ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ Ali DOĞAN TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN VE SİLİNDİRİK SIĞ KABUKLARIN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ADANA, 9

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN VE SİLİNDİRİK SIĞ KABUKLARIN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ Ali DOĞAN DOKTORA TEZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI Bu tez / / 9 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir. İmza:... İmza:... İmza:... Doç. Dr. H. Murat ARSLAN Prof. Dr. Orhan AKSOĞAN Doç. Dr. Hüseyin R.YERLİ DANIŞMAN ÜYE ÜYE İmza:... Doç. Dr. S. Seren GÜVEN ÜYE İmza:... Yrd. Doç. Dr. Murat BİKÇE ÜYE Bu tez Enstitümüz İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdürü İmza ve Mühür Bu Çalışma Çukurova Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmiştir. Proje No:MMF.7.D3 Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 Sevgili annem Aynur DOĞAN ve babam merhum Ahmet DOĞAN a

4 ÖZ DOKTORA TEZİ TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN VE SİLİNDİRİK SIĞ KABUKLARIN SERBEST TİTREŞİM ANALİZİ Ali DOĞAN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI Danışman : Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Yıl : 9, Sayfa : 4 Jüri : Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Prof. Dr. Orhan AKSOĞAN Doç. Dr. Hüseyin R. YERLİ Doç. Dr. S. Seren GÜVEN Yrd.Doç. Dr. Murat BİKÇE Bu çalışmada, tabakalı kompozit plakların ve silindirik sığ kabukların farklı anizotropi ve eğrilik durumlarında serbest titreşim karakteristikleri incelenmiştir. Ele alınan kabukların farklı tabaka kalınlıklarına, eğrilik oranlarına ve elastisite modülü oranlarına sahip olduğu kabul edilmiştir. Analizde, ilk olarak şekil değiştirme ve deformasyonların kinematik ilişkileri gösterilmiştir. Daha sonra Hamilton prensibi kullanılarak genel eğrilikli kabuklar için diferansiyel denklemler elde edilmiştir. Sonraki adımda, tabakalı kompozit çapraz-katlı kabuklar için gerilme-şekil değiştirme ifadeleri verilmiştir. Bazı kabuller ve basitleştirmeler yapılarak ve Fourier serileri yardımıyla sığ kabuk denklemleri matris formunda yazılmış ve çözümleri yapılmıştır. MATHEMATICA bilgisayar programı yardımıyla, çözüm için bilgisayar programları hazırlanmıştır. Elde edilen sonuçlar, tablolar ve grafikler halinde verilmiştir. Çözülen örnekler ayrıca sonlu elemanlar yöntemiyle (FEM), çözüm yapan paket programlar ( ve SAP) kullanılarak tekrar çözülmüş ve diğer çözümlerle karşılaştırmalar yapılmıştır. Anahtar kelimeler: Anizotropi, Serbest Titreşim, Tabakalı Kompozitler, Plaklar, Sığ Kabuklar. I

5 ABSTRACT Ph.D. THESIS FREE VIBRATION ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITES PLATES AND CYLINDRICAL SHALLOW SHELLS Ali DOĞAN DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervisor : Assoc. Prof.Dr. H. Murat ARSLAN Year : 9, Page : 4 Jury : Assoc. Prof.Dr. H. Murat ARSLAN Prof. Dr. Orhan AKSOĞAN Assoc. Prof.Dr. Hüseyin R. YERLİ Assoc. Prof. Dr. S. Seren GÜVEN Assist. Prof. Dr. Murat BİKÇE In this work, free vibration characteristics of cross-ply laminated composite plates and cylindrical shallow shells have been studied with varying anisotropy and curvature properties. Shallow shells have been assumed to have varying thickness, curvature and elasticity modulus ratios. In the analysis, first, kinematic relations of strains and deformations have been obtained. Then, using Hamilton s principle, the governing differential equations have been obtained for a general curved shell. In the next step, stress-strain relation for laminated, cross-ply composite shells has been given. By means of some assumptions and simplifications employing Fourier series as a displacement field, differential equations for shallows shells have been written and solved in matrix form. Employing the computer algebra system called MATHEMATICA, a computer program has been prepared for the solution. The results obtained by this solution have been given in the form of tables and graphs. The example problems have been solved also by ( and SAP) programs, which are based on the finite element method (FEM), and compared with the previous ones. Keywords: Anisotropy, Free Vibration, Laminated Composites, Plates, Shallow Shells. II

6 TEŞEKKÜR Çalışmalarımda beni yönlendiren ve yardımlarıyla bana destek olan değerli danışman hocam sayın Doç. Dr. H. Murat ARSLAN a teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca bana destek olan değerli hocalarım sayın Doç. Dr. S. Seren GÜVEN ile sayın Doç. Dr. Hüseyin R. YERLİ ye ve tüm araştırma görevlisi arkadaşlarıma teşekkür ederim. Çalışmalarımda beni destekleyen çok değerli annem ve kardeşlerime sonsuz teşekkürlerimi sunarım. III

7 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ...I ABSTRACT...II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER... IV ÇİZELGELER DİZİNİ...VII ŞEKİLLER DİZİNİ...XX SEMBOLLER DİZİNİ...XXX. GİRİŞ.... ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR MATERYAL VE METOD TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Giriş Tanımlamaların İncelenmesi Gerilme Şekil Değiştirme Genel Hooke Kanunları Malzeme Modülleri Şekil Değiştirme Enerjisi Farklı Tip Malzemeler İçin Hooke Kanunları Anizotropik Malzeme Monoklinik Malzeme Ortotropik Malzeme Transversely (Enine) İzotropik Malzeme İzotropik Malzeme Ortotropik Malzemelerde Gerilme ve Deformasyonların Esneklik Matrisi İle Olan İlişkisi Gerilme-Şekil Değiştirme İlişkisi Denge ve Hareket Denklemleri Enerji ve Varyasyon Prensibi IV

8 4.7.. Kinetik, Potansiyel ve Şekil Değiştirme Enerjisi Hamilton Prensibi KABUKLARIN ANALİZİ Giriş Deplasman Birim Deformasyon İlişkileri Kinematik İlişkiler Kalın Kabuk Teorisi Kalın Kabuklarda Kinematik İlişkiler Kalın Kabuklarda Gerilme Sonuçları Kalın Kabuklarda Enerji Denklemleri Kalın Kabuklarda Hareket Denklemleri İnce Kabuk Teorisi İnce Kabuklarda Kinematik İlişkiler İnce Kabuklarda Gerilme Sonuçları İnce Kabuklarda Enerji Denklemleri İnce Kabuklarda Hareket Denklemleri Sığ Kabukların Analizi İnce Sığ Kabukların Temel Denklemleri İnce Sığ Kabuklarda Kinematik İlişkiler İnce Sığ Kabuklarda Gerilme İfadeleri İnce Sığ Kabuklarda Hareket Denklemleri Kalın Sığ Kabukların Temel Denklemleri Kalın Sığ Kabuklarda Kinematik İlişkiler Kalın Sığ Kabuklarda Gerilme İfadeleri Kalın Sığ Kabuklarda Hareket Denklemleri Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi İnce Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi Kalın Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi SAYISAL UYGULAMALAR Giriş Plaklarla İlgili Uygulamalar... 4 V

9 6.3. Kabuklarla İlgili Uygulamalar Mod Şekil Değiştirme Analizi SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 3 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ... 4 VI

10 ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA Çizelge 6.. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56).. 5 Çizelge 6.. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). 7 Çizelge 6.3. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab= 4, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). 9 Çizelge 6.4. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56).. Çizelge 6.5. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). 3 Çizelge 6.6. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab= 4, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). 5 VII

11 Çizelge 6.7. [º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56).. Çizelge 6.8. [º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). Çizelge 6.9. [º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab= 4, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). 4 Çizelge 6.., and SAP kullanılarak elde edilmiş serbest titreşim frekans parametreleri (Hertz)... 9 Çizelge 6.. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) VIII

12 Çizelge 6.3. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.5. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) IX

13 Çizelge 6.7 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 4 Çizelge 6.8 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 4 Çizelge 6.9 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 4 Çizelge 6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) X

14 Çizelge 6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab= 4, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.3 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.4 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) XI

15 Çizelge 6.5 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.6. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.7. Simetrik cross-ply [º/9ºº/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.8. Simetrik cross-ply [º/9ºº/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) XII

16 Çizelge 6.9. Simetrik cross-ply [º/9ºº/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.3. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.3. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.3. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) XIII

17 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 8 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 8 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 8 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) XIV

18 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Çizelge 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) XV

19 Çizelge 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... Çizelge 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 3 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 4 XVI

20 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 5 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 7 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 8 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 9 XVII

21 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... Çizelge 6.5. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... Çizelge 6.5. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab= 4,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 3 Çizelge 6.5. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 4 XVIII

22 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab= 4,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 5 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab= 4,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 6 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56)... 7 XIX

23 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekil 4.. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü... Şekil 4.. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu... Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu... 3 Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu... 4 Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler... 6 Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler... 7 Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler... 8 Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal ve kayma şekil değiştirmeleri... 9 Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi... 5 Şekil 4.. Temel malzeme koordinat sistemi Şekil 4.. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler Şekil 4.. σ gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu Şekil 4.3. τ kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu Şekil 4.4. Açılı tabakalarda global ve lokal akslar... 4 Şekil 4.5. dx dy dz boyutundaki sonsuz küçük kübik eleman için kartezyen koordinatlarda gerilme notasyonları Şekil 5.. Tabakalı kompozit kabuklarda fiber ve matris malzemelerin görünümü.. 5 Şekil 5.. Kabuğun orta düzlemindeki koordinatları Şekil 5.3. Tabakalı bir elemandaki katmanların koordinat yerleşimi Şekil 5.4. Kabuk eleman üzerindeki kuvvetlerin gösterimi... 7 Şekil 5.5. Kabuk eleman üzerindeki momentlerin gösterimi... 7 Şekil 5.6. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi... 8 Şekil 6.. Farklı a/b oranlarındaki plak eleman... 4 Şekil 6.. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=)... 6 XX

24 Şekil 6.3. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=)... 8 Şekil 6.4. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=4)... Şekil 6.5. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=)... Şekil 6.6. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=)... 4 Şekil 6.7. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h )değişimi(a/b=4)... 6 Şekil 6.8. [º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=)... Şekil 6.9. [º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=)... 3 Şekil 6..[º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=4)... 5 Şekil 6.. ve SAP ile modellenen silindirik kabuk... 8 Şekil 6.., ve Sap kullanılarak sonuçların karşılaştırılması... 3 Şekil 6.3. İlk üç doğrusal mod (m=,, 3) için frekans parametrelerinin topluca gösterimi... 3 XXI

25 Şekil 6.4. Silindirik sığ kabuk... 3 Şekil 6.5. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) Şekil 6.6. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=)... 5 Şekil 6.7. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=4)... 5 Şekil 6.8. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi (a/b=, a/h=,5)... 5 Şekil 6.9. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=,) Şekil 6.. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=5) XXII

26 Şekil 6.. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=, 5) Şekil 6.. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=,) Şekil 6.3. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=5) Şekil 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=,5) Şekil 6.5. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=,) XXIII

27 Şekil 6.6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=5)... 6 Şekil 6.7. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =, a/h=, 5) Şekil 6.8. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =, a/h=, ) Şekil 6.9. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =, a/h=5) Şekil 6.3. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, 5) XXIV

28 Şekil 6.3. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, ) Şekil 6.3. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=5) Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, 5) Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, )... 7 Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=5)... 7 XXV

29 Şekil [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=).. 88 Şekil [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=).. 89 Şekil [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=4).. 9 Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=, 5)... 9 Şekil 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=, )... 9 Şekil 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=5) XXVI

30 Şekil 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=, 5) Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=, ) Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=5) Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=, 5) Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=, ) XXVII

31 Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( ωa ρ Eh Ω= ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=5) Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, 5)... Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, )... 3 Şekil 6.6 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=5)... 4 Şekil 6.5. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, 5)... 5 XXVIII

32 Şekil 6.5. [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, )... 6 Şekil 6.5. [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ E h ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=5)... 7 Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların ilk altı mod için boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=).. 6 Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların ilk altı mod için boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=).. Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların ilk altı mod için boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=).. 8 XXIX

33 SİMGELER VE KISALTMALAR δ δ σ x σ y σ z : doğrultusundaki normal deformasyon miktarı : doğrultusundaki normal deformasyon miktarı : x doğrultusundaki normal gerilme : y doğrultusundaki normal gerilme : z doğrultusundaki normal gerilme τ yx, τ yz, τ zx : Eleman yüzeylerindeki kayma gerilmeleri ε x ε y ε z u v z : x doğrultusundaki normal şekil değiştirme : y doğrultusundaki normal şekil değiştirme : z doğrultusundaki normal şekil değiştirme : x doğrultusundaki deplasman : y doğrultusundaki deplasman : z doğrultusundaki deplasman γ xy, γ yz, γ zx : Kayma şekil değiştirmeleri E ν G U [C] C ij [S] S ij Q ij [T] [R] : Elastisite modülü : Poisson oranı : Kayma modülü : Her birim hacimde depolanan şekil değiştirme enerjisi : Rijitlik (stiffness) matris : Rijitlik (stiffness) matrisinin elemanları : Esneklik (compliance) matrisi : Esneklik (compliance) matrisinin elemanları : İndirgenmiş rijitlik katsayıları : Transformasyon matrisi : Reuter matris [ Q ij ] : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi [ S ij ] : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi u c u o : C noktasının x doğrultusunda yaptığı deplasman : Orta düzlemin x doğrultusunda yaptığı deplasman XXX

34 v o w o z c β ε x o ε y o γ xy o : Orta düzlemin, y doğrultusunda yaptığı deplasman : Orta düzlemin, z doğrultusunda yaptığı deplasman : Orta düzlemin C noktasına olan uzaklığı : x doğrultusunda orta düzlemdeki tabaka eğimi : Orta düzlemde x doğrultusundaki normal şekil değiştirme : Orta düzlemde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme : Orta düzlemdeki x-y kayma şekil değiştirmesi κ x, κ y, κ xy : Orta düzlemdeki eğrilikler a, b : Plak elemanın x ve y doğrultusundaki boyutları t h t h h h n- h n h k- h k N x, N y N xy M x, M y M xy : Herbir tabakanın kalınlığı : Tabakalı plağın toplam kalınlığı : Herbir tabakanın kalınlığı : Birinci tabakanın üst yüzeyi : Birinci tabakanın alt yüzeyi : n. tabakanın üst yüzeyi : n. tabakanın alt yüzeyi : k. tabakanın üst yüzeyi : k. tabakanın alt yüzeyi : Birim uzunluktaki normal kuvvetler : Birim uzunluktaki kesme kuvveti : Birim uzunluktaki eğilme momentleri : Birim uzunluktaki burkulma momentleri [A ij ] : Uzama rijitlik matrisi [B ij ] : Eğilme uzama arasındaki bağlanma rijitlik matrisi [D ij ] : Eğilme rijitlik matrisi F x, F y, F z : Birim hacimdeki ortalama kütlesel kuvvetler P A mn B mn C mn : Birim yük : x doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı : y doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı : z doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı XXXI

35 ds χ r τ φ : Kabuk yüzeyinde iki nokta arasındaki yay yüzeyinin uzunluğu : α ile β arasındaki açı : eğriye teğet birim vektör : Eğriye normal temel birim vektör N r r ve yüzeye normal i n vektörü R α R β ur U ε α ε β arasındaki açı : Kabuk elemanın α eksenindeki eğrilik yarıçapı : Kabuk elemanın β eksenindeki eğrilik yarıçapı : Kabuk üzerindeki bir noktanın deplasman vektörü : α doğrultusundaki normal şekil değiştirme : β doğrultusundaki normal şekil değiştirme γ αβ, γ βz, γ zα : Kayma şekil değiştirmeleri ε α ε β : Orta düzlemde α doğrultusundaki normal şekil değiştirme : Orta düzlemde β doğrultusundaki normal şekil değiştirme γ αβ, γ βz, γ zα : Orta düzlemdeki kayma şekil değiştirmeleri κ α, κ β, κ αy : α ve β eksenlerindeki eğrilikler N α, N β N αβ M α, M β : α ve β eksenlerinde birim uzunluktaki normal kuvvetler : α-β düzlemindeki birim uzunluktaki kesme kuvveti : α ve β eksenlerinde birim uzunluktaki eğilme momentleri M αβ ve M βα : α-β düzlemindeki birim uzunluktaki burkulma momentleri P α ve P β K i ve K j U W T : Yüksek dereceden kayma terimleri : Kayma düzeltme sabitleri : Şekil değiştirme enerjisi : Dış kuvvetlerin yaptığı iş. : Kinetik enerji ifadesi. ( k) ρ : k nıncı tabakadaki birim alanın yoğunluğu [ I,I,I,I,I 3 4 5] : Atalet terimleri ψ, ψ : Dönme ifadeleri ω α β : Serbest titreşim frekansı (doğal frekans). U,V,W, ψ, ψ : Deplasman fonksiyonları için rastgele sabitler mn mn mn αmn βmn XXXII

36 . GİRİŞ Ali DOĞAN. GİRİŞ Tabakalı kompozit plak ve kabukların mühendislikteki kullanım alanlarının son otuz yılda hızlı bir biçimde artması ile kompozit plak ve kabukların statik ve dinamik davranışını anlamak için birçok araştırmacı bu konu ile ilgilenmiş ve çeşitli araştırmalar yapmışlardır. Yapı malzemesi olarak kompozitler düşük ağırlık, yüksek dayanım ve rijitliğe sahip olmalarından dolayı birçok mühendislik yapılarında kullanılmaktadırlar. Kompozit malzemeler birçok avantajlara sahiptir. Sahip olduğu avantajlar sebebiyle kompozit malzemelerin kullanım alanları günden güne artmaktadır. Bu durum kompozit malzemelerin üretiminde ve geliştirilmesinde yeni yöntemler ve uygulamalara sebep olmaktadır. Bütün bu çalışmaların bir sonucu olarak, dünyada artık hemen hemen her sektörde kompozit teknolojisi kullanılmaktadır. Bunlardan bazıları betonarme çatılar, roketler, gemi imalatı, otomobil parçaları imalatı, yakıt tankları, silo imalatı, borular, uzay araçlarının yapımı olarak gösterilebilir. Kabuklar, belirli bir eğriliğe sahip ince cidarlı yapılar olarak tanımlanabilir. Bu yapılar, tabakalı kompozit kabuklar olarak tek tabakalı veya çok tabakalı, malzeme olarak izotrop veya anizotrop olarak imal edilebilir. Plaklar ise kabuk elemanların özel bir halidir. Plaklarda eğrilik yarıçapları sonsuza gider. Plaklar ve kabuklar, kalınlıkları diğer iki boyutuna oranla, çok küçük olan taşıyıcı elemanlardır. Düşey ve yatay yükleri aktararak taşıyıcı sistem elemanları arasındaki sürekliliği sağlamalarından dolayı, önemli bir taşıyıcı sistem elemanı olarak görülmektedirler. İkametgah tipi yapılar genellikle, dikdörtgen veya düzgün geometriye sahip olmaları ve çoğunlukla düzgün yayılı yük etkisi altında kalmalarından dolayı, bu tip yapılarda plakların ve kabukların analizi daha da kolaylaşmaktadır. Belirtilen özelliklere sahip plak ve kabuk problemlerinin çözümü için yeterli olabilecek birçok yöntem geliştirilmiştir. Kalınlığının açıklığına oranı yaklaşık olarak / den küçük olan plak ve kabuklara ince plaklar ve kabuklar denilmektedir. İnce plakların ve kabukların analizi, Kirchoff hipotezinde belirtildiği gibi, kalınlık boyunca kayma deformasyonları ihmal edilerek yapılabilmektedir. Kalınlığının fazla olduğu

37 . GİRİŞ Ali DOĞAN durumlarda, Reissner-Mindlin hipotezi veya yüksek dereceden kayma deformasyonları dağılımı teorileri yardımıyla çözüm yapılabilmektedir. Bunlara ek olarak, literatürde kayma deformasyonlarını dikkate alan çok sayıda teori de bulunmaktadır. Bazı özel durumlarda plak ve kabuk özelliklerinin iyileştirilmesi istenir. Bu iyileştirmeler ile istenilen özelliklere sahip elemanların elde edilmesi sağlanır. Örneğin tabakalı kompozit plaklarda ve kabuklarda olduğu gibi zayıf ve güçlü malzemelerin belirli ölçülerde biraraya getirilmesi ile veya tabaka açılarının değişimi ile bu iyileştirmeler sağlanabilir. Tabakalı kompozit plak ve kabuklar çok çeşitli tabaka dizilimlerine sahip olabilmektedirler ve bu tabaka dizilimlerine bağlı olarak farklı tabaka rijitlikleri gösterirler. Bu tabaka rijitliklerinin iyi anlaşılması ile, istenilen amaca en uygun tabakalanma çeşidine ulaşmak mümkün olur. Plak ve kabukların analizinde analitik karmaşıklıklardan dolayı bazı sınırlandırmalar ve varsayımlar yapılarak yaklaşık yöntemler uygulanabilmektedir. Tabakalandırılmış plak ve kabuk teorisinin temellendirildiği bazı sınırlamalar ve varsayımlar da bulunmaktadır. Sınırlamalar, dayandığı teorinin kullanımı üzerindeki sınırlamalardır ki bunlar giderilebilir veya giderilemez. Örneğin kare plaklar için kullanılan bir teori dairesel plaklara uymaz. Varsayımlar ise, belirsizlik türündeki teoriler üzerindeki sınırlamalardır. Örneğin, bir plağın yüzeyine dik olan gerilmelerin genel olarak sıfır olarak kabul edilebilmesi için boyutunun yeterince küçük olduğu varsayılır veya değerinin sıfır olduğu farzedilir. Yinede daha doğru bir teoriye başvurmadıkça, kesin olarak gerilmelerin ne kadar küçük olduğu bilinemez. Özetle sınırlamalar ve varsayımlar arasındaki fark şudur ki, sınırlamalar bilineni varsayımlar bilinmeyenleri içerirler (Jones,975). Plak ve kabuk elemanlar her zaman geometri ve yükleme açısından elverişli özelliklere sahip olmayabilirler. Bu tip özelliklere sahip elemanların analizi için yaklaşık yöntemler de yeterli olmayabilir. Bundan dolayı, geniş işlem hacmine sahip olan ancak bilgisayar desteğiyle bu sorunu aşan Sonlu Farklar, Sınır Eleman ve Sonlu Elemanlar Yöntemi gibi bazı sayısal çözüm yöntemleri kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden Sonlu Elemanlar Yöntemi, sistematik olması, her türlü yapıya

38 . GİRİŞ Ali DOĞAN kolaylıkla uygulanabilmesi ve programlamaya elverişli olmasından dolayı yaygın olarak kullanılmaktadır. Sonlu elemanlar yönteminde, analizi yapılan elemanın geometrisine ve istenilen hassasiyete göre sonlu eleman ağı uygulanmaktadır. Ancak problemin doğru modellenmesi, modellenen problem için uygun ağ yapısının oluşturulması, problem çözme sürecinin zaman alıcı olması ve yoğun dikkat gerektirmesi bu yöntemin dezavantajlarıdır. 3

39 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ali DOĞAN. ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Kabuk elemanların davranışını anlamaya yönelik birçok çalışma yapılmış ve bu çalışmalar ışığında çeşitli kabuk teorileri geliştirilmiştir. Bu teoriler, kayma deformasyon etkisi dikkate alınarak geliştirilen kalın kabuk teorileri (SDST) ve klasik kabuk teorisi olarak da anılan ince kabuk teorileri (CLST) biçiminde iki ana başlık altında incelenebilir. Serbest titreşim analizi ile ilgili yapılan çalışmaların öncülerinden birisi olan Galilei ipe bağlı sarkaçlar ve plakların serbest titreşim davranışı üzerine deneysel çalışmalar yapmıştır. Kabuk teorileri ile ilgili ilk düzenli çalışmaları Germaine (8) ve daha sonra Love (888) yapmıştır. Germaine (8), yaptığı çalışmalar ile ilk kez lineer izotropik kabuk teorisini geliştirmiştir. Love (888) yaptığı çalışmalarda çeşitli kabullerde bulunmuş ve kabukların eğilme analizi için kendisinin birinci kabulünü kullanmıştır. Bu kabulle ince kabuklar için bir lineer analiz yöntemi tanımlamıştır. Yaptığı kabulleri, şekil değiştirmelerin ve deplasmanların çok küçük olduğu ve yüksek dereceden terimlerin ihmal edilebilir olduğu prensibine dayandırmıştır. Ayrıca Love kabukların kalınlıklarının diğer kabuk parametreleri ile karşılaştırıldığında çok küçük olduğu ve kayma gerilmelerinin de diğer gerilmeler yanında çok küçük olduğunu kabul etmiştir. Bu kabuller ışığında, deformasyondan önce yüzeye normal doğrultuda olan kesitler deformasyondan sonrada yüzeye normal doğrultuda kalırlar. Böylece diğer kabuk teorileri de Love un kabullerine benzer yaklaşımları temel alarak geliştirilmiştir. İnce kabuk teorisi Kirchoff Love hipotezi temel alınarak geliştirilmiş ve bu teori diğer teorilerin gelişimine ışık tutmuştur. Yapılan kabuller ve teoriler sonucunda elde edilen verilere dikkate alındığında araştırmacılar, gerek kirişler gerekse plak ve kabuklar için hem dönme atalet etkisini hem de kayma deformasyon etkisini dikkate almaları gerektiğini fark etmişlerdir. Araştırmacıların, plak, kabuk ve kirişlerde dönme atalet ve kayma deformasyon etkilerinin dikkate alınmasının zorunlu olduğunu anlamaları ile bu konuda çeşitli çalışmalar yapılmıştır. Bunlardan Koiter (967) ve Gol denveizer 4

40 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ali DOĞAN (96) ince kabuklar ve kısmen kalın kabuklar için bu sorunu çözmüşlerdir. Kayma deformasyon ve dönme atalet etkilerinin işlemlere dahil edilmesi, Love (888) un birinci kabulünü ve diğer kabullerde gerekli değişikliklerin yapılmasına ve böylece kayma deformasyon kabuk teorisinin doğmasına neden olmuştur. Timoshenko (9) kirişler için yaptığı çalışmada, Reissner (945) ve Mindlin (95) de plaklar için yaptıkları çalışmalarda kayma deformasyon etkisini hesaplara katarak çözümler yapmışlardır. Whitney ve Sun (973), tabakalı kompozitlerde uzama hareketi için yüksek dereceden terimleri içeren bir teori geliştirmişlerdir. Whitney ve Sun (973), tabakalı anizotropik silindirik kabuklar için bir teori geliştirmişlerdir. Srinivas ve ark.(97) izotropik durumda tabakalı plakların kayma deformasyon etkisini araştırmışlardır. Whitney ve Leissa (969) homojen olmayan anizotropik plakların analizlerini yapmışlardır. Whitney ve Pagano(97) homojen olmayan plaklarda kayma deformasyon etkisini araştırmışlardır. Qatu, Reddy, Soedel gibi araştırmacılar tüm bu teorileri kullanılarak enerji denklemleri yardımıyla hareket denklemlerini geliştirmişlerdir. Son zamanlarda Latifa ve Sinha (5) elips ve küresel şekle sahip çift eğrilikli tabakalı kompozit kabukların eğilme ve serbest titreşim analizini sonlu elemanlar yöntemi kullanarak modellemiştir. Amabili (3), dairesel silindirik kabukların geniş genlikli titreşimlerini araştırmıştır. Gautham ve Ganesan (997) tabakalı kompozit izotrop küresel kapakların serbest titreşim karakteristiklerini üzerine çalışmalar yapmıştır. Grigorenko ve Yaremchenko (7) çeşitli kalınlıklardaki dikdörtgen sığ kabukların gerilme-şekil değiştirme durumunu incelemiştir. Djoudi ve Bahai (3) lineer ve lineer olmayan geometrilere sahip sığ kabuklar için silindirik şekil değiştirmeleri esas alarak sonlu elemanlar metodu geliştirmiştir. Rath ve Das (973), ortotropik silindirik kabuklar üzerine çalışmalar yapmışlardır. Bu çalışmalarda dönme atalet ve kayma deformasyon etkisi içeren denklemler sunulmuştur. 5

