İki Değişkenli Bağlanım Modelinin Uzantıları

İki Değişkenli Bağlanım Modelinin Uzantıları Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 1 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011)

Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-NC-SA 3.0) lisansı altında bir açık ders malzemesi olarak genel kullanıma sunulmuştur. Eserin ilk sahibinin belirtilmesi ve geçerli lisansın korunması koşulu ile özgürce kullanılabilir, çoğaltılabilir ve değiştirilebilir. Creative Commons örgütü ve CC-BY-NC-SA lisansı ile ilgili ayrıntılı bilgi http://creativecommons.org adresinde bulunmaktadır. Ekonometri ders notlarımın güncel sürümüne http://yalta.etu.edu.tr adresinden ulaşabilirsiniz. A. Talha Yalta TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Ekim 2011

Ders Planı 1 Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım 2 Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları 3

Ders Planı 1 Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım 2 Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları 3

Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Kuram bazen modelde sabit terimin bulunmamasını öngörür: Y i = β 2 X i + u i Sıfır noktasından geçen bağlanım modelinin uygun olduğu bazı durumlar şunlardır: sermaye varlığı fiyatlama modeli (capital asset pricing model) ya da kısaca SVFM (CAPM), Milton Friedman ın kalıcı gelir önsavı (permanent income hypothesis), Maliyet çözümlemesi kuramı (cost analysis theory), Enflasyon oranının para arzındaki değişim ile orantılı olduğunu ileri süren para kuramı çeşitlemeleri.

Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Sıfır noktasından geçen bağlanım için ÖBİ aşağıdaki gibidir: Y i = ˆβ 2 X i + û i Yukarıdaki modele ait ˆβ 2 SEK tahmincisi şu şekilde bulunur: Alışılmış Model var( ˆβ 2 ) = ˆβ 2 = P xi y i P x 2 ˆσ 2 = i P σ2 x 2 P i 2 ûi n 2 β 1 = 0 Modeli var( ˆβ 2 ) = ˆβ 2 = P Xi Y i P X 2 ˆσ 2 = i P σ2 X 2 P i 2 ûi n 1 Yukarıdaki büyük ve küçük harf kullanımına dikkat ediniz. Kısaca, β 1 = 0 modeli formüllerinde ortalamalardan sapma yerine X ve Y lerin asıl değerlerini kullanıyoruz.

Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Sabit terimsiz modelin iki özelliğinin bilinmesinde yarar vardır: 1 Bu modellerde û i kalıntı toplamı her zaman sıfır olmak zorunda değildir. 2 Bu modellerde kalıntı kareleri toplamı, toplam kareleri toplamından küçük olmak zorunda değildir. Bu nedenle, alışıldık modeller için hesaplanan belirleme katsayısı r 2 sıfır noktasından geçen bağlanımlarda zaman zaman eksi değerler alabilir ve kullanılması uygun değildir. Sabit terimsiz modellerde ham (raw) r 2 kullanılabilir: Ham r 2 ham r 2 = ( X i Y i ) 2 X 2 i Y 2 i Ham r 2 de 0 ve 1 arasındadır ama diğer r 2 ile karşılaştırılamaz.

Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Önsel dayanaklar çok güçlü olmadığı sürece sabit terimin modele eklenmesinde yarar vardır. Eğer modele sabit terim eklenir ve bu terim istatistiksel olarak anlamlı bulunmazsa, zaten elde sıfır noktasından geçen bir bağlanım modeli var demektir. Diğer yandan, gerçekte modelde sabit terim varken sabit terimsiz model yakıştırılmaya çalışılırsa model belirtim hatası (model specification error) yapılmış olur.

Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Açıklayıcı Örnek Sıfır noktasından geçen bağlanıma bir örnek olarak, Güz 2007 döneminde TOBB ETÜ ekonometri öğrencilerinin arasınav ve dönem sonu sınav notu sıralamalarını alalım: Y i = α + βx i + u i Burada Y öğrencinin dönem sonu sınavında kaçıncı olduğunu, X öğrencinin arasınavda kaçıncı olduğunu göstermektedir. Tekil öğrencilere ilişkin motivasyon değişikliği ya da özel durumlar gibi rastsal kabul edilebilecek etmenler dışında sıralamanın değişmeyeceğini varsaymak yanlış olmaz. Bu durumda önsel beklentimiz α = 0 ve β = 1 olmasıdır.

Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Açıklayıcı Örnek Bu modeli sıfır noktasından geçen bağlanım olarak hesaplarsak aşağıdaki bulguları elde ederiz: Ŷ i = 0,9466 X i öh (0,0632) t (14,9721) ham r 2 = 0,8961 Sabit terimsiz bağlanımın uygun olup olmadığını sınamak için alışılmış bağlanıma da bakalım: Ŷ i = 3,1624 + 0,7741 X i öh (2,0284) (0,1266) t (1,5591) (6,1142) r 2 = 0,5992 İlk bağlanımda ˆβ, 1 e oldukça yakındır. İkinci bağlanımda sabit terimin sıfır olduğu sıfır önsavı reddedilmez. Eğer baştaki varsayımımız doğru ise, r 2 den dolayı, rastsal etmenlerin başarıda %10 etkili olduğunu söyleyebiliriz.

Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Açıklayıcı Örnek EKONOMETRİ ÖĞRENCİLERİNİN SINAV DERECELERİ 30 Y = 0,95X Y = 3,16 + 0,77X Dönem sonu sınavı derecesi 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 Arasınav derecesi

Ders Planı Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları 1 Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım 2 Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları 3

Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları Bağlanım çözümlemesinde dikkat edilmesi gereken bir nokta da verileri ölçekleme (data scaling) konusudur. Verilerin ölçeklenmesi ile ilgili iki önemli soru şudur: 1 X ve Y değişkenlerinin ölçü birimleri bağlanım bulgularını etkiler mi? 2 Bağlanım çözümlemesi için ölçü biriminin seçilmesinde izlenilmesi gereken bir yol var mıdır?

Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları Türkiye ye ait aşağıda verilen 1987 fiyatları ile gayrisafi sabit sermaye oluşumu ve gayrisafi yurtiçi hasıla verilerine bakalım: Çizelge: Türkiye de Sabit Sermaye Oluşumu ve GSYH (1987 2000) Yıl GSSSO GSSSO GSYH GSYH (milyon TL) (milyon TL) (milyar TL) (milyar TL) 1987 18.491 74.416 0.018491 0.074416 1988 18.299 76.143 0.018299 0.076143 1989 18.701 76.364 0.018701 0.076364 1990 21.670 83.371 0.021670 0.083371 1991 21.764 84.271 0.021764 0.084271 1992 23.147 88.893 0.023147 0.088893 1993 29.247 96.391 0.029247 0.096391 1994 24.577 91.600 0.024577 0.091600 1995 26.823 97.729 0.026823 0.097729 1996 30.598 104.940 0.030598 0.104940 1997 35.137 112.892 0.035137 0.112892 1998 33.768 116.541 0.033768 0.116541 1999 28.473 111.083 0.028473 0.111083 2000 33.281 119.147 0.033281 0.119147

Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları Ortaya atmış olduğumuz iki soruyu yanıtlayabilmek için aşağıda verilen bağlanım bulgularını inceleyelim: Hem GSSSO, hem GSYH milyon TL: GSSSO t = 8,76891 + 0,364933 GSYH t (2,73489) (0,0283565) r 2 = 0,9324 Hem GSSSO, hem GSYH milyar TL: GSSSO t = 0,00876891 + 0,364933 GSYH t (0,00273489) (0,0283565) r 2 = 0,9324 GSSSO milyon dolar, GSYH milyar TL: GSSSO t = 8,76891 + 364,933 GSYH t (2,73489) (28,3565) r 2 = 0,9324 GSSSO milyar dolar, GSYH milyon TL: GSSSO t = 0,00876891 + 0,000364933 GSYH t (0,00273489) (0,0000283565) r 2 = 0,9324 Not: Ölçünlü hatalar parantez içerisinde verilmiştir.

Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları Bağlanım bulgularının dördü de GSYH deki bir milyon liralık bir değişimin GSSSO de ortalama 0,364933 milyon liralık bir değişime yol açtığını göstermektedir. Öyleyse, SEK tahmincilerinin bilinen özellikleri farklı ölçü birimlerinin kullanılmasından etkilenmemektedir. Öte yandan, bağlanım hesapları bilgisayar kullanılarak yapıldığı için, verilerin uygun biçimde ölçeklendirilmesi uygulamada zaman zaman önemli olabilir.

