Elektromanyetik Alan Kaynakları (1)

Transkript

1 (4) Elektrostatik

2 Giriş Elektrostatik zamana bağlı olarak değişen elektrik alanlar için temel oluşturur. Pek çok elektronik cihazın çalışması elektrostatik üzerine kuruludur. Bunlara örnek olarak osiloskop, mürekkep püskürtmeli yazıcı, LCD ekranlar, fotokopi makinesi, ivme ölçer verilebilir. Bununla birlikte EKG ve EEG gibi biyomedikal sistemlerde de elektrostatik prensiplerinden faydalanılır.

3 Temel Bilgiler Elektrik maddenin temel özelliklerinden biridir. Maddenin en küçük parçası atomdur. Atomda yüklü parçacıklar elektron ve protondur. Protonlar pozitif, elektronlar negatif yüklüdür. Bir elektronun yüküile bir protonun yükü eşit büyüklüktedir. Sonlu bir hacim içinde yük yoğunluğudeğişebilir. Noktasal yük tanımı ile homojen yük yoğunluğuna sahip ve toplam yükü Q olan bir küre anlatılır. Bir yük çevresinde elektrik alan meydana getirir.

4 Elektromanyetik Alan Kaynakları (1) Yük (Charge, Q) Birim: Coulomb [C] Polarizasyon (Kutuplama): Pozitif veya Negatif Yüklü parçacıklar: Elektron ve Proton Elektron yükü: x10 19 [C] Yük yoğunluğu,diferansiyelyük dağılımı ile tanımlanır. Yük dağılımı hacim, yüzey ve çizgi integrali ile hesaplanır. Hacimsel yük yoğunluğu Yüzeysel yük yoğunluğu Çizgisel yük yoğunluğu

5 Elektromanyetik Alan Kaynakları (2) Akım (Current, I) : Hareket eden elektrik yükü akımı meydana getirir. Yük akışı veya yük değişim oranı Birim: Amper [A] veya [C/s] Yönü: Pozitif yük hareket doğrultusunda Akım, yük yoğunluğunun integrali ile hesaplanır. Akım; hacim veya yüzey üzerinde yada çizgi boyunca dağılmış olabilir. Hacimsel akımyoğunluğu: [A/m 2 ] Yüzeysel akım yoğunluğu: [A/m] Süreklilik bağıntısı İntegral formatında Diferansiyel formatında

6 Yük Miktarının Çizgi, Yüzey ve Hacim İntegrali ile Hesaplanması Elektrostatikte çizgisel, yüzeysel ve hacimsel olmak üzere farklı yük dağılımları kullanılır.

7 Çizgisel Yük Yoğunluğu ile Yük Miktarının Hesaplanması Kartezyen K.S. düz çizgi Silindirik K.S. φ çizgisi Küresel K.S. θ çizgisi ve φ çizgisi

8 Yüzeysel Yük Yoğunluğu ile Yük Miktarının Hesaplanması (1) Düzlemin bir parçasındaki yük miktarı Halkanınbirparçasındaki yük miktarı

9 Yüzeysel Yük Yoğunluğu ile Yük Miktarının Hesaplanması (2) Silindirin bir parçasındaki yük miktarı Kürenin bir parçasındaki yük miktarı

10 Yüzeysel Yük Yoğunluğu ile Yük Miktarının Hesaplanması (3) Koninin bir parçası üzerinde yük miktarı

11 Hacimsel Yük Yoğunluğu ile Yük Miktarının Hesaplanması Not: Hacimsel yük yoğunluğu 1 olarak alınırsa hacim hesaplanır

12 Coulomb Kanunu (1) Serbest uzayda konumlandırılmış iki noktasal yük birbirlerine kuvvet uygular. Aynı yükler birbirini iter, zıt yükler birbirini çeker. (Charles Augustin De Coulomb, 1785) Coulomb katsayısı: ve : İki yük arasındaki uzaklık : Vektörlerin pozisyonunu belirten vektörler : Birim vektör

13 Dielektrik Sabiti = Elektriksel Geçirgenlik (Permittivity) Dielektrik sabiti Vakumda dielektrik geçirgenlik Hava Su

14 Coulomb Kanunu (2) Yük çevresinde elektrik alan meydana getirir. Elektrik alanın büyüklüğüyükleorantılıdır. Elektrik alanın büyüklüğüuzaklığın karesi ile ters orantılıdır. Elektrik alanın yönü birim vektör yönündedir. Elektrik alan pozitif yükler için dışarı doğru, negatif yükler için ise içeri doğru gösterilir.

