TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

Transkript

1 TANIMLAYICI İSTATİSTİKLER

2 Tanımlayıcı İstatistikler ve Grafikle Gösterim Grafik ve bir ölçüde tablolar değişkenlerin görsel bir özetini verirler. İdeal olarak burada değişkenlerin merkezi (ortalama) değerlerinin ve değişkenlik (yayılma) durumu ve miktarının görülmesi gerekir. Gösterilen verinin ölçüm seviyesi kullanılabilecek grafik ve tablonun türü konusunda bir kısıt oluşturur

3 Frekans Dağılımları Sıralı, Aralık ve Oran seviyelerinde ölçülen veriler kolaylıkla frekans dağılımı ile özetlenebilirler Veriler sayısal olarak sıralı olan çeşitli gruplara ayrılırlar.

4 Frekans Dağılımları Telefon çağrı süreleri (dakika) Bizim görevimiz bu verilerden anlamlı bilgiler çıkarmak

5 Frekans Dağılımları Yöntem Uygun sayıda sınıf belirle Her sınıf için uygun bir genişlik belirle Her sınıftaki kişileri say Örneğin 3 genişliğinde 6 sınıf

6 Frekans Dağılımları Bu işlemle birlikte bazı bilgiler kaybolur Belirlenen sınıf sayısı tamamen kullanıcıya bağlıdır Sınıf genişliği sınıf sayısına karar verildikten sonra belirlenir Sınıflar arası çakışma olmamalıdır Sınıf genişliklerini eşit tutmaya çalışmak gerekir

7 Frekans Dağılımları Sınıf Aralık Frekans Toplam 30

8 Frekans Histogram Frekans tablosunun grafik gösterimidir Telefon çağrı süresi (dakika)

9 Frekans Histogram ,5 6,5 9,5 12,5 15,5 18,5 Orta noktalar (dakika)

10 Dal Yaprak Grafikleri Dal-Yaprak Grafikleri verilerin özelliklerini incelemek için kullanılabilecek faydalı bir sıralama yöntemidir. Veriyi hem tablo hem grafik olarak gösterir.

11 Dal Yaprak Grafikleri Aşağıdaki ham verilere bakalım

12 Dal Yaprak Grafikleri Dal Yaprak

13 Dal Yaprak Grafikleri D-Y aynı bilgileri sunar ancak verideki bazı kritik noktaları kolayca görmemizi sağlar. Örneğin en büyük ve en küçük değerler nerdedir, değerlerin çoğunluğu nerede yatmaktadır, orta değer nerededir, vs. Burada dal değerlerini belirlemekte zorluk yaşanabilir.

14 Kategorik verilerin grafikle gösterilmesi Veriler kategorik seviyede ölçüldüğü zaman histogram, frekans dağılımı ve dal-yaprak grafiklerinin kullanımı geçerli olmaz. Çünkü kategorilerin hangi sırada olduğunun bir önemi yoktur

15 Pasta Grafiği Her dilimin bir kategoriyi temsil ettiği, dilimlere ayrılmış bir dairedir. Her dilimin alanı o kategoriye karşılık gelen veri oranını temsil eder Amacımız her kategorinin göreli büyüklüğünü göstermek olduğu durumlarda kullanılır

16 Pasta Grafiği Oy oranları A partisi B Partisi C Partisi D Partisi E Partisi Diğerleri

17 Çubuk grafiği Her kategorinin frekansı dikey bir çubuk ile gösterilir. Bu ham veriler olabileceği gibi göreli frekanslar da olabilir Farklı kategorileri karşılaştırmak için uygundur Çubuklar boşluklarla ayrılır

18 Oy Oranı Çubuk grafiği A Partisi B Partisi C Partisi D Partisi E Partisi Diğer

19 Tanımlayıcı İstatistikler Büyük veri kümeleri çoğu zaman sadece birkaç sayı ile yeterince açıklanabilirler Merkezi Eğilim Ölçüleri Değişkenlik Ölçüleri

20 Merkezi Eğilim Ölçüleri Merkezi eğilim ölçüleri veri kümelerini açıklamada en sık kullanılan ölçülerdir. Bu sayılar bize veri kümesindeki ortalama, orta yada en sık görülen sayıyı verirler Bu bağlamda çeşitli ölçüler vardır. Burada en önemli 3 tanesinden bahsedeceğiz

21 Aritmetik Ortalama Genellikle kısaca ortalama olarak adlandırılır Bir örneklemde x üzeri çizgi ile gösterilir x Ana kütle de ise mü ile gösterilir

22 Aritmetik Ortalama Ortalama bütün değerlerin toplamının değer sayısına bölünmesiyle bulunur. Örneğin n tane gözlemden oluşan bir örneklemde ortalamanın değeri n x xi i 1 n