Sayısal Hesaplama Sorunları Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları Ekonometri, birçok karmaşık matematiksel ve istatistiksel yöntem içeren bir bilim dalıdır. Ancak çoğu araştırmacı çeşitli tekniklerin yalnızca birkaç fare tıklaması ile uygulanabileceği izlenimini taşımaktadır. Bilgisayar yazılımlarının her zaman sayısal olarak tutarlı olduğunu varsaymak hatalı bir yaklaşımdır. Günümüz bilimsel yazılımlarının çoğu tüm hesaplamalarda 64bit kayan nokta (floating point) aritmetik kullanmaktadır. Bu altyapı gerçel sayı sistemini tümüyle karşılayamayarak dört tür hataya yol açabilmektedir: Yuvarlama hataları (rounding errors) İptal etme hataları (cancellation errors) Budama hataları (truncation errors) Çözümyolu hataları (algorithm errors)

Yuvarlama Hataları Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları Yuvarlama hatası, bazı sayıların bilgisayarların kullandığı ikili düzende tam olarak gösterilememesinden kaynaklanır. Örnek olarak 0,1 ondalık sayısının ikili düzende gösterimi 0,00011 dir. Bu sayı yeniden ondalık sisteme çevrildiğinde 0,09999999403953 olur. Bu nedenle, cebirsel olarak birbirine eşdeğer olan (p = q) ve (p q = 0) gibi iki denklem bilgisayarda uygulandığında farklı sonuçlar verebilmektedir.

İptal Etme Hataları Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları İptal etme hatası, yuvarlama hatasının özel bir durumudur. Gözlemlerde fazla sayıda sabit öncül basamak olduğunda ortaya çıkar. Bu özelliği gösteren veri setlerine katı (stiff) veri seti denir. Örnek olarak 1,000,000,001 sayısından 1,000,000,000 çıkarılınca geriye yalnızca en sağdaki tek basamak kalır. Baştaki sayının büyüklüğünden dolayı, bu son basamak yuvarlama hatalarına fazla duyarlıdır.

Budama Hataları Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları Budama hatası, yinelemesel (iterative) işlemlerde görülen ve yazılımdan zorunlu olarak kaynaklanan bir hata türüdür. Örnek olarak exp(x) işlevi x = 1 noktasında aşağıdaki gibi genişletilir: exp(x) = i=0 x i i! = x 0 0! + x 1 1! + x 2 2! + x 3 3! +... = e Görüldüğü gibi, oransız sayı (irrational number) e nin hesaplanabilmesi sonsuz sayıda toplama gerektirmektedir. Ancak bilgisayar hesaplaması sınırlı sayıda işlem içerebilir ve sonuçta bir budama hatası ortaya çıkar.

Çözümyolu Hataları Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları Çözümyolu hatası, bir problemin çoğu zaman birden fazla şekilde çözülebileceği gerçeğinden kaynaklanır. Sonuçta bazı çözümler diğerlerinden daha iyidir. Örnek olarak, doğrusal SEK modelini hesaplamak için kullanılabilecek yöntemlerden bazıları şunlardır: Gaussçu eleme (Gaussian elimination) Tekil değer ayrıştırması (singular value decomposition) Cholesky çarpanlaması (Cholesky factorization) QR çarpanlaması (QR factorization) Bunlar içinde QR yöntemi, çoklueşdoğrusal veriler dışında diğerlerine göre daha güvenilir sonuçlar vermektedir.

Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları Sayısal Hesaplama Sorunları Özet Özetle, sayısal hesaplama sorunlarına ilişkin dikkat edilmesi gereken noktalar şunlardır: Bilgisayar matematiğinin kağıt-kalem matematiğinden tümüyle farklı olduğu unutulmamalıdır. Sayısal hataları azaltmanın kolay yolu, çözümleme öncesi verileri uygun şekilde ölçeklemektir. Tüm verileri öntanımlı olarak [0, 1) ya da [0,10) aralıklarına göre ölçeklemek doğru bir yaklaşımdır. Çok büyük ve çok küçük sayıları birlikte kullanmanın hatalı sonuçlara davetiye çıkarmak olduğu unutulmamalıdır. Ayrıca araştırmacı çalışmasında yalnızca veri kaynaklarını belirtmekle yetinmemeli, verilerin nasıl ölçüldüğünü ve ölçeklendiğini de mutlaka açıklamalıdır.