41 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Ali DOĞAN Dong (968) Tabakalı ortotropik silindirik kabukların serbest titreşimini araştırmıştır. Liew ve Lim (995b) çift eğrilikli dikdörtgen izdüşüme sahip kabukların serbest titreşim analizleri için yüksek dereceden ifadeler içeren çözümler sunmuşlardır. Liew, Peng ve Ng () Küresel kabuk panellerin farklı sınır şartları etkisindeki üç boyutlu serbest titreşim analizi ile ilgili bir çalışma yapmışlardır. Kayma deformasyon etkisini dikkate alan bir başka çalışma da Reddy(984a,b) ve Librescu ve ark.(989a,b) tarafından yapılmıştır. Lim ve Liew (995a,b), denklemlerde yer alan yüksek dereceden terimlerle ilgili olarak birçok çalışma yapmıştır. Aksogan ve Sofiyev () homojen olmayan tabakalı ortotropik elastik silindirik kabukların zamana bağlı dış yükler etkisi altındaki dinamik stabilitesini araştırmışlardır. Leissa ve Chang (996) denklemlerde yer alan (+z/r) terimini geometrik seriye açarak ve yüksek dereceden terimleri ihmal ederek bir çözüm geliştirmişlerdir. Qatu (993a,b) eğrisel kirişlerle ilgili bir çalışma yapmıştır. Qatu (999a) plak ve kalın kabuklarla ilgili olarak birçok çalışmalar yapmıştır. Qatu (4) tabakalı kompozit plakların ve kabukların analizini içeren bir kitap yayımlamıştır. 6

42 3. MATERYAL VE METOD Ali DOĞAN 3. MATERYAL VE METOD Kompozit malzeme, belirli bir amaca yönelik olarak, en az iki farklı malzemenin bir araya getirilmesiyle oluşan malzeme grubudur. Üç boyutlu nitelikteki bu bir araya getirmede amaç, bileşenlerin hiçbirinde tek başına mevcut olmayan bir özelliğin elde edilmesidir. Diğer bir deyişle, amaçlanan doğrultuda bileşenlerinden daha üstün özelliklere sahip bir malzeme üretilmesi hedeflenmektedir. Kompozit malzemeye, Çok Bileşenli Malzeme, Çok Fazlı Malzeme Donatılı Malzeme ve Pekiştirilmiş Malzeme gibi adlar da verilmektedir (Ersoy, ). Yapı tasarımında en az kaynak ile en iyi tasarımın yapılması istenmektedir. İyi bir tasarım yapabilmek için düşük ağırlıklı, yüksek mukavemetli ve düşük maliyetli malzemeler tercih edilmektedir. Kompozit malzemeler bu özelliklerin çoğunu bünyesinde barındırmaktadır. Özellikle hafif olmaları ve yüksek mukavemet göstermeleri, böylelikle tasarımlarının kolay yapılması, daha az deformasyona uğramaları ve daha fazla yük taşıyabilmeleri kompozit malzemelerin önemini her geçen gün arttırmaktadır. Kompozit malzemeler, rijitliği sağlayan fiber malzemeler ile fiber malzemeleri bir arada tutmayı sağlayan matris malzemelerden meydana gelmektedir. Kompozit malzemelerin tanımından da anlaşıldığı üzere, kompozit malzemelerde genellikle şu dört koşul aranmaktadır: ) İnsan yapısı olması, dolayısıyla doğal bir malzeme olmaması. ) Farklı malzemelerin üç boyutlu olarak biraraya getirilmiş olması. 3) Bileşenlerinin hiçbirinin tek başına sahip olmadığı özellikleri taşıması, dolayısıyla bu amaçla üretilmiş olması. 4) Kompozit malzemeleri oluşturan fiber ve matris malzemelerin bir bütün olarak davranması. Kompozit malzemelerin üretiminde şu özelliklerin geliştirilmesi hedeflenir. Mekanik dayanım, korozyona karşı direnç, rijitlik, ağırlık, yüksek sıcaklığa dayanım göstermek, ısı iletkenliği, kırılma tokluğu, ses tutuculuğu görünüm vb. Bu özelliklerin birisi veya birkaçı geliştirilirken, kompozit malzemenin zayıf yönleri 7

43 3. MATERYAL VE METOD Ali DOĞAN iyileştirilir. Bu iyileştirme kompoziti oluşturan matris ve fiber elemanların analizi ile mümkündür. Kompozitler aşağıdaki şekilde gruplandırılabilir. ) Tanelerle Donatılı Kompozit Malzeme: Kompoziti oluşturan matris malzeme içerisinde milimetrik düzeydeki tanelerin yer almasıyla meydana gelen kompozit türüdür. Bu türe beton (agrega ve çimento) örnek olarak gösterilebilir. ) Liflerle Donatılı Kompozit Malzeme: Çekme ve eğilme dayanımları istenen düzeyde olmayan zayıf malzemelerin zayıf olan yönlerinin iyileştirilmesi amacıyla liflerle donatılması ile elde edilen bir kompozit türüdür. 3) Tabakalı Kompozit Malzeme: En az iki farklı malzemenin, tabakalı bir şekilde kompozitin yapısında yer almasıyla meydana gelir. Bu fazlardan birisi kompozite özelliğini kazandıran sürekli faz, diğeri ise tabakaları bir arada tutan bağlayıcı fazdır. Bu çalışmada, öncelikle farklı tipteki malzemeler için tabakalı kompozitlerin rijitlik ve esneklik matrisleri Hooke denklemleri yardımıyla elde edilmiş, daha sonra ortotropik malzemeler için genel denklemler matris formunda yazılmıştır. Tek tabakalı plaklar ve kabuklar için oluşturulan rijitlik ve esneklik matrisleri önce açılı tek tabakalı elemanlara uygulanmış ve daha sonra çok tabakalı elemanlar için geliştirilmiştir. Bu çalışmada, tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı anizotropi ve eğrilik etkisi altındaki serbest titreşim analizi incelenmiştir. İncelenen kabuk elemanların farklı tabaka kalınlıklarına, farklı eğrilik oranlarına, farklı elastisite modülü oranlarına ve farklı kenar uzunluğu oranlarına sahip olduğu kabul edilmiştir. İlk olarak şekil değiştirme ve deformasyonların kinematik ilişkileri gösterilmiş, daha sonra Hamilton prensibi kullanılarak genel eğrilikli kabuklar için diferansiyel denklemler elde edilmiştir. Sonraki adımda, tabakalı kompozit çapraz-katlı kabuklar için gerilme-şekil değiştirme ifadeleri verilmiştir. Daha sonra denge denklemleri yazılmış, çeşitli sınırlandırmalar ve varsayımlar yapılarak serbest titreşim analizi için gerekli denklemler elde edilmiştir. Elde edilen diferansiyel denklemler basit mesnetli durum için sınır şartlarına maruz bırakılmış ve sınır şartlarını sağlayan u, v, w ve ψ 8

44 3. MATERYAL VE METOD Ali DOĞAN deplasman fonksiyonları diferansiyel denklemlerde yerine konularak çözüme ulaşılmıştır. Bazı kabuller, basitleştirmeler ve Fourier serileri yardımıyla sığ kabuk denklemleri matris formunda yazılmıştır. Kalın ve ince plak ile kabuklar için elde edilen denklemlerin çözümü için MATHEMATICA paket programının yardımıyla, bilgisayar programları hazırlanmıştır. Bu çalışmada, çözülen örnekler ayrıca sonlu elemanlar yöntemi temelinde çözüm yapan ve mühendislik uygulamalarında yaygın olarak kullanılan ve SAP paket programları yardımı ile tekrar çözülmüştür. Çalışma sonunda, önerilen yöntem ile hazırlanan bilgisayar programı ve literatürde mevcut olan ve SAP paket programları ile çözülen örneklerin sonuçları tablo ve grafiklerle sunulmuş ve karşılaştırmalar yapılmıştır. 9

45 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.. Giriş Yapılar genellikle tek tabakalı bloklardan meydana gelir, bundan dolayı, bu tek tabakalı yapıların mekanik analizini anlamak, çok tabakalılardan önce gelir. Tek bir kompozit tabaka bile homojen ve izotrop değildir. Çünkü tabaka, homojenizotrop fiber elemanlarla homojen-izotrop matris elemanların birleşmesiyle meydana gelmesine rağmen, incelenen noktanın mekanik özellikleri, noktanın fiberlerde, matris de veya fiber-matris arasındaki bir bölgede olup olmamasına göre, noktadan noktaya çeşitlilik gösterir. Bu durum, çok karışık mekanik tabaka modellerinin oluşmasına neden olur. Bu sebeple, tabakaların makromekanik analizinde tabakaların homojen olduğu kabul edilerek, ortalama malzeme özellikleri temel alınır (Şekil 4.). Fiber malzeme Matris malzeme Şekil 4.. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü Kompozit elemanı oluşturan fiber ve matris malzemeler incelendiğinde elemana asıl mukavemetini veren unsur fiber malzemelerdir. Matris malzemeler ise hem mukavemete yardımcı olur hem de fiberleri bir arada tutmaya yarar. Bu duruma betonarme bir eleman örnek olarak gösterilebilir. Betonarme elemanda, fiberlerin yerine çelik donatılar, matris malzemenin yerine de beton düşünülebilir. Güçlü kompozit malzemelere örnek olarak glass epoxy ve boron epoxy örnek olarak gösterilebilir.

46 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN İnce tabakaların homojenleştirilmesiyle bile, tabakaların mekanik davranışı hala izotropik homojen malzemelerinkinden farklıdır. Örneğin eni ve boyu w ve kalınlığı t olan küçük bir parçayı göz önüne alalım. Bu parçayı Durum-A ve Durum-B olarak inceleyelim. w w t t Durum-A w Durum-B w w w Deformasyona uğramamış hal Deformasyona uğramamış hal w+δ B P P w+δ A P w+δ A w+δ B Deformasyona uğramış hal P Deforasyona uğramış hal Şekil 4.. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu

47 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Durum-A Kare plağı doğrultusunda normal tekil P yüküne maruz bırakalım. ve doğrultusundaki normal deformasyon miktarları, sırasıyla δ A ve δ A dır. Durum-B Durum-A daki gibi benzer normal P yükünü doğrultusunda tatbik edelim. ve doğrultusundaki normal deformasyon miktarları sırasıyla, δ B ve δ B dir. Bu iki durumdan; (4..a) δ A= δ B δ A= δ B (4..b) sonucuna ulaşırız. Bununla birlikte Şekil 4.3 de, kalınlığı t olan kompozit bir tabakayı gözönüne alalım. Burada da tabaka içerisinde (w, w, t) ölçülerine sahip tek doğrultudaki bir kare elemanı inceleyelim. Bu durumda aşağıdaki ifadeler ortaya çıkar. δ A δ B (4..a) δ A δ B (4..b) Bunun nedeni, tek doğrultulu tabakalarda, fiberlerin doğrultusundaki rijitliklerin, fiberlere dik doğrultudaki rijitliklerden daha büyük olmasıdır. Sonuç olarak, tek doğrultulu tabakanın mekanik karekteri, izotropik tabaka için ihtiyaç duyulan parametrelerden daha fazla parametre gerektirir.

48 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN w t Matris Fiberler t Durum-A w Durum-B w w w Deformasyona uğramamış hal Deformasyona uğramamış hal w+δ B P w+δ A P P w+δ B w+δ A Deformasyona uğramış hal P Deforasyona uğramış hal Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu 3

49 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Şekil 4.4 de görüldüğü gibi, kompozit plaktaki fiber dizilimi eleman ekseninden faklı açılara sahip olabilir. Bu durumda farklı açılar için, farklı deformasyonlar meydana gelecektir. Gerçekte kare plak, normal doğrultuda deformasyonlara sahip olduğu gibi farklı doğrultuda deformasyonlara da sahiptir ve şekli bozulmuştur. Tüm bu sebeplerden dolayı, açılı tabakaların mekanik karekteri çok daha karmaşıktır. w t t Fiberler w θ w Deformasyona uğramamış hal P P Deformasyona uğramış hal Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu 4

50 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN 4.. Tanımlamaların İncelenmesi 4... Gerilme Gerilme, birim alana düşen yükün yoğunluğu olarak tanımlanır. Mekanik yapılar, kütlesel kuvvetler ve yüzey kuvvetleri gibi kütle üzerinde hareket halinde bulunan dış kuvvetleri alırlar. Bu kuvvetler, kütle içinde iç kuvvetlere dönüşür. Kütle içinde bulunan tüm noktalardaki iç kuvvetlerin bilinmesi gerekir, çünkü bu kuvvetlerin değeri, yapıda kullanılan malzemelerin mukavemetlerinden daha düşük olmak zorundadır. Şekil 4.5 de çeşitli yükler altında dengede bulunan kütle görülmektedir. Bu kütlenin herhangi bir kesitinde, ΔA alanı üzerinde bulunan bir ΔP kuvveti düşünelim bu kuvvet vektörü yüzeye normal, ΔP n ve yüzeye paralel ΔP s bileşenlerine sahip olsun. Gerilmenin tanımından, σ n ΔP = lim n ΔA ΔA (4.3.a) τ s ΔP = lim s ΔA ΔA (4.3.b) değerleri elde edilir. Bu elemanın yüzeyine normal doğrultuda etkiyen gerilmeye σ n normal gerilme ve yüzeye paralel olarak etkiyen gerilmeye τ s kayma gerilmesi denir. Aynı noktadan farklı bir kesit alırsak, gerilme vektörü değişmeden kalır fakat gerilmenin iki bileşeni değişir. Bununla birlikte gerilmeyi tam olarak tanımlayabilmek için gerilmeyi tensorel bir büyüklük olarak tanımlamak gerekir. Sağ el kuralı ile üç boyutlu x-y-z koordinat sistemi oluşturularak Şekil 4.6 da görülen eleman üzerinde y-z düzlemine paralel bir kesit alınır. Kuvvet vektörü ΔP, ΔA üzerinde bulunmaktadır. Kesitte görüldüğü gibi ΔP x bileşeni yüzeye normal doğrultudadır. Kuvvet vektörü ΔP s ise yüzeye paraleldir. Ayrıca ΔP s, y ve z aksları boyunca ΔP y ve ΔP z bileşenlerine ayrılırsa, gerilmenin tanımından aşağıdaki ifadeler elde edilir. 5

51 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Rasgele düzlem ΔP ΔP s ΔP n ΔA Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler σ x ΔP = lim x ΔA ΔA (4.4.a) τ xy ΔP = lim y ΔA ΔA (4.4.b) τ xz ΔP = lim z ΔA ΔA (4.4.c) Benzer şekilde x-z ve x-y düzlemine paralel kesitler içinde gerilmeler tanımlanabilir. Tüm bu gerilmelerin tanımlanabilmesi için genellikle, sağ el kuralına 6

52 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN z y x ΔP z ΔP y ΔP ΔA ΔP x Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler (Kaw, 997) göre oluşturulan koordinat sisteminde sonsuz küçük kübik bir eleman alınır, bu kübik elemanın herhangi bir yüzündeki gerilmeler bulunarak, bir noktadaki gerilmeler tanımlanır. Şekil 4.7 de görüldüğü gibi eleman üzerindeki herhangi bir noktada dokuz farklı gerilme davranışı bulunmaktadır. Bu gerilmelerin altı tanesi kayma gerilmesidir ve kayma gerilmeleri arasında şu şekilde bir ilişki bulunmaktadır. τ xy = τ yx (4.5.a) τ yz = τ zy (4.5.b) τ zx = τ xz (4.5.c) Yukarıdaki üç ifade sonsuz küçük kübik elemandaki momentlerin dengesinden bulunur. Dolayısıyla geriye altı gerilme kalır. Bunlar kübik yüzeye dik doğrultudaki σ xx, σ yy, σ zz gerilmeleri ve kübik yüzeyler boyunca bulunan τ xy, τ yz, τ zx gerilmeleridir. 7

53 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN σ zz τ zy τ zx z τ xz τ xy σ xx y τ yx σ yy τ yz x Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler İşaret kabulüne göre çekme gerilmesi pozitif, basınç gerilmesi ise negatiftir. Kayma gerilmesiyle beraber dış normalin yönünün negatif olması veya her ikisinin pozitif olması durumunda kayma gerilmesi pozitif aksi halde kayma gerilmesi negatiftir Şekil Değiştirme Dış kuvvetler sebebiyle eleman içerisinde oluşan deformasyonun bilinmesi de çok önemlidir. Deformasyon, kütlenin şekil ve boyutunda meydana gelen göreceli değişim olarak tarif edilebilir. Şekil değiştirme genellikle sağ el kuralı ile oluşturulan koordinat sisteminde sonsuz küçük kübik bir eleman üzerinde tanımlanır. Çeşitli yükler altında, sonsuz küçük kübik elemanın kenar uzunluğu değişir, küp yüzeyinin şeklide bozulur. Boydaki değişim, kayma şekil değiştirmelerindeki biçim bozulmasına ve normal şekil değiştirmesine tekabül eder. Şekil 4.8 de kübik elemanın ABCD yüzündeki şekil değiştirmeler görülmektedir. Herbir şekil değiştirme ve deplasmanın birbiriyle ilişkisi vardır. Şekildeki AB ve AD kenarları şekil değiştirdikten sonra A'D' ve A'B' halini alır Buradaki deplasmanlar (x,y,z) koordinat sisteminde tanımlanırsa, herhangi bir nokta için; 8

54 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN u = u(x, y,z) ; x doğrultusundaki deplasman v = v(x, y, z) ; y doğrultusundaki deplasman w = w(x, y,z) ; z doğrultusundaki deplasman olarak ifade edilir. y Q' D' Δx D C C' Δy θ A (x,y) A' B θ B' P' x Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal ve kayma şekil değiştirmeleri (Kaw, 997) x doğrultusundaki normal şekil değiştirme ε xx, AB uzunluğundaki değişimin AB uzunluğuna oranı olarak tanımlanır. AB AB ε x = (4.6) AB A B = ( A P ) + ( B P ) 9

55 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN [ ] [ ] ), ( ), ( ), ( ), ( y x v y x x v y x u y x x u x B A + Δ + + Δ + Δ = (4.7.a) AB Δx = (4.7.b) Denklem (4.7.a) ve (4.7.b) Denklem (4.6) da yerine yazılırsa; ), ( ), ( ), ( ), ( lim Δ + Δ + Δ + Δ + = Δ x y x v y x x v x y x u y x x u x x ε ve kısmi türevin tanımını kullanarak + + = x v x u x ε x u x + = ε x u x = ε (4.8) elde edilir. Çok küçük deplasmanlar için, << x u ve << x v dir. Benzer şekilde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme, ε yy AD uzunluğundaki değişimin AD uzunluğuna oranı olarak tanımlanır. y AD AD AD ε = (4.9) ) ( ) ( D Q A Q D A + =

56 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN [ ] [ ] ), ( ), ( ), ( ), ( y x u y y x u y x v y y x v y D A + Δ + + Δ + Δ = (4..a) AD Δy = (4..b) Denklem (4.) Denklem (4.9) da yerine yazılırsa; ), ( ), ( ), ( ), ( lim Δ + Δ + Δ + Δ + = Δ y y x u y y x u y y x v y y x v y y ε ve kısmi türevin tanımını kullanarak + + = y u y v y ε y v y + = ε y v y = ε (4.) elde edilir. Çok küçük deplasmanlar için, << y u ve << y v dir. Elemanın uzunluğu artarsa, şekil değiştirme pozitif, azalırsa negatiftir. AB ve AD kenarları arasındaki 9 derecelik açının değişimi kayma şekil değiştirmesi γ xy olarak adlandırılır. AB ve AD kenarlarının eğilmesiyle, açısal değişim meydana gelir. Bu kayma şekil değiştirmesi şu şekilde tanımlanır. θ θ γ + = xy (4.)

57 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Burada PB θ = (4.3a) AP P B = v( x + Δx, y) v( x, y) (4.3.b) A P = u( x + Δx, y) + Δx u( x, y) (4.3.c) QD θ = (4.4.a) AQ Q D = u( x, y + Δy) u( x, y) (4.4.b) A Q = v( x, y + Δy) + Δy v( x, y) (4.4.c) Denklem (4.3) ve (4.4) Denklem (4.) de yerine yazılırsa; γ xy = lim v( x + Δx, y) v( x, y) u( x, y + Δy) u( x, y) Δx Δy + u( x + Δx, y) + Δx u( x, y) v( x, y + Δy) + Δy v( x, y Δx Δy Δ x ) Δy v u γ xy = + (4.5) x y u Burada da çok küçük deplasmanlar için, << ve y v << dir. x AB ve AD kenarları arasındaki açı azaldığı zaman kayma şekil değiştirmesi pozitiftir, aksi takdirde kayma şekil değiştirmesi negatiftir.

58 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Normal ve kayma şekil değiştirmelerinin tanımından Şekil 4.7 deki sonsuz küçük kübik elemanın şekil ve boy değişimi şu şekilde bulunabilir. v w γ yz = + (4.6.a) z y w u γ zx = + (4.6.b) x z w ε zz = (4.6.c) z Genel Hooke Kanunları Mühendislikte kullanılan malzemelerin birçoğu lineer ve izotrop özellik gösterir. Bu malzemelerin gerilme-şekil değiştirme ilişkileri aşağıdaki denklemlerde görülmektedir. σ = Eε ii ij ii σ = Gε ij (4.7) Bu denklemler İngiliz Matematikçi Robert Hooke (635-73) tarafından ifade edilen ve Hooke kanunu olarak bilinen ilişkilerdir. Sistemde meydana gelen her etki sisteme verilen küçük bir yükten dolayı oluşan deformasyonlarla doğrusal olarak ilişkilidir. Hooke kanunu olarak anılan ifadeler aşağıda matematiksel olarak açıklanmıştır. E ( ( )) G ε = σ ν σ +σ 33 ε = σ E ( ( )) ε = σ ν σ +σ E ( ( )) ε = σ ν σ +σ ε = σ 3 3 ε = σ (4.8) G G 3

59 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN 4 Burada ν Poisson oranıdır. Kayma modülü G ise, elastik sabit E ve poisson oranı ν nün bir fonksiyonudur. ) ( E G + ν = (4.9) Malzeme Modülleri İncelenen eleman, lineer elastik özellik göstermektedir ve çok küçük deformasyonlara sahiptir. Herhangi bir noktadaki gerilme ve şekil değiştirmeler Hooke kanunları olarak adlandırılan altı adet eşzamanlı lineer denklem takımına bağlıdır. Bir noktada onbeş adet bilinmeyen parametre bulunmaktadır, bunların altısı gerilme, altısı şekil değiştirme ve üçü de deplasmandır. Hooke kanunlarındaki altı adet eşzamanlı lineer denklem takımının kombinasyonu, Denklem (4.8), (4.), (4.5) ve (4.6) tarafından verilen altı adet deplasman şekil değiştirme ilişkisi ve üç adet denge denklemi ile onbeş bilinmeyen için onbeş adet denklem elde edilir. Deplasman şekil değiştirme ve denge denklemleri, çözümün tamamlanması için bilinen sınır şartlarına maruz bırakılır. Üç boyutlu gerilme durumunda, lineer izotropik bir malzeme için, Şekil 4.9 da x-y-z ortogonal sistemindeki bir noktada, Hooke kanunlarıyla elde edilen gerilme şekil değiştirme ilişkisi matris formunda aşağıdaki gibidir. = xy zx yz z y x xy zx yz z y x G G G E E E E E E E E E τ τ τ σ σ σ ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε (4.)

60 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN z y x Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi (Kaw, 997) Denklem (4.) deki 6X6 boyutundaki matris izotropik malzemenin esneklik (compliance) matrisi [S] olarak adlandırılır. Denklem (4.) deki 6X6 boyutundaki matris esneklik matrisinin tersidir. Bu matrise ise rijitlik (stiffness) matrisi denir. σ x σ y σ z τ yz τ zx τ xy E( ν) ( ν )( +ν) νe ( ν )( +ν) νe ( ν )( +ν) = νe ( ν )( +ν) E( ν) ( ν )( +ν) νe ( ν )( +ν) νe ( ν )( +ν) νe ( ν )( +ν) E( ν) ( ν )( +ν) G G G ε x ε y ε z (4.) γ yz γ zx γ xy Burada ν Poisson oranıdır. Kayma modülü G ise, elastik sabit E ve poisson oranı ν nün bir fonksiyonudur ve Denklem (4.9) da gösterilmiştir. 5

61 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Şekil Değiştirme Enerjisi Enerji, iş yapabilme kapasitesi olarak tanımlanır. Çeşitli yükler altında deformasyona uğrayan katı bir elemanda, yüzeysel yükler tarafından yapılan iş, şekil değiştirme enerjisi olarak depolanır. Eleman içerisinde, her birim hacimde depolanan şekil değiştirme enerjisi U = ( σxε x +σyε y +σzε z +τxyγ xy +τyzγ yz +τzxγ zx ) (4.) olarak tanımlanır Farklı Tip Malzemeler İçin Hooke Kanunları Lineer, elastik ve izotrop olmayan genel bir malzeme için gerilme-şekil değiştirme ilişkisi Denklem (4.) ve (4.) den daha karmaşıktır. Bir kompozit için lineer ve elastik davrandığı varsayımı genellikle kabul edilebilir, fakat kompozit bir malzeme izotrop olarak kabul edilemez. Bundan dolayı, bu malzemelerin gerilme şekil değiştirme ilişkisi Hooke kanununa uyar, fakat gerilme ve şekil değiştirmeye bağlı sabitler sayıca Denklem (4.) ve Denklem (4.) de görüldüğünden daha fazladır. Üç boyutlu bir kütle için, --3 ortogonal koordinat sistemindeki en genel şekil değiştirme-gerilme ilişkisi aşağıdaki gibidir. ε ε ε 3 = γ 3 γ 3 γ S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S σ σ σ 3 τ 3 τ 3 τ (4.3) 6

62 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Yukarıdaki denklemde 36 adet sabite sahip olan 6X6 boyutundaki [S] matrisi esneklik (compliance) matrisi olarak adlandırılır. Denklem (4.3) ün tersi alınarak, --3 ortogonal kartezyen koordinat sisteminde üç boyutlu bir eleman için genel haldeki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi aşağıdaki şekilde elde edilir. σ σ σ τ τ τ = C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ε ε ε γ γ γ (4.4) Yukarıda Denklem (4.4) de yer alan [C] matrisine rijitlik (stiffness) matrisi denir. Malzemenin izotropik olması durumunda yukarıda verilen gerilme-şekil değiştirme ilişkisi Denklem (4.9) deki gibidir. Denklem (4.3) de verilen esneklik (compliance) matrisinin elemanları, S = = = E S S33 ν S = = = = = = E S3 S S3 S3 S3 S 44 = = S55 = S66 (4.5) G şeklindedir. Ayrıca diğer tüm S ij ler sıfırdır. Rijitlik matrisinin [C] simetrik olmasından dolayı Denklem (4.4) de görülen otuzaltı adet sabit, yirmibir sabite iner. 7

63 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN σ i = 6 j= C ε ij j i=,...,6 (4.6) Burada σ 4 = τ 3 ; σ 5 = τ3 ; σ 6 = τ ; ε 4 = γ 3 ; ε 5 = γ 3; ε 6 = γ (4.7) olarak değişken dönüşümü yapılmaktadır. Elemanın birim hacmindeki şekil değiştirme enerjisi Denklem (4.) de açıklanmıştı. Yeni notasyona göre Denklem (4.) tekrar yazılırsa; U = σε = 6 i i (4.8) i halini alır. Denklem (4.6), Denklem (4.8) de yerine yazılırsa U= ε ε 6 6 Cij j i (4.9) i = j = olur. Yukarıdaki ifadenin kısmi diferansiyeli alınırsa U ε ε i j = C ij (4.3) ve U ε ε j i = C ji (4.3) ifadeleri elde edilir. Denklem (4.3) ve Denklem (4.3) den 8