15 Elektrik Alan Şiddeti (1) Elektrik yükü uzayda her noktada bir elektrik alan oluşumuna sebep olur. Noktasal bir Q yükü tarafından orijinde oluşturulan elektrik alanı ifadesi: Elektrik alan birimi: V/m Yük birimi: C Serbest uzay dielektrik sabiti:

16 Elektrik Alan Şiddeti (2) Noktasal bir Q yükü tarafından rnoktasında oluşturulan elektrik alan ifadesi: Burada R alan kaynak uzaklığını gösterir. ise kaynak noktasından, alanın gözlemlendiği noktasına birimvektördür.

17 Örnek 4.6 Q= 1x10 12 C büyüklüğünde bir noktasal yük P(1,0,0) noktasında bulunuyor. Ortamın vakum olduğunu kabul ederek Kartezyen koordinat sisteminde P1(1,3,4) noktasında elektrik alan vektörünü bulun?

18 Süperpozisyon Teoremi N adet farklı yük tarafından bir noktada oluşturulan toplam elektrik alan, bu alanların her birinin ayrı ayrı oluşturdukları elektrik alanların toplamıdır.

19 Örnek 4.8 P1(3,1,2) noktasında Q1=1nC ve P1(2,1,1) noktasında Q2 yükü bulunuyor. İki yükün birlikte oluşturdukları elektrik alanın (0,0,0) noktasında x bileşenine sahip olmaması için Q2 yükü ne olmalıdır?

20 Ödev Bir önceki örnekte oluşan elektrik alanın y ve z bileşenlerine sahip olmaması durumları için Q2 yükünü hesaplayın?

21 Elektrik Alan ile Elektrik Akı İlişkisi Elektrik geçirgenliği ε olan bir malzeme için elektrik alan ve elektrik akısı ilişkisi: D = ε. E olarak verilmiştir. Elektrik akısı, bir yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısıyla doğru orantılıdır. (Elektrik akısı = Elektrik alan çizgileri) Eğer elektrik geçirgenliği (ε) elektrik alan vektörünün büyüklüğünden bağımsızsa yani E ve D arasında lineer (doğrusal) bir ilişki mevcutsa malzeme doğrusal olarak nitelenir. Eğer elektrik geçirgenliği (ε), elektrik alan vektörünün yönünden bağımsızsa malzeme izotropik (yönsüz) olarak nitelenir.

22 Gauss Kanunu (1) Johann Carl Friedrich Gauss Kapalı bir s yüzeyi üzerindeki elektrik akısı, yüzeydeki toplam yükün dielektrik sabitine bölümüne eşittir. boşluk Gauss kanununun temel noktası: elektrik yükü elektrik alan oluşturur ve kapalı yüzeyden geçen bu alanın akısı da alan içindeki toplam yük ile orantılıdır. Gauss kanunu kullanılarak: 1) Elektrik yükünün dağılımı bilinirse o yükü kuşatan kapalı yüzeyde elektrik akısı 2) Kapalı bir yüzeyde elektrik akısı bilinirse o yüzeydeki elektrik yükü bulunabilir.

23 Gauss Kanunu (2) Noktasal Q yükü tarafından oluşturulan elektrik alanı Coulomb kanunu ile ifade edilmişti. Coulomb kanunu kullanılarak Gauss kanunu ispatlanabilir. Çapı a olan bir küre olacak şekildegaussyüzeyiseçilirse: Bu yüzey üzerinde elektrik alanın integrali hesaplandığında Gauss kanunu doğrulanır.

24 Gauss Kanunu (3) Gauss kanunu diferansiyel formda aşağıdaki gibi yazılabilir: Elektrik alanın diverjansı yani elektrik alanın belirli bir noktadan uzağa akış eğilimi, elektrik yük yoğunluğunun serbest uzayın dielektrik sabitine bölümüne eşittir. Gauss kanununun integral formu kapalı bir yüzey üzerindeki yükler ile ilgili iken, diferansiyelformu bağımsız noktasalyükyoğunluğuyla ilgilidir.

