YAPI SĐSTELERĐNĐN DOĞRUSAL OLAYAN ANALĐZĐ ĐÇERĐK Doğrusal olmayan teoriye giriş, yapıların doğrusal olmama nedenleri, yapı sistemlerinin artan dış yükler altındaki doğrusal olmayan davranışı. Doğrusal olmayan sistemlerin sayısal çözüm yöntemleri, ardışık yaklaşım teknikleri, yük artımı yöntemleri, göçme yükü ve burkulma yükünün bulunması, yerdeğiştirme kontrollü sistem analizi. Geometri değişimleri bakımından doğrusal olmayan sistemler, ikinci mertebe teorisi, genel yöntem, stabilite ve burkulma, ikinci mertebe etkilerinin fiktif kuvvetlerle ifadesi, Yerdeğiştirme Yöntemi ile ikinci mertebe teorisine göre hesap, birim yerdeğiştirme ve yükleme sabitlerinin hesabı için kesin ve yaklaşık bağıntılar, burkulma yüklerinin bulunması, burkulma boylarının hesabı, atris Yerdeğiştirme Yöntemi ile hesap, düzlem ve uzay çubuk sistemler. Doğrusal olmayan malzemeden yapılmış kesitlerde iç kuvvet-şekildeğiştirme bağıntılarının ve akma (kırılma) koşullarının gözden geçirilmesi, elastoplastik malzemeden yapılmış kesitler, betonarme kesitler, betonarme kesitlerin davranışının idealleştirilmesi, yaklaşık iç kuvvet-şekildeğiştirme bağıntıları, uzay çubuk elemanlarda iç kuvvet-şekildeğiştirme bağıntıları ve akma (kırılma) koşulları. alzeme bakımından doğrusal olmayan sistemlerin hesabı, doğrusal olmayan şekildeğiştirmelerin sistem üzerinde yayılı olması hali, doğrusallaştırma teknikleri, yerdeğiştirme yöntemleri ile hesap. Plastik mafsal hipotezi, plastik mafsal teorisine göre hesap, yük artımı yöntemi ile limit yükün bulunması, limit yükün doğrudan doğruya hesabı. alzeme ve geometri değişimleri bakımından doğrusal olmayan sistemlerin hesabı, doğrusal olmayan şekildeğiştirmelerin sistem üzerinde yayılı olması hali, doğrusal olmayan şekildeğiştirmelerin plastik kesitlerde toplanması hali, ikinci mertebe limit yükün bulunması, ikinci mertebe limit yükün doğrudan doğruya hesabı. Doğrusal olmayan statik analiz (Pushover analysis) ve ikinci mertebe limit yükün hesabı için bir artımsal hesap yöntemi ve bilgisayar programları. Doğrusal olmayan analiz yöntemlerinin pratik uygulamaları, performansa dayalı değerlendirme (performance based evaluation), çeşitli yaklaşımların (kapasite spektrum yöntemi, yerdeğiştirme katsayıları yöntemi) gözden geçirilmesi, şekildeğiştirme ve yerdeğiştirmeye bağlı performans değerlendirmesinde son gelişmeler. 007 Türk Deprem Yönetmeliğinin (Deprem Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelik) temel ilkeleri, 998 Türk Deprem Yönetmeliği ile karşılaştırma, doğrusal elastik yöntem ve doğrusal elastik olmayan yöntem ile mevcut yapıların deprem performans ve güvenliklerinin belirlenmesi. Yapı sistemlerinin performansa dayalı tasarımı (performance based design). Zaman tanım alanında doğrusal olmayan analize (nonlinear time-history analysis) giriş. Prof.Dr. Erkan Özer / 05.0.009
BAŞARI DEĞERLENDĐRE ESASLARI Yarıyıl Sonu Sınavına girme koşulu : Derslerin en az % 80 ine devam etmek, ödev (ve seminer) çalışmalarında en az % 50 oranında başarı göstermek. Yarıyıl Sonu başarı notu : Yarıyıl içi sınavı : % 5 Ödevler (ve seminer) : % 5 Yarıyıl Sonu Sınavı : % 50 Prof.Dr. Erkan Özer / 05.0.009
YAPI SĐSTELERĐNĐN DOĞRUSAL OLAYAN ANALĐZĐ KAYNAK LĐSTESĐ [] cguire, W., Gallagher, R.H., and Ziemian, R.D., atrix Structural Analysis, nd Edition, John Wiley, 000. [] Cook, R.D., alkus, D.S., and Plesha,.E., Concepts and Applications of Finite Element ethods, 3 rd Edition, John Wiley, 989. [3] Livesley, R.K., atrix ethods of Structural Analysis, nd Edition, Pergamon, 975. [4] Zienkiewicz, O.C., and Taylor, R.L., The Finite Element ethod, Vol., 4 th Edition, cgraw Hill, 99. [5] Çakıroğlu, A., Hiperstatik Sistemlerin Hesap etotları, ĐTÜ Đnşaat Fakültesi atbaası, 99. [6] Çakıroğlu, A., Özden, E., Özmen, G., Yapı Sistemlerinin Hesabı Đçin atris etotları ve Elektronik Hesap akinası Programları, Cilt,, ĐTÜ Đnşaat Fakültesi atbaası, 99. [7] Çakıroğlu, A., Özer, E., alzeme ve Geometri Bakımından Lineer Olmayan Sistemler, Cilt, atbaa Teknisyenleri Basımevi, 980. [8] Çakıroğlu, A., Özer, E., Girgin, K., Yield Conditions and Yield Vector for Combined Biaxial Bending of Rectangular Reinforced Concrete Sections, Uğur Ersoy Symposium in Structural Engineering, -35, Ankara, - July 999. [9] Özer, G., alzeme Bakımından Lineer Olmayan Sistemlerin Hesabı Đçin Bir Ardışık