64 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN C ij = C ji (4.3) elde edilir. Sonuçta Denklem (4.3) deki genel rijitlik matrisinde, adet bağımsız elastik sabit bulunmaktadır. Bu sonuca göre, Denklem (4.4) de görülen esneklik matrisinde de adet bağımsız elastik sabit olduğu görülür Anizotropik Malzeme Bir noktada yirmibir adet bağımsız elastik sabite sahip olan malzemeye anizotropik malzeme denir. Bu sabitler bir kez özel bir nokta için bulunduğu zaman gerilme-şekil değiştirme ilişkisi o noktada geliştirilebilir. Eğer malzeme homojen değilse, bu sabitler noktadan noktaya değişiklik gösterebilirler. Malzeme homojen olsa bile (veya öyle olduğu farz edilsin) analitik olarak veya deneysel olarak, bu adet elastik sabiti bulmak gerekir. Birçok doğal ve sentetik malzeme, malzeme simetrisine sahiptir, yani elastik nitelikler simetri doğrultularında özdeştir. Bu simetri özelliği 6X6 rijitlik [C] ve 6X6 esneklik [S] matrislerindeki sabitlerin bazılarını ya sıfırlayarak yada birbirleriyle ilişkilendirerek bağımsız elastik sabitlerin sayısını düşürür. Bu durum, elastik simetrinin değişik türleri için Hooke kanunundaki ilişkileri basitleştirir Monoklinik Malzeme Eğer malzemenin, bir tane malzeme simetri düzlemi varsa bu tip malzemelere monoklinik malzemeler denir. Simetri düzlemine dik olan doğrultu, temel doğrultu olarak adlandırılır. Bu tip malzemeler 3 adet bağımsız elastik sabite sahiptir. Monoklinik malzemede rijitlik matrisi Denklem (4.33) ve esneklik matrisi Denklem (4.34) e indirgenir. 9

65 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN C = C C C3 C6 C C C3 C 6 C3 C3 C33 C 36 C44 C45 C45 C55 C6 C6 C36 C66 (4.33) S = S S S3 S6 S S S3 S 6 S3 S3 S33 S 36 S44 S45 S45 S55 S6 S6 S36 S66 (4.34) Ortotropik Malzeme Eğer malzeme, karşılıklı olarak birbirine dik üç adet malzeme simetri düzlemine sahipse bu tip malzemelere ortotropik malzeme denir. Bu tip malzemeler 9 adet bağımsız elastik sabite sahiptir. Ortotropik malzemeler için rijitlik ve esneklik matrisleri aşağıdaki gibidir. C C C C = 3 C C C 3 C C C C 44 C 55 C66 (4.35) 3

66 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN S S S S = 3 S S S 3 S S S S 44 S 55 S66 (4.36) Enine (Transversely) İzotropik Malzeme Ortotropik elemanın düzlemlerinin birinde, bir malzeme izotropi düzlemi varsa bu tip malzemelere enine (transversely) izotropik malzemeler denir. Bu tip malzemeler beş adet bağımsız elastik sabite sahip olup rijitlik ve esneklik matrisleri aşağıdaki şekildedir. C C C C = C C C 3 C C C 3 (C C 3 ) / C 55 C55 (4.37) S S S S = S S S 3 S S S 3 (S S 3 ) S 55 S55 (4.38) 3

67 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN İzotropik Malzeme Eğer ortotropik bir elemanda bütün yüzeyler özdeşse, bu tip malzemelere izotropik malzemeler denir. İzotropik malzemeler iki adet bağımsız elastik sabite sahiptir. İzotropik malzemeler için rijitlik ve esneklik matrisleri aşağıdaki gibidir. C C C C = C C C C C C (C C ) / (C C ) / (C C ) / (4.39) S S S S = S S S S S S (S S ) (S S ) (S S ) (4.4) 4.4. Ortotropik Malzemelerde Gerilme ve Deformasyonların Esneklik Matrisi İle Olan İlişkisi Şekil 4. da --3 ortogonal koordinat sisteminde tanımlı kompozit bir eleman görülmektedir. Bu elemanın fiberlere paralel olan doğrultusuna fiber doğrultusu, fiberlere dik olan ve 3 doğrultularına matris doğrultusu denir. Bu kompozit elemandan, sonsuz küçük kübik bir parça ele alalım. Şekil 4. de sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler görülmektedir. Kübik eleman, üzerinde bulunan bu gerilmelerden dolayı çeşitli deformasyonlara maruz kalmaktadır. Bu deformasyonları tanımlayabilmek için eleman üzerindeki gerilmeleri ayrı ayrı ele almak gerekmektedir. 3

68 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN 3 Matris doğrultusu Matris doğrultusu Tabakalı malzeme Küçük eleman Fiber doğrultusu Şekil 4.. Temel malzeme koordinat sistemi 3 σ 3 τ 3 τ 3 τ τ 3 τ σ τ 3 σ Şekil 4.. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler (Hyer, 998) 33

69 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Şekil 4..a da görüldüğü gibi sonsuz küçük kübik eleman doğrultusunda σ gerilmesi etkisindedir. Bu durumda Denklem (4.3) ve Denklem (4.36) dan ε γ = Sσ = Sσ 3 = ε γ 3 = S3σ 3 = ε γ = olduğu görülür. doğrultusu dikkate alındığında esneklik matrisinin S elemanı elastisite modülü cinsinden elde edilir. Aynı işlemler diğer doğrultular için de yapılır. σ ε = (4.4) E σ =, S = (4.4) S E E = ε Genel olarak Poisson oranı ν ij, i doğrultusunda sadece normal yük uygulandığı zaman, j doğrultusundaki normal şekil değiştirmenin, i doğrultusundaki normal şekil değiştirmeye oranının negatifi olarak tanımlanır. Yani kısaca enine daralmanın boyuna uzamaya oranının negatifidir. Poisson oranının tanımından ε S ν = =, ε S σ ε = νε = ν (4.43) E ε S 3 3 ν 3 = =, ε S E σ ε = ν ε = ν (4.44) ifadeleri elde edilir. Aynı işlemler ve 3 doğrultuları için de uygulanır. 34

70 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN 3 σ σ (a) Genel görünüş σ σ (b) - Düzlemi 3 σ σ (c) -3 Düzlemi 3 (d) -3 Düzlemi Şekil 4.. σ gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu (Hyer, 998) 35

71 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Ayrıca, sonsuz küçük kübik eleman Şekil 4.3 de görüldüğü gibi kayma gerilmelerininde etkisi altındadır. 3 τ π γ (a) Genel görünüş (b) - Düzlemi 3 3 (c) -3 Düzlemi (d) -3 Düzlemi Şekil 4.3. τ kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu (Hyer, 998) Şekil 4.3.a da görüldüğü gibi sonsuz küçük kübik eleman τ kayma gerilmesinin etkisi altındadır. Bu durumda Denklem (4.3) ve Denklem (4.36) dan ε = γ 3 = ε = γ 3 = ε 3 = γ = S66τ olduğu görülür. 36

72 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN τ γ = (4.45) G τ = (4.46) S G = γ 66 Aynı işlemler diğer yüzeyler için de uygulanır. Burada her malzeme düzleminde bir tane olmak üzere 3 adet elastisite modülü (E, E, E 3 ), her düzlemde iki tane olmak üzere 6 adet Poisson oranı (υ, υ 3, υ, υ 3, υ 3, υ 3 ) ve her düzlemde 3 adet kayma modülü (G 3, G 3, G ) bulunmaktadır. Bunun yanı sıra altı adet Poisson oranı Betti-Maxwell teoremine göre birbirinden bağımsız değildir. ν E ν = (4.47) E ν E ν = (4.48) E ν E ν = (4.49) E 3 3 Bu ilişkiler bağımsız malzeme sabitlerini toplam 9 a indirir. Esneklik ve rijitlik matrislerinde bu sayı aynıdır. 37

73 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Mühendislik sabitleri cinsinden esneklik matrisi tekrar yazılırsa; [ S] ν ν 3 E E E ν ν 3 E E E ν3 ν 3 E E E G = G 3 3 G (4.5) elde edilir. Yukarıdaki matris diyagonalin sağına ve soluna göre simetriktir. Esneklik matrisinin elemanları aşağıda görülmektedir. S = S E υ S = E 3 = S = S3 S3 E E S = 44 G 3 S = 55 S = 33 E υ υ3 = = S3 = S3 = (4.5) E G 3 S = 66 3 G 38

74 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN 4.5. Gerilme-Şekil Değiştirme İlişkisi Plak ve kabuklar fiberlerin yönelimine bağlı olarak farklı tipte ortotropiye sahip olabilirler. Bu sebeple tabakalı kompozit elemanlar için gerilme-şekil değiştirme ifadeleri yazılırken bazı temel kabuller göz önüne alınır. Malzeme içerisinde yer alan fiberler birbirlerine paralel olarak dizilmişlerdir. Fiberler doğrusal bir düzlem üzerinde devam etmeyebilir, özellikle kabuk elemanlarda bu durum görülür. Her bir tabakadaki fiberler farklı açılarla dizilim yapabilirler. Makroskopik aşamada her bir tabakanın homojen ve ortotrop olduğu dikkate alınacaktır. Bazı durumlarda genel koordinat sistemi ile fiberlerin doğrultusunun birbirine paralel olması mümkün olmayabilir. Bu durumda dönüşüm işlemleri ile gerilme-şekil değiştirme ifadesi genel halde yazılacaktır. Ortotropik bir tabaka için gerilme-şekil değiştirme ilişkisi tabakaların fiber doğrultuları dikkate alınarak üç boyutlu olarak aşağıdaki gibi yazılabilir. σ Q Q Q3 σ Q Q Q3 σ 3 Q3 Q3 Q33 = σ 3 Q44 σ 3 Q55 σ Q66 ε ε ε 3 γ 3 γ 3 γ (4.5) Yukarıdaki denklemde Q ij terimleri indirgenmiş rijitlik katsayıları olarak tanımlanır. Gerilme-şekil değiştirme ilişkisi esneklik matrisi açısından da aşağıdaki gibi yazılabilir. ε S S S3 ε S S S3 ε 3 S3 S3 S33 = γ 3 S44 γ 3 S55 γ S66 σ σ σ 3 σ 3 σ 3 σ (4.53) 39

75 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN İndirgenmiş rijitlik katsayıları ile esneklik katsayıları arasındaki bağlantı aşağıdaki ( Q S ) gibidir [ ] [ ] =. Q Q Q Q SS33 S3 SS 3 3 SS 33 =, Q = S S S33S S3 SS3 S3S =, Q3 = S S SS S SS3 S3S =, Q3 = (4.54) S S =, Q55 =, Q 66 = S S S S= S S S S S S S S S + S S S Denklem (4.5), Denklem (4.54) de yerine yazılırsa, Q = E υ υ Δ Q = E υ υ Δ Q33 = E υ υ 3 Δ Q 44 3 υ +υ υ υ +υ υ = = Δ Δ , Q E E υ +υ υ υ +υ υ = = Δ Δ , Q3 E E3 υ +υ υ υ +υ υ = = Δ Δ , Q3 E E3 = G, Q55 = G3, Q66 = G (4.55) Δ= υυ υ3υ3 υ3υ3 υυ3υ 3 denklemleri elde edilir. Burada E, E ve E 3 sırasıyla, ve 3 doğrultularındaki elastisite modülleri, G, G 3 ve G 3 kayma (rijitlik) modülleri ve ν, ν, ν 3, ν 3, ν 3, ν 3 ise Poisson oranlarıdır. Poisson oranları birbirlerine Beti-Maxwell teoremi (ν ij /E i = ν ji /E j ) ile bağlıdır. Böylece her bir tabaka için 9 adet bağımsız malzeme sabiti vardır. 4

76 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Tek doğrultulu tabakalarda, enine doğrultudaki düşük mukavemet özellikleri ve düşük rijitlikler sebebiyle, tabakalanma genellikle sadece tek doğrultulu tabakalardan meydana gelmez. Bundan dolayı bazı tabakalar belirli açılarla tabakalanma içerisinde yer alır. Bu durumun bir sonucu olarak açılı tabakalarda gerilme-şekil değiştirme ilişkisinin geliştirilmesi gerekmektedir. Açılı tabakalar için verilen koordinat sistemi Şekil 4.4 de görülmektedir. - koordinat sistemi, lokal eksen veya malzeme ekseni olarak adlandırılır. doğrultusu fiberlere paraleldir ve doğrultusu fiberlere diktir. Bazı kaynaklarda doğrultusu boylamasına (longitudinal) doğrultu (L) ve doğrultusu enlemesine (transverse) doğrultu (T) olarak tanımlanır. x-y koordinat sistemi global koordinat sistemi olarak isimlendirilir. İki koordinat sistemi arasında θ açısı bulunmaktadır ve açılı tabakalardaki global ve lokal eksenler doğrultusundaki gerilmeler bu θ tabaka açısına bağlıdır. σ y σ yx y θ σ xy σ x σ x x σ xy σ yx σ y Şekil 4.4. Açılı tabakalarda global ve lokal eksen takımları 4

77 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN σ x σ y σ z σ yz σ xz σ xy = [ T] σ σ σ 3 σ 3 σ 3 σ (4.56) [T] transformasyon matrisi olarak adlandırılır ve aşağıdaki şekilde tanımlanır. Burada [ T ] = c s sc s c sc c s s c sc sc c s (4.57) c = cos( θ) ve = sin( θ) s (4.58) Transformasyon matrisinin tersi, c s sc s c sc [ T] = c s s c sc sc c s (4.59) şeklindedir. Denklem (4.5) de lokal eksenlerdeki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi kullanılarak, Denklem (4.56) şu şekilde yazılabilir. 4

78 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN 43 x y z yz xz xy σ σ σ σ σ σ = [ ] T [ ] Q ε ε ε γ γ γ (4.6) Global ve lokal eksenler doğrultusundaki şekil değiştirmeler, birbirlerine transformasyon matrisiyle bağlanır ε ε ε γ γ γ = [ ] T x y z yz xz xy ε ε ε γ γ γ (4.6) Yukarıdaki denklem aşağıdaki şekilde de yazılabilir ε ε ε γ γ γ = [ ] R [ ] T [ ] R x y z yz xz xy ε ε ε γ γ γ (4.6) Burada [R], Reuter matristir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır.

79 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN R = [ ] (4.63) Denklem (4.6), Denklem (4.6) da yerine konursa, σ x σ y σ z σ yz σ xz σ xy = [ T] [ Q ] [ R ] [ T ] [ R] ε x ε y ε z γ yz γ xz γ xy (4.64) elde edilir. Denklem (4.64) açık şekilde yazılırsa, σ x σ y σ z σ yz σ xz σ xy = Q Q Q3 Q 6 Q Q Q3 Q6 Q3 Q3 Q33 Q 36 Q44 Q45 Q45 Q55 Q6 Q6 Q36 Q66 ε x ε y ε z γ yz γ xz γ xy (4.65) olur. Burada [ Q ] transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi olarak adlandırılır. [Q ] matrisinin açık şekli aşağıda görülmektedir. 44

80 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Q + ( Q Q ) s 4 4 = Qc + Q s + 66 c 4 4 ( Q + Q 4Q ) s c + Q ( c ) Q = + 66 s Q = Q c + Q s Q = ( Q Q ) s 4 4 Qs Q c 66 c Q = Q c + Q s Q Q Q = Q ( Q Q Q ) c s ( Q Q Q ) s c = (4.66) ( Q Q Q ) cs ( Q Q Q ) c s 6 = 66 ( ) Q = Q Q cs ( Q + Q Q Q ) s c + Q ( s ) Q = c Q = Q c + Q s Q = Q c + Q s ( ) Q = Q Q cs Tek doğrultulu tabakalar için, Denklem (4.5) ve Denklem (4.53) de görüldüğü gibi normal ve kayma gerilmeleri ile şekil değiştirmeleri arasında bir bağlantı yoktur. Fakat, açılı tabakalarda, Denklem (4.65) de görüldüğü gibi normal ve kayma gerilmeleri ile şekil değiştirmeleri arasında bir bağlantı mevcuttur. Açılı tabakalarda, sadece normal gerilmelerin etkimesi durumunda, kayma şekil değiştirmeleri sıfır değildir ve sadece kayma gerilmeleri etkidiğinde normal şekil değiştirmeleri sıfır değildir. Bu nedenle Denklem (4.65), gerilme şekil değiştirme denklemi ortotropik tabakalar için genel denklemler olarak adlandırılır (Kaw, 997). 45

81 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN 4.6. Denge ve Hareket Denklemleri Boyutları dx, dy ve dz olan sonsuz küçük kübik bir elemanda, kuvvet ve momentlerin dengesi hesaba katılarak, bir O noktası için denge denklemleri elde edilir (Şekil.4.5). Denge denklemleri yazılırken, her bir tabakanın ortotropik olduğu, elemanın kalınlığının uzunluğu ve genişliğine göre çok küçük olduğu, deplasmanların (u, v ve w) eleman kalınlığı yanında çok küçük olduğu varsayılmıştır. Şekil.4.5 den yararlanarak x, y, ve z doğrultularında denge denklemleri yazılabilir. z σ zx σ zx + dz z σ xz σ xz + dx x σ dz x σ x + dx x σ xy σ xy + dx x x σ zy σ z zy z + dz z dy z σ y σ yx σ yz σ zy O σ x σ xy σ xz σ zx σ z σ σ + dx dz σ yz σ yz + dy y σ σ yx y σ + y σ + y y yx dy y dy Şekil.4.5. dx, dy, dz boyutundaki sonsuz küçük kübik eleman için kartezyen koordinatlarda gerilme notasyonları. 46

82 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN x doğrultusunda denge yazılarak σ x σ + x x dx σ x dydz + σ yx σ yx + dy σ yx dxdz + y σ σ + σ + =ρ z u dt zx zx dz zx dxdy qxdxdydz dv (4.67) denklemi elde edilir. Aynı işlemler y ve z doğrultuları için de yapılır. Burada dv hacimdir ve dv=dx dy dz olarak ifade edilir. Denklemler düzenlendiğinde gerilmeler cinsinden aşağıdaki ifadeler elde edilir. σ σ σ u x y z t x yx zx qx =ρ σ y zy xy v + σ + σ + qy =ρ y z x t (4.68) σ σ z yz σxz w qz =ρ z y x t Yukarıdaki denklemde yer alan q x, q y ve q z ifadeleri, hiçbir kütlesel kuvvetin mevcut olmadığı varsayımı dikkate alınarak sıfıra eşitlenebilir Enerji ve Varyasyon Prensibi Kinetik, Potansiyel ve Şekil Değiştirme Enerjisi Enerji ve varyasyon prensipleri kullanılarak elastisitede yer alan birçok denklemin türetilmesinde büyük basitleştirmeler sağlanır. Bu prensipler birçok araştırmacı tarafından kullanılmıştır. Enerji ifadeleri şekil değiştirme enerjisi, dış kuvvetlerin yaptığı iş ve kinetik enerji olarak tanımlanır. Sınır şartları ve denge 47

83 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN denklemlerinin türetilmesinde ve enerji yönteminin uygulanmasında varyasyon ifadesini içeren Hamilton prensibi kullanılabilir. Enerji, iş yapabilme kapasitesi olarak tanımlanır. Çeşitli yükler altında deformasyona uğrayan katı bir elemanda, yüzeysel yükler tarafından yapılan iş, şekil değiştirme enerjisi olarak depolanır. Eleman içerisinde, her birim hacimde depolanan şekil değiştirme enerjisi U= ( σxε x +σyε y +σzε z +τxyγ xy +τyzγ yz +τzxγzx ) dv (4.69) olarak tanımlanır. Denklem (4.8), (4.), (4.5) ve (4.6) yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa enerji fonksiyonları gerilme ve deplasmanlar açısından aşağıdaki gibi yazılabilir. u v w σ x + σ y + σz x y z U = dxdydz v u w u w v (4.7) + τ xy + + τ xz + + τ yz + x y x z y z Dış kuvvetler tarafından, sistem içerisinde ek bir enerji meydana getirilmektedir. Bu enerji, dış kuvvetlerin yaptığı iş olarak tarif edilmektedir ve şu şekilde tanımlanmaktadır. W = [ uq + vq wq ]dxdydz (4.7) x y + z Sabit yoğunluk için kinetik enerji ifadesi aşağıdaki biçimde yazılabilir. ρ u v w T = + + dxdydz t t t (4.7) 48

84 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN Hamilton Prensibi Hamilton prensibi birçok mekanik problemine uygulanabilen genel bir prensiptir. Bu yöntemde, dinamik sistemler zaman uzayında bir noktadan diğer bir noktaya taşınabilirler. Sistem, potansiyel ve kinetik enerji arasındaki farkın zamana göre integrali alınıp minimize edilmesiyle uygulanır. Hamilton prensibi kullanılarak, enerji denklemlerine virtüel deplasmanlar uygulanır ve elde edilen denklem sıfıra eşitlenerek hareket denklemlerine ulaşılabilir. Sistemin potansiyel enerji ifadesi Π= U W (4.73) olarak yazılabilir. Kartezyen koordinatlarda tanımlanan üç boyutlu elastisite problemleri için Lagrangian fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilir. L= T Π = T U+ W ρ u v w t t t L = σ +σ +σ +τ + x y z x y w u w v +τ xz + + τ yz + x z y z ( uqx vq y wqz) u v w v u dxdydz x y z xy (4.74) Yukarıda yer alan şekil değiştirme enerjisi, dış kuvvetlerin yaptığı iş ve kinetik enerji ifadeleri yerine yazılır ve t ile t aralığında enerjinin korunumu ilkesi ile denklem sıfıra eşitlenirse (t -t aralığında sistemin toplam enerjisindeki varyasyon yani değişim, sıfıra eşittir) aşağıdaki denklem elde edilir. t ( T W U) dt (4.75) t δ + = 49

85 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN u δu v δv w δw ρ + + t t t t t t = + δ + δ + δ δu δv δw δv δu σ x +σ y +σ z +τ xy + x y z x y w u w v δ δ δ δ +τ xz + + τ yz + x z y z t ( qx u qy v qz w) dxdydzdt (4.76) t Yukarıdaki denklemin integrasyonu alınırsa; t t ( ) δ T+ W U dt = t t t u v w = ρ δ u+ ρ δ v+ ρ δw dt t t t t t t t t u v w +ρ δ u + δ v + δw dxdydz t t t t { x y z } q δ u + q δ v + q δw dxdydz σx σy σδ x u δ u dx dydz + σδ y v δv dy dxdz x y z σxy σ + σzδw δ w dz dxdy + σxyδu δu dy dxdz z y σxy σxz + + σxyδv δ v dx dydz + σxzδu δu dz dxdy x z σ σ xz yz + σxzδw δ w dx dydz + σyzδv δv dz dxdy x z σyz + σyzδw δw dy dxdz dt y (4.77) 5

86 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Ali DOĞAN denklemi elde edilir. Fonksiyonelin başlangıç ve bitiş zaman aralığındaki sınırlarda sıfır değerini aldığı kabul edilir ve elde edilen yeni denklem δu, δv ve δw parantezine alınırsa enerji denklemleri kullanılarak hareket denklemleri elde edilmiş olur. t t ( ) δ T+ W U dt = σ σ x xy σxz u qx ρ δu x y z t t σ σ σ = ρ δ σ σ xz yz σz w qz ρ δw x y z t t t xy y yz v qy v dxdydzdt (4.78) t x y z t t 5

87 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN 5. KABUKLARIN ANALİZİ 5.. Giriş Daha önceki bölümde belirtildiği üzere, bir tabaka, homojen izotrop fiber takviyeler ile fiber malzemelerin etrafını saran, fiberlerin belirli bir dağılım ve düzen içerisinde bulunmalarına olanak sağlayan, homojen izotrop matris malzemelerin belirli oranlarda bir araya getirilmesiyle meydana gelmektedir (Şekil 5..). Elde edilen kompozit tabakanın rijitliği, tabaka üzerindeki herhangi bir noktanın fiber eleman üzerinde, matris eleman üzerinde veya fiber-matris birleşim bölgesinde olmasına bağlı olarak noktadan noktaya çeşitlilik gösterir. Bu çeşitlilik sebebiyle, tabakalı kompozitlerin makromekanik analizi yapılırken ortalama malzeme özellikleri temel alınır. h α β Fiber malzeme Matris malzeme Şekil 5.. Tabakalı kompozit kabuklarda fiber ve matris malzemelerin görünümü Kabuk elemanların davranışını anlamaya yönelik birçok çalışma yapılmış ve bu çalışmalar ışığında çeşitli kabuk teorileri geliştirilmiştir. Bu teoriler, kayma deformasyon etkisi dikkate alınarak geliştirilen kalın kabuk teorileri (SDST) ve klasik kabuk teorisi olarak da anılan ince kabuk teorileri (CLST) biçiminde iki ana başlık altında incelenebilir. 5

88 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Kabuk elemanın yaptığı deformasyonların, orta düzleme göre meydana gelen yer değiştirmelere bağlı olarak yazıldığı kabul edilmiştir. Hareket denklemleri türetilirken, iki temel kabul esas alınmıştır. Bu kabullerden ilki, kabuk elemanın küçük deplasmanlara sahip olması, ikincisi ise, sığ kabuklar için kabuk kalınlığının eğrilik yarıçapı yanında çok küçük olduğu kabulüdür. Teorik yaklaşımın temelinde Love (888,944) ve Reissner (94) in yaptığı çalışmalar ve çözülen örnekler için Qatu (4) tarafından izlenen yol esas alınmıştır. Eğrilik yarıçapı düzlemsel yer değiştirmelerle karşılaştırıldığında çok büyüktür. Sığ kabuklardaki, u ve v yer değiştirme bileşenlerinin tanjantıyla meydana gelen eğrilik değişimi, normal bileşen olan w ile karşılaştırıldığında çok küçüktür. 5.. Deplasman Birim Deformasyon İlişkileri Sonsuz küçük bir kabuk elemanını göz önüne alınırsa, kabuğun bir noktası ile diğer bir noktası arasındaki ilişkiyi aşağıdaki denklemlerle türetilebilir (Şekil 5.). z α ζ İn İβ B İα ds dr C r r r r r+ dr O y x β Şekil 5.. Kabuğun orta düzlemindeki koordinatları 53

89 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Şekil değiştirmemiş yüzeyin denklemleri α ve β koordinatları cinsinden vektörel olarak yazılabilir. r r r = r( α, β) (5.) r vektörünün artış miktarı yüzey üzerinde (α,β) noktasından (α+dα, β+dβ) noktasına taşınmasıdır. Bu durumda C noktasının yeri r r r+ dr (5.) olur. Bu Denklemde yer alan dr r aşağıda yazıldığı gibidir. r r r dr = r dα+ r dβ, α, β (5.3) r Yukarıdaki Denklemde yer alan r, α ifadesi r r vektörünün α ya göre birinci türevini ifade etmektedir. İki nokta arasındaki yay yüzeyinin uzunluğu; r r ds = dr dr = A dα + ABCosχdαdβ+ B dβ (5.4) dir. Burada; r r A = r, r, α α, r r B = r, r, β β r r ve ABCosχ= r, r, α β (5.5) Burada yer alan (,) ifadesi türevi ifade eder. χ terimi ise α ile β arasındaki açıdır. Yukarıdaki denklemlerin sağ tarafı, yüzeyin birinci temel formu olarak adlandırılır. r r, α = r A ve r, β = B olduğu düşünülerek, α ile β arasındaki χ açısı ve yüzey koordinatlarına teğet birim vektörler; 54

90 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN r r χ= Cos (i, α i, β) r r i, α = r, α / A r r i, = r, / B β β (5.6) olarak yazılabilir. Bir vektör birim vektör ile şiddetin çarpımı şeklinde ifade r r r r edilebilir. Bu durumda C = i, α Χ i, β ise C = Sin( χ) olur. O zaman r r r r C= i, α Χ i, β= Sin( χ)i n olur. Sonuç olarak yüzeye normal birim vektör aşağıdaki gibi tanımlanır. r r r i = (i, Χ i, ) / Sinχ n α β (5.7) Yüzey üzerindeki bir eğrinin, eğriliği ikinci kuadratik form olarak r r adlandırılır. Eğer yay uzunluğu s olan yüzey üzerindeki bir eğrinin denklemi = r(s) ise eğriye teğet birim vektör aşağıdaki gibi yazılabilir. r r dr r dα r dβ τ= r = r, α + r, β (5.8) ds ds ds Yukarıdaki vektörün türevi eğriliği vermektedir. Frenet in formülüne bağlı olarak aşağıdaki formül yazılabilir. (Kreyszig 993) r ur dτ N = ds ρ (5.9) Burada /ρ eğrilik ve N r eğriye normal temel birim vektördür. Yukarıdaki eğrilik denklemlerinde Denklem (5.9) da yer alan r τ, yerine Denklem (5.8) yazılırsa sonuç olarak aşağıdaki denklem elde edilir. 55

