerekmektedir. Bundan dolayı yapılan çalışmada, bu tür zorlamalar altında çalışan delaminasyonlu sandviç yapıların serbest titreşim analizlerinin yapılması temel amaçtır. Konuyla ilgli yapılan bazı çalışmalar şu şekildedir. Givli ve arkadaşları [1] delaminasyonlu sandviç kirişlerin doğrusal olmayan dinamik davranışını çalışmışlardır ve sandviç bir kirişin dinamik tepkisinde temas özelliklerinin önemini ve etkisini göstermişlerdir. Shu ve Della [2] iki tabakalı bir sandviç yapının temaslı delaminasyon problemini çalışmışlardır ve ayrıca iki örtüşmeyen delaminasyonlu kompozit kirişin serbest titreşimi için analitik bir çözüm sunmuşlardır. Çalışmalarında delaminasyonların konumu ve boyutlarının doğal frekanslar ve mod şekilleri üzerinde önemli bir etkiye sahip olduğunu göstermişlerdir. Baba ve Gibson [3] çekirdeği köpük olan delaminasyonlu sandviç kirişlerin serbest-serbest sınır şartlarındaki titreşim karakteristiklerini incelemişlerdir. Kim ve

2 Hwang [4] yaptıkları araştırmada üst yüzey ile bal peteği çekirdek arasında oluşan delaminasyonların sandviç kirişlerin doğal frekansları ve frekans cevap fonksiyonları üzerindeki etkilerini deneysel ve teorik olarak incelemişlerdir. uo ve Hanagud [5] delaminasyonlu kompozit kirişler için yeni bir model sunmuşlardır. Bu model de kayma etkisi, dönme ataleti ve eğilme-uzama ilişkisi göz önüne alınmış ve titreşim analizi için bu etkiler hareket denklemine dahil edilmiştir. Bulunan sonuçlar daha önceden yapılmış deneysel sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Yapılan diğer bir çalışmada [6] delaminasyonlu plakaların dinamik davranışlarını incelemek için rijitlikteki azalma şekli ve Tsai hasar kriteriyle beraber birinci mertebe kayma deformasyonları teorisine de dayanarak nümerik çalışmalar yapmışlardır. Analizler yapılırken spesifik sönüm kapasitesi ve modal sönüm matrisi Adam s şekil değiştirme enerjisi metoduna dahil edilmişlerdir. Bu çalışma daha çok hatanın ilerlemesi konusuna yoğunlaşmıştır. Maheri ve Adams [7,8] serbest titreşim yapan yapısal ortotropik malzemelerin ve ileri polimer matrisli kompozit malzemelerin sönüm kapasitesini Rayleigh-Ritz ve sonlu elmanlar yöntemini kullanarak hesaplamışlardır. Elde edilen sonuçlar serbest serbest sınır şartları içeren için yapılan testlerden elde edilen deneysel sonuçlarla ve sonlu elamanlar yöntemiyle elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Böylelikle Rayleigh Ritz yönteminin ince dikdörtgen ların sönüm değerlerini doğru olarak belirleyebilmek için kullanılabileceğini göstermişlerdir. Arman vd. [9] ortasında delik bulunan tabakalı bir kompozit plakta deliğin etrafında dairesel bir delaminasyon bulunması halinde bunun plağın kritik burkulma yüklerine olan etkisini araştırmışlardır. Araştırmalarını deneysel ve nümerik olarak yapmışlar, elde ettikleri verileri karşılaştırmışlardır. Bunun sonucunda teorik ve deneysel çalışmaların iyi bir uyum sergilediğini göstermişlerdir. ee [10] delaminasyonlu tabakalı kompozit kirişlerin serbest titreşim analizini ayerwise teorisini kullanarak gerçekleştirmiştir. Hareket denklemleri Hamilton prensibi kullanılarak elde edilmiş ve problemi çözmek için sonlu elemanlar metodu geliştirilmiştir. Fiber açısının, delaminasyonun yerinin, büyüklüğünün ve sayısının doğal frekanslar üzerine etkisini araştırmış ve kullandığı teorinin delaminasyonlu kirişlerin titreşim analizi için yeterli olduğunu bulmuştur. i ve Crocker [11] çekirdek malzemesi bal peteği ve köpükten oluşan sandviç kirişlerin