Fırat Üniversitesi-Elazığ Kablo Tabanlı Paralel Manipülatör Dizaynı ve leri Kinematik Probleminin Sylvester Eliminasyon Yöntemi İle Çözümü Ahmet DUMLU 1, Köksal ERENTÜRK 2 1 Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Atatürk Üniversitesi ahmetdumlu@atauni.edu.tr 2 Elektronik-Haberleşme Mühendisliği Bölümü Atatürk Üniversitesi keren@atauni.edu.tr ÖZET Bu çalışmada Atatürk Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Robotik Araştırma Merkezinde tasarlana kablo tabanlı paralel manipülatörün genel yapısı tanıtılarak manipülatör için kinematik analiz yapılmıştır. Manipülatörün ileri kinematik problemi karmaşık çözümlemeler gerektirdiğinden, bu çalışmada Sylvester eliminasyon yönteminden yararlanılmıştır. Elde edilen simülasyon sonuçları sunulmuş ve kullanılan yöntemin performansı tartışılmıştır. Anahtar Kelimeler: Kablo Tabanlı Paralel Manipülatör, Kinematik Analiz, Sylvester Eliminasyon 1. GİRİŞ Paralel manipülatörler teknolojideki son gelişmeler ile birlikte yüksek hassasiyet gerektiren birçok endüstriyel uygulamalarda sıklıkla kullanılmaktadır. Bunun nedeni paralel manipülatörlerin aşırı yük taşıma kapasitesine, yüksek dayanıklılığa ve doğruluğa, iyi kararlılığa, yüksek hız uygulamalarında çalıştırılabilirliğe, iyi bir dinamik performansa ve hassas konumlandırma gibi özelliklere sahip olmasıdır. Paralel manipülatörler tıbbi operasyonlar, oyun simülatörleri, petrol platformları, ağır yük taşımacılığı, hafif metal işleme, cilalama, kesme, şekil verme ve montaj işlemleri, uçuş simülatörleri gibi endüstriyel ve sanayi uygulamalarında sıklıkla kullanılmaktadır. Paralel manipülatörlerin en yaygın kullanılan çeşidi, ilk defa 1965 yılında D. Stewart tarafından, bir uçuş simülatörü olarak önerilen paralel platformdur [1]. Stewart ın önerdiği bu ilk paralel mekanizma, üçgen şeklinde hareketli üst platform, küresel mafsallarla hareketli platforma tutturulmuş, boyları değişebilen üç ayak ve her bir ayağa iki eksenli açısal hareket veren ayaklardan oluşan toplam 6 bacaklı bir sistemdir. Hunt tarafından paralel manipülatörlerin kinematik analizinin sistematik olarak gerçekleştirilmesi ile birlikte, günümüzde birçok araştırmacı farklı yapıdaki paralel manipülatörlerin tasarım ve analizini gerçekleştirmektedirler [2]. Klasik paralel manipülatörlerin en büyük dezavantajı, piston hareket aralığının kısıtlı olması nedeniyle çalışma uzaylarının sınırlı olmasıdır. Yapılan literatür araştırmalarında, son yıllarda dikkatleri üzerine çeken ve akademik çalışmaların yoğunlaştığı kablo tabanlı Stewart platform mekanizmasına rastlanmıştır. Bu mekanizmanın standart Stewart platformundan farkı, eyleyici görevi gören pistonlar yerine kablo kullanılmasıdır. Kablo tabanlı Stewart platformu olarak adlandırılan paralel kablo robotlar, eyleyicilerinin kablo olması nedeniyle standart Stewart platformuna göre çalışma uzayları oldukça büyüktür. Kablo tabanlı paralel manipülatörlerin çalışma uzayının büyük olmasının yanı sıra, uç işlevcinin kütlesinin az olması durumunda manipülatör iyi bir eylemsizlik özelliğine sahip olur ve yüksek hız -ivme gerektiren uygulamalarda rahatlıkla kullanılabilir. Diğer bir karakteristik özelliği ise, ağır yük taşıma kapasitesine sahip olmasıdır. Kablo tabanlı paralel manipülatörlerin geniş çalışma uzayı ve hassas konum kontrolü sayesinde literatüre girmiş farklı uygulamalarına rastlanmaktadır. Robocrane olarak adlandırılan vinç