Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. De. Jounal of he Fauly of Engneeng and Aheue of Gaz Unvesy Cl 29, No 1, 121-129, 214 Vol 29, No 1, 121-129, 214 ZAMAN-UZAYDA SONLU FARKLAR YÖNTEMİN DEZAVANTAJLARI İÇİN GEOMETRİK OPTİK YÖNTEMLERİN KULLANIMI Mehme ÇİYDEM*, Sene KOÇ** *ENGİTEK Mühendslk Ld, 646 Balga, Ankaa, **ODTÜ Elek-Elekonk Müh., 653 Balga, Ankaa, mehme.ydem@engek.om., sko@meu.edu. (Gelş/Reeved: 27.5.213; Kabul/Aeped: 13.11.213) ÖZET Elekomanyeke Mawell denklemle, kısm dfeansyel denklemle (KDD) olup, çözümü çn uzay-zamanda nümek yönemle kullanılmakadı. En yaygın yönemleden b olan Zaman-Uzayda Sonlu Fakla (ZUSF) yönem Mawell KKD le ızgaada doğudan çöze. ZUSF de, elekomanyek alanlaı yeel mkada önekleyp, kalanmayı önlemek çn ızgaa aalıklaı (, y, z) seçl. Maksmum zaman aalığı () se nümek algomanın kaalılığını sağlayaak şeklde bellen. Nümek çözümlede, KDD len ayıklaşıılmasından dolayı, ZUSF yönem, ızgaada faklı hızlada ve yönbağımlı dalga yayılımına sebep olan nümek dağılmaya mauzdu. Nümek dağılma zamansal çözümde dd faz haalaı yaamakadı. Bu haala bkml amakadı. Ayıa ızgaadak bazı kple ışık hızının öesne geçmeked. Bu çalışmada, Mawell KDD len doğudan çözmek yene, Geomek Opk yönemle kullanaak, zamansal elekomanyek çn Işın Tabanlı Sonlu Fakla (ITSF) adlı b yönem önelmş. Elekomanyek alanlaın kends ve adışık zaman dfeansyellendek süekszlkle hpeuzayda sadee dalgaephele üzende olu ve ışınla üzende aşıma denklemle adı velen ad dfeansyel denklemle (ADD) le aşınıla. Yönbağımsız oamda, elekomanyek enej dalgaephesne dk olan ışınla doğulusunda aka. ITSF, hesaplama ızgaası yaaılıken enejnn akış yönünü (ışınlaı) dkkae alı, ızgaadak nümek hesaplamala çn ADD olan aşıma denklemlen kullanı ve Taylo ses açılımdan yaalanaak zamansal elekomanyek alanı hesapla. Benzem sonuçlaı, ZUSF nn dezavanajlaını gdemek çn ITSF nn kullanılableeğn gösemeked. Anaha Kelmele: Elekomanyek, Mawell denklemle, nümek yönemle, nümek dağılma, geomek opk. USE OF GEOMETRICAL OPTIC METHODS FOR DISADVANTAGES OF FDTD METHOD ABSTRACT Numeal mehods n spae-me have long been used o solve Mawell s paal dffeenal equaons (PDEs) auaely. Fne Dffeene Tme Doman (FDTD), one of he mos wdely used mehod, solves Mawell s PDEs dely n ompuaonal gd. In FDTD, gd spangs (, y, z) ae seleed o popely sample feld quanes o avod alasng and mamum allowable me-sep () s deemned o ensue numeal sably of algohm. Due o dsezaon of PDEs, FDTD nheenly suffes fom numeal dspeson, whh esuls n numeal veloy eos and ansoopy n he gd. Ansoopy and dffeen veloes esul n numeal phase eos n he soluon and aumulaes whn he gd. Moeove, some modes n he gd popagae fase han lgh. In hs sudy, onay o FDTD, Geomeal Op mehods have been ulzed and a new ompuaonal mehod alled as Ray-Based Fne Dffeene (RBFD) mehod has been poposed fo ompuaonal eleomagnes. Dsonnues n he felds and he suessve me devaves an only es on he wavefons and popagae along he ays. They ae anspoed n ompuaonal doman by anspo equaons ha ae odnay dffeenal equaons (ODEs). In soop meda, enegy flows n ay deon, whh s pependula o he wavefons. RBFD manly ulzes deonal enegy flow popey fo gd geneaon and ODE naue of anspo equaons fo numeal ompuaons. Smulaon esuls show ha RBFD an be eploed o elmnae dsadvanges of FDTD. Keywods: Eleomagnes, Mawell s equaons, numeal mehods, numeal dspeson, geomeal op.
