7. HAFTA 3.3. ÇEKİRDEK MODELLERİ Çekirdeği anlamak için temel tanımlamamız şu şekilde özetlenebilir: çekirdeğin içerisinde nükleonların nasıl hareket ettikleri ve nükleer kuvvetlerin nasıl davrandıklarıdır. Protonlar, nötronlar, elektronlar ve atomların elektrodinamik ve kuantum mekanik kanunlarına nasıl uyduklarını bilmekteyiz. Burada problem çekirdeği bir arada tutan kuvvetlerdir. Atomda etkileşim kuvvetleri Coulomb kuvvetidir ve özellikleri çok iyi bilinmektedir. Coulomb kuvveti elektron ve çekirdek arasındaki Coulomb etkileşimi hareketi hakkında önemli rol oynar böylece problem rahatlıkla çözülebilir. Fakat çekirdekte en etkin etkileşim kuvveti çekirdek kuvvetidir. Son bölümde tartıştığımız üzere bu kuvvet hakkında bir çok şey bilmekteyiz fakat Coulomb kuvveti gibi kapalı bir form yazamamaktayız. Çekirdek kuvvetlerini tamamen anlamış olsak bile hala başka problemlerle karşılaşabiliriz. Atomda elektronların etkileşimleri küçük pertürbasyonlar şeklindedir. Bununla birlikte çekirdek içerisinde bir çok nükleonun karşılıklı etkileşimleri çekirdeği bir arada tutar dolayısıyla iki cisim Coulomb problemi gibi (elektron ve atom çekirdeği arasında ) bir çözüme ulaşmak mümkün olamamaktadır. Bir düşünce istatistiksel yaklaşımla bunun yapılabileceğidir fakat istatistiksel metotları kullanabilmek için de yeterince nükleon sayısının olmaması gibi bir problemle karşı karşıya gelinir. İşte bu problemler çekirdeği çok ilginç ve araştırmaya değer sebepler şeklinde adlandırılabilir. Çekirdek çok cisim kuantum sistemidir ve birçok parçacık birbirinden bağımsız etkileşim içinde olup bir kaç parçacık istatistiksel metotlara uyar. Bu zorlukların sonucunda farklı çekirdek modelleri çekirdek içindeki nükleonların hareketlerini tasvir eder ve çekirdek yapıları hakkında bilgi verir. Bazen özel bir model sadece bir tek özelliğini açıklayabilir. Bununla birlikte teorik çalışmaların gelişmesi ve büyük kapasiteye sahip bilgisayar teknolojileri kullanmakla mikroskobik çekirdek model hesaplamaları çekirdek hakkında geliştirilmektedir. Nükleon-nükleon etkileşimlerinden çekirdek özellikleri gözlemlenebilmektedir. Dikkat edilecek olursa iki nükleon arasındaki kuvvete ilave olarak üç cisim etkileşimleri de hesaba alınmalıdır. Mikroskobik ve makroskobik çekirdek modelleri ve yeni deneysel sonuçların arasındaki ilişki bugünkü nükleer fizik çalışmalarında en güncel olan durumlardır. 193 yılından beri birçok çekirdek modeli ortaya konmuştur. En erkeni daha önceden de belirttiğimiz gibi sıvı damla modelidir. Bu modele göre nükleonlar çekirdek içerisinde kolektif olarak hareket ederler bu yüzden kolektif model olarak ta adlandırılır. Bunun zıttı bir model ise birbirinden bağımsız parçacık modelidir. Bu da fermi gaz modeli olarak adlandırılır. Nükleonlar çekirdek içerisinde birbirinden bağımsız hareket ederler. Şimdi bu modeli kısaca açıklayalım; daha sonra iki başarılı çekirdek modelini, küresel çekirdek kabuk modeli ve çekirdek kollektif modeli ele alalım. Küresel çekirdek kabuk modeli 1949 yılında M. G. Mayer ve J.H.D. Jensen ve arkadaşları tarafından ortaya konmuş ve 1963 yılında Nobel fizik ödülünü almışlardır. Çekirdek kollektif model 195 yılında