RİSK ALTINDA KARAR VERMEK PROF. DR. İRAHİM ÇİL 1
u bölümde; Risk Altında Karar Verme konusu açıklanacaktır. Önce Risk altında karar verme problemleri için gözönüne alınan kriterleri tanıyacağız. Daha sonra karar ağaçlarının karar vermede nasıl kullanılacağı açıklanacaktır.
RİSK ALTINDA KARAR VERME En temelde olasılık rassal olayları ve rassal deneyleri kendisine konu alır. Kesinlikten uzaklığın ve riskin ölçümünde ortak bir dil oluşturur. Risk: Her bir durumunun ortaya çıkma olasılığıdır. Risk belirsizlik ile belirlilik uç noktaları arasında yer alır. Risk : ir doğa durumunun olma olasılığının bilinebildiği veya hesaplanabildiği karar ortamıdır. Risk : elirsizliği, şüpheyi, kayıp olasılığını ve zarar ihtimalini ifade eder Her karar alternatifinin getirileri istikrarlı (stable) ve bilinmektedir Hangisinin olacağı bilinmeyen birçok doğa durumu vardır. u durumda Karar verici herbir doğa durumu için yaklaşık bir olma olasılığı atayabilir Herhangi bir doğa durumu için atanan olasılık ya geçmişte karşılasılan durumların sıklığına göre belirlenir veya da subjektif olarak atanır.
Risk ve elirsizlik Kavramları irden fazla seçenek arasında tercih yapma olan karar verme, geleceğe yönelik bir eylemdir. Geleceğin bugünden kesin olarak öngörülemiyor olması ise risk ve belirsizlik kavramlarını ortaya çıkarır. Risk ve belirsizlik kavramları içerdikleri anlamın nitelikleri açısından farklılık gösterir. Risk sözcüğü olumsuz bir anlam taşırken, riski de kapsayan belirsizlik olumlu ya da olumsuz bir anlam içermez. elirsizlik, gelecekte karşılaşılabilecek koşullar ve durumlar tanımlanabildiği ve olasılıkları hesaplanabildiği ölçüde riske dönüşmektedir. risk, ölçülebilir bir belirsizliği ifade eder
Risk Altında Karar Verme Risk altında sınıflanan bir karar problemi için seçenekler bellidir. Ancak seçeneklerin sonuçları hakkında olasılıklar söz konusudur. Her alternatif için ortaya çıkan ödemeler genellikle belli olasılık dağılımları ile ifade edilir. Risk altında karar vermede genellikle, beklenen karı maksimize etme veya beklenen kaybı minimize etme temel alınarak, alternatiflerin karşılaştırılmasında, beklenen değer kriter yaygın olarak kullanılır. Risk altında karar verme problemlerinde kullanılan temel kriterler aşağıda listelenmektedir. eklenen Değer kriteri eklenen Fırsat Kaybı Kriteri ilinen Hırs Seviyesi Kriteri En Olası Olay Kriteri Tam ilginin eklenen Değeri
eklenen Değer Kriteri eklenen değer kriteri, beklenen karın maksimize edilmesini veya beklenen maliyetin minimize edilmesini bulmaya çalışır. Her alternatiften doğacak kar yada maliyet belirli olasılıklarla ele alınır. Olayların gerçekleşme olasılıkları P(q j ) iken j.inci olay için i.inci alternatifin çıktı değeri D ij ise i.inci seçeneğin beklenen değeri aşağıdaki şekilde formüle edilebilir; D( a i ) P( q ) D j j ij u kriter ya gerçek para cinsinden yada onun kullanılırlığı cinsinden ifade edilebilir. OLAYLAR eklenen SEÇENEKLER Yüksek Talep Düşük Talep değer Fazla mesai 200-180 10 Fason Üretim 100-20 40 Olasiliklar %50 %50
eklenen Fırsat Kaybı Kriteri Ödemeler matrisi yerine pişmanlık matrisi kullanılır. Olayların gerçekleşme olasılıkları P(q j ) iken j.inci olay için i.inci alternatifin fırsat kaybı r ij ise i.inci seçeneğin beklenen değeri aşağıdaki şekilde olur: FK ( ai ) rijp( q j ) j eklenen kar kriterinden farklı olarak beklenen fırsat kaybı en az olan seçenek seçilir. OLAYLAR eklenen SEÇENEKLER Yüksek Talep Düşük Talep Fırsat Kaybı Fazla mesai 0 160 80 Fason Üretim 100 0 50 Olasiliklar 50% 50%
En Olası Olay Kriteri Gerçekleşme olasılığı en büyük olan en olası olayla ilgilenilir. u olay için en büyük getiriyi veren seçenek seçilir. u kriter, rassal değişkenin meydana gelmenin en büyük olasılığına sahip bir tek değerle değiştirmek suretiyle probabilistik durumu deterministik bir duruma dönüştürmeye dayanır. q 1 q 2 q 3 P(q) 0.2 0.3 0.5 a 1 5 5 8 a 2 3 3 9
ilinen Hırs Seviyesi Kriteri u kriter Şiddetli İstek Düzeyi Kriteri olarak ta isimlendirilir. Gelirin veya kârın maksimizasyonu yada maliyetin minimizasyonu sonucu bir optimal sonuç vermez. Daha ziyade bu kriter hareket tarzlarının belirlenmesinin bir aracıdır.
Örnek ir bilgisayar firması, bir belediyenin ilan ettiği birbiriyle ilişkili iki ayrı ihale ile ilgili bir karar analizi yapmaktadır. elediyenin ilanındaki işlerden ilki (C 1 ) anlaşmaya göre, bir merkezi bilgi işlem birimin hem yazılım hem de donanımının seçilmesi ve kurulmasıdır. u ihale C 1 olarak adlandırılmaktadır. İkincisi de yazılımın ve donanımın seçilmesini ve kurulmasını da içine alan bir dağıtılmış network sisteminin geliştirilmesidir. u da C 2 olarak adlandırılmaktadır. Firma ya C 1 işini yada C 2 işini yahut da her iki C 1 ve C 2 ihalelerini birlikte yapmak için karar verme durumundadır. u nedenle 3 muhtemel durum söz konusudur. u üç durumun gerçekleşebilme olasılıkları sırayla 0,3; 0,2 ve 0,5 dir.
