Transkript

1 MATEMA T T r. P ALME YA YINCILIK Ankara I

2 PALME YAYINLARI: 76 Sinif Matematik Konu Anlatım / Mehmet Şahin Yaına Hazırlama : PALME Dizgi-Grafik Tasarım Birimi Yaın Editörü : Cemil AYAN Palme Yaıncılık Yaıncı Sertifika No : ISBN : : : : Bu kitap 586 saılı asanın hükümlerine göre kısmen a da tamamen basılamaz, dolalı dahi olsa kullanılamaz, teksir, fotokopi a da başka bir teknikle çoğaltılamaz. Her hakkı saklıdır, PALME YAYINCILIĞA aittir. Bu kitapta kullanılan sistem aın evinin izni olmadan kullanılamaz. GENEL DAĞITIM YAZIT Yaın-Dağıtım Sağlık Sokak 7/ Sıhhie-ANKARA Tel Faks II

3 Denebilir ki, hic bir s ee muhtac deg iliz. Yalniz bir tek s ee ihtiacimiz var: C alis kan olmak! Tu rkie nin c ocuklari, Bati nin teknolojisinin harac gu zari olarak deg il, kendi icat ettikleri tekniklerle deg erlerimizi eru zu ne c ikarmali du naa duurmalidir Ku c u k hanimlar, ku c u k beler! Sizler hepiniz geleceg in bir gu lu, ildizi, ikbal nurusunuz. Yurdu asil nura gark edecek sizsiniz. Kendinizin ne kadar mu him ve kimetli oldug unuzu du s u nerek ona go re c alis iniz. Sizlerden c ok s e beklioruz. Mustafa Kemal Atatu rk III

4 EDİTÖR Son ıllarda ilk ve ortaöğretimde ugulanmaa başlanan öğretim programlarının ana felsefesi, aşam temelli aklaşımı esas almasıdır. Bu aklaşımla, sout gibi algılanan birçok kavram gerçek aşamla ilişkilendirilmiş, somut hale getirilmiştir. Bu aklaşım okullarımızdaki öğretim sürecine tam olarak erleştirildiği ve ugulandığı zaman öğrencilerimizin derslere olan ilgi ve motivasonları ciddi bir biçimde artacaktır. Tüm bu gelişmelerin sonucu olarak bilişim toplumunun gerektirdiği becerilere sahip, objektif ve analitik düşünebilen, aratıcı bir kafa gücüne sahip kuşaklar etişecektir. Böle etişen genç insanlar, ezberden uzak kalacak, sağlıklı iletişim kurabilme etileri gelişecek; kendini ii tanıan, çevresile barışık bireler olacaktır. Palme aıncılığın hazırladığı bu kitap serisinin içeriği ukarıda belirtilen bakış açısı çerçevesinde oluşturulmuştur. Arıca bu kitaplar değişen eni sınav sistemine (YGS LYS) ugun bir niteliğe sahiptir. Üniversite sınavlarında sorulacak soruların kapsamı ve ağırlık düzeine ugun bir konu akışı sağlanmıştır. Bu kitapların hazırlanmasında büük bir özverile bana destek veren Palme Yaıncılık'ın genel müdürü saın İlhan Budak'a teşekkür ederim. Palme Yaıncılık'tan çıkan bu kitap serisinin tüm öğrencilere ararlı olması ve onların gelişimine bir katkı sağlaması dileğile... Cemil AYAN Ağustos Ankara IV

5 ÖNSÖZ Sevgili Öğrenciler, 9 Eğitim Öğretim döneminde 9. sınıflara ilk kez ugulanan eni geometri müfredatı önemli değişiklikler içermektedir. Elinizdeki kitap Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbie Kurulu Başkanlığı'nın son kararına göre hazırlanmıştır. Başkanlığın istediği kazanımlara göre hazırlanan bu kitapta her ünite etkinliklerle başlamaktadır. Ünite içindeki testlerin bulunduğu safaların sol kısmında bulunan Bilgi sütununda o safadaki soruları çözmenize ardımcı olabilecek kavram, özellik a da örnekler bulunmaktadır. Bu kitap, Orta öğretim başarımızı ükseltmek, Üniversitee giriş sınavında üksek başarı elde etmenizi sağlamak amacıla ıllık lise müfredatına ugun olarak hazırlanmıştır. Kitaptaki her etkinlik, her test sorusu eni müfredata ugun olarak hazırlanmıştır. Her ünitede testleri oluşturan sorular koladan daha çok bilgi içeren soru tiplerine doğru sıralanmıştır. Kitabımızın öğrencilerimize ararlı olması bizleri mutlu edecektir. Sağlık ve başarı dileklerimizle... Mehmet ŞAHİN V

6 Ç NDEK LER Safa No ÜNİTE Özel Tanımlı Fonksionlar... 9 Fonksion... 9 =sin Bir Fonksionun Grafiği... 6 Periodik Fonksion... 5 Fonksion Çeşitleri... Bir Fonksionun Tersi... 6 Fonksion Saısı... 9 Bileşke Fonksion... Artan ve Azalan Fonksionlar... Tek ve Çift Fonksionlar... 7 Bir Fonksionun En Geniş Tanım Kümesi Parçalı Fonksionlar... 6 Parçalı Fonksionun Tersi... 6 Parçalı Fonksionlarda Bileşke Grafik Çizimi Öteleme Simetri Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler... 7 Mutlak Değer Fonksionu... 8 Bağıntı Grafikleri... 9 ÜNİTE LİMİT VE SÜREKLİLİK Limit ve Süreklilik... 8 kök Bir Fonksionun Limiti... 9 Özel Tanımlı Fonksionların Limiti... Limit Özellikleri... Genişletilmiş Gerçel Saılar Kümesinde Limit... 5 Belirsizlikler Bir Dizinin Limiti Seriler... Süreklilik... 5 Fonksionlarda Süreklilik... 5 Sürekli Fonksionların Özellikleri... Sınırlı Fonksionlar... 9 VI

7 Safa No ÜNİTE TÜREV KAVRAMI =f() c 5 c c c Türev ile Hız Arasındaki İlişki... 5 Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki Diferansiel Kavramı... 6 a a a c a a 5 Türevin Tanımı... 6 Türev Alma Kuralları... 7 Türevin Limit Hesabında Kullanılması... Türevin Geometrik Anlamı... 7 ÜNİTE İNTEGRAL a=... n n b= n =f() Belirsiz İntegral... 5 İntegral Alma Yöntemleri... 5 Riemann Toplamı Olarak Belirli İntegral Belirli İntegral VII

8 ÖZEL TANIMLI FONKSİYONLAR Özel Tanımlı Fonksionlar...9 Fonksion... 9 Bir Fonksionun Grafiği... 6 Periodik Fonksion... 5 Fonksion Çeşitleri... Bir Fonksionun Tersi... 6 Fonksion Saısı... 9 Bileşke Fonksion... Artan ve Azalan Fonksionlar... Tek ve Çift Fonksionlar... 7 Bir Fonksionun En Geniş Tanım Kümesi Parçalı Fonksionlar... 6 Parçalı Fonksionun Tersi... 6 Parçalı Fonksionlarda Bileşke Grafik Çizimi Öteleme Simetri Mutlak Değerli Denklem ve Eşitsizlikler... 7 Mutlak Değer Fonksionu... 8 Bağıntı Grafikleri... 9 A f B 5 =sin f A B a b c f içine fonksion f(a)

9 KAVRAMSAL ADIM 9. sınıf Matematik dersinde bağıntı ve fonksion kavramlarını öğrenmiştiniz. Bu ünitede bazı özellikleri tekrar ele alacağız. Fonksionu bir makine gibi düşünebilirsiniz. FONKSİYON TANIM ÜNİTE f f() A ve B boş olmaan iki küme olmak üzere, A nın her elemanını B nin alnız bir tek elemanına eşleen bağıntıa A dan B e bir fonksion denir. A ve B olmak üzere A dan B e bir f fonksionu Makinee gönderilen her, makineden f() olarak çıkıor. f: A B, A f B a da = f() biçiminde gösterilir. Örneğin f: A B fonksionunda A kümesine fonksionun tanım kümesi, B kümesine fonksionun değer kümesi ve f(a) kümesine görüntü kümesi denir. f UYARI şeklinde olsun. Bu durumda f() = + f : A B bağıntısının fonksion olması için A nın her elemanının B de alnız bir tane görüntüsü olmalıdır. () Aşağıdaki bağıntıları inceleiniz. f A f B A f B f() =.+ = a b a b c c f fonksion f fonksion 9

10 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖNEMLİ UYARILAR. Tanımdan ve örneklerden anlaşılabileceği gibi A dan B e bir bağıntının fonksion olması durumunda, A nın her elemanı eşlenmekte; fakat A daki bir eleman B de ancak bir elemana eşlenebilmektedir. Ancak B deki bir elemanın A daki birkaç elemanın görüntüsü olması vea B deki bazı elemanların A nın hiç bir elemanının görüntüsü olmaması bağıntının fonksion olmasını bozmaz.. f: A B fonksionunda f ile f() birbirinden farklıdır. f, fonksionu; f() ise f fonksionunun için aldığı değerini vea in B deki görüntüsünü gösterir. A a b c f d B f fonksion de il, b eleman efllenmemifl. A a b c d f f fonksion de il, d eleman, hem ile hem de ile efllenmifl. Grafiği verilen bir bağıntının fonksion olup olmadığını anlamak için tanım kümesindeki değerleri için eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğruların her biri grafiği bir tek noktada kesiorsa verilen bağıntı bir fonksiondur. B f f f:r R f fonksiondur f:r R f fonksiondur. Şekilde grafiği verilen bağıntı bir fonksion mudur? Neden? f f f:r R f:r R f fonksion de il, ba ıntıdır. f fonksion de ildir.

11 . A = {,,, } ve B = {a, b, c, d} kümeleri verilior. A dan B e f, g, h, k bağıntılarından hangileri bir fonksiondur? A A f h B a b c d B a b c d A A g k UYGULAMA ADIMI B a b c d B a b c d 5. β = {(, } : =,, R} bağıntısı bir fonksion mudur? R için nin farklı iki değeri olur. Örneğin = için = a da = dir. Yani nin ve gibi iki tane görüntüsü vardır. Bu nedenle β fonksion değildir. 6. f: R R, f() = + ise f() kaçtır? f() = +. = = 5 tir. ÜNİTE Yukarıdaki bağıntılardan f fonksiondur. Çünkü A nın her elemanı B nin alnız bir elemanı ile eşlenmiştir. f fonksionunun tanım kümesi A = {,,, }, değer kümesi B = {a, b, c, d} ve A nın görüntü kümesi f(a) = {a, b, c} dir. Burada f() = b, f() = c, f() = a, f() = c dir. g fonksion değildir. Çünkü A nın görüntüsü B de oktur. h fonksion değildir. Çünkü A nın farklı iki görüntüsü vardır. Arıca A nın görüntüsü B de oktur. Bu ise fonksion tanımına akırıdır. k fonksiondur. Çünkü A nın her elemanı B nin alnız bir elemanı ile eşlenmiştir. Burada k() = a, k() = c, k() = b, k() = d dir. 7. f ve g fonksionları için f () = g () + ve f() + g() = ise, f() g() kaçtır? f () = g () + ise f () g () = [f() g()]. [f() + g()] = = için [f() g()]. [f() + g()] =.. f = {(, ), (, ), (, )} fonksionunun tanım ve görüntü kümesini azınız. Sıralı ikililerin birinci bileşeni f nin tanım kümesinin, ikinci bileşeni görüntü kümesinin elemanıdır. O halde f nin tanım kümesi {,, }, görüntü kümesi = {} dir. f() + g() = [f() g()]. = 6 f() g() = 6 = olur.. f = {(, ), (, ), (, )} bağıntısı fonksion mudur? (, ) ve (, ) ikililerinin birinci bileşenleri olduğundan f() = ve f() = olur. Bu ise fonksion tanımına akırıdır. 8. m R olmak üzere f : R R, f() = m fonksionuna doğrusal homojen fonksion denir. a, b R olduğuna göre f fonksionu için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. f(a. b) = a. f(b) II. f(a + b) = f(a) + f(b). β = {(, ) : = a + b,,, a, b R} bağıntısı bir fonksion mudur? R için a + b R olduğundan bu bağıntı bir fonksiondur. III. IV. f(a. b) = f(a). f(b) f a b ^ h = f(a) f(b) V. f(a + b) = f(a). f(b)

12 ÜNİTE I. f(a. b) = m. (a. b) = a.(m.b) = a. f(b) olup doğrudur. II. f(a + b) = m. (a + b) = m. a + m. b = f(a) + f(b) olup doğrudur. III. f(a. b) = m. (a. b)! (m. a). (m. b) = f(a). f(b) olup anlıştır. IV. f ^ a b h a m.a = m^! = b h m.b f(a) f(b) V. f(a + b) = m. (a + b) = m. a + m. b olup anlıştır.! (m. a). (m. b) = f(a). f(b) olup anlıştır. O halde iki tanesi doğrudur. UYGULAMA ADIMI. Grafiği anda verilen = f() bağıntısı bir fonksion = f() mudur? Grafiği kesen ve eksenine paralel olan bir doğru çizildiğinde bu doğru grafiği den çok noktada ( noktada) kestiğinden = f() bağıntısı bir fonksion değildir. = f() 9. Grafiği anda verilen = f() bağıntısı bir fonksion mudur? = f(). Şekilde + = bağıntısının grafiği verilior. Bu ba- + = ğıntı bir fonksion mudur? Grafiği kesen ve eksenine paralel olan doğruların her biri grafiği bir tek noktada kestiğinden = f() bağıntısı bir fonksiondur.. Grafiği anda verilen = f() = f() bağıntısı bir fonksion mudur? Grafiği kesen ve eksenine paralel olarak çizilen doğru grafiği den çok noktada ( noktada) kestiğinden bu bağıntı bir fonksion değildir. Grafiği kesen ve eksenine paralel olan doğrular çizildiğinde her doğru grafiği bir tek noktada kestiğinden = f() bağıntısı bir fonksiondur. = f(). Grafiği anda verilen = f() bağıntısı bir fonksion mudur? = f()

