ÖZEL EGE LİSESİ ÇEŞİTLİ GEOMETRİK ŞEKİLLERİN İÇERDİĞİ MAKSİMUM KAFES NOKTASI SAYILARININ BULUNMASI HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Toygar Çaparoğlu DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 01
İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3. GİRİŞ... 3 3. ÖN BİLGİLER...3 4. ÇEŞİTLİ GEOMETRİK ŞEKİLLER VE KAFES NOKTALARI... 4 5. SONUÇLAR...10 TEŞEKKÜR.11 KAYNAKLAR..11
1. PROJENİN AMACI Bu çalışmanın amacı n Z olmak üzere dik kenarlarının uzunluğu n br olan ikizkenar dik üçgenler yardımıyla elde edilebilen çeşitli geometrik şekillerin içerdikleri maksimum kafes noktası sayılarını veren formülleri elde etmektir.. GİRİŞ Kafes noktalarına duyduğum ilgi arttıkça basit bir geometrik şeklin içerdiği maksimum kafes noktası sayısını elde edip, bu geometrik şekil yardımıyla elde edilen daha karmaşık geometrik şekillerin içerdikleri maksimum kafes noktası sayılarını bulmayı hedefledim. Aldığım yardımlar sonucunda hatasız gözlem yapmanın, gözlem sonuçlarını iyi değerlendirmenin ve adım adım ilerlemenin bu işin temeli olduğunu anladım. Bu çalışmada ilk olarak dik kenarlarının uzunluğu n Z br olan bir ikizkenar dik üçgenin içerdiği maksimum kafes noktası sayısını elde ettim. Yaptığım gözlemler sonucunda bir ikizkenar dik üçgenin maksimum sayıda kafes noktası içermesi için köşelerinin tam sayı koordinatlı noktalar üzerinde ve dik kenarlarının koordinat eksenlerine paralel olması gerektiğini gördüm. Daha sonra sırasıyla kare, dik yamuk, paralelkenar ve kendi adlandırdığım dört yapraklı yonca ve rüzgar gülü şekillerinin içerdikleri maksimum kafes noktası sayılarını bu ilk formülden faydalanarak elde ettim. Kenarları birbirinin tam sayı katı olan bir dikdörtgenin içerdiği maksimum kafes noktası sayısını bularak bu çalışmayı sonlandırdım. 3. ÖN BİLGİLER TANIM 3.1 Koordinat düzleminde koordinatları tam sayı olan noktalara kafes noktası adı verilir (Wei and Ding, 009). Bu çalışma boyunca kullanılacak olan notasyonlar aşağıdaki gibidir: Bir ikizkenar dik üçgenin dik kenarlarının uzunluğu n Z br olsun. 1. Bu üçgen köşeleri ve dik kenarları tam sayı koordinatlı noktalara denk gelecek şekilde koordinat eksenine yerleştirildiğinde içerisinde kalan kafes noktasının sayısı Ü(n),. Bu üçgenden iki tane kullanılarak elde edilen karenin içerdiği maksimum kafes noktası sayısı K(n), 3. Bu üçgenden üç tane kullanılarak elde edilen dik yamuğun içerdiği maksimum kafes noktası sayısı Y(n), 4. Bu üçgenden dört tane kullanılarak elde edilen paralelkenarın içerdiği maksimum kafes noktası sayısı P(n), 5. Bu üçgenden dört tane kullanılarak elde edilen dört yapraklı yoncanın içerdiği maksimum kafes noktası sayısı YC(n), 6. Bu üçgenden altı tane kullanılarak elde edilen rüzgar gülünün içerdiği maksimum kafes noktası sayısı R(n), 7. k Z olmak üzere kısa kenarının uzunluğu n Z br, uzun kenarının uzunluğu k n br olan bir dikdörtgenin içerdiği maksimum kafes noktası sayısı D(k n, n), ile gösterilecektir. 3
4. ÇEŞİTLİ GEOMETRİK ŞEKİLLER VE KAFES NOKTALARI TEOREM 4.1 Dik kenarlarının uzunluğu n Z br olan bir ikizkenar dik üçgenin içerdiği maksimum kafes noktası sayısı (n + 1) (n + ) Ü(n) = dir. ulaşılır: İSPAT: n = 0 dan başlayarak yapılacak basit bir gözlem sonucunda aşağıdaki sonuçlara 1 1 0 0 1 0 0 1 n = 0 için Ü(0) = 1 n = 1 için Ü(1) = 3 4 3 3 1 1 0 0 1 3 0 0 1 3 4 n = için Ü() = 6 n = 3 için Ü(3) = 10 Elde ettiğimiz bu değerleri şu şekilde de yazabiliriz: n = 0 için Ü(0)=1 n = 1 için Ü(1)=1+ n = için Ü()=1++3 n = 3 için Ü(3)=1++3+4 4