Ders Planı Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım 1 Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım 2 Ölçekleme ve Ölçü Birimleri Sayısal Hesaplama Sorunları 3

Doğrusallık (linearity) kavramının değişkenlerde doğrusallık ve değiştirgelerde doğrusallık olmak üzere iki ayrı şekilde tanımlandığını anımsayalım. KDBM için değiştirgelerde doğrusallık zorunlu olsa da değişkenlerde doğrusallık zorunlu değildir. Öyleyse, değişkenlerde doğrusal-dışı ama değiştirgelerde doğrusal olan ya da uygun dönüştürmelerle doğrusal yapılabilen modelleri KDBM ile tahmin etmek olanaklıdır. Bu bağlamda ele alacağımız model biçimleri şunlardır: Log-doğrusal model (log-linear model) Yarı-logaritmasal model (semi-logarithmic model) Evrik model (reciprocal model) Log-evrik model (log-reciprocal model)

Üstel (exponential) bağlanım modeli diye adlandırılan aşağıdaki modeli ele alalım: Y i = β 1 X β 2 i e u i Yukarıdaki gösterim aşağıdaki şekilde doğrusallaştırılabilir: ln Y i = ln β 1 +β 2 ln X i + u i = α +β 2 ln X i + u i Bu model, α ve β 2 anakütle katsayılarında doğrusaldır ve SEK yöntemiyle aşağıdaki gibi tahmin edilebilir: Burada Y i Y i = ln Y i ve X i = α + β 2 X i + u i = ln X i dir.

Her iki yanının logaritması alınarak doğrusallaştırılmış modellere log-doğrusal (log-linear), log-log (log-log) ya da çifte-log (double-log) modeller adı verilir. Log-doğrusal modeldeki ˆα ve ˆβ 2 SEK tahmincileri, başta gördüğümüz doğrusal modellerde olduğu gibi EDYT dirler. Ancak ˆβ 1 = antilog(ˆα) biçiminde tahmin edildiği için ˆα, ˆβ 1 nın yanlı bir tahmincisidir. Birçok uygulamada sabit terim ikinci derecede önemli olduğundan, ˆβ 1 in yanlı olmasına aldırılmayabilir.

Log-doğrusal modelin yaygınlığına yol açan çekici özelliği, β 2 eğim katsayısının Y nin X e göre esnekliğini vermesidir: Doğrusal Model Y i = α + β 2 X i + u i Eğim (birim değişim): dy i dx i = β 2 Esneklik (yüzde değişim): dy i /Y i dx i /X i = dy i dx i X i Y i = β 2 X i Y i Log-doğrusal Model Y i = exp(α + β 2 ln X i + u i ) Eğim (birim değişim): dy i 1 dx i = exp(α + β 2 ln X i + u i )β 2 X i Y = β i 2 X i Esneklik (yüzde değişim): dy i /Y i dx i /X i = dy i dx i X i Y i = ( β 2 Y i X i ) Xi Y i = β 2 Bu özelliğinden dolayı log-doğrusal model sabit esneklik (constant elasticity) modeli diye de adlandırılır.

Açıklayıcı Örnek Örnek olarak kahve talebi modeline bakalım. Veriler üzerinde log-log doğrusallaştırması yapıldıktan sonra hesaplanan bağlanım şu sonuçları vermektedir: ln Y i = 0,7774 0,2530 ln X i öh (0,0152) (0,0494) r 2 = 0,7448 t (51,1447) ( 5,1214) F 1,9 = 26,23 Fiyat esnekliği katsayısı 0,25 olarak bulunmuştur. Buna göre kahve fiyatında yüzde 1 artış olması durumunda kahve tüketiminin ortalama yüzde 0,25 azalması beklenir. Öyleyse kahve talebinin kendi fiyatına göre esnek olmadığı söylenebilir.

Açıklayıcı Örnek Zaman zaman doğrusal ve log-doğrusal model arasında bir seçim yapmak gerekli olabilir. Bağımlı değişkenler aynı olmadığı için, böyle bir durumda iki r 2 değerini doğrudan karşılaştırma yoluna gidilemez. Katsayı tahminlerini karşılaştırma konusunda ise β 2 ( X/Ȳ ) tanımından yararlanılarak doğrusal model için bir ortalama esneklik hesaplanabilir. Kahve talebi örneğinde, log-log modelden elde edilen β 2 esneklik katsayısı 0,25 iken, doğrusal modelin ortalama esnekliği de benzer biçimde 0,22 olarak bulunur. Dikkat: β 2 ( X/Ȳ ) kullanılarak bulunan ortalama esneklik farklı X ve Ȳ değerlerine bağlıdır. Log-doğrusal modelin esneklik katsayısı β 2 ise her fiyat düzeyinde aynıdır.