A.Bohr ve B.Mottelson tarafından ortaya konmuş ve 1975 yılında Nobel fizik ödülünü almıştır. Gerçekte çekirdekler bu iki geniş kategoriye ayrılırlar. Şekil 11.5a da görüleceği üzere + ilk uyarılma enerjileri şekil11.5b de bu uyarılma enerjisine ait elektrik kuadrupol geçiş olasılıkları görülmektedir. Şekil 11.5a da görüldüğü üzere + enerji düzeyleri 0.5-4 MeV arasında oldukça büyük ve geçiş olasılıkları oldukça küçüktür. Şekil 11b de dikkat edilecek olursa A=10 ve 00 arasında geçiş olasılıkları oldukça büyük buna karşın + enerji düzeyleri daha küçüktür. Bu
şekillerden anlaşılacağı üzere nadir toprak elementleri ve aktinitlerin enerjileri oldukça düşük ve geçiş olasılıklarının ise oldukça büyük olduğudur. Nükleonlar arasındaki etkileşimde kritik durum hem kabuk modelinde hem de kolektif modelde çok önemli bir durumdur. Nükleon nükleon etkileşimleri spin bağımlı olduğundan proton ve nötron birleşerek deteryum çekirdeğini oluşturur ve deteryumun gözlenen toplam spini S=J=1 şeklindedir. Buradan da anlaşılmaktadır ki çekirdek içerisinde çok güçlü bir çiftlenim kuvveti vardır. Çekirdek içerisinde her bir proton diğer protonla ve her bir nötron diğer nötronla çiftelenerek S=0 spininde birleşmektedir. Böylece çift Z ve çift N ye sahip çekirdeklerin spinleri daima sıfırdır. M.Mayer bu kuralı kullanarak kendi kabuk modelinde tek A çekirdeklerinin spinlerinin çiftlenmemiş son parçacıktan belirlenebileceğini açıkladı. Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS teorisi) Süperiletkenlik teorisi çekirdeklerdeki çiftlenim durumlarını anlamada önemli bir mihenk taşı olmuştur. Süperiletkenliğin kalbi olan bu fikir zıt spine sahip olan iki elekron(s=0) çiftlenim oluşturarak malzeme içerisinde bir çeşit bağlı düzey oluşturur. Cooper çiftleri bozon gibi davranır. A.Bohr,B.R.Notelson ve D.Pines ve S.Belyaev nükleer fiziğe BCS teorisini uygulamıştır. Çift-çift çekirdeklerde nükleonların çiftlenmesinden dolayı yasak bir enerji oluşmaktadır. Aynen süperiletkenlerde olduğu gibi fakat burada bu enerji aralığı protonlar ve nötronlar arasında olmaktadır. Çiftlenim aralığının altında yalnızca kolektif rotasyonel ve vibrasyonel uyarılmalar çift-çift çekirdeklerde olmaktadır. Tek bir parçacığın bir yörüngeden diğer yörüngeye ulaşabilmesi için bu çiftlenimi kıracak bir enerjiye ihtiyaç vardır. Kabuk modeli ve kolektif modeli ele aldığımızda bu modellerin uzantılarını mikroskobik tanımlamalarda araştırmamız gerekir. Bir çekirdek, diğer kuantum mekaniksel sistemler gibi, bir set karakteristik enerji, veya uyarılmış durumalrı içerir. Bunların en önemlisi, stabil (durağan) bir durumdadır ki bu da temel durum olarak adlandırılır. Çekirdekler normal olarak bu durumda bulunmazlar. Bir nükleer modelin gayesi nükleer özellikleri açıklamak için bir pratik yöntem oluşturmaktır. Ideal olarak nükleer yapıların hesaplanması, nükleer içerikteki kuvvetlerle ilgili yasaların bilinmesini gerektirir. En basit çekirdek için bu yönde bir geşilme kaydedilmiştir. Fakat daha büyük çekirdekler için bir model uygulaması gerekmektedir. Çok erken ortaya konan modeller çeşitli şekillerde başarızısız olmuştur. Faydalı bazı modeller şu şekilde özetlenebilir.