M. Çydem, S. Koç Zaman-Uzayda Sonlu Fakla Yönemn Dezavanajlaı İçn Geomek Opk Yönemlen Kullanımı 1. GİRİŞ (INTRODUCTION) Başlangıç değe (nal value) elekomanyek poblemlede, kısm dfeansyel denklemle (KDD) olan Mawell denklemle uzay-zaman bölgesnde sını koşullaı (bounday ondons) da sağlanaak çözülmeld. Kaynaksız, yönbağımsız (soop), homojen b oamda, Mawell dönel (ul) denklemle aşağıdak gbd [1]: H E E = -, H = (1) Bunlaı çözmek çn pek çok nümek yönem leaüde kullanılmakadı. En yaygın yönemleden b olan Zaman-Uzayda Sonlu Fakla (ZUSF) yönemnde, elekomanyek alanlaı EH, yeel mkada önekleyp, önekle aası kalanmayı (alasng) önlemek ve senen doğuluk, hassasye elde emek çn hesaplama bölgesndek ızgaa aalıklaı (, y, z) poblemdek en küçük göe seçl [2], öneğn dalgaboyuna mn y z /1 mn vb. Seçlebleek maksmum zaman aalığı () se nümek algomanın kaalılığını gaan emek çn, le, y, z aasındak lşky fade eden CFL koşuluna göe bellen [2]. ẑ yönünde yayılan, 1-boyulu, düzlemsel enne elekomanyek dalga E, Hy çn Mawell denklemle ve CFL koşulu şöyled: E 1 H y Hy 1 E, z z (2) z, CFL (3) z 1/ oamın faz hızı olup, boş uzay oamında, ışık hızı olmakadı, 1/. Nümek çözümlede KDD n hesaplama bölgesnde ayıklaşıılmasından (dsezaon) dolayı, ZUSF yönem abaı geeğ nümek dağılmaya (dspesyon) mauzdu [2]. Nümek dağılma, hesaplama bölgesnde, elekomanyek dalgayı oluşuan he b kpn (mod) faklı faz hızlaında yayılması ve bu hızlaın da yönbağımlı (ansoop) özellk gösemesd. ẑ yönünde yayılan, 1-boyulu, düzlemsel enne elekomanyek dalga E, Hy çn ZUSF yönemnden kaynaklı, geçek dalga sayısı veköü k= k z z den ˆ faklı olan nümek dalga sayısı veköü k * k *ˆ z z le (z, ) aasındak nümek dağılma lşks aşağıda velmş: 2 * kz z os 1 os 1 z (4) Hesaplama ızgaasında yönbağımlı faklı hızlada kplen yayılımı, zamansal çözümde dd faz haalaı yaaı ve bu haala ızgaa çnde bkml olaak amakadı. Hesaplama ızgaasında mesafe ka edldkçe dalga şeklnde dd bozulmala meydana gel ve sonuçla güvenlmez olu. Shnede n [3] çalışmasına göe de, ızgaadak bazı kple ışık hızından ble daha hızlı (supelumnal) gmeked. Faka bu kple, hesaplama bölgesnde yayıldıkça zayıfla ve ekle kaybolula. İdeal duumda üm kple boş uzay oamında ışık hızı () le haeke emeld. Faka ZUSF ızgaasında, çözünülüğe (1/ N ) bağlı olaak kplen ızgaadak nümek faz hızlaı faklılıkla gösemeked. Şekl 1; ızgaa çözünülüğüne baglı olaak nümek faz hızının ışık hızına oanını gösemeked. Izgaa çözünülüğü (1/ N ),,5 en büyük olduğunda, yüksek fekanslı kple çn elekomanyek alanla ızgaada seyek öneklendg anlamına gelmeked, ve bunla ışık hızının öesne geçmeked. Şekl 1. Faz Hızı Oanı (Phase Veloy Rao) 2. ZAMANSAL ELEKTROMANYETİK İÇİN GEOMETRİK OPTİK (GEOMETRIC OPTIC FOR TIME DOMAIN ELECTROMAGNETICS) ZUSF nn yukada bahsedlen dezavanajlaını gdemek çn Geomek Opk (GO) yönemle kullanılabl [4, 5]. Blndğ üzee GO nun emel aaçlaı dalgaephele (wavefons) ve ışınladı (ays). He çeş dalga olayını konu alan maemaksel fzk ve KDD eosnden blnmeked k elekomanyek alanlaın EH, kends ve adışık zaman dfeansyellendek süekszlkle hpeuzayda (, y, z, ) sadee (, yz, ) dalgaephele üzende olula ve şöyle anımlanıla [6,1,11]: 122 Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. De. Cl 29, No 1, 214