Örnek: Risk Altında Karar Verme ir bilgisayar firması, belediyenin açtığı bilgisayar ihalelerine girecek olsun. elediye, merkez ve çevre birimleri için ayrı ihaleler açmıştır: C1: Merkez bina bilgisayar donanım ve yazılım ihalesi. C2: Çevre birimleri bilgisayar donanım ve yazılım ihalesi. Firmanın ya C1 ihalesini, ya C2 ihalesini ya da hem C1 ve hem de C2 ihalesini kazanması olasıdır. Firma bu olası durumlara karşılık aşağıdaki beş stratejiyi geliştirmiştir: Donanım işini taşerona yaptır, yazılım işini kendin yap. Yazılım işini taşerona yaptır, donanım işini kendin yap. Hem donanım hem de yazılım işini kendin yap. Donanım ve yazılım işlerinde ortak bir firmayla teklif ver. Tüm donanım ve yazılım işlerini taşerona yaptır, yalnızca proje yöneticisi olarak çalış.
Örnek ( devam ) u durum karşısında firma yetkilileri, bu üç olası durumu göz önünde tutarak beş alternatif hareket tarzı belirler. Firma için ilk seçenek, donanım seçimi ve kurulması için başka bir firmayla alt sözleşme yapılması, fakat yazılım geliştirmeyi bizzat kendileri yapacak. İkincisi, yazılım geliştirme için alt sözleşme yapmak, fakat donanım seçimi ve kurulmasını kendileri üstlenecek. Üçüncüsü, hem donanım hem de yazılım işinin seçimi ve kurulmasının her ikisini de kendilerinin yapması. Dördüncüsü, hem donanım hem de yazılım projelerini bir başka firmayla ortaklık kurarak birlikte yapılması. eşinci alternatif, firma için sadece bir proje yöneticisi gibi hizmet etmek tüm yazılım ve donanım görevleri için alt sözleşme yapmaktır.
Örnek ( devam ) Tablo 1 Karar Değerlendirme Matrisi u bilgiler ışığında Tablo 1 de, karar değerlendirme matrisi hazırlanmıştır. OLASILIK 0.3 0.2 0.5 OLASI DURUMLAR C 1 C 2 C 1 + C 2 A 1 A 2 Alternatifler A 3 A 4 A 5 100.000-200.000 0 100.000-400.000 100.000 150.000 200.000 300.000 100.000 400.000 600.000 500.000 200.000 200.000 A 1 alternatifi seçildiğinde ve C 1 anlaşması gerçekleştiğinde, firmanın 100.000 TL lık bir kar beklediği gözlenmektedir. C 2 anlaşması sağlanırsa kar yine 100.000 TL olacaktır. una rağmen her iki C 1 ve C 2 anlaşması sağlanırsa kar 400.000 TL olarak beklenmektedir. Takip eden kısımlarda değişik karar kriterleri kullanılarak A 1 den A 4 e kadar ki alternatiflerin arasından seçimin nasıl yapıldığı açıklanacaktır.
Örnek ( devam ) Tablo 2 İndirgenmiş Karar Değerlendirme Matrisi OLASILIK ( 0.3 ) ( 0.2 ) ( 0.5 ) OLASI DURUMLAR C 1 C 2 C 1 + C 2 A 1 A 2 AlternatifA 3 A 4 100.000-200.000 0 100.000 100.000 150.000 200.000 300.000 400.000 600.000 500.000 200.000
Örnek ( devam ) eklenen Değer Kriterinin Örneğe Uygulanması eklenen değerin hesaplanması, olayın olasılıkları ile tüm gelirlerin çarpılıp toplanması gerekir. Firma için A 1 den A 4 e doğru alternatifler aşağıdaki beklenen karları vermektedir ; A 1 = 100(0.3)+100(0.2)+400(0.5)= 250 TL A 2 = -200(0.3)+150(0.2)+600(0.5)= 270 TL A 3 = 0(0.3)+200(0.2)+500(0.5)= 290 TL A 4 = 100(0.3)+300(0.2)+200(0.5)= 190 TL u analizden A 3 ün seçileceği çok açıktır.
Örnek ( devam ) Hırs Seviyesi Kriterinin örneğe uygulanması u kriterler altında, yönetim kar için bir minimum şiddetli istek düzeyi ve zarar için bir maksimum şiddeti istek düzeyi kurmak zorundadır. Farz edilsin ki kar düzeyi enaz 400.000 TL a ve zarar düzeyi l00.000 TL den fazla olmamaya ayarlanmış olsun. u şiddetli istek düzeyi seçenekleri altında, A 1, A 2 ve A 3 alternatifleri kar potansiyeli için yeterli hale getirilmiştir fakat A 2 alternatifi zarar testini kaybetmiştir ve elenmelidir. Her ikisi de şiddetli istek düzeyi kriterini yerine getirse bile, şimdi seçim A 1 ve A 3 arasında bir başka diğer kriterlerle yapılabilir. OLASILIK ( 0.3 ) ( 0.2 ) ( 0.5 ) OLASI DURUMLAR C 1 C 2 C 1 + C 2 A 1 A 2 AlternatifA 3 A 4 100.000-200.000 0 100.000 100.000 150.000 200.000 300.000 400.000 600.000 500.000 200.000
Örnek ( devam ) En Olası Olay Kriterinin Örneğe Uygulanması İnsanoğlundaki temel bir eğilim, ortaya çıkabilecek birkaç neticeden en mümkün olan üzerinde yoğunlaşmasıdır. Karar vermede bu yaklaşım ihmal edilen en olası durum haricindeki her şeyi akla getirir. u kriter az çok belirlilik altında karar vermeye yakın olduğu halde en muhtemel durum kısmen egemen olacak şekilde bir önemli olasılığa sahip olduğu zaman iyi sonuç verir. En muhtemel meydana gelecek durum kriteri altında, firma kendi seçim işlemini C 1 +C 2 (Her iki iş birlikte) olarak tayin edilen meydana gelecek durum ile birleşik karlar üzerinde dört alternatif arasında yapmaya yoğunlaştıracaktı. u geleceğin olasılığının 0.5 olarak ortaya çıkmasının nedenidir. u yaklaşımla A 2 alternatifi tercih edilmektedir. Şiddetli istek düzey kriterinin altında tanımlanmasıyla en muhtemel meydana gelecek durum kriteri A 1 ve A 2 arasında seçim için uygulanabilirdi.
