Ý Ç Ý N D E K Ý L E R

Ý Ç Ý N D E K Ý L E R SAYMA YÖNTEMLERÝ.......................................................... 5 PERMÜTASYON............................................................. 33 KOMÝNASYON............................................................. 5 OLASILIK............................................................. 89 ÝNOM AÇILIMI........................................................... ÝÇERME DIÞARMA (DAHİLİYET HARİCİYET) PRENSİİ............................... 37 GÜVENCÝN YUVASI PRENSÝÝ.................................................. 55 ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER........................................................ 69 DEÐÝÞMEZLÝK (INVARIANCE) PRENSİİ........................................... 85 OYAMA............................................................ 99 OYUN STRATEJİLERİ......................................................... 23 ÇÝZGE KURAMI(GRAF)........................................................ 229 ALIÞTIRMALARIN ÇÖZÜMLERÝ.................................................. 249 Yarışmaların İsimleri UMO: Ulusal Matematik Olimpiyatý UÝMO: Ulusal Orta Okullar Arasý Matematik Olimpiyatý AHSME: American High Schooll Mathematics Examination AIME: American Invitational Mathematics Examination IMO: International Mathematics Competition AÜMO: Akdeniz Üniversitesi Matematik Olimpiyatý MAFETYA: Yamanlar Matematik Fen ve Teknoloji Yarýþmasý SUMYA: Samanyolu Ulusal Matematik Yarýþmasý USAMO: United State of America Mathematics Olympiads ARML: American Regional Mathematics Leaque JMO: Junior alkan Mathematics Olympiads APMO: Asian Mathematics Olympiads MO: alkan Mathematics Olympiads

SAYMA YÖNTEMLERÝ SAYMA YÖNTEMLERÝ Say ma; bir kü me nin ele man la rý ile say ma kü me si nin N + = {, 2, 3, } ele man la rý ný ara sýn da bir den baþ la ya rak ve ar dý þýk ola rak bir bir eþ le me ya pý la rak ve ri len bir kü me nin ele man sa yý sý ný bul ma dýr. u þe kil de say ma ya eþ le me yo luy la say ma de nir. A = {a, b, c, d, e, f } ol mak üze re, a =, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5 ve f = 6 olup, s(a) = 6 dýr.. Toplama Yoluyla Sayma A, A 2, A 3,, A n ay rýk kü me le ri nin ele man sa yý la rý sý ra sýy la r, r 2, r 3,, r n ol sun. u kü me le rin bir le þim kü me si nin ele man sa yý sý s(a A 2 A 3 A n ) = r + r 2 + r 3 +...+ r n dir.u þe kil de ya pý lan say ma ya top la ma yo luy la say ma de nir. A, A 2, A 3,, A n olay la rý, her han gi iki si bir bi rin den ba ðým sýz ola rak sý ra sýy la r, r 2, r 3,, r n fark lý þe kil de ger çek le þi yor sa, bu olay la rýn ta ma mý r + r 2 + r 3 +...+ r n fark lý þe kil de ger - çek le þir. ir sý nýf ta 3 göz lük lü ve 5 göz lük süz öð ren ci var dýr. u na gö re, bu sý nýf ta kaç öð ren - ci var dýr? Göz lük lü öð ren ci le rin oluþ tur duk la rý kü me ile göz lük süz öð ren ci le rin oluþ tur du ðu kü - me nin ke si þi mi boþ (ay rýk) kü me ol du ðun dan, s(a A 2 ) = s(a ) + s(a 2 ) = r + r 2 = 3 + 5 = 28 dir. 5 pan to lon ve 7 göm le ði olan Ta rýk, göm lek ve ya pan to lo nun dan bi ri ni kaç fark lý þe - kil de gi ye bi lir? P kü me si P = {P, P 2,, P 5 } ve G = {G, G 2,, G 7 } ol sun. u iki kü me ay rýk ol du - ðun dan, s(p G) = s(p) + s(g) = 5 + 7 = 2 dir. As lýn da Ta rýk'ýn göm lek ve ya pan - to lo nun dan bi ri ni giy me si du rum la rý P, P 2,, P 5, G, G 2,, G 7 den bi ri olup 2 ta ne dir. 6