sistemi NIST tarafından tasarlanmış olup özellikle ağır yük taşımacılığında yaygın olarak kullanılmaktadır [3]. Adriana V. tarafından geliştirilen kablo tabanlı paralel robot hassas konum kontrolü sayesinde ekografi ölçüm sistemlerinde kullanılmaktadır [4]. DIMEG ve LARM araştırma laboratuarlarında geliştirilen kablo tabalı paralel manipülatörler, tıbbi rehabilitasyon uygulamalarında kullanılabilmektedir [5], [6]. Ayrıca M-LAB araştırma laboratuarı kablo tabanlı kürek çekme simülatörü tasarlamıştır [7]. Şekil 1. de Atatürk Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Robotik Araştırma Laboratuarında geliştirilen kablo tabanlı paralel manipülatörler gösterilmiştir. Sistemde uç işlevciyi taşıyan hareketli platform ile taban olarak adlandırılan sabit bir platform bulunmaktadır. Bu iki platform uzayabilen ve geri çekilebilen çoklu kablolar ile birbirine bağlanmıştır. Motorlara sabitlenen kablolar, motorların dönmesi ile boyları uzayıp veya kısalmaktadır. Böylece bağlı bulundukları uç işlevciye hareket kabiliyeti kazandırmaktadır. Kablo tabanlı paralel robotlar iki grupta sınıflandırılmaktadır [8]. Eğer manipülatörde kullanılan kablo sayısı manipülatörün serbestlik derecesine eşit veya serbestlik derecesinden küçük ise manipülatör tamamen kontrol edilememektedir. Bu tip manipülatörlere yetersiz tasarlanmış veya kısıtlı manipülatör adı verilmekte ve manipülatörün uç işlevcisinin konumu mevcut kablo boyları kullanılarak tamamen belirlenememektedir. Manipülatörde kullanılan kablo sayısı manipülatörün serbestlik derecesinde büyük ise manipülatörün hareketi tamamen kontrol edilebilmektedir. Yeterli tasarlanmış veya kısıtsız manipülatör olarak adlandırılan bu tip paralel manipülatörlerde, uç işlevcinin konumu ve yönelimi manipülatöre ait mevcut kablo boylarının bir fonksiyonu olarak tanımlanabilmektedir. Bu çalışmanın 2. bölümünde tasarlanan dört kablolu paralel manipülatörün genel yapısı hakkında bilgi verilmiştir. Bölüm 3 de ise dört serbestlik derecesine sahip kablo tabanlı paralel manipülatörün ters ve ileri kinematik denklemleri elde edilmiş ve son olarak düzlemsel hareket eden manipülatörün ileri kinematik problemi Sylvester eliminasyon yöntemiyle çözülmeye çalışılmıştır. 137
Elektrik-Elektronik ve Bilgisayar Sempozyumu 211 2. TASARLANAN KABLO TABANLI PARALEL MANİPÜLATÖRÜN YAPISI Şekil 1. de Atatürk Üniversitesi Elektrik Elektronik Mühendisliği Robotik Araştırma Laboratuarında geliştirilen ve belirli sınırlamalar içerisinde düzlemsel veya uzaysal olarak hareket edebilen kablo tabanlı paralel manipülatör gösterilmiştir. Manipülatörün mekanik yapısı incelendiğinde, eyleyici görevi gören kablolar makara ve uç işlevciye gergin olarak bağlı bulunmaktadır. Step motorlara monte edilmiş makaralar, sürücü ve pc tabanlı kontrolcü ile hareket ederek kendilerine bağlı kabloları sarabilmektedir. Böylece boyu uzayan ve kısalan kablolar sayesinde uç işlevci belirli bir çalışma uzayı içerisinde düzlemsel veya uzaysal olarak hareket edebilmektedir. A L L A, L,, L (1) A İkinci koordinat sistemi ise hareketli platforma ait olan hareketli koordinat sistemidir. Kablolar ikişerli olarak hareketli platformun A ve B bağlantı noktalarına bağlanmış olup A-B arasındaki uzaklık 2h kadardır. Bu noktaların hareketli koordinat sistemine göre konum vektörleri, denklem (2) ile ifade edilmektedir. h, h (2) Şekil 1: Tasarlana kablo tabanlı paralel manipülatör 