91 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN r dτ d r dα r dβ = r, α + r, β ds ds ds ds (5..a) Ara işlemler yapılırsa; d τ r d r d d d d d r, α r r, α r r, β r = α + α + r, β + β β ds ds ds ds ds ds ds d τ r d r d d d d d (r, ) α r r, β r r, α r = α + β + α + r, β β ds ds ds ds ds 4ds44443 S r r r r r dτ dr, d dr, d d dr, d dr, α α α β α β α β dβ dβ = S ds dα ds dβ ds ds dα ds dβ ds ds r dτ r dα r dα dβ r dα dβ r dβ = r, αα r, αβ r, αβ r, ββ S ds ds ds ds ds ds ds d τ r r d d d d d d r, α r r, α β r αα αβ r, β r ββ r, α r = α + r, β β ds ds ds ds ds ds ds (5..b) ifadesi elde eldir. Bu ifadede sol tarafa Denklem (5.9) daki eşitlik yazılırsa; ur N r dα r dα dβ r dβ r d α r d β = r, αα + r, αβ + r, ββ + r, α + r, β ρ ds ds ds ds ds ds (5.) elde edilir. Eğriye normal temel birim vektör N r arasındaki açı φ ise, r ve yüzeye normal i n vektörü r ur i N= Cosφ n Cos ( φ ) = r i ur N (5.) n 56

92 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN r olur. Yukarıda yer alan Denklem (5.) in her iki tarafı i n r r r r ' i r, =i r, = dır) aşağıdaki denklem elde edilir. n α n β ile çarpılırsa (burada Cosφ L(dα) +M(dα)(dβ)+N(dβ) = ρ ds (5.3) Burada; r r L= r, αα i n r r =, M r, αβ in ve r r N= r, i ββ n (5.4) Yukarıdaki denklemlerin sağ taraftaki kısmı ikinci kuadratik form olarak r adlandırılır. Bu denklemler normal eğriliği bulmaya yardımcı olan denklemlerdir. i n vektörünün doğrultusu yüzeye normal pozitif yöndedir ve N r vektörüne ters yöndedir. Bu durumda φ =π olur. Sonuç olarak; R = L( dα) A dα + M( dα)( dβ) + N( dβ) + ABCosχdαdβ + B dβ (5.5) elde edilir. α ve β eğrilerinin eğrilik değerleri α= Sabit ve β= Sabit değerlerinin yerine koyulmasıyla elde edilir. Bu işlem denklemde anılan sıraya göre yapılır. Böylece; L = R A α N = (5.6) R B β M = R AB αβ 57

93 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN denklemleri elde edilir. Yukarıdaki denklemlerin üçüncüsü yüzeyin burulma eğriliği denklemidir. r r vektörünün ikinci türevleri matris formunda aşağıdaki şekilde yazılabilir. r r r, αα Γ Γ L r, α r r r, αβ = Γ Γ Mr, β r r r, ββ Γ Γ N in (5.7) Burada i Γ jk Christoffel sembolüdür. Matris elemanları aşağıdaki gibi açıklanmıştır. (Gol denveizer 96) A Γ = A α, B Γ = A A Γ = B B α, A Γ = B β A β, B Γ = B β, B Γ = B α (5.8) r r i i = n n dir. Bu ifadenin α ve β ya göre türevini alırsak r r r r i i, = i i, = n n α n n β (5.9) ifadesi elde edilir. Bunun yanı sıra, r r r r i r, = i r, = n α n β (5.) ifadesinin türevi yazılıp Denklem (5.3) de yerine yazılırsa L, M ve N nin aşağıda görülen ifadeleri elde edilir. 58

94 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN r r L= r, i, α n α r r r r M = r, i, = r, i, α n β β n α (5.) r r N= r, i, β n β Yukarıdaki açıklamalar ışığında Denklem (5.6) kullanılarak Weingarten formülleri elde edilir. r A r A r i, n α = iα + i Rα Rαβ r B r B r i, n β = iβ + iα R R β αβ β (5.) Denklem (5.7) ve Denklem (5.) kullanılarak Denklem (5.6) ve Denklem (5.7) deki birim vektörlerin türevleri şimdi bulunabilir. Bu denklemler şu şekilde yazılabilir; B A r i B β R r α i α α r A A r iβ = iβ α r A β Rαβ r in in A A Rα R αβ (5.3) B B r A α R r i αβ i α α r B B r iβ = iβ β r A α Rβ r in in B B Rαβ R β 59

95 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Buna ek olarak aşağıdaki özdeşlikler ortaya konulabilir. r r (i α, ), = (i α, ), r r (i β, ), = (i β, ), r r (i, ), = (i, ), n α β β α α β β α α β n β α (5.4) Denklem (5.3) ve yukarıdaki eşitlikler ile β α α A R A α B R β = = R B + α β R α β A B + β B α R αβ B + A α A β R αβ A AB = B β R αr β AB + R αβ (5.5) denklemleri elde edilir. Yukarıdaki ilk iki denklem Mainardi-Codazzi denklemleri olarak bilinir. Son denklem ise Gauss karakteristik denklemi olarak bilinir. ur uur ur U = U α, β,n, U = U α, β,n,u = U α, β,n olmak üzere kabuk ( ) ( ) n ( ) α α β β üzerindeki bir noktanın deplasman vektörü α, β ve n koordinatları cinsinden ifade edilirse; n ur r r r U= U i + U i + U i α α β β n n (5.6) vektörünü yazılabilir. Yukarıda yer alan deplasman vektörünün, Denklem (5.3) kullanarak α ve β ya göre türevleri alınırsa, aşağıdaki denklemler elde edilir. 6

96 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN ur A A r A A r U, α= uα, α + uβ + un iα + uβ, α uα + un i B β R α B β R αβ A A r + un, α uα uβ i Rα R αβ ur B B r B B r U, β= uα, β uβ + un iα + uβ, β + uα + un i A R αβ A R α α β B B r + un, β uβ uα in Rβ R αβ n β β (5.7) 5.3. Kinematik İlişkiler Kabuğun orta düzleminde, (α,β,) koordinatlarında bir nokta düşünülürse, bu r noktanın deformasyondan önceki pozisyonu r ( α, β) ve deformasyondan sonraki r pozisyonu ( α, β) dır. Bu noktadaki yer değiştirme vektörü şu şekilde tanımlanır. r r ur r ( αβ, ) = r ( αβ, ) + U (5.8) Bu noktadaki deformasyon, yer değiştirme vektörü cinsinden şu şekilde yazılabilir. ur r r r U = u i + v i + w i α β n (5.9) Bu denklemde r r r i,i vei, sırasıyla α, β ve z doğrultusundaki birim vektörlerdir. α α β n eğrisine paralel yay uzunluğu göz önüne alınır ve ds (= Ad α ) olarak gösterilirse bu α yay uzunluğu deformasyondan sonra değiştirme aşağıdaki denklem ile tanımlanır. d (= A dα ) olacaktır. Uzama şekil s α ( ) ( ) ds ds A A ε = = veya A = A +ε (5.3) ( ) α α α α dsα A 6

97 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Orta düzlemin şekil değiştirmesi için Denklem (5.8) in türemesiyle aşağıdaki denklem elde edilir. U, α +ε α i α = iα + (5.3) A ( ) α Kabuktaki dönmenin çok küçük olmasından dolayı i α. i = olarak kabul edilebilir. Bu yaklaşım sayesinde lineer olmayan terimler ihmal edilebilir. Böylece Denklem (5.3) kullanılarak ε α şu şekilde yazılabilir. ur U ε α = A, α r i α (5.3) Benzer şekilde bir yol izlenerek aşağıdaki denklemler elde edilir. ur U r, β ε β = iβ B ur U r, α ε αβ = iβ A ur U r, β ε βα = iα B ur U r, U r α, β γ αβ = iβ + i A B ur U r ur r, α γ αz = i n + U,z i α A ur U r ur r, β γ βz = i n + U,z i β B α (5.33) Son iki denklem z doğrultusundaki kayma şekil değiştirmeleridir. Denklem (5.33) orta düzlemdeki birim deformasyonları ifade etmektedir. Orta düzlemden z uzaklığında dz kalınlığındaki sonsuz uzunlukta bir elemanın yeri aşağıdaki gibidir. 6

98 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN ds ds z α z β Adα = R α Bdβ = R β ( R + z) = A + + R dα = A ( ) z + = R z B dβ = B dβ β α z R β α dα (5.34) Yukarıdaki denklemde A ve B orta düzlemin Lamé parametreleridir. A, B, R α, R β ve R αβ terimleri birbirlerine Lamé denklemleri ile bağlanırlar. Benzer şekilde orta düzlem şekil değiştirmelerinin yardımıyla kabuk içerisindeki herhangi bir noktanın şekil değiştirmesi bulunabilir. ur U, r α ε α = i α A ur U r, β ε β = iβ B ur U r, α ε αβ = iβ A ur U r, β ε βα = iα B ur ur U r, U r α, β γ αβ = i i β + A B ur U, α r ur r γ αz = i n + U,z i A ur U, r ur r β γ βz = i n + U,z i β B α α (5.35) z doğrultusundaki şekil değiştirme ise ur r ε = U, i z z n (5.36) olarak yazılır. Yukarıdaki denklemler yardımıyla deplasman şekil değiştirme ilişkileri şu şekilde elde edilebilir. 63

99 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN ε ε ε γ γ γ α β z αβ αz βz = = ( + z R ) α ( + z R ) = β ( + z R ) α β ( + z R ) = A = B = w dz α ( + z R ) ( + z R ) β α A B u + α v + β A v v AB u AB w + A α w + B β A + β B + α u AB A + ( + z R ) ( + z R ) β α w R w R β α αβ z B z A w R + ( + z R ) R ( + z R ) v u ( + z R ) R ( + z R ) β β α B u β αβ αβ u v AB v B + α (5.37) Yukarıdaki denklemler lineer eğrilikli koordinatlarda üç boyutlu bir kütlenin kinematik ilişkilerinin temellerini oluşturur. β α w R αβ 5.4. Kalın Kabuk Teorisi Kalın kabuklarla ilgili olarak Love birçok çalışma yapmıştır. Love yaptığı çalışmalarda birçok kabullerde bulunmuş ve üç boyutlu elastisite denklemlerini eğrisel koordinatlarda iki boyuta indirgemiştir. Bu kabullerden ilki şekil değiştirmelerin ve yer değiştirmelerin çok küçük olması ve yüksek dereceden terimlerin ihmal edilebilmesidir. İkinci kabul ise, kabuk kalınlığının diğer kabuk parametreleri yanında çok küçük olmasıdır. Üçüncü kabul, kayma gerilmelerinin diğer gerilmeler yanında çok küçük olduğudur. Sonuçta Love, şekil değiştirme olmadan önce orta düzleme dik olan yüzeyin şekil değiştirme olduktan sonrada orta düzleme dik kalacağı kabulünü yapmıştır Kalın Kabuklarda Kinematik İlişkiler Kalın kabukların serbest titreşim analizinde kullanılan Denklemler, kayma deformasyon ve dönme atalet faktörleri içerirler. Kalın kabuk teorisi, orta düzlem 64

100 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN kabuk deplasmanlarının kabukların kalınlıkları açısından genişletilmesi ile elde edilir. Bu genişletme birinci dereceden yada yüksek dereceden olabilir. Birinci dereceden olan açılım literatürde, birinci dereceden kayma deformasyon teorisi olarak adlandırılır. Bu teoride üç boyutlu elastisite teorisi, orta düzleme paralel normal şekil değiştirmelerin diğer doğrultulardaki şekil değiştirmeler yanında ihmal edilebilir olduğu kabulü ile iki boyuta indirgenir. Diğer bir deyişle orta düzleme düşey doğrultudaki şekil değiştirmenin sıfır olduğu kabul edilir ( ε z =). Orta düzleme normal şekil değiştirmeler deformasyon esnasında doğrusal olarak kalır. Kabuk eleman için deplasman ifadeleri ise şu şekilde yazılabilir. u( α, β, z) = u v( α, β, z) = v w( α, β, z) = w ( α, β) + zψ ( α, β) + zψ ( α, β) α β ( α, β) ( α, β) (5.38) Burada u, v ve w kabuk elemanın orta düzlem deplasmanları,. ψ α ve ise orta düzlem dönmeleridir. Bu denklemlerde yer alan ( ) ifadesi orta düzlemi ifade eder. Yukarıdaki denklemler birinci dereceden kayma şekil değiştirme teorisi SDST olarak tanımlanır ve kabuğun herhangi bir noktasındaki şekil değiştirmeler, orta düzlem şekil değiştirmeleri ve eğrilikler cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir. ψ β ε = ε + κ ( ) ( ) z + z R α α α α ε = ε + κ ( ) ( ) z + z Rβ β β β ε = ε + κ ( ) ( ) z + z R αβ αβ αβ α ε = ε + κ ( ) ( ) z + z Rβ βα βα βα γ = γ + ψ ( + z R ) ( + z Rβ ) ( z z( R )) αz α α α α ( z z( R )) γ = γ + ψ βz β β β (5.39) 65

101 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Yukarıdaki denklemlerde yer alan orta düzlem şekil değiştirmeleri ve eğrilikler aşağıda gösterilmiştir. u v A w ε α = + + A α AB β R v u B w ε β = + + B β AB α R v u A w ε αβ = + A α AB β R u v B w ε βα = + B β AB α R w u v γ αz= +ψ A α R R w v u γ βz= +ψ B β R R α β β αβ αβ α αβ αβ β α (5.4) κ κ κ κ α β αβ βα = = = = A B A B ψ α ψ β β ψ α ψ α β ψβ A + AB β ψ α B + AB α β α ψ α A AB β ψβ B AB α (5.4) Kalın Kabuklarda Gerilme Sonuçları Tabakalı kompozit kalın kabuklar için gerilme-şekil değiştirme ilişkisi aşağıdaki gibidir. 66

102 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN σ σ σ σ σ σ α β z βz αz αβ = Q Q Q3 Q 6 Q Q Q3 Q6 Q3 Q3 Q33 Q 36 Q44 Q45 Q45 Q55 Q6 Q6 Q36 Q66 ε ε ε γ γ γ α β z βz αz αβ (5.4) Denklem (5.39-4) deki orta yüzey şekil değiştirmeleri ve eğilmeleri, tabakadaki gerilme ve şekil değiştirmeleri bulmak için gerekli olan bilinmeyenlerdir. Fakat Denklem (5.4), bu bilinmeyenlerin ışığında, her bir tabakadaki gerilmeleri verir. Her bir tabakadaki gerilmelerin, tabaka kalınlığı boyunca integre edilmesiyle, kuvvetler ve momentler elde edilir. Bu sayede, bir tabakadaki kuvvetler ve momentler bilinirse orta yüzey eğilmeleri ve şekil değiştirmeleri bulunabilir. Şekil (5.3) de gösterilen n adet tabakaya sahip bir plağı göz önüne alalım. Burada her bir tabaka t k kalınlığına sahiptir. Tabakalı elemanın kalınlığı ise h ve orta yüzey, tabakanın alt veya üst yüzeyinden h/ mesafededir. n t k k= h = (5.43) h h h 3 h/ h3 Orta düzlem h k- k- h k t k k k+ h/ h n h n- n z Şekil 5.3 Tabakalı bir elemandaki katmanların koordinat yerleşimi 67

103 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN 68 Burada; h h = (. tabakanın üst yüzeyi) t h h + = (. tabakanın alt yüzeyi) h h n = (n. tabakanın alt yüzeyi) n n t h h = (n. tabakanın üst yüzeyi) (5.44) = + = k L L k t h h (k. tabakanın üst yüzeyi) = + = k L k t L h h (k. tabakanın alt yüzeyi) Kabuk kalınlığı boyunca gerilmelerin integrasyonu alınarak kabuk elemandaki kuvvet ve moment değerleri elde edilir. Normal ve kesme kuvvetleri aşağıda görülmektedir. ( ) ( )dz R z Q N N dz R z Q N N h h z h h z α β αβ β β βα β β α αβ α α αβ α + σ σ σ = + σ σ σ = (5.45) Eğilme ve burulma momentleri ile yüksek dereceden kayma terimleri aşağıda verildiği gibidir.

104 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN M M P α M M P αβ βα β α β = = h h h h σ σ σ σ σ σ α αβ αz β αβ βz ( + z R ) β zdz ( + z R α )zdz (5.46) Yukarıdaki ifadelerde M α ve M β eğilme momentleri, M αβ ve M βα burulma momentleridir. P α ve P β ise yüksek dereceden kayma terimleridir. R olduğundan, N αβ α R N ve M M dır. Yukarıdaki denklemler yardımıyla βα αβ βα gerilme şekil değiştirme ilişkisi aşağıdaki gibi yazılabilir. Bu denklemler yardımıyla hareket denklemlerine ulaşılabilir. β N N N N M M M M α β αβ βα α β αβ βα A A A = A B B B B A Â A Â B Bˆ B Bˆ A A A A B B B B A Â A Â B Bˆ B Bˆ B B B B D D D D B Bˆ B Bˆ D Dˆ D Dˆ B B B B D D D D B Bˆ B Bˆ D Dˆ D Dˆ ε ε ε ε κ κ κ κ α β αβ βα α β αβ βα (5.47) Q Q P P α β α β A = A B B A Â B Bˆ B B D D B Bˆ D Dˆ γ γ ψ ψ αz βz α β R R α β (5.48) 69

105 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN i z Q β İ α İ β N αβ N α α N α N + α α dα Q α Q + α N α αβ dα N + α αβ Q dα β Q + β β dβ N βα N + β βα dβ β N β N + β β dβ Şekil 5.4. Kabuk eleman üzerindeki kuvvetlerin gösterimi. i z M βα İ α İ β M β M α M αβ α M αβ M + α αβ dα M M α α α + dα M β M + β β dβ β M βα M + β βα dβ Şekil 5.5. Kabuk eleman üzerindeki momentlerin gösterimi. 7

106 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Bu denklemlerde yer alan A ij, B, D, A, B, D, Aˆ, Bˆ vedˆ terimleri ij ij ij ij ij ij ij ij aşağıda tanımlanmıştır. N (k) ij = ij k k k= A Q (h h ) B Q (h h ) N (k) ij = ij k k k= D Q (h h ) N (k) 3 3 ij = ij k k 3 k= i,j =,,6 (5.49) N (k) ij = i j ij k k k= A K K Q (h h ) B K K Q (h h ) N (k) ij = i j ij k k k= D K K Q (h h ) N (k) 3 3 ij = i j ij k k 3 k= i,j =4,5 (5.5) A Â B ij ij ij ˆB D ˆD ij ij ij B = Aijα + R B = Aijβ + R D = Bij α + R D = Bijβ + R ijα ijβ ijα E = Dij α + R E = Dij β + R β α β ijβ α ijα β ijβ α (5.5) Bu denklemlerde yer alan K i ve K j terimleri kayma düzeltme sabitleri olup, değeri 5/6 olarak alınmaktadır (Timoshenko, 9). 7

107 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN N h N k (k) dz (k) Rn + h k Aijn = Qij = Rn Q ln hk k= + z Rn k= Rn + hk B Q zdz R Q (h h ) R ln N h N k (k) (k) n k ijn = ij = n h k k n k k= + z Rn k= Rn + hk zdz D Q R Q (R h ) (R N h N k (k) (k) ijn = h ij = n n + k k k= + z R ( n + h k ) ) n k= Rn + h k (hk h k ) R n ln R n + h k R + h zdz E Q R Q (R h ) (R h ) N 3 h N k (k) (k) 3 3 ijn = ij = n h n + k n + k k k= + z R n k= 3 ( ) 3 + R n( (R n + h k ) (R n + h k ) ) 3 Rn + h k 3R n (h k h k ) R n ln R n + h k n =αβ, (5.5) Leissa ve Chang (996) yukarıdaki denklemde görülen ( zr) + n terimini geometrik serilere açmışlar ve açılan seride yüksek dereceden terimleri ihmal etmişlerdir. ( ) + z R = z R + z R + yüksek dereceden terimler (5.53) n n n Sonuçta, yukarıdaki Denklem (5.49-5) tekrar yazarak, aşağıdaki denklemleri elde etmişlerdir. 7

108 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN A Aˆ B D Dˆ ij ij ij Bˆ ij ij ij = A = A = B ij ij = B = D = D ij ij ij ij c + c c + c c + c B B D D E E ij ij ij ij ij ij i,j =,,4,5,6 (5.54) Burada N (k) ij = ij k k k= A Q (h h ) B Q (h h ) N (k) ij = ij k k k= D Q (h h ) N (k) 3 3 ij = ij k k 3 k= E Q (h h ) N (k) 4 4 ij = ij k k 4 k= i,j =,,6 (5.55) ve N (k) ij = i j ij k k k= A K K Q (h h ) B K K Q (h h ) N (k) ij = i j ij k k k= D K K Q (h h ) N (k) 3 3 ij = i j ij k k 3 k= i,j =4,5 (5.56) dir. Bu denklemlerde yer alan h k ifadesi, k nıncı tabakanın orta düzleme olan uzaklığıdır. Yukarıdaki denklemlerde yer alan c terimi ise aşağıda verilmiştir. 73

109 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN c = Rα Rβ (5.57) Kalın Kabuklarda Enerji Denklemleri Enerji denklemleri, yaklaşık metodların kullanımı için gerekli olan sınır şartları ve hareket denklemlerinin oluşturulmasında önemlidir. Bir kabuk elemanın şekil değiştirme enerjisi şu şekilde tanımlanır. U= { σαε α +σβε β +σzε z +σαβγ αβ +σαzγ αz +σβzγβz } dv v = { σαε α +σβε +σ β zε z +σαβγ αβ +σαzγ αz +σβzγβz} h (5.58) h αβ ( α)( β) + z R + z R ABdαdβdz Denklem (5.39), (5.45) ve (5.46) yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa N ε + N ε + N ε + N ε + M κ U= + M κ + M κ + M κ + Q γ + Q γ ABdαdβ α α β β αβ αβ βα βα α α β β αβ αβ βα βα α αz β βz (5.59) αβ + Pαψ α Rα + Pβψβ Rβ ifadesi elde edilir. Dış kuvvetlerin yaptığı iş; { α β n α α β β} (5.6) α β W = q u + q v + q w + m ψ + m ψ ABdαdβ ifadesi ile bulunabilir. Burada q α, q β ve q n sırasıyla α, β ve z doğrultusundaki düzgün yayılı yüklerdir. Yine bu denklemde yer alan m α ve m β ise kabuk elemanın orta düzlemindeki moment çiftleridir. Kabuk elemanda kinetik enerji denklemi aşağıdaki şekilde açıklanabilir. 74

110 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN {& & & } T= u + v + w dw V = ( u& + v& + w& + z ψ & α + z ψ & β + zu& ψ & α + zv& ψ& β) (5.6) α β ( α)( β) + z R + z R ABdαdβdz Yukarıdaki terimler açılırsa; h z T= ( u& + v& + w& ) + z + + α β h Rα R β RαR β z + z ( ψ & α +ψ& β) + z + + R R R R α β α β z + z( u& ψ & α + v& ψ& β) + z + + ABdαdβdz Rα R β RαR β (5.6) denklemi elde edilir. Elde edilen denklemde h/ ve h/ sınırlarında integrasyon alınarak aşağıdaki denklem elde edilir. I 3 T= ( u& + v& + w& ) I+ I + + α β R R R R α β α β I 5 + ( ψ & α +ψ& β) I3+ I4 + + Rα R β RαR β I 4 + ( u& ψ & α + v& ψ& β) I + I3 + + ABdαdβ Rα R β RαR β (5.63) Burada yer alan [ I,I,I,I,I 3 4 5] atalet terimleri 75

111 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN hk ( k) 3 4 I,I,I 3,I 4,I5 = ρ,z,z,z,z dz (5.64) [ ] N k= hk olarak ifade edilebilir. ρ ( k) k nıncı tabakadaki kabuk elemanın birim alanının yoğunluğudur. Elde edilen enerji denklemleri, hareket denklemlerinin türetilmesinde kullanılır Kalın Kabuklarda Hareket Denklemleri Sınır şartları ve hareket denklemleri oluşturulurken Hamilton prensibi kullanılabilir. U= σ ε +σ ε +σ ε +σ γ +σ γ +σ γ V ( α α β β z z αβ αβ αz αz βz βz) h ( α α β β z z αβ αβ αz αz βz βz) (5.65) dv = σ ε +σ ε +σ ε +σ γ +σ γ +σ γ h αβ z z. + + ABdαdβdz Rα Rβ Denklem (5.39-4) yukarıdaki denklemde yerine yazılır ve z doğrultusunda integre edilirse; 76

112 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN ( ) ( ) ( ) ( ) σα ε α + zκ α +σβ ε β + zκ β +σzεz + z R z R α + β ( ) ( ) ( ) ( ) +σαβ ε αβ + zκ αβ + σβα ε βα + zκβα + z Rα + z Rβ U = αβ +σαz ( γ αz + z( ψα Rα) ) ( + z Rα ) +σβz ( γ βz + z( ψβ Rβ) ) ( z R + β ) z z + + ABdαdβ Rα Rβ (5.66) ( z R )( z ) ( z R )( z ) σ α + β ε α + κ α +σ β + α ε β + κ β +σzε z +σ αβ ( + z Rβ )( ε αβ + zκ αβ ) + σ βα ( + z Rα )( ε βα + zκβα ) U = αβ +σ αz( + z Rβ) ( γ αz + z( ψα Rα) ) βz( z Rα) ( βz z( β Rβ) ) +σ + γ + ψ ABdαdβ (5.67) Aşağıda yer alan ifadeler Denklem (5.67) de yerine yazılırsa, enerji ifadesi Denklem (5.69) daki gibi elde edilir. 77

113 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN h h h h h h h h h h h z z α dz N α, β dz N β R β h Rα σ + = σ + = z h z αβ dz N αβ, βα dz N βα R β h Rα σ + = σ + = z h z αz dz Qα βz dz Q β R β h Rα σ + = σ + = z h z σ α + zdz= M α, σ β + zdz = M R β h Rα z h z αβ zdz Mαβ βα zdz M βα R β h Rα σ + = σ + = β (5.68) Nαε α + Nβε β + Nαβε αβ + Nβαεβα U= + Mακ α + Mβκ β + Mαβκ αβ + Mβακ βα ABdαdβ (5.69) αβ + Qαγ αz+ Qβγ βz+ Pαψ α Rα + Pβψβ R β denklemi elde edilir. Denklem (5.4) yukarıdaki ifadede yerine yazılır ve elde edilen denklemin varyasyonu alınırsa; δu δv A δw δv δu B δw Nα Nβ + + A α AB β Rα B β AB α R β δv δu A δw δu δv B δw + Nαβ + + Nβα + A α AB β Rαβ B β AB α Rαβ δψ α β A δψ β α B δψ δψ + Mα + + Mβ + δ U = A α AB β B β AB α ABdα dβ αβ δψβ δψα A δψ δψ α β B + Mαβ + Mβα A α AB β B β AB α δw δu δv δw δv δu + Qα +δψ α + Qβ +δψ β A α Rα Rαβ A α Rβ R αβ Pα α Rα Pβ β R + δψ + δψ β (5.7) 78

114 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN şekil değiştirme enerjisinin varyasyonu elde edilir. Aşağıda yer alan kinetik enerji ifadesinin varyasyonu alınarak Denklem (5.7) elde edilir. z T= ( u& + v& + w& ) + z + + α β Rα R β RαR β z + z ( ψ & α +ψ& β) + z + + R R α β R α R β z + z( u& ψ & α + v& ψ& β) + z + + ABdαdβ Rα R β RαR β (5.7) z δ T= ( u& δ u& + v& δ v& + w& δw& ) + z + + α β Rα R β RαR β 4 3 z + ( ψ& αδψ & α + ψ& βδψ& β) z + z + + Rα R β RαR β 3 z + ( u δ& ψ & α + u& δψ& α) z+ z + + Rα R β RαR β ( & β & β) 3 z + v δ& ψ + v& δψ z+ z + + ABdαdβ (5.7) Rα R β RαR β Denklem (5.64) kullanılarak aşağıdaki ifade elde edilir. I 3 δ T = ( u& δ u& + v& δ v& + w& δw& ) I+ I + + α β Rα R β RαR β I 5 + ( ψ& αδψ & α + ψ& βδψ& β) I3+ I4 + + Rα R β RαR β I 4 + ( u δ& ψ & α + u& δψ& α) I + I3 + + (5.73) Rα R β RαR β I 4 + ( v δ& ψ & β + v& δψ& β) I + I3 + + ABdαdβ Rα R β RαR β 79