. ÖLÜM SAYMA YÖNTEMLERÝ x 2 + y 2 6 eþit siz li ði ni sað la yan kaç ta ne (x, y) tam sa yý iki li si var dýr? So ru nun çö zü mü nü yedi ay rýk kü me þek lin de ele ala bi li riz. x 2 + y 2 = 0,, 2,, 6 olup, i =, 2,, 6 için A i = {(x, y) : x 2 + y 2 = i} olmak üzere, A 0 = {(0, 0)} A = {(, 0), (0, ), (, 0), (0, )} A 2 = {(, ), (, ), (, ), (, )} A 3 = { } A 4 = {(2, 0), ( 2, 0), (0, 2), (0, 2)} A 5 = {(, 2), (, 2), (, 2), (2, ), (2, ), ( 2, ), (, 2), ( 2, )} A 6 = { } olup, s(a 0 A A 6 ) = + 4 + 4 + 0 + 4 + 8 = 2 dir. A = {, 2, 3,, 499, 500} kü me si nin x, x 2, x 3, x 4 ele man la rý ile or tak çar pa ný r 2 N olan kaç fark lý geo met rik di zi oluþ tu ru la bi lir? x, x 2, x 3, x 4 sa yý la rý bir geo met rik di zi oluþ tur du ðun dan, x = a, x 2 = a. r, x 3 = a. r 2 ve x 4 = a. r 3 tür. dür. una göre, 7

SAYMA YÖNTEMLERÝ Stan dart þe kil de bo yan mýþ 8 8 lik bir sat ranç tah ta sý ve ri li yor. i rer kö þe si or tak olan be yaz ka re ler den her sa týr dan bir ta - ne alý na rak 8 be yaz ka re den olu þan yo la zig-zag yol de ni yor. u - na gö re kaç fark lý zig-zag yol var dýr? En üst sa týr dan baþ la ya rak bir alt sa týr da ki be yaz ka re ye kaç de ði þik þe kil de ge li ne bi le ce ði ni top la ma yo luy la bu la bi li riz. u - na gö re, en üst sa týr da ki be yaz ka re den en alt sa týr da ki be yaz ka re ye 35 + 89 + 03 + 69 = 296 fark lý zig-zag yol var dýr. 2 2 2 2 4 4 3 6 8 7 3 6 4 5 0 20 29 25 0 20 49 54 35 69 03 89 35 A kö þe sin den yo la çý kan bir ka rýn ca çiz gi ler üze rin de sa de ce aþa ðý ve ya sa ða gi de rek ye kaç fark lý yol dan ula - þa bi lir? A A) 24 ) 36 C) 40 D) 42 E) 54 8

. ÖLÜM SAYMA YÖNTEMLERÝ (Ce vap D) A kö þe sin den sa ða ve aþa ðý gi de rek ye ulaþ ma da ki fark lý yol la rýn sa yý sý ný bul mak is ti yo ruz. Ör ne ðin A dan yo la çý ka rak, sa ðýn da ki ilk kö þe ye tek þe kil de gi di le bi lir A nýn al týn da ki kö þe ye yi ne tek yol dan gi di lir. Ýlk ka re nin sað alt kö þe si ne üst ten ve ya sol dan ( + = 2) fark lý yol - dan ula þý la bi lir. u þe kil de de vam ede rek tüm fark lý yol - la rýn sa yý sý top la na rak 42 bu lu nur. A 2 2 3 5 5 4 9 4 4 5 4 28 42 3. Çarp ma Yo luy la Say ma E ola yý ný oluþ tu ran ve bir bi ri ne bað lý ger çek le þen n fark lý olay E, E 2,, E n için; E ola yý r fark lý þe kil de ger çek leþ sin E 2 ola yý r 2 fark lý þe kil de ger çek leþ sin E 3 ola yý r 3 fark lý þe kil de ger çek leþ sin... E n ola yý r n fark lý þe kil de ger çek leþ sin. u du rum da E ola yý fark lý þe kil de ger çek le þir. A ken tin den ken ti ne 3 fark lý ve ken tin den C ken ti ne 4 fark lý yol var dýr. (A ken tin - den C ken ti ne di rekt yol yok tur.) A ken tin den C ken ti ne git mek is te yen bi ri kaç fark lý yol - dan gi de bi lir? 9