sönüm özelliğini, sandviç yapıyı oluşturan çekirdek ve alt ve üst yüzey kalınlıklarının, tabakalar arasındaki delaminasyonun etkisi göz önüne alarak incelemişlerdir. Bal peteği-köpük çekirdek yapılı sandviç kirişlerin farklı konfigürasyondaki ve kalınlıktaki durumları için deneyler yapılmış ve elde edilen sonuçlar teorik yaklaşımlarla (Ross-Ungar-Kerwin model) karşılaştırılmıştır. ee ve arkadaşları [12] üzerinde birçok delaminasyon bulunan kompozit kirişlerin serbest titreşim analizini gerçekleştirmişlerdir. Bu analizi kompozit kirişlerdeki delaminasyonların rastgele, yatay, düşey veya her ikisinin bir arada bulunması durumu için teorik olarak ve deneysel olarak incelemişlerdir. Analizlerde çözüm yöntemi olarak da sonlu elemanlar metodu kullanılmıştır. Kim ve Hwang [13] alt ve üst yüzey ve çekirdeği arasında delaminasyon bulunan bal peteği sandviç kirişlerin doğal frekanslarını incelemişlerdir. Yapılan çalışma hem deneysel hem de teorik olarak desteklenmiştir. Sandviç malzemenin alt ve üst yüzey malzemesi olarak karbon epoksi kullanılırken bal peteği için Nomex aramid çekirdek malzemesi kullanılmıştır. Çalışmada esas olarak delaminasyonun doğal frekanslar ve frekans cevap fonksiyonları üzerine olan etkileri incelenmiştir. Della ve Shu [14,15] Üst üste çakışan ve çakışmayan iki delaminasyonlu kompozit kirişin serbest titreşim analizi için analitik bir çözüm sunmuşlardır. Bu çalışmada üst üste bulunan delaminasyonların kompozit kirişin doğal frekanslarını ve titreşim biçimlerini nasıl etkilediğini incelemişlerdir. Kirişlerin serbest ve tamamen sınırlandırılmaları durumunda doğal frekansların alt ve üst limitlerini bulmuşlardır. i ve Crocker [16] Çekirdeği bal peteği görünümlü sandviç yapıların çekirdeğinin köpük malzemesiyle dolu olması halinde bu tür malzemelerin sönüm özelliklerini teorik ve deneysel olarak araştırmışlardır. Analizlerinde üst ve alt tabakaların ve çekirdeğin kalınlığının ayrıca üst tabaka ile çekirdek arasındaki delaminasyonun sönüm karakteristikleri üzerindeki etkilerini incelemişlerdir. Teorik analizler yapılırken çekirdeğin eğilme ve kayma etkileride göz önünde bulundurulmuştur. Frostig ve Thomsen [17] tamamen bağlı sandviç kirişlerin serbest titreşim analizi için yüksek mertebe yaklaşımlarını kullanmışlardır. Bal peteği kompozitlerin ne tür malzemelerden yapıldığı, nasıl dizayn edildikleri, ne tür üretim metotlarının kullanıldığı, uygulama alanları ve bu malzemelere uygulanan testler kaynak [18] da detaylıca verilmiştir. Çalllioğlu ve Atlihan [19] delaminasyon uzunluğu ve oryantasyon açısının simetrik bir kirişin doğal frekansı üzerine olan etkilerini nümerik ve analitik olarak incelemişlerdir. Baba ve Thoppul [20] eğrilik yarıçapı ve yüzey ile çekirdek arasındaki ayrılmanın yüzey tabakası karbon/epoksi ve çekirdeği köpük olan sandviç kirişlerin titreşim davranışları üzerine olan etkilerini araştırmışlardır. Marjanoviç ve Vuksanoviç [21] geometrisi, tabaka dizilişi, ortotropi derecesi, delaminasyon büyüklüğü ve konumunun nın dinamik özellikleri üzerine olan etkilerini Reddy teorisini kullanarak araştırmışlardır. Bu çalışmada delaminasyonlu (süreksizlik) sandviç yapıların serbest titreşim analizleri ankastre-serbest sınır şartı için deneysel ve nümerik olarak yapılmış, delaminasyon büyüklüğü ve konumunun titreşim karakteristikleri üzerindeki etkileri incelenmiştir. 2