Log-Doğ Modeli Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Ekonomistler sık sık para arzı, istihdam, GSYH gibi değişkenlerin büyüme oranlarının tahmini ile ilgilenirler. Bileşik faiz formülünü anımsayalım: Y t = Y 0 (1 + r) t Burada r, Y nin zaman içindeki (bileşik) büyüme hızıdır. Yukarıdaki denklemin logaritmasını alalım: ln Y t = ln Y 0 + t ln(1 + r) β 1 = ln Y 0 ve β 2 = ln(1 + r) tanımlamalarını yapıp hata terimini de ekledikten sonra modeli şöyle yazabiliriz: ln Y t = β 1 + β 2 t + u t Yukarıda gösterilen modele log-doğ (log-lin) modeli denir.

Log-Doğ Modeli Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Bu noktada, sık sık karşılaştığımız mutlak değişim (absolute change), göreli değişim (relative change) ve yüzde değişim (percentage change) terimleri arasındaki farka dikkat edelim: Mutlak değişim X Göreli değişim X/X Yüzde değişim 100 X/X Eğer X deki değişim küçükse, aşağıda gösterilen yaklaştırma (approximation) uygulamada sıklıkla kullanılır: ln X X/X (göreli değişim)

Log-Doğ Modeli Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Log-doğ modeline geri dönelim: ln Y t = β 1 + β 2 t + u t Bu modelde β 2 katsayısı, açıklayıcı değişken t deki mutlak bir değişmeye karşılık Y deki göreli değişimi ölçmektedir: β 2 = ln Y t Diğer bir deyişle, β 2 katsayısı Y t değişkenindeki büyüme hızını (β 2 > 1) ya da küçülme hızını (β 2 < 1) vermektedir. Bu nedenle, log-doğ modeline aynı zamanda sabit büyüme (fixed growth) modeli de denir.

Log-Doğ Modeli Açıklayıcı Örnek Reel GSSSO örneğine dönersek, log-doğ modeline dayanan bağlanım bulgularının aşağıdaki gibi olduğunu görürüz: GSSSO t = 2,8516 + 0,0509 t öh (0,0517) (0,0061) t (55,1830) (8,3932) r 2 = 0,8544 Buna göre, 1987-2000 döneminde Türkiye de gayri safi sabit sermaye oluşumu yılda ortalama yüzde 5,09 dur. Ayrıca, ln Y 0 = 2,8516 nın anti-logaritmasını alırsak bulacağımız 17,3155 değeri de 1987 yılı için GSSSO nun yaklaşık 17,3 milyon TL olarak tahmin edildiğini gösterir.

Doğrusal Eğilim Modeli Araştırmacılar kimi zaman log-doğ modeli yerine aşağıdaki modeli tahmin ederler: Y t = β 1 + β 2 t + u t ln Y t yerine Y t nin zamana göre bağlanımının hesaplandığı bu modele doğrusal eğilim (linear trend) modeli denir. Buradaki t, eğilim (trend) değişkeni diye adlandırılır. Eğer β 2 eğim katsayısı artı çıkarsa Y t de zaman içinde bir artış eğilimi, eksi çıkarsa da bir düşüş eğilimi var demektir.

Doğrusal Eğilim Modeli Log-doğ ve doğrusal eğilim modellerine ilişkin iki noktayı özellikle belirtmekte yarar vardır: 1 İki modelin bağımlı değişkenleri farklı olduğu için bu modellerin r 2 değerlerini karşılaştırmak doğru değildir. 2 Bağımlı değişkenin zaman içinde değişiminin bu şekilde incelenmesi ancak zaman serisinin durağan (stationary) olması durumunda uygundur. Durağanlık kavramı ileride zaman serileri ekonometrisi konusu altında incelenecektir.