SAYMA YÖNTEMLERÝ So ru da ve ri len le rin yu ka rý da ki ta ný ma gö re kar þý lýk la rý ný ya za lým. E ola yý A dan C ye git - me dir. E ola yý A dan ye git mek 4 fark lý þe kil de ger çek le þi yor. E 2 ola yý dan C ye git mek 3 fark lý þe kil de ger çek le þi yor. O hal de A dan C ye 4. 3 = 2 fark lý yol var dýr. A C Sakýp Aða'nın bir ka tý nýn kro ki si ve rilen bi na sýn da, her kom þu iki oda yý bir leþ - ti ren bir ka pý bu lun mak ta dýr. Gi ri þi A dan olan bu bi na da, Sakýp Aða'nýn ofi si ' dir. Sakýp Aða sa ða ve ya yu ka rý gi de rek ofi si ne her gün fark lý bir yol dan git mek is ti yor. A Sakýp Aða en faz la kaç gün, A dan ye fark lý yol dan ula þa bi lir? X ya zý lý oda lar ula þýl dýk tan son ra tek rar da ðý lým ya pý lan oda lar dýr. A dan X sa ðýn da ki oda dan X ya zý lý oda ya ge çiþ X için tek du rum var dýr. Sol dan ilk X X ya zý lý oda dan sa ðýn da ki X ya zý lý oda ya 2 X 2, 3 2, 3 4 gi bi üç fark lý yol dan A X 3 4 ula þý la bi li nir. Ayý ný þe kil de di ðer iki X ara sýn da da üç fark lý ge çiþ var dýr. u þe kil de bir bi ri ne bað lý al tý X ve beþ ara - lýk ol du ðun dan, A dan ye fark lý yol la rýn sa yý sý; 3. 3. 3. 3. 3 = 3 5 = 243 tür. X 0

. ÖLÜM SAYMA YÖNTEMLERÝ A nin ele man sa yý sý tek ol du ðun dan iki ele man ha riç di ðer do kuz ele ma nýn gi de bi le ce -, 4, 6, 7, 8 A 2, 3, 5, 9, 0, ði iki yer var dýr. u da 2. 2.. 2 = 2 9 = 52 dir. Þim di bu çö zü mü bi raz aça lým. Her ele ma nýn gi de bi le ce ði iki ku tu var dýr. Fa kat A nýn ele man sa yý sý A ku tu su na ve nin ele man sa yý sý ku tu su na gi de me ye ce ðin den iki ele man için tek du rum ola ca ðýn dan so ru da ve ri len þart la rý sað la yan (A, ) iki li le ri nin sa yý sý 2 9 = 52 dir. A = {, 2, 3,, 0} ol mak üze re, ve C kü me le ri A'nýn ay rýk iki alt kü me si dir. u na gö re, (, C) iki li le ri nin sa yý sý ne dir? A ve ay rýk kü me ler ol du ðun dan {, 2, 3,, 0} kü me si nin ele man la rý nýn da her bi - ri nin gi de bi le ce ði üç fark lý yer var dýr. ve C de ola cak ele man lar aþa ðý da gös te ril di ði gi bi ku tu la ra gi der ken, ve C de ol ma yan ele man la rýn git ti ði ku tu da D ol sun u na gö re bir ele ma nýn gi de bi le ce ði üç fark lý yer var dýr. u na gö re ara nan du rum, 3. 3.. 3 = 3 0 dur., 4, 6, 7 2, 3, 5 C 8, 9, 0 D Yan da ki þe kil de, A dan yo la çý kan ka - rýn ca, sa ða, so la ve ya aþa ðý çiz gi ler üze - rin de yü rü ye rek ve geç ti ði bir yol dan bir da ha geç me mek þar týy la ye kaç fark lý yol dan gi de bi lir? A 7