13 UYGULAMA ADIMI 6. A = {,,, }, B = { 6, 5,,,, 5} ÜNİTE Grafiği kesen ve eksenine paralel olan doğru grafikle çakışacağından grafiği sonsuz çoklukta noktada keser. = f() bağıntısı bir fonksion değildir. = f() f : A B, f() = olduğuna göre, f(a) görüntü kümesini bulalım. f() = ve A = {,,, } olup = f( ) =.( ) = = f() =. = = f() =. = = f() =. = 5 olduğundan f(a) = { 5,,, } olur.. Grafiği anda verilen = f() bağıntısı bir fonksion mudur? = f() A Tanım Kümesi f B De er Kümesi Görüntü Kümesi Grafiği kesen ve eksenine paralel olan doğruların her biri grafiği bir tek noktada kestiğinden bağıntı bir fonksiondur. (sabit fonksion) = f() 7. A R, B R olmak üzere 5. f : A B, f() = + fonksionu için f(a) = {,, 7} olduğuna göre, f nin tanım kümesini bulunuz. + = = + = = + = 7 = 5 olduğundan f nin tanım kümesi A = {,, 5} kümesidir. f : A B fonksionunun grafiği = f() verilior. f nin tanım kümesini ve f(a) görüntü kümesini bulunuz. olduğundan f fonksionunun tanım kümesi A = [, ] aralığıdır. olduğundan f(a) görüntü kümesi f(a) = [, ] aralığıdır. = f()

14 ÜNİTE. A = {,,, } ve B = {a, b, c} kümeleri verilior. I. III. A A f f B a b c B a b c Yukarıda verilen bağıntıların hangileri bir fonksiondur? II. A IV. A PEKİŞTİRME ADIMI f f B a b c B a b c. f = {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} şeklinde verilen f fonksionunun tanım kümesini bulunuz. {a, b, c, d}. β = {(, ): =,, R} bağıntısı bir fonksion mudur? I III IV Değildir. A = {a, b, c, d} ve B = {,,, } kümeleri ve f = {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} fonksionu verilior. f fonksionu için f(a) görüntü kümesini bulunuz. 5. f : R R, f() = ise, f( ) in eşiti nedir? {,, } +

15 6. f : R R PEKİŞTİRME ADIMI ÜNİTE f( + ) = + olduğuna göre, f( + ) ün eşitini bulunuz f : A B, f() = 5 ve f(a) = {, 5, 7} olduğuna göre, f nin tanım kümesini bulunuz. {,, } 8. Aşağıda grafiği verilen bağıntılardan hangileri bir fonksiondur? I. = f() II. = f() 9. A R, B R olmak üzere f : A B = f() fonksionunun grafiği verilior. f fonksionunun tanım kümesini ve f(a) görüntü kümesini bulunuz. 6 = f() III. IV. = f() = f() A = [ 6, ] f(a) = [, ] II III 5

16 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM Bir P düzlemi içinde L doğrusu ve L doğrusu dışında bir K noktası verilior. P nin K dışındaki bütün noktalarının kümesi A = P {K} olsun. A dan L e bir f bağıntısı "(, ) f, K doğrusunun L i kestiği nokta dir" şeklinde tanımlıdır. Buna göre, f:a L nin bir fonksion olduğunu gösteriniz. L K BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ f : A B, = f() fonksionu verildiğinde G f = {(, ) : = f(), A, B} kümesine koordinat düzleminde karşılık gelen noktaların kümesine f fonksionunun grafiği denir. G f A B dir. ÖZEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ f : R R, f() = a + b, (a ) Fonksionunun Grafiği a, a, b R olmak üzere f() = a + b fonksionuna doğrusal fonksion denir. = a + b fonksionunun grafiğini çizmek için = için = b & A(, b) 6! A için! L vardır. Çünkü 6! A ı K e birleştiren doğru L i, de keser. Kesişen iki doğrunun alnız bir ortak noktası olduğundan "A daki her nokta L de alnız bir noktaa eşleneceği" için f: A L fonksiondur. b b = için = & Ba, k noktaları bulunur. Grafik, bu iki noktadan geçen a a doğrudur. = f() ve a + = b B(, b) noktalarından geçen doğrudur. ise f fonksionunun grafiği A(a, ) ve f: [, ] R a > b > b a > b < ( + ) f() = + a a fonksionunun grafiğini çiziniz. b a < b > b a < b < a a b 6

17 . f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. = + = için = + =, A (, ) = için = + =, B(, ) olduğundan grafik A(, ) ve B(, ) noktalarından geçen doğrudur.. f : R R, f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. = + = için =. + =, A(, ) = için = + B a, A(, ) ve B = =, olduğundan grafik noktalarından geçen doğrudur.. f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. k = = için =. =, A(, ) = için = = = B a A(, ) ve a,, olup = doğrusunun grafiğidir. k k Ba, k, B noktalarından geçen doğru A ( ) A ( ) B A B ( ) A ( ) B A B ( ) A ( ) B UYGULAMA ADIMI = +. f : R R, f() = 5 a fonksionunun grafiği A(, ) noktasından geçtiğine göre, f nin grafiğini çiziniz. = f() in grafiği A(, ) noktasından geçtiğinden = için = olup = 5 a = 5 a. a = 5 a = olur. O halde = 5 doğrusunun grafiğini çizmeliiz. = için = 5. = 5, A(, 5) = için = 5 = =, B a, k olup grafik A(, 5) ve B 5, 5. f: R R, f() =, a k noktalarından geçen doğrudur. g: R R, g() = + fonksionlarının grafiklerinin kesim noktasının düzlemin hangi bölgesinde olduğunu bulunuz. f() = g() koşulunu sağlaan değerini bulmalıız. = + & = + & = 6 & = 6 & = olup = için = f() = = 5 tir. f ve g fonksionlarının grafikleri K(, 5) noktasında kesişir. K(, 5) noktası koordinat düzleminde I. bölgededir. 5 A 5 B ( 5) A ( 5 ) B ÜNİTE 7

18 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ÖNEMLİ UYARILAR = p vea = a + b + c biçimindeki paraboller birer fonksiondur. Ancak = p vea = a + b + c biçimindeki paraboller bir bağıntıdır. = p p > = p p < f : R R, = f() = a + b + c Fonksionunun Grafiği = f() = a + b + c fonksionunun grafiğine parabol denildiğini ve grafiğinin çizimini. Sınıf Matematik dersinde öğrenmiştiniz. Parabol ile ilgili temel kavramları tekrar edelim. f() = a + b + c fonksionunun: b Tepe noktası, b Tb f( ) l dır. a a b Simetri ekseni r = doğrusudur. a a > ise grafiğin kolları ukarı doğru, a < ise grafiğin kolları aşağı doğrudur. Grafiği çizmek için = için = c ve eğer varsa = için eksenini kestiği noktalar bulunur. Özel Durumlar ) = a parabolünün grafiği: = p p > = p p < Tepe noktası T(, ) olup grafik aşağıdaki gibidir. = a (a > ) = a + b + c a >, > c < = a + b + c > c > = a (a < ) ) = a + c parabolünün grafiği: Tepe noktası T(, c) olduğundan grafik aşağıdaki gibi olur. a > c > = a + c a > c < = a + c c c 8

19 KAVRAMSAL ADIM = m + parabolü ile = m doğrusu teğet olduğuna göre m kaçtır? Parabol ve doğru denklemleri ortak çözülür. m + = m m m + = dır. Doğru ile parabolün teğet olması için elde edilen son denklem de Δ = olmalıdır. Δ = m.m = m = vea m = m olacağından m = olmalıdır. ) = a( r) + k parabolünün grafiği: Tepe noktası T(r, k) dır. = ( ) parabolünün grafiği: T Tepe noktası: T(, ) Grafiği inceleiniz. ÜNİTE = + = = ( ) + parabolünün grafiği: T Tepe noktası: T(, ) Grafiği inceleiniz. < m < n < p olmak üzere = m, = n, = p fonksionlarının grafikleri anı koordinat düzleminde aşağıdaki gibi çizilir. Şekilde = a, = b ve = c olduğuna göre a, b, c arasındaki sıralamaı bulunuz. = p = n = m nin katsaısı büüdükçe parabollerin kolları eksenine aklaşır. 9

20 ÜNİTE. = parabolünün grafiğini çiziniz. = parabolünün tepe noktası T(, ) dır. < olduğundan parabolün kolları aşağı doğrudur.. = + parabolünün grafiğini çiziniz. Parabolün tepe noktası T(, ) dir. a = > olduğundan parabolün kolları ukarı doğrudur. UYGULAMA ADIMI = = + 5. f : R R, = f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. b r = = = a. f(r) = f() =. + = olup parabolün tepe noktası, T(, ) dir. Parabolün eksenini kestiği nokta: = için =. + & = olup A(, ) noktasından geçer. Parabolün eksenini kestiği noktalar: = için + = ( )( ) = & = vea = olup B(, ), C(, ) noktalarından geçer. Grafik: A. = parabolünün grafiğini çiziniz. B C T(, ) = parabolünün tepe noktası T(, ) noktasıdır. a = < olduğundan parabolün kolları aşağı doğrudur. T = 6. Şekilde = m, = n ve = p parabollerinin grafikleri anı koordinat düzleminde çizilmiştir. Buna göre m, n, p arasındaki sıralamaı bulunuz.. = ( + ) parabolünün grafiğini çiziniz. = ( + ) parabolünün tepe noktası T(, ) noktasıdır. a = > olduğundan parabolün kolları ukarı doğrudur. T = (+) Parabollerin kolları aşağı doğru olduğundan m, n ve p reel saıları negatiftir. = için = m. = m = n. = n = p. = p dir. Grafik incelenirse p < n < m olacaktır. m n p = m = n = p = m = n = p

21 . = ( ) parabolünün grafiğini çiziniz. PEKİŞTİRME ADIMI. = + parabolünün grafiğini çiziniz. ÜNİTE. = + parabolünün grafiğini çiziniz. 5. = parabolünün grafiğini çiziniz. T = ( + ) 8 parabolünün grafiğini çiziniz.. = ( ) parabolünün grafiğini çiziniz. = (+) 8 T 8

22 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM = + denkleminin köklerinin saısını bulalım. Grafikle çözüm apacağız. = eğrisi ile = + doğrusunun grafiklerinin kesim noktalarının saısı, = + denkleminin köklerinin saısı ile anıdır. =+ B A f : R R, f() = a Fonksionunun Grafiği f() = a fonksionuna üstel fonksion denir. Üstel fonksion ile ilgili arıntılı bilgileri. sınıf Matematik dersinde öğrenmiştiniz. = a a > < a < = a Grafiklerden görüldüğü gibi eğri ve doğru A ve B gibi iki noktada kesişior. O halde = + denkleminin iki kökü vardır. f : R + R, f() = log a Fonksionunun Grafiği f : R + R, f() = log a fonksionuna a tabanına göre logaritma fonksionu denir. Logaritma fonksionu üstel fonksionun ters fonksionudur. = log a a > < a < = log a a, b, s, t reel saılar ve a >, b > ise a s.a t = a s+t, (a s ) t = a st (ab) s = a s.b s, s = s a s = as =b a l a = a >, a olmak üzere f() = a ise her R için f ( + ) = a f ( ) olduğunu gösteriniz.

23 . a) f : [, ] R, f() = b) f : [, ] R, f() = fonksionlarının grafiklerini çiziniz. a) f : [, ] R, f() = fonksionunda a = > olduğundan f nin artan olduğunu öğrenmiştiniz. Yani & olup f ( ) dur. dur. f() = = olduğundan grafik andaki gibidir. 9 f ( )! :, 9 D 9 UYGULAMA ADIMI =. f : R R, f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. a = > olduğundan = fonksionun grafiği andaki gibidir.. f : [, 9] R, f() = log fonksionunun grafiğini çiziniz. f() = log = f(9) = log 9 = log = log f(9) = ve a = > olduğundan = 9 ÜNİTE grafik andaki gibidir. b) f : [, ] R, f() = fonksionunu f() = b l şeklinde azalım. fonksionu- a = ve < < olduğundan f() = b l nun azalan olduğunu öğrenmiştiniz. & b l b l b l olup f ( )! :, D f ( ) f ( ) = b l = olduğundan grafik andaki gibidir.. f : :, D $ R, f( ) = log fonksionunun grafiğini çiziniz. fb l= log = f( ) = log = log b l = log tü r. = f ( ) = log = dır. a = ve < < olduğundan grafik andaki gibidir.