Buradan kolayca görülebileceği gibi Ü(n) = 1 + + 3 + + n + n + 1 dir. Dolayısıyla, elde edilir. Ü(n) = (n + 1) (n + ) TEOREM 4. Bir kenarının uzunluğu n Z br olan bir karenin içerdiği maksimum kafes noktası sayısı K (n) = (n + 1) dir. İSPAT: Kareyi iki tane ikizkenar dik üçgene bölüp n = 0 dan başlayarak yapılacak basit bir gözlem sonucunda aşağıdaki sonuçlara ulaşılır: n = 0 için K(0) = Ü(0) 1 n = 1 için K(1) = Ü(1) n = için K () = Ü() 3 n = 3 için K (3) = Ü(3) 4 Burada, tekrarlanan kafes noktalarının sayısı iki tane ikizkenar dik üçgenden elde edilen kafes noktası sayısından çıkartılmıştır. Kolayca görülebileceği gibi K(n) = Ü(n) (n + 1) dir. Dolayısıyla, K(n) = n+1 n+ (n + 1) O halde K (n) = (n + 1) dir. = (n + 1) (n + ) (n + 1) = (n + 1) (n + 1) TEOREM 4.3 Kısa kenarının uzunluğu n Z br, uzun kenarının uzunluğu n br olan bir dik yamuğun içerdiği maksimum kafes noktası sayısı Y(n) = 3 n +5 n+ dir. 5
İSPAT: Yamuğu bir tane ikizkenar dik üçgen ve bir tane kareye bölüp n = 0 dan başlayarak yapılacak bir gözlem sonucunda aşağıdaki sonuçlara ulaşılır: n = 0 için Y(0) = Ü(0) + K(0) 1 n = 1 için Y(1) = Ü(1) + K(1) n = için Y() = Ü() + K() 3 n = 3 için Y(3) = Ü(3) + K(3) 4 Burada, tekrarlanan kafes noktalarının sayısı bir tane ikizkenar dik üçgen ve bir tane kareden elde edilen kafes noktası sayılarının toplamından çıkartılmıştır. Kolayca görülebileceği gibi Y(n) = Ü(n) + K(n) (n + 1) dir. Dolayısıyla, Y(n) = (n+1) (n+) + (n + 1) (n + 1) O halde, Y (n) = 3 n +5 n+ elde ederiz. TEOREM 4.4 Dar açısının ölçüsü 45, yüksekliğinin uzunluğu n Z br ve uzun kenarının uzunluğu n br olan bir paralelkenarın içerdiği maksimum kafes noktası sayısı dir. İSPAT: P (n) = (n + 1) (n + 1) Paralelkenarı iki tane ikizkenar dik üçgen ve bir kareye bölüp n = 0 dan başlayarak yapılacak basit bir gözlem sonucunda aşağıdaki sonuçlara ulaşılır: 6
n = 0 için P(0) = Ü(0) + K(0) n = 1 için P(1) = Ü(1) + K(1) 4 n = için P() = Ü() + K() 6 n = 3 için P(3) = Ü(3) + K(3) 8 Burada, tekrarlanan kafes noktalarının sayısı iki tane ikizkenar dik üçgen ve bir tane kareden elde edilen kafes noktası sayılarının toplamından çıkartılmıştır. Kolayca görülebileceği gibi Y(n) = Ü(n) + K(n) (n + 1) dir. Dolayısıyla, Y(n) = (n + 1) (n + ) + (n + 1) (n + 1) = n + 3 n + 1 Ο halde, P (n) = (n + 1) (n + 1) elde ederiz. TEOREM 4.5 İçerdiği tüm ikizkenar dik üçgenlerin kenar uzunlukları n Z br olan bu şekle dört yapraklı yonca adını vereceğiz. Dik kenarlarının uzunluğu n Z br olan dört ikizkenar dik üçgenden oluşan bir dört yapraklı yoncanın içerdiği maksimum kafes noktası sayısı YC (n) = n + 6 n + 1 dir. İSPAT: ulaşılır: n = 0 dan başlayarak yapılacak basit bir gözlem sonucunda aşağıdaki sonuçlara n = 0 için YC(0) = 4 Ü(0) 3 n = 1 için YC(1) = 4 Ü(1) 3 7
n = için YC() = 4 Ü() 3 n = 3 için YC(3) = 4 Ü(3) 3 Burada, tekrarlanan kafes noktalarının sayısı dört tane ikizkenar dik üçgenden elde edilen kafes noktası sayısından çıkartılmıştır. Kolayca görülebileceği gibi YC(n) = 4 Ü(n) 3 dir. Dolayısıyla, YC(n) = 4 (n+1) (n+) 3 = (n + 1) (n + ) 3 O halde, YC(n) = n + 6 n + 1 elde edilir. TEOREM 4.6 İçerdiği tüm ikizkenar dik üçgenlerin kenar uzunlukları n Z br olan bu şekle rüzgar gülü adını vereceğiz. Dik kenarlarının uzunluğu n Z br olan altı tane ikizkenar dik üçgenden oluşan bir rüzgar gülünün içerdiği maksimum kafes noktası sayısı R(n) = 3 n + 4 n + 5 dir. İSPAT ulaşılır: n = 0 dan başlayarak yapılacak basit bir gözlem sonucunda aşağıdaki sonuçlara 8
