BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM"

Transkript

1 ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012

2 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI GİRİŞ YÖNTEM ÖN BİLGİLER BİR SAYININ ÖZÜ İLE TOPLAMA VE ÇARPMA BİR SAYININ ÖZÜ İLE ÇIKARMA VE BÖLME SONUÇLAR TEŞEKKÜR 12 KAYNAKLAR. 12 2

3 1. PROJENİN AMACI Herhangi bir pozitif tam sayının rakamlar toplamı alınsın. Elde edilen sayı, tek basamaklı değilse bu işlem tekrar edilsin. Sonuç olarak, elde edilen tek basamaklı sayıya, bu doğal sayının özü diyelim. Bir A Z + sayısının özü öz(a) ile gösterilsin. Bu projenin esas amacı, 1. A 1, A 2,, A n Z + olmak üzere a) öz(a 1 + A A n ) = öz(öz(a 1 ) + öz(a 2 ) + +öz(a n )), b) öz(a 1 A 2 A n ) = öz(öz(a 1 ) öz(a 2 ) öz(a n )), 2. A 1, A 2 Z + olsun. Eğer A 1 > A 2 ve öz(a 1 ) > öz(a 2 ) ise, öz(a 1 A 2 ) = öz(a 1 ) öz(a 2 ), 3. A 1, A 2 Z + olsun. A 2, A 1 i ve öz(a 2 ), öz(a 1 ) i kalansız böldüğü takdirde öz A 1 öz(a 1) A 2 öz(a 2 ) olduğunu ispatlamaktır. 2. GİRİŞ Modüler aritmetik konusu üzerine çalışırken; özel koşullar altında iki sayıya toplama, çıkarma veya çarpma işlemlerinden herhangi biri uygulandığında, elde edilen sayının özünün, sayılar aynı işlemden geçirildiği takdirde çıkan sayının özüne eşit olabileceğini fark ettim. Bu hipotezin n tane sayı üzerinde de sağlanabileceğini ispatlayarak bu projeyi hazırladım. Ayrıca toplama, çıkarma veya çarpma işlemleri üzerinde elde ettiğim sonuçların bölme işlemi üzerinde sağlamadığını göstererek örnekler üzerinde çalıştım. 3. YÖNTEM Bu çalışma boyunca doğrudan ispat, ters örnek ile ispat ve tümevarım ile ispat yöntemleri ile sonuca ulaştım. 4. ÖN BİLGİLER TANIM 4.1 m pozitif bir tam sayı olsun. a, b Z için a b sayısı m sayısına bölünüyor ise a ve b sayıları modül m ye göre denktir denir ve a b (mod m) şeklinde gösterilir (Özdemir, 2010; Yücesan 2007). 3

4 TEOREM 4.2 m pozitif bir tam sayı olsun. 1. a b (mod m) ise b a (mod m) dir 2. a b (mod m) ve b c (mod m) ise, a c (mod m) dir. 3. a b (mod m) ve c d (mod m) ise a ± c b ± d (mod m) dir. 4. a b (mod m) ise, c Z olmak üzere ca cb (mod m) dir. 5. a b (mod m) ve c d (mod m) ise a. c b. d (mod m) dir. 6. a b (mod m) ise n herhangi bir pozitif tam sayı olmak üzere a n b n (mod m) dir. (Yücesan, 2007.) TANIM 4.3 Herhangi bir pozitif tam sayının rakamlar toplamı alınsın. Elde edilen sayı, tek basamaklı değilse bu işlem tekrar edilsin. Sonuç olarak, elde edilen tek basamaklı sayıya, bu doğal sayının özü diyelim. Bir A Z + sayısının özü öz(a) ile gösterilsin. ÖRNEKLER A = 5 olsun. öz(a) = 5 olduğu açıktır. 2. A = 23 olsun. A = = 5 öz(a) = 5 3. A = 1289 olsun. A = = = A = olsun. öz(a) = 2 A = = = 9 öz(a) öz(a)=9 = 9 4

5 Şimdi, pozitif bir tam sayının özünün dört işlem üzerindeki sonuçlarını görelim. 5. BİR SAYININ ÖZÜ İLE TOPLAMA VE ÇARPMA Aşağıdaki örneklerde gösterildiği gibi 2 tane pozitif tam sayının eşittir. toplamlarının özü, sayıların özlerinin toplamından elde edilen sayının özüne, çarpımlarının özü, sayıların özlerinin çarpımlarından elde edilen sayının özüne ÖRNEK 5.1 öz( ) = öz(65) = 2 öz öz(12) + öz(53) = öz(3 + 8) = öz(11) = 2 ÖRNEK 5.2 öz(12 52) = öz(624) = 3 öz öz(12) öz(52) = öz(3 7) = öz(21) = 3 Şimdi, bu kuralı genelleştirip ispatlayalım. Öncelikle, bu kuralın ispatında bize yardımcı olacak aşağıdaki iki yardımcı teoremi kanıtlayalım: YARDIMCI TEOREM 5.3 A Z + ise dur. Diğer bir deyişle, bir pozitif tam sayının özü, o sayının mod 9 daki değerine denktir. İSPAT: A öz(a) (mod 9) A = a n 1 a n 2 a 2 a 1 a 0 bir n basamaklı doğal sayı olsun. A nın özünü elde etmek için bir defa rakamlar toplamını almak yeterli olsun. Yani, bu sayının rakamlar toplamından elde edilen sayı, tek basamaklı olsun. O halde, öz(a) = a n 1 + a n a 2 + a 1 + a 0 5

6 dır. Diğer taraftan, A = 10 n 1 a n n 2 a n a 1 + a 0 olduğundan A a n 1 + a n a 2 + a 1 + a 0 (mod9) elde edilir. O halde, A öz(a) (mod 9) dır. A nın özünü elde etmek için k defa rakamlar toplamı alınması gereksin ve olduğunu kabul edelim. A öz(a) (mod 9) A nın özünü elde etmek için k + 1 defa rakamlar toplamı alınması gereksin. A sayısının rakamlar toplamına B diyelim. Yani, B = a n 1 + a n a 2 + a 1 + a 0 olsun. A sayısının özünü bulmak için B sayısının k defa rakamlar toplamı alınması gerekir. Yani, B sayısının özü bulunmalıdır. Tümevarım adımından B sayısının mod 9 daki değeri, B sayısının özüne denktir. Diğer yandan, A sayısı A = 10 n 1 a n n 2 a n a 1 + a 0 şeklinde yazıldığında A B (mod 9) olduğu açıktır. O halde, A B öz(b) öz(a) (mod 9) elde edilir. YARDIMCI TEOREM 5.4 A 1, A 2 Z + olsun. dir. A 1 A 2 (mod 9) ise öz(a 1 ) = öz(a 2 ) eşittir. Diğer bir deyişle, iki pozitif tam sayının mod 9 daki değerleri denk ise o sayıların özleri 6