3. KİNEMATİK ANALİZ Kinematik, platformun hareketlerinin bu hareketlere sebep olan kuvvet ve torkun hesaba katılmadan incelenmesidir. Kinematik analiz, düz ve ters kinematik analiz olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır. Ters kinematik analizde problem hareketli platformun belirli öteleme ve dönme değerleri verildiğinde platforma ait kablo boylarını belirlemekten ibarettir [9]. İleri kinematik analizde ise problem, platforma ait kablo uzunlukları verildiğinde, hareketli platformun ağırlık merkezinin konumunu bulmaktır. Paralel manipülatörler için yapılan analizler sonucunda, platforma ait ters kinematik problemin çözümünün tek olduğu ve ileri kinematik probleme göre daha kolay olduğu saptanmıştır. 3.1. Kablo tabanlı paralel manipülatörün ters kinematik analizi Şekil 2 de dört kablosu gergin durumda olan paralel manipülatörün kinematik tasarımı gösterilmiştir. Paralel manipülatöre ait iki koordinat sistemi bulunmaktadır. Bunlardan ilki sabit (hareketsiz) platforma ait olan xyz taban koordinat sistemidir. Platformun taban noktalarının (A1 A4) tümü z= düzleminde olup bu noktaların konum vektörleri denklem (1) ile ifade edilmektedir. Şekil 2: Tasarlana kablo tabanlı paralel manipülatör kinematik modeli ve parametreleri Uç işlevcinin konumu ( ) ve iki koordinat sistemi arasındaki yönelim matrisi R bilindiğinde,,, ve kablo konum vektörlerinin sabit platforma göre denklem (3) ile ifade edilmektedir. t R A i 1,2 (3) t R B i 3,4 l l Kinematik modelde kablolar uç işlevciye iki sabit noktada bağlı bulunduğundan uç işlevcinin iki yönelimi (, ) söz konusudur. i. kabloya ait büyüklük ise skaler çarpım özelliği kullanılarak denklem (4) ile bulunabilmektedir. l A x r r A y r r z r r i 1,2 (4) l A x r r A y r r z r r 3,4 138
Fırat Üniversitesi-Elazığ 3.2. Kablo tabanlı paralel manipülatörün ileri kinematik analizi Kablo tabanlı paralel manipülatörler için ileri kinematik problem, verilen kablo boyları için (l i,i=1,2,3,4) hareketli platformun konum vektörü (t) ve yönelimini (R) bulma işlemidir. Konum vektöründe 3 bilinmeyen skaler büyüklük bulunurken yönelimde 9 bilinmeyen skaler büyüklük bulunmaktadır. Dört kablolu paralel manipülatörün ileri kinematik problemini çözmek için, kabloların ağırlıkları ihmal edilecek olup denklem (5) de ifade edilen sınırlamalar dikkate alınacaktır. 5 İleri kinematik denklemlerini elde etmek için Şekil 3. de gösterildiği gibi kablo tabanlı paralel manipülatörün uç işlevcisine ait A ve B noktaları, R 1 ve R 2 yarıçaplı ve O 1 ve O 2 merkezli daireler üzerinde hareket ediyormuş gibi düşünülerek, geometrik yaklaşım yapılmaktadır. Bu dairelerin merkezleri ile üst bağlantı noktaları arasındaki vektörler R 1 ve R 2 yarıçapları üzerindedir ve her bir yarıçapa ait birim vektörler S ve S olarak ifade edilmiştir. cos sin (8) cos sin P P vektörel farkın büyüklüğü, hareketli uç işlevcinin 2h uzunluğunun karesi olduğundan ϕ 1 ve ϕ 2 açı değişkenlerine bağlı olarak doğrusal olmayan denklem (9) elde edilmektedir. 4 cos cos sin sin 9 İkinci ileri kinematik denklemi elde etmek için şekil 4 de gösterildiği gibi iki boyutlu xz düzlemi ele alınmıştır. Şekil 4 de gösterilen uç işlevcinin yerçekimindeki statik denge denklemini hesaplamak için l 1 ve l 3 kablolarında meydana gelen F 1 ve F 3 kuvvetleri dikkate alınmış ve bu iki kuvvet ile uç işlevcinin ağırlık merkezinin ortak bir P noktasında kesiştiği göz önüne alınarak denklem (1) elde edilmiştir [9]. 