. ÖLÜM SAYMA YÖNTEMLERÝ A = {, 2, 3,, 9, 0} kü me si nin ele man la rýn dan her bi ri nin gi de bi le ce ði dört fark lý yer ol sun. Ör ne ðin ele man lar dan bi ri olan 2 elemaný ye git miþ se, bu ele man C, C, D kü me le rin de yok de mek tir. 3 ele - ma ný C ye git miþ se 3 ele ma ný, C, C kü me le - rin de de mek tir. 4 ele ma ný D ye git miþ se bu ele man, C, C kü me le rin den hiç bi rin de yok de mek tir. Ç C Ç C C C D D C ku tu su na ele man gi de bil me si du ru mu na gö - re (üst te ki ilk þe kil) her ele man 4 fark lý ye re gi de bi le ce ðin den, 4 0 fark lý (, C) iki li si el de edi lir. Fa kat bun la rýn için de C = du rum la rý da var. Tüm bu du rum lar dan C = ol ma sý du ru mu çý kar týr lýr sa A, C A ve C ola cak þe kil de (, C) iki li le ri nin sa - yý sý el de edil miþ olur. C ku tu su na ele man git me ye cek se, bu na gö re, A = {, 2, 3,, 9, 0} kü me si nin ele man la rý 3 fark lý ye re gi de bi lir ler. u da 3 0 fark - lý du rum de mek tir. u ra dan ara nan so nuç ise, 4 0 3 0 bu lu nur. A kü me si 000 den kü çük po zi tif tam sa yý lar dan oluþ mak ta dýr. A = {, 2, 3,, 999}. A da ki sa yý lar dan kaç ta ne si nin en az bir ra ka mý 9 dur? A kü me si nin ele man sa yý sý 999 dur. A kü me si nin ele manlarýn dan 9 ra ka mý ný içer me - yen ele man la rý sa yý sý nýn far ký so ru nun çö zü mü ola cak týr. A kü me si nin ele man la rýn dan 9 ra ka mý ný içer me yen sa yý la rýn sa yý sý; 9. 9. 9 = 729 olup, 000 ol ma du ru mu nu çý kar dý ðý - mýz da ara nan du rum la rýn sa yý sý 728 bu lu nur. 9. 9. 9 = 729 çar pý mýn da bir ler, on lar ve yüz ler ba sa ma ðýn da 0 ra ka mý da ge le bi lir de me mi zin ne de ni kü me nin ele man la rý nýn den baþ la ma sýn dan do la yý dýr. Ör ne ðin 8 de mek, 008 ve 8 de mek 08 ol ma sý de mek tir. O hal de, A = {, 2, 3,, 999}. A da ki sa yý lar dan 999 728 = 27 ta ne si nin en az bir ra ka mý 9 dur. {, 2, 3} ra kam la rý ný kul la na rak 3 ile bö lü ne bi len 7 ba sa mak lý kaç sa yý ya zý la bi lir? 9

8. ÖLÜM ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER 2 2 Ko lay lýk ol ma sý açý sýn dan a n ile n bo yu tun da bi rim ka re ler den olu þan bir dik dört ge - nin ve ri len fa yans lar la de ði þik þe kil de ki kap la ma la rýn sa yý sý ný gös te re lim. Yu ka rý da gös ter - di ði miz gi bi, a =, a 2 = 2, a 3 = 3 tür. n için özel du rum la rý in ce le me ye de vam et ti ði miz de, a 4 = 5, a 5 = 8 dir. u þe kil de de - vam et sek bi le þu ana ka dar prob le min çö zü mü için di rekt bir yo la ula þýl mýþ de ðil dir. Þim di n = 3 için in ce le nen du ru ma ge ri dö ne lim. 3 bo yu tun da bi rim ka re ler den olu þan dik dört ge ni sol dan sa ða doð ru kap la ma ya baþ la dý ðý mýz da ilk adým için iki fark lý yol var dýr. i) Ýlk adým da kul la nýr sak ii) Ýlk adým da kul la nýr sak 2 Du rum la rý el de edi lir. Yu ka rý da i) du ru mun da sað da 2 bo yu tun da bir dik dört ge nin kal dý ðý ný ve bu ra sý için a 2 = 2 fark lý du rum ol du ðu nu ve ii) du ru mun da sað da bo yu - tun da bir dik dört ge nin kal dý ðý ný ve bu ra sý için a = þek lin de tek du rum ol du ðu nu bi li yo - ruz. Te mel say ma yön tem le rin den top la ma yo luy la say ma il ke sin ce a 3 = a + a 2 el de edi - lir. Þim di bu du ru mu a n, n 3 için na sýl ge nel le ne bi le ce ði ne ba ka lým. Az ön ce ki gi bi, n bo yu tun da bi rim ka re ler den olu þan dik dört ge ni sol dan sa ða doð ru kap la ma ya baþ la dý ðý mýz - da ilk adým için iki fark lý yol var dýr di ye bi li riz. i)... n ii) 2... n 2 u na gö re, i) de ilk adým dan son ra ge ri ye ka lan n bi rim ka re yi a n fark lý þe kil de ve ii)de ise ilk adým dan son ra n 2 bi rim ka re yi a n 2 fark lý þe kil de kap la ya bi le ce ði miz - den, a n = a n + a n 2, n 3 dir. 7

ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER Ali her gün oku la gi der ken 2 ba sa mak lý bir mer di ven den ge çi yor. Ali her adým da ve - ya 2 ba sa mak çý ka bi li yor sa (ör ne ðin ön ce 2, son ra son ra da 2 ba sa mak çý ka bi lir) mer di - ve ni kaç de ði þik yol la çý ka bi lir? i rin ci ba sa ma ða tek þe kil de çý ký lýr. Ýkin ci ba sa mak için, iki fark lý çý kýþ var dýr;, ve ya di rekt 2, Üçün cü ba sa ma ða,, ;, 2 ve ya 2, þek - lin de 3 fark lý þe kil de ula þý la bil mek te dir. u na gö re, te - rim le ri a =, a 2 = 2, a 3 = 3 þek lin de olan bir di zi yi 2 3 4 a n = a n + a n 2 ola rak ge nel le ye bi li riz. u na gö re, a 4 = a 3 + a 2 = 5 tir. u þe kil de de vam eder sek; a 5 = 8, a 6 = 3, a 7 = 2, a 8 = 34, a = 55, a 0 = 89, a = 44 ve a 2 = 233 tür. As lý, 2 se ke ri her gün ve ya 3 şe ker yi ye rek kaç fark lý þe kil de tü ke te bi lir? Çö züm : As lý, 2 þe ke ri, 3, 33, 333, 3333 þek lin de yi ye - bi lir. un la rýn fark lý di zi liþ le ri nin sa yý sý ise tek rar lý per mü tas yon dan, Çö züm 2: u so ru yu ilk ör nek te ki gi bi, As lý 2 ba sa mak lý bir mer di ve ni her adým da ve ya 3 ba - sa mak çý ka bi li yor sa, mer di ve ni kaç de ði þik yol la çý ka bi lir þek lin de so ra rak çö ze bi li riz.. a sa ma ða tek tür lü ula þý lýr, 2. a sa ma ða da tek tür lü ula þý lýr. 3. a sa ma ða 2. a sa mak tan ge li nir ve ya di rekt ge li nir ya ni, a =, a 2 =, a 3 = 2, a 4 = 3, a 5 = 4, a 6 = 6, a 7 = 9 olup a n = a n + a n 3 edi lir. u ra dan a 8 = 3, a 9 = 9, a 0 = 28, a = 4 ve a 2 = 60 bu lu nur. el de 72

8. ÖLÜM ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER Fa yans us ta sý olan Meh met ey, Þe kil- de ki 2 7 bi rim ka - re lik du va rý Þe kil-2 de ki fa - yans lar la kaç fark lý þe kil de dö - þe ye bi lir? Þekil - Ön ce, 2 bi rim ka re lik du va rýn tek tür lü, 2 2 bi rim ka re lik du va rýn 2 fark lý þe kil de, 2 3 bi rim ka re lik du va rýn 3 fark lý þe kil de ve 2 4 bi rim ka re lik du va rýn 5 fark lý þe kil de bo - yan dý ðý ný gö rü yo ruz. Ya ni, a =, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 5 de mek tir. Þekil - 2... n geriye kalan n yer a n farklý þekilde... n 2 geriye kalan n 2 yer a n 2 farklý þekilde döþeneceðinden a n = a n + a n 2 ola rak ge nel le ye bi li riz. u na gö re, a 5 = a 4 + a 3 = 8 dir. u þe kil - de devam eder sek; a 6 = 3 ve a 7 = 2 dir. 0 ve ler den olu þan ve için de ar dý þýk iki sý fýr içer me yen 8 te rim li kaç fark lý di zi oluþ - tu ru la bi lir? 73