7 İSPAT: A 1, A 2 Z + olmak üzere A 1 A 2 (mod 9) olsun. Yardımcı Teorem 5.3 den A 1 öz(a 1 ) (mod 9) A 2 öz(a 2 ) (mod 9) olduğundan öz(a 1 ) A 1 A 2 öz(a 2 ) (mod 9) elde edilir. Şimdi, yukarıdaki yardımcı teoremleri kullanarak ispatlamak istediğimiz asıl kuralı kanıtlayalım. TEOREM 5.5 A 1, A 2,, A n Z + olmak üzere dir. a) öz(a 1 + A A n ) = öz(öz(a 1 ) + öz(a 2 ) + +öz(a n )), b) öz(a 1 A 2 A n ) = öz(öz(a 1 ) öz(a 2 ) öz(a n )) İSPAT: İspatı tümevarım ile yapalım. A 1, A 2,, A n Z + olsun. Önce n = 2 için önermenin doğru olduğunu görelim. Yani, öz(a 1 + A 2 ) = öz(öz(a 1 ) + öz(a 2 )) olduğunu gösterelim. Yardımcı Teorem 5.3 den A 1 öz(a 1 ) (mod9) A 2 öz(a 2 ) (mod 9) olduğundan A 1 + A 2 öz(a 1 ) + öz(a 2 ) (mod 9) 7

8 elde edilir. O halde, Yardımcı Teorem 5.4 den dir. öz(a 1 + A 2 ) = öz öz(a 1 ) + öz(a 2 ) n = k için önermenin doğru olduğunu kabul edelim. n = k + 1 için önermenin doğru olduğunu ispatlayalım: n = 2 durumundan öz((a 1 + A A k ) + (A k+1 )) = öz(öz(a 1 + A A k ) + öz(a k+1 )) olduğu açıktır. Diğer taraftan tümevarım adımından öz(öz(a 1 + A A k ) + öz(a k+1 )) = öz(öz(öz(a 1 ) + öz(a 2 ) + + öz(a k )) + öz(a k+1 )) = öz(öz(a 1 ) + öz(a 2 ) + + öz(a k ) + öz(a k+1 )) Benzer şekilde, n tane doğal sayının çarpımlarının özünün sayıların özlerinin çarpımlarından elde edilen sayının özüne eşit olduğu gösterilebilir. SONUÇ 5.6 Bir A pozitif tam sayısının n Z + olmak üzere n. kuvvetinin özü, A nın özünün n. kuvvetinin özüne eşittir. Yani, dir. öz(a n ) = öz(öz(a) n ) İSPAT: A bir pozitif tam sayı ve n Z + olmak üzere Teorem 5.5 b) şıkkından elde edilir. öz(a n ) = öz A A A = öz öz(a) öz(a) öz(a) = öz(öz(a) n ) n kez n kez ÖRNEK 5.7 öz(12 3 ) = öz(1728) = 9 öz((öz(12)) 3 ) = öz(3 3 ) = öz(27) = 9 8

9 6. BİR SAYININ ÖZÜ İLE ÇIKARMA VE BÖLME Bu bölümde, bir sayının özü yardımı ile çıkarma ve bölme işlemleri üzerinde toplama veya çarpma işlemleri üzerinde elde ettiğimiz kurala benzer bir kural elde etmeye çalışıldı. Ancak, belirli kısıtlamalar ile çıkarma işlemi üzerinde bir kural elde ederken, bölme işlemi üzerinde böyle bir kural yazılamayacağı ters bir örnekle gösterildi. ÖRNEK 6.1 öz(98 60) = öz(38) = 2 öz öz(98) öz(60) = öz(8 6) = 2 TEOREM 6.2 A 1, A 2 Z + olsun. Eğer A 1 > A 2 ve öz(a 1 ) > öz(a 2 ) ise, dir. öz(a 1 A 2 ) = öz(a 1 ) öz(a 2 ) İSPAT: A 1, A 2 Z +, A 1 > A 2 ve öz(a 1 ) > öz(a 2 ) olsun Yardımcı Teorem 5.3 den A 1 öz(a 1 ) (mod9) A 2 öz(a 2 ) (mod 9) olduğundan öyle bir k Z + ve öyle bir t Z + için A 1 = 9k + öz(a 1 ) A 2 = 9t + öz(a 2 ) elde edilir. A 1 > A 2 ve öz(a 1 ) > öz(a 2 ) olduğundan A 1 A 2 = 9(k t) + öz(a 1 ) öz(a 2 ) dir. O halde A 1 A 2 öz(a 1 ) öz(a 2 ) (mod9) bulunur. Yardımcı Teorem 5.4 den öz(a 1 A 2 ) = öz(öz(a 1 ) öz(a 2 )) (mod9) elde edilir. 9

10 Diğer yandan, bir pozitif doğal sayının özü 1 den 9 a kadar değer alabileceğinden ve öz(a 1 ) > öz(a 2 ) olduğundan, öz(a 1 ) öz(a 2 ) sadece 1 den 8 e kadar değerler alabilir. 1 ile 9 arasındaki sayıların özleri kendilerine eşit olacağından, dir. Sonuç olarak, elde edilir. öz öz(a 1 ) öz(a 2 ) = öz(a 1 ) öz(a 2 ) öz(a 1 A 2 ) = öz(a 1 ) öz(a 2 ) (mod9) UYARI 6.3 Yukarıdaki teoremde öz(a 1 ) > öz(a 2 ) koşulu zorunludur. Aksi takdirde, aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi öz(a 1 A 2 ) = öz(a 1 ) öz(a 2 ) durumu gözlenemez. ÖRNEK 6.4 öz(55) = öz(10) = 1 iken öz(55 10) = öz(45) = 9 öz(55) öz(10) = 1 1 = 0 UYARI 6.5 A 1, A 2 Z + olsun. A 2, A 1 i veya öz(a 2 ), öz(a 1 ) i kalansız bölmediği takdirde öz A 1 A 2 öz(a 1) öz(a 2 ) olduğu açıktır. Her ikisi de kalansız bölünmesine rağmen öz A 1 öz(a 1) A 2 öz(a 2 ) olabileceği ORNEK 6.6 da gösterilmiştir. ÖRNEK 6.6 öz = 3 10