Örnek ( devam ) Kararların Karşılaştırılması: Karar verme, karar verici tarafından kabul edilen karar kriterine bağılıdır. u nedenle seçilen her bir kriter altında şu alternatifler seçilmiştir: Şiddetli istek düzeyi kriteri için: A 1 veyaa 3 En muhtemel meydana gelecek durum kriteri için: A 2 eklenen değer kriteri için: A 3 Eğer son iki kriterin uygulanması şiddetli istek düzeyi kriteri altında A 1 veya A 3 ün çözümünde uygulanması geçerli olarak kabul edilirse, o zaman A 3 iki kere ve A 2 bir kere tercih edilir. undan, A 3 ün bu üç kriterden çıkan en iyi alternatif olduğunu kabul etmek uygun olabilir.
Karar Ağacı: Genel Form Karar probleminin grafik olarak gösterilmesi karar ağacı denilen bir şekil kullanılarak yapılır. u itibarla bir karar ağacı hiyerarşik olarak üç bölümden oluşur. Karar bölümü, şans bölümü ve sonuç değerler bölümüdür. u gösteriliş biçimi karar verme işini oldukça kolaylaştırmaktadır. Şekilde de görüleceği gibi karar ağacının iki tür düğüm noktası vardır. Kare ( ) bir karar noktasını, daire ise (O) bir şans olayını göstermektedir. : Karar Düğümü : Şans Düğümü : Sonuç a 1a2 a n q 1 q 2 qm. q 1 q 2. q m. q 1 q 2 q m. p(a 1, q 1 ) p(a 1, q 2 ) p(a 1, q m ) p(a 2, q 1 ) p(a 2, q 2 ) p(a 2, q m ) p(a n, q 1 ) p(a n, q 2 ) p(a n, q m )
Çok aşamalı karar verme Karar Ağacı: Olası sonuç ve alternatiflerin şematik gösterimidir. Sıralı bir şekilde karar vermeyi gerektiren durumlar için kullanışlıdır. Karar Ağaçları, karar vericiye sunulan seçenekler ile şansa bağlı seçimleri bir arada aşama sırasına göre görsel olarak ortaya koyan bir modelleme yöntemidir. Karar ağaçları, alternatifleri ve doğa durumlarını sıralı bir biçimde gösterir. Karar sorunları dinamik yapıdadır ir karar sorunu yeni bir karar sorunu doğurur ve aralarında ilişki vardır Yeni sorunun olası seçenek ve olayları önceki sorunda seçilen seçeneklere bağlı olabilir eklenen Değeri Şans durumu(0.3) Karar Düğümü Şans Düğümü Karar Seçeneği-1 Karar Seçeneği-2 Şans durumu-1 (0.40) Şans durumu(0.7) Şans durumu-2 (0.60)
Karar Ağacının Yapısı Karar Noktası Şans Olayı 1 2 2 getiri 1 getiri 2 getiri 3 getiri 4 getiri 5 Soldan sağa oluşturulur Sağdan sola değerlendirilir getiri 6
Karar ağacı Örnek 5s-5 video dükkanı Karar Noktası Şans Olayı 40 40 2 50 1 55 (10) 2 50 70
Karar ağacı Örnek 5s-5 video dükkanı Karar Noktası Şans Olayı 49 55 40 40 2 50 62 1 55 62 50 2 (10) 50 1. Her karar noktasında en iyi alternatifi belirle 2. Her bir alternatif için beklenen getiriyi bul; Küçük yer aç EMV = 40(0.4) + 55(0.6) = 49 üyük yer aç EMV = 50(0.4) + 70(0.6) = 62 eklenen getiriye göre büyük yer açmak daha iyi 70
Örnek ir markette ekmeğe olan günlük talepler ve olasılıkları aşağıdaki şekilde olmaktadır. ir ekmeğin satış fiyatı 105 lira, Ekmeklerin alış fiyatı 60 lira, o gün satılmayan ekmekler 55 liradan elden çıkarılmaktadır. una göre optimum stok seviyesini karar ağacıyla belirleyiniz. Önce karar düğümündeki alternatifler belirlenir. unlar sırasıyla 100 ekmek stoklama durumu, 120 ekmek stoklama durumu ve 130 ekmek stoklama durumu şeklindedir. Daha sonra 100 ekmek stoklandığında talep 100 ekmek olursa, talep 120 ekmek olursa yada 130 ekmek olursa şeklindeki olası durumlar şans düğümü olarak eklenir. u her üç seçenek için tekrarlanarak ağaç yapısı hazırlanır. Ağacın hazırlanışı soldan sağa doğru ilerlerken ağaç üzerindeki hesaplamalar sağdan sola doğru ilerleyerek yapılır Günlük talep 100 120 130 Olasılıklar 0,2 0,3 0,5 0,2 100 SATILMASI 100 4500 0,3 100 EKMEK ALINMASI 120 SATILMASI 0 4500 100 4500 0,5 130 SATILMASI 100 4500 0,2 100 SATILMASI 100 4400 0,3 120 EKMEK ALINMASI 120 SATILMASI 3 120 5400 0 5200 120 5400 0,5 130 SATILMASI 120 5400 0,2 100 SATILMASI 100 4350 0,3 130 EKMEK ALINMASI 120 SATILMASI 0 5400 120 5350 0,5 130 SATILMASI 130 5850 100 100 100 100 120 100 120 130
Hesaplamalar ve kararın verilmesi En sondan, şans düğümlerinden hesaplamaya başlanır. Önce her bir düğümün beklenen değerleri belirlenip düğüm üzerine yazılır. En üsteki düğümün beklenen değeri şu şekildedir; 100*45=4500 D=4500*0.2+4500*0.3+4500*0.5=4500 Diğer alternatifler içinde aynı hesaplamalar yapılır. 120 ekmek alınıp talebin 100 olması durumunda, (20 ekmek 5 kuruş zararla elden çıkarılmaktadır.) 45*100-20*5=4400 ve diğer durum içim 45*120=5400 0,2 0,3 0,5 D 4500 4500 4500 4500 4400 5400 5400 5200 4350 5350 5850 5400 Şans düğümleri karar çizgileriyle bağlantılı olduğu için bu düğümler üzerindeki en büyük beklenen değere sahip çizgi seçilerek diğer çizgiler kesilir. Yani bu değerler içerisinden e3n büyük değere sahip olan dal seçilmiş olur. Seçilen bu değer karar düğümünün üzerine yazılır. öylece optimum stok seviyesi 130 ekmek/gün olarak belirlenmiş olur.