3 II. Malzeme ve Yöntem Alt ve üst yüzey tabakası ile çekirdek malzemesi alüminyum olan delaminasyonlu sandviç kompozit malzemelerin üretilmesi çalışmanın ilk adımını oluşturmaktadır. Çalışmada sandviç yapıyı oluşturmak için Araldite AW 106-HV 953 yapısal yapıştırıcısı kullanılmıştır. Şekil. 3. Delaminasyonlu sandviç yapı Titreşim karakteristiklerinin belirlenmesi bilgisayar tabanlı çok kanallı bir analiz sistemi olan PUSE titreşim ölçüm sistemi ile yapmıştır. Bu sistem çeşitli veri toplama üniteleri ve yazılım opsiyonlarından oluşan modüler bir yapıya sahiptir. Yapıştırıcı azer vibrometer Üst yüzey Numune Bal peteği çekirdek Pulse titreşim ölçüm seti Darbe çekici Alt yüzey Şekil. 1. Sandviç yapıyı oluşturan elemanlar Sandviç yapılarda delaminasyonlar (süreksizlikler) şu şekilde oluşturulmuştur. Öncelikle delaminasyonun nerede (alt tabakada mı, üst tabakada mı), ne kadar uzunlukta olacağı, ve sayısının kaç olacağına karar verilir. Deleminasyonlar Şekil. 4. Titreşim ölçüm sistemi Çalışmada, malzeme üzerinde belirli noktalardan darbe çekici kullanarak tahrik kuvveti uygulanmış ve malzemenin cevabı ölçülerek aradaki transfer fonksiyonu (FRF) ME'scope VES modal analiz yardımıyla elde edilmiştir. -doğrultusu az az W-doğrultusu α π/3 d t Şekil 2. Üretimi yapılan deleminasyonlu sandviç yapı Daha sonra seçilen yapıştırıcı, nın delaminasyon oluşacak bölgesi dışındaki tüm alanlara ince bir film şeklinde uygulanır. Bu işlemden sonra malzemelerin uygun basınç altında oda sıcaklığında yapışması sağlanır. (Şekil 2). Üst yüzey Bal peteği çekirdek Delaminasyon t 2 a/2 a a) Petek yapı geometrisi Alt yüzey Delaminasyon b) Kullanılan koordinatlar 3

4 Şekil. 5. Petek yapı geometrisi ve kullanılan koordinatlar Uygulanan tahrik kuvveti bir kuvvet transdüseri (çekiç) ile, cevap ise lazer vibrometre ile ölçülmüştür (Şekil 4). Deneysel çalışmalardan elde elden sonuçlar, nümerik anlizden elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Nümerik analizlerde sonlu eleman yöntemiyle çözüm yapan ANSYS paket programı kullanılmıştır. Bu çalışmada sandviç paneli oluşturan çekirdek malzeme olarak bal peteği görünümlü düzgün altıgen yapı seçilmiştir. Sandviç model oluşturulurken bire bir gerçek bal peteği geometrileri kullanılmıştır. Şekil 5a) ve 5b) de çekirdek yapıyı oluşturan petek geometrisi ve sandviç model oluşturulurken kullanılan koordinat sistemi görülmektedir. Şekil 6 ANSYS de katı modeli oluşturulan sandviç yapının sonlu eleman modelini göstermektedir. Analizlerde yapı bir kiriş olarak kabul edilmiştir. Sandviç yapının alt ve üst yüzey tabakaları Solid 186 ile çekirdek malzemesi Shell 281elemanı kullanılarak modellenmiştir. Bu denklemde [M] kütle matrisini, [K] ise rijitlik matrisini {x} ise genelleştirilmiş koordinatı göstermektedir. {x}={x}sinωt (2) Sistemin yukarıda verilen şekilde harmonik bir hareket yaptığı kabul edilip bu çözüm (2) denkleminde yerine yazılırsa 2 [K- M]{X}=0 (3) ifadesi elde edilir. Bu ifadede ki {X} zamandan bağımsız genlikleri, ise sistemin doğal frekanslarını göstermektedir. Bu denklem bir özdeğer denklemidir. Denklemin öz değerleri sistemin doğal frekanslarını, öz vektörleri ise titreşim biçimlerini göstermektedir. ANSYS te özdeğerler ve öz vektörler otomatik olarak hesaplanmaktadır. III. Sonuçlar Örnek olarak modellenen sandviç yapının serbest titreşim karakteristiklerini belirleyebilmek için W doğrultusunda (boyuna) 35 adet düzgün altıgen hücre, azer doğrultusunda(enine) ise 3 adet altıgen hücre alınmıştır. Kiriş boyu seçilen hücre sayısına göre belirlenmektedir. Üretilen sandviç yapı ile nümerik olarak modellenen yapının ankastre-serbest sınır şartındaki frekans değerlerinin karşılaştırılması Tablo 1 de verilmiştir. Deneysel sonuçlarla ANSYS programı yardımıyla elde edilen nümerik sonuçların birbiriyle uyumlu olduğu tespit edildikten sonra çeşitli parametreler için ANSYS programı yardımıyla birinci mod için frekans değişimleri verilmiştir. Şekil. 