11 öz(54)/öz(18) = 9/9 = 1 7. SONUÇLAR a) Özü 9 olan bir pozitif tamsayı 9 ve 3 ile bölünür, b) Herhangi bir pozitif tam sayının özü 9 dan farklı ise, sayının özü o sayının 9 ile bölümünden kalana eşittir. c) Özü 3 olan bir sayı 3 ile bölünür. d) Herhangi bir pozitif tam sayının özü 3 den küçük ise, sayının özü o sayının 3 ile bölümünden kalana eşittir. İSPAT: a) öz(a) = 9 ise Yardımcı Teorem 5.3 den A 9 0 (mod 9) olduğundan k Z olmak üzere A = 9k dır. O halde A sayısı hem 9 hem de 3 ile bölünür. b) öz(a) = n < 9 ise Yardımcı Teorem 5.3 den A n (mod 9) dur. Yani, k Z olmak üzere A = 9. k + n biçimindedir. O halde, A nın 9 ile bölümünden kalan öz(a) dır. c) öz(a) = 3 ise Yardımcı Teorem 5.3 den A 3 (mod 9) olduğundan k Z olmak üzere A = 3k dır. O halde A sayısı 3 ile bölünür. d) öz(a) = n < 3 ise Yardımcı Teorem 5.3 den A n (mod 9) dur. Yani, k Z olmak üzere A = 9. k + n biçimindedir. O halde, A nın 3 ile bölümünden kalan öz(a) dır. ÖRNEK 7.1 a) sayısının özü 9 olduğundan 9 ve 3 ile bölünür. b) sayısının özü 2 olduğundan 9 ve 3 ile bölümlerinden kalan 2 dir. Son olarak bulduğumuz sonuçlar yardımıyla aşağıdaki soruyu işlemleri hesap etmeden öz yardımı ile bulalım. SORU: (( ) ) sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: öz(723 26)=öz(3 8)=6 ve öz(111)=3 olduğundan, öz( )=3 dir. Diğer taraftan öz(1202)=5 ve öz(( ) 1202)=öz(3 5)=6 olur. 11

12 öz(13)=4 olduğundan, öz((( ) ) 2 )=öz((öz(10)) 2 )=1 olur. öz(152)=8 olduğundan, öz ((( ) ) ) = öz(1+8) =9 dur. O halde bu sayının 9 ile bölümünden kalan 0 dır. TEŞEKKÜR Proje çalışmamın her anında desteklerini ve yardımlarını esirgemeyen proje danışmanım Dr. Gizem GÜNEL e, her zaman arkamda olduklarını bildiğim değerli aileme ve beni yönlendiren değerli öğretmenlerime teşekkür ederim. KAYNAKLAR Özdemir,M.,(2010), Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık, Altın Nokta Yayınları, İzmir. Yücesan,R., (2007), Meraklısına Lise Matematik, Zambak Yayınları, İzmir. 12

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z.

Örnek...6 : Yandaki bölme işleminde A ve n birer doğal sayıdır. A nın alabileceği en küçük ve en bü yük değerleri bulunu z. MODÜLER ARİTMETİK ( BÖLME BÖLÜNEBİLME KURALLARI ÖKLİT ALGORİTMASI DEĞERLENDİRME ) BÖLME İŞLEMİ VE ÖZELLİKLERİ A, B, C, K doğal sayılar ve B olmak üzere, BÖLÜNEN A B C BÖLEN BÖLÜM Örnek...5 : A, B, C birbirinden

Detaylı

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır.

4 ab sayısı 26 ile tam bölünebildiğine göre, kalanı 0 dır. BÖLME, BÖLÜNEBİLME A. Bölme İşlemi A, B, C, K doğal sayılar ve B 0 olmak üzere, Bölünen A 75, bölen B 9, bölüm C 8 ve kalan K tür. Yukarıdaki bölme işlemine göre, 1. 9 yani, K B dir. işlemine bölme denir.

Detaylı

İLKÖĞRETİM 1. SINIF MATEMATİK DERSİ SAYMA, TOPLAMA ve ÇIKARMA İŞLEMİ BECERİLERİ

İLKÖĞRETİM 1. SINIF MATEMATİK DERSİ SAYMA, TOPLAMA ve ÇIKARMA İŞLEMİ BECERİLERİ İLKÖĞRETİM 1. SINIF MATEMATİK DERSİ SAYMA, TOPLAMA ve ÇIKARMA İŞLEMİ BECERİLERİ 1. Rakamları okur ve yazar. 2. Nesne sayısı 10 dan az olan bir topluluktaki nesnelerin sayısını belirler ve bu sayıyı rakamla

Detaylı

1.Temel Kavramlar 2. ÆÍlemler

1.Temel Kavramlar 2. ÆÍlemler 1.Temel Kavramlar Abaküs Nedir... 7 Abaküsün Tarihçesi... 9 Abaküsün Faydaları... 12 Abaküsü Tanıyalım... 13 Abaküste Rakamların Gösterili i... 18 Abaküste Parmak Hareketlerinin Gösterili i... 19 2. lemler

Detaylı

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler

OPERATÖRLER BÖLÜM 4. 4.1 Giriş. 4.2. Aritmetik Operatörler BÖLÜM 4. OPERATÖRLER 4.1 Giriş Turbo Pascal programlama dilinde de diğer programlama dillerinde olduğu gibi operatörler, yapılan işlem türüne göre aritmetik, mantıksal ve karşılaştırma operatörleri olmak

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

DENEY 2: PROTOBOARD TANITIMI VE DEVRE KURMA

DENEY 2: PROTOBOARD TANITIMI VE DEVRE KURMA A. DENEYİN AMACI : Protoboard kullanımını öğrenmek ve protoboard üzerinde basit direnç devreleri kurmak. B. KULLANILACAK ARAÇ VE MALZEMELER : 1. DC güç kaynağı, 2. Multimetre, 3. Protoboard, 4. Değişik

Detaylı

DOĞAL SAYILAR. 728 514 039, 30 960 425, 4 518 825 bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük

DOĞAL SAYILAR. 728 514 039, 30 960 425, 4 518 825 bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük bölük MATEMATİ O ON NU UA AN NL L A A T T I I ML ML I I F F A AS S İ İ Ü ÜL LS S E E T T İ İ TEMALARI NA GÖREAYRI LMI Ş FASİ ÜL. SI NI F DOĞAL SAYILAR Günlük hayatta pek çok durumda sayıları kullanırız: Saymak,

Detaylı

0 dan matematik. Bora Arslantürk. çalışma kitabı

0 dan matematik. Bora Arslantürk. çalışma kitabı 0 dan matematik 0 dan matematik 1 çalışma kitabı Sıfırdan başlanarak matematik ile ilgili sıkıntı yaşayan herkese hitap etmesi, Akıllı renklendirme ile göz yoran değil ayrım yapmayı, istenileni bulmayı

Detaylı

TEŞEKKÜR Bizler anne ve babalarımıza, bize her zaman yardım eden matematik öğretmenimiz Zeliha Çetinel e, sınıf öğretmenimiz Zuhal Tek e, arkadaşımız