Yaklaşım Yöntemi ve Bilgisayar Programı, Y. Lisans Tezi, ĐTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, 003. [0] Özer, E., Determination of Second-Order Limit Load by a ethod of Load Incremennts, Bulletin of the Technical University of Istanbul, Vol. 40, No. 4, 85-836, 987. [] Đrtem, E., Uzay Çubuk Sistemlerde Đkinci ertebe Limit Yükün Hesabı Đçin Bir Yük Artımı Yöntemi, Doktora Tezi, ĐTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, 99. [] Girgin, K., Betonarme Yapı Sistemlerinde Đkinci ertebe Limit Yükün ve Göçme Güvenliğinin Belirlenmesi Đçin Bir Yük Artımı Yöntemi, Doktora Tezi, ĐTÜ Fen Bilimleri Enstitüsü, 996. [3] Özer, E., Pala, S., Orakdöğen, E., Girgin, K., Deprem Bölgelerindeki evcut Betonarme Yapıların Deprem Güvenliklerinin Belirlenmesi ve Rehabilitasyonu, Türkiye Deprem Vakfı Teknik Rapor TDV/TR 08-45, 999. [4] Applied Technology Council, Seismic Evaluation and Retrofit of Concrete Buildings ATC 40, Vol.,, 996. Prof. Dr. Erkan Özer / 05.0.009
[5] Federal Emergency anagement Agency, NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings FEA 73, 997. [6] Federal Emergency anagement Agency, NEHRP Commentary on the Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings FEA 74, 997. [7] Federal Emergency anagement Agency, Prestandard and Commentary for the Seismic Rehabilitation of Buildings FEA 356, 000. [8] Çakıroğlu, A., Çubuk Sistemlerin Burkulma Hesabı, Teknik Kitaplar, Đstanbul, 98. [9] American Society of Civil Engineers, Plastic Design in Steel, A Guide and Commentary, ASCE anual No. 4, New York, 97. [0] Bozorgnia, Y., and Bertero, V.V. Editors., Earthquake Engineering from Engineering Seismology to Performance-Based Engineering, CRC Press, 004. [] Federal Emergency anagement Agency, Improvement of Nonlinear Static Seismic Analysis Procedures FEA 440, 004. [] Hodge, P.G., Plastic Analysis of Structures, cgraw-hill, New York, 959. [3] Neal, B.G., The Plastic ethods of Structural Analysis, Chapman & Hall, London, 956. [4] Timoshenko, S., and Gere, J.., Theory of Elastic Stability, cgraw-hill, New York, 963. [5] European Committee for Standardization, Design of Structures for Earthquake Resistance - Assessment and Retrofitting of Buildings, Eurocode 8-3, 004. [6] Bayındırlık ve Đskan Bakanlığı, Deprem Bölgelerinde Yapılacak Binalar Hakkında Yönetmelik, Ankara, 007. [7] American Society of Civil Engineers, Seismic Rehabilitation of Existing Buildings, ASCE/SEI 4-06, 007. [8] Los Angeles Tall Buildings Structural Design Council, An Alternative Procedure for Seismic Analysis and Design of Tall Buildings Located in the Los Angeles Region, 008. [9] Đstanbul Büyükşehir Belediyesi Đmar üdürlüğü, Đstanbul Yüksek Binalar Deprem Yönetmeliği, Versiyon IV, Đstanbul, ayıs 008. Prof. Dr. Erkan Özer / 05.0.009
BÖLÜ DOĞRUSAL OLAYAN HESABA GĐRĐŞ Bazı özel durumların dışında, yapı sistemleri işletme yükleri altında genellikle doğrusal davranış gösterirler. Bu genellemenin dışında kalan sistemler arasında narin yapılar, elastik zemine oturan sistemler ile bölgesel zayıflıklar ve stabilite yetersizlikleri içeren yapılar sayılabilir. Doğrusal sistem davranışını esas alan analiz yöntemlerinde, malzemenin gerilmeşekildeğiştirme bağıntıları doğrusal-elastik olarak alınmakta ve yerdeğiştirmelerin çok küçük olduğu varsayılmaktadır. Buna karşılık, dış etkiler işletme yükü sınırını aşarak yapının taşıma gücüne yaklaştıkça, gerilmeler doğrusal-elastik sınırı aşmakta ve yerdeğiştirmeler çok küçük kabul edilemeyecek değerler almaktadır. Günümüzde yapı mühendisliğinde genellikle uygulanmakta olan ve doğrusal teoriye göre sistem analizine dayanan tasarım yaklaşımlarda (güvenlik gerilmeleri esasına göre tasarım ve taşıma gücü yöntemine göre tasarım), yapı sisteminin doğrusal olmayan davranışı çeşitli şekillerde gözönüne alınmaya çalışılmaktadır. Örneğin, ikinci mertebe etkilerini hesaba katmak ve burkulmaya karşı güvenlik sağlamak amacıyla, moment büyütme yönteminden ve burkulma katsayılarından yararlanılmakta, doğrusal olmayan şekildeğiştirmeler nedeniyle iç kuvvet dağılımının değişmesi yeniden dağılım ilkesi yardımı ile gözönüne alınmaya çalışılmaktadır. Diğer taraftan, deprem etkilerine göre hesapta malzemenin doğrusal-elastik sınır ötesindeki davranışını ve sünekliğini hesaba katmak üzere, taşıyıcı sistem davranış katsayısı tanımlanmakta