Zaman-Uzayda Sonlu Fakla Yönemn Dezavanajlaı İçn Geomek Opk Yönemlen Kullanımı M. Çydem, S. Koç v E( yz,,, ) Av ( yz,,, ), v v,1,2,.. v H( yz,,, ) Bv ( yz,,, ), v v,1, 2,.. (5) (9) se açılımdak lk em A, GO em olaak adlandıılı. Üs deeel dğe emle, GO em üsüne yapılan yleşmeled. Üs deeel dğe emlen fzksel anlamlaı ve elekomanyek poblemlen çözümündek ekle aaşıılmakadı. g() g( ) g( ) anlamındadı. Yönbağımsız oamda, elekomanyek enej E H dalgaephesne dk olan ışınla doğulusunda aka. Bu süekszlkle de dalgaephelene dk olan ışınla doğulusunda yayılıla ve hesaplama bölgesnde aşıma (anspo) denklemle adı velen ad dfeansyel denklemle (ADD) le aşınıla [6]. Dolayısıyla ışın çzgle aynı zamanda elekomanyek enejnn akış yönüdü. Öneğn elekk alan E süekszlkle, oamda ışınla doğulusunda aşağıdak ADD aşıma denklemle le aşınıla. Benze b denklem manyek alan H süekszlkle çn de vadı [6]. dav 2 2 Av n d n A A / v1 v1 (6) (6) da, n oamın kıılma ndeks, ışın doğulusunda b paamee olup yay uzunluğu (a lengh) s ve zaman le lşks aşağıdak gbd: 2 n, /n (7) ds d Süekszlkle ızgaada ışın doğulusunda hehang b konuma, y, z (6) ya göe aşındıkan sona, o konumdak zamansal oplam elekk alan E (, y, z, ) hesaplanabl. çn, y, z da elekk alan sıfıdı çünkü hehang b süekszlk henüz o konuma doğal olaak ulaşmamışı, anak sonasında süekszlk ışın çzgsnde o konuma ulaşı ve elekk alan oluşu. Işın çzgsndek o konumdan aynı zamanda b dalgaephes, y, zgeçmeked ve o konumun zaman efeansı le dalgaephes, y, z aasındak lşk şöyled:, y, z (8) Zamansal oplam elekk alanın hesaplanması Taylo ses açılımı le yapılı [6]. E(, y, z, ) (, y, z) v v(, y, z, )( ) (, y, z) A v! v (9) GO aaçlaı kullanaak, bu çalışmada önelen ITSF yönemnn ZUSF den emel faklaını şöyle özeleyeblz. ITSF ızgaa oluşuulmasında enejnn akış yönünü dkkae alı ve ızgaa, dalgaephele-ışınlala öüşeek şeklde nümek olaak yaaılı. ZUSF de se Kaezyen, slndk, küesel koodnalada ızgaa yaaılıken böyle b manık gözelmez, çözülen poblemn geomes, özellkle ve senen doğuluk ve kaalılık koşuluna göe ızgaa ve zaman aalıklaı (, y, z, ) bellen. Bu bağlamda pek çok ZUSF yönemle gelşlmş [2]. B dğe fak se, ITSF süekszlklen ızgaadak nümek hesaplamalaını ADD olan aşıma denklemle le yapıp, aşınan bu süekszlkle Taylo se açılımında kasayı olaak kullanaak zamansal oplam elekk alanı E (, y, z, ) hesapla. ZUSF se, Mawell dönel (ul) denklemlen Yee algomasına [7] göe uzayzamanda ayıklaşıılıp (dsezaon), günellenmesyle (updae) elekomanyek alanlaı EH, doğudan hesapla. Göüldüğü üzee ITSF de elekk alan E ek başına hesaplanablmeked faka