bir süzgç tasarım programı turhan çiftçi başı özay hüsyin söndürm işlvinin vriln koşullara uymasını sağlayan bir k(s) = karaktristik işlvin bulunmasını grktirmktdir. Kullanılan yaklaştırma işlvinin sçimind q(s) çoktrimlisi tk yada çift çoktrimlisi olmalıdır. Daha sonra (s) (-s) = f(s) f(-s) + q(s) q(-s) (2) çoktrimlisinin köklrindn sol yarı düzlmdki köklr il sanal ksndki çift köklrdn biri alınarak f(s) Hurvitz çoktrimlisi oluşturulur. (s) v f(s) çoktrımlilrinin tk v çift kısımlarından yararlanarak Çizlg l'd vriln açık v kısa dvr mpdans işlvlri ld dilbilir [l]. q(s) cıft ikn q(s) tk ikn Xıo -f o+fo Xıo o-fo + f Kıs o- fo + f Kıs -f o + fo X20 +f X20 o+fo o+fo + f *2S o-fo -f *2S -f o-fo!'*? ÖZET Alçak gçirn yada bant gçirn süzgçlrin- tasarımı için hazırlanmış bir bilgisayar programı tanıtılmaktadır. Bu program araya girm kaybı yöntmi il hazırlanmış, sayısal güvnilirliği artırmak için z dönüşüm dğişkni kullanılmıştır. SUMMARY A computr program is introducd which has bn prpard for dsigning low-pass or band-pass filtrs. Th program has bn prpard using th insrtion loss mthod and th z transform variabl is usd to incras th numrical accuracy. UDK: 621.372.54-11 Çizlg 1. Böylc ld diln açık dvr yada kısa dvr raktans işlvlrinin söndürm kutuplarına sıfır kaydırma v kutup sökm yöntmi il grçklştirilmsi olanaklıdır. Çizlg 2'd hr adımda öğ dğrlrinin v bir sonraki raktans işlvinin nasıl ld dilcği öztlnmiştir. Aynı çizlgd tutarlı bir dvr düznimi ld tmk için dikkat dilmsi grkn mpdans özlliklri d göstrilmiştir [l]. UD db 0.3db 1. GÎRÎŞ Bu yazının amacı, gnl paramtrli bant gçirn v alçak gçirn süzgç tasarımı için hazırlanmış bilgisayar programını tanıtmak v kullanımı için grkli kuramsal bilgiyi öztlmktir. Araya girm kaybı yöntmi il tasarım, Şkil l'd vriln türd zayıflama tolrans sınırlarından başlamakta v A(s) = 10 logıo (D Turhan Çiftçibaşı, Hacttp Ünivrsitsi özay Hüsyin, Doç.Dr., ODTÜ A (db) ' 10 db / 20db 'iı/ı/if 1 fs l O.idb, r//////ıııı\ \ 1 1 : fs1 o : -* SI US db Şkil 1. Alçak gçirn v bant gçirn süzgçlr için tolrans ğrilrin örnklr. 227
BAŞLANGIÇ REAKTANS ÖZELLİĞİ SÖKÜLEN KUTUP HÜCRE YAPISI ÖSE DEĞERLERİ VE KALAN REAKTANS İŞLEVİ SONUÇ REAKTANS ÖZELLİĞİ o 1 ^ o Istım Sıfırda kısa dvr sonsuzda oçık dvr (Parall LC turu) Sıfırda acık dvr scnsuzdo acık dvr (Sri LC turu) Sıfırda açık dvr sonsuzda kısa dvr (C türü) Alt söndürm bandı kutbu r c "sx s! = --fii!.-_ SC 1 1 S/Lı islrr Sıfırda açık dvr sonsuzda kısa dvr ( C türü) S'.-Al' S/Cı S 1 * ili İşlm C1.İH 1 f '0 -fls.o 1 1 1 UT" ~x~tt Islm Sıfırda açjk dvr sonsuzda oçık dvr (Sri IX turu) Sıfırda kısa dvr sonsuzda açık dvr Sıfırda kısa dvr sonsuzda kısa dvr (Parotl LCturu) İL turu) Alt söndürm bandı kutbu Islm Sıfırda kısa dvr sonsuzda açık dvr L *İ- s'-»,' { L turu) 1 J_ S/Lı "ir 7 " x-' s'-.nı 1 f «O istm tki gibi Sıfırda açık dvr sonsuzda kısa dvr (C turu) Islm dki gibi Sıfırda kısa dvr sonsuzda açık dvr (L turu) Sıfırda kısa dvr sonsuzda kısa dvr (Parall LCtüru) f-ili Alt söndürm bandı kutbu işlm dki gibi Sıfırda kısa dvr sonsuzda kısa dvr ( Poroll LC turu) işlm dki gibi».0 işlm dki gibi Sıfırda kısa dvr sonsuzda açık dvr (Ltüru) Sıfırda oçık dvr Islm (6)dakı gibi Sıfırda açık dvr sonsuzdo kısa dvr (C turu) sonsuzda açık dvr (S«n LC türü) 1.SIİ Att söndürm bandı kutbu Islm dki gibi Sıfırda oak dvr sonsuzda acık dvr (Sri LC turu], işlm ( ) dki gibi çizlg 2. 228