ve elastik deprem yükleri bu katsayıya bağlı olan bir deprem yükü azaltma katsayısı ile bölünerek küçültülmektedir. Yapı malzemelerinin doğrusal-elastik sınır ötesindeki taşıma kapasitesini gözönüne almak, çok küçük olmayan yerdeğiştirmelerin denge denklemlerine ve gerekli olduğu hallerde geometrik uygunluk koşullarına etkilerini hesaba katmak suretiyle, yapı sistemlerinin dış etkiler altındaki davranışlarının daha yakından izlenebilmesi ve bunun sonucunda daha gerçekçi ve ekonomik çözümler elde edilmesi mümkün olabilmektedir. Doğrusal olmayan sistem davranışını esas alan hesap yöntemlerinin geliştirilmesinde ve uygulanmasında genel olarak iki durum ile karşılaşılmaktadır. Bunlardan birincisi, yapı sisteminin doğrusal olmamasına neden olan etkenlerin belirlenerek sistem davranışını gerçeğe yakın bir biçimde temsil eden hesap modelinin oluşturulması, diğeri ise bu hesap modelinin analizi sonucunda elde edilen doğrusal olmayan denklem sisteminin etkin bir şekilde çözülmesidir.. Çözümün Sağlaması Gereken Koşullar Bir yapı sisteminin dış etkiler altında hesabı (analizi) ile elde edilen iç kuvvet, şekildeğiştirme ve yerdeğiştirmelerin çözüm olabilmeleri için aşağıdaki üç koşulu birarada sağlamaları gerekmektedir. - Bünye denklemleri : alzemenin cinsine ve özelliklerine bağlı olan gerilmeşekildeğiştirme bağıntılarına bünye denklemleri denilmektedir. Prof.Dr. Erkan Özer / 05.0.009
- Denge koşulları : Sistemi oluşturan elemanların ve bu elemanların birleştiği düğüm noktalarının denge denklemlerinden oluşmaktadır. 3- Geometrik uygunluk (süreklilik) koşulları : Elemanların ve düğüm noktalarının süreklilik denklemleri ile mesnetlerdeki geometrik koşullardır.. Yapı Sistemlerinin Doğrusal Olmama Nedenleri Bir yapı sisteminin dış etkiler altındaki davranışının doğrusal olmaması genel olarak iki nedenden kaynaklanmaktadır. - alzemenin doğrusal-elastik olmaması nedeniyle gerilme-şekildeğiştirme bağıntılarının (bünye denklemlerinin) doğrusal olmaması. - Geometri değişimleri nedeniyle denge denklemlerinin (ve bazı hallerde geometrik süreklilik denklemlerinin) doğrusal olmaması. Yapı sistemlerinin doğrusal olmamasına neden olan etkenler ve bu etkenleri gözönüne alan teoriler Şekil. deki tablo üzerinde topluca özetlenmiştir. Denge denklemlerinde yerdeğiştirmelerin küçük olmadığı sistemlerde denge denklemleri şekildeğiştirmiş eksen üzerinde yazılmaktadır. Geometrik uygunluk koşullarında yerdeğiştirmelerin küçük olmadığı sistemlerde ise, geometrik süreklilik denklemlerinin de şekildeğiştirmiş eksen üzerinde yazılması gerekmektedir. Çözümün Sağlaması Gereken Koşullar Bünye Denklemleri (Gerilme- Şekildeğiştirme Bağıntıları) Denge Denklemlerinde Yerdeğiştirmeler Geometrik Uygunluk Koşullarında Yerdeğiştirmeler Doğrusal Sistemler küçük alzeme Bakımından Doğrusalelastik Doğrusalelastik Değil küçük Doğrusal Olmayan Sistemler Geometri Değişimleri Bakımından Đkinci ertebe Teorisi küçük Değil küçük küçük küçük Sonlu Deplasman Teorisi küçük Değil küçük Değil Her Đki Bakımdan Đkinci ertebe Teorisi Doğrusalelastik Doğrusalelastik Doğrusalelastik Değil küçük Değil küçük Sonlu Deplasman Teorisi Doğrusalelastik Değil küçük Değil küçük Değil Şekil. Yapı sistemlerinin doğrusal olmama nedenleri Bir ucunun diğer ucuna göre bağıl yerdeğiştirmeleri u ve v olan bir ij çubuğunun s boydeğişmesi ( s u) v ( s s) + + = + (.) u u v s s + + (.) s s s Prof.Dr. Erkan Özer / 05.0.009
şeklinde ifade edilebilir, Şekil.. (.) ifadesinde sadece birinci terimin esas alınması geometrik uygunluk koşullarında yerdeğiştirmelerin küçük olduğu varsayımını ifade etmektedir. Buna karşılık, diğer terimlerin de hesaba katılması geometri değişimlerinin geometrik uygunluk koşullarına etkisi gözönüne alındığını sonlu deplasman teorisine karşı gelmektedir. i s j u s v s j' Şekil. (ij) Çubuk elemanının bağıl yerdeğiştirmeleri Bazı yapı sistemlerinde, sistemin özelliklerinden kaynaklanan nedenlerle, geometrik uygunluk koşulları sağlanmayabilir. Bu durumda, sistemde geometrik süreksizlikler meydana gelir. Özellikle sistemi oluşturan elemanların sınır koşullarındaki bu süreksizlikler nedeniyle, sistemin davranışı doğrusal olmaz. Bu tür sistemlere, geometrik süreksizlikler bakımından doğrusal olmayan sistemler denir ve bu sistemler malzeme bakımından doğrusal olmayan sistemler gibi incelenebilirler. Kayıcı bulonlu