ÝNDÝRGEMELÝ DÝZÝLER Çö zü me, di zi nin ilk te ri mi üze rin den baþ lan a bi lir. Þa yet di zi nin ilk te ri mi 0 ise bun dan son ra ki, ya ni ikin ci te ri mi ola cak týr ve bun dan son ra ki n 2 te rim de ar dý þýk iki 0 ola maz. Þa yet di zi nin ilk te ri mi ise bun dan son ra ki n te rim de ar dý þýk iki 0 ola maz. u na gö re, a n, ar dý þýk iki te ri mi sý fýr ol ma yan ve 0 dan olu þan n-ba sa mak lý bir di zi - nin sa yý sý ise, bu di zi yi a n = a n + a n 2 þek lin de ifa de ede bi li riz. u na gö re, a = 2, a 2 = 3, a 3 = 5, a 4 = 8 ve a 8 = 55 bu lu nur. {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, } kü me si nin, her han gi iki ar dý þýk tam sa yý içer me yen kaç alt kü me si var dýr? a 0 =, a = 2, a 2 = 3, a 3 = 5 dir. Alt kümemizde varsa 2 olamayacaðýndan a n 2, yoksa a n olacaðýndan bu durumu a n = a n + a n 2 þeklinde genelleyebiliriz. O hal de a = 233 tür. {, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, } kü me si nin, dört ar dý þýk sa yý içer me yen kaç alt kü me si var dýr? So ru yu ge nel ola rak ya ni n ye bað lý ge nel le ye lim. a n = a n + a n 2 + a n 3 + a n 4 için a n : n yok, ka lan kü me den de ar dý þýk ele man içer me yen kü me sa yý sý yi ne a n olur. a n 2 : n var n yok. a n 3 : n var n var ve n 2 yok. a n 4 : n var n var n 2 var ve n 3 yok. u na gö re, a = 2 (boþ kü me ve a ele ma ný) a 2 = 4, a 3 = 8, a 4 = 2 4 = 5, 74

0. ÖLÜM OYAMA 3 3 lük bir tab lo nun her bir bi rim ka re si ne Şe kil - de ve ril di ði gi bi, 2, 3,, 9 ra kam la - rý ya zý lý yor. Her han gi bir bi rim ka re den baþ la ya rak kom þu bi rim ka re ye ge çi le rek bir bi rim ka - re ye bir den faz la uð ra ma dan n ba sa mak lý sa yý ya zý lý yor. Örneğin Þe kil-2 de gös te ri len ro tay la gi dil di ðin de 8493756 sa yý sý el de edi li yor. Ve ri len þart lar doð rul tu sun da el de edi le bi le cek en bü yük sa yý kaç týr? 8 4 6 3 9 5 7 2 Şekil- 8 4 6 3 9 5 7 2 Şekil-2 3 3 lük tab lo yu sat ranç tah ta sý gi bi si yah be yaz bo ya ya lým. Þe kil de de gö rül dü ðü gi bi be ya za bo ya lý ka re le rin sa yý sý si ya ha bo ya lý olan lar dan bir faz la dýr. En bü yük sa yý yý el de et mek için ön ce en çok ba sa mak lý sa - yý yý el de et me li yiz. u na gö re ve ri len þart lar da uð ra ya bi le ce ði miz ka re sa yý sý önem li dir. Si yah ka re den baþ la dý ðý mýz da, bi tiþ yi ne si yah ka re de ola ca ðýn dan 8 ba sa mak lý bir sa yý el de ede riz. Fa kat be yaz dan baþ la dý ðý - 6 5 8 3 7 4 9 2 mýz da bi tiþ be yaz da ola ca ðýn dan 9 ha ne li sa yý el de ede bi li riz. Þim di ara dý ðý mýz 9 ba sa mak - lý en bü yük sa yý yý el de et mek. e yaz ha ne ler de ki ra kam lar, 4, 3, 5, 2 ol du ðun dan 9 ba - sa mak lý sa yý nýn sol dan ilk ra ka mý 5 ol ma lý dýr. Ya ni baþ lan gýç ka re miz 5 in bu lun du ðu ka re ol ma lý dýr. Da ha son ra si yah ka re den uð ra ya bi le ce ði miz ra kam lar 6 ve 7 dir. Amaç en bü - yük sa yý yý el de et mek ol du ðun dan 7 ra ka mý nýn bu lun du ðu ka re ye uð ra ma lý yýz. 7 den son - ra 3 ün bu lun du ðu ka re ye uð ra dýk tan son ra amaç tüm ka re le ri de do laþ mak ol du ðun dan 6,, 8, 4, 9, 2 zo run lu yol dur. O hal de ve ri len þart lar da el de edi le bi le cek en bü yük sa yý 57368492 dir. Ayrýt uzunluðu 4 olan küpün bir köþeden çýkan üç yüzü 6 tane 3 boyutlu (dik) dörtgenlerle kaplanabilir mi? 205