ÖRNEK Televizyonda bir yarışma programına katıldığınızı ve başlangıçta hiçbir şey yapmadan 150 milyon TL alıp gitmekte veya yazı tura atmakta serbest olduğunuzu varsayalım. Tura gelirse 40 milyon TL teselli mükafatı alıp gideceksiniz yazı gelirse, dört zarftan birini seçmek veya üç perdeden biri açtırmak hakkını kazanacaksınız. Zarflarda sırasıyla 40, 40, 80 ve 999 milyon TL değerinde çekler bulunduğunu, perdelerin ikisinin arkasının boş olduğunu, üçüncüsünün arkasında ise 900 milyon TL değerinde bir otomobil bulunduğunu biliyorsunuz. u durumda karar ağacı modelini kullanarak vereceğiniz karar ne olur? u modeli kullanarak bulacağınız sonuca gerçekten uyar mısınız?
KARAR AĞACI 150 Teselli 40 A Tura 40 Yazı Tura Atma 170 Yazı 0.5 0.5 300 C Zarf Seçme 289 D 0.25 0.25 0.25 0.25 40 80 999 Perde açtırma 300 E 1/3 1/3 0 0 1/3 900
Tam ilginin eklenen Değeri (Expected value of perfect information). ir Peri Masalı Her şeyi bilen bir falcınızın olduğunu varsayın Falcının çadırına girdiğinizde, falcı size bir doğa durumunu söyleyecek ve o kesinlikle gerçekleşecektir. Ama su anda çadırın dışındasınız ve içeride size hangi durumu söyleyeceğini bilmiyorsunuz. Çadıra girmeden önce bu bilgi için ne kadar para ödemek istediğinizi belirlemeniz gerekiyor. u mükemmel bilginin beklenen değeridir Karar verici bir karar problemiyle karşılaştığında bir danışmana başvurup tam bilgiden oluşan bir yardım alırsa ve aldığı yardıma göre karar verirse problemi aslında risk altında karar verme sınıfından çıkıp belirlilik altında karar verme sınıfına girer. Fakat bu danışmanlık hizmeti için belirli miktarda bir ücret ödemesi gerekmektedir. u ücretin en çok ne kadar olacağı "tam bilginin beklenen değeri" (TD) yöntemi ile bulunabilir.
Tam ilginin eklenen Değeri (Expected value of perfect information) elirlilik altında beklenen getiri ile risk altında beklenen getiri arasındaki farktır. Tam ilginin eklenen Değeri = elirlilik altında eklenen getiri - Risk altında eklenen getiri Örneğin Tam bilgi ile beklenen değer: 50*0.5+0*0.5=25 Milyar TL Risk altında en büyük beklenen değer: 10 Milyar TL ise TD = 25 10 = 15 milyar TL Girişimci TD den yani 15 milyar TL dan daha yüksek ücretli bir danışmanlık hizmetine başvurmamalıdır.
Tam ilginin eklenen Değerinin Hesaplanması TD = Tam bilgi ile beklenen değer Risk altında en büyük beklenen değer (Exp. payoff with perfect information) (Exp. payoff without perfect information) TD n i 1 hi Pi urada; n=doğa durumunun sayısı h i =İ.ci doğa durumundaki en büyük ödeme P i =İ.ci doğa durumunun olasılığı
Örnek ir yatırımcı gelecekte ekonominin iyi yada kötü olacağı şeklinde iki durumu göz önünde bulundurarak bir yatırım kararı vermek istemektedir. Değerlendirme tablosu aşağıda görülmektedir. Karar Alternatifleri Ekonominin İyi olması durumu Ekonominin Kötü olması durumu Olasılk 0,6 0,4 Ev 50 30 İşyeri 100-40 Arsa 30 10
Tam ilginin eklenen Değeri (TD) Karar Alternatifleri Ekonominin İyi olması durumu Ekonominin Kötü olması durumu Olasılk 0,6 0,4 Ev 50 30 İşyeri 100-40 Arsa 30 10 h i 100 30 Tam bilgi ile beklenen değer = 100*0.6+30*0.4 = 72 Karar Alternatifleri Ekonominin İyi olması durumu Ekonominin Kötü olması durumu Olasılk 0,6 0,4 eklenen değer Ev 50 30 42 İşyeri 100-40 44 Arsa 30 10 22 Risk altında en büyük beklenen değer= 100*0.6-40*0.4 = 44 TD=Tam bilgi ile beklenen değer Risk altında en büyük beklenen değer TD=72 44 = 28
Tam ilginin eklenen Değeri (TD) OLAYLAR SEÇENEKLER Yüksek Talep Düşük Talep Olasılıklar %50 %50 D üyük fabrika kurma 200-180 10 Küçük fabrika kurma 100-20 40 Yatırım yapmama 0 0 0 Alternatifler OLAYLAR Yüksek Talep Düşük Talep D üyük fabrika kurma 200-180 10 Küçük fabrika kurma 100-20 40 Yatırım yapmama 0 0 0 Tam bilgi (h i ) 200 0 TD = 100-40 = 60 Danışmana en fazla 60 TL ödenmelidir. Tam bilgi ile beklenen değer (200)*0.5 + (0)(0.5) = 100 = 100,000
Risk Altında Karar Verme eklenen Parasal Değer Ölçütü (EMV): Her alternatif için beklenen getiriyi hesaplayıp, en iyi beklenen getiriye sahip alternatif seçilir. Örnek; Talebin 0.3 olasılıkla düşük, 0.50 olasılıkla averaj, ve 0.2 olasılıkla yüksek olacağını biliyor isek, hangi alternatifi seçmeli? Gelecekteki Muhtemel Talepler Alternatifler Düşük Averaj Yüksek Küçük tesis $ 10 $ 10 $ 10 Orta boy tesis 7 12 12 üyük tesis (4) 2 16 EVküçük = 0.3(10)+0.5(10)+0.2(10) = 10 EVorta = 0.3(7)+0.5(12)+0.2(12) = 10.5 EVbüyük = 0.3(-4)+0.5(2)+0.2(16) = 3 => 2. Alternatifi seç