düğüm noktaları içeren çelik yapı sistemleri, geometrik süreksizlikler bakımından doğrusal olmayan sistemlere bir örnek oluşturmaktadır..3 Yapı Sistemlerinin Dış Yükler Altındaki Doğrusal Olmayan Davranışı Düşey ve yatay yükler etkisindeki bir yapı sisteminin doğrusal ve doğrusal olmayan teorilere göre hesabı ile elde edilen yük parametresi-yerdeğiştirme (P- ) bağıntıları Şekil.3 te şematik olarak gösterilmişlerdir. alzemenin sınırsız olarak doğrusal-elastik varsayıldığı bir yapı sisteminin, artan dış yükler altında, birinci mertebe teorisine göre elde edilen davranışı şekildeki (I) doğrusu ile temsil edilmektedir. Geometri değişimlerinin denge denklemlerine etkisinin, diğer bir deyişle, eksenel kuvvetlerden oluşan ikinci mertebe etkilerinin hesaba katıldığı ikinci mertebe teorisinde ise, eksenel kuvvetin basınç veya çekme olmasına göre farklı sistem davranışları ile karşılaşılabilmektedir. Örneğin eksenel kuvvetin basınç olması halinde, (II) eğrisinden görüldüğü gibi, artan dış yüklere daha hızla artan yerdeğiştirmeler karşı gelmektedir. Dış yüklerin şiddetini ifade eden yük parametresi artarak doğrusal-elastik burkulma yükü adı verilen bir P B değerine eşit olunca, yerdeğiştirmeler artarak sonsuza erişir ve sistem burkularak göçer. Bazı özel durumlarda, burkulmadan sonra, artan yerdeğiştirmelere azalan yük parametresi karşı gelebilir. Örneğin asma sistemler gibi eksenel kuvvetin çekme olduğu durumlarda ise, şekilde (IIa) ile gösterilen P- diyagramı pekleşen özellik gösterir. Yanal yük etkisinde olmayan ve bu nedenle burkulmadan önce şekildeğiştirmeyen sistemlerde, yük parametresinin bir P cr değerinde dallanma burkulması oluşur ve şekildeki (IIb) diyagramından görüldüğü gibi, yerdeğiştirmeler birden artarak sonsuza erişir. Dallanma burkulmasına neden olan yüke kritik yük denilmektedir. Kritik yük genellikle burkulma yükünden biraz büyük veya ona eşittir. Dallanma burkulması, bazı hallerde burkulmadan önce şekildeğiştiren sistemlerde de oluşabilir, (II eğrisi). Prof.Dr. Erkan Özer 3/ 05.0.009
ikinci mertebe, lineer-elastik (P: çekme) (IIa) P cr P B P (IIb) dallanma burkulması birinci mertebe, lineer-elastik (I) kritik yük burkulma yükü dallanma burkulması ikinci mertebe, lineer-elastik (P: basınç) (II) P L birinci mertebe limit yük birinci mertebe, elastoplastik (III) P L ikinci mertebe limit yük ikinci mertebe, elastoplastik (IV) kırılma, büyük yerdeğiştirme, büyük plastik şekildeğiştirme ile göçme α? P P α? P P P P Şekil.3 Çeşitli teorilere göre elde edilen yük parametresi yerdeğiştirme bağıntıları Doğrusal olmayan malzemeden yapılmış sistemlerde, artan dış yüklerle birlikte iç kuvvetler de artarak bazı kesitlerde doğrusal-elastik sınırı aşmakta ve bu kesitler dolayında doğrusal olmayan (plastik) şekildeğiştirmeler meydana gelmektedir. Doğrusal olmayan şekildeğiştirmeler genel olarak sistem üzerinde sürekli olarak yayılmaktadır. Buna karşılık, kopma sırasındaki toplam şekildeğiştirmelerin doğrusal şekildeğiştirmelere oranının büyük olduğu sünek malzemeden yapılmış sistemlerde, doğrusal olmayan şekildeğiştirmelerin plastik mafsal (veya genel anlamda plastik kesit) adı verilen belirli kesitlerde toplandığı, bunun dışındaki bölgelerde ise sistemin doğrusal-elastik davrandığı varsayılabilir. Bu varsayım plastik mafsal hipotezi olarak isimlendirilmektedir. Plastik mafsal hipotezinin esas alındığı bir yapı sisteminin birinci mertebe teorisine göre hesabında (III eğrisi), oluşan plastik mafsallar nedeniyle sistemin tümünün veya bir bölümünün mekanizma durumuna gelmesi taşıma gücünün sona erdiğini ifade eder. Bu yük birinci mertebe limit yük adını alır. Doğrusallığı bozan her iki etkinin birlikte gözönüne alınması halinde, yani yapı sisteminin ikinci mertebe elastoplastik teoriye göre hesabı ile elde edilen P- diyagramı şekilde (IV) eğrisi ile gösterilmiştir. Bu diyagram ilk kritik kesitte doğrusal-elastik sınırın aşılmasına kadar (II) eğrisini izlemekte, daha sonra oluşan plastik şekildeğiştirmeler nedeniyle yerdeğiştirmeler daha hızlı olarak artmaktadır. Plastik mafsal hipotezinin esas alındığı yapı sistemlerinde, dış yükler artarak bir P L sınır değerine eşit olunca, meydana gelen plastik mafsallar nedeniyle rijitliği azalan sistemin burkulma yükü dış yük parametresinin altına düşer, diğer bir deyişle, P- diyagramında artan yerdeğiştirmelere azalan yükler karşı gelir. Sistemin stabilite yetersizliği nedeniyle taşıma gücünü yitirmesine sebep olan bu yük parametresine ikinci mertebe limit yük denilmektedir. Prof.Dr. Erkan Özer 4/ 05.0.009