2 cos sin sin cos cos 1 Şekil 3: Paralel manipülatör ileri kinematik problemi için geometrik yaklaşım O 1 ve O 2 noktalarının sabit referans koordinat eksenine göre pozisyon vektörleri şekil 3 den faydalanılarak, denklem (6) ile belirlenmektedir... (6) Her bir yarıçapa ait birim vektörler ise denklem (7) ile ifade edilmektedir. cos sin (7) cos sin Denklem (7) de ifade edilen ϕ 1 ve ϕ 2 açıları sırasıyla S ve S vektörlerinin xy düzlemleriyle yaptığı açılardır. Böylece uç işlevciye ait A ve B noktalarının pozisyon vektörleri denklem (8) ile bulunmaktadır. Şekil 4: Paralel manipülatör ileri kinematik problemi için statik analiz Elde edilen (9) ve (1) denklem sistemlerinin çözümü için iterasyona dayalı sayısal yöntemler veya değişken eleme prensibine dayanan Sylvester eliminasyon metodu kullanılabilir. Eğer her hangi bir yol ile ϕ 1 ve ϕ 2 açı değişkenleri bulunur ise uç işlevcinin konum değerleri denklem (11) yardımı ile kolayca bulunabilmektedir. cos ϕ cos /2 (11) /2 sin sin /2 Son olarak uç işlevciye ait yönelim değerleri ise denklem (12) ile bulunabilmektedir. atan 12 sin sin atan cos cos 139
Elektrik-Elektronik ve Bilgisayar Sempozyumu 211 4. MANİPÜLATÖRE AİT İLERİ KİNEMATİK PROBLEMİN SYLVESTER ELİMİNASYON YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ 5. Bu çalışmada dört kablolu paralel manipülatörün ters kinematik problemini tanımlamak için, sınır çerçevesinin bir kenarı L=1 birim, uç işlevcinin boyu 2h=1 birim alınmış ve uç işlevciye çalışma sahası içinde çembersel yörünge ve rastgele değişen yönelim tanımlanmıştır. Bu yörünge üzerinde uç işlevcinin her bir konumu ve yönelimi için olması gereken kablo boyları hesaplanmıştır. Ters kinematik çözümde elde edilen kablo boyları bu kez ileri kinematik problemde kullanılmıştır. Elde edilen sonuçlara göre tanımlanmış yörüngelerin takip edilmesi sağlanmıştır. Şekil 5 de verilen çembersel yörünge üzerinde uç işlevcinin her bir konumu için olması gereken kablo boylarının değişimi grafiksel olarak gösterilmiştir. Şekil 6 da tanımlanan çembersel yörünge için ileri kinematik çözüm ile uç işlevcinin bu yörüngeyi nasıl takip ettiği gösterilmiştir. Şekil 7, 8 ve 9 da ise sırasıyla uç işlevcinin xg ve yg konum ve # ᇱ yönelim hataları, grafiksel olarak gösterilmiştir. Dört kablolu düzlemsel paralel manipülatörün ileri kinematik analizinde elde edilen denklem (9) ve denklem (1) un ortak köklerinin olup olmadığını ve köklerinin manipülatör yapısına uygun olup olmadığı anlayabilmek için bu çalışmada Sylvester eliminasyon metodundan yararlanılmıştır. Sylvester eliminasyon metodunda, birden fazla değişkene sahip polinomların değişkenlerinden birisini yok etmek için Sylvester matrisinden yararlanılmaktadır. Oluşturulan Sylvester matrisinin determinantı alınarak tek değişkenli polinom elde edilmektedir. Manipülatöre ait ileri kinematik problemin çözümünü Sylvester metodu ile bulmak için denklem (9) ve denklem (1) da ifade edilen cos ϕ୧ ve sin ϕ୧ trigonometrik ifadeler yerine denklem (13) deki dönüşümler kullanılarak ve gerekli düzenlemeler yapılarak denklem (14) ve denklem (15) elde edilmiştir. cos ௫ మ SİMÜLASYON SONUÇLARI 13 2 1 ଽ (14) sin : ௫ మ D D D Dଽ D D D D D D D D (15) Denklem (14) ve (15) de ifade edilen z ve f değerleri manipülatörün geometrisi ile ilgili sabit katsayı değerleridir. Denklem (14) ve (15) matris formunda yazılarak, denklem (16) da ifade edilen 8x8 