115 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN t ( T W U) dt (5.74) t δ + = Denklem, yukarıda elde edilen enerji terimleri ile tekrar düzenlenir ve kısmi integrasyonlar alınırsa, hareket denklemlerine ulaşılır. Varyasyon yapılırken fonksiyonelin sınırlarda sıfır değerini aldığı kabulü geçerlidir. A B AB AB ( BN ) + ( AN ) + N N + Q + Q + ABq α β β α R R α βα αβ β α β α α αβ ( ) && I && α = AB I u + ψ B A AB AB ( AN ) + ( BN ) + N N + Q + Q + ABq β α α β R R β αβ βα α β α β β αβ ( ) && I && β = AB I v + ψ N Nβ Nαβ + Nβα α AB ( BQα) + ( AQβ) + ABq Rα Rβ R αβ α β n ( ) = AB I w&& A B AB ( BM ) + ( AM ) + M M + ABQ + P + ABm α β β α R α βα αβ β α α α α ( ) && I 3 && α = AB I u + ψ B A AB ( AM ) + ( BM ) + M M + ABQ + P + ABm β α α β R β αβ βα α β β β β ( ) && I 3 && β = AB I v + ψ (5.75) Yukarıdaki denklemde yer alan q α, q β ve q n dış kuvvetlerin yaptığı iştir. I i terimi ise aşağıda genel olarak formüle edilmiştir. Bu denklemde yer alan I i terimi Denklem (5.64) de açıklanmıştır. I + I + i i = I + I + + R α R β R αr i=,,3 (5.76) i i β 8

116 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN 5.5. İnce Kabuk Teorisi Eğer bir kabuk elemanda kabuk kalınlığının açıklığına oranı / den küçük ise bu tip kabuklar ince kabuk olarak adlandırılmaktadır. İnce kabuk teorisinde kayma deformasyonları ve dönme atalet kuvvetleri ihmal edilmektedir. Bu kabullere dayanarak çeşitli ince kabuk teorileri geliştirilmiştir. Teoriler geliştirilirken öncelikle tek tabakalı izotropik kabuklar temel alınmış daha sonra ise ortotropik kabuklar için teoriler geliştirilmiş ve sonunda anizotropik tabakalı kompozit ince kabuklar için genel ifadeler içeren formülasyonlar geliştirilmiştir İnce Kabuklarda Kinematik İlişkiler İnce kabuklar için kabuk kalınlığının eğrilik yarıçapına oranı olan z/r çok çok küçük olduğu için ihmal edilebilir. Bu durumda şekil değiştirmeler aşağıdaki gibi yazılabilir. ε =ε + zκ α α α ε =ε + zκ β β β γ =γ + zτ αβ αβ Orta düzlem şekil değiştirme ve eğriliklerinin ifadeleri aşağıda görülmektedir. (5.77) u v A w ε α = + + A α AB β R v u B w ε β = + + B β AB α R v u A u v B w ε αβ = + + A α AB β B β AB α R ψ ψ α β A κ α = + A α AB β ψβ ψα B κ β = + B β AB α ψβ ψα A ψ ψ α β B τ= + A α AB β B β AB α β α αβ (5.78) 8

117 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Yukarıdaki denklemde yer alan ψ α ve ψ β ifadeleri aşağıdaki gibidir. ψ ψ α β u = R v = R α β v + R u + R αβ αβ A B w α w β (5.79) İnce Kabuklarda Gerilme Sonuçları İnce kabuk için Kirchoff hipotezi kullanılabilir. Bu hipoteze göre ince kabuklar, kalınlığının açıklığına oranı / den küçük olan kabuklar olarak tanımlanır. Kabuk malzemesinin homojen, izotrop (veya burada ortotrop) ve elastik olduğu kabul edilmektedir. İnce kabuklarda klasik tabaka teorisi olarak bilinen Kirchoff hipotezi nin temel kabulleri aşağıda verilmektedir. a) Orta düzlemdeki çökme kabuk kalınlığı yanında çok küçüktür (w << t). b) Eğilmeden sonrada orta düzlem şekil değiştirmez. c) Başlangıçta orta düzleme dik olan düzlemler eğilmeden sonrada orta düzleme dik kalırlar. Buna göre γ αz ve γ βz kayma deformasyonları ihmal edilir.( γ αz =, γ βz =). m m ' m Şekil 5.6. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi d) ε z = dır. 8

118 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN e) Orta düzleme dik olan normal gerilme σ z diğer gerilme bileşenleri yanında çok küçüktür ve ihmal edilebilir. Bu durumda kabuk eleman için kayma deformasyon ifadesi ve ε z ihmal edilebilir. Ayrıca ince kabukta kalınlık çok küçük olduğu için z/r α ve z/r β terimleri de ihmal edilebilir. Böylece N αβ =N βα ve M αβ =M βα olur. Tabakalı kompozit ince kabuklar için gerilme-şekil değiştirme ilişkisi aşağıdaki gibidir. σ σ σ α β αβ = Q Q Q 6 Q Q Q 6 Q Q Q ε ε γ α β αβ (5.8) Yukarıda görüldüğü gibi ince kabuk için elde edilen transformasyona uğramış indirgenmiş rijitlik matrisi 3X3 boyutundadır. Kabuk elemanın kalınlığı boyunca gerilmelerin integrasyonu alınarak, kabuk elemandaki kuvvet ve moment değerleri elde edilir. Normal kuvvetler ve momentler aşağıda görülmektedir. N N N α β αβ M M M α β αβ = = h h h h σ σ σ α β αβ σ σ σ α β αβ dz z dz (5.8) Denklem (5.77-8), Denklem (5.8) de yerine yazılır ve elde edilen ifadeler tabakadan tabakaya, tabaka kalınlığı boyunca integre edilirse, normal kuvvetler ve momentlerin yer aldığı aşağıdaki denkleme ulaşılmaktadır. 83

119 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN N α A A A6 B B B6 ε α N A A A 6 B B B β 6 ε β N αβ A3 A 6 A 66 B6 B 6 B 66 γ αβ = M α B B B6 D D D6 κ α M B B B D D D κ β 6 6 β M αβ B6 B 6 B66 D6 D 6 D 66 τ (5.8) Bu denklemlerde yer alan A ij,bij ve D ij terimleri aşağıda tanımlanmıştır. N (k) ij = ij k k k= A Q (h h ) B Q (h h ) N (k) ij = ij k k k= D Q (h h ) N (k) 3 3 ij = ij k k 3 k= (5.83) Yukarıdaki ifadelerde [A] uzama rijitlik matrisi, [B] eğilme-uzama arasındaki bağlanma rijitlik matrisi, [D] eğilme rijitlik matrisidir. [B] matrisinin varlığı, eğilme ve uzama arasında bir girişim bulunduğunu göstermektedir, bu yüzden [B] matrisinde yer alan B ij terimleri tabaka üzerinde çekme etkisi yaparak, tabakanın eğilme ve burulmasına neden olur. A 6 ve A 6 terimleri, bir tabakadaki kayma şekil değiştirmesi ile normal gerilme arasında ve normal şekil değiştirme ile kayma gerilmesi arasında varolan bağı gösterir. D 6 ve D 6 ise bir tabakadaki eğilme ile burulma arasındaki bağı göstermektedir. [A], [B] ve [D] matrisleri kompozitlerin çeşitli şartlar altında davranışını anlamamızda bize yardımcı olmaktadırlar. 84

120 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN İnce Kabuklarda Enerji Denklemleri İnce kabuklar için enerji denklemleri yazılırken, ince kabuk elemanlar için yapılan kabuller dikkate alınır. Böylece denklemler daha basit bir hal alırlar. İnce kabuk elemanların şekil değiştirme enerjisi şu şekilde tanımlanır. U= σ ε +σ ε +σ γ v { } h α α β β αβ αβ β αβ h dv { α α β αβ αβ} = σ ε +σ ε +σ γ ABdαdβdz (5.84) Denklem (5.77) ve (5.8) yukarıdaki denklem de yerine yazılırsa; N ε + N ε + N ε U= ABdαdβ α α β β αβ αβ (5.85) + Mακ α + Mβκ β + Mαβτ αβ denklemi elde edilir. Dış kuvvetlerin yaptığı iş ise aşağıdaki gibi yazılabilir. { α β n } (5.86) α β W = q u + q v + q w ABdαdβ İnce kabuklar için kinetik enerji ifadesi de yapılan kabuller ve ihmaller dikkate alınarak şu şekilde yazılabilir. {& & & } T= u + v + w dv V h α β h (& & & ) = u + v + w ABdαdβdz (5.87) Yukarıdaki denklemin h/ ve h/ sınırlarında integrasyonu alınırsa aşağıdaki denklem elde edilir. 85

121 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN {( )( ) } T= u& + v& + w& I ABdαdβ (5.88) α β Burada yer alan [ I ] atalet terimi daha önceden Denklem (5.64) de açıklanmıştı. Daha önceden açıklandığı üzere ρ ( k), k nıncı tabakadaki kabuk elemanın birim alanının yoğunluğudur. Elde edilen enerji denklemleri, ince kabuklar için elde edilecek hareket denklemlerinin türetilmesinde kullanılır İnce Kabuklarda Hareket Denklemleri Sınır şartları ve hareket denklemleri oluşturulurken kalın kabuk denklemlerinde olduğu gibi Hamilton prensibi kullanılabilir ve kalın kabuk denklemlerindeki işlem adımları uygulanarak aşağıdaki denklemlere ulaşılır. A B AB AB ( BN ) + ( AN ) + N N + Q + Q + ABq α β β α R R α βα αβ β α β α α αβ ( && ) = AB I u B A AB AB ( AN ) + ( BN ) + N N + Q + Q + ABq β α α β R R β αβ βα α β α β β αβ ( && ) = AB I v N Nβ Nαβ + Nβα α AB ( BQα) + ( AQβ) + ABq Rα Rβ R αβ α β Yukarıdaki denklemde; A B ABQ = ( BM ) + ( AM ) + M M α β β α α α βα αβ β B A ABQ = ( AM ) + ( BM ) + M M β α α β β β αβ βα α n ( && ) = AB I w (5.89) (5.9) Bu denklemde yer alan I terimi Denklem (5.64) de açıklanmıştır. 86

122 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN 5.6. Sığ Kabukların Analizi Kabuk elemanların küçük eğriliklere sahip olmaları durumunda bu kabuklar sığ kabuk olarak adlandırılırlar. Daha önceki kısımlarda yazılan genel kabuk denklemleri, sığ kabuklara uygulanabilir. Bu uygulama esnasında, genel kabuk denklemlerinde bazı kabuller yapılarak sığ kabuklar için denklemler tekrar düzenlenir. Bu kısımda ince ve kalın sığ kabukların temel denklemleri elde edilecek ve elde edilen denklemler yardımıyla, çeşitli durumlardaki sığ kabukların serbest titreşim analizleri yapılacaktır. Kabuklar için elde edilen çözüm yöntemleri için iki farklı teori kullanılmaktadır. Bu teoriler literatürde, ince kabuklar için klasik tabakalı sığ kabuk teorisi (classical laminated shallow shell theory, ), kalın kabuklar için ise kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (shear deformation shallow shell theory, ) olarak adlandırılmaktadır. Sığ kabuklarda, eğrilik yarıçapı düzlemsel deplasmanlarla karşılaştırıldığında çok büyüktür. Ayrıca u ve v düzlemsel deplasmanları da kendilerine normal doğrultudaki w deplasmanı ile karşılaştırıldıklarında çok küçüktürler. Bunlara ek olarak kayma kuvvetleri R i N i i terimi yanında çok küçüktür ( Q i << R i Ni i ) z (Ambartsumian 964). Ayrıca + terimi de e çok yakındır. Bütün bu kabuller R i dikkate alındığında kabuklar için yazılan genel denklemler sığ kabuklar için özel denklemlere dönüşür İnce Sığ Kabukların Temel Denklemleri Genel ince kabuklar için yapılan kabuller, ince sığ kabuklar için geliştirilen denklemler için de geçerlidir. Klasik tabaka teorisi çok ince sığ kabuklar için iyi sonuçlar vermektedir. Kabuk kalınlığı arttıkça, yapılan kabuller ve ihmallerden ötürü ince kabuklar için yapılan çözümlerin gittikçe kalınlaşan kabuklar için iyi sonuçlar vermediği görülür. 87

123 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN İnce Sığ Kabuklarda Kinematik İlişkiler Genel kabuk denklemlerinde yukarıdaki kabuller ışığında ihmaller yapıldığında Denklem (5.77) ve Denklem (5.79) aşağıdaki gibi yazılabilir. ε α =ε α + zκα ε β =ε β + zκβ γ =γ + zτ αβ αβ αβ w ψ α = A α w ψ β = B β (5.9) (5.9) İnce Sığ Kabuklarda Gerilme İfadeleri İnce sığ kabukların gerilme ifadeleri ince kabuklar için yazılanlara benzemektedir. Bu ifadelerde z/r ifadesi ihmal edildiği için bu denklemler plaklar için yazılan denklemlere de benzemektedir. İnce sığ kabuklar için gerilme ifadeleri yardımıyla elde edilen kuvvetler Denklem (5.8-83) ile aynıdır İnce Sığ Kabuklarda Hareket Denklemleri İnce kabuklar için denklem (5.89) ve (5.9) da yazılan ifadeler yukarıda ince sığ kabuklar için yapılan kabuller dikkate alınarak tekrar düzenlenirse hareket denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir. 88

124 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN α β β α A B ( BNα) + ( ANβα) + Nαβ Nβ + ABqα = AB( I&& u) β α α β B A ( ANβ) + ( BNαβ) + Nβα Nα + ABqβ = AB( I&& v) N Nβ Nαβ + Nβα α AB ( BQα) + ( AQβ) + ABq Rα Rβ R αβ α β Yukarıdaki denklemde görülen, A B ABQ = ( BM ) + ( AM ) + M M α β β α α α βα αβ β B A ABQ = ( AM ) + ( BM ) + M M β α α β β β αβ βα α n ( && ) = AB I w (5.93) (5.94) şeklindedir. Bu denklemde yer alan I terimi Denklem (5.64) de açıklanmıştır. Denklemlerde yer alan eğrisel (α,β) koordinatları kartezyen koordinatlarda (x,y) dir. Denklemler eğrisel (α,β) koordinatlarında yazılmıştır ve bu durumda Lamé parametreleri A= ve B= olur. Denklemler, izdüşümü dikdörtgen olan silindirik sığ kabuklar için tekrar düzenlendiğinde orta düzlem şekil değiştirmeleri ve eğrilikleri şu şekilde yazılabilir; u w ε α = + α R v w ε β = + β R v u w γ αβ = + + α β R w κ α = α α β αβ (5.95) w κ β = β w τ= α β 89

125 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Bu durumda hareket denklemleri aşağıdaki şekilde yazılır. Nα + Nβα + qα = I u α β && Nβ + Nαβ + qβ = I v β α && Nβ Nαβ + Nβα Mαβ M α α β α β αβ α β N M q = I w R R R α β n && (5.96) Denklem (5.8) ve Denklem (5.95), Denklem (5.96) da yerine yazıldığında, elde edilen denklemler matris formunda şu şekilde yazılabilir. L L L3 u I u pα L L L v + I v = p 3 β t L 3 L 3 L 33 w I w p z (5.97) Denklem (5.97) de yer alan L ij sabitleri aşağıda listelenmiştir. 9

126 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN L = A + A + A α α β β 6 66 L = L = A + (A + A ) + A α α β β L = L = B + B + 3B + ( B + B ) α β α β α β L = A A A A 6 A 6 A6 A Rα Rβ Rαβ α Rα Rβ Rαβ β + A + A α α β β L3 = L3 = B6 + B 3 + 3B ( B + B66 ) α β α β α β A 6 A6 A 66 A A A Rα Rβ Rαβ α Rα Rβ Rαβ β L = D + 4D + ( D + D ) α α β α β D B B B 6 + D + + α β β Rα Rβ Rαβ α 3 4 B6 B6 B 66 B B B Rα Rβ R αβ Rα Rβ R α β αβ β A A A 4 A A A R α RαRβ Rβ Rαβ Rα Rβ Rαβ (5.98) 9

127 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Kalın Sığ Kabukların Temel Denklemleri Kalın plak ve kabukların genel denklemleri kalın sığ kabuklar için yazılan denklemlere benzemektedir. Kalın kabuklarda dikkate alınan kayma deformasyon etkisi ve dönme atalet faktörü burada da geçerlidir Kalın Sığ Kabuklarda Kinematik İlişkiler Genel kabuk denklemlerinde kalın kabuklar için yazılan Denklem (5.38) burada da geçerlidir. Denklem (5.39) da yer alan z/r terimi ve ψ R terimleri ihmal edilirse herhangi bir noktadaki şekil değiştirmeler, orta düzlem şekil değiştirmeleri ve eğrilik değişimleri açısından aşağıdaki gibi yazılabilir. ε =ε α α α ε =ε β β β αβ αβ αβ βα βα βα αz βz αz βz + zκ + zκ ε =ε + zκ ε =ε + zκ γ γ = γ = γ (5.99) Sığ kabuklar için yapılan kabuller ve Denklem (5.4) dikkate alınarak orta düzlem şekil değiştirmeleri aşağıdaki biçimde yazılabilir. 9

128 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN u v A w ε α = + + A α AB β R v u B w ε β = + + B β AB α R v u A w ε αβ = + A α AB β R u v B w ε βα = + B β AB α R w γ αz= +ψ A α w γ βz= +ψ B β β α αβ α β αβ (5.) Eğrilik ifadeleri de Denklem (5.4) deki gibidir Kalın Sığ Kabuklarda Gerilme İfadeleri Kalın kabuklar için elde edilen gerilme değerlerinin integrasyonu alınarak ve sığ kabuklar için yapılan kabuller hesaba katılarak kuvvet ve moment değerleri şu şekilde yazılabilir. N α A A A6 B B B6 ε α N A A A 6 B B B β 6 ε β N αβ A6 A 6 A 66 B6 B 6 B 66 γ αβ = M α B B B6 D D D6 κ α M B B B D D D κ β 6 6 β M αβ B6 B 6 B 66 D6 D 6 D 66 τ Q α A 55 A 45 γ αz Q = A A γ β βz (5.) 93

129 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Kalın Sığ Kabuklarda Hareket Denklemleri Kalın kabuklar için daha önceden elde edilen Denklem (5.75) ifadesi sığ kabuk kabulleri dikkate alınarak tekrar düzenlenirse hareket denklemleri aşağıdaki gibi yazılabilir. A B AB AB ( BN ) + ( AN ) + N N + Q + Q + ABq α β β α R R α βα αβ β α β α α αβ ( ) && I && α = AB I u + ψ B A AB AB ( AN ) + ( BN ) + N N + Q + Q + ABq β α α β R R β αβ βα α β α β β αβ ( ) && I && β = AB I v + ψ N Nβ Nαβ + Nβα α AB ( BQα) + ( AQβ) + ABq Rα Rβ R αβ α β n ( ) = AB I w&& A B AB ( BM ) + ( AM ) + M M + ABQ + P + ABm α β β α R α βα αβ β α α α α ( ) && I 3 && α = AB I u + ψ B A AB ( AM ) + ( BM ) + M M + ABQ + P + ABm β α α β R β αβ βα α β β β β ( ) && I 3 && β = AB I v + ψ (5.) dir. Bu denklemde yer alan I i terimi Denklem (5.76) da açıklanmıştır. Burada da Lamé parametreleri A= ve B= olur. Denklemler, izdüşümü dikdörtgen olan silindirik sığ kabuklar için tekrar düzenlendiğinde orta düzlem şekil değiştirmeleri ve eğrilikleri şu şekilde yazılabilir; 94

130 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN u w ε α = + α R v w ε β = + β R u w ε αβ = + β R v w ε βα = + α R v u w γ αβ = + + α β R α β αβ αβ w w γ = +ψ, γ = +ψ α β αz α αz β ψ ψβ ψ α β ψ κ α =, κ β =, κ αβ =, κ βα = α β α β αβ α (5.3) Bu durumda hareket denklemleri aşağıdaki şekilde yazılır. α β ( Nα ) + ( Nβα ) + qα = ( I&& u + Iψ&& α ) β ( Nβ ) + ( Nαβ ) + qβ = ( I ) && v + I ψ&& β α N Nβ Nαβ + Nβα α AB ( Qα) + ( Qβ) + qn = ( Iw&& ) (5.4) Rα Rβ R αβ α β α β ( Mα ) + ( Mβα ) + Qα + mα = ( I&& u + I3ψ&& α ) β ( Mβ) + ( Mαβ) + Qβ + mβ = ( I ) && v + I 3 ψ&& β α Denklem (5.) ve Denklem (5.3), Denklem (5.4) de yerine yazıldığında elde edilen denklemler matris formunda şu şekilde yazılabilir. 95

131 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN L L L L L u L L L 3 L 4 L v 5 L w 3 L 3 L 33 L 34 L 35 L 4 L 4 L 43 L 44 L ψ 45 α L L L L L ψ β I I u I v I + I w t I I3 ψ I I ψ 3 α β p α p β = p n m α m β (5.5) Denklem (5.5) de yer alan L ij sabitleri aşağıda listelenmiştir. 96

132 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN L = A + A + A α α β β 6 66 L = A + (A + A ) + A α α β β L A A A 6 A 6 A6 A 66 = Rα Rβ Rαβ α Rα Rβ Rαβ β L = B + B + B α α β β L5 = B 6 + (B + B 66) + B6 α α β β L = A + A + A α α β β L A6 A6 A 66 A A A 66 = Rβ Rα Rαβ α Rβ Rα Rαβ β L = B + (B + B ) + B α α β β L = B + B + B α α β β A A A Rα RαRβ Rβ L33 = A55 A 45 A44 α α β β 4 A A A R R R R αβ α β αβ B B B 6 B6 B6 B 66 L34 = A A Rα Rβ Rαβ α Rα Rβ Rαβ β B6 B6 B 66 B B B 6 L35 = A A Rα Rβ Rαβ α Rα Rβ Rαβ β L = A + D + D + D α α β β L = A + D + (D + D ) + D α α β β L = A + D + D + D α α β β (5.6) 97

133 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN 5.7. Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi Bu çalışmada, izdüşümü dikdörtgen olan, dört kenarından basit mesnetli sığ kabuk problemlerinin analizi yapılmıştır. Analizlerde hem ince kabuk hem de kalın kabuklar için çapraz-katlı (cross-ply) tabaka dizilimine sahip tabakalı kompozit sığ kabuk problemleri incelenmiştir İnce Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi Dört kenarından basit mesnetli, axb kenar uzunluklu ince sığ kabuk için sınır şartları aşağıda verilmiştir. N = w = v = M = α=,a α N = w = u = M = β=,a β α β (5.7) Yukarıda anlatılan sınır şartlarını sağlayan deplasman fonksiyonları ise şu şekildedir; M N u ( αβ,,t) = U Cos( α α)sin( ββ)sin( ω t) mn m n mn m= n= M N v ( αβ,, t) = V Sin( α α)cos( ββ)sin( ω t) mn m n mn m= n= M N w ( αβ,, t) = W Sin( α α)sin( ββ)sin( ω t) mn m n mn m= n= (5.8) Burada; mπ nπ α m =, β n =, ω mn ise doğal frekanstır. a b 98

134 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Yukarıdaki denklemler Denklem (5.97) de yerine konulursa ince sığ kabukların çözümü için gerekli denklem sistemi matris formunda elde edilir. Bu denklemlerde yer alan yüklemeler sıfıra eşitlenirse, serbest titreşim analizi için gerekli denklem takımı elde edilmiş olur. C C C3 U mn C C C V 3 mn C 3 C 3 C 33 W mn (5.9) M U mn pα mn +ω mn M V mn p = β mn M W p C = A α A β m 66 n C = C = (A + A ) α β 66 m n C = A α A β 66 m n 33 mn zmn C = C = B α + (B + B ) α β A + A + α m 66 m n m R α R β C = C = B α + (B + B ) α β A + A + β m 66 m n n R α R β C = (D α + (D + D ) α β + D β ) m 66 m n n B B B B + + α + + β R R R R m n α β α β A A A R α R αr β R β M = I, M = I, M = I 33 (5.) Aşağıdaki denklemin çözümü ile serbest titreşim frekansları elde edilmiş olur. Denklemde yer alan [C] matrisi rijitlik matrisi [M] matrisi ise kütle matrisidir. [ ]{ } ( ) [ ]{ } C Δ + ω M Δ = (5.) mn 99

135 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN Kalın Sığ Kabuklar İçin Serbest Titreşim Analizi Dört kenarından basit mesnetli, axb kenar uzunluklu kalın sığ kabuk için sınır şartları aşağıda verilmiştir. N = w = v = M =ψ = α=,a α α β N = w = u = M =ψ = β=,b β β α (5.) Yukarıda anlatılan sınır şartlarını sağlayan deplasman fonksiyonları ise şu şekildedir; M N u ( αβ,,t) = U Cos( α α)sin( ββ)sin( ω t) mn m n mn m= n= M N v ( αβ,, t) = V Sin( α α)cos( ββ)sin( ω t) mn m n mn m= n= M N w ( αβ,, t) = W Sin( α α)sin( ββ)sin( ω t) mn m n mn m= n= M N ψ ( α, β,t) = ψ Cos( α α)sin( β β)sin( ω t) α β m= n= M N αmn m n mn ψ ( α, β, t) = ψ Sin( α α)cos( β β)sin( ω t) m= n= βmn m n mn (5.3) mπ nπ Burada, α m =, β n =, ω mn ise doğal frekanstır. Bu denklemlerde yer alan a b U,V,W, ψ, ψ ifadeleri rastgele sabitlerdir. Yukarıdaki denklemler mn mn mn αmn βmn Denklem (5.5) de yerine konulursa kalın sığ kabukların çözümü için gerekli denklem sistemi matris formunda elde edilir. Daha öncede belirtildiği üzere, bu denklemlerde yer alan yüklemeler sıfıra eşitlenirse, serbest titreşim analizi için gerekli denklem takımı elde edilmiş olur.

136 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN K K K K K U mn K K K 3 K 4 K V 5 mn K W 3 K 3 K 33 K 34 K 35 mn K 4 K 4 K 43 K 44 K ψ 45 α mn K K K K K ψ β mn +ω M M 4 M M 5 mn M M 4 M 44 M M 5 55 U mn p α V mn p β W mn = p z ψ α m n m α βmn m ψ β (5.4) Aşağıdaki denklemin çözümü ile serbest titreşim frekansları elde edilmiş olur. [ ]{ } ( ) [ ]{ } K Δ + ω M Δ = (5.5) mn [K] ve [M] matrisinin elemanları aşağıda görülmektedir.