2. SAYISAL KESİNLİĞİN KAYBI Yukarıda blirtiln yöntmlrl birçok bilgisayar programı hazırlanmıştır. Fakat bu yöntml dvr tasarımında, sayısal hsaplamalarda güvnilir vciklrin kaybolması oldukça hızlıdır. Sayısal ksinliğin kaybı özllikl iki noktada görülmktdir: a) 2'nci şitliktn hsaplanan (s) (-s) çoktrimlisinin katsayılarından sıfırlarının bulunması, bu sıfırların sol yarı düzlmd v sanal ksn üzrind olanları il Hurvitz çoktrimlisi (s)'in ld dilmsind: Bu çoktrimlinin sıfırları birbirin çok yakın olduğundan işlm sırasında güvnilir vciklrin büyük kısmı kaybolmaktadır. b) Çizlg 2'd vriln dvr öğlrinin grçklştirilmsi sırasında: Hr grçklştirm adımından sonra ld diln mpdans işlvinin pay v paydasından birr kutup sadlşmktdir. Hr adımda çoktrimlilrin sıfırlarından katsayılarını hsaplama, başka bir çoktrimli il toplayıp sonra tkrar köklrini bulma işlmi yinlnmkt; mpdans işlvlrinin sıfır v kutupları birbirin çok yakın olduğundan bu hsaplamalar sırasında güvnilir vciklr büyük ölçüd yok olmaktadır. Sayısal ksinliğin kaybolmasını önlmk için iki yol kul1anılagimiştir: 1) Hsaplamanın tüm vrlrind çoktrimlilri köklri v başlangıç katsayısı il bllkt tutmak. Bu yöntmd iki çoktrimlinin çarpımı yada bölümü kolay olmaktadır. İki çoktrimlinin toplamı is "Katsayılarını bulmadan toplam çoktrimlinin köklrini v ilk katsayısını bulan" bir yöntm gliştirrk hsaplanmaktadır. Böylc hm 1 inci dnklmd (s) çoktrimlisinin bulunması sırasında, hm d grçklştirm adımlarında sayısal güvnirlik korunmaktadır [2, 3]. 2) (s) çoktrimlisinin sıfırları il raktans işlvinin sıfır v kutuplarının yığılma noktasının uç frkanslar yakını olduğu bilindiğin gör, bir dönüşüm dğişkni kullanarak yni dğişkn ksnind yığılma noktası yakınını gnişltmk v hsaplamaları bu dğişkn türündn yapmak da güvnirliğin kaybolmasını önlyn bir yöntmdir [4-9]. Tanıtılan program bu yöntml hazırlanmış olup, bütün hsaplamalar yni dğişkn türündn yaptırılmaktadır. Düzgülnmiş sıklık ksnind gçirm bandı uç frkansları 1 v a noktaları, sayısal ksinliğin kaybolmasına ndn olan yığılma noktaları olduğuna gör yni dğişknimiz f 2 -l (3) v alçak gçirn süzgç için a - 0 olduğundan; (4) olarak tanımlanmaktadır. Bu dönüşüm, gçirm bandını tüm sanal ksn, söndürm bantlarını is grçl ksn üzrin v (1) v (a) noktaları yakınını açacak biçimd şlmktdir. Böylc 3 ksnind f sl v f c, yakınındaki kutupların araları açılmaktadır ' f s2 7 31 [4-11].»«2 Şkil 2. Kayıp tolranslarının v koşulları sağlayan bir kayıp işlvinin düzgülnmiş frkans, z v y ksnlrind görünümü. ELEKTRÎK MÜHENDİSLÎĞİ 245 229
