BTMIŞ YÜZEYLERE ELEN HİDROSTTİK KUVVETLER DÜZLEM YÜZEYLER Yata Yüeler Sıvı üei Yata bir dülem üee gelen idrostatik kuvvetin büüklüğünü ve etkime noktasını bulmak istioru. d d Kuvvetin Büüklüğü :Şekil deki ata, dülemindeki alana gelen idrostatik basınç kuvvetinin büüklüğü: d.d d γ olduğuna göre; γ Buradan görüldüğü gibi tabana etkien kuvvet, tabanın büüklüğü, ükseklik ve oğunluğa bağlı olmaktadır. Buna göre tabanı eşit olan aşağıdaki kalarda tabana etkien kuvvetler, sıvıların ağırlıkları farklı olmasına rağmen eşittirler. (Hidrostatik aradoks) Şekil.6
Basınç Merkei : Basınç kuvvetinin etkime noktası basınç merkei olarak anılır. Şekil deki alanına üniform aılı olarak gelen idrostatik kuvvet için basınç merkeinin erangi bir, eksen takımına göre eri, bileşke kuvvetin ve basınç dağılımının momentleri eşitlenerek bulunabilir. ve eksenlerine göre momentler :....d,.... d d Basınç merkeinin koordinatları; d, d Yani ata dülem üelere gelen idrostatik kuvvet alanın ağırlık merkeine etkimektedir. Eğik Yüeler Şekil deki eğik düleme etkien idrostatik basınç kuvvetinin şiddeti, önü ve geçtiği nokta belirlenecektir. d d d
Kuvvetin Büüklüğü : Yüe üerindeki d alanına gelen kuvvet: d.dγ..d γsind Tüm alanına integre edilerek sin kullanılırsa: γ sin γ d γ sin Bu denklem batmış bir dülem üee gelen idrostatik kuvvetin, üein ağırlık merkeine gelen basınç ile üe alanın çarımına eşit olduğunu ifade etmektedir. Basınç Merkei : Basınç merkeinin eri, bileşke kuvvetin ve basınç dağılımının ve eksenlerine göre momentleri eşitlenerek bulunabilir. için eksenine göre moment : Son denklemde γ sin ve γsin kullanılırsa γ d d sin d γ sin d burada di atalet momentidir 3
Ι. I atalet momenti geçiş formülü kullanılarak alanın ağırlık merkeinden geçen eksene göre atalet momenti cinsinden aılabilir: Ι Ι +. Ι. + / sin ve / sin I sin + X 'nin taini; eksenine göre moment alınırsa... d.. d γ...sin ve γ.. sin γ...sin γ sin d 4
... d I I Transfer teoreminin kullanılmasıla; Ι Ι +. Ι. +. Eğer 'den geçen 'e aralel eksene göre simetrik ise Ι 0 olur.bu durumda olur. Basınç riması Yöntemi Basınç riması öntemi eğik üelere etkien idrostatik bileşke basınç kuvvetininşiddet ve erinin bulunması için diğer bir oldur. Buna göre şekilde görüldüğü gibi basınç rimasının acmi; kuvvetin şiddetini, ağırlık merkeide kuvvetin geçtiği eri verir. rimanın tabanı üe üerindedir ve üst üein idüşümü basıncın derinlikle orantılı olarak artmasından dolaı doğrusaldır B γ γ B b B (a) Eğik Yüe 5
b B γ γ B B (b) Düşe Yüe γ + γ B B b Buradan kuvvetlerin etkime noktası merkeinden geçer. basınç rimasının ağırlık Eğri Yüeler: Batık üein eğri olması alinde üee dik olan basıncın önü noktadan noktaa değişecektir. Bu durumda üe elemanlarına etkien kuvvet elemanlarının vektörel olarak tolanması gerekir. d i d + jd + k d Tüm üee integre edilerek bileşke kuvvet elde edilir. i + j + k 6
,, bileşenlerinin bulunması: d elemanına gelen kuvvet Şekil den d d γ d d d d d duvvetinin bileşenleri: d dcos γ d cos d dcos γ d cos d dcos γ d cos d r vektörünün doğrultusundaki skaler bileşeni d cos d ve diğer doğrultularda dcos d ve dcos d bu değerler erine konularak integre edilirse üe üerindeki kuvvet bileşenleri d γ d γ d γ (.7) d γ d γ d γ (.8) d γ d γ d γ (.9) Burada, ve idüşüm alanlarını, ve ağırlık merkelerinin su üeinden olan mesafesidir. eğri üein üerindeki sıvı acmidir. (.7) ve (.8) ifadelerine göre eğri bir üee erangi bir ata doğrultuda gelen basınç kuvveti, bu üein sö konusu doğrultua dik dülem üerindeki idüşüm alanına gelen kuvvete eşittir. Kuvvet bileşenin idüşüm alanı üerindeki etkime noktası eğik üeler için ugulanan öntemlerle bulunabilir. 7