6. Sandviç yapının sonlu eleman modeli Sandviç yapı parametrik olarak modellenmiş olup, istenilen fiziksel özellikler (hücre sayısı, hücre kalınlığı gibi) kolayca değiştirilebilmektedir. Oluşturulan modelde alt ve üst yüzey ların çekirdek ile mükemmel birleştiği kabul edilmiştir. Sandviç yapıyı oluşturan elemanların malzemesi alüminyumdur. Çalışmada alt ve üst yüzey kalınlığı mm, çekirdek yüksekliği 10 mm olarak alınmıştır. Serbest titreşim yapan sönümsüz bir sistemin en genel haldeki hareket denklemi matris formunda aşağıdaki gibidir. Doğal frekanslar (Hz) Delaminasyon türü ANSYS DENEYSE Delaminasyon yok Ortada del. boyu 20mm Ortada del. boyu 30mm Ankastre ucdan 20 mm uzaklıkta del. boyu 25mm Ankastre ucdan 50 mm uzaklıkta del. boyu 25mm TABO 1. Deneysel ve nümerik sonuçların karşılaştırılması [M]{ x }+[K]{x}=0 (1) 4

5 del /2 (a) (b) Şekil 7. PUSE ölçüm sisteminden alınan delaminasyonsuz sandviç yapının rezonans frekansını ve sönüm oranını gösteren FRF ve coherence (tutarlık) grafiği Şekil 7 de PUSE titreşim ölçüm sisteminden alınan delaminasyonsuz sandviç yapının rezonans frekansını ve sönüm oranını gösteren FRF grafiği görülmektedir. Bu grafikteki rezonans pikleri o moda karşılık gelen doğal frenasları göstermektedir. Sandviç yapının ortasında bulunan deleminasyon uzunluğunun doğal frekans ve sönüm oranına etkisi Şekil 8 de görülmektedir. Frekans ve sönüm oranlarının değişimi gösterilirken normalize edilmiş değerler kullanılmıştır. Yani gerek doğal frekansı gerekse sönüm oranını normalize ederken bulunan değerler hatasız numunenin sahip olduğu değerlere bölünerek grafikler çizilmiştir. Buna göre delaminasyon boyu arttıkça rijitliğin azalmasına bağlı olarak frekans değerleri düşerken sönüm oranı değerleri ise artmaktadır. (c) Şekil. 8. Sandviç yapının ortasında bulunan deleminasyon uzunluğunun doğal frekans ve sönüm oranına etkisi (a) Deleminasyonlu yapının geometrisi (b) Deleminasyon uzunluğuna karşı normalize edilmiş frekans (c) Deleminasyon uzunluğuna karşı normalize edilmiş sönüm oranı 5

6 25 mm 25 mm del del X del X del (a) (a) (b) (b) Şekil mm uzunluğundaki delaminasyonun konumunun doğal frekans ve sönüm oranına etkisi (a) Deleminasyonlu yapının geometrisi (b) Deleminasyon uzunluğuna karşı normalize edilmiş frekans (c) Deleminasyon uzunluğuna karşı normalize edilmiş sönüm oranı (c) (c) Şekil. 10. Sandviç yapının uç noktalarında bulunan kenar deleminasyon uzunluğunun doğal frekans ve sönüm oranına etkisi (a) Deleminasyonlu yapının geometrisi (b) Deleminasyon uzunluğuna karşı normalize edilmiş frekans (c) Deleminasyon uzunluğuna karşı normalize edilmiş sönüm oranı 6

7 Şekil 9 da 25 mm uzunluğundaki sabit delaminasyonun konumunun doğal frekans ve sönüm oranına etkisi görülmektedir. Deleminasyon bölgesi kenardan kirişin ortasına doğru hareket ettikçe frekans değerleri düşmektedir. Bu azalma değeri en fazla X del /=0.32 oranında görülmektedir. Sönüm oranının değişimine bakıldığında yine delaminasyon bölgesi kirişin orta noktasına doğru hareket ettikçe sönüm oranı değerleri artmaktadır. Bu artış X del /=0.32 oranında daha azdır. Şekil 10 sandviç yapının uç noktalarında bulunan kenar deleminasyon uzunluğunun doğal frekans ve sönüm