D * D-C N DV2»-1 V l-o 1 2' BAŞLANGIÇ REAKTANS İŞLEVİ SÖKÜLEN KUTUP HÜCRE VAPISI OĞE DE6ERLERİ VE KALAN İŞLEV SONUÇ REAKTANS İŞLEVİ f. O 2 = 1/0 c -8i,w 2 s mı Alt Söndürm bandı kutbu "S" İ z», mi» 1-mı' k(l-o') 'z»-ı f = «i D-CN 2» - mv» M-_ N-h(1 -o i 2 ; ) D' z'-mı' D' y i - O» Z» 1-0» mı» f = 0 J» 1/0 f * 00 İt 1 ^T v/1-a 1 2» NVı-o»,z nmi Alt söndürm bandı kutbu kx (z»-l)o' 2». mı' N-kİ2»-l)D' H Vl-a» z» f.«i z. mi -ü-l D z».mi» z* -mı' 1-mi» - k(1-o») f. 0 2.1/0 =3l!L,. D z».1/o» f * OD z. 1 D-Cd-o'r'IN ' i^î f.fli 1 "~5 İz», mi» z = mı Alt söndürm borat kutbu z'-mi' k(ı-o') 1-o»mi» f.fli z. mi Üst söndürm bon» kutbu C '(1-a«r')N U. 1-mi» k(l-a') t.o z.l/a - N--c-(2*-D0 N'yi-glz» f. OD Z. 1 " (1-a»z*)D N-L11-o»z»)D D V/1-o' z» z.mi N li*«mi 1 :'-1 )D Alt söndürm bandı kutbu '- "' " 1-a» mi» N-L(1-<rV)0 DVzT-T VI-a»2' f.flı 2 =mi 1-mi' D-kN z» -mi» Çizlg 4. 230 ELBKTRİK MÜHENDÎSLtGt 245 TBT
Hsaplamanın ilk vrlrind (yaklaştırma işlvinin bulunmasında) z dğişkni yrin Y = Lnz dğişkni kullanılmaktadır. Şkil 2'd düzgülnmiş sıklık, z dğişkni v y dğişkni türündn, kayıp koşulları görülmktdir. Giriş Empdans Özlliği Sn LC turu (Srfır v sonsuzda açık dvr) Empdons Dusutt Drcli Empdans B VI-o*z* 1 İşlvi Yüksk Drcli Empdans Cı 3. SÖNDÜRME KUTUPLARININ BULUNMASI Vriln kayıp tolranslarından yararlanarak gçirm bandında şit dalgacıklı v tolransı aşmayan; söndürm bandında tolransı sağlayan bir karaktristik işlv bulunması [4, 5,9] da vrilmktdir. Kullanılan karaktristik işlv, matmatiksl yapısı grği, gçirm bandında şit dalgacık özlliğini göstrmkt, söndürm bandı kutuplarını dğiştirrk istnn hrhangi bir söndürm koşulunu ytri kadar kutup kullanarak sağlama olanağını vrmktdir. Program dstsi üç ayrı programdan oluşmaktadır. Birinci program \_l] dki yöntml söndürm kutuplarının n uygun yrini bulmaktadır. Programa giriş dğrlri olarak sıfır v sonsuzdaki kutup sayıları, gçirm bandında nbüyük zayıflama v söndürm bandı zayıflama koşulları vrilmktdir. Program çıktısı olarak z cinsindn kutup dğrlri ld dilmktdir v bu dğrlr, sıfır v sonsuzdaki kutup sayıları v gçirm bandında nbüyük zayıflama dğri il birlikt karaktristik işlvi tanımlamaya ytrlidir. Bu çıktı dğrlri ikinci programa vri olarak kullanılmaktadır. Birinci programın bir özlliği d bazı sıklıklarda özl kutup istnbilmsidir. Böylc bazı sıklıkların tümüyl durdurulması mümkün olmaktadır. Program bu özl kutupları yrind tutmakta, ötki kutupların yrlrini ayarlayarak n uygun durumlarını bulmaktadır. 4. EMPEDANS İŞLEVİNİN ELDE EDİLMESİ İşlmin bu vrsind k(s) = f(s)/q(s) karaktristik işlvinin ld dilmsi v (2) şitliğindki (s) (-s) çoktrimlisi il bunun Hurvitz kısmı olan (s) çoktrimlisinin ld dilmsi z cinsindn grçklştirilcktir. Program paktindki ikinci program zayıflama kutuplarını girdi olarak almakta; buradan f(s), q(s) v (s) çoktrimlilrinin z dönüşümünü ld tmktdir. Çizlg l'dki açık v kısa dvr mpdans işlvlrinin pay v payda çoktrimlilrini oluşturacak A, B, C v Cl çoktrimlilri program çıktısında vrilmktdir. Bu çoktrimlilr Çizlg 3't görüldüğü gibi mpdans işlvini oluşturmaktadırlar. B, C v Cl çoktrimlilri üçüncü programda vri olarak kullanılmakta, vriln dvr düznimin gör mpdans dyimlrinin pay v paydası olarak program tarafından sçilmktdir. 