ZUSF de elekk alan E y hesaplamak çn H, manyek alan H hesaplamak çn E değelene hyaç vadı, ek başlaına hesaplanamazla. ZUSF elekomanyek poblem KDD le üzenden çözeken, ITSF süekszlkle sayesnde ADD le üzenden çöze. ADD len doğuluğu, kaalılığı KDD lee göe daha kolay ve yd [1,11]. Yukada zah edlen GO pensple çeçevesnde, önelen yönemn ITSF olaak adlandıılması ve zamansal elekomanyek poblemlen çözümünde kullanılması beklenmeked. B sonak bölümde, önek poblemle üzende analk ve nümek çalışmala, benzemle yapılaak uygulama ve sonuçla göselmeked. 3. NÜMERİK ÇALIŞMALAR (NUMERICAL STUDIES) Elekomanyeğn emel olaylaı dalganın yayılımı (popagasyon), yansıması (efleon) ve kıılmasıdı (efaon). ITSF nn uygulaması ve ZUSF le pefomans kaşılaşıması 1-boyulu düzlemsel enne elekomanyek dalganın yayılımı, yansıması ve kıılımı poblemnde ele alınmışı. Yayılma öneğ boş uzay oamında,, yansıma ve kıılma önekle sını oluşuan k oamda (oam-1: boş uzay (, ), oam-2: delekk (,, 4)) nelenmş. 1-boyulu düzlemsel enne dalga çn Mawell denklemle (2) de velmş. Bu denklemle nümek olaak çözen ZUSF çok Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. De. Cl 29, No 1, 214 123
M. Çydem, S. Koç Zaman-Uzayda Sonlu Fakla Yönemn Dezavanajlaı İçn Geomek Opk Yönemlen Kullanımı olgunlaşmış, blnen b yönemd ve Yee algomasına dayanaak leaüde muhelf uygulamalaı ye almakadı [2]. Bu nedenle buada Yee algoması ve ZUSF nn fomulasyon ve uygulama deaylaına glmemş faka önek poblem çn emel ZUSF günelleme denklemle aşağıdak gbd. n1/ 2 n1/2 E ( j) E ( j) n n Hy( j1/2) Hy( j1/2) ( j) z n1 n Hy ( j1/2) Hy( j1/2) n1/2 n1/2 E ( j1) E ( j) z 3.1 Yayılım (Popagaon) (1) Belldğ üzee, ITSF yönem hesaplama ızgaasının dalgaephele-ışınlala öüşmes geekmeke ken ZUSF de böyle b geekllk yoku. Faka seçlen önek poblemde hesaplama ızgaası oldukça bas ve hem ITSF ızgaası hem de sanda Kaezyen ZUSF ızgaası aynıdı, öüşmeked. Dalgaephele z sab düzlem yüzeyled ve ışınla da bu yüzeylee dk doğusal düz çzgled. ITSF nn başlangıç dalgaephesnde z z b (ZUSF nn başlangıç yüzeynde) se kaynak (had soue) olaak dabe genşlğ T = 11-9 s, genlğ 1(V/m) olan kae dabe olaak veelm, g()=e(/t). Böylelkle başlangıç yüzeynde elekk alan E( zb, ) g( ) olaak anımlanmış olu. ITSF zamansal çözümü başlamak çn z z b da zamansal sonlu süekszlkle bellenmeld. A ( ) (, zb E zb g( ) ˆ g( ) ˆ = 1 ˆ, g( T ) ˆ g( T ) ˆ =-1 ˆ, T (11) Göülmeked k başlangıç yüzeynde A çn k ade zamanda sonlu süekszlkle vadı, b da dğe T de olmakadı. Dğe adışık dfeansyelledek üs deeel zamansal sonlu süekszlkle yoku, sıfıdı. Bunla A çn başlangıç değele olup (zaman fakıyla) he ks de aşıma denklemle le hesaplama ızgaasında aşını ve yayılıla. Bu öneke olduğu gb, yönbağımsız ve homojen boş uzay oamında aşıma denklem (6) A çn şöyle olu: (12) A süekszlklenn ışınla doğulusunda genlğ sab kalaak aşındıklaını gösemeked. Işınla üzende, ızgaada hehang b konumdak