oranına etkisini göstermektedir. Doğal frekanslar kenar deleminasyon uzunluğu arttıkça azalmakta, sönüm oranları ise artmaktadır. Sönüm oranındaki bu artış 2 del /=0.13 oranında en az olmaktadır. Grafiklerden de görüleceği üzere kirişin ortasında bulunan deleminasyonun uzunluğunun değişimi frekans ve sönüm oranları için en etkili parametredir. [17] Frostig Y. ve Thomsen O-T. High-order free vibration of sandwich panels with a flexible core. International Jornal of Solids and Structures, 41(5-6): , [18] Bitzer T-N. Honeycomb Technology: Materials, design, manufacturing, applications and testing. Chapman & Hall, [19] Çallioğlu H. Ve Atlıhan G. Vibration analysis of delaminated composite beams using analytical and FEM models. Indian Journal of Engineering & Materials Sciences, 18:7-14, [20] Baba B.O ve Thoppul S. An experimental investigation of free vibration response of curved sandwich beam with face/core debond. Journal of Reinforced Plastics & Composites, 29(21): , [21] Marjanoviç M. ve Vuksanoviç D. ayerwise solution of free vibrations and buckling of laminated composite and sandwich plates with embedded delaminations. Composite structures, 108: 9-20, Kaynakça [1] Schwarts-Givli H., Rabinovitch O. ve Frostig Y. High-order nonlinear contact effects in cylic loading of delaminated sandwich panels. Composites:Part B, 38: , [2] Shu D. ve Della C.N. Free vibration analysis of composite beams with two non-overlapping delaminations. Interntional Journal of Mechanical Sciences, 46: , [3] Baba B-O. ve Gibson R-F. The vibration response of composite sandwich beam with delamination. Advanced Composite etters, 16(2):71-80, [4] Kim H-Y. ve Hwang W. Effect of debonding on natural frequencies and frequency response functions of honeycomb sandwich beams. Composite Structures, 55:51-65, [5] uo H. ve Hanagud S. Dynamics of delaminated beams. International Journal of Solids and Structures, 37: , [6] Chen H., Hong M. ve iu Y. Dynamic behaviour of delaminated plates considering progressive failure process. Composite Structures, 2004; 66: [7] Maheri M-R. ve Adams R-D. Modal Vibration damping of anisotropic FRP laminates using the Rayleigh-Ritz energy minimization scheme. Journal of Sound and Vibration, 259(1): 17-29, [8] Adams R-D. ve Maheri M.R. Damping in advanced polymer-matrix composites. Journal of Alloys and Compounds, 355: , [9] Arman Y., Zor M. ve Aksoy S. Determination of critical delamination diameter of laminated composite plates under buckling loads. Composites Science and Technology, 66: , [10] ee J. Free vibration analysis of delaminated composite beams. Computers & Structures,74: [11] i Z. ve M-J. Crocker. Effect of thickness and delamination on the damping in honeycomb-foam sandwich beams. Journal of Sound and Vibration, 294: , [12] ee S., Park T. ve Voyiadjis G-Z. Vibration analaysis of multidelaminated beams. Composites. 34: , [13] Kim H-Y. ve Hwang W. Effect of debonding on natural frequencies and frequency response functions of honeycomb sandwich beams. Composite Structures, 55:51-62, [14] Della C-N. ve Shu D. Free vibration analysis of composite beams with overlapping delaminations. Europen Journal of Mechanics, 24: , [15] Shu D. ve Della C-N. Free vibration analysis of composite beams with two non-overlapping delaminations. International Journal of Mechanical Sciences, 46: , [16] i Z. ve Crocker M-J. Effects of thickness and delamination on the damping in honeycomb-foam sandwich beams. Journal of Sound and Vibration, 294: ,