BÖLÜM I İNDÜKTANS VE KAPASİTANS Bu bölümde, tek bir bağımsız kaynak kullanılarak indüktör ve kapasitörlerin tek başına davranışları incelenecektir. İndüktörler, manyetik alanla ilişkin olaylar üzerine tanımlı devre elemanlarıdır. Manyetik alanın kaynağı, yüklerin hareketi veya akımdır. Akım zamanla değişiyorsa, manyetik alanda zamanla değişir. Zamanla değişen manyetik alan, alanla bağlantılı herhangi bir iletken üzerinde bir gerilim oluşturur. 1
Kapasitörler, elektrik alanla ilişkin olaylar üzerine tanımlı bir devre elemanıdır. Elektrik alanın kaynağı ise yük ayrışması (seperation of charge) veya voltajdır. Eğer voltaj zamanla değişiyorsa, elektrik alanda zamanla değişir. Zamanla değişen elektrik alan, alana ilişkin uzayda (alanın etkin olduğu bölgede) bir yer değiştirme (deplacement) akımı oluşturur. Bu yer değiştirme akımı, kapasitör uçlarındaki yer değiştirme akımına eşittir. İndüktörler ve kapasitörler enerji depolayabilen fakat üretemeyen pasif devre elemanlarıdır. Enerji hem manyetik hem de elektrik alanda depolanır. Örneğin, indüktörde depolanan enerji bir bujiyi ateşlerken, kapasitörde depolanan enerji bir fotoğraf makinesi flaşını patlatabilir. 2
1.1 İndüktör V di L (1.1) dt L: Henry V: Volt t: saniye Denklem (1.1) den anlaşılabileceği gibi bir indüktörün uçları arasındaki voltaj, indüktör akımının zamanla değişim oranı ile doğru orantılıdır. i sabit ise V=0 dır. Böylece indüktör, DC de kısa devre özelliği gösterir. 3
Bir indüktörde, akım birden değişim gösteremez, yani sıfır zamanda akım değişimi olmaz. Bunun olabilmesi için sonsuz gerilme ihtiyaç vardır (Denklem (1.1) den), buda mümkün değildir. Örnek 1.1: Şekil 1.1: Örnek 1.1 e ait devre it () 0, t 0 5t 10 te A, t 0 4
a) Akımın zamana göre değişimini çiziniz. b) Akımın maksimum olduğu örnek zamanı hesaplayınız. c) İndüktör üzerine düşen gerilimi hesaplayınız. d) İndüktör üzerindeki gerilimin zamana göre değişimini çiziniz. e) Akım ve gerilim aynı anda mı maksimumdur? f) Hangi örnek zamanda voltaj, polariteyi (kutuplamayı) değiştirir? g) Voltajda ani değişim var mıdır? Varsa nerde olur? 5
Cevap: a) b) di dt Şekil 1.2: Akım dalga şekli te e e t 5t 5t 5t 10( 5 ) 10 (1 5 ) A/s 6
di t = 0.2 sn için 0 dt için i(0.2) 0.736 A dır ve () it maksimum değere sahiptir. Böylece t = 0.2 sn olarak bulunur (Şekil 1.2 den görüldüğü gibi). di 5t 5t c) V L (0.1)10 e (1 5 t) e (1 5 t) V, t 0 dt d) ve V 0, t 0. 1.2 1 0.8 V (Volt) 0.6 0.4 0.2 0-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 t (sn) Şekil 1.3: Voltaj dalga şekli 7
e) Hayır, voltaj; di dt ile doğru orantılıdır, i ile doğru orantılı değildir. di f) 0.2 inci sn de 0 dt dır ve polarite (işaret) değişir (Şekil 1.3 den görüldüğü gibi). g) Evet, t = 0 da. Voltaj, indüktör uçları arasında anlık değişim gösterebilir. (Akımda böyle bir değişim yok.) 8
1.1.1. İndüktör Üzerindeki Akım Hesabı Denklem (1.1) de indüktör üzerindeki gerilim, akımın bir fonksiyonu olarak ifade etmektedir. Aynı zamanda indüktör üzerindeki akım ise gerilimin bir fonksiyonu olarak Denklem (1.5) deki gibi ifade edilebilir. di Vdt L dt (1.2) dt Vdt Ldi (1.3) it () L di Vdt it ( ) t t (1.4) 0 0 1 it () Vdt it ( ) L 0 t t 0 (1.5) Not: Birçok pratik uygulamada 0 0 t dır. Başlangıç akımı i (0) dır. 9
Örnek 1.2: Şekil 1.4: Örnek 1.2 ye ait devre 0, t 0 Vt () 10t 20 te V, t 0 a) İndüktör üzerindeki gerilimin zamana göre değişimini çiziniz. b) İndüktör üzerinden geçen akımı bulunuz. c) İndüktör üzerinden geçen akımın zamana göre değişimini çiziniz. 10