n = 0 için R(0) = 4 Ü(0) + K(0) 0 n = 1 için R(1) = 4 Ü(1) + K(1) 4 n = için R() = 4 Ü() + K() 8 n = 3 için R(3) = 4 Ü(3) + K(3) 1 Burada, tekrarlanan kafes noktalarının sayısı dört tane ikizkenar dik üçgen ve bir tane kareden elde edilen kafes noktası sayılarının toplamından çıkartılmıştır. Kolayca görülebileceği gibi R (n) = 4 Ü(n) + K(n) 4 n dir. Dolayısıyla, R(n) = 4 (n+1) (n+) + (n + 1) 4 n = (n + 1) (n + ) (n + 1) 4 n O halde, R(n) = 3 n + 4 n + 5 elde edilir. TEOREM 4.7 Kısa kenarının uzunluğu n Z br, uzun kenarının uzunluğu k Z olmak üzere k n br olan bir dikdörtgenin içerdiği maksimum kafes noktası sayısı dir. İSPAT: D(k n, n) = k n + (k + 1) n + 1 n = 1 sabit tutulup k Z alınarak dikdörtgeni kenarları 1br olan karelere parçalayarak yapılan ilk gözlemden aşağıdaki sonuçlara ulaşılır: D(1,1) = 1 K (1) 0 D(,1) = K (1) D(3,1) = 3 K (1) 4 D(4,1) = 4 K (1) 6 9
Burada, tekrarlanan kafes noktalarının sayısı k tane kareden elde edilen kafes noktası sayılarının toplamından çıkartılmıştır. Kolayca görülebileceği gibi D(k 1,1) = k K(1) (k 1) (n + 1) dir. n = sabit tutulup k Z alınarak dikdörtgeni farklı büyüklükte karelere parçalayarak yapılan ikinci gözlemden aşağıdaki sonuçlara ulaşılır: D(,) = 1 K () 0 D(4,) = K () 3 D(6,) = 3 K () 6 D(8,) = 4 K () 9 Burada, tekrarlanan kafes noktalarının sayısı k tane kareden elde edilen kafes noktası sayılarının toplamından çıkartılmıştır. Kolayca görüleceği gibi D (k,) = k K () (k 1) (n + 1) dir. Dolayısıyla, D (k n, n) = k K(n) (k 1) (n + 1) dir. = k (n + 1) (k 1) (n + 1) = (n + 1) [k (n + 1) (k 1)] = (n + 1) (k n + k k + 1) = (n + 1) (k n + 1) O halde, D(k n, n) = k n + (k + 1) n + 1 elde edilir. 5. SONUÇLAR 1. Dik kenarlarının uzunluğu n Z br olan bir ikizkenar dik üçgenin içerdiği maksimum kafes noktası sayısı Ü(n) = (n+1) (n+),. Bir kenarının uzunluğu n Z br olan bir karenin içerdiği maksimum kafes noktası sayısı K (n) = (n + 1), 3. Kısa kenarının uzunluğu n Z br, uzun kenarının uzunluğu n br olan bir dik yamuğun içerdiği maksimum kafes noktası sayısı Y (n) = 3 n +5 n+, 10
4. Dar açısının ölçüsü ölçüsü 45, yüksekliğinin uzunluğu n Z br ve uzun kenarının uzunluğu n br olan bir paralelkenarın içerdiği maksimum kafes noktası sayısı P (n) = (n + 1) (n + 1), 5. Dik kenarlarının uzunluğu n Z br olan dört ikizkenar dik üçgenden oluşan bir dört yapraklı yoncanın içerdiği maksimum kafes noktası sayısı YC (n) = n + 6 n + 1, 6. Dik kenarlarının uzunluğu n Z br olan altı tane ikizkenar dik üçgenden oluşan bir rüzgar gülünün içerdiği maksimum kafes noktası sayısı R(n) = 3 n + 4 n + 5, 7. Kısa kenarının uzunluğu n Z br, uzun kenarının uzunluğu k Z olmak üzere k n br olan bir dikdörtgenin içerdiği maksimum kafes noktası sayısı D(k n, n) = k n + (k + 1) n + 1, dir. TEŞEKKÜR Bu projenin hazırlanmasında bana yardımcı olan danışman öğretmenim Dr. Gizem GÜNEL e, okul yönetimine, projemizin yapımında çok emeği geçen Sayın Dr. Okan AÇIKSÖZ e ve benden desteklerini esirgemeyen aileme teşekkür ederim. KAYNAKLAR Wei, X.; Ding, R., (009), On the interior lattice points of convex lattice 11-gon, J Appl Math Comput, 30, 1-, 193-199. http://web.me.com/paulscott.info/lattice-points/1lattice.html 11