Tam ilginin eklenen Değeri 0.3 olasılıkla düşük, 0.50 olasılıkla averaj, ve 0.2 olasılıkla yüksek Gelecekteki Muhtemel Talepler Alternatifler Düşük Averaj Yüksek Küçük tesis Orta boy tesis üyük tesis $ 10 7 (4) $ 10 12 2 $ 10 12 16 elirlilik altında beklenen getiri? =10(0.3) + 12(0.5) + 16(0.2) = 12.2 (Talebin nasıl olacağını biliyoruz (belirli)) Risk altında beklenen değere göre 2. alternatif seçilmişti. eklenen getiri = 10.5 ti. Tam bilginin beklenen değeri = 12.2 10.5 = 1.7 aşka bir yol; EVPI = minimum beklenen pişmanlık eklenen Pişm. Küçük = 0.3(0)+0.5(2)+0.2(6) = 2.2 eklenen Pişm. Orta = 0.3(3)+0.5(0)+0.2(4) = 1.7 => EVPI = 1.7 eklenen Pişm. üyük = 0.3(14)+0.5(10)+0.2(0) = 9.2 Tam bilgiden dolayı kazanç = minimum beklenen pişmanlık
Duyarlılık Analizi Getiriler ve olasılıklar birer tahmin ve hata içerebilirler. u verilerin bir veya birkaçındaki değişikliğe karşı seçilen alternatifin ne kadar hassas olduğunun belirlenmesinde karar verici açısından önemlidir. Duyarlılık Analizi: Her bir alternatifin en iyi olduğu olasılık aralığının belirlenmesini içerir
Duyarlılık Analizi; Örnek 5s-8 Getiri tablosu Doğa durumu Alternatifler #1 #2 A C 4 16 12 12 2 8 P(2); İkinci doğa durumun olasılığı P(1)= 1- P(2)
16 14 12 10 8 6 4 2 0 Duyarlılık Analizi; Örnek 5s-8 #1 Getiri #2 Getiri en iyi C C en iyi A en iyi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 P(2); İkinci doğa durumun olasılığı Duyarlılık Analizi: En iyi beklenen ödentiye sahip alternatif için olasılık aralığının belirlenmesi A 16 14 12 10 8 6 4 2 0
Karar Ağacı Yöntemiyle Proses Seçimi ir otomobil fabrikasına yedek parça sağlayan bir yan kuruluşun üretim müdürüne, Nisan 2013 de yeni model bir otomobilin bazı parçalarının üretilmesi konusunda bir teklif gelmiştir. Sipariş edilecek parça miktarı net olarak belli değildir. Ancak ya 20 birim ya da 40 birim olacaktır. Kesin rakam ise 7 ay sonra Kasım 2013 de belli olacaktır. Parçalar otomobil fabrikasına Ocak 2014 te teslim edilecektir. Parçaların birim fiyatı 10.000 TL dir. Üretim müdürü bu siparişi üretip üretmeyecekleri konusunda bu hafta içerisinde karar verme durumundadır. Üretim departmanı yetkilileri bu parçayı üretmek için iki metod belirlediler. unlar Proses-1 ve Proses-2 dir. 39
Proses-1 eğer başarılı olursa üretim daha ucuza gerçekleşecektir. Fakat başarısız olması da söz konusudur. Proses-2 de üretim daha pahalı olacak fakat kesinlikle başarılı olacaktır. Eğer Proses-1 kullanılırsa başarılı olup olmayacağı Temmuz 2013 te belli olacaktır. aşarısız olması durumunda hala Proses-2 yi kullanabilme imkanı vardır. Yada tekliften vazgeçilmektedir. u verilere göre hangi üretim prosesinin kullanılacağına karar vermek için problem Karar Ağacı ve eklenen Değer Metodu kullanılarak nasıl çözüldüğü ayrıntılı olarak aşağıda açıklanmaktadır. 40
Proses-1 in başarılı olma ihtimali 0.50 dir. Sipariş miktarının 40 birim olma olasılığı 0.40 dır. 20 birim olma olasılığı ise 0.60 dır. Maliyet verileri : Proses-1 için; Test etme maliyeti: 20.000, aşarılı olma durumunda irim üretim maliyeti: 4.000 TL. Proses-2 için; irim üretim maliyeti: 6.000 Kabuller: Eğer 20 birim üretilir de 40 birim talep olursa, geri kalan parçalar 9.000TL den dışarıdan alınacaktır. Eğer 40 birim üretilir de 20 birim talep olursa fazla olan parçalar 2.000TL den elden çıkarılacaktır. Karar ağacı Şekil de görüldüğü şekilde hazırlanmıştır. 41
A Proses-1 Proses-2 96 C 88 124 40 br D üretilmesi 20 br aşarılı(0,5) üretilmesi aşarısız (0,5) 40 br üretilmesi 20 br. Üretilmesi 68 E Proses-2 64 K 88 L 124 G 108 H İptal 44 40 br üretilmesi 68 F 20 br. Üretilmesi I 68 J Talebin 40 br olması(0,4) Talebin 20 br olması (0,6) Talebin 40 br olması(0,4) Talebin 20 br olması (0,6) Talebin 40 br olması(0,4) Talebin 20 br olması (0,6) Talebin 40 br olması(0,4) Talebin 20 br olması (0,6) 220 60 120 100-20 140-20 80 60 Talebin 40 br olması(0,4) 160 Talebin 20 br olması (0,6) Talebin 40 br olması(0,4) Talebin 20 br olması (0,6) 0 100 42 80
Hesaplamalar Daha sonra karar ağacındaki her bir düğüm için yapılan hesaplamalar aşağıda gösterilmektedir. 1-) Proses-1 başarılı ve 40 birim üretilip, 40 birim talebin olması durumunda net kâr; Satış geliri= 40*10.000 = 400.000 TL Maliyetler: Üretim maliyeti= 40*4.000 =160.000 Test maliyeti = 20.000 Toplam maliyet Net Kâr = 400.000-180.000 = 220.000 =180.000 TL 43
2-) Proses-1 başarılı 40 birim üretilip, 20 birim talep edilirse: Satış geliri = 20*10.000 = 200.000 Üretilen diğer 20 birimi 2000TL den elden çıkarmadan dolayı elde edilen gelir 20*2.000 = 40.000 TL. Toplam gelir = 240.000 Maliyetler: Üretim maliyeti= 40*4.000 =160.000 Test maliyeti = 20.000 Toplam maliyet =180.000 TL. Net Kâr = 240.000-180.000 = 60.000 TL. 44