23 Aritmetik Ortalama Örneklem ortalaması genellikle ana kütle ortalamasını tahmin etmede kullanılır Ortalama her değeri toplama eklediğinden, uç değerlerden önemli ölçüde etkilenir. Ve dolayısıyla verileri temsil ederken yanıltıcı olabilir

24 Medyan - Ortanca Verinin bir modu yoksa, ve simetrik değilse o zaman medyan tercih edilir Medyan serideki veriler sıraya dizildiğinde ortadaki değerdir. Yani medyanın altında ve üstünde eşit sayıda gözlem bulunur

25 Medyan Eğer tek sayıda değer varsa, medyan ortadaki değerdir. Değilse, ortadaki iki değer arasındadır ve bu iki sayının ortalaması alınarak bulunur

26 Medyan Verileri sıraya koyun Aşağıdaki formülü kullanarak orta değeri bulun Orta değer n 1 2 konumundaki değer

27 Medyan Örnek; 12, 34, 47, 32, 19, 17, 15 7 adet gözlem var, dolayısıyla; n 1 = 7 1 = 4 üncü değer 2 2 Sıraya konulduğunda; 12, 15, 17, 19, 32, 34, 47 Medyan 19 dur

28 Medyan Başka bir örnek; Veriler = 4, 6, 8, 9, 12, 16 6 adet gözlem var, dolayısıyla; n 1 = 6 1 = 3.5 uncu değer 2 2 = 3. ve 4. değerlerin ortalaması = 8 ve 9 un ortlaması = 8.5 Medyan 8.5

29 Medyan Medyan sadece gözlem sayısından etkilenir, bu gözlemlerin değerlerinden etkilenmez. Dolayısıyla uç değeler medyanı etkilemez Örneğin 3, 3, 5, 7, 8, 12, 13 ve 3, 3, 5, 7, 8, 12, 95 Medyanları aynıdır

30 Mod Mod bir veri kümesinde en sık rastlanan değer(ler) dir Özellikle ortalama ve medyanı hesaplamanın mümkün olmadığı kategorik verilerde faydalıdır. Bir dağılımın birden fazla modu olabilir

31 Mod Bir dağılımın merkezi noktasını temsil etmeyebilir. Bir sayı değil de bir aralık olabilir

32 Merkezi Eğilim Ölçüleri Örneği Aşağıdaki verileri ele alalım Ortalama, medyan ve modu hesaplayalım

33 Merkezi Eğilim Ölçüleri Örneği Ortalama = ( ) = x n xi i 1 n 12

34 Merkezi Eğilim Ölçüleri Örneği Medyan Orta değer = n 1 2 inci değer = = 6.5 uncu değer = 6. ve 7. sayıların ortalaması Sayıları sıraya koyduğumuzda; Medyan = (21+23)/2 = 22

35 Merkezi Eğilim Ölçüleri Örneği Mod sayılar : frekanslar: Dolayısıyla, mod=34

36 0-4 >4-8 >8-12 >12-16 >16-20 >20-24 >24-28 >28-32 >32-36 >36-40 Frekans Ortalama, Medyan ve Modun karşılaştırılması Eğer verilerin tek modu var ve veriler simetrikse, bu üç değer birbirine yakın veya benzerdir Yaş Sınıfı Aralıkları (yıl)

37 Ortalama, Medyan ve Modun karşılaştırılması Verilerde eğiklik varsa ortalam ve medyan birbirine eşit olmaz. Ortalama eğikliğe doğru sürülenir. Yani + eğiklik durumunda ortalama medyandan büyük olur - eğiklik durumunda, ortalama medyandan küçük olur.

38 0-4 >4-8 >8-12 >12-16 >16-20 >20-24 >24-28 >28-32 >32-36 >36-40 Frekans Ortalama, Medyan ve Modun karşılaştırılması Sağa Eğik Yaş Sınıfı Aralığı (Yıl) Ortalama > Medyan > Mod

39 0-4 >4-8 >8-12 >12-16 >16-20 >20-24 >24-28 >28-32 >32-36 >36-40 Frekans Ortalama, Medyan ve Modun karşılaştırılması Sola Eğik Yaş Sınıfı Aralıkları (Yıl) Ortalama < Medyan < Mod

40 Yayılma Ölçüleri Bir dağılımın diğer önemli özelliği ise yayılma ölçüsüdür. Yani veri ne kadar değişiklik göstermektedir. Yaygın bir biçimde kullanılan 4 yayılma ölçüsü: Aralık, varyans, standart sapma ve değişim katsayısıdır. Ayrıca Dördebölenler aralığına da bakacağız

41 Aralık Aralık bir veri kümesindeki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır Aralık = x max - x min Örneğin; 2005 yılında benzin fiyatları 2,75 YTL ile 3,05 YTL arasında değişmiştir

42 Aralık Aralık bu iki uç nokta arasında verilerin nasıl dağıldıkları konusunda bize bir bilgi sağlamaz. Örneğin dağılımın her iki ucunda da veya ortalarda da yığılmalar söz konusu olabilir ama biz bu bilgiyi aralıktan öğrenemeyiz.