Cevap: a) b) 0 Şekil 1.5: İndüktör üzerindeki gerilimin zamana göre değişimi t da it () 0 t 0 için ise; dır. 11
1 i e d 0.1 t 10 20 0 0 10t 10t 2(1 10 te e ) A, t 0 10 e 200 (10 1) 100 t 0 c) Şekil 1.6: İndüktör üzerinden geçen akımın zamana göre değişimi t, it () 2. 12
1.1.2. İndüktör üzerindeki Güç ve Enerji Güç, harcanan enerjinin zamana oranı olarak tanımlanır ve Denklem (1.6) kullanılarak hesaplanır. P iv (1.6) burada P gücü temsil etmektedir. İndüktör üzerindeki güç ise Denklem (1.1) kullanılarak aşağıdaki gibi elde edilir. dw di P Li dt dt (1.7) Ayrıca indüktör üzerindeki güç, Denklem (1.5) kullanılarak aşağıdaki gibi ifade edilebilir. 13
1 P v Vd i t L 0 t ( 0) t (1.8) Enerji ise iş yapabilme yeteneği olarak tanımlanır. Enerji ifadesinin elde edilebilmesi için Denklem (1.7) nin her iki tarafı zamanın türevi ile çarpılarak aşağıdaki ifade elde edilir. dw w Lidi (1.9) dw L idi 0 0 i (1.10) Böylece enerji: w 1 2 2 Li (1.11) 14
1.2. Kapasitör i dv C (1.12) dt C: Farad V: Volt t: saniye Denklem (1.12), kapasitör üzerindeki akım ve gerilim arasındaki ilişkiyi ifade etmektedir. Kapasitör üzerine DC gerilim uygulanırsa, üzerinden akım akamayacağı için açık devre özelliği gösterecektir. 15
Kapasitör üzerindeki gerilim, akımın bir fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi hesaplanır. dv idt C dt (1.13) dt vt () 1 t dv idt (1.14) vt ( 0) C t0 1 Vt () idt Vt ( ) C 0 t t 0 (1.15) Pratikte genelde t 0 0 dır. 1 t V() t idtv(0) (1.16) C 0 16
1.2.1. Kapasitör üzerindeki Güç ve Enerji Güç: dv P iv CV (1.17) dt 1 P i id V t C 0 Enerji: dw w t ( 0) t (1.18) CVdV (1.19) 0 0 V dw C VdV (1.20) w 1 2 2 CV (1.21) 17
Örnek 1.3: Şekil 1.7: Örnek 1.3 e ait devre 0, t 0 Vt () 4, t 0t1 ( t1) 4 e,1 t a) Kapasitöre ait akım, güç ve enerji ifadelerini bulunuz. 18
b) Elde ettiğiniz voltaj, akım, güç ve enerji ifadelerinin zamana göre değişimini çiziniz. c) Kapasitörde enerjinin depolandığı zaman aralığını belirleyiniz. d) Kapasitörden enerjinin bırakıldığı (boşalma) zaman aralığını belirleyiniz. e) 1 Pdt ve Pdt 0 1 Cevap: a) i dv C dt integrallerini yorumlayınız. i x t 6 (0.5 10 )(0) 0, 0 i x A t 6 (0.5 10 )(4) 2, 0 1 19
6 ( 1) ( 1) (0.5 10 )(4 t t i x e ) 2 e A, 1 t P 0, t 0 P (4 t)(2) 8 tw, 0 t 1 ( t1) ( t1) 2( t1) P (4 e )( 2 e ) 8 e W, 1 t W 0, t 0 1 (0.5)16 2 4 2, 0 1 W t t J t 2 1 (0.5)16 2( t1) 4 2( t1), 1 W e e J t 2 20
b) Şekil 1.8: Kapasitör üzerinden geçen akımın zamana göre değişimi Şekil 1.9: Gücün zamana göre değişimi 21
Şekil 1.10: Kapasitör üzerindeki gerilimin zamana göre değişimi Şekil 1.11: Enerjinin zamana göre değişimi 22
c) Enerji, gücün pozitif olduğu durumda depolanır ve bu aralık 0 ile 1 sn dir. d) Enerji gücün negatif olduğu durumda bırakılır ve bu aralık 1 t dur. e) 1 1 1 2 8 4 4 0 0 0 Pdt tdt t J (depolanan enerji) 1 1 2( t1) 2( t1) e 8 ( 8) 4 Pdt e dt J 2 (salınan enerji) 1 23
Konunun Özeti: Depolanan enerji = Salınan enerji İndüktans ve kapasitans lineer devre elemanıdır. İndüktör ve kapasitörde anlık güç; enerjinin depolanıyor ve salınıyor olma durumuna göre, pozitif ve negatif olabilir. İndüktörler, uç akımlarında anlık değişime izin vermezler. Kapasitörler, uç gerilimlerde anlık değişime izin vermezler. İndüktör uçlarına sabit akım uygulandığında kısa devre özelliği gösterir. Kapasitör uçlarına sabit gerilim uygulandığında açık devre özelliği gösterirler. 24
Kaynak J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall. 25