R z ˆ z, oplam elekk alanın zamansal fades se Taylo ses açılımı (9) kullanaak elde edl: z / E( z, ) A( z) z / (13) Buna göe, aşınan k ade sonlu süekszlğn ızgaada z j z de yaaığı ayı epkle zamana göe şöyle yazılabl: ˆ n jz/ A A ( jz)ˆ = 1 ˆ n jz/ ˆ n jz/ T A1 A1( jz)ˆ = 1 ˆ n j z/ T Toplam elekk alanın zamansal fades se bunlaın veköel oplamıdı. E( jz, n), ˆ n jz/ A ˆ ˆ ( jz) = 1, jz/ n jz/ T A ˆ ˆ ( jz) A1( jz), n jz/ T (14) (15) Bu defa ZUSF nn daha y pefomans göseeeğn bekledğmz düzgün, yumuşak (öneğn Gauss) b dabey gş kaynağı olaak veelm 2 2 ( ) /( ) ( E( zb, ) g( ) e ). Yeel fekans bleşenlen çeeek 2n dabe genşlğndek Gauss dabey nümek olaak ve 2n +1 ade uygun genlke adım (sep) fonksyonun bndmes (supepozsyon) le üeeblz [8]. Bu şeklde üemek, başlangıç yüzeynde aalıklala zamanda oluşan 2n +1 ade A sonlu süekszlklen kolaya hesaplanmasını da sağla. A( zb) E( zb, A ˆ ˆ 1g(), (16) A ˆ ˆ ˆ n gn ( ) g(( n1) ), n2n Bunlaın heps yne aynı aşıma denklemlene (6) abdle ve hesaplama ızgaasında, ışın doğulusunda sab genlklen muhafaza edeek aşınıla. Hebnn z j z de yaaığı ayı epkle zamana göe yazılabl: da() s da() z ds dz (12) 124 Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. De. Cl 29, No 1, 214
Zaman-Uzayda Sonlu Fakla Yönemn Dezavanajlaı İçn Geomek Opk Yönemlen Kullanımı M. Çydem, S. Koç A A ( jz)ˆ = ˆ n jz/ g() ˆ n jz/ A A ( jz)ˆ = 1 1 ˆ nt jz/ g(1) ˆ g() ˆ nt jz/ A A ( jz)ˆ = 2 2 ˆ n2 T jz/ g(2) ˆ g(1) ˆ n2 T jz/ A A ( jz)ˆ = 2n 2n ˆ n2 nt jz/ g(2n ˆ ˆ ) g(2n 1) n2 nt jz/ (17) hesaplanı ve yansıyan süekszlkle A bu kez oam-1 de es yönde, yansıyan ışınla üzende aşıma denklemle le aşını. Oam-1 de gelen A ve yansıyan A süekszlkle zaman fakıyla ve blke bulunmakadıla. He bne a gelen, yansıyan dalgaephele ve bunlaa a zaman efeanslaı ( /, / ) vadı. Toplam elekk alanın zamansal fades se, lgl süekszlkle ve zaman efeanslaını kullanıp, gelen E ve yansıyan E elekk alanla çn Taylo se açılımlaının oplamlaıyla bulunu. Oam-1 de gelen-yansıyan dalgaephele/ışınla ızgaada öüşüğü çn oplam elekk alan zamansal fades oam-1 de ışınla üzende hehang b konumda R z zˆ şöyle olu: Toplam elekk alanın zamansal fades se bunlaın veköel oplamıdı (9). E( jz, n), ˆ n jz / A ˆ ( jz), jz/ n jz/ T (18) A ˆ ˆ ( jz) A1( jz), jz/ Tn jz/ 2T 3.2 Yansıma ve Kıılma (Refleon and Refaon) ITSF nn emeln A süekszlkle oluşumakadı. A süekszlkle çn yansıma-kıılma Snell yasalaı ve Fesnel fomülle doğudan uygulanablmeked [6]. Üs deeel dğe süekszlkle çn b çalışma [6] da yapılmışı ve uygulaması aaşıılmakadı. Gelen (nden) A süekszlkleden haekele, yansıma ( ) ve kıılma (lem, ansmsyon, ) kasayılaını kullanaak oamlaı ayıan aayüzde (nefae) yansıyan A ve kıılan A süekszlkle şöyle hesaplanı: A A, ( Z Z )/( Z Z ) E / E A 2Z / ( Z Z ) E / E 2 1 2 1 A, 2 2 1 (19) Bu hesaplamalaı yapmak çn önelkle A A süekszlkle bellenmeld, bunla kae dabe ve Gauss dabe çn yukada yayılma