Bazı hallerde, dış yükler limit yüke erişmeden önce, meydana gelen büyük yerdeğiştirmeler, büyük plastik şekildeğiştirmeler ile betonarme sistemlerde oluşan çatlaklar ve kırılma yapının kullanılamaz hale gelmesine (göçmesine) neden olabilmektedir..4 Örnekler alzeme ve/veya geometri değişimleri bakımından doğrusal olmayan sistemlerin dış yükler altındaki davranışlarını incelemek, bu sistemlerin hesabında esas alınacak genel kavramları ve uygulanacak yöntemleri basit modeller üzerinde gözden geçirmek üzere, aşağıda bazı örnekler verilmiştir. Örnek. Şekil.4 te geometrisi, sınır koşulları, yükleri ve k yatay yay katsayısı verilen sonsuz rijit çubuğun a) α = 0 (H = 0), P : basınç b) α 0, P : basınç c) α 0, P : çekme halleri için ikinci mertebe teorisine göre hesabı yapılacaktır. P P P P k=sabit H=αP H=αP H=αP H=?P H=?P H=?P sonsuz Sonsuz rijit rijit (EI=? (EI= ) ) L A A A (a) : Şekil.4 Đkinci mertebe teorisine göre hesap α = 0 (H= 0), P : basınç için çözüm A denge denklemi: = 0 P k L= 0 (.3) ( kl) = 0 (.4) bağıntısında, P< Kl için = 0 P = P cr = kl için P (.4) olmaktadır. Burada, P cr yüküne kritik yük, bu yük altında yerdeğiştirmelerin artarak sonsuz değer alabildiği kararsız denge konumuna da dallanma burkulması adı verilir. Prof.Dr. Erkan Özer 5/ 05.0.009
(b) : α 0 (H 0), P : basınç için çözüm A denge denklemi: = 0 P + α PL k L= 0 (.5) (.5) denklemi diğer bir şekilde, boyutsuz olarak düzenlenirse L = P α kl P kl (.6) şeklini alır. (.6) bağıntısında P = P B = kl için L ( ) olmaktadır. Artan yatay yüklerle beraber yatay yerdeğiştirmesinin de artarak sonsuza gittiği bu durum burkulma, burkulmaya neden olan P B yükü ise burkulma yükü olarak tanımlanır. (c) : α 0 (H 0), P : çekme için çözüm A denge denklemi: = 0 P + α PL k L= 0 (.7) (.7) denklemi, (.6) bağıntısına benzer olarak boyutsuz formda yazılırsa L = P α kl P + kl (.8) şeklini alır. Bu bağıntıda P kl (P ) için = α L olmakta, diğer bir deyişle P yükünün sonsuza erişmesi halinde dahi yatay yerdeğiştirmesi belirli bir sınır değeri aşmamaktadır. Bu durum çekme kuvvetinden kaynaklanan pekleşme etkisini ifade etmektedir. (.4) (.6) ve (.8) denklemlerinin tanımladığı boyutsuz yük parametresi - yerdeğiştirme (P/kL - /L) diyagramları Şekil.5 üzerinde birarada gösterilmişlerdir. Prof.Dr. Erkan Özer 6/ 05.0.009
P kl ikinci mertebe, lineer-elastik (.8) (P: çekme) birinci mertebe, lineer-elastik P cr, kl PB kl = dallanma burkulması (.4) ikinci mertebe, lineer-elastik (.6) (P: basinç) /? /α? α L Şekil.5 Đkinci mertebe teorisine ait yük parametresi yerdeğiştirme bağıntıları Örnek. Örnek. deki sistemin a) α = 0 (H = 0) b) α 0, (H 0) halleri için sonlu deplasman teorisine göre hesabı yapılacaktır, Şekil.6. P k=sabit H=αP H=?P P P H=αP H=?P sonsuz Sonsuz rijit rijit (EI=? (EI= ) ) L Lcos Lcos L L A A =Lsin =Lsin Şekil.6 Sonlu deplasman teorisine göre hesap (a) : α = 0 (H= 0) için çözüm A denge denklemi: = 0 P k L cos θ = 0 (.9) ( kl cos θ) = 0 P (.0) Prof.Dr. Erkan Özer 7/ 05.0.009
(.0) bağıntısında, = 0 (cos θ = ) için P = P cr = kl > 0 (cos θ < ) için P = klcos θ < P cr olmaktadır. Burada, P cr yüküne kritik yük, bu yüke karşı gelen kararsız denge konumuna dallanma burkulması adı verilir. (b) : α 0 (H 0) için çözüm A denge denklemi: = 0 P + αpl cos θ k L cosθ = 0 (.) = Lsinθ olduğu gözönünde tutularak, (.) denkleminde gerekli düzenlemeler yapılırsa, yük parametresi yerdeğiştirme bağıntısı için boyutsuz formda P kl cosθ = (.) + α cot gθ fonksiyonu elde edilir. Bu fonksiyonun ekstremum noktasının absisi olarak hesaplanır. Sayısal Uygulama : α = 0.0 için P d kl = 0 dθ için 3 θ = arctan α (.3) 3 0 θ = arctan 0.0 = 4.90, sin θ = 0.4, cos θ = 0.907, cotg θ =.54 P kl maks = 0.746 (.0) denkleminden ve α = 0.0 için (.) bağıntısından yararlanarak çizilen yük parametresi yerdeğiştirme diyagramları Şekil.7 de gösterilmişlerdir. P kl dallanma burkulmasi (.0) α=0.0 a=0.0 sonlu deplasman lineer-elastik (.) L =sin Şekil.7 Sonlu deplasman teorisine ait yük parametresi yerdeğiştirme bağıntıları Prof.Dr. Erkan Özer 8/ 05.0.009