TEŞEKKÜR Bizler anne ve babalarımıza, bize her zaman yardım eden matematik öğretmenimiz Zeliha Çetinel e, sınıf öğretmenimiz Zuhal Tek e, arkadaşımız 1 2 TEŞEKKÜR Bizler anne ve babalarımıza, bize her zaman yardım eden matematik öğretmenimiz Zeliha Çetinel e, sınıf öğretmenimiz Zuhal Tek e, arkadaşımız Tunç Tort a ve kütüphane sorumlusu Tansu Hanım

Detaylı

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:

Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir: Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak

Detaylı

1) Aşağıdaki şekilleri altlarındaki kesirli sayılara göre boyayınız. a) b) c) d) e)

1) Aşağıdaki şekilleri altlarındaki kesirli sayılara göre boyayınız. a) b) c) d) e) BÖLÜM KESİRLER KESİRLER TEST ) Aşağıdaki şekilleri altlarındaki kesirli sayılara göre boyayınız. a) b) c) 6 0 8 d) e) ) Aşağıdaki şekillerde, boyalı bölgelerin kesir sayısı olarak karşılıklarını yazınız.

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Çizgeler 7. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Çift ve Tek Dereceler Çizgeler Çift ve Tek Dereceler Soru 51 kişinin

Detaylı

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1

BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 1 BÖLÜM 7 BİLGİSAYAR UYGULAMALARI - 1 Belli bir özelliğe yönelik yapılandırılmış gözlemlerle elde edilen ölçme sonuçları üzerinde bir çok istatistiksel işlem yapılabilmektedir. Bu işlemlerin bir kısmı

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam

Detaylı

KDU (Kazanım Değerlendirme Uygulaması) nedir?

KDU (Kazanım Değerlendirme Uygulaması) nedir? KDU (Kazanım Değerlendirme Uygulaması) nedir? Kazanım Değerlendirme Uygulaması (KDU), Vitamin Ortaokul Kurumsal üyesi olan özel okullarda, öğrencilerin bilgi ve beceri düzeylerinin bilişsel süreçler çerçevesinde

Detaylı

SAYI BASAMAKLARI. çözüm

SAYI BASAMAKLARI. çözüm SAYI BASAMAKLARI Sayı Basamakları Günlük hayat m zda 0 luk say sistemini kullan r z. 0 luk say sistemini kullanmam z n nedeni, sayman n parmaklar m zla ba lamas ve iki elimizde toplam 0 parmak olmas olarak

Detaylı

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon

Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Olasılık ve İstatistik Dersinin Öğretiminde Deney ve Simülasyon Levent ÖZBEK Fikri ÖZTÜRK Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü Sistem Modelleme ve Simülasyon Laboratuvarı 61 Tandoğan/Ankara

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ

İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ İSTANBUL TİCARET ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ BİLGİSAYAR SİSTEMLERİ LABORATUARI YÜZEY DOLDURMA TEKNİKLERİ Deneyde dolu alan tarama dönüşümünün nasıl yapıldığı anlatılacaktır. Dolu alan tarama

Detaylı

ÇARPANLAR VE KATLAR BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA. 3. Aşağıda verilen sayıların çarpanlarından asal olanları belirleyelim.

ÇARPANLAR VE KATLAR BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA. 3. Aşağıda verilen sayıların çarpanlarından asal olanları belirleyelim. ÇARPANLAR VE KATLAR 8.1.1.1. Verilen pozitif tam sayıların çarpanlarını bulur; pozitif tam sayıları üslü ifade yada üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazar. BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARINI BULMA Her doğal

Detaylı

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır

Fizik ve Ölçme. Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik ve Ölçme Fizik deneysel gözlemler ve nicel ölçümlere dayanır Fizik kanunları temel büyüklükler(nicelikler) cinsinden ifade edilir. Mekanikte üç temel büyüklük vardır; bunlar uzunluk(l), zaman(t)

Detaylı

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001 T.C. ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİMDALI İLKÖĞRETİM 6., 7., 8. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ MÜFREDAT PROGRAMINDA GEÇEN CEBİR KONULARININ İNCELENMESİ MAT YL 2009 0001

Detaylı

İşte sınavla öğrenci alan liselerin kontenjanları

İşte sınavla öğrenci alan liselerin kontenjanları On5yirmi5.com İşte sınavla öğrenci alan liselerin kontenjanları Başta Anadolu ve fen liseleri olmak üzere merkezi sınavla öğrenci alan okulların toplam kontenjanları ortaya çıktı. Yayın Tarihi : 31 Temmuz

Detaylı

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ ORMAN FAKÜLTESİ

İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ ORMAN FAKÜLTESİ İSTANBUL ÜNİVERSİTESİ ORMAN FAKÜLTESİ OREM(ORMAN ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ ÖĞRENCİ KULÜBÜ) SOSYAL SORUMLULUK PROJESİ KALEMİMİ VER, GELECEĞİMİ YAZAYIM 2015 06-09 Mayıs 2015 tarihleri arasında, İ.Ü. Orman Fakültesi,

Detaylı

YEDİNCİ KISIM Kurullar, Komisyonlar ve Ekipler

YEDİNCİ KISIM Kurullar, Komisyonlar ve Ekipler YEDİNCİ KISIM Kurullar, Komisyonlar ve Ekipler Kurul, komisyon ve ekiplerin oluşturulması MADDE 107- (1) Okullarda, eğitim, öğretim ve yönetim etkinliklerinin verimliliğinin sağlanması, okul ve çevre işbirliğinin

Detaylı

BAŞLARKEN Okul öncesi yıllar çocukların örgün eğitime başlamadan önce çok sayıda bilgi, beceri ve tutum kazandığı, hayata hazırlandığı kritik bir dönemdir. Bu yıllarda kazanılan bilgi, beceri ve tutumlar

Detaylı

K12NET Eğitim Yönetim Sistemi

K12NET Eğitim Yönetim Sistemi TEOG SINAVLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ Yeni sınav sistemi TEOG, yani Temel Eğitimden Orta Öğretime Geçiş Sınavlarında öğrenciler, 6 dersten sınav olacaktır. Öğrencilere Türkçe, Matematik, T.C. İnkılap Tarihi

Detaylı

ıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

ıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir. 1-RASYONEL SAYILAR VE ÖZELLĐKLERĐ A)Rasyonel Sayılar:Birbirine denk olan kesirlerin meydana getirdiği her kümeye rasyonel sayı denir.rasyonel sayıların meydana getirdiği kümelere rasyonel sayılar kümesi

Detaylı

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ MİMARLIK FAKÜLTESİ, MİMARLIK BÖLÜMÜ YARI ZAMANLI ÖĞRETİM ÜYELERİ BİLGİ KİTAPÇIĞI