öneğnde anımlanıp, bulunan veköled. A süekszlklen Oam-1 de gelen ışınla üzende aşıma denklemle le aşıyıp, aayüzde (nefae) Snell yansıma yasasına göe yansıyan süekszlkle A A E1 (,) z z/ E = A ( z) z/ E+E =A( z) A( z) (2) Oam-2 de sadee kıılan dalgaephele ve bunlaa a zaman efeanslaı / vadı. Aayüze aşınıp gelen A süekszlkle, aayüzde Snell kıılma yasasını uygulayaak, kıılan süekszlkle A hesaplanı ve A süekszlkle oam-2 de ışınla üzende aşıma denklemlene göe aşını. Buna göe oam-2 de ışınla üzende hehang b konumda R z zˆ kıılan E ve oplam elekk alanın E2 zamansal fades Taylo ses açılımını kullanaak bulunu. E2 (,) z E = A ( z) 4. SONUÇLAR (RESULTS) 4.1 Yayılım (Popagaon) (21) 45 lk b gözlem süesnn sonunda boş uzayda, analk ve ZUSF sonuçla Şekl 2-3 e, analk ve ITSF benzem sonuçlaı da Şeklle- 4-5 de göselmeked. ZUSF çn CFL =,5 alınmışı. Leaüde çok y blnmeked k ZUSF sadee 1-boyulu dalgalada CFL = 1 koşulunda ( z/ ) analk çözüm le beb aynı çözümü vemeked. Bu nedenle CFL = 1 koşuluna göe seçlen zaman aalığı büyülü zaman aalığı (mag me-sep) olaak adlandıılmakadı. Bu koşul handek üm duumlada ZUSF değşen mkalada nümek haalaa ve dağılma haalaına mauzdu. Önek poblemde dkka edlmeld k Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. De. Cl 29, No 1, 214 125
M. Çydem, S. Koç Zaman-Uzayda Sonlu Fakla Yönemn Dezavanajlaı İçn Geomek Opk Yönemlen Kullanımı Şekl 2. Yayılan kae dabe (Popagang eangula pulse) Şekl 3. Yayılan Gauss dabe (Popagang Gaussan pulse) Şekl 4. Yayılan kae dabe (Popagang eangula pulse) hesaplama ızgaalaı ZUSF ve ITSF çn aynıdı, oakı ve elekomanyek enej ızgaada zaen ẑ yönünde akmakadı. Izgaa le öüşmeyen, yönbağımlı, faklı yönde b enej akışı olsaydı (2/3- boyulu poblemlede olduğu gb) ZUSF nn sonuçlaı daha köü oludu [2]. Yne Şekl 2 açıkça Şekl 5. Yayılan Gauss dabe (Popagang Gaussan pulse) gösemeked k ZUSF kesn, süekszlk olan dalga şekllen sadakale akp edememeked ve daha yumuşak, düzgün dalga şeklle semeked. Bununla beabe ITSF yönem bu önek çn he duumda analk çözüm le aynı sonuu vemeked (Şekl 4). ZUSF de göülen bozulmala, haala ITSF de göülmemeked. 126 Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. De. Cl 29, No 1, 214
Zaman-Uzayda Sonlu Fakla Yönemn Dezavanajlaı İçn Geomek Opk Yönemlen Kullanımı M. Çydem, S. Koç Şekl 3 gösemeked k ZUSF Gauss dabes çn hala nümek dağılma (dspesyon) yaamakadı. Faka dalga şeklnde bozulma ve haa kae dabedek kada dd değld. Dağılmadan kaynaklı faz haalaı bkml olaak aığı çn, hesaplama ızgaasında uzun mesafe ka edldkçe dalga şeklndek bozulma da daha fazla olaakı. ITSF açısından Şekl 4-5 blke değelen-dldğnde (z = mn /5), göülmeked k sonlu süekszlkle önekle çn doğu aşınmış ve oplam elekk alanın zamansal fades de doğu olaak hesaplanmışı, analk çözüm le öüşmeked. Nümek dağılma yoku. ZUSF de olduğu gb ışık hızı üzende (supelumnal) yayılan hehang b kp yoku. ITSF nn bu pefomansı uzamsal (spaal) çözünülük z, zaman aalığı seçmnden ve hesaplama ızgaasında ne kada mesafe ka edldğnden bağımsızdı. 