Doğrusal Eğilim Modeli Açıklayıcı Örnek GSSSO örneğimize geri dönelim ve şimdi de doğrusal eğilim modelini tahmin edelim: GSSSO t = 16,3621 + 1,2848 t öh (1,4170) (0,1664) t (11,5466) (7,7202) r 2 = 0,8324 Buna göre, 1987-2000 döneminde Türkiye de reel GSSSO yılda yaklaşık 1,3 milyon TL olarak gerçekleşmiştir. Demek ki bu dönemde reel GSSSO da artış eğilimi vardır.

Doğ-Log Modeli Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Eğer X deki yüzde değişime karşılık Y deki mutlak değişim ile ilgileniyorsak, buna uygun bir modeli şöyle yazabiliriz: Y i = β 1 + β 2 ln X i + u i Yukarıdaki modele doğ-log (lin-log) modeli denir. Bu modelde β 2 katsayısını kullanarak şunu gösterebiliriz: β 2 = Y X/X Y = β 2 ( X X ) Böylece X deki 0,01 (yüzde 1) oranındaki göreli değişmeye karşı Y de β 2 0,01 boyutunda mutlak değişme olmaktadır. Dolayısıyla, doğ-log modelini yorumlarken eğim katsayısı β 2 yi önce 0,01 ile çarparız.

Doğ-Log Modeli Açıklayıcı Örnek Örnek olarak 1987-2006 yıllarında Türkiye deki GSYH ve M2 para arzı verilerini kullanarak doğ-log modelini tahmin edelim: ĜSYH t = 26,7905 + 41,9796 ln M2 t öh (13,6546) (4,2488) t ( 1,9620) (9,8805) r 2 = 0,8443 41,98 büyüklüğündeki eğim katsayısının anlamı, örneklem döneminde para arzındaki yüzde 1 lik bir artışın GSYH de ortalama 0,4198 milyon liralık artışa yol açmış olduğudur.

Evrik Model Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Aşağıda gösterilen türden modellere evrik model denir: Y i = β 1 + β 2 1 X i + u i Yukarıdaki model, X değişkeni modele evrik girdiğinden, X te doğrusal değildir ama β 1 ve β 2 de doğrusaldır. Modelin önemli özelliği, X sonsuza yaklaşırken Y nin de β 1 kavuşmazsal (asymptotic) değerine yakınsamasıdır. Dolayısıyla, evrik modellerde açıklayıcı değişken artarken bağımlı değişkenin yaklaştığı bir limit değeri bulunur. Bu tür modellere örnek olarak Phillips eğrisi ya da üretimin ortalama sabit gider ile olan ilişkisi verilebilir.

Evrik Model Açıklayıcı Örnek Bir evrik model uygulaması olarak 2009 yılında Türkiye de illere göre 16-19 yaş grubundaki gelinlerin oranı (Y ) ile okuma yazma bilmeyenlerin toplam nüfusa oranı (X) verilerine bakalım: Ŷ i = 37,4131 74,7805 1/X i öh (1,7221) (11,7015) r 2 = 0,3408 t (21,7253) ( 6,3907) F 1,79 = 40,8407 Buna göre erken evliliklerde tavan oran yaklaşık %36,7 dir. Şöyle ki X = %100 ve 1/X = 0,01 olunca 16-19 yaşında evlenen bayanların oranı da % (37,4131 0,7478) olur. Dikkat: Gelir gibi diğer önemli etmenleri de göz önüne alan bir modelde bu kavuşmazsal oran daha düşük çıkacaktır.

Evrik Model Açıklayıcı Örnek TÜRKİYE İLLERE GÖRE ERKEN EVLENME VE OKUMA-YAZMA BİLMEME ORANI İLİŞKİSİ 45 Y = 37,4-74,8(1/X) 40 16-19 Yaş Grubundaki Gelinler (%) 35 30 25 20 15 10 4 6 8 10 12 14 16 18 Okuma-Yazma Bilmeyen Nüfus (%)

Log-Evrik Model Sıfır Noktasından Geçen Bağlanım Evrik modelin bir türü olan log-evrik (log-reciprocal) model aşağıdaki biçimi alır: ln Y i = β 1 β 2 1 X i + u i Türev hesabı kullanılarak burada Y nin X e göre eğimi d/dx(ln Y i ) = β 2 (1/X 2 i ) olarak bulunur. Model çizim üzerinde incelendiğinde de X artarken Y deki artışın önce dışbükey ve daha sonra da içbükey görünüm sergilediği anlaşılır. Öyleyse böyle bir model sermaye sabitken üretimin önce artarak arttığı ve sonra da azalarak arttığı üretim-işgücü ilişkisini çözümlemede kullanılabilir.

