Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar

Transkript

1 Oyun Teorisi IENG 456 Karar Vermede Analitik Yaklaşımlar Bu ders notlarının hazırlanmasında Doç. Dr. İbrahim Çil in ders notlarından faydalanılmıştır. Yrd. Doç. Dr. Hacer GÜNER GÖREN Pamukkale Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü

2 Oyun teorisi Belirsizlik altında karar verme kriterini, iki ya da daha çok sayıda akıllı ya da zeki rakibin, kendi rakibini ya da rakiplerini zarara uğratma pahasına verdiği kararı optimize etmek amacıyla uygulanacak politikaların neler olabileceği hususunu ele alır.

3 Oyun teorisi Şans oyunları ve strateji oyunları Çelişen amaçları olan karar durumlarını inceler. Çeşitli küçük salon oyunlarında, Politik kampanyalarda, Rekabet edilen ürünler için reklam kampanyasının başlatılması, İki düşman ordunun savaş stratejilerinin planlanması gibi.

4 Oyun teorisi Karar vericiler varsa, karar vericiler stratejilere sahiplerse, karar vericilerin stratejilerinin sayısal değerleri ölçülebiliyorsa ve karar vericiler her şartta akılcı hareket ediyorlarsa o halde karar vericiler arasındaki rekabet problemi matematiksel olarak modellenebilir ve çözülebilir yılında Neumann ve Morgenstern bu rekabet problemini rekabetçi (0 toplamlı) ve işbirlikçi durumlara göre formüle etmişler ve geliştirdikleri yönteme de Oyun Teorisi adını vermişlerdir. Daha sonra 1954 yılında Nash, hem rekabetçi hem de işbirlikçi oyunlarda kullanılabilecek bir denge kavramını ortaya çıkarmıştır. Oyun Teorisi, belirli bir hedefe yönelik karar verme gücüne sahip birimlerden oluşan sistemleri incelemekte kullanılan matematiksel bir yöntemdir(sanver, 2002).

5 Oyun Teorisi Terminolojisi ve Varsayımları Oyuncular: Bir oyunda amaçlarını optimize etmeye çalışan kişi ya da kurumlar. Oyunda en az iki oyuncu bulunur ve akılcı hareket ettikleri gibi, kazanmak için en iyisini yaptıkları varsayılır. Stratejiler: Her oyuncunun sahip oldukları eylem seçenekleri. Bir oyuncu için herhangi bir strateji kural olup, seçenekler oyunun seçimini belirler. Herhangi bir oyuncunun seçenekleri belirsiz sayıdaysa oyun sonlu değil süreklidir. Seçenek sayısı belirli ise oyun sonludur.

6 Oyun Teorisi Terminolojisi ve Varsayımları Kazanç veya Ödemeler: Oyunun sonucu kazanma, yitirme veya oyundan çekilme olabilir. Her sonuç veya ödeme, negatif, pozitif veya sıfır olmak üzere her oyuncunun rakibine karşı kazancını veya kaybını belirler.

7 Oyun Teorisi Terminolojisi ve Varsayımları Ödemeler Matrisi: Bu matris, oyuncuların strateji seçimlerinin türlü bileşiminden sonuçlanan kazanç veya kayıpları gösterir. Ödeme matrisinin elemanları pozitif, negatif veya sıfıra eşit olabilir. Matrisin herhangi bir elemanı pozitif ise sütunda yer alan oyuncu, satırda yer alan oyuncuya bu miktarda ödeme yapar. Matrisin herhangi bir elemanı negatif ise satırdaki oyuncu, sütundaki oyuncuya bu negatif elemanın mutlak değerine eşit ödemede bulunur. Matrisin elemanı sıfır ise oyunculardan hiçbiri birbirine ödemede bulunmaz. Ödemeler matrisi sadece bir oyuncunun değerlerini temsil eder.

8 Strateji Oyunlarının Sınıflandırılması OYUNLAR Oyuncu Sayısı İki Kişili N Kişili Kazanç kayıp durumu Sıfır toplamlı Sıfır toplamlı olmayan Strateji sayısı Sonlu sayıda Sonsuz sayıda Zaman Statik Dinamik Sahip Olunan Bilgi Düzeyi Tam Bilgiye Dayalı Tam Bilgiye Dayalı Olmayan

9 Oyun Teorisi İki oyuncu ellerinde rastgele tuttukları bilyeleri birbirlerine göstersinler. Bilyelerin sayısı birbirine uygunsa birinci oyuncu kazanır ve ikinci oyuncudan 1 sayı alır, eğer birbirine uygun değilse, bu kez ikinci oyuncu kazanacak ve sayıyı ikinci oyuncu alacaktır