137 5. KABUKLARIN ANALİZİ Ali DOĞAN K = Aα m A 66βn K = K = (A + A ) α β K 66 m n A A = K = + α 3 3 m R α R β 4 = 4 = α m 66β n K K B B K = K = (B + B ) α β K A A m n = 66α m βn A A K 3 = K 3 = + βn R α R β K = K = (B + B ) α β K K B B m n 5 = 5 = 66α m β n A A A K = A α A β + + B B K 34 = K 43 = A α m R α R β m 44 n R α R αr β R β B B K = K = A + + β n R α R β K 44 = A 55 Dα m D 66βn K = K = (D + D ) α β K 55 = A 44 D 66α m D β n M ij = M ji, M = M = M 33 = I, M 4 = M 5 = I, M = M = I, ve diğer tüm Mij m n = dır. (5.6)

138 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN 6. SAYISAL UYGULAMALAR 6.. Giriş Bu bölümde, tabakalı kompozit plakların ve silindirik sığ kabukların serbest titreşim davranışının anlaşılabilmesi için çeşitli yöntemler kullanılarak analizler yapılmıştır. Plaklar için yapılan analizlerde, sonlu elemanlar yöntemi (FEM), kayma deformasyon plak teorisi (SDPT) ve klasik plak teorisi (CLPT) olmak üzere üç farklı yöntem ile çözümler yapılmıştır. Kabuklar için yapılan analizlerde ise, sonlu elemanlar yöntemi (FEM), kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve klasik sığ kabuk teorisi () olmak üzere üç farklı yöntem ile çözümler yapılmıştır. Sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak yapılan çözümlerde, modellemelerin ve analizlerin yapılabildiği ve SAP adlı paket programlardan yararlanılmıştır. Plaklarla ilgili örneklerin çözümünde, sonlu elemanlar yöntemi ile ilgili yapılan analizler için sadece programı kullanılmıştır. Kayma deformasyon sığ kabuk teorisi ve klasik sığ kabuk teorisi ile yapılan analizlerde Leissa (996), Qatu (4) ve Reddy (3) gibi araştırmacıların örnekleri incelenmiş, özellikle Leissa ve Qatu nun denklemlerinden faydalanılmıştır. Hem plak hem de kabuk elemanlar için kullanılan kayma deformasyon teorisi ve klasik tabaka teorisi yöntemlerinin matematiksel temelleri daha önceki bölümde açıklanmıştır. Matematiksel denklemlerin çözümlerinin çok uzun olması, işlem yükünün ağır olması ve çok zaman alması sebebiyle, matematiksel ifadeler MATHEMATICA adlı bir bilgisayar programı yardımıyla çözülmüştür. Böylelikle yapılan çözümlerde işlem hızı arttırılmış, hesap kolaylığı sağlanmış ve bilgilerin programa doğru girilmesi halinde, hata yapma olasılığı en aza indirilmiştir. programı ile yapılan modellemede kabuk eleman 5X5 parçaya ayrılmıştır (ağ yapılmıştır). Örnekte, 8 noktalı kuadratik eleman özelliğine sahip SHELL99 elemanı kullanılmıştır. 3

139 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN 6.. Plaklarla İlgili Uygulamalar Bu bölümde, tabakalı kompozit plakların serbest titreşim davranışının anlaşılabilmesi için farklı kalınlık oranlarının etkisine (a/h), farklı kenar uzunluğu oranlarının etkisine (a/b) ve çeşitli elastisite modülü oranlarının etkisine (E /E ) sahip simetrik çapraz-katlı (cross-ply) dizilimli plak durumu için analizler yapılmıştır. Uygulamalarda, sonlu elemanlar yöntemi (FEM), kayma deformasyon plak teorisi (SDPT) ve klasik plak teorisi (CLPT) olmak üzere üç farklı yöntem ile çözümler yapılmıştır. Sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak yapılan çözümlerde, paket programından yararlanılmıştır. Analizlerde kullanılan diğer yöntemlerin matematiksel temelleri daha önceki bölümde açıklanmıştır. Matematiksel denklemlerin çözümlerinin çok uzun olması, işlem yükünün ağır olması ve çok zaman alması sebebiyle, matematiksel ifadeler MATHEMATICA adlı bir bilgisayar programı yardımıyla çözülmüştür. b a a/b= a/b= a/b=4 Şekil 6. Farklı a/b oranlarındaki plak eleman 4

140 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). a/h E /E SDPT CLPT

141 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SDPT CLPT ab= SDPT CLPT ab= E /E E /E SDPT CLPT ab= SDPT CLPT ab= E /E E /E SDPT CLPT ab= Şekil 6. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) E /E 6

142 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). a/h E /E SDPT CLPT

143 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SDPT CLPT ab= SDPT CLPT ab= E /E E /E SDPT CLPT ab= SDPT CLPT ab= E /E E /E SDPT CLPT ab= Şekil 6.3 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) E /E 8

144 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.3. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab= 4, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). a/h E /E SDPT CLPT

145 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SDPT CLPT ab= SDPT CLPT ab= E /E E /E SDPT CLPT ab= SDPT CLPT ab= E /E E /E SDPT CLPT ab= Şekil 6.4 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip tabakalı kompozit plakların farklı E /E oranlarına göre boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=4) E /E

146 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.4. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). a/h E /E SDPT CLPT

147 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN a/h Şekil 6.5 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) SDPT CLPT SDPT CLPT ab= E E = a/h SDPT CLPT ab= E E = a/h SDPT CLPT ab= E E = a/h SDPT CLPT ab= E E = a/h ab= E E =

148 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.5. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). a/h E /E SDPT CLPT

149 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN a/h Şekil 6.6 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) SDPT CLPT SDPT CLPT SDPT CLPT ab= E E = a/h SDPT CLPT ab= E E = a/h SDPT CLPT ab= E E = a/h ab= E E = a/h ab= E E = 4

150 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.6.[º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab= 4, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). a/h E /E SDPT CLPT

151 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Şekil 6.7 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h )değişimi(a/b=4) SDPT CLPT ab= a/h SDPT CLPT E E = a/h SDPT CLPT ab= 4 E E = a/h SDPT CLPT ab= 4 E E = a/h SDPT CLPT ab= 4 E E = 5 ab= 4 E = a/h E 6

152 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Bu çalışmada, tabakalı kompozit plakların tabaka kalınlık oranlarındaki değişimin frekans parametrelerine olan etkisi incelenmiştir. Plak elemanın kenar uzunluğunun kalınlığına oranı olan a/h değeri, 5,, ve 5 olmak üzere beş farklı durum için çözümler yapılmıştır. Analizlerde bu kalınlık oranlarının her biri için, E /E oranının,, 5, 5, 5 ve 5 olması halinde plak elemanın frekans parametrelerindeki değişim de araştırılmıştır. Ayrıca, örneklerde plak elemanın kenarları olan a ve b uzunluklarının birbirlerine oranı da dikkate alınarak yapılan geometrik sınıflamada, a/b oranı, ve 4 olacak şekilde örnekler modellenmiş (Şekil 6.) ve bu a/b oranlarının her biri için yukarıda belirtilen a/h ve E /E oranları ayrı ayrı dikkate alınarak çözümler yapılmıştır. Elde edilen çizelgeler ve şekiller incelendiğinde, Çizelge 6. ve Şekil 6. de görüldüğü gibi, tüm a/h ve E /E oranlarında, ve SDPT çözümleri ile bulunan boyutsuz serbest titreşim frekansı değerleri, birbirleriyle uyum içerisinde olmaktadır. Şekil 6. de plak kalınlık oranı olan a/h değerinin değiştiği durumlar için ayrı ayrı grafikler oluşturulmuştur. Bu grafiklerden a/h oranının olduğu durumda üç yöntemle elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinin tamamen uyum içerisinde olduğu görülmüştür. Bunun yanı sıra, plak kalınlık oranının a/h= olması durumunda, ince plak teorisi (CLPT) ile kalın plak teorisi (SDPT) sonuçlarının birbirinden uzaklaşmaya başladığı görülmektedir. Bütün grafiklerde, E /E oranlarındaki artışın, boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerini de arttırdığı anlaşılmaktadır. Analizlere, plak elemanın kenar uzunlukları oranının (a/b) arttırılması ile devam edilmiş ve a/b oranının olduğu durumda elde edilen sonuçlar, Çizelge 6. ve Şekil 6.3 de sunulmuştur. Çizelge 6. ve Şekil 6.3 incelendiğinde, davranışın Şekil 6. de görülen a/b= durumuna benzer olduğu, ancak a/b= olduğu durumda boyutsuz frekans değerlerinde a/b= olduğu duruma göre artış meydana geldiği görülmüştür. Çizelge 6.3 ve Şekil 6.4 de a/b oranının 4 olduğu tabakalı plak örneği incelenmiştir. Bu durumda ise, boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin, a/b oranı ve olması durumuna göre aşırı miktarda artış gösterdiği görülmüştür. Çizelge 6.3. ve Şekil 6.4 incelendiğinde ve SDPT yöntemleri ile ulaşılan sonuçların yine birbirleri ile uyumlu olduğu, CLPT yöntemi ile elde edilen sonuçların ise, a/h= olduğu durum için diğer iki yöntemle uyumlu olduğu 7

153 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN görülmektedir. Ancak a/h değerinin artması durumunda, CLPT yöntemi ile elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansı değerleri, SDPT ve çözümleri ile bulunan boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinden uzaklaşmaktadır. Şekil 6., Şekil 6.3 ve Şekil 6.4 karşılaştırıldığında eğrilerin davranışlarının birbirlerine benzer olduğu görülmüştür. Ancak a/b oranı arttıkça eğriler daha yatık hale dönüşmektedir. Yani incelenen plak eleman kareden dikdörtgene şekline dönüşürken, E /E oranı arttıkça boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerindeki artış miktarı azalmaktadır. Çizelge ve Şekil incelendiğinde plak kalınlık oranı olan a/h ifadesinin boyutsuz frekans parametrelerine olan etkisi daha net görülmektedir. Tüm grafiklerde, SDPT ve sonuçlarının birbirleriyle örtüştüğü görülmüştür. CLPT ile yapılan çözümlerle elde edilen sonuçların ise a/h=5 ve olduğu durumlar için diğer yöntemlerle uyum içerisinde olduğu belirlenmiştir. Çizelge 6.4 ve Şekil 6.5 de plak elemanın kenar uzunluklarının oranı iken, a/h oranının artması ile boyutsuz frekans parametrelerinin arttığı görülmektedir. Ancak a/h oranı 5 ve olduğunda eğrinin yatay bir seyir izlediği, bir başka ifade ile frekans parametrelerindeki artışın durduğu belirlenmiştir. Şekil 6.5 de E /E oranı iken, üç yöntem ile elde edilen verilerle çizilen grafiğin yatay bir çizgi şeklinde olduğu görülmektedir. Ancak E /E değeri den 5 ye doğru arttıkça ve SDPT sonuçları kullanılarak çizilen eğrilerin a/h=5, ve de eğrisel bir hal aldığı, a/h=5 ve de ise yatay bir seyir izlediği görülmektedir. Şekillerde, CLPT verileri ile çizilen eğrilerin a/h oranının bütün değerlerinde yatay bir çizgi çizdiği görülmektedir. Şekiller incelendiğinde, E /E oranının artmasıyla her üç yöntemde de boyutsuz frekans parametrelerinin arttığı görülmektedir. Çizelge 6.5 ve Şekil 6.6 da, a/b oranının olması durumu gösterilmiş ve çeşitli kalınlık oranlarındaki plakların boyutsuz frekans parametreleri elde edilmiştir. Şekil 6.6 incelendiğinde davranışın genel itibariyle Şekil 6.5 e benzediği görülmekle birlikte boyutsuz frekans parametrelerinin arttığı görülmektedir. Çizelge 6.6 ve Şekil 6.7 yardımıyla, plak elemanda a/b oranının 4 olduğu durum incelendiğinde, CLPT yöntemi ile elde edilen veriler ışığında çizilen eğrilerin, a/b oranı ve olduğu durumlardaki gibi yatay olmadığı görülmektedir. a/b oranının 4 olduğu durum için çizilen grafikte, eğrinin yataylığı, a/h oranı 5 olduğu anda bozulmaktadır. Diğer bir deyişle, a/b oranı ve 8

154 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN olduğu durumlarda CLPT ile elde edilen değerlerin plak kalınlığının artmasından etkilenmediği ve sabit olduğu görülmektedir. Ancak CLPT yöntemi ile yapılan çözümlerde, a/b oranı 4 olduğu durumda, a/h oranı, 5, ve iken, boyutsuz frekans parametreleri birbirlerine eşit ve sabit olmaktadır. Ancak, a/h oranı 5 olması durumunda ise boyutsuz frekans parametreleri sabit olarak devam etmemekte ve azalmaktadır (Çizelge 6.6 ve Şekil 6.7). Plaklarda tabaka sayısındaki değişimin boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine olan etkisini anlayabilmek için, dört tabakalı olarak çözülen simetrik çapraz-katlı plak örneği, altı tabakalı olarak da çözülmüştür. Bu durum için yapılan çözümlerde a/h=, 5,, ve 5 olarak, a/b=, ve 4 olarak, E /E =, 5 ve 5 olarak seçilmiştir. 9

155 Çizelge 6.7. [º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). a/h E /E SDPT CLPT [º/9º/9º/º] [º/9º/º/º/9º/º] [º/9º/9º/º] [º/9º/º/º/9º/º] [º/9º/9º/º] [º/9º/º/º/9º/º] SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

156 SDPT CLPT a/h SDPT CLPT [º/9º/9º/º] ab= ab= E E = a/h SDPT CLPT [º/9º/9º/º] [º/9º/9º/º] E E = ab= E E = a/h Şekil 6.8.[º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) SDPT CLPT a/h SDPT CLPT a/h SDPT CLPT [º/9º/ºº/9º/º] [º/9º/ºº/9º/º] [º/9º/ºº/9º/º] ab= E E = ab= E E = a/h ab= E E = 5 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

157 Çizelge 6.8. [º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab=, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). a/h E /E SDPT CLPT [º/9º/9º/º] [º/9º/º/º/9º/º] [º/9º/9º/º] [º/9º/º/º/9º/º] [º/9º/9º/º] [º/9º/º/º/9º/º] SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

158 SDPT CLPT [º/9º/9º/º] ab= a/h SDPT CLPT E E = ab= E E = a/h SDPT CLPT [º/9º/9º/º] [º/9º/9º/º] ab= E E = a/h Şekil 6.9.[º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) SDPT CLPT a/h SDPT CLPT [º/9º/ºº/9º/º] [º/9º/ºº/9º/º] ab= E E = ab= E E = a/h SDPT CLPT [º/9º/ºº/9º/º] a/h ab= E E = 5 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

159 4 Çizelge 6.9. [º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi ( ab= 4, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56). a/h E /E SDPT CLPT [º/9º/9º/º] [º/9º/º/º/9º/º] [º/9º/9º/º] [º/9º/º/º/9º/º] [º/9º/9º/º] [º/9º/º/º/9º/º] SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

160 SDPT CLPT a/h SDPT CLPT SDPT CLPT [º/9º/9º/º] [º/9º/9º/º] [º/9º/9º/º] ab= 4 ab= 4 E E = a/h E E = ab= 4 E E = a/h Şekil 6..[º/9º/9º/º] ve [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimlerine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı kompozit plakların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=4) SDPT CLPT a/h SDPT CLPT SDPT CLPT a/h [º/9º/ºº/9º/º] [º/9º/ºº/9º/º] [º/9º/ºº/9º/º] ab= 4 E E = ab= 4 E E = a/h ab= 4 E E = 5 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

161 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Plaklarda tabaka sayısındaki değişimin boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine olan etkisini anlayabilmek için, daha önce dört tabakalı olarak çözülen simetrik çapraz-katlı plak örneği, altı tabakalı olarak da çözülmüştür. Bu durum için yapılan çözümlerde a/h=, 5,, ve 5 olarak, a/b=, ve 4 olarak, E /E =, 5 ve 5 olarak seçilmiştir. Elde edilen sonuçlar çizelgeler ve şekiller halinde verilmiştir. Çizelge 6.7 ve Şekil 6.8 de a/b oranının olması durumu ele alınmıştır. Bu durumda, dört ve altı tabakalı simetrik çapraz katlı plakların, E /E = olduğu izotrop durum için beklendiği gibi aynı sonuçları verdiği görülmüştür. E /E oranının artması ile boyutsuz frekans parametrelerinde dört ve altı tabakalı durumda bir miktar fark oluşmuş ancak bu farkın çok az olduğu görülmüştür. Plak elemanın a/b oranının olduğu Çizelge 6.8 ve Şekil 6.9 incelendiğinde, E /E oranının artmasıyla boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinin de arttığı görülmüştür. Ayrıca Çizelge 6.8 de E /E oranının artmasıyla dört tabakalı durum için elde edilen değerler ile altı tabakalı durum için elde edilen değerler arasındaki farkın da arttığı görülmektedir. Örneğin, programı kullanılarak yapılan çözümlerde, E /E = ve a/h= için elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansı değerleri dört ve altı tabakalı durumlarda eşit ve değeri dir. E /E =5 ve a/h = olması durumunda dört tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri ve altı tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri olmakta ve aralarında. %6.7 lik bir fark oluşmaktadır. E /E =5 ve a/h = olması durumunda ise dört tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri ve altı tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri olmakta ve aralarıda %.5 lik bir fark oluşmaktadır. Çizelge 6.9 ve Şekil 6. da, a/b oranı 4 olması durumu görülmektedir, Şekil 6. incelendiğinde davranışın a/b oranı olması durumundaki gibi olduğu ancak bulunan boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinin daha büyük olduğu görülmüştür. Dört ile altı tabakalı plaklar için bulunan boyutsuz serbest titreşim frekansı değerleri arasındaki farkın en yüksek olduğu durum a/b=4 olduğu durumdur. Örneğin a/b=4, E /E =5 ve a/h = olması durumunda dört tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri

162 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN ve altı tabakalı plakta boyutsuz serbest titreşim frekansı değeri olmakta ve aralarında %6.34 lik bir fark oluşmaktadır. Bu oran a/b= durumu için %.5 idi. Sonuç olarak, a/b= olması halinde tabaka sayısının artması sonuçları çok fazla etkilememektedir. Plak elemanımızda a/b oranının den 4 e doğru artması ile dört tabaka ve altı tabakalı durum için elde edilen sonuçlar arasındaki fark belirgin bir hale dönüşmektedir. Ayrıca, a/h= olduğu durumda, (sonlu elemanlar) ve SDPT (kayma deformasyon plak teorisi) yöntemleri ile elde edilen sonuçların uyumlu çıktığı ve CLPT (klasik plak teorisi) yöntemi ile elde edilen sonuçların diğer iki yöntemden belirgin bir biçimde ayrıştığı görülmektedir. Bu durum, ince plak ve kalın plak sınıflandırmasında ayrım noktasının a/h= de oluştuğunu göstermektedir.. 7

163 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN 6.3. Kabuklarla İlgili Uygulamalar Silindirik sığ kabukların çözümünden önce modelinin kontrolü açısından bir silindir kabuk örneği çözülmüştür. Bu örnek Qatu (4) tarafından da çözülen bir örnektir. Silindir kabuk örneğimiz izotrop ve çelik malzemeden yapılmıştır. Kalınlığı h=. in, silindirin boyu a=.74 in, yarıçapı R=5.836 in, malzeme yoğunluğu 734X -6 lb s /in 4, elastisite oranı 9.5X 6 lb/in ve Poisson oranı.85 dir. Benzer silindir kabuk örneği, Bert ve arkadaşları (993) tarafından da Love s kabuk teorisi kullanılarak, Rat ve Das (973) tarafından dönme atalet ve kayma deformasyon teorisi kullanılarak, Bray ve Egle (97) tarafından deneysel çalışmalar yardımıyla ve Qatu (4) tarafından da klasik tabaka teorisi kullanılarak analiz edilmiştir. Bu çalışmada silindir eleman paket programında 6X parçaya ayrılarak ağ yapılmış ve uzunluk doğrultusunda ilk üç (m=,,3) mod, dairesel doğrultuda da ilk otuz (n=,,3,,3) mod dikkate alınarak sonuçlar elde edilmiştir. Aynı özelliklere sahip örnek SAP programında da modellenmiştir (Şekil 6.). (a) (b) SAP Şekil 6. ve SAP ile modellenen silindirik kabuk. 8

164 9 Çizelge 6., and SAP kullanılarak elde edilmiş serbest titreşim frekans parametreleri (Hertz). m n SAP m n SAP m n SAP 538,5 535, , , , 5446, , , ,7 483, ,96 55, ,97 44, , 379, , , ,78 469, ,67 799, ,65 387, ,7 6, ,9 4, ,5 339, ,54 83, ,6 684, ,39 587, ,8 64, ,98 363, ,45 57, ,8 556, ,7 39, ,5 89, ,8 533, ,39 993, , 585, ,69 56, ,5 9, , 44, ,96 68, ,47 889, ,96 36, ,3 74, ,33 97, ,97 56, ,76 84, ,6 985, ,9 59, ,95 973, , 86, ,37 36, ,, ,85, ,48 39, ,7 8, ,6 357, ,8 58, ,68 454, ,3 5, ,78 649, ,6 638, ,5 698, ,6 8, ,93 834, ,37 89, ,77 99, ,59 4, ,34 94, ,6 88, ,58 6, ,4 3, , 399, ,87 49, ,59 54, ,3 64, ,47 734, ,58 78, ,96 86, ,36 988, ,4 333, ,69 3, ,54 353, ,9 397, ,6 3374, , 359, ,3 3573, ,5 3648, ,79 388, ,7 386, , , ,84 47, ,63 46, ,69 43, ,8 448, ,86 447, , , ,8 475, ,4 4793, , , ,73 585, ,6 57, ,5 598, SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

165 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN (Hz) m= 3 SAP Dairesel Modlar (n) (Hz) (a) m= 3 SAP Dairesel Modlar (n) (b) (Hz) 6 5 m=3 4 3 SAP Dairesel Modlar (n) (c) Şekil 6.., ve SAP kullanılarak sonuçların karşılaştırılması. 3

166 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN 6 (Hz) m= m= m= Dairesel Modlar (n) Şekil 6.3 İlk üç doğrusal mod (m=,, 3) için frekans parametrelerinin topluca gösterimi. Şekil 6. ve Şekil 6.3 de görüldüğü üzere, and SAP çözümleri birbirine çok yakın değerler vermektedir. Bu yakınlık, doğrusal modların birincisi olan m= durumundan üçüncüsü olan m=3 durumuna doğru gidildikçe daha da artmaktadır. Bu örnek yardımıyla ve SAP paket programlarıyla yapılan modellemelerin doğruluğunun test edilmesi sağlanmıştır. Analizde ve SAP programları ile yapılan modellemelerle elde edilen sonuçların beklendiği üzere hemen hemen aynı olduğu görülmüş, ile elde edilen sonuçların ise bu iki yöntemle bazı durumlarda bir miktar farklılık gösterdiği ancak genel olarak çok yakın sonuçlar verdiği görülmüştür (Çizelge 6.). Ayrıca bu örnek bize göstermiştir ki, farklı yöntemler kullanılarak elde edilen frekans parametrelerinin karşılaştırılmasında, yöntemler arasındaki yakınlık, karşılaştırma yapılan moda göre değişmektedir. Bu örnek, programı kullanılarak oluşturulan sonlu elemanlar modelinin doğruluğundan emin olunmasını sağlamış ve silindirik kabuk örneklerinin çözümüne geçilmiştir. Bu çalışmada seçilen örnek, basit mesnetli silindirik sığ kabuk örneği olup, bir kenarının eğrilik yarıçapı sonsuz diğer kenarının ise eğrilik yarıçapı değişkendir. Bu tip kabuklara tek eğrilikli sığ kabuklar denilmektedir (Şekil 6.4). Çalışmada kullanılan kabuğun izdüşümü dikdörtgen biçiminde olup kenarlarının birbirine oranı 3

167 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN a/b değişkendir ve incelenen duruma göre, ve 4 dür. Tabaka dizilimi olarak [ /9 /9 / ] ve [ /9 / / /9 / ] dizilime sahip tabakalı kompozit simetrik cross-ply elemanlar kullanılmıştır. Analizlerde kabuk kalınlığının ve eğrilik yarıçapının E /E elastisite modülleri oranının (anizotropi etkisinin) değişiminin silindirik sığ kabuk problemleri üzerine etkisi araştırılmıştır. Elastisite modülü oranı (E /E ) ile 5 arasında değişmektedir. Kalınlık oranı yani kenar uzunluğunun kabuk kalınlığına oranı, a/h=, 5, ve 5 arasında değişmektedir. Ayrıca örnekte eğrilik yarıçapı değişkendir. Farklı kalınlıktaki kabuklar için kabuk kenar uzunluğunun/kabuğun eğrilik yarıçapına oranı (a/r) ile. arasında değişmektedir. Analizlerde birinci mod değerleri dikkate alınmıştır. Birden fazla mod değerinin karşılaştırılması mod analizi kısmında yapılacaktır. z y Şekil 6.4 Silindirik sığ kabuk Bu çalışmada, her durum için kabuk üç teori ile çözülmüştür. Bu teorilerden ilki klasik tabakalı sığ kabuk teorisi (), ikincisi kayma deformasyon sığ kabuki teorisi (), üçüncüsü ise sonlu elemanlar yöntemi ile çözüm (FEM). Bu çalışmada, sonlu elemanlar yöntemi ile yapılan çözümlerde ve SAP paket programları kullanılmıştır. programı ile yapılan modellemede kabuk, 5X5 sonlu eleman ağına ayrılmıştır. Örnekte 8 noktalı kuadratik eleman özelliğine sahip SHELL99 elemanı kullanılmıştır. Kayma deformasyon sığ kabuk teorisi ve klasik sığ kabuk teorisi ile yapılan analizlerde Qatu (4) ve Reddy (3) gibi araştırmacıların örnekleri incelenmiş, özellikle Qatu (4) nun denklemlerinden faydalanılmıştır. Bu denklemlerin çok karışık olması, işlem yükünün ağır olması ve çözümlerinin uzun sürmesi sebebiyle, yapılan çözümlerde işlem hızını arttırmak, hesap kolaylığını ve doğruluğunu sağlamak için bu denklemler MATHEMATICA 3

168 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN programı yardımıyla çözülmüştür. Daha önceden çeşitli araştırmacılar tarafından çözümü yapılan örnekler, oluşturulan MATHEMATICA programında denenmiş ve sonuçların uyumlu olduğu görülerek, oluşturulan programın doğruluğundan emin olunmuştur. 33

169 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP

170 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP

171 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.3 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP

172 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.4 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP

173 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.5 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP

174 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.6 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 5, ,4987 5,3655 5, , , , , ,87 5, , ,735. 7, , ,848 7, , , ,699 5, ,75 5,438 5, , ,4466 5,8886 5, , , , , , , , , , , , , , , , ,8995 5, , ,878 4, , , ,943 4,3978 5, , , , , ,7458 3,9363 4, , ,7749 3, , ,696., ,999495, , ,8559,99967, , ,85773,93,9395 5,48757., ,84,535 5,

175 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.7 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 7, ,6984 7, , ,7957 8,378 7, , , , , , , ,748778,835488, , , , , , , , , ,3547 8,749 7, , ,9574 9, , , ,3587 7, , , ,453 7,8459 7, , ,9753 7, , , , , , , , , , , ,5845 6,465 6,8784 7, ,7365 6, ,865 7, , , ,3494 7, ,5543 3, ,5695 7, , ,6354 3,5953 7, , , ,554 7, , , ,5869 7,

176 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.8 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 3, ,334 3, , , , , , , , ,78 4, , , ,5383 6, , ,4598 3,6 3, ,4443 3, ,3377 3, , , , , ,494 6,5696 4,8984 4,3766.,47673,53899, , ,46484,575768, ,4544.5,5746, , , ,77 3,438, , ,46564, , , ,47566,64895, ,4969.5,55945,634555, ,43897.,6969,75579,5798 3, ,393 6, , , ,3498 6,4968 5, , , ,9873 5, , , , ,9356 3,4657 4

177 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.9 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 7, , , , ,9786 9,4699 8,784 8, ,6935 3, , , , , , , ,6466 7, ,7758 7, , , , , , , , , ,954 3, ,4655 8, , , ,5565 7, , , , , , , , , ,863 7, , , ,5357 3,663 3,445 7, ,576 3,66 3, , , , , , , ,8445 3, , ,47 7, ,8338 7, , ,4663 7, , , ,4756 7, , , , ,8838 7,

178 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 36, , , , ,57 38, , , , , , , , ,675 39, , , , , , , ,87 36, , , , , ,888. 4,9589 4, , , , , , , ,77 34,675 33, , , , , , , , , ,458. 8, , , , ,4955 8, , , , ,56 8,646 36, ,74 8, , , ,74 9, ,59 36, ,74 9,78 9, , , ,733 9, , , , , ,

179 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab= 4, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 5,8748 5, ,4783 5, , ,3765 5,4697 5, ,539 5, , , , ,3 5,3679 5, , , ,3835 5, , ,996 5,5455 5, ,936 49, ,9483 5, ,778 5,4554 5, , , , , , , , , , ,78 47, , , , ,899 47, , , , ,6775 5, , ,546 4, , , , , , , , , , , , ,638 44, , , , , , , , , ,5977 3, , ,