4.2 Yansıma ve Kıılma (Refleon and Refaon) Bu öneke oam-1 boş uzay, ve oam-2,, 4 alınmış ve oam-2 delekk z zd 5 z de başlamakadı. ZUSF benzemle çn oam-1 e göe CFL = 1 seçlmş. Bu CFL sayısı oam-2 de CFL =,5 e kaşılık gelmeked çünkü faz hızı oam-2 de yaıya düşmüşü. Gözlem sües 9 alınmışı. Şekl 6-7-8-9 da ZUSF ve ITSF yönemleyle (z = mn /5), yayılma öneğnde olduğu gb kae dabe ve Gauss dabe çn yansıyan ve kıılan elekk alanla velmeked. ZUSF çn oam-1 de CFL = 1 seçlmesne ağmen, yansımadan dolayı yansıyan dalga şeklnde hala bozulmala vadı. Oam-1 e göe seçlen CFL = 1, faz hızının yaıya düşmesnden dolayı oam-2 de CFL =,5 e kaşılık gelmeked Şekl 6. Yansıyan ve kıılan kae dabe (Refleed and efaed eangula pulse) Şekl 7. Yansıyan ve kıılan Gauss dabe (Refleed and efaed Gaussan pulse) Şekl 8. Yansıyan ve kıılan kae dabe (Refleed and efaed eangula pulse) Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. De. Cl 29, No 1, 214 127
M. Çydem, S. Koç Zaman-Uzayda Sonlu Fakla Yönemn Dezavanajlaı İçn Geomek Opk Yönemlen Kullanımı Şekl 9. Yansıyan ve kıılan Gauss dabe (Refleed and efaed Gaussan pulse) ve bunun doğal sonuu olaak dalga şeklnde daha fazla bozulma olması beklenmeked. Dalga şekl oam-2 de, z-eksennde oam-1 de kapladığı mesafenn yaısını kaplamakadı ve daalmış gb gözükmeked. Bu, oam-1 de CFL = 1, oam-2 de CFL =,5 olmasındandı. ITSF de se dalga şekl bozulması, ışık hızının üzende kple olması vb. kusula gözükmemeked. Analk çözümle le beb uyum gösemeked. 5. SONUÇ VE TARTIŞMA (CONCLUSION AND DISCUSSION) ZUSF nn nümek dağılma, ızgaada yönbağımlı faklı hızlada yayılım ve ışık hızı öesnde kple olması dezavanajlaını gdemek çn GO yönemlen ve özel hesaplama eknklen kullanaak ITSF yönem önelmş. Elekomanyeğn yayılma, yansıma, kıılma olaylaında 1- boyulu düzemsel enne dalga çn önek olayla nelenmş ve benzemle yapılmışı. Öneklen bas seçlmesne ve ZUSF le ITSF ızgaasının öüşmesne ağmen, k bunla ZUSF nn lehne olan hususladı, ITSF nn ZUSF den daha y pefomans gösedğ ve dezavanajlaı yok eğ göülmüşü. ITSF nn ZUSF den daha y sonuçla vedğ ve ZUSF nn dezavanajlaını gdemek çn kullanılableeğ anlaşılmışı. 2/3-boyulu poblemlede, homojen olmayan ve yönbağımlı (ansoop) oamlada ZUSF daha köü pefomans göse. Bununla beabe ITSF nn de, sonuçlaı y olsa ble uygulamasının daha zo olaağı beklenmeked. ITSF he poblem çn enejnn akış yönünü dkkae alan dalgaephele/ışınlala öüşen ızgaa yaaılmasını geekl kılmakadı. Bu ızgaa ne kada doğu yaaılısa ITSF sonuçlaının doğuluğu da yüksek olaakı. Faka özellkle homojen olmayan oamlada böyle b ızgaa oluşuulması zolaşaakı. Olayın çne gelen, yansıyan ve kıılan dalgaephele/ışınla da gne kamaşıklık aaakı. Yönbağımlı oamlada se enejnn akış yönü E H, ışınla doğulusunda olmayaakı. Bu da ITSF nn emel