24 ÜNİTE. f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. PEKİŞTİRME ADIMI. f() = log fonksionunun grafiğini [, 8] aralığında çiziniz. = = log 8. = fonksionunun grafiğini çiziniz. 5. f: :, D $ R, f( ) = log fonksionunun grafiğini çiziniz. = = log. f() =. fonksionunun grafiğini [, ] aralığında çiziniz. 6. f:[, ] $ R, f( ) = log fonksionunun grafiğini çiziniz. 9

25 KAVRAMSAL ADIM f: R R {} olmak üzere T > ve 6! R için f ( ) 5 f( + T) = koşulunu sağlaan f fonksionunun periodik olduğunu gösteriniz. f ( ) f ( + T) 5 f ( + T) = f ( + T) f ( ) 5 = f ( ) f ( + T) 5 f ( + T) = f ( + T) PERİYODİK FONKSİYON TANIM A R olmak üzere f : A R fonksionunda n N + f() = f( + t) = f( + t) =... = f( + nt) eşitliğini sağlaan t R saısı varsa f fonksionuna periodik fonksion denir. f() = f( + t) koşulunu sağlaan en küçük pozitif t reel saısına f fonksionunun periodu denir. f periodik bir fonksion ise f( + t) f() = ÖRNEK için ( + t) = t dir. ÜNİTE f ( ) 5 = f ( ).( f+ T) 5 f ( + T) = f ( + T) = f ( ) olacaktır. O halde f nin periodu T dir. 6 8 R den R e tanımlı f fonksionunun grafiğinin bir kısmı verilmiştir. a) f fonksionunun periodik olduğunu gösteriniz ve periodunu bulunuz. b) f nin görüntü kümesini bulunuz. f: R R f fonksionunun periodu 6 ise, g() = fa + 5k fonksionunun periodunu bulunuz. ÇÖZÜM a) f () = f( + ) = f( +.) =... = f( + n.) olup f periodik bir fonksiondur. ( + ) ( + ) = t & t = dir. b) [, ] & f() [, ] [, ] & f() [, ] [, ] & f() [, ] [, 6] & f() [, ] [6, 8] & f() [, ] olup f(r) = [, ] tür. O halde f nin görüntü kümesi [, ] kümesidir. 5

26 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f: R R bire bir olmaan bir fonksion ve g: R R R, 6,! R için f( + ) = g(f(), ) olsun. f nin periodik fonksion olduğunu gösterelim. f bire bir olmadığından α, β R ve α! β için f(α) = f(β) diebiliriz. erine α ve f(α) erine f(β) azalım. Yani f(α + ) = g(f(α), ) = g(f(β), ) f(α + ) = f(β + ) olur. ÖRNEK f ve g, R den R e tanımlı iki periodik fonksiondur. f() = f( + 6) = f( + ) = f( + 8) =... ve g() = fb + l ise g() fonksionun periodunu bulunuz. ÇÖZÜM g( + t) = g() & fb ( + t) + l= fb +l t fc + + m= fc +m ve f nin periodu 6 olduğundan O halde g() in periodu 9 dir. t 8 9 = 6 & t = = bulunur. α + = z denilirse = z α olup f(z) = f(β + z α) & f(z) = f(z + β α) olur. O halde β α f için bir periottur. Bölece f nin periodik fonksion olduğu gösterilmiş oldu. ÖRNEK Reel saılarda tanımlı f() fonksionunun periodu 6 ise g() = fb l+ 5 fonksionunun periodu kaçtır? f: R R, g: R R iki fonksion ve f periodik bir fonksion olsun. f nin periodu T ve g() = f ( + T) ise, g fonksionu periodik midir? Neden? ÇÖZÜM T R + olmak üzere, g( + T) = g() olmalı ( + T) g( + T) = fc m + 5 T = fb + l+ = g ( ) 5 5 T & fb + l+ = fb l T & fb + l= fb l ve f nin periodu 6 ise T = 6 & T = 5 dir. 6

27 KAVRAMSAL ADIM r = sinc+ m eğrisi ile = doğrusunun 5 [, ) aralığında kaç noktada kesiştiğini bulunuz. 5 6 A B C = Trigonometrik ve Ters Trigonometrik Fonksionların Grafikleri Trigonometrik fonksionların grafiklerini çizmek için verilen fonksionun önce tanım ve değer kümeleri belirlenir. Fonksionun periodu bulunur. Fonksionun değişim tablosu apılarak periot genişliğindeki aralıkta grafik çizimi apılır.. sınıfta öğrenmiş olduğunuz aşağıdaki grafikleri inceleiniz. r :, r sin 9 C örten $ sin & arcsin:, r, r 9 C, $ arcsin örten =sin / =arcsin / / ÜNİTE r = doğrusu ile = sinc+ m eğrisinin 5 grafikleri çizildiğinde bu iki grafiğin A, B, C gibi üç / noktada kesiştiği görülür. Bu noktalar aklaşık olarak (hesap makinesi ile) =,8, =, ve =, dur. cos : 6, r@ $ cos & arccos: 6, r@, $ arccos örten örten =cos / / =arccos a) f() = sin a + k b) g() = tan ( + ) c) h() = cos b +l 5 fonksionlarının periotlarını bulunuz. tan: a r, k R, $ tan & arctan: R a r, k, örten örten $ arctan =tan =arctan / / / / cot : ^, rh R, $ cot & arccot: R ^, rh, $ arccot örten örten =cot / / =arccot 7

28 ÜNİTE. Aşağıda verilen trigonometrik fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f : [, ] R, f() = cos b) f : [, ] R, f() = cos a) f() = cos fonksionu periodik bir fonksion ve periodu T = dir. cos UYGULAMA ADIMI a) f() = sin periodik bir fonksion ve periodu T = dir. sin =sin f()=cos b) f() = sin fonksionunun periodu T = dir. sin b) f() = cos fonksionunun periodu T = dir. cos =sin = cos. Aşağıda verilen trigonometrik fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f : [, ] R, f() = sin b) f : [, ] R, f() = sin. Aşağıda verilen trigonometrik fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f : [, ] R, f() = tan b) f : (, ) R, f() = cot 8

29 a) f() = tan fonksionu periodik bir fonksiondur ve periodu T = dir. tan + UYGULAMA ADIMI. f: (, ) $ R, f() =.cot fonksionunun grafiğini çiziniz. = & =, = & = Periot T = = cot Tanımsız dir. 9 Tanımsız 9 Tanımsız ÜNİTE 5. f: a, k " R, f( ) = tan fonksionunun grafiğini çiziniz. b) f() = cot fonksionu periodik ve periodu T = dir. cot = & = = & = Periot T = dir. 8 8 tan Tanımsız Tanımsız 8 8 9

30 ÜNİTE PEKİŞTİRME ADIMI. f() = cos fonksionunun [, ] aralığında grafiğini çiziniz. r. f() = + tan fonksionunun, r a k aralığında grafiğini çiziniz.. f() = sin fonksionunun [, ] aralığında grafiğini çiziniz.. f() = cot fonksionunun (, ) aralığında grafiğini çiziniz.

31 KAVRAMSAL ADIM f: A B bir fonksion P(A), A nın kuvvet kümesi P(A) = { A} olmak üzere F: P(A) P(B) fonksionu F() = { f(): A } şeklinde tanımlansın. f örten fonksion ise F nin de örten olduğunu gösteriniz. F örten + 6 n! P( B) için 7 m! P( A), F(m) = n önermesinin doğru olduğunu göstermeliiz. 6 n! P( B) olsun. n! P( B) & n B dir. n = Q ise m = Q için F(m) = n olacaktır. n! Q ise k N olacak şekilde en az bir k elemanı vardır. k n ve n B & k! B dir. Hipotezden f örten olup k B için f(t) = k olacak şekilde 7 t! A vardır. Bu t elemanlarının oluşturduğu kümee m denilirse F(m) = n olacaktır. O halde F örten bir fonksiondur. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ İÇİNE FONKSİYON f : A B fonksionu için f(a) B ve f(a) B ise f e içine fonksion denir. A a b c ÖRTEN FONKSİYON f : A B fonksionu için f(a) = B ise f e örten fonksion denir. ÖRNEK f içine fonksion A = {a, b, c}, B = {,, } ve f: A B, f(a) =, f(b) =, f(c) = biçiminde tanımlı f fonksionu örten midir? f B f(a) A a b c d g B g(a) = B g içine fonksion de il ÜNİTE ÇÖZÜM f(a) = {,, } = B olduğundan f örtendir. f: R R a) f() = + b) g() = + c) h() = sin fonksionlarının örten olup olmadığını araştırınız. ÖRNEK B = {, 5, 9), f:a B, f() = fonksionu örten olduğuna göre A kümesi nedir? ÇÖZÜM = & = & = = 5 & = 8 & = A f B = 9 & = & = 5 9 olup A = {,, } olur.

32 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f: A B, g: C D bire bir fonksionlar olsun. h: A C B D (a, c) (f(a), g(c)) şeklinde tanımlı h fonksionunun bire bir olduğunu gösteriniz. h bire bir + 6,! AC için h() = h() & = önermesinin doğru olduğunu göstermeliiz. 6! A C, = ( a, c) A C, = (a, c ) olsun. BİRE BİR FONKSİYON f : A B fonksionu için, A ve & f( ) f( ) ise a da buna denk olarak f( ) = f( ) & = ise f fonksionuna bire bir fonksion denir. ÖRNEK A = {a, b, c}, B = {,, } olmak üzere f(a) =, f(b) =, f(c) = biçiminde tanımlı h() = h(g) & h(a, c ) = h(a, c ) & ^fa ( ), gc ( ) h= ^fa ( ), gc ( ) h & f(a ) = f(a ) ve g(c ) = g(c ) & a = a ve c = c & = olup h fonksionu bire birdir. f fonksionu bire bir midir? ÇÖZÜM A nın farklı iki elemanının görüntüleri de farklı olduğundan f fonksionu bire birdir. ÖRNEK f : R R, f() = a + b, (a > ) fonksionu bire bir midir? ÇÖZÜM R R e f( ) = a + b ve f( ) = a + b olup a) f() = b) g() = cos c) h() = + fonksionlarının bire bir olup olmadıklarını araştırınız. f( ) = f( ) + a + b = a + b & a = a (a > ) & = olup f bire birdir. SONUÇ. Hem bire bir hem de örten olan fonksiona bire bir ve örten fonksion denir.. Hem bire bir hem de içine olan fonksiona bire bir ve içine fonksion denir.

33 KAVRAMSAL ADIM a) f: X Y bir fonksion olsun. "f bire bir değildir" önermesini sembollerle azınız. (f bire bir) + 66,! X,! & f( )! f( olduğundan (f bire bir değildir) + 67,! X, ] ve f( ) = f( dir. b) "f örten değildir." önermesini sembollerle azınız. (f örten) & 66! Y, 7! X f( ) olduğundan (f örten değildir) + & 67! Y, 6! X, f( dir. ÖRNEK f : N N, f() = fonksionu bire bir ve örten midir? ÇÖZÜM f( ) =, f( ) = f( ) = f( ) + = & = olduğundan f bire birdir. f örten midir? Tanım kümesindeki elemanının değer kümesindeki görüntüsü olsun. Yani f() = olsun. f nin örten olması için her N için f() = olacak şekilde en az bir N bulunmalıdır. f() = & = & + = ÜNİTE & = + tü. r =! N için + = = g N olup f örten değildir. Ugun koşullarda m + f ( ) = + 9 kaçtır? sabit fonksion olduğuna göre m f sabit fonksion ise f() = f() olmalıdır. f ( ) + = = + 9 m+ m+ f( ) = = + 9 m = + & m+ 9= & m= SABİT FONKSİYON f : A B fonksionu için f(a) görüntü kümesi tek elemanlı ise f fonksionuna sabit fonksion denir. Yani c B olmak üzere her A için f() = c ise f sabit fonksiondur. Aşağıdaki f fonksionu sabit fonksiondur. A f B a b & m= bulunur. f(a) = {f(), f(), f(), f()} = {b} dir.

34 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM Ugun koşullarda f(a + b + c) = (a + ) + (b ) + c şeklinde verilen f fonksionu birim fonksion ise, a + b + c toplamı kaçtır? a + b + c = (a + ) + (b ) + c olmalıdır. Bu eşitlikten a = a + & a = b = b & b = c = c & c = ve a + b + c = + + = olur. 5 BİRİM (ÖZDEŞ) FONKSİYON f : A A fonksionunda her A için f() = ise f fonksionuna birim fonksion denir ve I ile gösterilir. Yani her elemanın görüntüsü ine kendisidir. Aşağıdaki f fonksionunu birim fonksion mudur? A f f() =, f() =, f() =, f() = fakat f() = 5 olacak şekilde = 5 A dır. B 5 O halde f birim fonksion değildir. f nin birim fonksion olması için B kümesinde 5 elemanı olmamalıdır. ÖRNEK f = {(, ) : + = a, [ a, a], [ a, a]} bağıntısı fonksion mudur? ÇÖZÜM f bağıntısının grafiği çizilirse, eksenine paralel a olacak şekilde çizilen bir doğru grafiği farklı iki noktada kestiğinden f bağıntısı fonksion değildir. a a a f: R R, f() = (m + n) + m n birim fonksion olduğuna göre, m.n çarpımı kaçtır? m + n =, m n = olmalıdır. m + n = ve m = n olduğundan n + n = & 5n = n= 5 ve m=. 5 m= 5 olur. mn. =. = bulunur. ÖRNEK f : R R, f() = fonksionu bire bir midir? Örten midir? İçine midir? ÇÖZÜM Grafikte de görüldüğü gibi fonksionun eğrisi eksenini iki farklı noktada kestiğinden f fonksionu bire bir değildir. Yani = ve = gibi farklı iki noktanın görüntüleri f( ) = f() = dır. f fonksionu örten değildir. f()= Çünkü f(r) = [, ) olup [, ) R dir. f içine fonksiondur.