43 Varyans Bütün verileri dikkate alan ve en çok kullanılan yayılma ölçüleri varyans ve standart sapmadır. Daha çok değişkenlik içeren bir veri kümesinin varyansı, nispeten daha homojen (daha az değişkenlik içeren) bir veri kümesinin varyansından büyük olur. Varyans, gözlemlerin ortalamadan sapmalarının kareleri toplamının gözlem sayısına bölümüyle bulunur.

44 Varyans Şu sayıları ele alalım: 5, 17, 12, 10 Bu verilerin ortalaması ( )/4 = 11 Sapma her bir gözlemin ortalamaya olan uzaklığıdır.

45 Varyans Ortalama = 11 Veriler = Sapmalar Bu veriler için sapmaları hesaplarsak 5-11 = = = = 6

46 Varyans xi xi Biz burada sapmaların karesi ile ilgileniyoruz. Dolayısıyla, sayıların karesini alırız Sayı Sapma Sapmanın Karesi 2 xi xi xi

47 Varyans Karesi alınan sapmalar daha sonra toplanır ve gözlem sayısına bölünür. Böylece veri kümesinin sapması bulunur: Varyans = ( ) / 4 = 18.5 Dolayısıyla varyans kareleri alınmış sapmaların ortalamasıdır

48 Varyans Bir ana kütle için varyans 2 ile gösterilir ve formülü N x i 2 i 1 N 2

49 Varyans Bir örneklem için varyans s 2 ile gösterilir ve formülü s 2 n i 1 x i x n 1 2

50 Standart Sapma Standart sapma varyansın pozitif kareköküdür. Dolayısıyla ana kütle standart sapması, örneklem standart sapması ise s, yani; Standart sapma ortalama ile aynı birime sahiptir s n i 1 x i x n 1 2

51 Değişim katsayısı Değişim katsayısı göreli bir değişkenlik ölçüsü olup herhangi bir birime sahip değildir ve genellikle yüzde olarak ifade edilir. Aynı birimlerle ölçülmemiş olan verileri karşılaştırmak veya birbirinden çok farklı ortalamalara sahip verileri kıyaslamak için kullanılır. Standart sapmayı ortalamaya bölerek hesaplanır

52 Değişim Katsayısı CV s x CV Bu katsayı oran seviyesinde ölçülmüş veriler için hesaplanabilir

53 Dördebölenler Veri ile ilgili bilgilerimizi artırmanın bir diğer yolu da orta yarıya bakmaktır Hatırlayacağınız gibi Medyan veri kümesinin ortasındaki değerdir. Yani gözlenen değerlerin %50 si medyanın üstünde %50 ise altındadır. Dördebölenler de benzer şekilde hesaplanır.

54 Dördebölenler İlk dörde bölen başlangıçtan ilk çeyrek uzaklıktadır. Yani verilerin çeyrek bölümü ilk dördebölenden küçüktür. Üçüncü çeyrek ise veri başlangıcından 3 çeyrek uzaktadır. Yani verilerin dörtte üçü 3. dördebölenden küçüktür

55 Frequency Dördebölenler Company weekly salaries Salary midpoint ($)

56 Dördebölenler Ör:Aşağıda sıraya konulmuş verileri ele alalım sayı var, dolayısıyla medyan 6. sayı yani 17. İlk dörde bölen medyanın altındaki sayıların ortasındaki sayıdır

57 Üçüncü dördebölen medyanın üstündeki gözlemlerin ortasındaki değerdir, Dolayısıyla; Verilerin ortadaki %50 si birinci ve üçüncü dörde bölen arasında yer alır.

58 Kutu çizimleri Kutu grafiği yukarıdaki bilgilerin tümünü içeren güzel bir grafiktir Kutu çizimi kolayca verilerin aralığını, yayıklığını ve dağılımın merkezini görmemizi sağlar min Q1 M Q3 max

59 Kutu çizimleri Kutu Çizimleri birden fazla dağılımı karşılaştırmada oldukça faydalıdır Kutu çizimleri dikey veya yatay olarak çizilebilirler Erkek Bayan

60 Temel Bilgiler Ana kütle parametreler ile tanımlanır. Bu amaçla kullanılan semboller Yunan alfabesi veya büyük harflerdir. Örneklemler istatistiklerle tanımlanırlar. Bu amaçla kullanılan semboller küçük harflerdir.

61 Özet İstatistik Ana kütle Örneklem Ortalama x Std Sapma s Varyans 2 s 2 Büyüklük N n