a-)fermi Gaz Modeli Bu modelde nötronlar ve protonlar bağımsız olarak bulunurlar ve çiftler halinde nükleer hacime eşit bir hacim içerisinde bulunurlar ve düzlem dalgalarla açıklanırlar. Bir R nükleer boyutu ve kütleleri M olan A tane parçacık için de Broglie dalga boyu ve buna karşılık gelen momentum Parçacık kinetik enerjisi: λ R / A 1 3 ha P = R 1 3 3 P A T M MR ve tüm çekirdekler için A 5/3 /MR dir. Potansiyel enerji ise etkileşen çiftlerin sayısı ile A( A 1) orantılıdır. Yani. A yeterli büyüklükte ise potansiyel enerji temel terimlerdir. Bu modele göre çekirdek yıkılacağından nötron proton etkileşiminin bunu önliyecek şekilde açıklanması gerekir. Bu model büyük çekirdeklere iyi uygulanabilir. Bu model yüksek enerji çarpışma problemlerinde çok faydalı açıklamalar getirmiştir. Bu modelin temeli birbirinden bağımsız parçacık modeline dayanmaktadır. Çekirdeğin içerisindeki nükleonlar bir potansiyel kutusu içerisinde birer gaz molekülü gibi birbiriyle etkileşim içerisinde olmadan hareket ederler. Nükleonlar fermionlar olduğundan dolayı çekirdek fermi-gaz olarak ele alınabilir. Nükleonların hareketlerini belirleyen en önemli faktör onların Pauli dışarlama ilkesidir. Nükleonlar birbirinden bağımsız olarak çekirdek içerisinde etkileşmeden hareket edebilirler çünkü bütün izinli temel düzeyler doludur. Fermi düzeyi ve bu düzeyin üzerinde ki durumlar daha alt fermi düzeyi altında bulunan nükleonlar tarafından ulaşılamaz enerji değerindedir. Bunu açıklamak için şöyle bir şey söylenebilir iki protonun çarpıştığını düşünelim bir proton fermi düzeyinin altında ki daha yüksek enerji düzeyine gidebilir. Diğer proton daha düşük bir enerji düzeyinde enerjinin korunumu gereği daha düşük bir enerji düzeyine gitmelidir. Fakat bütün düşük enerji düzeyleri doludur dolayısıyla iki parçacık birbirleriyle etkileşim içine girmezle ve enerji değişimi yapmazlar. n ve p lar farklı yüklere sahip olduklarından potansiyelin derinliği ve şekli şekil11.6 da görüldüğü üzre aynı değildir. Burada B deneysel bağlanma enerjsi ve Ec coulomb enerjisidir. P kuyusunun tabanı n kuyusun tabanından Ec kadar daha yüksektedir. p kuyusunun üst kısmı coulomb bariyerine sahip olup içte bulunan parçacıkların dışarı çıkmasını dışarıda bulunanlarında içeri girmesini engeller. Eğer dışarıdan bir p gelip çekirdek içine girmek isterse enerjisi bu bariyeri aşabilecek boyutta olamlıdır. Bu bariyerin daha düşük enerjili parçacıkları tünelleme etkisi ile delinme ihtimali vardır.
Potansiyel kuyusunda kesikli enerji düzeyleri bulunmaktadır. Çekirdek temel düzeyde iken Pauli dışarlama ilkesinin izin verdiği ölçüde nükleonlar en düşük enerji düzeyindedir. n kuyusu içinde her bir enerji düzeyi iki n, p kuyusu içinde ise iki tane p bulunmaktadır. Bunların spinleri yukarı ve aşağı şeklindedir. Çekirdek temel düzeyde bulunduğunda nükleonların doldurduğu en yüksek düzey fermi enerji düzeyi olarak adlandırılır. Bir boyutta kare kuyu potansiyel içerisinde bulunan bir parçacığın enerji düzeyleri = 11.4 Burada m parçacık kütlesi ve d potansiyel derinlkği şeklindedir. Bunu üç boyuta genişletirsek = ħ ( + + ) 11.5 =1,,3,. =1,,3,. =1,,3 Bir boyuttaki durumun aksine enerji dejenelerliği artar. Bir tek temel düzey bulunmaktadır. (n1,n,n3) =(1,1,1) fakat üç tane aynı enerjide uyarılmış düzey vardır.(,1,1), (1,,1),(1,1,,) Fermi enerji düzeyi ve onun altında kaç tane düzey olduğunu bilmek zorundayız. Kaç tane (n1,n,n3) kombinasyonu bu şartı sağlar + + 11.6 11.7 + + 11.8 Eğer n1,n,n3 kartezyen koordinat sisteminin üç ana ekseni olduğu kabul edilirse R kürenin çapı olacaktır. Aynı enerjiye sahip düzeyler kürenin yüzeyinde R yarıçapsında olacaktır. Her bir (n1,n,n3) kristal örgüye karşılık gelir. En yüksek enerji, en büyük küresel yüzeye, en büyük kristal örgüye ve en yüksek dejenereye sahiptir. Kaç tane n1,n,n3 grubu eşitlik 11.6 yı sağlar? Bu soru kaç tane kristal örgü R yarıçaplı küre yüzeyinde bulunabilir? Demeye eşittir. Bütün pozitif n1,n,n3 ler için kürenin 1/8 lik kısmının hacmi = " # $ 11.9