OYAMA Küpü þekildeki gibi boyarsak her, 3 dik dörtgeni ya yada 3 siyah hane kapatacak. dikdörtgen kullanýlacak. Dolayýsýyla kapatýlan siyah hanelerin sayýsý çift olacak. Oysa siyah hanelerin sayýsý 3 7 = 2 idi. Elde edilen çeliþkiden dolayý ayrýt uzunluðu 4 olan küpün bir köþeden çýkan üç yüzü 6 tane 3 boyutlu (dik) dörtgenlerle kaplamaz. Fare, 27 eþit küçük küpe bölünmüþ küp þeklindeki bir peynir parçasýný yiyor. Fare bir küçük küpü yiyip bitirdikten sonra bununla ortak yüzü bulunan diðer birini yiyor. Fare merkezdeki küpün dýþýnda tüm küpleri yiyebilir mi? Küçük küpleri, ortak yüzü bulunan küpler farklý renkte olacak þekilde, beyaz ve siyah renklere boyayalým. Örneðin þekildeki gibi: tam 2 yüzü büyük küpün yüzeyinde olan küçük küpler beyaz, ve 3 yüzü büyük küpün yüzeyinde olan küçük küpler siyah olsun. Fare merkezdeki küp yemeyeceði için bunu yok sayabiliriz. O halde 2 tane küçük küp beyaz, 4 tane küçük küp de siyah olacak. Fare bir küçük küpü yedikten sonra bununla ortak yüzü bulunan küpü yediðinden, beyaz küpten sonra siyah, siyah küpten sonra da beyaz küp yemek zorunda. u durumda farenin yediði siyah küplerle beyaz küplerin sayýlarý farký en fazla olur. 4 2 > olduðundan fare, koþullar saðlanacak þekilde 26 küpü yiyemez. 206

0. ÖLÜM ALIÞTIRMALAR 0. (oyama)., 2, 3,, 25 sayýlarý 5 5 lik bir tablonun birim karelerine, ardýþýk sayýlar ortak bir kenarý paylaþan birim karelerde yer alacak biçimde yazýldýðýnda bir satýrda en fazla kaç asal sayý olabilir? A) 2 ) 3 C) 4 D) 5 E) 6 2. n n lik bir tab lo sol alt kö þe si si yah ola cak þe kil de sat ranç tah ta sýn da ol du ðu gi bi si - yah ve be ya za bo ya ný yor. Sol alt kö þe bu lu nan bir çip, bu lun du ðu ka re den kom þu ka - re ye ge çe rek ha re ke ti ne de vam edi yor ve uð ra dý ðý her ka re yi, ka re nin ren gi si yah sa be - ya za, be yaz sa si ya ha de ðiþ ti ri yor. u na gö re n = 202, 203, 204, 205, 206 de ðer - le rin den ka çý için, çip tab lo nun tüm ka re le ri ni si yah ya pa bi lir? A) 0 ) C) 2 D) 3 E) 5 3. Düz lem de ve ri len al tý nok ta nýn her bi ri di ðer le riy le bir leþ ti ri li yor ve olu þan her doð ru par ça sý ný kýr mý zý ya ve ya sa rý ya bo yu yo ruz. Ke nar la rý ay ný renk te ve kö þe le ri ve ri len al - tý nok ta dan üçü olan üç gen le re al týn üç gen di ye lim. En az kaç ta ne al týn üç gen olu - þur? A) 2 ) 3 C) 4 D) 5 E) 6 4. 9 9 bo yut lu sat ranç tah ta sý nýn her ha ne sin de bi rer bö cek var dýr. Sin yal se siy le her bö cek çap raz kom þu sun da ki ha ne ler den bi ri ne ge çi yor. u du rum da ba zý bö cek ler ay - ný ha ne ye gel miþ ola bi le cek ken ba zý ha ne ler de boþ ka la bi lir. oþ ka lan ha ne (bi rim ka re) le rin sa yý sý en az kaç ola bi lir? A) 0 ) C) 9 D) 2 D) 3 207