Örnek.3 a) Birinci mertebe elastoplastik teori Şekil.8 de geometrisi, sınır koşulları, yükü ve k yatay yay katsayısının değişimi verilen sonsuz rijit çubuğun birinci mertebe elastoplastik teoriye göre hesabı yapılacaktır. H H F k Sonsuz rijit sonsuz (EI= ) rijit (EI=? ) L Şekil.8 Birinci mertebe elastoplastik teoriye göre hesap yatay denge denklemi: X = 0 H F = 0 (.4) i) s için F = k H = k boyutsuz formda ifade edilirse: ii) > s için F = k s H = k s boyutsuz formda ifade edilirse: H kl H kl = (.5) L s = (.6) L (.5) ve (.6) bağıntıları ile ifade edilen boyutsuz yük parametresi yerdeğiştirme diyagramı Şekil.9 da verilmiştir. H kl L L L Şekil.9 Birinci mertebe elastoplastik teori için yük parametresi yerdeğiştirme diyagramı Prof.Dr. Erkan Özer 9/ 05.0.009
b) Đkinci mertebe elastoplastik teori Şekil.0 da geometrisi, sınır koşulları ve k yatay yay katsayısının değişimi verilen sonsuz rijit çubuğun, düşey ve yatay yükler altında ikinci mertebe teorisine göre elastoplastik hesabı yapılacaktır. P P H=αP H=?P H=αP H=?P F k Sonsuz rijit sonsuz (EI= ) rijit (EI=? ) L Şekil.0 Đkinci mertebe elastoplastik teoriye göre hesap A denge denklemi: = 0 P + α PL FL= 0 (.7) i) s için F = k ( + L) = k L boyutsuz formda düzenlenirse: ii) > s için F = k s P α (.8) ( + L) = k L boyutsuz formda düzenlenirse: = L P α kl P kl (.9) P α (.0) s s = L L P α kl P kl (.) bağıntıları elde edilir. (.9) ve (.) bağıntıları ile ifade edilen yük parametresi yerdeğiştirme diyagramı birinci mertebe elastoplastik teoriye ait diyagram ile birlikte Şekil. üzerinde gösterilmiştir. Prof.Dr. Erkan Özer 0/ 05.0.009
P kl α L birinci mertebe, elastoplastik /α ikinci mertebe, elastoplastik L L Şekil. Birinci ve ikinci mertebe elastoplastik teorilere ait yük parametresi - yerdeğiştirme diyagramları Prof.Dr. Erkan Özer / 05.0.009
007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ BÖLÜ 7 EVCUT BĐNALARIN DEĞERLENDĐRĐLESĐ VE GÜÇLENDĐRĐLESĐ Prof. Dr. Erkan Özer Đstanbul Teknik Üniversitesi A. evcut Binaların Deprem Güvenliklerinin Belirlenmesinde Esas Alınan Temel Đlkeler 998 Türk Deprem Yönetmeliği, diğer benzeri deprem yönetmelikleri gibi, yeni inşa edilecek binaların depreme dayanıklı olarak tasarımına ilişkin kuralları içermektedir. Buna göre, bina taşıyıcı sistemi, tasarımda kullanılması öngörülen taşıyıcı sistem davranış katsayısı (R) için gerekli olan sünekliğe (plastik şekildeğiştirme kapasitesine) sahip olacak ve plastik şekildeğiştirmesi sırasında gevrek göçme oluşmayacak şekilde, yönetmelikteki kurallar doğrultusunda boyutlandırılır. YAPI SĐSTELERĐNĐN LĐNEER OLAYAN ANALĐZĐ. HAFTA Prof. Dr. Erkan Özer /6 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 B. Binalardan Bilgi Toplanması Bilgi Düzeyleri Buna karşılık, mevcut bir binanın taşıyıcı sistemi kendine özel koşulları içermektedir ve bu koşullar çerçevesinde değerlendirilmesi gerekir. 007 Türk Deprem Yönetmeliğinin 7. Bölümü bu gerekçe ile hazırlanmıştır ve mevcut bina taşıyıcı sistemlerinin deprem performans ve güvenliklerinin, kendi özellikleri esas alınarak değerlendirilmesi amacıyla oluşturulan kuralları içermektedir. evcut binaların taşıyıcı sistem özelliklerine ve malzeme karakteristiklerine ilişkin bilgiler proje ve tasarım raporlarından binada yapılacak gözlem ve ölçümlerden binadan alınacak malzeme örnekleri üzerinde yapılacak deneylerden elde edilir. Binalardan elde edilen bilgiler için üç bilgi düzeyi ve bunlara ait bilgi düzeyi katsayıları tanımlanmıştır. a) sınırlı bilgi düzeyi (bdk=0.75) b) orta bilgi düzeyi (bdk=0.90) c) kapsamlı bilgi düzeyi (bdk=.00) Prof. Dr. Erkan Özer /6 Prof. Dr. Erkan Özer 3/6
C. Deprem hareketleri 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 evcut binaların deprem performans ve güvenliklerinin değerlendirilmesinde gözönüne alınmak üzere, farklı düzeyde deprem hareketleri tanımlanmıştır. Bu deprem hareketlerinin aşılma olasılıkları ve dönüş periyotları: Servis depremi (50 yılda % 50 7 yıl) etkisi tasarım depreminin yarısı kadardır inimum Hasar Sınırı (N) kesitte elastik ötesi davranışın başlangıcını tanımlar. Güvenlik Sınırı (GV) kesitin dayanımının güvenli olarak sağlanabileceği elastik ötesi davranışın üst sınırını tanımlar. Göçme Sınırı (GÇ) 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 D. Kesit Hasar Sınırları ve Hasar Bölgeleri Đç kuvvet inimum Hasar Sınırı (N) kesitin göçme öncesi davranışının sınırını tanımlar. Güvenlik Sınırı (GV) Göçme Sınırı (GÇ) Tasarım depremi (50 