unsulaından bnn oadan kalkması demek. Bu nedenle yönbağımlı oamlada dalgaephele/ışınlala öüşen ızgaa nın şe yaayıp yaamayaağı, nasıl b ızgaa yaaılması geekğ, süekszlklen nasıl aşınaağı hususlaı sou şaeled. Bu çalışmada elekomanyeğn emel olaylaından b olan kıınım (dfaksyon) ele alınmamışı. ITSF de oplam elekk alanı zamansal olaak Taylo ses açılımı le oluşuuken, bu sede lk GO emden sonak üs deeeğ dğe emlen, GO çözüme yapılan yleşmele olduğunu fade emşk. Buadan haekele, üs deeel dğe süekszlklen ve sedek üs deeel dğe emlen kıınım olayında ekl olaağı değelendlmeked. Yukada zah edlen üm hususla aaşıma konusu olup, bunlaa yönelk gelşlen çözümle ve uygulamala geleekek makalelede ele alınaakı. 6. SEMBOLLER VE KISALTMALAR (SYMBOLS AND ABBREVIATIONS) ADD: Ad Dfeansyel Denklem CFL: Couan Fedhs Levy GO: Geomek Opk ZUSF: Zaman Uzayda Sonlu Fakla ITSF: Işın Tabanlı Sonlu Fakla RBFD: Ray Based Fne Dffeene KDD: Kısm Dfeansyel Denklem PDE: Paal Dffeenal Equaon R ˆ yyˆ zz: ˆ Konum veköü E E ˆ E yˆ E z ˆ : Elekk alan (V/m), y z H H ˆ ˆ ˆ HyyHzz: Manyek alan (A/m) k k ˆ k yˆ k z ˆ : Dalga sayısı veköü (ad/m) y z k k ˆ k yˆ k z ˆ Nümek dalga sayısı veköü * * * * y z (ad/m) : Işık hızı, 31-8 (m/s), : Faz hızı (m/s) : Boş uzay elekk geçgenlğ, delekk sab, (1/ 36 )1 9 (F/m) : Boş uzay manyek geçgenlğ, 2 f : Açısal hız (ad/s), : Dalgaboyu (m) : Yansıma kasayısı, : Kıılma kasayısı, 4 1 7 (H/m) 128 Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. De. Cl 29, No 1, 214
Zaman-Uzayda Sonlu Fakla Yönemn Dezavanajlaı İçn Geomek Opk Yönemlen Kullanımı M. Çydem, S. Koç n 1 : Kıılma ndeks Z / : dalga empedansı-1 (), Z : dalga empedansı-2 () 2 / KAYNAKLAR (REFERENCES) 1. Saon, J.A., Eleomagne Theoy, MGaw-Hll, NY, 1964. 2. Taflove, A. ve Hagness, S.C., Compuaonal Eleodynams The Fne Dffeene Tme Doman Mehod, Aeh House, MA, 25. 3. Shnede, J.B. ve Wagne, C.L., FDTD dspeson evsed: fase han lgh popagaon, IEEE Mowave and Guded Wave Lees, Cl 9, No 2, 54-56, 1999 4. Çydem, M., Ray Based Fne Dffeene Mehod Fo Tme Doman Eleo-magnes, Dokoa ez, ODTÜ, Ankaa, Tükye, 25. 5. Çydem, M. ve Koç, S., Elmnaon of FDTD numeal dspeson by usng geomeal op, IEEE APS/URSI Symp., Albequeque, USA, 3817-382, July, 26. 6. Klen, M. ve Kay, I.W., Eleomagne Theoy and Geomeal Ops, Inesene Publshe, NY, 1965. 7. Yee, K.S., Numeal soluon of nal bounday value poblems nvolvng Mawell s equaons n soop meda, IEEE Tans. AP, Cl 14, No 3, 32-37, 1966 8. Couan, R., Fedhs, K., ve Levy, H., On he paal dffeenal equaons of mahemaal physs, IBM Jounal, Cl 11, 215-237, 1967 9. Shn, C-S. ve Nevels, R., Opmzng he Gaussan eaon funon n fne dffeen me doman mehod, IEEE Tans. Eduaon, Cl 45, No 1, 54-56, 22 1. Sommefeld A., Paal Dffeenal Equaons n Physs, Aadem Pess, NY, 1949 11. Couan, R. ve Hlbe, D., Mehods of Mahemaal Physs, Inesene Publshe, NY, 1964. Gaz Ünv. Müh. Mm. Fak. De. Cl 29, No 1, 214 129