35 KAVRAMSAL ADIM ÖRNEK ÜNİTE f : R R f() = + fonksionunun bire bir ve örten olduğunu gösteriniz. (f bire bir) + 6,! R ve! için f( ) ] f( ) a da p + q/ q' + p' olduğundan f( ) = f( ) koşulunu sağlaan 6,! R için = ise f bire birdir. f( ) = f( ) & + = + f : R + R, f() = fonksionu bire bir midir? ÇÖZÜM eksenine paralel olacak şekilde çizilen herhangi bir doğru fonksionun grafiğini alnız bir noktada keseceğinden f fonksionu bire birdir. ÖRNEK f()= & = Şekilde grafiği verilen f bağıntısı fonksion mudur? olup f bire birdir. & = ÇÖZÜM f örten + 6! R iç in 7! R, f( ) = önermesinin doğru olduğunu göstermeliiz. 6! R iç in f( ) = + = & = f bağıntısı fonksion değildir. Çünkü noktasının görüntüsü tanımlanmamıştır. Eğer f:r {} R biçiminde tanımlansadı f bağıntısı fonksion olurdu. f: R R & =! R olup f örtendir. 6 PERMÜTASYON FONKSİYON f : A A bire bir ve örten fonksionlarına A nın bir permütasonu denir. s(a) = n ise A nın permütasonlarının saısı n! tanedir. A = {,, } olmak üzere f: A A fonksionlarından kaç tanesi f(a) = f (a) koşulunu sağlar? (a A) ÖRNEK 5 A = {a, b, c} kümesinin permütasonlarının saısı kaçtır? ÇÖZÜM s(a) = olup! = 6 tane permütasonu vardır. a b c f = c m. satır a c b. satır. satıra tanım kümesinin elemanları. satıra değer kümesinin elemanları azılır. a b c a b c a b c a b c a b c f= c m f f f b c a = c m f a b c = c m b a c 5= c m c b a 6= c m c a b dir. 5

36 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f : R R, (, ) f(, ) = fonksionu verilior. a) f bire bir midir? b) f örten midir? c) A = {(, ) :, R ve = } ise, f(a) nedir? d) B = {} ise, f (B) kümesi nedir? a) (f bire bir) + 66 a, b! R, a! b & f( a)! f( (f bire bir değildir) + 7 ab,! R, a! b, fa ( ) = fb ( ) olup a = (, ) b = (5, ) alınırsa a! b olup f(a) = f(, ) = = BİR FONKSİYONUN TERSİ f : A B, = f() fonksionu bire bir ve örten ise fonksionun tersi vardır. f nin ters fonksionu f ile gösterilir. f : B A dır. f () kuralının bulunuşu: = f() verildiğinde ile nin erleri değiştirilir ve çekilirse f () bulunur. Yani, = f() & = f() & = h() ise f () = h() tir. f:a B bire bir ve örten bir fonksion ise f(a) = b + a = f (b) f:a B, f() =, f : B A, f () = idi. f i f in grafikleri arasındaki ilişkii aşağıdaki şekilde orumlarız. f i oluşturan noktalar (, ) iken f i oluşturan noktalar (, ) tir. P(, ) noktasının = doğrusuna göre simetriği olan nokta Pʼ(, ) tir. Bu düşünceden hareketle, bir fonksion ile tersi olan fonksionun grafikleri = (I. açıorta) doğrusuna göre simetriktir. A a f f f = f B b f(b) = f(5, ) = 5 = ise f(a) = f(b) = olup f bire bir değildir. ÖRNEK b) f : R R şeklinde tanımlı olduğundan R için R, f() = olacak şekilde bulunabiliorsa f örtendir. 5 = c, m alınırsa R 5 olur ve f ( ) = fc, m 5 = = olacağından f örtendir. c) ve d) i siz gösteriniz. f : R R, f() = + fonksionu verilior. f ile f in = doğrusuna göre simetrik olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM f: R R, f() = + fonksionunun grafiğinin = doğrusuna göre simetriği, f : R R, f () = fonksionunun grafiğidir. ÖRNEK f : R + R, f() = log fonksionu verilior. a) f nin ters fonksionunu bulunuz. b) f ile f fonksionlarının grafiklerini çiziniz. f = f 6

37 KAVRAMSAL ADIM ÇÖZÜM ÜNİTE f : A B bir fonksion ve, B olsun. f ( ) = f ( ) + = olduğunu gösteriniz. f ( ) = ve f ( ) = olsun. f ( ) = f ( ) olduğundan = f ( ) ve fonksion tanımına göre f( ) elemanı bir tanedir. f( ) = ve f( ) = olup = dir. a) f() = log & = log ( erine, erine azarsak) = log & = & f () = olur. b) f() = log in grafiğinin = doğrusuna göre simetriği f () = fonksionunun grafiğidir. f ()= ÖRNEK f:r R, f() = + fonksionu için f () nee eşittir? ÇÖZÜM f()=log = = f() = + de ile nin erleri değiştirilirse = + olur. çekilirse = = olur. O halde f & () = = tür. ÖRNEK f : (, ) (, ) f() = 6 + fonksionu için f () fonksionunu bulunuz. f:r R, f( + ) = + ise, f () nedir? ÇÖZÜM f( + ) = & f ( ) = + olur. = & = & = olup f (. ) = + & f () = 5 bulunur. = f() = = ( ) + ( ) = ( ) = = (, ) + < & < & olup = = f ( ) = ( ) = bulunur. ÖRNEK 5 f:r R, f + b l= ÇÖZÜM + f c m= & fa k= + ise, f() kaçtır? 7 = 6 & f ( ) = olur. 7

38 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM a) f : R R, f() = + fonksionunun tersinin olup olmadığını belirleiniz. f() = + fonksionunda! iken f( ) = ( ) + = f() = + = olup f bire bir değildir. f bire bir olmadığından f ters fonksionu oktur. d a fr : & c $ R % / c f ( ) a + b = c + d f d + b ( ) = c a Örneğin, fonksionu bire bir ve örtendir. dir. 5 fr : & $ R & + f ( ) f 5 + = + ( ) = + 5 olduğunu görebilirsiniz. b) f : R R f() = fonksionunun tersini bulunuz. f bire birdir. Çünkü, f( ) = f( ) & & = = & = dir. Arıca R için R, f() = olacak şekilde vardır. Gerçekten, ÖRNEK f = {(, ), (, ), (, )} fonksionu verilior. f bir fonksion mudur? ÇÖZÜM f = {(, ), (, ), (, ) bağıntısında ün ve gibi iki tane görüntüsü vardır. Bu nedenle f fonksion değildir. ÖRNEK = +! R alınırsa f : (, ] [, ), f() = + ise, f () fonksionunu bulunuz. f ( ) f = ^ + h= ^ + h = olup f örtendir. f bire bir ve örten olduğundan f ters fonksionu vardır. = & + = bulunur. & = + & f ( ) = + ÇÖZÜM = + & & = ( + ) + = ( + ) & + = + dir. (, ] olduğundan + < dır. O halde + = olup = + & = + & f ( ) = + bulunur. 8

39 KAVRAMSAL ADIM ) A = {,,, } B = {a, b, c, d, e} kümeleri verilior. a) A dan B e tanımlanabilecek fonksion saısı kaçtır? b) A dan B e tanımlanabilecek bire bir fonksion saısı kaçtır? c) A dan A a bire bir fonksion saısı kaçtır? d) A dan B e örten fonksion saısı kaçtır? e) B den A a örten fonksionların saısı kaçtır? FONKSİYON SAYISI s(a) = n, s(b) = m olsun.. A dan B e m n tane fonksion tanımlanabilir.. A dan B e tanımlanabilecek bire bir fonksionların saısı m! ( m n)!,( n m) dir.. A dan A a bire bir ve örten fonksionların saısı n! dir.. A dan B e sabit fonksionların saısı m dir. 5. A dan B e fonksion olmaan bağıntı saısı m.n m n dir. 6. A dan A a içine fonksionların saısı ÜNİTE n n n! dir. ÖRNEK ) A = {,,,, 5} B = {,,,, 5, 6} olmak üzere, f: A B fonksionlarından kaç A = {,, }, B = {a, b} kümeleri verilsin. a. A dan B e kaç tane fonksion tanımlanabilir? b. A dan B e tanımlanabilecek bire bir fonksionların saısı kaçtır? c. A dan A a bire bir ve örten fonksionların saısı kaçtır? d. A dan B e sabit fonksionların saısı kaçtır? e. A dan B e fonksion olmaan bağıntı saısı kaçtır? f. A dan A a içine fonksionların saısı kaçtır? g. A dan B e üç elemanlı bağıntılardan kaç tanesi fonksion değildir? ÇÖZÜM tanesi 6 a! A sağlar? için f(a) = f (a) koşulunu a. A dan B e s(b) s(a) = = 8 tane fonksion tanımlanabilir.!! b. A dan B e tanımlanabilecek bire bir fonksion saısı = = 6 dır. ( )!! c. A dan A a bire bir ve örten fonksion saısı s(a)! =! = 6 dır. d. A dan B e sabit fonksion saısı s(b) = dir. e. A dan B e. = 6 8 = 56 tane fonksion olmaan bağıntı tanımlanabilir. f. A dan A a içine fonksionların saısı! = 7 6 = dir. g. 6 c m = 8= dir. 9

40 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM fog için ok diagramı g g() BİLEŞKE FONKSİYON f: A B, g: B C olmak üzere gof: A C, (gof)() = g(f()) biçiminde tanımlanan gof fonksionuna f ile g nin bileşke fonksionu denir. f g f() g(f()) A B C gof f ÖRNEK f: R R, f() = +, g: R R, g() = + fonksionları için fog() ve gof() fonksionlarını bulunuz. f(g()) ÇÖZÜM fog f(g()) (fog)() = f(g()) = f( + ) = + + = + 5 ve (gof)() = g(f()) = g( + ) = ( + ) + g f = g() UYARI = bulunur. Bir fonksionun noktasındaki değeri diğer fonksionun tanım kümesinde er alıorsa iki fonksionun bileşkesi oluşturulabilir. Bileşke fog ile gösterilir. a. (fog)() (gof)() b. ho(gof) = (hog)of dir. (fog) = g of f of = fof = I (I birim fonksion) fog = h & g = f oh, f = hog a b c c a b a b c f = c m & f = c m & f = d n c a b a b c b c a

41 . f:r R, g:r R, (gof)() = + ve f() = + ise, UYGULAMA ADIMI. f:r R, g:r R fonksionları için f() = + ÜNİTE g() kaçtır? = & f() = olur. g(f()) = g() =. + = 7 dir.. f:r R, g:r R fonksionları için f() = +, (gof)() = + 6 ise, g() nedir? (gof)() = g(f()) = g( + ) = + 6, g( + ) de + = p denilirse = p olur. O halde g(p) = (p ) + 6, g(p) = p = p & g() = olur.. f:r R, olmak üzere +, f ( ) = ), fonksionu için (fof)(6) + (fof)() kaçtır? = 6 asal değildir. asal saı ise asal saı değilse (fof)(6) = f(f(6)) = f(6 ) = f(5) ve 5 asal olduğundan, g ( ) = ), ise (gof)() nee eşittir?. f( ), ( gof)( ) = * f ( ), bulunur. 5. f:r R, (fog)() = ve f() = + ise, g() nedir? ise > ise ( + ), = ) +,.( + ), = ), f() f() > + + > > fog = h & g = f oh idi. = f() = + & = + & = f () = olur. O halde g() = f (h()), (h() = ) g ( ) = g ( ) = ( ) olur. 6. f:r R, g:r R, f() = a + b g() = a.b + a + b fonksionları verilior. a ise, ( f og) b l nee eşittir? b f(5) = 5 + = 6 dır. O halde (fof)(6) = 6 dır. = asal saı olduğundan (fof)() = f(f()) = f( + ) = f() f b ( ) = a olup asal olmadığından f() = 9 dur. O halde (fof)() = 9 olup (fof)(6) + (fof)() = = 5 tir. ( f. og)( ) ab + a + a b b = = b + ^f ogh b l = b. + = + = dir. b b

42 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR Aşağıdaki fonksionların arttığı ve azaldığı kümeleri bulalım. a) =, b) = c) =, d) = e) =, f) = / a) = fonksionu TANIM f:r R fonksionu ve her, IR için a) < iken f( ) < f( ) ise f e artan fonksion denir. f( ) f( ) f( ) f( ) a b a b < ve f( ) < f( ) < ve f( ) < f( ) < < kümesinde artan < < kümesinde azalandır. b) < iken f( ) > f( ) ise f e azalan fonksion denir. = noktası fonksionun azalanlıktan artanlığa geçtiği noktadır. f( ) f( ) f( ) b) = fonksionu < < küme- f( ) sinde artandır. a b a b c) = fonksionu R {} kümesinde azalandır. d) = fonksionu < < kümesinde artan, < < kümesinde azalandır. < ve f( ) > f( ) < ve f( ) > f( ) c) < iken f( ) = f( ) ise f sabit fonksiondur. c e) e) ve f) deki fonksionların artan a da azalan oldukları kümei de siz bulunuz. < ve f( ) = f( ) f sabit fonksion f: A B, = f() bire bir ve örten bir fonksion olsun. a) f artan + f artan b) f azalan + f azalan

43 . f:r R, f() = fonksionunun grafiğini çizerek artan vea azalan olup olmadığını gösteriniz. = için f() = f() = için olup grafik şekildeki gibidir. Grafikten f nin artan olduğu görülmektedir. Arıca, < olsun. < < f( ) < f( ) = olduğundan f() = fonksionu artandır. UYGULAMA ADIMI =. f:r R, f() = fonksionunun grafiğini çizerek artan vea azalan olduğu kümeleri belirleiniz. f() = parabolünün grafiği şekildeki gibidir. Grafikten, (, ) iken < & > & < & < & f ( ) < f ( ) olur. Bu ise f() = fonksionunun (, ) aralığında artan olduğunu gösterir. Grafikten, [, ) iken < & < & > & > & f ( ) > f ( ) ÜNİTE olup f fonksionu [, ) aralığında azalandır.. f:r R, f() = 5 fonksionunun grafiğini çizerek artan vea azalan olup olmadığını gösteriniz. = için f() = 5 f() = için = 5 olup grafik şekildeki gibidir. Grafikten f nin azalan olduğu görülmektedir. Arıca f nin azalan olduğu tanımdan da görülebilir. < iken f( ) > f( )? < olsun. > 5 > 5 f( ) > f( ) olup f azalandır f:r R, f() = + fonksionunun artan olduğunu gösteriniz. f() = + fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. Grafikten fonksionun artan olduğu görülmektedir. Arıca f() = + fonksionunun artan olduğunu tanımdan hareket ederek de gösterebiliriz. < & < & + < + & f ( ) < f ( ) olduğundan f() = X + fonksionu artandır. = +