boyutundaki sadece x1 değişkenine bağlı katsayı matrisi oluşturulmuştur.!!!!!!!!!!!!!!! % $ $ % # $ # % # # # # # % # # # % # # # % # # # % # # # "! " % " Şekil 5: Tanımlanan yörünge için ters kinematik analiz sonuçları (16) Elde edilen 8x8 boyutundaki katsayı matrisinin determinantı alındığında 32. dereceden x1 değişkenine bağlı polinom elde edilerek bu polinomun kökleri hesaplanmaktadır. Çözüm için yapılan x୧ tan ϕ୧ /2 trigonometrik dönüşüm ifadesi dikkate alınarak bu köklerden kompleks ve negatif olanları çözüm olarak alınmamış sadece pozitif olanlar dikkate alınmıştır. Pozitif kökler sırasıyla denklem (14) ve (15) de yerine konularak sadece x2 değişkenine bağlı 4. dereceden iki polinom elde edilmiş ve bu iki polinomun ortak olan kökleri çözüm olarak kabul edilmiştir. Çözüm olarak kabul edilen x1 ve x2 değerlerinden ϕ1 ve ϕ2 açı değişkenleri elde edilerek denklem (11) ve denklem (12) yardımıyla uç işlevciye ait konum ve yönelim değerleri bulunmuştur. Şekil 6: Düzlemsel paralel manipülatör için ileri kinematik analiz sonuçları ve yörünge takibi 14
Fırat Üniversitesi-Elazığ denklemlerin doğrusal olmaması nedeniyle problemlerin çözümü için, Matlab programından yararlanılarak, Slyvester eliminasyon yöntemi kullanılmıştır. Sylvester eliminasyon metodu, ileri kinematik problemin çözümünde olası tüm konumları ve yönelimleri bulabilmesi ve simülasyon anında geometriye en uygun sonucun seçilebilmesi nedeniyle başarılı bir yöntem olduğu yapılan simülasyon sonuçlarından anlaşılmıştır. 7. [1] D. Stewart, A Platform With Six Degrees of Freedom, Institution of Mechanical Engineers Proceedings, vol. 18, 1965. [2] K. H. Hunt, Structural Kinematics of In-Parallel Actuated Robot Arms, ASME J. Mech. Transm. Autom. Des., Vol. 15, pp. 75-712, 1983. [3] J. Albus, R. Bostelman and N. Dagalakis, The Nist Robocrane, J. Rob. Syst.., Vol. 1, pp. 79-724, 1993. [4] V. Adriana, T. Jocelyne, C. Philippe, M. Kohji, and P. Franck, A New Robot Architecture for TeleEchography, Ieee Transactions On Robotics and Automation, vol. 19, no. 5, pp. 922-926,23. [5] R. Giulio, A. Mattia, B. Andrea and G. Paolo, Performance of cable suspended robots for upper limb rehabilitation in Pro. of the IEEE 1th Int. Conf. on Rehabilitation Robotics, Noordwijk, Netherlands, 27, pp. 385-392. [6] O. Erika, C. Gianni and C. Giuseppe A Cable-Based System for Aiding Elderly People in Sit-to-Stand Transfer Mechanics Based Design of Structures and Machines, vol. 36, pp. 31-329, 28. [7] R. Georg, V. Z. Joachim, D. W.Alexander, V. Heike, and R. Robert, A Tendon-Based Parallel Robot Applied to Motor Learning in Sports in Pro. of the 3rd IEEE RAS & EMBS Int. Conf. on Biomedical Robotics and Biomechatronics, Tokyo, Japan, 21. [8] L. W. Tsai, "Robot Analysis The Mechanics of Serial and Parallel Manipulators", John Wiley & Sons, New York, USA, 1999. [9] O. Erika, C. Marco, P. Alessio and C. Giuseppe A LowCost Easy Operation 4-Cable Driven Parallel Manipulator in Pro. of the IEEE Int. Conf. On Robotics and Automation, Barcelona, Spain, 25. Şekil 7: Uç işlevcinin xg konum hatası Şekil 8: Uç işlevcinin yg konum hatası Şekil 9: Uç işlevcinin # ᇱ yönelim hatası 6. KAYNAKLAR SONUÇLAR Düzlemsel ve uzaysal hareket edebilen kablo tabanlı paralel manipülatörün yapısının ve kinematiğinin tartışıldığı bu çalışmada, manipülatöre ait ters ve ileri kinematik denklemleri elde edilmiştir. Özellikle ileri kinematik 141