25 Gauss Kanunu (4) => İspat

26 Düzlemsel Yük Dağılımı Elektrik Alan İfadesi Elektrik yükü şekilde gösterildiği gibiyüzeyselyükyoğunluğu ρ s olmak üzere z=0 düzleminde düzgün olarak dağılmıştır. Elektrik alan sadece z bileşenine sahiptir: Simetri özelliği kullanılırsa:

27 Elektriksel Potansiyel ve Gerilim Elektrik alan ile elektriksel potansiyel arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir: Burada V elektriksel potansiyel olup birimi Volt tur. E elektrik alan vektörü için A dan B ye çizgi integrali, potansiyel farkı yani gerilimi verir.

28 Kuvvet Uzayda belirli bir noktada bulunan tek bir yük veya yük dağılımıyla ilişkili bir E elektrik alanı mevcutsapnoktasına yerleştirilmiş Qtestyüküneetkiyenkuvvet şeklinde verilir. Başka bir ifadeyle yüke bağlı olarak uygulanan kuvvetten doğan elektrik alan yoğunluğu şöyle tanımlanır:

29 Kuvvet ile İş ve Gerilim İlişkisi Eğer bu yük A noktasından B noktasına hareket ediyorsa, elektrik alan tarafından yapılan iş: Bu denklemden A ve B noktaları arasındaki gerilim:

30 Gerilim Orijindeki noktasal bir Q yükünün potansiyeli: Eğer yük r noktasında bulunuyorsa potansiyel fonksiyonu: Süperpozisyon teoremi elektriksel potansiyel için de geçerlidir.

31 Örnek 4.11 P1(0,0, 4) noktasında Q1= 0.4 μc ve P2(0,0,4) noktasında Q2=+0.4 μc yükleri için P(3,1,5) noktasındaki potansiyeli hesaplayın?

32 Poisson Denklemi Gauss kanunu ifadesinde elektrik alan ile potansiyel ilişkisi kullanılırsa: Poisson denklemi: Skalar V fonksiyonu için Laplasyen operatörü V V V x y z V.( V) 2 2 2

33 Laplace Denklemi Eğer ortamda yük yoksa denklemi olarak adlandırılır: için aşağıdaki duruma indirgenir ve Laplace Bu denklemler plakaları arasında gerilim farkı olan bir kondansatör gibi sınırlarında gerilimin bilindiği bölgelerde elektriksel potansiyeli belirlemek için kullanılır.

34 Elektrostatik Alan İçinde İletkenler ve Yalıtkanlar (1) Bir malzemenin yapısal parametreleri elektriksel geçirgenlik ε, manyetikgeçirgenlikμ ve öz iletkenlik σ değerleridir. Malzemeler öz iletkenlik değerlerine göre iletken ve yalıtkan olarak isimlendirilir. İletkenler çok sayıda serbest olarak hareket edebilir elektrik yüküne (elektron) sahiptir. Dış elektrik alan yokken elektronlar rastgele hareket eder ve akımoluşmaz. Buna karşın elektrikalan içinde elektronlar alana zıt yönde hareket eder. Bu hareket iletken içinde akım olup burada öz iletkenlik sabitidir. Elektrostatikte, mükemmel bir iletkenin tüm yükünün yüzeyde olduğu ve iletken içinde elektrik alanınsıfırolduğu kabul edilir. Yalıtkanlarda en dış yörüngedeki elektronlar çekirdeğe güçlü bağlı olup serbest elektrik yükü içermez. Mükemmel bir yalıtkan için σ = 0 olarak düşünülebilir. Bu sebepten elektrostatik alan üzerinde etkilerinin olmadığı düşünülebilir. Fakat bu doğru değildir.