3-) Proses-1 başarılı, 20 birim üretilip 40 birim talep olursa; Gelirler: 20*10.000 = 200.000 Diğer 20 birimi dışardan 9.000TL den alıyoruz. irim başına yalnızca 1.000TL kâr kalıyor (10.000-9.000 = 1.000) 1.000*20 = 20.000TL Toplam gelir = 200.000 + 20.000 = 220.000 Maliyetler: Üretim maliyeti= 20*4.000 = 80.000 Test maliyeti = 20.000 Toplam maliyet =100.000 TL Net Kâr = 220.000-100.000 = 120.000 TL. 4-) Proses-1 başarılı, 20 birim üretilip, 20 birim talep durumu: Gelir: 20*10.000 = 200.000 TL. Maliyetler: Üretim maliyeti= 20*4.000 = 80.000 Test maliyeti = 20.000 Toplam maliyet =100.000 TL Net Kâr = 200.000 100.000 = 100.000 TL. 45
5-) Proses-1 başarısız ve anlaşma iptal edilirse = -20.000 TL. 6-) Proses-1 başarısız ve Proses-2 uygulanırsa ve 40 birim üretilip 40 birim talep olması durumunda: Satış geliri: 40*10.000 = 400.000 Maliyetler: Üretim mal. =40*6.000 =240.000 Test mal. =20.000 Toplam maliyet =260.000 Net Kâr = 400.000 260.000 = 140.000TL 7-) Proses-1 başarısız ve Proses-2 uygulanması ve 40 birim üretilip 20 birim talep olması durumunda; Gelirler: 20*10.000 = 200.000 Diğer 20 birimi elden çıkan: 20*2.000 = 40.000 Toplam =240.000 Maliyetler: Üretim mal. 40*6.000 = 240.000 Test mal. = 20.000 Toplam maliyet = 260.000 Net Kâr = 240.000 260.000 = - 20.000 46
8-) Proses-1 aşarısız, Proses-2, 20 birim üretilip 40 birim talep varsa; Gelirler: 40*10.000 = 400.000 180.000 = 220.000 (20 birimi dışardan 9.000TL den aldığımızda 20*9.000 = 180.000 dir) Maliyetler: Üretim mal. 20*6.000 = 120.000 Test mal. = 20.000 Toplam maliyet =140.000 Net Kâr = 220.000 140.000 = 80.000 TL. 9-) Proses-1 aşarısız, Proses-2 ve 20 birim üretilip 20 birim talep durumunda; Gelirler20*10.000 = 200.000 Maliyetler: Üretim mal. 20*6.000 =120.000 Test mal. = 20.000 Toplam maliyet = 140.000 Net Kâr = 200.000 140.000 = 60.000 TL. 10-) Proses-2 uygulanması ve 40 birim üretilip 40 birim talep olması durumu: Gelirler 40*10.000 = 400.000 Maliyetler 40*6.000 = 240.000 47
11-) Proses-2 uygulanması ve 40 birim üretilip 20 birim talep olması durumu: Gelirler 20*10.000 = 200.000 2.000*20 = 40.000 Toplam = 240.000TL Maliyetler 40*6.000 = 240.000 Net Kâr = 240.000 240.000 = 0 TL 12-) Proses-2 uygulanması ve 20 birim üretilip 40 birim talep olması durumu: Gelirler40*10.000 = 400.000 180.000 = 220.000 (20 birimin dışardan alınması 9.000*20 = 180.000) Maliyet 20*6.000 = 120.000 Net Kâr = 220.000 120.000 = 100.000 TL 13-) Proses-2 uygulanması ve 20 birim üretilip 20 birim talep olması durumu: Gelirler20*10.000 =200.000 Maliyet 20*6.000 =120.000 Net Kâr = 20.000 120.000 = 80.000 TL 48
Düğümlerin eklenen Değerleri Proses-1 başarılı ve 40 birim üretilmesi durumu G için 220.000*0.4 + 60.000*0.6 = 124.000 TL Proses-1 başarılı ve 20 birim üretilmesi H için 120.000*0.4 + 100.000*0.6 = 108.000 TL Sonuç: 40 birim üretilmesi daha kârlıdır. I için; Proses-1 başarısız, Proses-2 kullanılmakta ve 40 birim üretilmesi durumu;.d. = 140.000*0.4 + (-20.000*0.6) = 44.000 TL. J için; 20 birim üretilmesi.d. = 80.000*0.4 + 60.000*0.6 = 68.000 TL. Sonuç: 20 birim üretilsin. Diğer eklenen Değerler Şekil Üzerinde görülmektedir. En son dallardaki değerlerde; Proses-1= 96.000 TL. Proses-2 ise 88.000 TL. değerlerine sahiptir. 49
Verilecek karar u iki sonucun karşılaştırılması sonunda Proses-1 in getirisi daha büyük olduğu için, Proses-1 seçilir. Diğer aşamadaki kararları da işin içine katacak olursak; Proses -1 başarılı olursa kapasite kararı olarak 40 birim seçilmelidir. Proses - 1 başarısız olması durumunda ise proses 2 seçilmeli ve kapasite olarak da 20 birim seçilmelidir. 50
Karar Vermede ayes Yaklaşımı (Yeni bilgi ışığında kararların düzeltilmesi) u kısımda; Karar Vermede ayes Yaklaşımının nasıl kullanılacağı üzerinde durulacak.
ayes Tarzı Karar Verme Klasik istatistik yöntemi 20.yüzyılın başlarında belirsizlik ve risk hesaplamalarında ve olayların karşılaştırılmasında kullanılmaya başlandı. 1810 da Gauss ve Legendre normal dağılımı keşfetti ve bu buluşla istatistik birçok avantaj kazandı. ayes de iki yada daha fazla olayın olası çıktılarını birleştiren bir metod ortaya koydu. 20. yy ın sonlarında pek çok araştırmacı ayes istatistiğinin gelişmesine katkıda bulundular. 1961 de karar teorisinde ayes metodunun yer aldığı çok önemli bir adım sayılabilecek Howard Raiffa ve Robert Schlaifer in Uygulamalı istatistiksel karar teorisi adlı kitabı yayınlandı. ayes istatistiği klasik istatistiğin yerini aldı. ayes metodunun çok sayıda uygulama alanı bulmaktadır.