yılda % 0 475 yıl) En büyük deprem (50 yılda % 475 yıl) etkisi tasarım depreminin.50 katıdır Prof. Dr. Erkan Özer 4/6 inimum Hasar Bölgesi Belirgin Hasar Bölgesi Đleri Hasar Bölgesi Göçme Bölgesi Şekildeğiştirme Prof. Dr. Erkan Özer 5/6 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 E. evcut Binaların Deprem Performanslarının Değerlendirilmesinde Uygulanan Yöntemler (Özet) Dayanım bazlı doğrusal yöntemler : Bu yöntemlerin amacı, verilen bir deprem etkisi altında, deprem yükü azaltma katsayısının R a = değeri için hesaplanan etkiler ile yapı elemanlarının artık kapasiteleri arasındaki etki / kapasite (r) oranlarının hesaplanması ve bu değerlerin ilgili sınır değerler ile karşılaştırılması suretiyle yapı elemanlarının kesit hasar bölgelerinin belirlenmesi ve bunlardan yararlanarak bina düzeyinde performans değerlendirmesinin yapılmasıdır. Şekildeğiştirme bazlı doğrusal olmayan yöntemler : Bu yöntemlerin amacı, verilen bir deprem için, sünek davranışa ilişkin plastik şekildeğiştirme istemleri ile gevrek davranışa ilişkin iç kuvvet istemlerinin hesaplanması ve bu istem büyüklüklerinin kesitlerin şekildeğiştirme ve iç kuvvet kapasiteleri ile karşılaştırılması suretiyle, kesit ve bina düzeyinde yapısal performans değerlendirmesinin yapılmasıdır. Prof. Dr. Erkan Özer 6/6 Prof. Dr. Erkan Özer 7/6
007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 F. Bina Deprem Performansının Belirlenmesi ve Güçlendirme Kararları Performans seviyeleri, verilen bir yapı için, verilen bir deprem etkisi altında öngörülen hasar miktarının sınır durumlarıdır. Bu sınır durumlar, binadaki taşıyıcı ve taşıyıcı olmayan elemanlarda meydana gelebilecek hasarın miktarına, bu hasarın can güvenliği bakımından bir tehlike oluşturup oluşturmamasına, deprem sonrasında binanın kullanılıp kullanılmamasına ve hasarın neden olduğu ekonomik kayıplara bağlı olarak belirlenir. Prof. Dr. Erkan Özer 8/6 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 Bir yapı sistemini oluşturan yapı elemanlarının hasar durumlarına bağlı olarak, üç farklı bina deprem performans düzeyi tanımlanmıştır : Hemen kullanım performans düzeyi (HK) Can güvenliği Performans düzeyi (CG) Göçmenin önlenmesi performans düzeyi (GÖ) Deprem Yükü Hemen Kullanım (HK) Can Güvenliği (CG) Göçmenin Önlenmesi (GÖ) Yerdeğiştirme Prof. Dr. Erkan Özer 9/6 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 G. Çok Seviyeli Performans Hedefi Belirli bir deprem hareketi altında, bina için öngörülen yapısal performans, performans hedefi olarak tanımlanır. Yapısal performans, bir bina taşıyıcı sistemini oluşturan elemanların performans seviyeleri (düzeyleri) ile tanımlanır. Bir yapı için, birden fazla yer hareketi altında farklı performans hedefleri öngörülebilir. Buna çok seviyeli performans hedefi denir. Binanın kullanım amacı ve türü Deprem sonrası hemen kullanımı gereken binalar Hastaneler, sağlık tesisleri, itfaiye binaları, haberleşme ve enerji tesisleri, ulaşım istasyonları, vilayet, kaymakamlık, belediye binaları, afet yönetim merkezleri, vb. Đnsanların uzun süreli ve yoğun olarak bulunduğu binalar ve müzeler Okullar, yatakhaneler, yurtlar, pansiyonlar, askeri kışlalar, cezaevleri, müzeler, vb Đnsanların kısa süreli ve yoğun olarak bulunduğu binalar Sinema, tiyatro, konser salonları, kültür merkezleri, spor tesisleri, vb. Tehlikeli adde Đçeren Binalar Toksik, parlayıcı ve patlayıcı özellikleri olan maddelerin bulunduğu ve depolandığı binalar, vb. Diğer binalar Yukarıdaki tanımlara girmeyen diğer binalar (konutlar, işyerleri, oteller, turistik tesisler, bina türü endüstri yapıları, vb.) % 50 HK Depremin 50 yılda aşılma olasılığı % 0 HK HK CG HK CG % CG CG GÖ Prof. Dr. Erkan Özer 0/6 Prof. Dr. Erkan Özer /6 3
007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 H. Güçlendirmenin Temel Đlkeleri Güçlendirme amacıyla binalara eklenecek olan elemanların tasarımı, genel olarak, yeni inşa edilecek depreme dayanıklı binaların tasarımı ile ilgili esaslara göre (Bölüm: 3 ve 4) yapılacaktır. Güçlendirilen binaların ve elemanlarının deprem performans ve güvenliklerinin belirlenmesinde ise, mevcut binalar için verilen hesap yöntemleri ve değerlendirme esasları (Bölüm: 7) kullanılacaktır. J. Güçlendirmede Đzlenecek Yol Ardışık Yaklaşım Yöntemi TASARI DEĞERLENDĐRE Prof. Dr. Erkan Özer /6 Prof. Dr. Erkan Özer 3/6 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 Dayanım bazlı doğrusal yöntemler ile güçlendirme S a 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 Şekildeğiştirme bazlı doğrusal olmayan yöntemler ile güçlendirme S a Sae Sae Sr güçlendirilmiş bina Sae r = Sr Sae r = Sr güçlendirilmiş bina plastik şekildeğiştirme istemi Sr mevcut bina plastik şekildeğiştirme istemi mevcut bina S d S d Prof. Dr. Erkan Özer 4/6 Prof. Dr. Erkan Özer 5/6 4