Şimdi n ları düşünelim her bir enerji düzeyinde iki tane n vardır(pauli dışarlama ilkesinden dolayı) d3 lük bir hacimde n sayısı & = " #,# $ 11.10 Çekirdek hacmi aşağısdaki şekilde yazılır ' = ( = ) ( * 11.11 Böylece n un max kinetik enerjisi elde edilmiş olur yani fermi enerji düzeyi +, = ħ #, - "./ 0 $ 11.1 Şeklinededir. Aynı benzer yolla p max kinetik enerjiyi de hesaplayabiliriz +,1 = ħ #, - ". 0 $ 11.13 Burada ro çekirdek çapıdır(1.0f). p ve n un max momentumlarının aşağıdaki eşitlikle yazabiliriz. 3 = ħ "./, - 0 $ 11.14 3 4 = ħ "., - 0 $ Yukarıdaki eşitliği elde etmek için göreceli olmayan enerji ve momentum bağıntılaraı kullanıldı + = 5 11.15 Buna göre ortalam kinetik enerjiyi hesaplayacak olursak = 8 9 1-9 8 = 1 : "5 - Çekirdeğin toplam kinetik enerjisi (;,&) =& / +; = = ħ ( $ 11.16, - ". $ <& ( 5 +; 5 4 / " >? > $ 0 = 11.17 Burada heriki p ve n kütleleri m olarak ele aldık aynı zamanda potansiyel kuyu genişliğini p ve n için aynı değer aldık. Elbetteki başlangıçta heriki p ve n un birbirinden bağımsız hareket ettiği varsayımını yaptık. Eşitlik 11.17 de Z=N, (;,&) değeri minimumdur. Z-N=δ, alırsak ve Z+N=A olarak tanımlarsak & = *"1 A 0 $ ; = *"1+ A 0 $ Eğer δ/a 1 ise binom açılımını kullanırsak; (1+F) =1+F+ ( 1) F +
O halde N=Z olursa (11.17) eşitliği (;,&) = ħ (, - ". $ "*+ : (H/). 0 + $ 11.18 İlk terim A ile doğru orantılıdır ve hacim enerjisine katkıda bulunur. İkinci terim I JK (H/) 0 11.19 Burada I JK = ". $ ħ, - 11.0 Eşitlik 11.18 den açıkça görüleceği üzere aynı A ya sahip çekirdeklerde Z=N olduğunda çekirdek enerjisi minimum olmakta dır. Yani Z=N çekirdekler en kararlı çekirdeklerdir. b-) Sıvı Damlası Modeli N.Bohr ve F. Kalckan) Bu model çok parçacık sisteminde nötronlar ve protonlar arasında güçlü etkileşimi ele alan ve nükleer maddenin sürekliliğinden başlayan bir modeldir. Deneyde bulunan yakın aralıklı pek çok düzeyin varlığına işaret eder. Bu modelle Bohr un birleşik çekirdek teorisi tabii açıklamasını bulur. Bu model aynı zamanda nükleer bağlanma enerjilerini ve yarı amprik nükleer bağlanma formülü için temel teşkil eder. Büyük çekirdekler için geçerlidir. c-) Yarı atomik kabuk Modeli: Burada küresel simetrik bir potansiyelde hareket eden parçacık dalga fonksiyonları kullanılır. Bu model spektroskopik sınıflandırma ve gözlenen periyodik özelliklerin açıklanmasında faydalıdır. 3.4. NÜKLEER ÖZELLİKLERDEKİ DÜZENLİLİĞİN DENEYSEL KANITLARI Bilhassa kabuk modelinin temelini oluşturan nükleer özellikler; (i) (ii) (iii) (iv) (v) Nükleon bağlanma enerjisindeki süreksizlikler, özellikle (n,γ) ve (d,p) reaksiyonlarında yapılan nötron bağlanma enerjilerinin ölçümlerinden elde edilen sonuçlar. N ve Z ye bağlı toplam ve rölatif izotop ve izotan bollukları Özellikle çift N ve çift Z çekirdeklerde ilk uyarılmış çekirdek düzeyinin uyarma enerjisi; α- ve β- bozunum enerjileri Nükleer reaksiyon tesir kesitleri ve düzey yoğunlukları. Bunlar sıvı damlası modeline göre elde edilen kütle formülündeki kabuk kapanmalarına bağlı düzensizliklerle bağlantılı özelliklerdir. Bunlara ek olarak kabuk dolumları ile ilişkili düzenli yörünge dizinlerine bağlı özellikler vardır. (vi) Stabil ve stabil olmayan çekirdeklerin temel düzey spinleri. (vii) Nükleer temel düzeylerin paritesi (viii) Nükleer durumların manyetik dipol ve bir miktar elektrik kuadrupol momentleri.
(ix) (x) β-yayıcıların karşılaştırmalı yarı ömürleri Nükleer izomerizm. İlk 5 özellik,,8,0,50,8,16 nötron veya proton içeren çekirdeklerin özellikle stabil olduğunu önerir. Bazı özellikler 8 sayısının da eklenmesini önerir. Bu sihirli sayılar Mayer, Hakel, Jensen ve Suess öne sürmişlerdir.