SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş. 1.Hafta

Transkript

1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME Yrd.Doç.Dr.Esra Tunç Görmüş 1.Hafta

2 Sayısal çözümleme nümerik analiz nümerik çözümleme, approximate computation mühendislikte sayısal yöntemler Computational mathematics Numerical analysis gibi adlar altında kullanılır.

3 AMAÇ Bir problemin çözümü için daha önceden bilinen bir modele göre çeşitli hesaplama araçlarını bir vasıta olarak kullanıp en doğru ve etkin sonuçları bulmaktır. Bu durumuyla, Konu olarak bir problemin çözümü için gerekli olan matematik modelin kurulması yani algoritma kurma işlemleri ile uygulamalı matematiğin bir alt konusu olabileceği gibi, Modeli veya algoritması bilinen bir problemin bilgisayar yardımı ile çözümü için gerekli dillerin geliştirilmesi, donanımları, algoritmik çözüm süreçleri ve sayısal işlemler kullandığından dolayı da bilgisayar mühendisliğinin bir alt konusudur.

4 Sayısal çözümlemede hiç bir zaman amaç; sadece ne böyle bir modeli kurmak ne de sadece çözmektir. Sayısal çözümlemenin ana amacı; bir problemin çözümü için daha önceden bilinen bir modele göre, çeşitli hesaplama araçlarını bir vasıta olarak kullanıp en doğru ve etkin sonuçları bulmaktır. Bu durumuyla, sayısal çözümleme doğrudan ne uygulamalı matematiğin ne de bilgisayar mühendisliğinin bir alt disiplinidir. Her ikisiyle belli bir oranda ilintili olan ve kendine özgü amaç ve hesaplama özelliklerini içeren ortak bir disiplin olduğu söylenebilir.

5

6 ÖRNEK:1 Konuya bir örnek olarak; gözlemlere dayalı deneysel verilerden yararlanarak bir A şehrinden B şehrine doğru kara yolu ile giden bir aracın hızı belli zamanlarda ölçülerek aşağıdaki değerler elde edilmiştir; Bu aracın t=0.35 saniyedeki hızı, ivmesinin ve başlangıç noktasından itibaren kat ettiği yolun ne kadar olduğunun hesaplanması isteniyor? Bu aracın zamana bağlı olarak hızı, analitik bir fonksiyon olan v f (t) şeklinde sürekli türden bir bağıntı ile verilmiş olsaydı, t=0.35 alınarak hızı Zamana göre türevi alarak ivmesi, Başlangıç noktasından itibaren integrali alınmakla da bu ana kadar kat ettiği yolun uzunluğunu bulmak mümkündür. Aksine, burada aracın hızı böyle analitik fonksiyon yerine, gözlemlere dayalı deneysel verilerle verilmiş olduğundan problemin çözümü bu yolla gerçekleştirilemez. Konu ancak, sayısal çözümlemenin bilinen basit enterpolasyon yöntemiyle cevaplandırılabilir.

7 ÖRNEK:2 Konuyla ilgili ikinci bir örnek, Arazide koordinatları bilinen bir noktanin yuksekligi, cevrede yukseklikleri ve koordinat değerleri bilinen noktalara göre belirlenmek isteniyor.

8 Yrd.Doç.Dr. Burhanettin ÇETİN NEDEN SAYISAL YÖNTEMLER 1. Bu yöntemler analitik olarak çözümü olmayan ya da çok zor olan birçok mühendislik probleminin çözümünün hızlı ve hassas bir şekilde elde edilmesini sağlar. 2. Bilgisayarda kullanılan mühendislik hazır programlarının çoğu sayısal yöntemleri kullanır. Bu yazılımları verimli olarak kullanmak için sayısal yöntemlerin temelini ve problemin çözüm şeklini bilmemiz gerekir. Bu sayede, problemin çözümü için yöntemin ihtiyaç duyduğu girdiler kolayca elde edilir, oluşacak hata ve zaman kayıpları engellenir ve elde edilen çözümler kolayca yorumlanır.