35 Elektrostatik Alan İçinde İletkenler ve Yalıtkanlar (2) Pek çok malzemenin molekülleri elektrik alan dışında (a) ile gösterildiği gibi elektriksel olarak kutupsuz davranır. Bu durumda pozitif ve negatif yüklerin alanları birbiriniyok eder. E elektrik alanı içinde (b) ile gösterildiğigibimerkezdeki pozitif yük üzerinde Q.E kuvveti etki ederken negatif yük üzerinde ters yönde aynı kuvvet etkilidir. Sonuç olarak elektron demetinin merkezi kayar ve molekül deforme olur, (c) ile gösterildiği gibiyüklerbirbiriarasında d uzaklığı olacak duruma gelir. Bu şekilde iki noktalı yükler «elektrik dipolü» olarak isimlendirilir.

36 Elektrostatik Alan İçinde İletkenler ve Yalıtkanlar (3) Su gibi bazı malzemelerde elektrik alan uygulanmasa bile moleküller dipol haldedir. Bu tip moleküller kutupsal (polar) molekül olarak bilinir. Dipol hale gelmeyen moleküller ise kutupsal olmayan moleküller olarak bilinir. Elektrik alan yokken kutupsal moleküler rastgele sıralanır ve bu sebepten elektrik alan gözlenmez. Kutupsal olmayan moleküller elektrik alana girdiğinde iki dipol yük üzerinde kuvvet oluşur ve alan çizgilerini aynı hizaya getirir. Bu iki tip molekülden herhangi birini içeren yalıtkanlar için harici elektrik alan altında malzeme büyük bir yönlendirilmiş elektrik alanlar dizisi olarak davranır. Bu durumda yalıtkanın kutupsal olduğu söylenir. Yalıtkanın kutupsal hale gelme işlemine de kutuplaşma adı verilir.

37 Elektrostatik Alan İçinde İletkenler ve Yalıtkanlar (4) Kutuplaşmış bir yalıtkan boşlukta duran dipoller topluluğu olarakdüşünülebilir. Eğer dipollerin yükleri ve konumları bilinirse herhangi bir noktada elektrik alan şiddeti ve potansiyel bulunabilir. Fakat dipollerin sayısı çok fazla olmadığı için bu pratikte imkansızdır. Bu sebepten elektrik alan şiddetinin belirlenebilmesi için kutuplaşma vektörü (polarization vector) adı verilen bir vektör büyüklüğü ile elektrik alan ile bağlantılı ortalama dipol yoğunluğu belirlenir. (Duyarlılık) Harici elektrik alanındakutupsalolmayanmolekülmodeli

38 Yalıtkan Malzemede Maxwell Denklemi (1) Kutuplaşma vektörü ile ilişkili hacimsel ve yüzeysel yük yoğunluğuifadeleri: olmak üzere yalıtkan malzemedemaxwell denklemi: olarak elde edilir.

39 Yalıtkan Malzemede Maxwell Denklemi (2) Deplasman vektörü olarak tanımlanırsa Maxwell denklemi: halini alır. Burada serbest yük yoğunluğudur. Kutuplaşma vektörü ifadesinden faydalanılırsa: deplasman (elektrik akısı) vektörü elde edilir. ( ) Bu tanımlama ile Gauss kanunu son halini alır:

40 Sınır Koşulları (1) Maxwell denklemleri sürekli ortamlar için geçerlidir. Buna karşın gerçek dünyada malzeme parametrelerinde süreksizlik söz konusudur. Sınır koşulları elektrik ve manyetik alan bileşenlerinin iki ortam arasında bir ara yüzeyden geçerken nasıl değiştiğini belirler. Sürekli ortamda dielektrik sabiti Dielektrik sabitinde süreksizlik Maxwell denklemine göre kapalı bir çizgi boyunca elektrik alanın integralisıfırdır.

41 Sınır Koşulları (2) İntegral çizgisi aşağıdaki şekilde kırmızı kesikli çizgilerle gösterildiği gibi ABCDA kapalı yolu olarak seçilirse bu kapalı yolun integrali AB, BC, CD, DA yolları integrallerinin toplamıdır.

42 Sınır Koşulları (3) varsayımı ile AB ve CD üzerinde integral BC ve DA dan çok daha küçüktür. Bu sonuca göre elektrik alanın normal bileşenleri yalıtkan ara yüzü üzerinde süreklidir. Burada vektörü vektörüne dik olacağından sınırkoşulları ifadesi olarak yazılabilir. Aynı şekilde elektrik akısı için sınır koşulları ifadesi olarak yazılır. Burada serbest yük yoğunluğunu gösterir.