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ MİMARLIK FAKÜLTESİ, MİMARLIK BÖLÜMÜ YARI ZAMANLI ÖĞRETİM ÜYELERİ BİLGİ KİTAPÇIĞI İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ MİMARLIK FAKÜLTESİ, MİMARLIK BÖLÜMÜ YARI ZAMANLI ÖĞRETİM ÜYELERİ BİLGİ KİTAPÇIĞI Amaç Bu bilgi kitapçığının amacı İTÜ Mimarlık Fakültesi Mimarlık Bölümünde yürütmekte olduğunuz

Detaylı

7. LİSELER ARASI SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASININ ARDINDAN

7. LİSELER ARASI SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASININ ARDINDAN 7. LİSELER ARASI SALİH ZEKİ MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASININ ARDINDAN Bu yıl 7. Liseler arası Salih Zeki Matematik Projeleri Yarışması nın final sergisi 24-25-26 Mayıs 2016 tarihlerinde Darüşşafaka

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

BÖLÜM 3 FREKANS DAĞILIMLARI VE FREKANS TABLOLARININ HAZIRLANMASI

BÖLÜM 3 FREKANS DAĞILIMLARI VE FREKANS TABLOLARININ HAZIRLANMASI 1 BÖLÜM 3 FREKANS DAĞILIMLARI VE FREKANS TABLOLARININ HAZIRLANMASI Ölçme sonuçları üzerinde yani amaçlanan özelliğe yönelik gözlemlerden elde edilen veriler üzerinde yapılacak istatistiksel işlemler genel

Detaylı

TAM DEĞER ARDIŞIK TOPLAMLAR

TAM DEĞER ARDIŞIK TOPLAMLAR ÖZEL EGE LİSESİ TAM DEĞER VE ARDIŞIK TOPLAMLAR HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 01 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.... GİRİŞ..YÖNTEM. ÖN BİLGİLER.. 5.ARDIŞIK TOPLAMLARIN

Detaylı

a) Birim sorumluları: Merkez çalışmalarının programlanmasından ve uygulanmasından sorumlu öğretim elemanlarını,

a) Birim sorumluları: Merkez çalışmalarının programlanmasından ve uygulanmasından sorumlu öğretim elemanlarını, NİĞDE ÜNİVERSİTESİ TÜRKÇE ÖĞRETİMİ UYGULAMA VE ARAŞTIRMA MERKEZİ YÖNETMELİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar Amaç MADDE 1 (1) Bu yönetmeliğin amacı, Niğde Üniversitesine bağlı olarak kurulan

Detaylı

ALPHA ALTIN RAPORU ÖZET 26 Ocak 2016

ALPHA ALTIN RAPORU ÖZET 26 Ocak 2016 ALPHA ALTIN RAPORU ÖZET 26 Ocak 2016 19 Ocak 2016 tarihli Alpha Altın raporumuzda paylaştığımız görüşümüz; Kısa dönemde 144 günlük ortalama $1110.82 trend değişimi için referans takip seviyesi olabilir.

Detaylı

KAR YER GÜNLER PROJES. Murat F DAN

KAR YER GÜNLER PROJES. Murat F DAN KAR YER GÜNLER PROJES Murat F DAN 2012-2013 AYBASTI ANADOLU L SES KAR YER GÜNLER PROJES PROJE SAH OLAN OKUL AYBASTI ANADOLU L SES PROJEN N ADI KAR YER GÜNLER PROJEN N AMACI rencilerin meslekleri her yönüyle

Detaylı

OFİS 365 ÖĞRENCİ MAİL SİSTEMİ KULLANIM KLAVUZU. Office 365

OFİS 365 ÖĞRENCİ MAİL SİSTEMİ KULLANIM KLAVUZU. Office 365 OFİS 365 ÖĞRENCİ MAİL SİSTEMİ KULLANIM KLAVUZU Office 365 Microsoft Office (Word, Excel vb.) dokümanlarınızı bulut platformuna taşımanızı sağlayan Office 365 ürününe https://portal.office.com/home adresinden

Detaylı

B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet

B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet B02.8 Bölüm Değerlendirmeleri ve Özet 57 Yrd. Doç. Dr. Yakup EMÜL, Bilgisayar Programlama Ders Notları (B02) Şimdiye kadar C programlama dilinin, verileri ekrana yazdırma, kullanıcıdan verileri alma, işlemler

Detaylı

ŞEFKAT KOLEJİ İMFO-2015 5.SINIF MATEMATİK SORULARI

ŞEFKAT KOLEJİ İMFO-2015 5.SINIF MATEMATİK SORULARI 0 K KOLJİ İMO-015 5.SINI MMİK SORULRI 1. efkat Koleji matematik öğretmenleri hazırladıkları matematik soru bankasındaki sayfaları numaralandırmak için 88 rakam kullanmışlardır. Buna göre bu soru bankası

Detaylı

2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI. Hazırlayan Arş. Grv. A. E. IRMAK

2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI. Hazırlayan Arş. Grv. A. E. IRMAK 2. KUVVETLERİN VEKTÖREL TOPLANMASI AMAÇ Hazırlaan Arş. Grv. A. E. IRMAK Eş zamanlı kuvvetler etkisinde dengede bulunan bir cismin incelenmesi, analitik ve vektörel metotları kullanarak denge problemlerinin

Detaylı

TEKNOLOJİ VE TASARIM

TEKNOLOJİ VE TASARIM TEKNOLOJİ VE TASARIM YAPIM KUŞAĞI SINIFLAR ODAK NOKTALARI 7. SINIF Üretiyoruz 8. SINIF Üretelim Tanıtalım Öğrencinin: Adı Soyadı: Aslı KARTAL Sınıf, No: 7/C, 2729 Yahya KARAKURT Teknoloji ve Tasarım Öğretmeni

Detaylı

1 OCAK 31 ARALIK 2009 ARASI ODAMIZ FUAR TEŞVİKLERİNİN ANALİZİ

1 OCAK 31 ARALIK 2009 ARASI ODAMIZ FUAR TEŞVİKLERİNİN ANALİZİ 1 OCAK 31 ARALIK 2009 ARASI ODAMIZ FUAR TEŞVİKLERİNİN ANALİZİ 1. GİRİŞ Odamızca, 2009 yılında 63 fuara katılan 435 üyemize 423 bin TL yurtiçi fuar teşviki ödenmiştir. Ödenen teşvik rakamı, 2008 yılına

Detaylı

Ek 1. Fen Maddelerini Anlama Testi (FEMAT) Sevgili öğrenciler,

Ek 1. Fen Maddelerini Anlama Testi (FEMAT) Sevgili öğrenciler, Ek 1. Fen Maddelerini Anlama Testi (FEMAT) Sevgili öğrenciler, Bu araştırmada Fen Bilgisi sorularını anlama düzeyinizi belirlemek amaçlanmıştır. Bunun için hazırlanmış bu testte SBS de sorulmuş bazı sorular