10 Örnek Polis bir cinayetin 2 kişi tarafından işlendiği konusunda şüphelenmekte ve bu iki şüpheliyi ayrı odalarda sorgulamaktadır. Gerçekte cinayeti işlemiş olan şüphelilerin ise ikişer stratejisi bulunmaktadır. Cinayeti itiraf etmek ya da konuşmama hakkını kullanmak. Bu durumda şüphelilerin yasalar gereği alacakları cezalar şöyledir. 1. Her ikisi de konuşmama hakkını kullanarak susarlar ise, cinayet kanıtlanmamış olur ve şüpheliler birer yıl ruhsatsız silah bulundurma cezası alırlar. 2. Biri konuşmaz iken diğeri itiraf ederse konuşmayan 20 yıl ceza alır ve itiraf eden polise yardım ettiği için serbest bırakılır. 3.Herikisideitirafederse10 aryılcezaalırlar.

11 Oyun Teorisi Terminolojisi ve Varsayımları Oyunlar: Oyunların sınıflandırılması genellikle oyuncuların sayılarına göre yapılır. İki kişilik, üç kişilik veya (n) kişilik oyunlar kurulabilir. n=2 iseoyun 2kişilik, n 2 iseoyun nkişili oyundur. Ayrıca sıfır toplamlı, sabit toplamlı olmayan ve sıfır toplamlı olmayan oyunlar olarak da oyunlar sınıflandırılır.

12 Oyun Teorisi Terminolojisi ve Varsayımları Tam (arı) Stratejiler: Oyunun sonucunu tek bir strateji çiftinin oluşturması durumu. Söz konusu sonuç her oyuncu için olabilecek en iyi sonuçtur. Tam stratejiler, oyunun tepe (eyer) noktasını belirler. Karma Stratejiler: Oyunun sonucunu birden fazla strateji çiftinin belirlemesi durumu. Strateji çiftleri olasılık değerleri ile ifade edilir ve oyunun sonucunu oluşturan strateji çiftleri olasılık değerleri toplamı 1 dir.

13 Oyun Teorisi Terminolojisi ve Varsayımları Beklenen Değer: Oyunun sonucunda herhangi bir oyuncunun elde edeceği değer. Beklenen değer strateji çiftlerinin gerçekleşme olasılıkları ile değerlerinin çarpımlarının toplamıdır.

14 Oyun Teorisinin Temel Mantığı Oyunun sonucu ister arı strateji ister karma strateji olsun çözüm süreci ödemeler matrisi üzerinde gerçekleştirilir. Çözüm süreci oyunun hangi oyuncu açısından değerlendirileceğinin seçimi ile başlar. Eğer ödemeler matrisinin satırlarını temsil eden oyuncu için çözüm gerçekleştirilecekse maximin (minimumların maksimumu) yöntemi, sütunlarını temsil eden oyuncu için çözüm gerçekleştirilecekse minimax (maksimumların minimumu) yöntemi uygulanır. Oyunun sonucunda maximin ve minimax değerleri birbirine eşitse, oyun arı stratejili bir oyundur.

15 Oyun Teorisinin Temel Mantığı Maximin yönteminde öncelikle ödemeler matrisinin her bir satırının en küçük elemanı seçilir. Daha sonra bu değerler arasından en büyüğü belirlenir. Bulunan değer ödemeler matrisinde satırları temsil eden oyuncunun beklenen değeridir. Çünkü oyuncu satırlardaki büyük değerin seçilmesi durumunun diğer oyuncu tarafından tercih edilmeyeceğini ve diğer oyuncunun oyunu terk edeceğini bilir. Bu oyuncu açısından en küçük değerlerin en büyüğü ise mantıklı bir sonuç olacaktır. Diğer bir deyişle bu oyuncu açısından geçerli strateji kötülerin iyisi olarak özetlenebilir.

16 Oyun Teorisinin Temel Mantığı Sütunları temsil eden oyuncu açısından bakıldığında ise bu kez doğru mantık iyilerin kötüsü olacaktır. Çünkü sütunları temsil eden oyuncu diğer oyuncunun maximin stratejisini bilir ve oyunu minmax stratejisi ile oynar. Sütunları temsil eden oyuncu elemanlarını gözden geçirir ve her bir sütunun en büyük değerini seçer. Bu oyuncu açısından oyunun sonucu bu değerlerin en küçüğüdür(taha, 1997).