44 ÜNİTE 5. f:r R, f() = b l fonksionunun azalan olduğunu gösteriniz. f() = b l fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. Grafikten f() = b l fonksionunun azalan olduğu görülmektedir. f nin azalan olduğunu tanımdan ararlanarak gösterelim. < & > & > & b l > b l & f ( ) > f ( ) olduğundan f ( ) = b l fonksionu azalandır. UYGULAMA ADIMI =( ) 7. f:r R, f() = log fonksionunun azalan olduğunu gösteriniz. f() = log fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. f() = log g() = b l tersidir. fonksionu fonksionunun g() = b l fonksionu azalan ve azalan bir fonksionun tersi de azalan olduğundan f() = g () = log fonksionu azalandır. =log 6. f:r + R, f() = log fonksionunun artan olduğunu gösteriniz. 8. f:r R, f() = fonksionunun artan vea azalan olmadığını, sabit olduğunu gösteriniz. f() = log fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. f() = log fonksionunun artan olduğunu gösterelim. g() = fonksionu artan bir fonksiondur. g () = log fonksionu da artan olacağından f() = log artan bir fonksiondur. =log < & f( ) = f( ) = olup f fonksionu artan vea azalan değildir. Her R için f() = olduğundan f fonksionu sabit bir fonksiondur. f()=

45 KAVRAMSAL ADIM ) Aşağıdaki fonksionların artan a da azalan oldukları kümei bulunuz. a) b) = c) = d) e) = = SONUÇLAR. f: R R, f() = a + b fonksionu için a) a > ise f artan, b) a < ise f azalandır.. f: R R, f() = a b + b + c parabolü için = = r a apsisi) olmak üzere; (tepe noktasının a) a > iken (, r) aralığında f azalan, ( r, + ) aralığında f artandır. b) a < iken (, r) aralığında f artan, ÜNİTE f) = ( r, + ) aralığında f azalandır. g) =. f: R R +, f() = a fonksionu için h) = a) a > ise f artan, ı) = b) < a < ise f azalandır. i) = k) =. f: R + R, f() = log a fonksionu için a) a > ise f artan, b) < a < ise f azalandır. ) Aşağıdaki fonksionların (, ) aralığında artan a da azalan oldukları bölgeleri bulunuz. a) f() = tan + b) g() = + cot c) h() = sin d) p() = cos 5. f: R R, f() = c, (c R) fonksionu sabit fonksiondur. 6. A, B R olmak üzere f: A B fonksionu bire bir ve örten, kesin olarak artan (vea kesin olarak azalan) ise f : B A fonksionu da kesin olarak artan (vea kesin olarak azalandır.) f = = f f f f artan f artan f azalan f azalan 5

46 ÜNİTE. f: R R, f() = fonksionunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI (, ) da azalan (, ) da artan. f: R R, f() = fonksionunun artan olduğunu gösteriniz.. f: R R, f() = fonksionunun artan olduğunu gösteriniz. 5. f: R R, f() = fonksionunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz. (, ) da azalan (, + ) da artan. f: R R, f() = fonksionunun azalan olduğunu gösteriniz. 6. f: R + R, f() = log + fonksionunun artan olduğunu gösteriniz. 6

47 KAVRAMSAL ADIM Aşağıda verilen fonksionların tek, çift a da ne tek ne çift olduğunu gösteriniz. a) f() = b) f() = + c) f() = d) f() = + a) f( ) = = f() olduğundan f() = tek fonksiondur. b) f( ) = + f( )! f() f( )! f() olduğundan f ne tek ne çift fonksiondur. c) f( ) = ( ) = = f() olduğundan f çift fonksiondur. TEK VE ÇİFT FONKSİYONLAR a) TEK FONKSİYON f:a B fonksionunda A için A olmak üzere f( ) = f() ise f e tek fonksion denir. f() f( ) A B f( ) f( ) D f( ) B f( ) Yukarıda grafiği verilen f() fonksionunda R için f( ) = f() olduğundan f() tek fonksiondur. Tek fonksionların grafikleri orijine (, )ʼa göre simetriktir. ÜNİTE d) f( ) = ( ) + = + = f() olduğundan f çift fonksiondur. Özellikler: ) Tek fonksionların toplamı tek fonksiondur. ) Tek fonksionların tek tam saı kuvvetleri tek, çift tam saı kuvvetleri çift fonksiondur. ) f tek fonksion ise fof tek fonksiondur. ÖRNEK f : R R r 6! a, k için f: R R, f() = fonksionu tek fonksion mudur? ÇÖZÜM f( ) = ( ) = = f() olduğundan f tek fonksiondur. f(sin) = cos ise f fonksionunun çift fonksion olduğunu gösteriniz. ÖRNEK f: R R, g: R R fonksionları için f( ) = f() ve g( ) =.f( ) ise, f( ) oranı kaçtır? f( 5) ÇÖZÜM = alınırsa g(( ) ) = ( ).f(.( ) ) g() =.f( 5) ve f(5) = f(5) olduğundan g() =.f(5)... 7

48 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM Aşağıdaki fonksionların tek a da çift fonksion olduğunu gösteriniz. a) f() = cos b) f() = sin c) f() = sin + d) f() = cos a) f( ) = (cos( )) = cos = f() olduğundan f çift fonksiondur. b) f( ) = sin( ) = sin = f() = alınırsa g( ) =.f(. ) g() =.f()... ve den f( ) g( ). = dir. f( 5) c m = g( ) ÖRNEK f: [, ] [, ], f() = sin fonksionunun tek fonksion olduğunu ve grafiğinin (, ) noktasına göre simetrik olduğunu gösteriniz. ÇÖZÜM olduğundan f çift fonksiondur. c) f( ) = sin( ) + = sin + f( )! f() f( )! f() olup f ne tek, ne çift fonksiondur. d) f( ) = cos( ) C / A B D =sin f( ) = f() olduğunu gösterelim. R için sin( ) = sin olduğundan tek fonksiondur. cos = f() olup f çift fonksiondur. OH = sin, OHʼ = OH sin( ) = sin sin H sin H' P P' f : R {} $ R f() =.sin fonksionu tek midir? Çift midir? Neden? b) ÇİFT FONKSİYON f:a B fonksionunda A için A olmak üzere f( ) = f() ise f e çift fonksion denir. f( ) f() B f( ) A C f( ) D Yukarıda grafiği verilen f() fonksionunda R için f( ) = f() olduğundan f() çift fonksiondur. Çift fonksionların grafikleri eksenine göre simetriktir. 8

49 KAVRAMSAL ADIM f : R R, g : R R olmak üzere f tek, g çift fonksiondur. f( ) =, g() = 5 olduğuna göre f( ). g( ) f( ) + g( ) ifadesinin değeri kaçtır? f tek fonksion olduğundan f( ) = f() = f() f() = g çift fonksion olduğundan g( ) = g() = 5 tir. Özellikler: ) Çift iki fonksionun çarpımı çift fonksiondur. ) Çift iki fonksionun toplamı çift bir fonksiondur. ) Çift iki fonksionun bölümü çift fonksiondur. ) Biri tek, diğeri çift iki fonksionun çarpımı vea bölümü tek fonksiondur. 5) Çift fonksionların tam saı olan kuvvetleri çift fonksiondur. 6) f vea g den biri çift fonksion ise fog ve gof fonksionları çift fonksiondur. 7) f çift fonksion ise fof çift fonksiondur. ÜNİTE O halde.( f ). g( ).( ). 5 = f( ) + g( ) = 8 bulunur. ÖRNEK f: R R, f() = fonksionu çift midir? ÇÖZÜM f( ) = ( ) = = f() olduğundan f çift fonksiondur. f : R {} R, a) f() = cos b) f() = sin fonksionlarının tek vea çift fonksion olduğunu gösteriniz. ÖRNEK f: R R, g: R R fonksionları için f( ) = f() ve g() =.f( + ) ise, g( ) oranı kaçtır? g( ) ÇÖZÜM = için g( ) =.f( + ) g( ) =.f( ) ve f( ) = f() olduğundan g( ) =.f()... olur. = için g() = f()... g( ).( f ) olup ve den = = tür. g( ) f( ) 9

50 ÜNİTE. f() = +, g() = a + ve fog = gof ise, a kaçtır? UYGULAMA ADIMI. f: R R, f( ) = ise, f () kaçtır? (fog)() = f(g()) = f(a + ) = (a + ) + (gof)() = g(f()) = g( + ) = a( + ) + ve (fog)() = (gof)() & a + + = a + a + = a & a = bulunur.. f:r R, f() = a + b ve (fof)() = + 9 ise, f() in alabileceği değerleri bulalım. f( ) = = t ise = t olup f(t) = t & f() = tir. f () = olup f ( ) = ( ) = dir. f() = a + b & (fof)() = a(a + b) + b = a + ab + b (fof)() = + 9 = a + ab + b eşitliğinden a = & a = ±, ab + b = 9 dur. a = &.b + b = 9 & b = 9 & b = f() = + & f() =. + = 5 bulunur. a = & b + b = 9 & b = 9 & b = 9 f() = 9 & f() =. 9 = bulunur. 5. B = {,, 5} kümesi ve f: A B, f() = + fonksionu verilior. A kümesini bulunuz. B = {,, 5} ve f() = + verilior. + = & = & = + = & = & = + = 5 & = & = olup A = {,, } dir.. a b c a f = c m ve g = c a c b b ise, fog i bulalım. f(a) = a, f(b) = c, f(c) = b g(a) = b, g(b) = c, g(c) = a olduğundan (fog)(a) = f(g(a)) = f(b) = c (fog)(b) = f(g(b)) = f(c) = b (fog)(c) = f(g(c)) = f(a) = a dır. Yani a fog = c b c c b a m dır. b c c m a 6. f: R R, fn ( ) = n.f(n + ) ve f() = 8 ise, f() kaçtır? n + fn ( ) = n f ( n + ), f ( ) = 8 verilior. n + n f( ) f( ) f( ) = & = & =. 8 = 6 + ( ). n = & f = f( ) & f( ) =. 6 = + n f( ) f( ) f( ) = & = & =. = + & f ( ) = dir. 5

51 7. A sonlu elemanlı bir küme ve f: A A fonksionu verilior. Aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. f bire birdir. II. III. IV. f örtendir. f bire bir ve örtendir. f bire bir ise örtendir. V. f örten ise bire birdir. A sonlu elemanlı bir küme ise f:a A fonksionu için bire birlik ve örtenlik denktir. Yani f bire bir ise örtendir. f örten ise bire bir dir. O halde IV. ve V doğrudur. UYGULAMA ADIMI. f ( ) = + a fonksionu tanımlı olduğu değerlerde (fof)() = + ise a kaçtır? f ( ) = + a ise ( fof)( ) = + a ( fof)( ) k a = + a a + + = + ise a = + a a & ( a ) a + a + = = olur. ÜNİTE (a ) + a = X + & a = & a = bulunur. 8. f: R R, g: R R fonksionları için [g()] = [f()] + ve f() g() = ise, f() + g() toplamı kaçtır? [g()] = [f()] + ise [g()] [f()] = [g() f()][g() + f()] = = & [g() f()].[g() + f()] = [f() g()].[g() + f()] = 9.[g() + f()] = 9. A!, B! olmak üzere f:a B fonksionunun tersinin olması için gerek ve eter koşul nedir? A!, B! olmak üzere f: A B fonksionunun f tersinin olması için f nin bire bir ve örten olması gerek ve eter koşuldur. g() + f() = 9 = olur.. f: R R, f fonksionu için f( + ) = ise, f() nedir? + 9. f: R R fonksionu için f( + ) = f() + ise, f() f( ) kaçtır? f( + ) = f() + = & f() = f() + & f() f() = = & f() = f( ) + & f() f( ) = f() f( ) = olur. f( + ) = de + = t dielim. + + = t & = t erine azılırsa ( t ) ( t ) ft () = t + = t + ( ) f() = olur. + 5

52 ÜNİTE. f: R R, fonksionu için f(n + ) = n.f(n ) ve f() = 6 ise, f() kaçtır? f(n + ) = n.f(n ) ve f() = 6 verilior. n = & f( + ) =.f( ) & f() =.f() 6 =.f() & f() = n = & f() =.f() & = f() olur.. f( + ) = f ( ) ise, ifadesinin eşiti nedir? f ( ) f( + ) = f( + ) = ( ) f( ) = ( ) = ( ) fonksionunda erine azılırsa & f() = ( ) UYGULAMA ADIMI 6. f ( ) = ise, f( + ) in f() türünden eşiti nedir? + + f ( ) = ise f( + ) = + ( + ) + + f ( + ) = olur. = f( ) = + + =.( + ) & = + & = f ( ) & ( ) = & = = f ( ) f ( ) + + f ( ) f ( + ) = = + f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) f ( ) f ( + ) = f ( ) + f ( ) f ( ) f( + ) = f ( ) olur. ise f ( ) ( ) + 8 = = = = 6 f ( ) ( ) bulunur. 7. f: R R, f() = + ise, f (5) kaçtır? f (5) = a dielim. f(a) = 5 olup f(a) = a a a + = 5 & = 5 & = & a = bulunur. 5. f() =.f() 6 eşitliğini sağlaan f fonksionu için f(7) = 5 ise, f() kaçtır? f() =.f() 6 eşitliğinde = 9 & f(.9) =.f(9) 6 f(7) =.f(9) 6 f(7) = 5 & 5 =.f(9) 6.f(9) = & f(9) = = & f(.) =.f() 6 f(9) =.f() 6 = 7 7 =.f() 6 & f() = & f() = bulunur. 8. f: R R + fonksionu [f()] =.f() + koşulunu sağladığına göre f() nedir? f:r R + [f()] =.f() + ise [f()] f() = olup [f() + ].[f() ] = f() + = vea f() = f() = vea f() = olur. f: R R + biçiminde tanımlı olduğundan f()! dir. O halde f() = olur. Yani f sabittir. 5