Detaylı

ALPHA ALTIN RAPORU ÖZET 10 Kasım 2015

ALPHA ALTIN RAPORU ÖZET 10 Kasım 2015 ALPHA ALTIN RAPORU ÖZET 10 Kasım 2015 3 Kasım 2015 tarihli Alpha Altın raporumuzda paylaştığımız görüşümüz; RSI indikatörü genel olarak dip/tepe fiyatlamalarında başarılı sonuçlar vermektedir. Günlük bazda

Detaylı

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI ENGELLİLER DANIŞMA VE KOORDİNASYON YÖNETMELİĞİ (1) BİRİNCİ BÖLÜM. Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar

YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI ENGELLİLER DANIŞMA VE KOORDİNASYON YÖNETMELİĞİ (1) BİRİNCİ BÖLÜM. Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI ENGELLİLER DANIŞMA VE KOORDİNASYON YÖNETMELİĞİ (1) BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam, Dayanak ve Tanımlar Amaç MADDE 1 (Değişik:RG-14/2/2014-28913) (1) Bu Yönetmeliğin amacı; yükseköğrenim

Detaylı

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK

TG 12 ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG ÖABT İLKÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının

Detaylı

Bir yaz mda, kimbilir hangisinde,

Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, Sonsuz Toplamlar Bir yaz mda, kimbilir hangisinde, 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 +... toplam n n sonsuz oldu unu, yani 1/1 1/1 + 1/2 1/1 + 1/2 + 1/3 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5

Detaylı

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir.

İçinde x, y, z gibi değişkenler geçen önermelere açık önerme denir. 2. Niceleme Mantığı (Yüklemler Mantığı) Önermeler mantığı önermeleri nitelik yönünden ele aldığı için önermelerin niceliğini göstermede yetersizdir. Örneğin, "Bazı hayvanlar dört ayaklıdır." ve "Bütün

Detaylı

Uluslararası Durum. rkiye nin Dikkate Alması Gereken. Prof.Dr.Giray. .Giray Berberoğlu Orta Doğu u Teknik Üniversitesi

Uluslararası Durum. rkiye nin Dikkate Alması Gereken. Prof.Dr.Giray. .Giray Berberoğlu Orta Doğu u Teknik Üniversitesi Uluslararası Durum Belirleme Çalışmaları Kapsamında TürkiyeT rkiye nin Dikkate Alması Gereken Sonuçlar Prof.Dr.Giray.Giray Berberoğlu Orta Doğu u Teknik Üniversitesi Eğitim Fakültesi Türkiye nin Katıld

Detaylı

Anaokulu /aile yuvası anketi 2015

Anaokulu /aile yuvası anketi 2015 Anaokulu /aile yuvası anketi 2015 Araştırma sonucu Göteborg daki anaokulları ve aile yuvaları ( familjedaghem) faaliyetlerinde kalitenin geliştirilmesinde kullanılacaktır. Soruları ebeveyn veya veli olarak

Detaylı

MATEMATİK (haftalık ders sayısı 5, yıllık toplam 90 ders saati)

MATEMATİK (haftalık ders sayısı 5, yıllık toplam 90 ders saati) MATEMATİK (haftalık ders sayısı 5, yıllık toplam 90 ders saati) GİRİŞ XXI. yüzyılda matematik eğitimi yalnız doğa olaylarının araştırmasında ve teknikte değil insan oğlunun mantıklı, eleştirel ve estetik

Detaylı

ZİRVE ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ BÖLÜMÜ PSİKOLOJİK DANIŞMANLIK VE REHBERLİK ABD

ZİRVE ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ BÖLÜMÜ PSİKOLOJİK DANIŞMANLIK VE REHBERLİK ABD ZİRVE ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ BÖLÜMÜ PSİKOLOJİK DANIŞMANLIK VE REHBERLİK ABD. 2013 2014 GÜZ YARIYILI OKULLARDA GÖZLEM DERSİ UYGULAMALARI Dersin Sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Ramin ALİYEV

Detaylı

Avrupa Kredi Toplama ve Transfer Sistemi (AKTS) 27 Mart 2009 Yrd. Doç. Dr Sevinç HATĠPOĞLU Erasmus Koordinatörü

Avrupa Kredi Toplama ve Transfer Sistemi (AKTS) 27 Mart 2009 Yrd. Doç. Dr Sevinç HATĠPOĞLU Erasmus Koordinatörü Avrupa Kredi Toplama ve Transfer Sistemi (AKTS) 27 Mart 2009 Yrd. Doç. Dr Sevinç HATĠPOĞLU Erasmus Koordinatörü o AKTS Nedir? o AKTS Sisteminin Özellikleri o AKTS Kredisi Nedir? o AKTS Notlandırma Sistemi

Detaylı

ARAŞTIRMA PROJESİ NEDİR, NASIL HAZIRLANIR, NASIL UYGULANIR? Prof. Dr. Mehmet AY

ARAŞTIRMA PROJESİ NEDİR, NASIL HAZIRLANIR, NASIL UYGULANIR? Prof. Dr. Mehmet AY ARAŞTIRMA PROJESİ NEDİR, NASIL HAZIRLANIR, NASIL UYGULANIR? Prof. Dr. Mehmet AY Çanakkale Onsekiz Mart Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Kimya Bölümü 29.03.2012 / ÇANAKKALE Fen Lisesi ARAŞTIRMA PROJESİ

Detaylı

ENFLASYON ORANLARI 03.07.2014

ENFLASYON ORANLARI 03.07.2014 ENFLASYON ORANLARI 03.07.2014 TÜFE Mayıs ayında aylık %0,31 yükselişle ile ortalama piyasa beklentisinin (-%0,10) bir miktar üzerinde geldi. Yıllık olarak ise 12 aylık TÜFE %9,16 olarak gerçekleşti (Beklenti:

Detaylı

17-19 EYLÜL 2010 TARİHLERİ ARASINDA MEHMET AKİF ERSOY ÜNİVERSİTESİN DE YAPILAN ADIM ÜNİVERSİTELERİ İDARİ GRUP TOPLANTI KARARLARI

17-19 EYLÜL 2010 TARİHLERİ ARASINDA MEHMET AKİF ERSOY ÜNİVERSİTESİN DE YAPILAN ADIM ÜNİVERSİTELERİ İDARİ GRUP TOPLANTI KARARLARI 17-19 EYLÜL 2010 TARİHLERİ ARASINDA MEHMET AKİF ERSOY ÜNİVERSİTESİN DE YAPILAN ADIM ÜNİVERSİTELERİ İDARİ GRUP TOPLANTI KARARLARI GENEL SEKRETERLER TOPLANTI TUTANAĞI 1-Bilginin elektronik ortamda paylaşımı