İşlev Biçiminin Seçimi Ele almış olduğumuz çeşitli model işlev biçimlerine ilişkin eğim ve esneklik bilgileri aşağıdaki çizelgede verilmiştir. Çizelge: Çeşitli İşlev Biçimlerinin Eğim ve Esneklikleri Model İşlev Biçimi Eğim ( dy dx ) dy X Esneklik ( dx Y ) X Doğrusal Y = β 1 + β 2 X β 2 β 2 Y ( Log-Log ln Y = β 1 + β 2 ln X β Y ) 2 X β 2 Log-Doğ ln Y = β 1 + β 2 X β 2 (Y ) β 2 (X) Doğ-Log Y = β 1 + β 2 ln X ( β 1 ) 2 X Evrik ( Y = β 1 + β 1 ) 2 X ( β 1 ) 2 X 2 Log-Evrik ( ln Y = β 1 β 1 ) 2 X ( β Y ) 2 X 2 ( β 1 ) 2 Y ( β 1 ) 2 XY ( β 1 ) 2 X

İşlev Biçiminin Seçimi Görgül çalışmalarda model seçiminin deneyim gerektirdiği açıktır. Yardımcı olabilecek birkaç nokta şunlardır: 1 Bazı durumlarda iktisat kuramı belli bir işlev biçimini gösterebilir ya da öngörebilir. 2 Tahmin edilen katsayıların önsel beklentileri karşıladığı doğrulanmalıdır. 3 Almaşık modelleri karşılaştırmak için eğim ve esneklik katsayılarını hesaplamak yardımcı olabilir. 4 Veri setine iki farklı model yakıştırıldığında, eğer bağımlı değişkenler aynı ise r 2 değerleri karşılaştırılabilir. 5 Ancak iki modeli r 2 temelinde karşılaştırmak her zaman uygun değildir. Bunun bir nedeni, eklenen her açıklayıcı değişkenin r 2 yi yükseltecek olmasıdır.

Toplamalı ya da Çarpmalı Hata Terimi İşlev biçiminin seçimine ilişkin olarak, aşağıdaki hata terimsiz bağlanım modelini ele alalım: Bu modeli tahmin amacıyla üç farklı şekilde yazabiliriz: Y i = β 1 X β 2 i İki yanlı logaritmalarını alırsak da şunları elde ederiz: Y i = β 1 X β 2 i u i Y i = β 1 X β 2 i e u i ln Y i = α + β 2 ln X i + ln u i ln Y i = α + β 2 ln X i + u i Y i = β 1 X β 2 i + u i ln Y i = ln(β 1 X β 2 i + u i ) Yukarıda görülen α = ln β 1 dir. İlk iki model değiştirgelerde doğrusalken, üçüncü modelin özünde doğrusal-dışı olduğuna dikkat ediniz.

Toplamalı ya da Çarpmalı Hata Terimi SEK in EDYT özelliğinin hatalarda sıfır ortalama ve sabit varyans aradığını anımsayalım. Ayrıca önsav sınaması için u i lerin normal dağılımlı olduğu, kısaca u i N(0, σ 2 ) varsayılmaktadır. Buna göre, örneğimizdeki ikinci modeli kullanmak istersek ln u i N(0, σ 2 ) varsaymamız gereklidir. Ancak eğer ln u i N(0, σ 2 ) ise, ilk modeldeki u i de e σ2 /2 ortalama, e σ2 (e σ2 1) varyansla log-normal dağılımlı olur. Üçüncü model ise değiştirgelerde doğrusal-dışı olduğu için ancak yinelemesel bir yöntem ile çözülebilir. Sonuç olarak, modeli bağlanım için dönüştürürken hata terimine özel bir dikkat göstermek gereklidir. Hatalı doğrusallaştırma, arzulanan istatistiksel özellikleri taşımayan bir modele yol açabilir.

Önümüzdeki Dersin Konusu ve Ödev Ödev Kitaptan Bölüm 6 Extensions of the Two-Variable Regression Model okunacak. Önümüzdeki Ders Çoklu Bağlanım Çözümlemesi: Tahmin Sorunu