5. ÖĞE DEĞERLERİNİN BULUNMASI B, C v Cl çoktrimlilri kullanılarak ld diln Xıo,Xi5, X 20, X 25 işlvlrinin grçklştirilmsi, Çizlg 2'd s cinsindn vriln sıfır kaydırma v kutup sökm yöntminin z cinsindn yürütülmsi il sağlanır. Grçklştirm vrsinin aksamaması için vriln dvr düzniminin tutarlı bir düznim olması grkmktdir. Çizlg 4 aynı işlmin z cinsindn yürütülmsi için ytrli Parall LC turu (Sıfr v sonsuzda kısa dvr} Çizlg 3. a 3/ bilgiyi özt olarak vrmktdir. Dvrnin tutarlı olması için grkli koşullar da bu çizlgdn anlaşılabilir. Dvrnin düzniminin tutarlı olmasından n anlaşıldığı şu şkild açıklanabilir: Grçklştirmnin hrhangi bir vrsind: a) Empdans C türü ikn dizi yada koşut bobinl başlayan bir dvr glmz. b) Empdans L türü ikn dizi yada koşut sığaçla başlayan bir dvr glmz. c) Empdans dizi LC türü ikn koşut bobin yada koşut sığaç il başlayan bir dvr glmz. d) Empdans koşut LC türü ikn dizi bobin yada dizi sığaç il başlayan bir dvr glmz. En az sayıda bobin kullanan glnksl süzgç tasarımı için hr iki kapıdan grçklştirilbilck tutarlı bir düznim ld tmk için yalın bir yöntm aşağıda vrilmktdir. Program 3, girdi olarak hr iki kapıdan dvr düznimini v B, C, Cl çoktrimlilrini kabul tmktdir. Hr iki kapıdan açık dvr v kısa dvr mpdansları kullanılarak ikişr grçklştirm yapılmaktadır. Sağdan v soldan yapılan grçklştirmd bulunan dğrlrin oranı R1/ y şit olacaktır. 6. TUTARLI BİR DEVRE DÜZENİMİ İÇİN ALGORİTMA Glnksl bant gçirn süzgçlrd giriş v çıkış kapı mpdansları ya "dizi LC türü" yada "koşut LC türü" özlliktdir. Giriş v çıkış mpdans özlliklri il sıfır v sonsuz sıklıklardaki kutup sayıları arasındaki ilişki Çizlg 5't öztlnmiştir. Çizlg 5. Sıfır v Sonsuzdokı Kutup Sayısı No = 1 r.oo = 3 No = 3 : 1 No = 2 Nco = 2 No = 2 Na, = 2 G ns Empdansı S ı LC turu Pa oll LC turu 5 ı LC turu Paral! LC turu Çıkış Err paonsı Sn LC t uru Parall LC turu Parall LC turu Sn LC turu Dvrnin Gnl Göstrimi H O 500» o i Jl 1 i m c 231
Hücr No 100 200 300 İOO Hucr Yapısı o 0 _)j 1 o -^mnnr» Çizlg 6. O Söküln Kutup f = o f = o f =» f =<x> Hücr No 500 600 700 800 o- o- o o o o~ Hücr Yaprsı i l İt i " f o Söküln Kutup <f <fı o <f<fı f 2 <f<ao Dvr tasarımında N Q v N^ sayıları başlangıçta kararlaştırılır v ötki (sonlu v sıfırdan farklı) kutupların n uygun dğrlri buna gör hsaplanır. Grçktn birinci programa giriş vrilrindn ikisi N o v N^ sayılarıdır. Birinci program çıktısından ld diln (ikinci programda da kullanılmış olan) alt v üst söndürm bantlarındaki sonlu v sıfırdan farklı kutupların sayıları kullanılarak tutarlı bir dvr düznimi saptanmalıdır. Dvr hücrlri için kullanılan kodlama Çizlg 6'da vrilmiştir [l, 8]. Dvr düznimi, söndürm kutuplarını Çizlg 4' tki sınırlamalara uyarak sırayla grçklştirn çok çşitli biçimlrd vrilbilir. Fakat bobin sayısını artırmamak için 600 v 700 nolu hücrlrin hiç kullanılmaması, 200 v 300 nolu hücrlrin n az sayıda kullanılması grkmktdir. Aşağıdaki algoritma il hr iki kapıdan grçklştirilbilck, yukarıdaki koşullara uyan birçok dvr düznimi ld dilbilir: 1) Giriş mpdansı "dizi LC türü" is 300 nolu hücr il sonsuzdaki bir kutbu, "koşut LC türü" is 200 nolu hücr il sıfırdaki bir kutbu grçklştiriniz. 