9 NEDEN SAYISAL YÖNTEMLER 3. Mühendislik hayatımızda her problemi çözmek için hazır yazılım bulmak mümkün olmayabilir. Ya da hazır programı satın almak ekonomik olmayabilir. Hazır program yerine sayısal yöntemi ve herhangi bir bilgisayar dilini bilmek mühendisin bir çok problemi kolayca çözmesini sağlayacaktır. 4. Daha ileri aşamalarda iyi bir programlama bilen mühendis sayısal yöntemleri kullanarak, mühendislik problemlerinin çözümünde kullanılabilecek programları kendisi yazabilir. 5. Sayısal yöntemler bir mühendisin matematik anlayışını ve problem çözme yeteneğini güçlendirir. Karşılaştığı problemlere doğru bir yaklaşım ve çözüm getirebilme kabiliyetini artırır.

10 Sayısal Çözümlemede kullanılan araçların Zamansal gelişimi Abaküs Sürgülü hesap cetveli Mekanik hesap makinası Bilgisayarlar

11 Sayısal yöntemlerin el ile uygulanması ve hesaplamaların hesap makineleri ile yapılması mümkündür. Elle yapılan hesaplamalar yavaş, zahmetli, hataya açık ve güvenilir değildir. Bu nedenle problemlerin çözümünde sayısal yöntemleri kullanan bilgisayar programlarından yararlanılır. Bilgisayar ve bilgisayar programlarının kullanılması el ile çözümde karşılaşılacak tüm sorunları ortadan kaldırır.

12 Bütün yöntemlerde izlenecek yol Program Başla İlk tahmin değerlerini ata Sayısal çözümleme yöntemini kullanarak problemi çöz Tekrarlama döngüsü Çözüm sonucu ne kadar hatalı hesapla Hata < s? E Çözüm sonucunu göster H Durdurma Kriteri S.YILMAZ,KOU,ELO_HAB,

13 Yrd.Doç.Dr. Burhanettin ÇETİN MATEMATİK PROBLEMLERİ Sayısal yöntemler kullanılarak çözülecek farklı tipte problemler olabilir. Bu derste çözülecek matematik problemleri; Sayısal Çözümlemede Hatalar Ve Hata Ölçütleri Mutlak Ve Bağıl Hatalar Matrisler Tek Değişkenli Fonksiyonları Sıfır Yapan (Kök) Değerlerinin Hesabı Çok Değişkenli Fonksiyonları Sıfır Yapan (Kök) Değerlerinin Hesabı Doğrusal denklem sistemlerinin çözümü Doğrusal olmayan denklemlerin çözümü

14 SAYISAL HESAPLAMALARDAKİ HATALAR Sayısal yöntemlerde amaç analitik çözüme yakın sonuçlara ulaşmaktır. Bu nedenle, sayısal yöntem ile yapılan hesaplamalarda gerçek sonuçtan farklılık vardır. Bu fark ise hatalardan kaynaklanır. Sayısal yöntemlerin etkin bir biçimde kullanılabilmesi için hata kavramının iyi anlaşılması gerekir. Mühendislik problemlerinin çözümünde gerçek değer bilinmediğinden hata tam olarak belirlenemez. Dolayısıyla hata değeri tahmin edilen değerler üzerinden hesaplanır. Sayısal yöntemlerde önemli olan hatanın ne kadar olduğu ve kabul edilip edilemeyeceğidir. Bu nedenle hatanın tahmini, miktarı ve azaltılması için yöntemlerin kullanılması gerekir.

15 HATA TANIMLAMALARI Gerçek hata Hatalar; sayısal yöntemle ilgili hatalar(sayısal hatalar) ve sayısal yöntemle ilgili olmayan hatalar olmak üzere iki bölümde ele alınır. Hatanın sebebi ne olursa olsun değeri; E g Gerçek Hata= Gerçek Değer Yaklaştırma Değeri X g X y E g değerine mutlak hata denilir.

16 Gerçek Bağıl Hata Mutlak hatanın eksikliği hatanın mertebesi hakkında bir fikir vermemesidir. Örnek olarak 1 cm mutlak hata bir köprü yapımı ile cıvata imalatında farklı anlamlar içermektedir. Hatanın büyüklüğünün dikkate alınmasının yolu ise bağıl hata tanımlaması ile elde edilir. g X X g X g y.100 Burada g gerçek bağıl hata değerini gösterir. Bu değer gerçek hata değerinin gerçek değere oranıdır.

17 ÖRNEK-1 Yrd.Doç.Dr. Burhanettin ÇETİN Bir köprü ve bir perçinin uzunluklarını ölçmeniz isteniyor. Ölçüm sonucunda boylarını sırasıyla 9999 ve 9 cm bulduğunuzu varsayalım. Eğer gerçek değerler sırasıyla ve 10 cm ise her iki durum için (a) gerçek hatayı, (b) gerçek bağıl hatayı hesaplayın. Çözüm: Köprünün ölçülmesindeki hata E köprü X g,köprü X y,köprü = = 1 cm Perçinin ölçülmesindeki hata; E percin =10-9=1 cm.