53 9. f() = a + b fonksionu için f () = ve f () = olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? f() = a + b için f () = & f() = f () = & f() = tür. O halde f() = a + b = f() = a + b = a = & a =.( ) + b = & b = + = 7 dir. a + b = + 7 = 6 dır. UYGULAMA ADIMI. f() = a + b + c fonksionu için f() = f(5) ise, b a oranı kaçtır? f() = a + b + c ise f() = a + b. + c = 6a + b + c f(5) = a5 + b.5 + c = 5a + 5b + c f() = f(5) & 6a + b + c = 5a + 5b + c b & 9a + b = & 9a = b & a = 9 bulunur. ÜNİTE +. f() =, g() = ve (g of)() = 6 5 olduğuna göre, kaçtır? + f() =, g() = 5 + = g( ) = & 5 = + 5 & = 5 + & ( ) = g 5 + = & () = olur. (g of)() = g 5 ( ) + ( ) = ^ h. f( + ) = (a + ) + (b ) + c + birim fonksion olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır? f birim fonksion ise f( + ) = + olmalıdır. (a + ) + (b ) + c + = + a+ = & a= _ b b = & b= ` a+ b+ c= c+ = & c= b a bulunur. (g 5 + of)() = = = 6 ise = 6.( ) & = 8 & = & = dir.. f() = in basamaklarındaki rakamların toplamı olarak tanımlanıor. Buna göre, f() = ise üç basamaklı en küçük saısı kaçtır? f() = in basamaklarındaki rakamların toplamı fonksionunda f() = olacak şekilde en küçük üç basamaklı saı dir. Yani f() = + + = tür.. A = {,, } ve B = {a, b} olduğuna göre, A dan B e tanımlanan bağıntılardan kaç tanesi fonksion değildir? s(a) =, s(b) = olup A dan Bʼe. = 6 = 6 tane bağıntı vardır. A dan Bʼe = 8 tane fonksion tanımlanır. 6 8 = 56 bulunur. 5

54 ÜNİTE 5. f fonksionu için f( + ) = f().f() ise, f() kaçtır? UYGULAMA ADIMI 8. Aşağıdaki grafiklerden hangisi bir fonksion belirtir? f( + ) = f().f() ve = için f() = f().f() & f() = dir. 6. f: R R, f() = + ise, + fb l oranının eşiti nedir? ^f of h( ) (fof)() =.( + ) + = A) D) B) E) Grafikleri incelediğimizde eksenine çizilen dik doğruların grafiği sadece A seçeneğindeki bağıntı grafiğini bir noktada kestiğini görünüz. O halde A şıkkındaki bağıntı fonksiondur. C) (fof) () = (f of )() = 8 9 bulunur. + + fc m c m + = ( f of )( ) = = 9 olur f() = ise, f (9) kaçtır? f (9) = a dielim f(a) = 9 & a = 9 & a = = 5 & a = 5 olup f (9) = 5 tir. 7. f() = 5 ve f () + f () = ise, kaçtır? f() = 5 & f () = + 5 f() + f + 5 () = 5 + = & = & 5 5= & 5= 5 & = 5 bulunur.. f() = a + b ise, f( ) + f( + ) in f() cinsinden eşiti nedir? f() = a + b & f( ) = a.( ) + b = a a + b & f( + ) = a.( + ) + b = a + a + b & f( ) + f( + ) = a a + b + a + a + b = a + b = (a + b) = f() bulunur. 5

55 UYGULAMA ADIMI. f: R R, f(, ) =. ise, f (, ) + ifadesinin eşiti. f( 5) = f (, ) 6 ise, f () kaçtır? nedir? + f( 5) = f + & b l= 5 f(, ) =. & f(, ) = f (, ). = & = 6 f (, ). = f + b l=. 5 & f ( ) 7 olur. 6 =. =.... = Aşağıda verilenlerden hangileri doğrudur? =. = f (, ) bulunur. I. Bire bir her fonksion örtendir. ÜNİTE II. Örten her fonksion bire birdir.. f() = (m ) + 5n sıfır fonksionu ise m + n toplamı kaçtır? f() = = + biçiminde olmalıdır. (m ) + 5n = + eşitliğinde _ m = & m= b ` 5n = & n= 5 b a III. Her bağıntı bir fonksiondur. IV. Her fonksion bir bağıntıdır. I. Bire bir her fonksion örtendir. (Y) 6 & m+ n= + = bulunur. A) 5 5 B) f II. Örten her fonksion bire birdir. (Y) III. Her bağıntı bir fonksiondur. (Y) IV. Her fonksion bir bağıntıdır. (D) 6. Aşağıdaki grafiklerden hangisi bire bir fonksiona aittir? f C) f. A = {a, b, c, d} ve B = {,, } olduğuna göre B den A a tanımlanabilecek bire bir fonksionların saısı kaçtır? s(a) =, s(b) = olup B den A a bire bir fonksion saısı! =! = ( )! bulunur. D) E) f f Grafikler incelendiğinde, eksenine paralel doğrular çizilirse sadece B seçeneğinde eğrii çizilen doğrular tek noktalarda keser. B seçeneğindeki f bağıntısı bire birdir. 55

56 ÜNİTE 7. f( + ) = ise, f( ) in f() türünden eşiti nedir? + f( + ) = + f( + ) = için erine azılırsa f() de erine azılırsa f( ) = = + + f() = = & + + & f ( ) = + + = &. = & ( ) = dir. UYGULAMA ADIMI 9. f() = fa ( + b) fa ( b) + ise, ifadesinin eşiti nedir? a + f() = + & f(a + b) = (a + b) + (a + b) = a + ab + b + a + b & f(a b) = (a b) + (a b) = a ab + b + a b fa ( + b) fa ( b) & a + a + ab+ b + a+ b a + ab b a+ b = a + ab + b ba ( + ) = = = b a + a + bulunur. & = bu ifade f( ) fonksionunda azılırsa f ( ) = = = = = + + f ( ) = olur. f ( ) + +. f() = + ve (fog)() = ise, g () kaçtır? g () = a & g(a) = olur. = a & (fog)(a) = a + (fog)(a) = f(g(a)) = f() = 5 a + = 5 & a = 9 olur. 8. b! olmak üzere f() = b + a ve (fog)() = a + b ise, g() kaçtır? b f() = b + a ve (fog)() = a + b & f(g()) = a + b & f (f(g())) = f (a + b) & g() = f (a + b) f() = b + a f a & () = b a + b a a+ b a g() = & g( ) = = bulunur. b b. f() = +, g() = a + fonksionları için (fog)() = (gof)() ise, a kaçtır? f() = + ve g() = a + & (fog)() =.(a + ) + = a + 7 & (gof)() = a( + ) + = a + a + & (fog)() = (gof)() & a + 7 = a + a + & a = bulunur. 56

57 . A = {,,,, } UYGULAMA ADIMI. A = {,,, }, f: A R ÜNİTE f: A R, f() = fonksionunun grafiğini çizelim. f: R R f() = nin grafiği bir parabol belirtir. Ancak A = {,,,, } 5 elemanlı bir küme olduğundan grafik 5 noktadan oluşur. f( ) = ( ) = f( ) = ( ) = f() = = f() = + fonksionunun grafiğini çizelim. f: R R f() = + bir doğru denklemidir. f: A R f() = + fonksionunun tanım kümesi elemanlı olduğundan grafik noktadan oluşur. f( ) = + = f() = + = f() = + = f() = + = f() = = f() = = olup grafik şekildeki gibidir. 5. A = [, ] f: A R, f() = + fonksionunun grafiğini çizelim.. A = {a, b, c, d}, B = {,,, } olmak üzere aşağıdaki bağıntılardan hangileri A dan B e bir fonksiondur? f() = + parabol denklemidir. I. f = {(a, ), (b, ), (c, ), (d, ), (a, )} II. f = {(a, ), (b, ), (b, ), (c, ), (d, )} Parabolün [, ] aralığındaki grafiği andaki gibidir. f( ) = ( ) + = III. f = {(a, ), (b, ), (c, ), (d, )} f() = + = IV. f = {(d, ), (a, ), (c, ), (b, )} f() = + = dir. V. f 5 = {(b, ), (a, ), (c, ), (b, )} f bağıntısında a elemanı hem ile hem de ile eşlendiğinden f fonksion değildir. f bağıntısında b elemanı hem ile hem ile eşlendiğinden fonksion değildir. f bağıntısında tanım kümesinin her elemanı değer kümesini alnız bir elemanı ile eşlendiğinden f fonksiondur. f bağıntısında tanım kümesinin her elemanı değer kümesinden alnız bir eleman ile eşlendiğinden f fonksiondur. f 5 bağıntısı da anı nedenle bir fonksiondur. 6. Aşağıdakilerden hangisi tek fonksion değildir? A) f() = B) f() = + C) f() = + D) f() = E) f() = 5 + f( ) = f() ise f() fonksionu tek fonksiondur. C seçeneğinde f( ) = ( ) + ( ) = ve f() = + f( )! f() olup f() = + tek fonksion değildir. 57

58 ÜNİTE 7. UYGULAMA ADIMI 5. Şekilde f: A B = f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, A f(a) aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ] (, ] B) (, ] (, ] C) (, ] (, ] {} D) (, ) (, ) (, ] E) (, ] [, ] Grafik dikkatle incelenirse ʼe verilen değerler (, ] aralığındadır. Bu değerlerin görüntüleri ekseninde (, ] kümesindedir. Doğru seçenek A dır. 8. f: Z R, f() = + 5 fonksionu içine fonksion mudur? Her Z için f() = + 5 Z ve Z R olduğundan f içine fonksiondur. Şekilde f: R R fonksionun grafiği verilmiştir. f bire bir bir fonksion mudur? Grafiği kesen eksenine paralel doğrular çizildiğinde her doğru grafiği alnızca bir noktada kesior. Bu nedenle f bire bir fonksiondur. 5. f: R R, f() = (m ) + (n + ) + m + n sabit bir fonksion olduğuna göre, f() kaçtır? f() = (m ) + (n + ) + m + n sabit bir fonksion ise m = n + = olmalıdır. Buradan, m =, n = dir. O halde fonksion f() = + ( ) = olup f() = dir. 9. f: (, ] [, ) f() = fonksionu örten midir? f() = in grafiği şekildeki gibidir. [, ) değer kümesindeki her elemanı (, ] tanım kümesindeki en az bir in görüntüsüdür. Başka bir deişle f((, ]) = [, ) olduğundan f örten bir fonksiondur. Tanım kümesi De erler kümesi 5. f: R R, f() = (a b) + b + a birim fonksion olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? f() = olmalı, a b =, b + a = olacağından a b = + b + a = a = & a = ve. b = & = b dir. O halde a.b =. = bulunur. 58

59 KAVRAMSAL ADIM ) Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = + tan 9 BİR FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ IR de tanımlı = f() kuralı ile verilen bir fonksionda A IR ve her A için f() IR koşulunu sağlaan en geniş A kümesine f fonksionunun en geniş tanım kümesi denir. ) a, a, a,..., a n IR ve n N olmak üzere, f() = a n n + a n n a + a polinom fonksionlarının en geniş tanım kümesi A = IR dir. ) P ( ) P() ve Q() herhangi iki polinom olmak üzere f ( ) = biçimindeki fonksionlar Q ( ) Q() için tanımlıdırlar. ) P() bir polinom ve f() = n P ( ) olsun. a) n tek ise f fonksionunun en geniş tanım kümesi A = IR dir. b) n çift ise f fonksionu P() için tanımlıdır. ÜNİTE ) Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. ) P() bir polinom ise f() = log a P() fonksionu P() > için tanımlıdır. (a >, a ) a) f(, ) = b) f(, ) = UYARI f fonksionunun en geniş tanım kümesi A g fonksionunun en geniş tanım kümesi A ise f + g, f g, f.g, g f fonksionlarının en geniş tanım kümeleri A A dir. a) f : R R, f(, ) = + + sin ) f ( ) = fonksionunun en geniş cos tanım kümesini bulunuz. fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. b) f : R + R, f(, ) = fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 59

60 ÜNİTE. f: A IR, f() = fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. f() = fonksionu bir polinom olduğundan f nin en geniş tanım kümesi A = IR dir.. + f: A IR, f() = fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. + ve olmalıdır. ve ( + )( ) ve!,! olmalıdır O halde, f nin en geniş tanım kümesi: A = (, ) {} dir. UYGULAMA ADIMI. f: A IR, f() = fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. olmalıdır. O halde, f nin en geniş tanım kümesi A = [, ] aralığıdır. 5. f: A IR, f() = fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. + + > olmalıdır. Buna göre > & < & < < olmalıdır. O halde, tanım kümesi ve dir.. f: A IR, f() = g: A IR, g() = olduğuna göre f.g fonksionunun + en geniş tanım kümesini bulunuz. A A i bulmalıız. f fonksionu > için tanımlı olup işareti incelenirse A = (, ) (, ) dur. A = IR { } g() = fonksionu + için tanımlıdır. + + & olmalıdır. O halde, R { } = (, ) (, + ) olup A = (, ) (, + ) dur. O halde f.g' nın en geniş tanım kümesi, A A = [(, ) (, + )] [(, ) (, + )] = (, ) (, ) (, + ) olur. 6. f: A IR, f() = fonksionunun tüm reel m+ m 5 saılarda tanımlı olması için m hangi aralığın elemanı olmalıdır? f fonksionunun her IR için tanımlı olması için padasının kökleri olmamalıdır. Yani m + m 5 = denkleminde Δ < olmalıdır. O halde, Δ = m.(m 5) < & m m + < & (m )(m ) = & m = vea m = olup Δ = m m + < ın işareti incelenirse m (, ) olmalıdır. m + m çözüm 6

61 . Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI. Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. ÜNİTE a) b) f ( ) = + + f ( ) = sin [, + ) {} a) b) f ( ) = sin cos f ( ) = + log [, ] R { + k, k! Z} (, + ) { } c) f ( ) = log c) f ( ) = cos sin (, ) {: = k, k Z} d) f ( ) = e d) f ( ) = 9 R {} [, 6], [ 6, ] e) f ( ) = ln( ) + e) f ( ) = + ln ln [ e, ) { } [, + ) { e} 6