Detaylı

Temel Bilgisayar Programlama

Temel Bilgisayar Programlama BÖLÜM 9: Fonksiyonlara dizi aktarma Fonksiyonlara dizi aktarmak değişken aktarmaya benzer. Örnek olarak verilen öğrenci notlarını ekrana yazan bir program kodlayalım. Fonksiyon prototipi yazılırken, dizinin

Detaylı

ANKARA EMEKLİLİK A.Ş GELİR AMAÇLI ULUSLARARASI BORÇLANMA ARAÇLARI EMEKLİLİK YATIRIM FONU ÜÇÜNCÜ 3 AYLIK RAPOR

ANKARA EMEKLİLİK A.Ş GELİR AMAÇLI ULUSLARARASI BORÇLANMA ARAÇLARI EMEKLİLİK YATIRIM FONU ÜÇÜNCÜ 3 AYLIK RAPOR ANKARA EMEKLİLİK A.Ş GELİR AMAÇLI ULUSLARARASI BORÇLANMA ARAÇLARI EMEKLİLİK YATIRIM FONU ÜÇÜNCÜ 3 AYLIK RAPOR Bu rapor Ankara Emeklilik A.Ş Gelir Amaçlı Uluslararası Borçlanma Araçları Emeklilik Yatırım

Detaylı

ATAÇ Bilgilendirme Politikası

ATAÇ Bilgilendirme Politikası ATAÇ Bilgilendirme Politikası Amaç Bilgilendirme politikasının temel amacı, grubun genel stratejileri çerçevesinde, ATAÇ İnş. ve San. A.Ş. nin, hak ve yararlarını da gözeterek, ticari sır niteliğindeki

Detaylı

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI

ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI ÜNİTE 5 KESİKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI 1 Rassal Değişken Bir deney ya da gözlemin şansa bağlı sonucu bir değişkenin aldığı değer olarak düşünülürse, olasılık ve istatistikte böyle bir

Detaylı

DÜNYA EKONOMİK FORUMU KÜRESEL CİNSİYET AYRIMI RAPORU, 2012. Hazırlayanlar. Ricardo Hausmann, Harvard Üniversitesi

DÜNYA EKONOMİK FORUMU KÜRESEL CİNSİYET AYRIMI RAPORU, 2012. Hazırlayanlar. Ricardo Hausmann, Harvard Üniversitesi DÜNYA EKONOMİK FORUMU KÜRESEL CİNSİYET AYRIMI RAPORU, 2012 Hazırlayanlar Ricardo Hausmann, Harvard Üniversitesi Laura D. Tyson, Kaliforniya Berkeley Üniversitesi Saadia Zahidi, Dünya Ekonomik Forumu Raporun

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

İngilizce İletişim Becerileri II (ENG 102) Ders Detayları

İngilizce İletişim Becerileri II (ENG 102) Ders Detayları İngilizce İletişim Becerileri II (ENG 102) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS İngilizce İletişim Becerileri II ENG 102 Bahar 2 2 0 3 4 Ön Koşul

Detaylı

ENF - 102 TEMEL BİLGİSAYAR BİLİMLERİ. 2014 2015 Eğitim/Öğretim Yılı Bahar Dönemi DÖNEM SONU LAB. ÖDEV TESLİM DUYURUSU

ENF - 102 TEMEL BİLGİSAYAR BİLİMLERİ. 2014 2015 Eğitim/Öğretim Yılı Bahar Dönemi DÖNEM SONU LAB. ÖDEV TESLİM DUYURUSU ENF - 102 TEMEL BİLGİSAYAR BİLİMLERİ 2014 2015 Eğitim/Öğretim Yılı Bahar Dönemi DÖNEM SONU LAB. ÖDEV TESLİM DUYURUSU İÇİNDEKİLER 1. Ön Bilgi... 1 2. Çalışmaları Kimler Teslim Edecekler?... 1 3. Çalışmalar

Detaylı

İ Ğ Ş İ» Ğ Ğ ö Ğ ö ö Ç ö Ç İ Ş ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ç ö ö ö ö ö ö İ İ ö ö ö Ü ö ö ö ö ö ö ö Ş ö ö İ ö ö İ ö ö İ İ ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö Ç İ İ ö İ İ İ İ Ö İ Ç ö ö Ö Ç ö ö ö ö ö ö ö ö ö ö

Detaylı

Ğ Ğ Ö İ İĞİ» Çö İ İ İĞİ Ç İ İĞİ Ü İ İĞİ İ İ ö ö ö Ğ İ ç Ö Ö ö ö ö ç ç ö Ö ö ö ö ö ö Ö ç ç ç ç ç Ğ ç Ğ İ Çö öğ ö İ İ İ ç ö ö ç Ğ İ ö ö İ İĞİ İ İĞİ Ğ Ç Ğ ö ö ö Ğ ç Ö Ö ö ç ö Ö ö ö ç ö ö ö ç Ö ç ç ç ç ç Ğ

Detaylı

ğ Ş ğ ş ğ İ ö ç ö ö İ ğ ş ş ç ç ğ ç ğ ş ğ İ Ş Ü İş ö Ö ğ Öğ ş ğ ğ İ ö ö Çğ ö İ ö ç İ ş ş ş ç ş öğ ş Ş ğ ö ğ ş ö ğ İ ğ ö ş ş ş ğ ğ İ ş ğ çö ğ ğ ş ö öğ ç öği İ ğ ğ ğ ğ öğ ö ş ğ İ ç ş İ İ ğ ç İ İ Ö ÖĞ İ ğ

Detaylı

İ» Ö İ İ ğ ğ İ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ ğ İ ö ö ç ğ ğ ğ ğ ğ Ö Ü Ü ğ ğ ğ ö ğ ğ ğ ğ ö ğ ğ İ İ İ İ ğ ğ ğ ö İ ğ ğ ğ ğ ğ ö ğ ğ ö ö ğ öğ ğ ğ ğ İ ö ç ç ğ ö ö ç ğ ç ç ğ ç ğ ö ç ğ ğ ğ ğ ğ ğ İ Ü Ş İ ö İ ğ ğ İ İ ğ ğ ğ ç ğ ğ

Detaylı

Ü Ö Ö ö ö Ü Ü Ö ö ç ç ö ç ö ç ç ö ö ö ö ö ç ö ö ç ç ç ç ç ç ö ö ö ö ç ç ö ç» ö ö ö ö ç ö ö ö ö ç ö ç ö ç ö ç ö ö ç ç ç ç ö ö ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ö ç ç ö ç ç ç ç ç ç ö ö ö ç ç ç ö ö ö ç ç ç ç ö ç ç ç ç