Karar Analizi için Deneyim Risk altındaki kararlar için kriterlerin geliştirilmesinde olasılık dağılımlarının bilinmekte olduğu veya bulunabileceği kabul edilmiştir. u açıdan bu olasılıklara ilk veya başlangıç olasılıklar denir. azen incelenmekte olan sistemde bir deney yapmak mümkündür. Deneylerin sonuçlarına bağlı olarak, sistem hakkında yeni bilgilerin mevcudiyetini yansıtmak üzere ilk olasılıkları düzeltmek mümkün olabilir. u durumda yeni olasılıklara düzeltilmiş veya sonraki olasılıklar denebilir. ir sistemin değerini etkileyecek şans olaylarının öncül olasılık tahminlerini geliştirmek için birçok yol vardır. Önce analist klasik yolla verileri inceleyebilir. Örneğin deprem ile ilgili kayıtları inceleyerek yerleri hakkında öznel bir tahmin yapar veya yeni bir mamulün talep tahminini geliştirmek için pazar araştırması yapar. İkinci olarak daha karmaşık durumlarda analist büyük ölçekli, bir sistemin hareket tarzlarından bazılarını tahmin etmek için bir prototip yaratabilir. u türe örnek otobüs hatları için pilot planlar ve gösteri programları gösterilebilir. Son olarak bazı öyle durumlar vardır ki tetkik kabilinden analizler için kısmi bir sistem sağlamak imkânsızdır. Örneğin, 300 metrelik bir tünel bütün bir metro şebekesi için mümkün bir çalışmanın örneği olarak anlamsızdır. u tür durumlarda tahmin edilen talep ve günlük raporlar üzerinde çalışmak tavsiye edilir.
Karar Vermede ayes Yaklaşımı eklenen değer kriterinde olasılıklar genellikle geçmiş verilerden elde edilir. azı durumlarda, mevcut bilgiyi kullanarak bu olasılıkları değiştirebiliriz. öyle bir bilgilendirme genellikle örnekleme ve deney yoluyla elde edilir. Yeni bilgiler ışığında eski olasılıkların düzeltilesi ayes yaklaşımı olarak adlandırılır. ayes Teoremi Genelde bir analiz işlemine ön (prior) olasılıklarla başlanır. Sonra, bir örnekten, özel bir rapordan veya başka bilgi kaynaklarından ilgili olduğumuz konuda ek bilgiler elde ederiz. öylece elde edilen ek bilgilerle ön olasılıklar revize edilerek son (posterior) olasılıklara ulaşılır. ayes Teoremi Ön olasılıkların Revizyonunu sağlar. Ön Ek (yeni) ayes Son Olasılıklar ilgi Teoremi Uygulanması Olasılıklar
ayes Analizi: modelleme, arayüz, ve karar Sonuçların Modellenmesi Karar? Veri Yeni veriler gözlemle data X = x, p X ( q) İstatistiksel çıkarım ve tahmin p q ilim Olasılıklarla belirsizliği modelle ayes Theorem q x p xq p q q X q Değerler Faydalarına göre öncelikleri modelle Karar Analizi Gelecek kararlara geribildirim max a A irleştir Tavsiye u c a, q pq q x d q
Örnek ir işletme şehir merkezine yakın bir yerde yeni bir satış merkezi açmak amacıyla bir arsayı satın almayı planlamaktadır. urada böyle bir satış merkezini açabilmesi için bağlı bulunduğu belediyenin böyle bir iş yeri kurulması için ruhsat vermesi gerekmektedir. elediyenin kararı ya A1 = ruhsat verilsin, veya A2 = ruhsat verilmesin şeklinde olacaktır. Ön Olasılıklar: Subjektif değerlendirmeye göre (öngörülen olasılıklar): P(A1)=0.7, P(A2) =0.3 Yeni ilgi: elediyenin planlama dairesi 'ruhsat' verilmesine karşıdır. = 'Planlama Dairesinin Ruhsata Karşı Olması' olayını temsil etsin. olayının olduğunu biliyoruz. u yeni bilginin ilavesi ile ön olasılıkları revize ediniz. u durumda Planlama dairesinin geçmişte aldığı kararlara ilişkin koşullu olasılıklar aşağıda verilmiştir. P( A1) =0.2 P( A2) =0.9
Olasılık Ağacı Analizi olayının olduğu bilinmektedir. u durumda A i olayının olmasına ilişkin son olasılık ayes Teoremi kullanılarak hesaplanabilir. ayes teoreminin uygulanabilmesi için A i i=1,2,...,n olaylarının ayrık olması ve A i olaylarının bileşiminin de örnek Uzayı S 'ye eşit olması gerekir. Son Olasılıklar: =0.34 Sonuç: Eğer Planlama dairesinin {'ruhsat verilmesine karşı' =} olduğu biliniyorsa elediye meclisinden {'Ruhsat Verilsin'=A}şeklinde bir karar çıkması olasılığı başlangıçta öngörüldüğü gibi 0.7 değil 0.34'tür. u da İşletmenin daha sağlıklı karar almasını sağlayacak revize edilmiş bir olasılıktır.