62 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f : R R log f ( ) = ', n > fonksionu için < olduğundan fc m= log fc m+ f( e ) = log = dir. değeri kaçtır? e > olduğundan f(e ) = lne = 6lne = 6 PARÇALI FONKSİYONLAR Tanım kümesinin alt kümelerinde farklı birer kuralla tanımlanan fonksionlara parçalı fonksionlar denir. Bir f parçalı fonksionu aşağıdaki biçimde tanımlı olsun. Z g ( ), a ise ] f ( ) = [ h ( ), a< < b ise ] r ( ), b ise \ Bu şekilde tanımlı bir f fonksionu için; = a ve = b noktalarına kritik noktalar, g(), h() ve r() fonksionlarına parçalı fonksionun dalları denir. ÖRNEK dır. O halde fc m+ f( e ) = + 6 = bulunur. f: R R +, ise f ( ) = *, > ise biçiminde tanımlı parçalı fonksionun kritik noktası = dir. için f() = + > için f() = f nin dallarıdır. ÖRNEK f : R R + sin, r f ( ) = ) fonksionu için. cos, > r r r fa k + fb l ifadesinin değerini bulunuz. r fb l f: Z R Z., / ( mod 5) ] f ( ) = [ 5, / ( mod ) ] +, / ( mod ) \ Parçalı fonksionu için Z noktası kritik noktadır. k Z için = 5. k iç in f( ) =. _ b = k+ iç in f( ) = 5 ` f fonksionunun dallarıdır. = k+ iç in f( ) = + b a ÖRNEK f: R R +, < ise f ( ) = * +, ise şeklinde tanımlı fonksion için f( ) + f() toplamı kaçtır? 6

63 KAVRAMSAL ADIM f : R R, g : R R + f ( ) = * + > g ( ) = < * + fonksionları verilior. a) (fog)() b) (gof)() c) (fof)() ÇÖZÜM < olduğundan f() = + fonksionunda = azılır. f( ) = ( ) + = 5 tir. > olduğundan f() = + fonksionunda = azılır. f() = + = 8 dir. O halde f( ) + f() = = bulunur. ÖRNEK f: R R, < ise f ( ) = ), ise ÜNİTE d) (gog)() değerlerini bulunuz. A = {,,, } ve B = (, ] olduğuna göre, f(a) ve f(b) kümelerini bulalım. ÇÖZÜM a) (fog)() = f(g()) = f(. + ) = f(9) = + 9 = 8 b) (gof)() = g(f()) = g( + ) = g(7) =.7 + = 5 c) (fof)() = f(f()) = f( + ) = f() = + = d) (gog)() = g(g()) = g( ) A = {,,, } ise f(a) = {f( ), f(), f(), f()} < & f( ) =.( ) = < & f() =. = < & f() =. = & f() =. = olup f(a) = {,,, } tür. B = (, ] & f(b) = f((, ]) tür. B = (, ] = (, ) [, ] biçiminde azalım. (, ) [, ] & & (, ) vea [, ] < < vea bulunur. = g( ) = ( ) = & & &. < <. vea.. < < 6 vea 6 < < 5 vea 5 f(b) = (, 5) [, 5] = (, 5] bulunur. 6

64 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ) f : R {} R f ( ) = fonksionu için (fof)( ) + (fof)( 9) (fof)(9) + (fof)() toplamının değeri kaçtır? Parçalı Fonksionun Tersi Bir parçalı fonksionun tersini bulmak için her bir dalın arı arı tersi bulunur. ÖRNEK Z 5 +, < ise ] f ( ) = [ ] \ +, ise fonksionunun tersini bulunuz. ÇÖZÜM < için f: (, ) (, ) olur. Çünkü < için < 5 + < dir. = f() = 5 + & = f () = 5 olup ) f, g : R R, < f ( ) = *, f : (, ) (, ) f () = 5 dir., < g ( ) = *, fonksionları için a) f + g b) f g c) f.g fonksionlarını bulunuz. için f: [, ) [, ) dur. Çünkü için + < dur. = f() = + & = f ( ) = f : [, ) [, ) X f (X) = tür. olup O halde, 5 f ( ) = * olarak bulunur., <, ise ise f : R {} R f ( ) = ) > şeklinde tanımlanan f fonksionu için f ters fonksionunu bulunuz. ÖRNEK +, ise f ( ) = * +, > ise olduğuna göre f () değerini bulalım. ÇÖZÜM f () = a olsun. f(a) = olur. a > & a + = & a = olamaz. a & f(a) = a + = & a = olup f () = a = dir. 6

65 KAVRAMSAL ADIM ) f : R R Z +, < ] f ( ) = [ ] \, fonksionu verilior. f(a) = ise, a değerini bulunuz. Parçalı Fonksionlarda Bileşke İşlemi Verilen iki a da daha çok parçalı fonksionun bileşkesini bulmak için bu fonksionların tanım kümelerinin alt aralıklarının kesişiminde bileşke işlemi ugulanır. ÖRNEK +, ise f ( ) = ), > ise, ise g ( ) = *, > ise ÜNİTE ) f : R R Z ], ] f ( ) = [ ] ], > 5 \ + şeklinde tanımlı fonksion için f() + f() f() toplamının değeri kaçtır? olduğuna göre, (fogof)() kaçtır? ÇÖZÜM (fogof)() = f(g(f())) olup önce f() i bulmalıız. > için f() = olup f() =. = dir. g(f()) = g() ve için g() = olduğundan, g() = = dır. f(g(f())) = f(g()) = f() ve için, f() = + ve f() = + = dir. O halde, (fogof)() = dir. ) f : R R +, f ( ) = ) +, < g() = + fonksionları için fog fonksionunu bulunuz. ÖRNEK, ise f ( ) = *, > ise g ( ) =, ise * +, > ise olduğuna göre, (fog)() fonksionunu bulalım. 65

66 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ) f : [, ) R f ( ) = fonksionunun parçalı biçimde Z6, < ] f ( ) = [ ], < < \ şeklinde azılabildiğini gösteriniz. ÇÖZÜM (fog)() = f(g()) dir. için g() = olup ( ), ise ( fog)( ) = f( ) = * ( ), > ise, f ( ise ) = * 6, > ise olur. için (fog)() = 6 dır. < için g() = + olduğundan, ( ), ( fog)( ) f( + + ise = + ) = * ( + ), + > ise O halde < için (fog)() = ( + ) olur. ) f : R R, < f ( ) = *, şeklinde tanımlı f fonksionunun tersini bulunuz. Şimdi son olarak > için (fog)() i bulalım. > için g() = + olduğundan ( ), ( fog)( ) f( + + ise = + ) = * ( + ), + > ise > için (fog)() = ( + ) tür. O halde, 6, ise ( fog)( ) = * ( + ), > ise bulunur. ÖRNEK f( ) =, ise ) +, > ise ) f : R R +, f( ) = ), > biçiminde tanımlı f fonksionu için f(5) + f( 5) toplamı kaçtır? biçiminde tanımlı f fonksionu için f( ) ve f( 5) değerlerini bulalım. ÇÖZÜM f( ) değerini bulmak için eşitliğin her iki anında = azalım. = & f(.) = & f( ) = tür. f( 5) değerini bulmak için eşitliğin her iki anına = azalım. = & f(.) =. + & f( 5) = bulunur. 66

67 KAVRAMSAL ADIM ) f, g : R R Z ], < f ( ) = [ ] +, \ Z, ] g ( ) = [ ] \, > fonksionları verilior. a) (fof)() b) (gog)() c) (f + g)() d) (f.g)() e) (f.f)() ÖRNEK Z tam saılar kümesinde,, çift ise f ( ) = ), tek ise, çift ise g ( ) = ) +, tek ise kuralı ile f ve g fonksionları tanımlanıor. (fog)() in kuralını bulalım. ÇÖZÜM ( ), çift ise ( fog)( ) = f( g( )) = *, tek ise 5, çift ise & ( fog)( ) = ), tek ise olur. ÜNİTE f) (g.g)() g) (f +.g)() fonksionlarını bulunuz. ) f : A R, g : A R fonksionları verilsin. g(a) A R olmak üzere, g fonksionu periodik ve periodu T ise, fog fonksionunun periodunun T olduğunu gösteriniz. ) f : R R g : R R iki fonksion ve f nin perodu T = tür. g ( ) = fb l olduğuna göre, g fonksionunun periodu kaçtır? ) f : A R, fonksionunun periodu T g: A R fonksionunun periodu T ise m, n N + olmak üzere, f + g : A R fonksionunun periodunun T = mt = nt koşulunu sağlaan en küçük pozitif T saısı olduğunu gösteriniz. 67

68 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ) f : R R fonksionu verilior. a R olmak üzere a) f çift fonksion ise a.f nin çift fonksion olduğunu gösteriniz. b) f tek fonksion ise a.f nin tek fonksion olduğunu gösteriniz. GRAFİK ÇİZİMİ ÖTELEME VE SİMETRİ = f() bağıntısının grafiği verilsin k > olmak üzere; ) k = f() bağıntısının grafiği, = f() in grafiğinin pozitif ekseni önünde k birim ötelenmiş biçimidir. Burada (, ) erine (, k) geldiğine dikkat edelim. ÖRNEK + ) f : R R, g : R R çift fonksionlarıdır. a) f + g nin çift fonksion olduğunu gösteriniz. b) f.g nin çift fonksion olduğunu gösteriniz. c) gof nin çift fonksion olduğunu gösteriniz. = f() (, ) = f() + (, ) ) + k = f() bağıntısının grafiği, = f() in grafiğinin negatif ekseni önünde k birim ötelenmiş biçimidir. Burada (, ) erine (, + k) geldiğine dikkat ediniz. ÖRNEK ) f()= f() = fonksionunun grafiği verilior. f( + ) + fonksionunun grafiğini çiziniz. = f() (, ) = f() (, ) 68

69 KAVRAMSAL ADIM ) f : R R, g:r R tek fonksionlardır. a) f + g nin tek fonksion olduğunu gösteriniz. b) f.g nin çift fonksion olduğunu gösteriniz. c) fog nin tek fonksion olduğunu gösteriniz. ) = f( k) bağıntısının grafiği, = f() in grafiğinin pozitif ekseni önünde k birim ötelenmiş biçimidir. Burada (, ) erine ( k, ) geldiğine dikkat edelim. ÖRNEK = f() f() = = f( ) = f( ) = f() = ÜNİTE ) f : R R çift fonksion g : R R tek fonksion olmak üzere a) f.g nin tek fonksion olduğunu gösteriniz. b) fog nin çift fonksion olduğunu gösteriniz. ) = f( + k) bağıntısının grafiği = f() in grafiğinin negatif ekseni önünde k birim ötelenmiş biçimidir. Burada (, ) erine ( + k, ) geldiğine dikkat edelim. ÖRNEK c) f + g fonksionu hakkında ne söleebilirsiniz? = f() = f( + ) ) 5) = f( ) in grafiği = f() in grafiğinin eksenine göre simetriğidir. Burada (, ) erine (, ) gelmiştir. ÖRNEK = f() fonksionunun grafiği verilior. Buna göre, f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. =f() = f() = f( ) 69

70 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM 6) = f() in grafiği, f() in grafiğinin eksenine göre simetriğidir. Burada (, ) erine (, ) gelmiştir. ) f : R R + f ( ) = g: R + R + g ( ) = + fonksionları verilior. a) fog fonksionunun değer kümesini bulunuz. b) gof fonksionunun değer kümesini bulunuz. ÖRNEK = f() = f() 7) = f() bağıntısının grafiği, = f() in grafiğinin I. açıortaa ( = ) göre simetriğidir. Burada (, ) erine (, ) gelmiştir. ÖRNEK = ) f : R R, f() = + ve g() = f( ) f ( ) = f() = f() olduğuna göre, g fonksionunun tanım ve değer kümesini bulunuz. 8) = f( ) bağıntısının grafiği = f() in grafiğinin orijine göre simetriğidir. Burada (, ) erine (, ) gelmiştir. ÖRNEK = f() = f( ) 7

71 KAVRAMSAL ADIM ) = f() fonksionunun = b doğrusuna göre simetriği b = f() bağıntısı olduğuna göre, =f() Yukarıda grafiği verilen f fonksionunun = doğrusuna göre simetriğinin grafiğini çiziniz. 9) = f( ) nin grafiği, = f() in grafiğinin II. açıortaa göre simetriğidir. Burada (, ) erine (, ) gelmiştir. ÖRNEK = f() = f( ) ÜNİTE ) = f(a ) bağıntısının grafiği, = f() in grafiğinin = a doğrusuna göre simetriğidir. Burada (, ) erine (a, ) gelmiştir. ÖRNEK ) = f() = f( ) = do rusuna göre simetri alınır. ) b = f(a ) bağıntısının grafiği, = f() in grafiğinin (a, b) noktasına göre simetriğidir. Burada (, ) erine (a, b ) gelmiştir. Şekilde grafiği verilen = f() fonksionunun orijine göre simetriğinin grafiğini çiziniz. ÖRNEK = f() = f( ) 7

72 ÜNİTE Z+, < ise ]. f : R R, f ( ) = [, = ise ] \, > ise f( ) + f( ) şeklinde tanımlı f fonksionu için kaçtır? f( ). < olduğundan f( ) = + = > olduğundan f() = = olduğundan f() = = f( ) + f( ) + O halde, = = bulunur. f( ) Z ise ] f ( ) = [ + < ise ] \ > ise fonksionunun grafiğini çizelim. UYGULAMA ADIMI. = f() fonksionunun grafiği verilior. = f( + ) fonksionunun grafiğini çiziniz. = f() fonksionunun grafiği O ekseninin negatif önünde birim ötelenerek = f( + ) fonksionunun grafiği elde edilir. f() = =f(+) = fonksionunun grafiği çizilip (, ] aralığındaki parçası alınır. = + fonksionunun grafiği çizilip (, ] aralığındaki parçası alınır. = fonksionunun grafiği çizilip [, ) aralığındaki parçası = alınır. = = + 5. = f() fonksionunun grafiği verilior. = f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. = f() = fonksionunun grafiği çizilip [, ) aralığındaki parçası alınır.. Şekilde = f() fonksionunun grafiği verilmiştir. = f() + fonksionunun grafiğini çiziniz. f() fonksionunun grafiği ekseninde birim ötelenerek = f() + fonksionunun grafiği elde edilebilir. f() fonksionu için f( ) = f() = f() = f() = f( ) = olup = f( ) fonksionu için = & = f( ) = = (, ) = & = f( ) = = (, ) = & = f() = = (, ) = & = f() = = (, ) = & = f() = = (, ) = f( ) dır. = f( ) nin grafiği şekildeki gibidir. 7