18 Yrd.Doç.Dr. Burhanettin ÇETİN ÖRNEK-1 Köprü için gerçek bağıl yüzde hata; köprü E X kopru kopru % Perçin için gerçek bağıl yüzde hata; percin E X percin percin % 10 10

19 SAYISAL ÇÖZÜMLEMEDE HATALAR VE HATA ÖLÇÜTLERİ INPUT VERİ VEYA ÖLÇÜ HATALARI

20 MÜHENDİSLİK PROBLEMLERİ Problemin çözümünde doğru sonucun elde edilmesi belirtilen tüm aşamaların doğru bir şekilde uygulanmasına bağlıdır. Herhangi bir aşamada hata yapılırsa sonucumuz da yanlış olacaktır. Örnek olarak, problem doğru tanımlansa bile matematik modellemede yapılacak hata, sonucun hatalı olmasına neden olur. Aynı durum dersimizin konusu olan sayısal yöntemin seçiminde ve uygulanmasında da ortaya çıkar. Doğru bir matematik model oluşturulsa bile, sayısal çözümlemedeki hatalar sonucun yanlış olmasına sebep olur. Yrd.Doç.Dr. Burhanettin ÇETİN

21 Sayısal Yöntemle ilgili hatalar 1. YUVARLAMA HATALARI Yuvarlama hataları bilgisayarda sadece belirli sayıda anlamlı basamağın saklanmasından kaynaklanır. Örneğin π, e ve 7 gibi sayılar sabit sayıda anlamlı basamakla yazılamazlar. Bu nedenle bilgisayarda değerleri tam olarak ifade edilemez. Dolayısıyla sonuçta hata oluşur. Ayrıca bilgisayarda sayılar 2-tabanına çevrilerek saklanır. Bu durumda 10- tabanına göre tam sayı olan bazı sayılar bile bilgisayarda tam olarak ifade edilemez. (π=3,14 ya da 3,14159 ya da 3, )

22 İŞLEM HATALARI (Roundoff Error) veya kesme Truncation Error Yuvarlatma Hatası Çeşitli hesaplamalar sırasında, hesaplama işlemlerinin sonuçları istenilen sayıdaki rakamdan daha fazla olurlar. Böyle sayılardan istenilen basamaktaki yada sayıdaki rakamdan oluşan bir değeri almak için son haneleri yuvarlatılır. Bu yuvarlatma işlemi, istenen basmağın sağındaki rakamın 5 ile karşılaştırılması ile yapılır.

23 İŞLEM HATALARI (Roundoff Error) veya kesme Truncation Error Yuvarlatma Hatası

24 Yuvarlatma Hatası

25 2. KESME HATALARI Kesme hataları matematik ifadelerin sayısal yöntemlerde yaklaşım ile elde edilmesinden kaynaklanır. Bu hatanın anlaşılması için Taylor serisini ele alalım. Bu seri sayısal yöntemlerde matematik fonksiyonların hesaplanmasında kullanılır. Örnek olarak cos fonksiyonunun Taylor serisi; cosx 1 2 x 2! 4 x 4! 6 x 6!... şeklindedir. Bu serinin belirli sayıda terimi hesaplama için kullanılır. Bu ise kesme hatasına sebebiyet verir. Yrd.Doç.Dr. Burhanettin ÇETİN

26 e -4 = x10-3 olduğuna göre seriyi hesaplamak için 8 terim kullanılması durumunda mutlak ve bağıl hatayı hesaplayınız. 3! x 2! x x 1 e 3 2 x , % e E, e e E, e e t t t y t t y y ÖRNEK-2

27

28 İŞLEM HATALARI :Yuvarlatma (Roundoff Error) ve Kesme (Truncation Error) Kesme Hatası Bilgisayarlarda bazı kapalı fonksiyonlarla ifade edilen (Trigonometrik,Üssel fonksiyonlar) fonksiyonların değerlerini kullanırken, bunların seri açılımından elde edilen; n adet teriminden belli sayıdaki terimlerinden hesaplanmış değerleri kullanılır.

29 İŞLEM HATALARI (Roundoff Error) veya kesme Truncation Error Kesme Hatası