Örnek: ir yatırımcı ekonomideki büyümenin olup olmamasına bağlı olarak, hangi yatırım kararını vermesi konusunda bir karar analizi yapmak istiyor. Ekonominin durumuna göre ödeme tablosu aşağıdaki şekildedir. a) eklenen değer kriterine göre hangi seçenek seçilmelidir? Olasılık 0,6 0,4 Ekonomide büyüme yok Ekonomide hızlı büyüme ono 250 50 Pay Senedi 100 550 Altın 70 70
Yatırımcı, bir ekonomistten danışmanlık hizmeti satın almak istiyor. Ekonomistin geçmiş performansı Aşağıdaki tablodaki gibidir (Örneğin geçmişte ekonomide büyüme yokken, Ekonomist büyüme olmayacağını 0,8 olarak tahmin etmiştir). b) u bilgiyi kullanan yatırımcı hangi seçeneği seçmelidir? Yatırımcı danışmana en fazla kadar ücret ödemelidir? Ekonominin gerçek durumu Ekonomistin tahminleri Ekonomide üyüme Yok Ekonomide Hızlı üyüme Ekonomistin üyüme yok Tahmini 0,8 0,4 Ekonomistin Hızlı üyüme Tahmini 0,2 0,6
eklenen değer kriterine göre hangi seçenek seçilmelidir? üyüme Yok 250 170 0,6 280 ono 0,4 üyüme Var 50 Pay senedi 280 üyüme Yok 0,6 0,4 100 Altın 70 üyüme Var 0,6 üyüme Yok 550 70 eklenen değer kriterine göre yatırımcı paysenedi seçeneğini seçmelidir. 0,4 üyüme Var 70
Ekonomiste başvurma 280 ono Pay senedi Altın 170 280 70 üyüme Yok 0,6 250 0,4 50 üyüme Var üyüme Yok 100 0,6 0,4 üyüme Var 550 0,6 üyüme Yok 70 0,4 üyüme Var 70 280,54 Ekonomiste başvur Ekonomistin büyüme yok 280,5 tahmini 0,64 212,5 ono Pay senedi Altın 200 212,5 70 üyüme Yok 250 0,75 0,25 50 üyüme Var üyüme Yok 100 0,75 üyüme 0,25 Var 550 üyüme Yok 0,75 70 Ekonomistin büyüme var tahmini 0,36 401,5 ono Pay senedi Altın 116 401,5 70 0,25 üyüme Var 70 üyüme Yok 0,33 250 0,67 50 üyüme Var üyüme Yok 100 0,33 0,67 üyüme Var 550 0,33 üyüme Yok 70 0,67 üyüme Var 70
İlk olasılıklar P(EY)=0.6 P(EV)=0.4 ayes formülü P(EY)* P(EYT/EY) 0.8*0.6 P(EY/EYT)= = =0.48/0.64=0.75 Şartlı Olasılıklar P(EYT/EY)=0.8 P(EVT/EY)=0.2 P(EYT/EV)=0.4 P(EVT/EV)=0.6 P(EY)* P(EYT/EY)+ P(EV)* P(EYT/EV) 0.8*0.6+ 0.4*0.4 P(EV)* P(EYT/EV) 0.4*0.4 P(EV/EYT)= = P(EY)* P(EYT/EY)+ P(EV)* P(EYT/EV) 0.8*0.6+ 0.4*0.4 =0.16/0.64=0.25
P(EY)* P(EVT/EY) 0.4*0.2 P(EY/EVT)= = P(EY)* P(EVT/EY)+ P(EV)* P(EVT/EV) 0.6*0.2+ 0.4*0.6 =0.12/0.36=0.33 P(EV)* P(EVT/EV) 0.6*0.4 P(EV/EVT)= = P(EY)* P(EVT/EY)+ P(EV)* P(EVT/EV) 0.6*0.2+ 0.4*0.6 =0.24/0.36=0.67 Örneklem bilgisinin değeri=bilgi kullanılarak elde edilen beklenen değer - ilgi kullanılmadan elde edilen beklenilen değer =0,54 Ekonomiste en fazla bu kadar para ödenmelidir
ayes Teoreminin Çıkarılışı: Şartlı olasılık tanımından aşağıdaki durumları biliyoruz ve P( A/ )* P( ) P( A) P( / A)* P( A) P( A) urada öylece aşağıdaki genel ayes formülü elde edilir
Şartlı Olasılık ir olayın olasılığından söz edebilmek için bir alt kümeyle temsil edilen bu olayın içinde bulunduğu örnek uzayının belirtilmesi şarttır. Olayın hangi örnek uzayında bulunduğu tespit edilmedikçe bunun olasılığını sormak anlamsız olur. Söz konusu örnek uzay her zaman açık olarak anlaşılamaz. u sebeple, veri örnek uzay (S) içindeki bir olayın (A) ihtimali sorulduğunda P(A / S) yazılarak, veri örnek uzayı böylelikle belirlenmiş olur. urada P(A / S) sembolü S örnek uzayına göre A olayının şartlı olasılığını gösterir. Ancak, eğer örnek uzay (S) açıkça belli ise A olayının olasılığı P(A) şeklinde kısaltılmaktadır. Aslında tüm olasılıklar şartlı olasılık kapsamında ifade edilir.
S örnek uzayın A ve olaylarını göz önüne alalım. Eğer P(A)>0 ise, A olayının gerçekleşmesi şartıyla olayının gerçekleşme olasılığı, şeklinde yazılır. u olasılığa şartlı olasılık adı verilir. urada şartlı örnek uzayı (indirgenmiş olay) A dır. enzer şekilde olayı gerçekleşmek şartıyla A olayının gerçekleşme olasılığı da P()>0 olmak üzere: Şeklinde yazılır. ) ( ) ( ) / ( A P A P A P ) ( ) ( ) / ( P A P A P Şartlı Olasılık A A ) ( ) ( ) / ( P A P A P
ayes Teoremi İlk olasılıklara dayalı olarak, şartlı olasılıkları da kullanarak, başlangıç olasılıklarının düzeltilmesini esas alan bir mekanizmadır. P(E1), P(E2), P(E3,. P(En) ilk olasılıklar ise ve koşullu olasılıklar aşağıdaki gibi ise P(A/E1), P(A/E2), P(A/E3), P(A/En), urada P(A/E1), E1 bilindiğinde A nın olasılığını ifade eder. A E A E1 A E2 A En P(A)=P(A E1)+P(A E2)+P(A E3)+. P(A En) P(E1/A) P(A/E1) P( E1) P(A E1) P(A E2)... P(A En) urada A nın E1 den kaynaklanmış olma olasılığı nedir? u araştırılıyor.
ayes Teoremi: 1, 2, 3,.., k olayları birbirini karşılıklı engelleyen olaylar olmak üzere bu olaylar vasıtasıyla ulaşılan bir olay A olayı olsun. A olayı meydana geldiği takdirde bu durumun r olayından kaynaklanmış olma olasılığı ayes teoremi ile şöyle ifade edilir. (P(A)>0) Veya kısaca şöyle yazılır. ) / ( ). (... ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / ( 2 2 1 1 k k r r r A P P A P P A P P A P P A P k i i i r r r A P P A P P A P 1 ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) / (
Teorem: (Olasılıkların çarpımlarının toplamı) irbirlerini karşılıklı olarak engelleyen 1, 2,., n olaylarının birleşimi S örnek uzayını teşkil ediyorsa ve bu olaylardan biri mutlaka meydana geliyorsa bu durumda bu olaylar vasıtasıyla meydana gelen herhangi bir A olayının olasılığı şöyle yazılır. ) / ( ). ( ) ( ) / ( ). (... ) / ( ). ( ) / ( ). ( ) ( 1 2 2 1 1 i n i i n n A P P A P A P P A P P A P P A P