73 6. = f() fonksionunun grafiği verilior. = f() fonksionunun grafiğini çiziniz. = f() fonksionunun grafiğinin O eksenine göre simetriği alınarak = f() fonksionunun grafiği elde edilmiştir. 7. = f() fonksionunun grafiği verilior. = f( ) + fonksionunun grafiğini çiziniz. = f( ) + in grafiğini çizmek için, önce = f() in grafiğinin O eksenine göre simetriği alınıp sonra ekseninin pozitif önünde birim ötelenir. Grafiği inceleiniz. Z ], ise 8. f : R R, f ( ) = [, < < ise ] \, ise fonksionunun grafiğini çizelim. = için f() = nin grafiği < < için f() = in grafiği UYGULAMA ADIMI =f( )+ =f() 9. f: R R, f() = maks( +, ) fonksionunun grafiğini çizelim. = + ve = fonksionunun grafikleri çizilir. Daha sonra üstte kalan parçaların birleşimi ma( +, ) fonksionunun grafiğini verir.. f: R R, f() = min( +, ) fonksionunun grafiğini çizelim. = + ve = fonksionlarının grafikleri anı analitik düzlemde çizilir. Daha sonra altta kalan parçalar birleştirilir. f() = min( +, ) fonksionunun grafiğini verir. f: R R g : R R min(f, g) : R R fonksionu f, f g ise min(, f g) = * g, g< f ise şeklinde tanımlı olduğuna göre, f() =, g() = fonksionları için Z, < ] min(, f g)( ) = [, ], < \ olduğunu gösteriniz. = + = = + ÜNİTE için f() = in grafiği ukarıda çizilmiştir. 7

74 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM ) f : R R, g : R R fonksionları f() = ve g() = ile tanımlıdır. a) h = gof fonksionunu parçalı biçimde azarak grafiğini çiziniz. b), = f + g MUTLAK DEĞERLİ DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER MUTLAK DEĞER IR verilsin. in mutlak değeri ile gösterilir. in mutlak değeri, = ), < biçiminde tanımlıdır. ÖRNEK, e, r, ifadelerinin değerini bulunuz. ÇÖZÜM fonksionunu parçalı biçimde azarak grafiğini çiziniz. b, olduğundan > ve = dir. e,, 78 ve,, 7 olduğundan e > ve e = e tür.,, ve < olduğundan = dir. >,, 7 olduğundan = tü r. ) f() = + a a fonksionunun en küçük ve en büük değerini araştırınız. MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ, IR ve a IR + olsun. ) dır. ) = + = ) = a + = a vea = a ) < a + a < < a 5) > a + > a vea < a 6). =. 6a ) f ( ) = fonksionunun en a + a büük değeri için ne sölenebilir? (a > ) 7) = ( ) 8) + + 9) = ) = + = vea = ) n = n ) n, n n tek ise = *, n çift ise 7

75 UYGULAMA ADIMI. f() = + ise, f(e) kaçtır? (e, 7) 5. + = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. ÜNİTE f(e) = e + = e + e = e + e = tür.. + = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. e + = + = V + = + = V + + = i) + =, Δ = b ac =..( ) = 8 b Δ = = = +. a. 7 b Δ 8 7. a. 7 + = + + = & = = Ç = " + 7, 7, dir. ii) + + = ( + )( + ) = kümesi Ç = & dir. Ç = {, } olup =, = Verilen denklemin çözüm kümesi Ç= Ç, Ç = " 7,,, + 7, dir.. + eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Her R için olduğundan + dır. kümesi Ç R dir eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 7 7 V 7. 5 = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 5 = 5 = V 5 = = 6 V = = V = olup denklemin çözüm kümesi Ç = {, } tür. V 6 5 V [5, + ) V (, ] olup verilen eşitsizliğin çözüm kümesi Ç = (, ], [5, + ) dur. 75

76 ÜNİTE 7. 8 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz V 8 9 V 7 i) 9 V Ç = [, ] [, ] ii) 7 & R, [, ] V [, ] Ç = O halde 8 eşitsizliğinin çözüm kümesi UYGULAMA ADIMI + 9. > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Dikkat edilirse < olamaz. + > & + > & & & & > > > < Arıca olacağından çözüm kümesi Ç = Ç Ç = [, ] [, ] tür. < < den Ç = b, l aralığıdır.. f ( ) = ise, f nin tanımlı olduğu IR nin en geniş alt kümesini bulunuz = denkleminin çözüm kümesini bulunuz & & & & < & olup çözüm kümesi & & Ç = b,, [, dur. i) < ise 6 ( = + = = Ç = ii) için + + = & = & = Ç = {} iii) > için + + = = Ç = O halde denklemin çözüm kümesi Ç = {} dir.. 5 = + 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 5 = + 5 & 5 = + 5 vea 5 = ( + 5) & = vea 7 = & = vea = kümesi Ç = {, } dur. 76

77 . f() = + ise, f() = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. f() = & + = & & & olup çözüm kümesi = = V = = V 5 = 5 & = V = Ç = &,. f ( ) = ise f( ) > 8 eşitsizliğini sağlaan tam saıların toplamı kaçtır? tür. UYGULAMA ADIMI 5. + ifadesinin en küçük değerinin olduğunu gösteriniz. a + b a + b eşitsizliğini kullanacağız. + = + 6. k R olmak üzere a + b M = a + b + ka kb ifadesi verilior. + = dir. M nin alabileceği en küçük değerin k cinsinden eşiti nedir? a + b a + b ve ka kb ka + kb olduğundan ÜNİTE f ( ) > & > 8 8 & < 8 5 < < & < < a + b a + b M = & M a + b + ka kb a + b + ka + kb ( a + b ) M = ( a + b ) ( + k ) + k olup M nin en küçük değeri olur. + k = 9, 8, 7, 6, 5,,,,,,,, 5, 6, 7, 8, 9,, olup bu tam saıların toplamı dir fonksionunun en küçük değerini bulalım.. 5 < eşitsizliğini sağlaan kaç tam saı vardır? 5 < & 5 < vea 5 + < & 8 < vea < 7 7 < vea & < Bu eşitsizliği sağlaan tam saılar,, olup tanedir. + = & = = & = = & = < < olup ortadaki değer olan = de = en büük değerini alır. 77

78 ÜNİTE. = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. PEKİŞTİRME ADIMI Ç = {, 5}. < + 7 eşitsizliğini sağlaan tam saılarının oplamı kaçtır?. + eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz = denkleminin çözüm kümesi nedir? Ç = [, ] Ç = &, 5. eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. 6. f() = + fonksionu için f(a + ) = 6 olduğuna göre, a kaçtır? 5 Ç = (, ], [, + ) 78

79 7. f() = + + fonksionu için f(m ) = olduğuna göre, m kaçtır? PEKİŞTİRME ADIMI. + = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Ç = {, } ÜNİTE 8. f() = + fonksionu için f( + ) = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. + Ç = {} Ç = {} 9. + = denkleminin çözüm kümesini bulunuz.. f() = + fonksionu verilior. m + f(m ) = 9 denklemini sağlaan m değerlerinin toplamını bulunuz. Ç = {,,, } 79

80 ÜNİTE KAVRAMSAL ADIM f : R R, g : R R f() = + ve g() = fonksionları verilior. a) ( f + (fog)) ( ) değerini bulunuz. b) (fog)() fonksionunu parçalı şekilde azınız. a) ( f + (fog))( ) = f ( ) + (fog)( ) = f( ) + f(g( )) = ( ).( ) + + f( ) MUTLAK DEĞER FONKSİYONU TANIM f: A R R bir fonksion olsun. f ( ), f ( ) ise f : A " R +, { }, f( ) = * (), f f () < ise biçiminde tanımlanan f fonksionuna f nin mutlak değer fonksionu denir. ÖRNEK = 8 + f() = = 8 bulunur. f: R IR = f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. b) (fog)() = f(g()) = f( ) = + = + + +, ( fog)( ) = * +, > bulunur. ÇÖZÜM, f ( ) = =), < olduğundan için = f() = ve < için = f() = fonksionlarının grafikleri çizilir. = = f : R R (f() =, ) (f() =, < ), < f ( ) = *, fonksionunun grafiğini çiziniz. Bu iki grafik birleştirilirse; = = = in grafiği çizilmiş olur. 8

81 KAVRAMSAL ADIM f : R R, f() = g : R R, g() = + fonksionları verilior. a) h = fog fonksionunun grafiğini çiziniz. b) k = gof fonksionunun grafiğini çiziniz. a) h() = (fog)() = f(g()) = f( + ) = ( + ) ÖRNEK f: R IR f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM + = & = değeri fonksionun kritik noktasıdır. O halde +, + = * olup ( + ), < =+ ÜNİTE = + fog Grafik şekildeki gibidir. fog Mutlak değerli fonksionların grafikleri çizilirken mutlak değerin içindeki fonksionun grafiği çizilir ve ekseninin altında kalan parçası varsa, bu parçanın eksenine göre simetriği alınır. b) k = (gof) () = fonksionunun grafiğini de siz çiziniz. f : R R, f() = g : R R, g() = fonksionları verilior. a) ( f + g )() fonksionunu parçalı şekilde azınız. b) ( f + g )() = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 8

82 ÜNİTE. f: R R, f() = fonksionunu parçalı şekilde azıp grafiğini çizelim. = kritik noktadır. f ( ) = = ) < Pratik olarak önce mutlak değerin içindeki fonksionun grafiğini çizip, sonra ekseninin altında kalan parça varsa eksenine göre simetriği alınır. = UYGULAMA ADIMI = =. f: IR IR, f() = fonksionunun grafiğini çizelim. & f() = < < & f() = & f() = olup grafik aşağıdaki gibidir. =. f: R R, f() = 9 fonksionunun grafiğini çizelim. Önce 9 nin grafiği çizilir. Sonra ekseninin altında kalan parçanın eksenine göre simetriği alınır. 9 = 9. için f() = + ise, f( ) in görüntü kümesi nedir? 5. f() fonksionu için f() = f( ) ise f() in grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? f ( ), ise f( ) = * f( ), < ise Yani için f( ) = f() = + < için f( ) = f( ) = ( ) + = + A) B) C) aralığı parçalanırsa için f() = + D) E) < için f( ) = + 7 f( ) 7 olur. f( ) = f( ) = f( ) = f() olduğundan f eksenine göre simetriktir. Yanıt E dir. 8

83 6. Şekildeki grafik aşağıda verilen fonksionlardan hangisine aittir? A) = B) = C) = + D) = + E) = Grafikte verilen koordinat değerleri seçeneklerde verilen fonksionlarda erine azılarak sağlama apılır. Sağlamaanlar elenir. Grafikten UYGULAMA ADIMI =f() 8. f fonksionunun grafiği aşağıdaki şekilde verilmiştir. Buna göre; = a) = f() b) = f() c) = f() d) = f( ) fonksionlarının grafiklerini çizelim. = ÜNİTE f() =, f( ) =, f() = olup bu eşitlikleri (B) seçeneğindeki = fonksionu sağlar. f ( ), f ( ) a) = f() = * () f, f () < olduğundan f() in grafiğinin ekseninin altında kalan kısmının eksenine göre simetriği alınır. = = 7. f: [, ] IR, f() = fonksionunun görüntü kümesi nedir? Önce mutlak değerin içinin grafiği çizilir. Alttaki parçanın eksenine göre simetriği alınır. = f() in grafi i = 9 f ( ), f ( ) ise b) = f() = * () f+, f () < ise [, ] için f() olup f() = ([, ]) = [, ] tür. 8

84 ÜNİTE, ise f ( ) = ), < ise olduğundan, f ( ) = ), <, f ( ) = *, < şeklinde düşünülerek de grafik çizilebilir. UYGULAMA ADIMI 9. f() = ln + fonksionunun grafiğini çizelim.. Adım: = ln fonksionunun grafiği çizilir. =ln c) = f() in grafiği = f() in grafiğinin ekseninin negatif önünde birim ötelenmesile elde edilir. = =. Adım: = ln fonksionunun grafiği çizilir. Bu grafiği çizerken. adımdaki grafikte ekseninin altında kalan parçanın eksenine göre simetriği alınır. =ln = f() in grafi i = f() in grafi i d) = f( ) in grafiğini çizmek için önce f( ) in grafiğini çizelim. f ( ) = ),, < ( ), f ( ) = ), < f ( ) = ( ), *, <. Adım: = ln + in grafiği çizilir.. adımdaki grafik ekseninin pozitif önünde + birim ötelenir. = ln + = f( ) in grafi i = f( ) in grafi i 8

85 . f: R R, f() = + +. f: R R, f() = + + fonksionunu parçalı biçimde azıp grafiğini çiziniz. fonksionunun grafiğini çiziniz. Tablo apılırsa f( ) = + + = f() = + + = + olup f nin en küçük değeri tür f() UYGULAMA ADIMI Grafik: olur. Z, ] f ( ) = [, < ] \, > şeklindedir. Bu fonksionunun grafiğini çizelim. = iç in (, ) = iç in (, ) kırılma noktalarıdır. ÜNİTE f( ) f( ) a b f: R R, f() = a + b fonksionunun en küçük değeri f(a) = f(b) = a b dir. (a, f(a)), (b, f(b)) noktaları fonksionunun grafiğinin kırılma noktalarıdır. f() = a + b fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. f: R R, f() = a b + c d fonksionunun grafiği çizilirken b d = a, = c ( < ) olmak üzere f() en küçük değeri f( ) ve f( ) nin küçük olanıdır. (, f( )), (, f( )) noktaları fonksionun grafiğinin kırılma noktalarıdır. Grafik şekildeki gibidir. 85