Detaylı

İ Ç Ü ş ö ğ ş ö ğ Ü öğ ç ş Ö Ü ğ ç ö ç ş ş ğ Ğ ç ç ğ ğ ö ş İ ç Ü ç ş ö ğ ö ç ç ş ş İ ğ ş ğ ş ç ş ğ ş ç ş ğ ç ç ş ş ö ş Ö Ş Ö ğ ş ö ç ş ğ Ç Ü Ç ğ ş Ç ğ İ Ü İ Ü ö ş ş ş ğ ç ş ö ğ çö ğ ş ş ç ö ş ş ş ğ ç ş

Detaylı

Ş İ İ İ ç İ İ İ İ ç ç ç Ç ç ç ç ç İ Ö İ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ö Ö ç ç ç ç Ö ç Ö ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ç ç Ö ç ç ç ç Ç ç Ö Ç ç ç Ş ç ç Ç Ş ç İ ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç

Detaylı

Ç Ü ö ö Ü ö ç Ö Ü ç ö ç ç Ğ ç ç ç ö ö ç ç Ü ç ö ö ç ç ç ç ç ç ö Ö Ş Ö ö ç Ç Ü Ç Ç Ü Ü ö ç ö ç ç ç ç ö ç ç ç ö ç ö ö ö ç ö ö Ü ç çö çö Ü ç çö Ö ö ö çö ç Ü ö ç ç ç çö ç ç ç ö ç çö çö ö ö ö ç Çö çö çö ö ç

Detaylı

Ü İ İ İ İ ö İ ö ğ ğ Ü ö Ş Ç ğ İç Ş Ç ğ Ü ö İ İ ğ Ü ö ğ Ü ö İ İ Ş Ç ğ İ İ ğ Ü ğ ğ ğ ç ç ö ğ ö ö ğ ğ ğ ö ç ç Ç Ç ö Ö ğ ğ ç ç Ş ğ ğ Üç Ç ğ ç ö Ş Ç ğ ğ Ş Ü ğ ğ Ş ğ ç ç ç ğ ö ö ğ ö ö İ ç ç ğ ğ Ü ö İ İ ğ Ş ğ

Detaylı

Ç ö Ü ğ ö Ş ç ç Ş Ü Ö Ü Ü ö Ü ğ ğ ö ö ç ç Ü ğ ç ç ğ ğ ğ Ü ğ ö ö Ş ö ç ğ ö ç ç ğ ç ç ö Ş Ş ö ğ ç Ç ç ö ö ç Ç ö ğ Ü ö ğ ğ ç ö ç ğ ç ğ ö ç ö ö Üç ğ ö ç ö ç ö ç ğ ö ğ ö ç Ç ğ ç ç ğ ö ö ç ç ç ğ ğ ç ğ ç ğ ç

Detaylı

Ç Ç ç Ğ ç Ö Ğ Ş ç Ö Ö Ğ Ğ Ö Ö Ç Ü ç Ç Ü ç Ö ç ç ç ç Ğ ç ç Ç Ç ç Ç Ü ç ç Ç ç ç ç Ö ç Ö Ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ö Ş ç ç ç ç ç ç ç ç Ü ç ç Ü ç ç ç ç ç ç ç Ö Ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ö ç ç Ğ Ç Ü ç ç Ç Ü ç ç Ç

Detaylı

ç Ğ Ü ç ö Ğ «ö ç ö ç ö ç ç ö ç ç ö ö ö ç ç ç ç ö ç ç ö ç ç ç ö ö ö ç ç ç Ç Ö Ü ç ç ç ç ç ç ç Ü ç ç ö ö ç ç ç ö ç ç ç ö ö ç ç ö Ç ç ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç Ç ç ç ç ç ç Ü ö ç ç ç ç ç Ç Ç ç ç Ç

Detaylı

ö Ü Ü ö Ö ğ ğ ğ ö Ü Ş ö Ü Ğ ö Ü ö Ü ö ğ ö ğ ö ö ğ ğ Ş Ü ğ ö ğ ğ ğ ğ ğ Ş Ş ğ ö ğ ğ ğ ğ ğ ö ö Ş ğ Ç ğ Ç Ş ö Ç ö ğ Ç ğ ö ğ ö ö ğ ö ğ ö Ş ğ Ç ğ Ç ğ ğ Ç Ş ö ö ö ğ Ç Ş Ç ö ö ğ ğ ğ ğ Ü Ü ö ğ «ğ ğ ğ ö ö «ö ğ ğ

Detaylı

İ İ İ İ İ İ İ İ İ İ Ö İ İ İ İ İ Ü Ç İ Ş Ş İ İ Ü İ İ İ İ İ İÇİ Ö Ö Ç Ç Ç İ Ü Çİ İ Ü Ü İ İ İ İ İ İ İİ İ Ç Ş İ İ İ İ Ü Çİ Ö İ Ü Çİ İ İ Ü İİ İ Ç Ö İ Ö İ Ç Ç İ Ç Ö İ İ İİ İ Ç Ç Ç Ü İ Ç İ Ç İ Ş Ç İ Ğ İ İ İ İ

Detaylı

ç ğ ğ ğ ç ç ç ğ ç ğ ğ ç ğ ğ ç ğ ç ğ ğ ğ ç ğ ğ ç ğ ğ ç ç ğ ğ ğ Ü ç ğ ç ç ç ğ ç ç ğ ğ ğ ğ ğ ğ Ü ğ ğ ç ç ç ğ ç ğ ğ ç ğ ç ç ğ ğ ç ğ ğ ğ ğ ğ ç ğ ğ ğ ğ ç ğ ç ğ Ü ğ ğ ğ ç ç ğ ç ğ Ü ç ğ ğ ğ ç Ü ç ç ç ç ğ ç ğ ğ

Detaylı

Ç Ç ü Ş ç Ü İ İ İ İ İ Ü İ İ Ş ğ ü Ö ç ç ü ç İ Ü ç İ İ ü ç ü ç İç ö ö ö ö ü ü ü ü ü ü ö Ü İ Ö İ ç ö ğ ü ö ç ç ö ç ö ü ğ ğ Ş ç Ç Ç Ş ü ö ç ğ ç ü ü ü ö ö ü ö ü ü ü ğ ğ ç ğ ğ ü ü ü ç ö ğ ç ğ ö ğ ğ ğ ç ü ü

Detaylı

ü ü ü ö ü ü Ö Ö Ö öğ öğ ü ü İ ç ö ü ü ü Ü ü ö ü ü ö ö ö ö ö ç ö ö ü ö ü İ Ö Ü ü ü ü ü ö ü ö ü ü ü ü ü ç ü ö ç Ö ü ç ö ö ö ü ü ö ö ö ç ü ç ö ç ö ö ü ö ö ç ü ç ç ö ü ü ü ü ö ü ü ö ü Ö Ö ö ü ü Ö ö ö ö ü ü

Detaylı