180 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 59, , , , , ,735 59, , , , , , ,643 6,4587 6, , , , , , , , ,655 59, , ,677 58,697 59, ,47 59, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,966 59, , , , , , , , , , , , , , , ,4833 5, , , ,4944 5, , , , ,

181 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.3 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 78, , , , , , , , ,976 79,646 78, ,965. 8, ,8696 8, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,7557 7, , , , ,876 7, , , , , , , , , , , , , , , , ,786 78, , , , , , , ,847 78, , , , , ,78 36, , , , , ,3348 6, , ,678 36, ,

182 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.4 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 93, , , , ,697 93, ,536 94, , , , , , , , , , , , , , ,6346 9, , ,95 9,9597 9, , ,879 9, ,636 94, , , , , ,673 8,6645 8,685 94, , , , ,635. 8, , , , , ,966 6, , ,6638 6,9644 6, , ,7758 6,4365 6, , , ,7659 6, , , , ,8466 7, , , , , , , , , , , , ,

183 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.5 Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi. ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 3, ,7699 3, , ,699 3, , , ,44 5, , , ,9745 3, , , , ,6387 9,77 4, , , , , ,7355 9,6556 9,5744 4, ,35684, ,6684 6, , , , , , , ,9934 4, , , ,3579 4, , , , , , ,376 68, , , ,446 68, , ,738 69, ,7938 4, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,574 39, ,

184 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SAP Eğrilik Oranı (a/r) SAP SAP Şekil 6.5. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) E E = Eğrilik Oranı (a/r) SAP E = Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) = Eğrilik Oranı (a/r) E E E = E SAP Eğrilik Oranı (a/r) SAP SAP E = Eğrilik Oranı (a/r) SAP Eğrilik Oranı (a/r) E E E = 5 E = Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = 5 E = Eğrilik Oranı (a/r) E 49

185 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP Şekil 6.6. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) E E = E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) E E E = SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E = 5 E = 5 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = 5 E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) E E E = 5 5 5

186 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP Şekil 6.7. [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=4) E E = E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) E E E = SAP E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = 5 5 E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = 5 E = 5 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) E 5

187 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. SAP Şekil 6.8. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi (a/b=, a/h=,5) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

188 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. Şekil 6.9. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=,) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r=. a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

189 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= SAP a/r= a/r= 5 5 a/r= a/r= a/r=.5 5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 4 a/r=. 4 a/r=. 4 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) Şekil 6.. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=5) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

190 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. SAP Şekil 6.. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=, 5) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

191 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. Şekil 6.. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=,) a/r= a/r=.5 a/r=.5 SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r=. a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

192 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E/E) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Şekil 6.3. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=5) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

193 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. SAP Elastisite Oranı (E /E ) Şekil 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=,5) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) 5 4 a/r= 3 a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= 4 a/r= 3 a/r=.5 3 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=. a/r= SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

194 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= 4 a/r= 4 a/r= 3 a/r=.5 3 a/r=.5 3 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=. a/r=. a/r= SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Şekil 6.5. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=,) a/r= 4 a/r= 4 a/r= 4 a/r= a/r=.5 3 a/r=.5 3 a/r=.5 3 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=. a/r=. a/r=. a/r= SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

195 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= 4 a/r= 4 a/r= 3 a/r=.5 3 a/r=.5 3 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=. a/r=. a/r= SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Şekil 6.6. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=5). 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

196 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Bu çalışmada, üç yöntem ile elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansları çizelgeler ve grafikler halinde sunulmuştur. Analizler sonucu bulunan frekans değerleri birinci modlar için elde edilen değerlerdir. Diğer modlarla ilgili irdelemeler bir sonraki bölüm olan mod şekil değiştirme analizi bölümünde yapılmıştır. Çizelge 6.-5 de a/b oranı olması durumunda, Çizelge 6.6- de a/b oranı olması durumunda ve Çizelge de a/b oranı 4 olması durumunda farklı tabaka kalınlıklarına, farklı eğrilik oranlarına ve farklı E /E oranlarına sahip tabakalı kompozit sığ kabuk örneklerine ait boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri görülmektedir. Çizelgelerde, kabuk kenar uzunluğunun kabuk eğrilik yarıçapına oranı olan a/r oranı arttıkça, boyutsuz serbest titreşim frekanslarının da arttığı görülmektedir. Kabuk kalınlık oranı olan a/h oranı (yani ince kabuk durumunda) iken bu artış daha fazla olmakta a/h oranı den 5 e doğru gittikçe (yani kabuk kalınlaştıkça) bu artış oranı azalmaktadır. Ayrıca, a/h oranı iken, kabuk eğrilik oranı a/r olduğu durum için tüm yöntemler birbirleriyle uyumludur. Ancak, a/r oranı dan. e doğru gittikçe yöntemler arasındaki farkta artmaktadır. Yöntemler arasında meydana gelen bu fark, E /E oranının olduğu durumda minimum, 5 olduğu durumda maksimumdur. Çizelgeler incelendiğinde tüm durumlar için, E /E oranının den 5 ye doğru artması ile boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinin de arttığı görülmektedir. Bunun yanı sıra, çözümlerde a/r oranının ile. olduğu durumlar için bulunan boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri arasındaki fark, E /E oranının artmasıyla daha da yükselmektedir. Çizelgelerde ve şekillerde, a/r oranının olması durumunda (yani eğriliğin olmadığı plak durumu) sonlu elmanlar (, SAP) ve yöntemleri ile bulunan sonuçların birbirlerine çok yakın çıktığı görülmektedir. Bu yakınlık yöntemi kullanılarak elde edilen sonuçlarda ise sadece a/h=, 5 ve olduğu ince kabuk durumlarında geçerlidir. Çizelge 6.-5 incelendiğinde, a/b= durumu için, ve SAP programları ile elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinin birbirine çok yakın olduğu görülmektedir. yöntemiyle elde edilen sonuçların ise, a/h oranının 5, ve olduğu durumlarda, ve SAP programları ile elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansı değerleri ile yakınlaştığı görülmektedir 6

197 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN (Şekil 6.8-). Elde edilen sonuçlarda, a/b oranının, a/h oranının 5 ve olduğu durumlar için, eğrilik oranının küçük olduğu hallerde sonlu elmanlar (, SAP) ve yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine yakın, büyük olduğu hallerde ise uzak olduğu görülmektedir. a/h oranı azaldıkça sonlu elmanlar (, SAP) ve yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine giderek yaklaştığı görülmektedir (Şekil 6.5). Çizelge 6.6- de a/b oranının olduğu durum ele alınmıştır. Bu durumda elde edilen sonuçlar incelendiğinde, boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin a/b= olduğu duruma göre artış gösterdiği belirlenmiştir. Farklı yöntemlerle çizilen eğrilerin davranışlarının ise, genel olarak a/b= olduğu durumda çizilen eğrilere benzediği görülmektedir. Analizlerde, a/b= olduğu durum için, farklı yöntemlerle bulunan boyutsuz frekans değerleri arasında bazı hallerde bir miktar fak meydana gelmekte iken, a/b= durumunda yöntemler arasında meydana gelen bu fark azalmaktadır (Şekil 6.-3). Elde edilen sonuçlarda, a/b oranının olduğu durumda da a/b= olduğu duruma benzer bir şekilde, a/h oranının 5 ve olduğu durumlar için, eğrilik oranının küçük olduğu hallerde sonlu elmanlar (, SAP) ve yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine yakın, büyük olduğu hallerde ise uzak olduğu görülmektedir. Ancak bu uzaklık a/b= olduğu durumdaki kadar çok değildir. a/h oranı azaldıkça sonlu elmanlar (, SAP) ve yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine giderek yaklaştığı görülmektedir (Şekil 6.6). Çizelge 6.-5 de ise, a/b oranının 4 olduğu durum için boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri bulunmuştur. Bu durumda elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri a/b= ve olduğu duruma göre oldukça büyüktür. Yöntemlerin birbirleriyle uyumlu sonuçlar verdiği ve aralarındaki farkın hemen hemen yok olduğu görülmektedir (Şekil 6.4-6). Eğrilik oranı a/r= olduğu durumda elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri ile a/r nin. olduğu durumda elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri birbirlerine çok yakın çıkmıştır (Şekil 6.7). Bu fark, a/b oranı iken çok fazla olmakta, iken biraz daha azalmakta ve 4 olduğunda ise hemen hemen yok olmaktadır (Şekil 6.7-6). 6

198 SAP ar= E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar= 5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP 3 4 Kenarların Oranı (a/b) ar=.5 5 E E= Şekil 6.7 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =, a/h=, 5) SAP ar=.5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. 5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

199 SAP 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar= E E= ar= E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP SAP ar=.5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) ar=.5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.8 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =, a/h=, ) SAP SAP ar=.5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) ar=.5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= ar=. E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

200 SAP ar= 5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.9 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =, a/h=5) SAP ar=.5 5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. 5 E E= 3 4 Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

201 SAP ar= E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar= 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.3 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, 5) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

202 SAP ar= E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar= E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.3 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, ) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

203 SAP ar= 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.3 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=5) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

204 SAP SAP ar= E E 3 4 Kenarların Oranı (a/b) ar= 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP SAP ar= Kenarların Oranı (a/b) ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.33 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, 5) SAP 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP = 5 E E= 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E = 5 ar=. 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

205 SAP ar= E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar= E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.34 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, ) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

206 7 Şekil 6.35 [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=5) SAP ar= 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

207 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Şekil de tabakalı kompozit silindirik sığ kabuklar için elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin a/b oranına göre değişimi görülmektedir. Şekiller, E /E oranının, 5 ve 5 ve a/h oranının da, 5,, ve 5 olması durumu için oluşturulmuştur. Şekillerde, a/b oranının artması ile tüm yöntemler için boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri artmaktadır. a/r= olduğu plak durumu için tüm yöntemlerde sonuçların birbirleriyle uyum içerisinde olduğu belirlenmiştir. Elde edilen eğrilerin üç yöntemde de davranış olarak birbirlerine benzediği görülmektedir. Ancak bazı durumlarda, sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri ile diğer yöntemler kullanılarak elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri arasında farklılıklar olduğu görülmüştür. Grafikler detaylı olarak incelediğinde E /E =, a/h= ve a/b= olduğu durum için, eğrilik oranı a/r= dan. e doğru arttıkça, sonlu elmanlar ( ve SAP programları) ile elde edilen sonuçlarla, ve yöntemleri kullanılarak elde edilen sonuçlar arasında bir miktar fark meydana geldiği görülmektedir. Bu fark, a/b oranının olması halinde azalmakta ve a/b oranının 4 olması halinde sona ermektedir. Aynı grafiklerde, a/h oranı azaldıkça, SAP ve çözümleri ile bulunan boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri birbirleriyle uyumlu sonuçlar vermektedir. Ancak beklendiği üzere, a/h değerinin azalması durumunda, kabuk kalınlığının artmasından dolayı, yöntemi ile bulunan sonuçlar, diğer yöntemler ile bulunan sonuçlardan uzaklaşmaktadır. Yapılan çözümlerde, E /E oranının 5 olması durumunda ve SAP programları ile elde edilen sonuçlarla, ve yöntemleri kullanılarak elde edilen sonuçlar arasındaki fark, yukarıda bahsedilen E /E oranının olması durumuna göre daha da artmaktadır. Bu fark, E /E oranının 5 olması halinde, en büyük değerini almaktadır. Tüm grafiklere topluca bakıldığında yöntemiyle elde edilen sonuçların, ince kabuklar için a/b= durumunda, kalın kabuklar için ise a/b=4 durumunda, diğer yöntemlerden belirgin bir biçimde ayrıştığı görülmektedir. yöntemi ve sonlu elemanlar (, SAP ) yöntemi kullanılarak elde edilen sonuçların ise, genel olarak birbirleriyle uyumlu oldukları anlaşılmıştır. 7

208 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.6. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP

209 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.7. Simetrik cross-ply [º/9ºº/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 8, ,3374 8,346 8, , , , , ,7865, , , ,843 9,9768,36448, , , , , , , , , , , , , ,3457, , ,896. 8,469 8, ,3956 8, ,8736 8, , , ,3463 8, ,6 8, ,8595 8,965 8, , , , , , ,8365 7, , , , , , , , , ,9634 8, , , , , , , ,4379 8, , ,848 7, , , ,4778 7, ,

210 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.8. Simetrik cross-ply [º/9ºº/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP.,48397,475,635985, , ,3354,37564, , ,938,74968, ,358 3,556 3, ,95479.,94388,3444,795, ,78395,7785,55535, , ,83488,333695, , ,9579,66996,7347.,89845,934736,94978, ,986873,7738,953463,846.5,468957,756856,96699, , ,56674,74,34364.,786,3684,9963, ,95878,46484,,7886.5,666975,64578,84,836., ,49877,33655, , , ,49547, ,576 9, ,49676, , ,884 9,49956, , ,399 9,5383,

211 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.9. Simetrik cross-ply [º/9ºº/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 5, ,838 5,68 5, ,8799 7, , , , ,9746 5, , , , , , ,94 5,94 5,495 5, ,846 5, , , , ,7486 5,798 5, , , , , , , , , , ,747 4, ,33.5 5,5397 5,6768 4, ,47. 6, , ,6784 5, ,7648 3,3667 3,8455 5, ,6585 3,46 3,8593 5, ,3374 3, ,8764 5, , ,766 3, ,35576.,35566,67753,94 5, ,476335,785,977 5, ,793557,967,56 5,683.,3578,3344,748 5,

212 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.3. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP., ,7659,7848, , ,54994,85693, , ,68374,68446, , ,7753, , ,575435,568,58767, ,588568,567867,656, ,3735 4, ,657755, ,439 33,3637,8669, , , ,366536, , , ,368995, ,533964, , , , , ,4654, ,4959 6,473 6,4933, , ,557 6,43348, , , ,4548, ,497 7,7343 6,47396, ,49869,576,478774, ,59354,5455,47856, ,57468,594884,47773, ,798553,8493,47449,

213 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.3. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 5, ,566 5,3655 5, , , , , ,87 5, , ,735. 7, , ,848 7, , , ,699 5, ,75 5,4499 5, , ,4466 5, , , , , , , , , , , , ,738 4, , , ,7546 4,8995 5, , , , , , ,9847 4,3978 5, , , , , ,7458 3,9377 4, , ,7749 3, , ,696., ,999495, , ,8559,999648, , ,85773,93,9395 5,48757., ,84,535 5,

214 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.3. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 9,466 9,4749 9, , , , ,7386 9, , ,343653,38985, , ,363,54787, ,3473 9, , , , , , , , , , ,74353.,44557,738564,5387, , , , , , ,9656 9,94 9, ,9736 9, ,4654 9, ,5583 9, ,458 9, ,5864 7, , , , ,677 7, , , , , , , , , , , , ,436 9, , , ,475 9, ,4849 4, , , , ,5646 4, ,

215 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 7, , , , ,7348 8,7468 8,3579 8, , , , , , ,6984 3, , , ,6654 7, , , , ,78 7, , , , , ,9576 3, ,3869 8, , , , , , , , , , ,7596 6,5659 7, ,576 7,777 6,6539 7, ,5598 3, , , , , , , , ,6453 3, , , , ,5478 7, , , , , , , , , ,4578 7,454 7, , , , , ,

216 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 34, , ,647 34, , , , , , , ,86 34, , , , , , , , , , , , , ,747 35, , , , , , , , , , , , ,98 3, , , ,698 3, ,964. 3, , ,447 34, ,6769 7, , , , ,35 7, , ,3785 7,4773 7, ,788. 7,4693 7,4367 7, , , , , , , ,877 8,749 34, , , , , ,9939 8, , ,

217 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab=, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 46,737 46, , , , , , , , , , ,49. 69,58 69,476 48, , , ,54 45, , ,369 45, , , , , , , , , , ,44. 4, , ,378 46, , ,369 4, , , , , , , , , , ,3643 3, ,745 46, , , ,76 46, , , , , , ,7445 3,844 46,548.,33978,936898, , ,358,3486, , ,38555,33537, , ,5687,45987, ,

218 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, E E =, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP. 5,8748 5, ,4783 5, , ,3765 5,4697 5, ,539 5, , , , ,3 5,3679 5, , , ,3835 5, , ,996 5,5455 5, ,936 49, ,9483 5, ,778 5,4554 5, , , , , , , , , , ,78 47, , , , ,899 47, , , , ,6775 5, , ,546 4, , , , , , , , , , , , ,638 44, , , , , , , , , ,5977 3, , ,

219 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP

220 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP

221 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP

222 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Çizelge 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ E h ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) a/h a/r SAP

223 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP Şekil [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) E E E = SAP E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = 5 5 E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = 5 E = 5 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) E 88

224 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP Şekil [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) E E E = SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E = 5 E = 5 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = 5 E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) E E E =

225 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP Şekil [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı eğrilik oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=4) E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E =,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) E E E = SAP E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = 5 5 E = 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) SAP E E E = 5 E = 5 5,5,5,75, Eğrilik Oranı (a/r) E 9

226 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. SAP Elastisite Oranı (E /E ) Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=, 5) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) 6 a/r= 5 a/r=.5 a/r= a/r= Elastisite Oranı (E /E ) 6 6 SAP a/r= a/r= 5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. 4 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

227 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= SAP a/r= a/r= 5 a/r=.5 5 a/r=.5 5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 4 a/r=. 4 a/r=. 4 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) Şekil 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=, ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) a/r= SAP a/r= a/r= 5 a/r=.5 5 a/r=.5 5 a/r= a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r=. 4 3 a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

228 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= SAP a/r= a/r= 5 5 a/r=.5 5 a/r= a/r=.5 5 a/r=.5 a/r=.5 a/r=.5 4 a/r=. a/r=. 4 4 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) Şekil 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=5) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

229 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. SAP Elastisite Oranı (E /E ) Şekil 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=, 5) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) SAP Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

230 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. SAP Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=, ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) SAP Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

231 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= SAP a/r= a/r= 5 7 a/r= a/r= a/r= a/r=.5 6 a/r=.5 6 a/r=.5 5 a/r=. 5 a/r=. 5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=, a/h=5) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

232 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. SAP Elastisite Oranı (E /E ) SAP Elastisite Oranı (E /E ) Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=, 5) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) 8 a/r= a/r=.5 6 a/r=.5 4 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

233 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r=. SAP Elastisite Oranı (E /E ) Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=, ) a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= 8 a/r=.5 6 a/r=.5 4 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= a/r= a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= a/r=. a/r=. a/r= SAP Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

234 a/r= a/r=.5 a/r=.5 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) a/r= SAP a/r= a/r= a/r=.5 5 a/r=.5 5 a/r= a/r=.5 6 a/r=.5 a/r=.5 4 a/r=. 4 a/r=. 4 a/r= Elastisite Oranı (E /E ) Elastisite Oranı (E /E ) Şekil Simetrik cross-ply [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki silindirik sığ kabukların farklı elastisite ve eğrilik oranlarının boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerine ( Ω= ωa ρ Eh ) olan etkisinin kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi () ve sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ile gösterimi.(a/b=4, a/h=5) Elastisite Oranı (E /E ) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

235 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Daha önceki örnekte, tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların dört tabakalı simetrik cross-ply durum için çözümleri yapılarak boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri elde edilmiştir. Dört tabakalı durum için çözülen örneklerin, tabaka sayısındaki artışın, sonuçlar üzerindeki etkisinin anlaşılması için, silindirik sığ kabuk altı tabakalı olarak da çözülmüştür. Dört tabakalı durum için yapılan çözümlerde kullanılan a/h, a/b, a/r ve E /E parametreleri, altı tabakalı durum için de kullanılmıştır. Çözümler sonucu elde edilen veriler ışığında, gerekli çizelge ve şekiller oluşturulmuştur. Çizelge da, a/b oranının olması durumu için simetrik cross-ply dizilimli, altı tabakalı kompozit silindirik sığ kabuğun çözümü ile elde edilen sonuçlar görülmektedir. Elde edilen veriler incelendiğinde, altı tabakalı durumda elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri, dört tabakalı duruma göre bir miktar artmıştır. Bu artış E /E oranının artmasıyla daha fazla hissedilmektedir. Ancak, dört tabakalı çözümler ile altı tabakalı çözümler arasında, a/b= durumu için aşırı bir fark meydana gelmediği de görülmektedir (Şekil ). Çizelge de, a/b oranının olduğu durum incelenmiştir. Elde edilen veriler, dört tabakalı durum ile altı tabakalı durum arasında meydana gelen farkın a/b= durumunda daha da belirgin hale geldiğini göstermektedir. Özellikle E /E oranının artması ile dört tabakalı durum için elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri ile altı tabakalı durum için elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri arasındaki fark artmaktadır. Altı tabakalı silindirik sığ kabuk örneğimiz için oluşturulan grafiklerin davranışının, genel olarak dört tabakalı silindirik sığ kabuk örneğimiz için oluşturulan grafiklerin davranışına benzediği görülmektedir (Şekil ). Çizelge da ise a/b oranının 4 olduğu silindirik sığ kabuk örneği için bulunan boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri görülmektedir. Bu durumda, elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinde a/b= ve olmasına göre, büyük bir artış meydana gelmiştir. E /E oranının artması ile dört tabakalı durum için elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri ile altı tabakalı durum için elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri arasındaki fark artmaktadır. Sonlu elemanlar yöntemi ve yöntemi ile bulunan sonuçlar arasında büyük bir

236 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN uyum söz konusudur (Şekil ). Ancak, yöntemi ile elde edilen değerlerin, sadece a/h= olduğu ince kabuk durumunda diğer yöntemlerle uyumlu olduğu, diğer hallerde uyumsuz olduğu görülmektedir. Altı tabakalı örnekte, eğrilik oranının artması ile boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin değişimi, Şekil de görülmektedir. Şekilde çeşitli yöntemler için oluşturulan eğriler, çeşitli tabaka kalınlık oranlarına göre verilmiştir. Şekil incelendiğinde, genel davranışın ve yöntemler arasındaki uyumluluk ve uyumsuzluk durumunun dört tabakalı durum ile benzerlik gösterdiği görülmektedir.

237 SAP ar= E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar= 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, 5) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

238 SAP ar= E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar= E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, ) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

239 SAP ar= 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.6 [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=5) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

240 SAP ar= E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar= 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.5. [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, 5) SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

241 SAP 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar= E E= 5 ar= E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 E E= 5 ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.5. [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=, ) SAP SAP ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) ar=.5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP 3 4 Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. E E= 5 ar=. E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

242 SAP ar= 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) Şekil 6.5. [º/9º/º/º/9º/º] tabaka dizilimine sahip silindirik sığ kabukların boyutsuz serbest titreşim frekansı parametreleri ( Ω= ωa ρ Eh ) değişiminin farklı a/b oranları için kayma deformasyon sığ kabuk teorisi (), klasik sığ kabuk teorisi (), ve SAP ile karşılaştırılması (E /E =5, a/h=5) SAP ar=.5 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) SAP ar=. 5 E E= Kenarların Oranı (a/b) 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

243 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Şekil de, altı tabakaya sahip kompozit silindirik sığ kabuklar için elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin a/b oranına göre değişimi görülmektedir. Şekiller, E /E oranının 5 ve 5, a/h oranının da, 5,, ve 5 olması durumu için oluşturulmuştur. Bu örnekte verilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri birinci modlar için bulunmuştur. Şekillerde, a/b oranının artması ile tüm yöntemler için boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri artmaktadır. Şekiller incelendiğinde, genel davranışın dört tabakalı duruma benzediği görülmektedir. Ancak, a/b oranı 4 iken, a/h oranının, 5 ve olduğu ince kabuk durumunda, dört tabakalı çözümler ile altı tabakalı çözümler sonucunda elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansları arasında belirgin bir fark oluştuğu görülmektedir. Bu fark a/b oranının olması halinde daha az, a/b oranının olması halinde ise çok daha azdır. Dört tabakalı durum için yapılan yorumlarda, yöntemler arasındaki uyumluluğun ve uyumsuzluğun görüldüğü haller altı tabakalı durum için de geçerlidir. Grafiklerde a/r oranının artması, ince kabuk durumunda sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri ile ve yöntemi kullanılarak elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri arasında uyumsuzluğa sebep olmaktadır. Kabuk kalınlık oranı a/h değeri azaldıkça bir başka deyişle kabuk kalınlığı arttıkça, sonlu elemanlar yöntemi ile elde edilen sonuçların yöntemiyle elde edilen sonuçlarla uyumlu olduğu görülmektedir. 8

244 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN 6.4. Mod Şekil Değiştirme Analizi Önceki bölümlerde, analizleri yapılan plak ve kabuk örnekleri için elde edilen verilerin tümü, birinci modlar için bulunmuştur. Yapılan plak analizlerinde, sonlu elemanlar yöntemi () ve kayma deformasyon plak teorisi (SDPT) yöntemleri kullanılarak birinci modlar için elde edilen frekans değerlerinin, birbirleriyle uyumlu oldukları görülmektedir. Ayrıca klasik plak teorisi (CLPT) yöntemi ile bulunan değerlerin de ince plak durumunda diğer yöntemlerle uyumlu oldukları belirlenmiştir. Bu durumda, plaklar için yapılan analizlerde, yöntemleri birbirleriyle karşılaştırırken, birinci modlar için elde edilen verilerin yeterli olduğunu söyleyebiliriz. Ancak sığ kabukların analizi için aynı ifadeyi söylememiz mümkün değildir. Sayısal uygulamalar kısmında çözülen ilk silindirik kabuk örneğinden de anlaşılmıştır ki, yöntemlerin karşılaştırılması esnasında sadece tek bir modun esas alınması uygun olmamaktadır. Silindirik kabuk örneğinde, m=, ve 3 n=,,...,3 modları dikkate alınmış ve elde edilen frekans değerleri kullanılarak çizilen grafiklerdeki eğrilerin, genel olarak birbirleriyle uyumlu oldukları görülmüştür. Ancak, analizler ilk 3 mod için değil de, eğriler arasındaki uyumsuzluğun olduğu dar bölge içerisinde tutulsaydı, kullanılan yöntemlerin farklı sonuçlar verdiği düşünülecekti (Şekil 6.). Analizlerin geniş bir mod aralığında yapılmasıyla, yöntemler arasında yapılacak olan karşılaştırmalarda, mümkün olduğu kadar çok modun dikkate alınması gerektiği anlaşılmaktadır. Bu bağlamda, silindirik sığ kabukların analizinde, ilk modların dikkate alınmasının, kullanılan yöntemler arasında bir kıyas yapmamız için yeterli olmadığı düşünülmektedir. Bu sebeple, silindirik sığ kabukların analizinde, sadece ilk modun değil, birkaç modun değerlendirilmesi, çeşitli yöntemlerin birbirleriyle kıyaslanması için gereklidir. Yukarıda anlatılan durum sebebiyle, bu bölümde silindirik sığ kabuk örnekleri sonlu elemanlar yöntemi (, SAP) ve yöntemi ile ilk altı mod dikkate alınarak çözülmüş, elde edilen veriler yardımıyla grafikler ve çizelgeler oluşturulmuştur. Çözülen örnekler için a/h oranı, 5,, ve 5 olarak, a/b oranı ise, ve 4 olarak seçilmiştir. Örneklerde E /E oranı ise 5 tir. Çizelgelerde, ilk altı mod 9

245 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN için elde edilen serbest titreşim frekans değerleri, boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri ve mod şekilleri verilmiştir.