Örneğin ukarıdaki bileşeninin üerindeki etkime noktasının eri aşağıdaki gibi aılabilir : Ι +. Ι X. + X (.9) denklemine göre idrostatik kuvvetin düşe bileşeni, alan üerindeki serbest sıvı üeine kadar olan acmi dolduran sıvı ağırlığına eşittir. Bu kuvvet sö konusu acmin ağırlık merkeinden geçer. Z γ d γ. V Z KLDIRM KUVVETİ Hareketsi bir sıvının batmış vea üen cisimlere uguladığı bileşke kuvvete kaldırma kuvveti denir. Bir cismin sıvı üei altında kalan kısmına etkien ata kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır. Diğer taraftan cismin üelerine alttan ve üstten etkien kuvvetlerin düşe bileşenlerinin farkı kaldırma kuvvetini oluşturur. Yani, rcimedes rensibi olarak da tanımlanan kaldırma kuvveti cismin batmış kısmını dolduran sıvının ağırlığına eşittir. Kaldırma kuvveti düşe olarak aşağıdan ukarıa doğru etkir ve batmış kısmın taşırdığı acmin ağırlık merkeinden geçer. Bu noktaa kaldırma merkei denir. 8
o d Z d Z d Şekildeki d elemanına etkien kuvvetlerin bileşkesi; d k ( ) d γ ( ) d γ d Cismin tüm üei üerinde integre edilirse ; γ d γv Etkime noktası için O dan geçen eksene göre kuvvetlerin momenti alınırsa; d BTMIŞ VE YÜZEN CİSİMLERİN DENESİ Yüen vea batmış olan statik alde dengede bulunan cisimlere iki kuvvet etkir. Bunlar ukarı doğru olan kaldırma kuvveti ve aşağı doğru olan ağırlık kuvvetidir. Eğer cisim areketsi ise bu iki kuvvet eşittir ve kaldırma merkei cismin ağırlık merkeinden geçen düşein üerinde bulunur. Bu kuvvetler altında dengede bulunan cismin raatsı edildiğinde tekrar eski aline dönmee çalışırsa kararlı denge, eski alinden uaklaşırsa kararsı denge, eni denge durumunda kalırsa nötr denge durumundadır denir. 9
Batmış Cisimlerin Dengesi Batmış cisimlerde denialtı gibi, kaldırma merkeinin ağırlık merkeinin üerinde olması daima kararlı denge durumunda olduğunu gösterir. Eğer kaldırma merkei ağırlık merkeinin altında olursa cisim kararsı dengededir. ğırlık merkei ile kaldırma merkei çakışırsa cisim nötr denge durumundadır. K a rarlı K ara rsı N ö tr Şekil Batmış cismin dengesi Yüen Cisimlerin dengesi emi gibi üen cisimlerde ağırlık merkei kaldırma merkeinin üerindedir. Rügar, dalga gibi bir kuvvet bu cisme etki ettiğinde cismin kadar dönmesi ile ağırlık merkeinin eri değişmeecek ancak kaldırma kuvvetinin etkime noktası K dan K e kaacaktır. K nın simetri eksenini kestiği M noktasına METSNTR denir. M nin üerinde ise ortaa çıkan kuvvet çifti cismi tekrar eski durumuna döndürür (kararlı denge). ksi alde cisim devrilir (kararsı denge). M ile çakışırsa cisim nötr denge durumundadır M mesafesine Metasantrik ükseklik denir. Küçük dönme açıları için metasantrik ükseklik aşağıdaki gibi esalanır. 0
Kaldırma kuvvetini K dan K e kadıran moment çiftidir. Bu kuvvet: k.s k.r kuvvet d M W s k K K k K k rmksin k s Bu değerler (.) nolu eşitlikte erine konularak γ tan d γ tan d, k r γ MB sin γ tan d γ MB sin küçük açılar için erine sin tan, ve d I I MB metasantrik ükseklik; I M + K Eğer kaldırma merkeinin (K) altında ise; I M K olur ve devamlı kararlı denge durumu vardır.