2) Daha sonra hrhangi bir banttan başlayarak, bir kutup alt söndürm bandından, bir kutup üst söndürm bandından sırayla grçklştiriniz (500 v 800 nolu hücrlrl). 3) Bir üst-bir alt söndürm bandından grçklştirm yapılırkn sıra üst söndürm bandına gldiğind üst söndürm bandında sökülc"k kutup kalmamış is bu bandın aşırı uç sıklığı olan sonsuz sıklıkta bir kutup sökrk grçklştiriniz (400 nolu hücr il). 4) Bir üst-bir alt söndürm bandından grçklştirm yapılırkn sıra alt söndürm bandına gldiğind alt söndürm bandında sökülck kutup kalmamış is bu bandın aşırı uç sıklığı olan sıfır sıklıkta bir kutup sökrk grçklştiriniz (100 nolu hücr il), 5) Bundan sonra ötki bantta sökülmmiş kutuplar *arsa pşpş sökrk grçklştiriniz (500 yada 800 nolu hücrlrl). Daha sonra bu kutupların bulunduğu banda ilişkin aşırı uç sıklıktaki kutbu grçklştiriniz (100 yada 400 nolu hücr il). 6) Grçklştirilck son hücr dvrnin sonuna 232 konulacak olan 200 yada 300 türü bobin hücrsidir. Bununla düznim tamamlanmış olur. Yukarıdaki algoritmaya gör saptanan dvr düznimi hr iki kapıdan da tutarlı olmaktadır. Alçak gçirn süzgçlr için durum çok yalın olduğundan burada konu dilmmiştir. 7. PROGRAMIN KULLANILMASI Program dstsindki üç program ODTÜ Mrkz Bilgisayarına FLTR1, FLT v FLTR3 isimlriyl yüklnmiştir. Kullanma yönrgsi [lo] yazarlardan sağlanabilir. Program alçak gçirn v bant gçirn glnksl süzgçlr için çalışmaktadır. Gçirm bandında şit dalgacıklı, söndürm bandı gnl özlliktki süzgçlrin tasarımı yapılabilmktdir. Program, süzgç tkniğinin ayrıntılarını hmn hiç bilmynlrc d kullanılabilck biçimd hazırlanmıştır. KAYNAKLAR [ l] Saal, R. v E.Ulbrich, "On th dsign of filtrs by synthsis" İRE Trans. on Circuit Thory, Cilt CT-5, s.284-327, Aralık 1958. [ 2] Nork, C, "Product mthod for th calculation of ffctiv-loss LC filtrs" Proc. 1968 Int. Symp. Ntvork Thory, s.353,365. [3] Thiran, J.P., "An accuracy study of filtr synthsis mthods" IEEE Trans. on Circuit Thory, Cilt CT-18, s.203-205, Ocak 1971. [4] Orchard, H.J. v G.C.Tms, "Filtr dsign using transformd variabls" IEEE Trans. on Circuit Thory, Cilt CT-15, s.385-408, Aralık 1968. [5] Bingham, J.A.C., "A nw mthod of solving th accuracy problm in filtr dsign" IEEE Trans. on Circuit Thory, Cilt CT-11, s.327-341, Eylül 1964. [6] Bingham, J.A.C., "Th approximation problm for both convntional and pararatric bandpass filtrs" IEEE Trans. on Circuit Thory (Corrspondnc), Cilt CT-11, s.408-410, Eylül 1964. [7] Smith, B.R. v G.C.Tms, "An itrativ approximation procdur for automatic filtr synthsis" IEEE Trans. on Circuit Thory, Cilt CT-12, s.107-112, Mart 1965. [8] Szntirmai, G., "A filtr synthsis program" in Systm Analysis by Digital Computr, F.F.Kuo and J.F.Kaisr, Eds. Nw York, Vlily, 1966. [9İ Çiftçibaşı, T., "Filtr dsign in transformd variabls", Orta Doğu Tknik Ünivrsitsi, Y.L.Tzi, Tmmuz 1974. [10] Çiftçibaşı, T., "Süzgç grçklştirm programı kullanma yönrgsi" (özl rapor), Kasım 1974. [il] Çiftçibaşı, T. v Ö.Hüsyin, "Z-dönüşüm dğişkni il süzgç tasarımı" Elktrik Mühndisliği, Mayıs 1975.