17 Oyun teorisi Oyuncu olarak bilinen iki rakip her biri sonlu ya da sonsuz alternatife ya da stratejiye sahiptir. Her bir strateji çiftine bağlı sonuç, bir oyuncunun diğerine ödeme yapmasıdır. Bu oyunlara iki oyunculu- sıfır toplamlı oyunlar denilmektedir. Birinin kazancı diğerinin kaybına eşittir.

18 A nın sonuç matrisi B 1 B 2.. B m A 1 a 11 a 12. a 1m A 2 a 21 a 22. a 2m A n a n1 a n2. a nm A eğer i stratejisini uygular, B de j stratejisini uygularsa, A nın kazancı a ij dir ki bu da B nin kazancının a ij olması demektir.

19 İki Oyunculu Sıfır Toplamlı Oyunların Optimum Çözümü Oyunlar çatışma üzerine kurulduğu için, optimum çözüm, her bir oyuncu için herhangi bir değişikliğin oyunculardan hiçbirinin kazancını geliştiremediği bir veya daha fazla stratejiyi seçer. Tekil saf strateji Karma strateji

20 Örnek 1 A ve B firmaları iki grip ilacı satmaktadır. A firması radyo (A1), televizyon (A2) ve gazete (A3) reklamı yapmaktadır. B firması radyo(b1), televizyon (B2) ve gazeteye (B3) ek olarak broşür (B4) postalamaktadır. Kampanyanın düşüncesine ve yoğunluğuna bağlı olarak her bir firma diğerinin pazar payından alabilir. Verilen matriste A firması tarafından kazanılan ve kaybedilen pazar paylarının yüzdeleri özetlenmektedir. Kaynak: Yöneylem Araştırması, Hamdy Taha, 2000.

21 Örnek 1 B 1 B 2 B 3 B 4 A A A

22 Karma Stratejili Oyunların Çözümü Ödemeler matrisindeki maximin ve minimax değerlerinin birbirine eşit olmamasıdır. Bu durum ise oyunun sonucunun tek bir strateji çifti olmaması anlamına gelir. Bu tip oyunlar, hem grafik hem de doğrusal programlamayla çözülebilir.

23 Grafik Yöntem Eğer ödemeler matrisi B oyuncusu açısından ya da A oyuncusu açısından boyut şartlarından birini taşıyorsa ya da ödemeler matrisi matris işlemleriyle bu boyutlara indirgenebiliyorsa, oyun Grafik Yöntemle çözülebilir. Diğer deyişle satır ya da sütunları temsil eden oyunculardan biri 2 den fazla stratejiye sahip olmamalıdır.

24 Oyunların grafik çözümü A oyuncusunun iki stratejisinin olduğu oyun durumuyla başlayalım. y 1 y 2 y n B 1 B 2 B n x 1 A 1 a 11 a 12 a 1n 1-x 1 A 2 a 21 a 22 a 2n

25 Grafik Yöntem Eğer ödemeler matrisi B oyuncusu açısından (m*2) ya da A oyuncusu açısından (2*n) boyut şartlarından birini taşıyorsa ya da ödemeler matrisi matris işlemleriyle bu boyutlara indirgenebiliyorsa, oyun Grafik Yöntemle çözülebilir. Satır ya da sütunları temsil eden oyunculardan biri 2 den fazla stratejiye sahip olmamalıdır.

26 Grafik Yöntem Koordinat sisteminin yatay ekseni 2 stratejiye sahip oyuncunun 1. stratejisinin gerçekleşme olasılığını (x 1 ) gösterir. Söz konusu olasılık değeri doğal olarak 0 ile 1 aralığında olacaktır. Bu durumda oyuncunun 2. stratejisinin olasılık değeri x 2 =1-x 1 olacaktır. Daha sonra A oyuncusunun, B oyuncusunun stratejileri (y j ) karşısındaki beklenen değerleri hesaplanır.

27 Grafik Yöntem A = a a a a a a 1n 2n E j ( A) = ( a1 j a2 j ) x1 + a2 j Elde edilen doğru denklemleri grafik eksene işlenir. Koordinat sistemindeki mümkün çözüm noktaları doğruların kesiştiği noktalarda gerçekleşir. A oyuncusunun maximin yöntemine göre hareket ettiği göz önüne alındığında mümkün noktalardan optimal olanı, minimumların maksimumunda gerçekleşenidir.

28 A = Örnek 2 A oyuncusunun ödemeler matrisi verilmiştir. Oyunun sonucunu bulunuz. E ( A) = 2x + 4x = 2x E ( A) = 2x + 3x = x E ( A) = 3x + 2 x = x E ( A ) = x + 6 x = 7 x

29

30 Örnek 3

31 Örnek 4