246 Çizelge 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (,) (,) (,3) (,3) Frekanslar,635498,7793,966567,534,887, Boyutsuz Frekanslar 8, , , , ,594 66,67993 Frekanslar,63353,77533,9678,8,8,48994 Sap Boyutsuz Frekanslar 8, , , , , ,969 Frekanslar,344,59739,9663,9773,9897,4859 Boyutsuz Frekanslar 3, ,5383 4, , , , SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

247 Çizelge 6.4. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (,) (,3) (,) (,3) Frekanslar,794355,9378,889675,33,7664,8999 Boyutsuz Frekanslar 7, ,5949 4, , , ,49885 Frekanslar,7998,93,899,3,687,88349 Sap Boyutsuz Frekanslar 7, , ,568 47, , ,5546 Frekanslar,56975,84396,88739,7685,7447,8993 Boyutsuz Frekanslar, ,8984 4, , , , SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

248 3 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (,) (,3) (,) (,3) Frekanslar,4588,596835,48378,4888, ,66698 Boyutsuz Frekanslar,99 3, ,55 43, , ,74 Frekanslar,45474,6377,4843,4948,494576, Sap Boyutsuz Frekanslar, , , , , , Frekanslar,347,55665,4765,483834,49467, Boyutsuz Frekanslar,9736, , , , , SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

249 4 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (,) (,) (,3) (,3) Frekanslar,5433,46696,673873,79545,83879,694 Boyutsuz Frekanslar,537, , ,39 37, , Frekanslar,53834,467763,67793,8354,839433,66584 Sap Boyutsuz Frekanslar,775475,7865 3, , , , Frekanslar,47887,466775,6769,79385,85767,56634 Boyutsuz Frekanslar, ,5798 9, , , , SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

250 5 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (,) (,) (,3) (3,) Frekanslar,3998,7639,857788,578339,8468,3364 Boyutsuz Frekanslar 8, , , , ,395 9,59858 Frekanslar,434,76856,868375,6744,74696,3373 Sap Boyutsuz Frekanslar 8,9377 6, ,9444 3, ,9584 9,796 Frekanslar,395688,758575,853446,46483,6597,34733 Boyutsuz Frekanslar 8, ,9356 8, , ,846 9, SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

251 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SAP Modlar SAP Modlar SAP Modlar SAP Modlar SAP E = 5 E a/ b= E = 5 E 5 a/ b= E E = 5 a/ b= E a/ b= E = 5 E 5 a/ b= E = Modlar Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların ilk altı mod için boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=) 6

252 7 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (,) (,) (3,) (3,) Frekanslar Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Sap Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Boyutsuz Frekanslar SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

253 8 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (,) (,) (3,) (3,) Frekanslar Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Sap Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Boyutsuz Frekanslar SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

254 9 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (,) (3,) (,) (3,) Frekanslar Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Sap Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Boyutsuz Frekanslar SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

255 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (3,) (,) (,) (4,) Frekanslar Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Sap Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Boyutsuz Frekanslar SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

256 Çizelge 6.5. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab=, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (3,) (,) (,) (4,) Frekanslar Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Sap Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Boyutsuz Frekanslar SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

257 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SAP Modlar SAP Modlar SAP Modlar SAP Modlar SAP E a/ b= E 5 a/ b= E E = 5 E = 5 E = 5 a/ b= E a/ b= E = 5 E 5 a/ b= E = Modlar Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların ilk altı mod için boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=)

258 3 Çizelge 6.5. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab= 4,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (3,) (4,) (5,) (,) Frekanslar,85353,55,94336,4336,67663, Boyutsuz Frekanslar 8, , , , ,4358 3,456 Frekanslar,859,969,944,4353,63368,67939 Sap Boyutsuz Frekanslar 8, , , ,4844 8,653 3, Frekanslar,85673,33,943438,433547,6949,67638 Boyutsuz Frekanslar 8, , , , , , SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

259 4 Çizelge 6.5. Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (3,) (4,) (5,) (,) Frekanslar,35599,4565,567547,897,44767,87996 Boyutsuz Frekanslar 78,3863 9, , ,958 54, ,6 Frekanslar,35693,433,568,838,55,896 Sap Boyutsuz Frekanslar 78,6545 9, ,4537 8, , , Frekanslar,349486,45,569374,859,43659,7845 Boyutsuz Frekanslar 77, ,576 6, , , , SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

260 5 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab= 4,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (3,) (4,) (5,) (6,) Frekanslar, ,934359,484,58838,98, Boyutsuz Frekanslar 7, , ,7665 4,83 8,3784, Frekanslar,798789,9568,755,597496,3434, Sap Boyutsuz Frekanslar 7, , , , ,765678,36843 Frekanslar Boyutsuz Frekanslar SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

261 6 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab= 4,, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (3,) (4,) (5,) (,) Frekanslar,88783,44549, ,55,538, Boyutsuz Frekanslar 56,979 64,85 77, ,976856, , Frekanslar,8999,44683,747476,563,55,8763 Sap Boyutsuz Frekanslar 56, ,876 77, ,99553, ,3398 Frekanslar Boyutsuz Frekanslar SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

262 7 Çizelge Simetrik cross-ply [º/9º/9º/º]] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlıklardaki tabakalı kompozit silindirik sığ kabukların ilk altı mod şekli için elde edilen frekans ve boyutsuz serbest titreşim frekans parametrelerinin ( Ω= ωa ρ Eh ) kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve SAP ile gösterimi ( ab= 4, 5, E E = 5, G E = G3 E = G3 E =.5 υ =.5 ve K = 56) Yöntem Frekans Değerleri Mod Şekilleri (,) (,) (3,) (4,) (5,) (,) Frekanslar Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Sap Boyutsuz Frekanslar Frekanslar Boyutsuz Frekanslar SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN

263 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN SAP Modlar SAP Modlar SAP Modlar SAP Modlar SAP E a/ b= 4 E 5 a/ b= 4 E E = 5 E = 5 E = 5 a/ b= 4 E a/ b= 4 E = 5 E 5 a/ b= 4 E = Modlar Şekil [º/9º/9º/º] tabaka dizilimine sahip farklı kalınlık oranlarındaki tabakalı silindirik sığ kabukların ilk altı mod için boyutsuz serbest titreşim frekansı parametrelerinin ( Ω= ωa ρ E h ) değişimi (a/b=4) 8

264 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Mod şekil değiştirme analizi ile elde edilen çizelgeler ve şekiller incelendiğinde, silindirik sığ kabuklar için elde edilen frekans değerlerinin, kullanılan üç yöntemde de genel olarak birbirleriyle uyumlu oldukları görülmüştür. Ancak, bazı durumlarda özellikle birinci ve ikinci modlar için, sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak elde edilen frekans değerleri ile yöntemi ile elde edilen frekans değerleri arasında farklılıklar olduğu görülmektedir. Bu durum, daha önceki kısımda birinci modlar için çözümleri yapılan, silindirik sığ kabuk örneklerinde de görülmektedir. Yöntemler arasında birinci modlar için meydana gelen bu farkın, diğer modlarda da devam edip etmediğinin anlaşılması için mod şekil değiştirme analizi yapılmıştır. Elde edilen çizelgeler incelendiğinde, Çizelge 6.4 de, a/b oranının ve a/h oranının olduğu durum ele alınmıştır. Çizelgede de görüldüğü gibi, boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinde, birinci ve ikinci modlarda yöntemler arasında uyumsuzluk görülmektedir. Çizelge 6.4 de ise a/b oranının ve a/h oranının 5 olduğu durumda bu uyumsuzluğun azaldığı belirlenmiştir. Çizelge da ise yöntemlerin tamamen birbirleriyle uyum içerisinde olduğu görülmektedir. Daha önceki kısımda, elde edilen sonuçlarla uyumlu olarak, silindirik sığ kabuk örneklerinin birinci mod için çözümünde de, tabaka kalınlığının artması ile yöntemler arasındaki farkın giderek azaldığı belirlenmiştir. Ulaşılan bu sonuç Şekil 6.53 de toplu olarak görülmektedir. Analizlere, a/b oranının olduğu durum için devam edilmiş ve elde edilen veriler Çizelge de sunulmuştur. Çizelge 6.46 da kabuk kalınlık oranının olduğu ince kabuk durumu incelenmiştir. Çizelge incelendiğinde, birinci modlar için yöntemi ile bulunan verilerle ve SAP ile bulunan verilerin bir miktar farklılık gösterdiği görülmektedir. Bu fark a/b= ve a/h= olması durumuna göre daha azdır. Ayrıca, ikinci mod ve sonrası için yöntemler arasında herhangi bir uyumsuzluk görülmemektedir (Şekil 6.54). Yapılan çözümlerde, a/b oranının 4 olduğu durum için elde edilen sonuçlar incelendiğinde, Şekil 6.55 de görüldüğü gibi, bütün modlar için tüm yöntemlerin birbirleriyle uyumlu sonuçlar verdikleri görülmektedir (Çizelge ). 9

265 6. SAYISAL UYGULAMALAR Ali DOĞAN Daha önceki örneklerde, silindirik sığ kabuklarda, birinci modlar için bulunan boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin bazı durumlarda yöntemler arasında farklılık gösterdiği görülmüştü. Bu farklılığın, her mod durumunda mı yoksa sadece birinci mod durumunda mı oluştuğunun belirlenmesi için, mod şekil değiştirme analizi yapılmıştır. Sonuçta, yöntemler arasında bazı durumlar için meydana gelen bu farkın, birinci modlar ve kısmen de ikinci modlar için oluştuğu belirlenmiştir. Diğer mod durumlarında, büyük bir uyumluluğun söz konusu olduğu grafiklerden de anlaşılmaktadır. 3

266 7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Ali DOĞAN 7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Bu çalışmada, literatürde yer alan sonlu elemanlar yöntemi (FEM), kayma deformasyon teorisi (SDT) ve klasik tabaka teorisi (CLT) kullanılarak tabakalı kompozit plakların ve silindirik sığ kabukların serbest titreşim analizleri yapılmıştır. Analizlerde, kalınlık oranı etkisi (a/h), elastisite oranı etkisi (E /E ), kenar uzunlukları oranı etkisi (a/b) ve eğrilik oranı etkisi (a/r) olmak üzere birçok parametrelerin etkileri araştırılmıştır. Elde edilen sonuçlar ışığında, oluşturulan çizelgeler ve şekiller yardımıyla, yöntemler hem kendi içlerinde hem de birbirleri ile karşılaştırılarak yorumlanmıştır. Çalışmada öncelikle tabakalı kompozit plak örneklerinin çeşitli parametreler etkisi altında serbest titreşim davranışlarının anlaşılması için çözümleri yapılmıştır. Çözümlerde, kayma deformasyon plak teorisi (SDPT) ve klasik plak teorisi (CLPT) ile sonlu elemanlar yöntemi (FEM) temelinde çözüm yapan paket programı kullanılmıştır. Sonuçlar incelendiğinde, a/h= olması durumunun ince plak ile kalın plak ayrımının oluştuğu sınır olduğu görülmektedir. Elde edilen bütün grafiklerde, E /E oranının artması ile boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin arttığı görülmüştür. Ayrıca a/b oranının artması ile de boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin arttığı gözlemlenmiştir. Yöntemler arasındaki karşılaştırmalarda ise, sonlu elemanlar yöntemi () ve SDPT kullanılarak elde edilen sonuçlar arasında büyük bir uyum söz konusudur. CLPT kullanılarak elde edilen sonuçların ise ince plak durumunda diğer iki yöntemle uyumlu olduğu görülmüştür. Ancak beklendiği üzere kabuk kalınlığı arttıkça CLPT kullanılarak elde edilen sonuçların diğer iki yöntem kullanılarak elde edilen sonuçlardan uzaklaştığı görülmektedir. Plaklarla ilgili çözümlerde ikinci aşama olarak, tabaka sayısının artmasının boyutsuz serbest titreşim frekansı sonuçlarına olan etkisi araştırılmıştır. Çizelge ve şekiller incelendiğinde a/b oranının olması halinde dört tabakalı ve altı tabakalı durumlar için elde edilen sonuçların birbirlerine çok yakın olduğu görülmektedir. Ayrıca, E /E oranının artması ile fark bir miktar artmaktadır. Fakat yinede a/b= durumu için, dört tabakalı ve altı tabakalı durumlar arasında pek bir fark 3

267 7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Ali DOĞAN oluşmamaktadır. Çözümlerde a/b oranının olması ile dört tabaka ve altı tabakalı durum arasındaki farkın arttığı ve E /E oranının artması ile bu farkın belirgin hale geldiği görülmektedir. a/b oranının 4 olması ile dört tabakalı ve altı tabakalı durum için elde edilen sonuçlar arasındaki farkın çok daha fazla olduğu görülmüştür. Çalışmanın ikinci aşamasında silindirik sığ kabuk örneklerinin çözümleri yapılmıştır. Çözümlerde sonlu elemanlar yöntemi (FEM) temelinde çözüm yapan ve SAP paket programı, kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () ve klasik sığ kabuk teorisi () kullanılmıştır. Tüm sonuçlar birinci modlar için elde edilmiştir. Kabuk kenar uzunluğunun kabuk eğrilik yarıçapına oranı olan a/r oranı arttıkça, boyutsuz serbest titreşim frekanslarının da arttığı görülmektedir. Bu artış ince kabuklar için daha fazla olmaktadır. Kabuk kalınlığı arttıkça boyutsuz serbest titreşim frekanslarındaki artış oranının azaldığı görülmektedir. Silindirik sığ kabuklarda, tüm durumlar için, E /E oranının artması ile boyutsuz serbest titreşim frekansı değerlerinin de arttığı görülmektedir. Elde edilen sonuçlarda, a/b oranının, a/h oranının 5 ve olduğu durumlar için, eğrilik oranının küçük olduğu hallerde sonlu elmanlar (, SAP) ve yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine yakın, büyük olduğu hallerde ise uzak olduğu görülmektedir. a/h oranı azaldıkça sonlu elmanlar (, SAP) ve yöntemleri ile bulunan değerlerin birbirlerine giderek yaklaştığı görülmektedir. a/b oranının olduğu durumda, boyutsuz serbest titreşim frekans değerlerinin a/b= olduğu duruma göre artış gösterdiği belirlenmiştir. a/b oranının 4 olduğu durumda ise, elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekans değerleri a/b= ve olduğu duruma göre oldukça büyüktür. a/b=4 olduğu örnekte, yöntemlerin birbirleriyle uyumlu sonuçlar verdiği ve yöntemler arasındaki farkın hemen hemen yok olduğu görülmektedir. Silindirik sığ kabuklarda, tabaka sayısının artmasının sonuçlara etkisinin anlaşılabilmesi için çözümler altı tabakalı durum için de yapılmıştır. Şekiller incelendiğinde, genel davranışın dört tabakalı duruma benzediği görülmektedir. a/b oranı 4 iken, ince kabuk durumunda, dört tabakalı çözümler ile altı tabakalı çözümler sonucunda elde edilen boyutsuz serbest titreşim frekansları arasında belirgin bir fark 3

268 7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Ali DOĞAN oluştuğu görülmektedir. Bu fark a/b oranının olması halinde daha az, a/b oranının olması halinde ise çok daha azdır. Çalışmanın son aşamasında silindirik sığ kabuk örnekleri için mod şekil değiştirme analizi yapılmıştır. Plaklar için ise mod şekil değiştirme analizi yapılmasına gerek duyulmamıştır. Çalışmanın birinci aşamasında çözümleri yapılan plak örneklerinde, sonlu elemanlar yöntemi () ve kayma deformasyon plak teorisi (SDPT) yöntemleri kullanılarak birinci modlar için elde edilen frekans değerlerinin, birbirleriyle uyumlu oldukları görülmektedir. Ayrıca klasik plak teorisi (CLPT) yöntemi ile bulunan değerlerin de ince plak durumunda diğer yöntemlerle uyumlu oldukları belirlenmiştir. Bu durumda, plaklar için yapılan analizlerde, yöntemleri birbirleriyle karşılaştırırken, birinci modlar için elde edilen verilerin birbirleriyle uyumlu oldukları söylenebilir. Ancak silindirik sığ kabukların analizi için aynı ifadeyi söylememiz mümkün değildir. Silindirik sığ kabuk örneklerinin çözümünde, birinci modlar dikkate alınmıştır ve sonuçlar incelendiğinde yöntemler arasında bazı hallerde aşırı miktarda farklar oluştuğu görülmüştür. Bu farklılığın, her mod durumunda mı yoksa sadece birinci mod durumunda mı oluştuğunun belirlenmesi için, mod şekil değiştirme analizi yapılmıştır. Mod şekil değiştirme analizi sonucunda, silindirik sığ kabukların analizinde, ilk modların dikkate alınmasının, kullanılan yöntemler arasında bir kıyas yapmamız için yeterli olmadığı düşünülmektedir. Bu sebeple, silindirik sığ kabukların analizinde, sadece ilk modun değil, birkaç modun değerlendirilmesi, çeşitli yöntemlerin birbirleriyle kıyaslanması için gereklidir. Sonuçta, yöntemler arasında bazı durumlar için meydana gelen bu farkın, birinci modlar ve kısmen de ikinci modlar için oluştuğu belirlenmiştir. Diğer mod durumlarında, büyük bir uyumluluğun söz konusu olduğu anlaşılmıştır. Yani çözülen örneklerde, yöntemler arasındaki karşılaştırmalar birinci modlar için değil de üçüncü modlar için yapılsaydı, sonlu elemanlar yöntemi ( ve SAP) ve kayma deformasyon sığ kabuk teorisi () yöntemi arasında, her durumda tam bir uyum görülmüş olacaktı. Bu çalışma, tabakalı kompozit plak ve silindirik sığ kabukların serbest titreşim etkisi altındaki davranışlarının anlaşılabilmesi için yapılmıştır. Bu çalışma daha sonra yapılacak olan çalışmalar için bir fikir oluşturabilir. Bir sonraki aşamada 33

269 7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER Ali DOĞAN çift eğrilikli sığ kabukların serbest titreşim analizi yapılabilir. Daha sonra serbest titreşim analizine ek olarak zorlanmış titreşim analizi yapılabilir. Farklı tabakalanma ve farklı fiber açılarına sahip kabuklar için serbest titreşim ve zorlanmış titreşim analizleri yapılabilir. Yukarıda bahsedilen tüm durumların analizi silindirik, hiperbolik paraboloidal ve küresel sığ kabuklar için ayrı ayrı yapılabilir. Bütün bu çalışmaların tümüne deneysel çalışmalar eklenebilir. 34

270 KAYNAKLAR AKSOGAN, O., SOFIYEV, A.,. The Dynamic Stability of a Laminated Nonhomogeneous Orthotropic Elastic Cylindrical Shell Under a Time Dependent External Pressure. International Conference on Modern Practice in Stress and Vibration Analysis, Nottingham, United Kingdom; AMABILI, M., 3. A Comparison of Shell Theories For Large-Amplitude Vibrations of Circular Cylindrical Shells: Lagrangian Approach. J Sound Vib ;64:9-5. AMBARTSUMIAN, S.A., 96. Theory of Anisotropic Shells. Fizmargiz, Moskva,English Translation, NACA TTF-8,964. AMBARTSUMIAN, S.A., 96. Contributions to The Theory of Anisotropic Laminated Shells. Appl. Mech. Rev.;5(4): AMBARTSUMIAN, S.A., 97. Theory of Anisotropic Plates. Firmargiz, Moskva Technomic, Stanford., Theory Reference Manual and Element Reference. BERT, C.W., KIM, C.D., BIRMAN, V.,993. Vibration of Composite-Material Cylindrical Shells With Ring and/or Stringer Stiffeners. Compos. Struct.;5(-4): BRAY, F.M., EGLE, D.M., 97. An Experimental İnvestigation of the Free Vibration of Thin Cylindrical Shells With Discrete Longitudinal Stiffening. J. Sound Vib.;: DJOUDI, M.S., BAHAI, H., 3. A Shallow Shell Finite Element For The Linear and Non-Linear Analysis of Cylindrical Shells. Eng Struct; 5(6): DOĞAN, A., 4. Fiber Çubuklarla Güçlendirilmiş Tabakalı Plakların Plak Düzlemine Dik Yükleme Etkisindeki Davranışı. Yüksek Lisans Tezi, Ç. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Adana, 36. DONG, S.B., 968. Free Vibration of Laminated Orthotropic Cylindrical Shells. Journal of Acoustical Society of America;44:

271 ERSOY, H.Y.,. Kompozit Malzeme. Literatür Yayıncılık Dağıtım Pazarlama San. ve Tic. Ltd. Şti., İstanbul, Türkiye, 7. GALILEO GALILEI Website: GAUTHAM, B.P., GANESAN, N., 997. Free Vibration Characteristics of Isotropic and Laminated Orthotropic Spherical Caps. J Sound Vib; 4():7-4. GERMAINE, S., 8. Recherches sur la Theories des Surfaces Elastiques, Paris. GOL DENVEIZER, A.L., 96. Theory of Elastic Thin Shells (English Translation). Pergamon Press, New York. GRIGORENKO, A.Y., YAREMCHENKO, N.P., 7. Stress-strain state of shallow shells with rectangular planform and varying thickness: Refined formulation. Int Appl Mech;43():3-4. GURDAL, Z., HAFTKA, RT, (998) HAJELA P., Design and Optimization of Laminated Composite Materials. USA: John Wiley & Sons Inc. HYER, M.W., 997. Stress Analysis of Fiber-Reinforced Composite Materials. Singapore: McGraw-Hill Book Company. JONES, R.M., 975. Mechanics of Composite Materials. USA: Scripta Book Company, Washington D.C.,355. JONES, R.M., 984. Mechanics of Composite Materials. USA: Taylor & Francis. KAW, A.K.,997. Mechanics of Composite Materials.,CRC Pres, Boca Raton London New York Washington, D.C., 39. KOITER, W.T., 967 Foundation and Basic Equations of Shell Theory. In Proceeding of IUTAM, nd Symposium. Theory of Thin Shells. F.L. Niordson, ed., Springer-Verlag, New York, pp LATIFA, S.K., SINHA, P.K., 5. Improved Finite Element Analysis of Multilayered, Doubly Curved Composite Shells. J. Reinf. Plast. Comp.;4: LEISSA, A.W., CHANG, J., 996. Elastic Deformation of Thick, Laminated Composite Shallow Shells. Composites Structure;35:53-7. LIBERSCU, L. KHDEIR, A.A., FREDERICK, D.,989a. A Shear Deformable Theory For Laminated Composites Shallow Shell-Type Panels and Their Response Analysis I. Free Vibration and Buckling. Acta Mech: 76;

272 LIBERSCU, L. KHDEIR, A.A., FREDERICK, D.,989b. A Shear Deformable Theory For Laminated Composites Shallow Shell-Type Panels and Their Response Analysis II. Static Analysis. Acta Mech: 77;-. LIM, C.W., LIEW, K.M., 995a. A Higher Order Theory For Vibration of Shear Deformable Cylindrical Shallow Shells. International Journal of Mechanical Sciences;37(3): LIEW, K.M., LIM, C.W., 995b. A Higher Order Theory For Vibration Analysis of Constrained Curvilinear Shallow Shells. Journal of Vibration and Control;():5-39. LIEW, K.M., PENG, L.X, NG, T.Y.,. Three Dimensional Vibration Analysis of Spherical Shell Panels Subjected to Different Boundary Conditions. Int J Mech Sci; 44:3-7. LOVE, A.E.H., 888. On the Small Free Vibrations and Deformation of Thin Elastic Shell. Philosophical Transactions of The Royal Society; Vol:79, LOVE, A.E.H., 944. A Treatise on The Mathematical Theory of Elasticity. Dover, New York. MATHEMATICA, Wolfram Research, MINDLIN, R.D., 95. Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates. Journal of Applied Mechanics, Vol:73, NOVOZHILOV, V.V., 958. The Theory of Thin Shells., 376. PHAN, N.D., and REDDY, J.N., 985. Analysis of Laminated Composite Plates Using A Higher-Order Shear Deformation Theory. International Journal for Numerical Methods in Engineering; : -9. QATU, M.S., 989. Free Vibration and Static Analysis of Laminated Composite Shallow Shells. PhD. Dissertation. The Ohio University,. QATU, M.S., 99a. Free Vibration of Laminated Composite Rectangular Plates. Int J Solids Struct;8: QATU, M.S., 99b. Curvature Effects on The Deflection and Vibration of Cross- Ply Shallows Shells. In Mechanics and Computing in 9 s and Beyond, eds. ADELI H. and SIERAKOWSKI R. ASCE pp:

273 QATU, M.S., 99. Review of Shallow Shell Vibration Research. Shock Vib Digest; 4:3-5. QATU, M.S., 99. Mode Shape Analysis of Laminated Composite Shallow Shells. J Acoust Soc Am;9:59-5. QATU, M.S., 993a. Vibration of Doubly Cantilevered Laminated Composite Thin Shallow Shells. Thin Walled Struct;5: QATU, M.S., 993b. Theories and Analysis of Thin and Moderately Thick Laminated Composite Curved Beams. Int J Solids Struct;3(): QATU, M.S., 999a. Accurate Theory For Laminated Composite Deep Thick Shells. Int. J. Solids Struct.;36(9): QATU, M.S., 4. Vibration of laminated shells and plates. Netherlands: Elsevier. RATH, B.K. ve DAS, Y.C.,973. Vibration of Layered Shells. Journal of Sound and Vibration; 8: RAYLEIGH, L.,877. Theory and Sound Vol. I and II, Dover Publications, New York, 945. REDDY, J.N.,984a. Exact Solutions of Moderately Thick Laminated Shells. Journal of Engineering Mechanics, (5), REDDY, J.N.,984b. Energy and Variational Methods in Applied Mechanics. McGraw-Hill, New York. REDDY, J.N.,984. A Simple Higher-Order Theory for Laminated Composite Plates. Journal of Applied Mechanics, 5, 745. REDDY, J.N. ve LIU C.F.,985. A Higher Order Shear Deformation Theory of Laminated Elastic Shells. International Journal of Engineering Sciences, 3(3), REDDY, J.N.,987. A Refined Nonlinear Theory of Plates with Transverse Shear Deformation. International Journal for Solids Structures,, REDDY, J.N., 993. An introduction to the finite element method. USA: McGraw Hill. REDDY, J.N., 3. Mechanics of laminated composite plates and shells: Theory and analysis. USA: CRC press. 38

274 REDDY, J.N., 995. Miravete A. Practical analysis of composite laminates. USA: CRC Press. REISSNER, E., 94. On Transverse Bending of Plates Including The Effect of Transverse Shear Deformation. International Journal For Solids Structures;: REISSNER, E., 94. A New Derivation of Equations of The Deformation of Elastic Shells. American Journal of Mathematics. 63(), REISSNER, E., 945. The Effect of Transverse Shear Deformation on The Bending of Elastic Plates. Journal of Applied Mechanics;67:A69-A77. REISSNER, E., 95. Stres-Strain Relation in The Theory of Thin Elastic Shells. Journal of Mathematics and Physics, 3, 9-9. SAP, Computer and Structures,Inc. SOEDEL, W., 4. Vibrations of Shells and Plates. nd. Edition. Marcel Dekker, Inc., 7 Madison Avenue, New York, NY 6, U.S.A SRINIVAS, S., JOGA RAO, C.V., RAO, A.K., 97. An Exact Analysis of Vibration of Simply Supported Homogeneous and Laminated Thick Rectangular Plates. Journal of Sound and Vibration;: TIMOSHENKO, SP., 9. On The Correction of Shear of The Differential Equation For Transverse Vibration of Prismatic Bars. Philos Mag;4:744. TIMOSHENKO, SP., 94. Theory of Plates and Shells. New York a.london, Mc Graw-Hil Book Comp. UGURAL, A.C., 98. Stres In Plates and Shells. New York a.london, Mc Graw- Hil Book Comp, 37. WHITNEY, J.M., LEISSA A.W., 969. Analaysis of Heterogeneous Anisotropic Plates. Journal of Applied Mechanics;36:6-66. WHITNEY, J.M., PAGANO N.J., 97. Shear Deformation in Heterogeneous Plates. Journal of Applied Mechanics;37:3-36. WHITNEY, J.M., SUN C.T., 973. A Higher Order Theory For Extensional Motion of Laminated Composites. Journal of Sound and Vibration;4(): WHITNEY, J.M., SUN C.T., 973. A Refined Theory For Laminated Anisotropic Cylindrical Shells. Journal of Applied Mechanics;4:

275 ÖZGEÇMİŞ 979 yılında Adana da doğdu. İlk ve orta öğrenimini Adana da tamamladı. 997 yılında Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümünü kazandı ve yılında İnşaat Mühendisi olarak mezun oldu. Aynı yıl Çukurova Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalı nda tezli yüksek lisans çalışmalarına başladı. Aralık ayında aynı bölüme Araştırma Görevlisi olarak atandı. Yüksek lisans çalışmalarını 4 yılında tamamlayarak Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümünden İnşaat Yüksek Mühendisi olarak mezun oldu. Aynı yıl doktora çalışmalarına başladı. Yazar halen Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümünde Araştırma Görevlisi olarak çalışmaktadır. 4