007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 K. Güçlendirme Türleri Taşıyıcı sistem elemanlarının, eleman bazında, tekil olarak güçlendirilmesi ve iyileştirilmesi : Binanın kolon, kiriş, perde, eleman birleşim bölgeleri ve dolgu duvarları gibi deprem yüklerini karşılayan elemanlarının ve birleşimlerinin, tekil olarak dayanım ve şekildeğiştirme kapasitelerinin (sünekliklerinin) arttırılmasına yönelik olarak uygulanan işlemlerdir. Bu güçlendirmede amaç, yapının genel dayanım ve rijitlik özelliklerinden bağımsız olarak, eleman düzeyindeki yetersizliklerin giderilmesi suretiyle binanın deprem performansının yükseltilmesidir. Yapı sisteminin tümünün güçlendirilmesi : Deprem etkileri altında yeterli bir dayanım kapasitesine sahip olmayan veya şekildeğiştirmeleri ve yerdeğiştirmeleri öngörülen performans düzeyi için verilen sınır değerleri aşan yapı sistemleri için tümsel güçlendirme önlemlerinin uygulanması gerekli olabilir. Bu amaçla, çok kere, mevcut yapı sistemine yeni elemanlar eklenir. Prof. Dr. Erkan Özer 6/6 Prof. Dr. Erkan Özer 7/6 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 L. Eleman Bazında Güçlendirme Önlemleri kolonların sarılması kolon kesitlerinin büyütülmesi kirişlerin sarılması bölme duvarlarının güçlendirilmesi... Kolonların sarılması : Kolonlarda kesme ve basınç dayanımlarının arttırılması, süneklik düzeyinin yükseltilmesi ve bindirmeli eklerin zayıflıklarının giderilmesi için sargılama yöntemlerinden yararlanılır. Sargılama ile kolonların eğilme kapasiteleri arttırılamaz. Prof. Dr. Erkan Özer 8/6 Prof. Dr. Erkan Özer 9/6 5
007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 Kolon kesitlerinin büyütülmesi : Kolonların eğilme kapasitesinin arttırılması için kolon kesitleri büyütülür. Bu işlem ile, aynı zamanda kolonların kesme ve eğilme kapasiteleri de arttırılabilir. Büyütülen kolona eklenen boyuna donatının katlar arasında sürekliliği sağlanır. büyütülmüş kolon kesiti Kolon kesitinin büyütülmesi işlemi, kolonun bağlandığı düğüm noktalarını da kapsamadığı sürece, güçlendirme sadece kolon eğilme momenti kapasitesinin artırılması ile sınırlı kalmaktadır. Sistem ve yükler diyagramı Prof. Dr. Erkan Özer 0/6 Prof. Dr. Erkan Özer /6 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7. Yapı Sisteminin Tümsel Güçlendirilmesi çerçeve düzlemi içinde betonarme perde eklenmesi çerçeve düzlemine bitişik betonarme perde eklenmesi betonarme sisteme yeni çerçeveler eklenmesi çelik taşıyıcı elemanlar ile güçlendirme... Yapı sistemine güçlendirme perdeleri eklenmesi halinde uyulması gereken temel ilkeler a) Güçlendirme perdelerinin konumları b) Güçlendirme perdelerinin sayısı ve plandaki yerleşimi c) Perde temellerinin gerçekçi ve ekonomik olarak tasarımı d) Betonarme perdelerin mevcut taşıyıcı sistem ile bütünleşmesi ve kuvvet aktarılmasının sağlanması Prof. Dr. Erkan Özer /6 Prof. Dr. Erkan Özer 3/6 6
007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 Uyulması gereken temel esaslar (devam) d) evcut çerçeve kirişlerini perdeye bağlayan düşey ankraj çubukları kullanılmalı d) Güçlendirme perdesini uç kolonlarına bağlayan yatay ankraj çubukları kullanılmalı d3) Gerekli hallerde uç kolonlarının çevresinde manto oluşturulmalı ve gerekli ek donatı bu manto betonu içine yerleştirilmeli Uyulması gereken temel esaslar (devam) e) Güçlendirme perdelerinin, temelden başlayarak perde üst kotuna kadar sürekli olmasının sağlanması ve perde uç donatılarının perde yüksekliği boyunca sürekli olması f) Perde temelinin güçlendirme perdesinden ve mevcut bina kolonlarından aktarılan düşey yükleri ve eğilme momentlerini temel zeminine güvenle aktaracak şekilde boyutlandırılması Prof. Dr. Erkan Özer 4/6 Prof. Dr. Erkan Özer 5/6 007 TÜRK DEPRE YÖNETELĐĞĐ - BÖLÜ 7 N. Diğer Güçlendirme Önlemleri Betonarme sistemin kütlesinin azaltılması evcut düzensizliklerin azaltılması veya giderilmesi Taban izolasyonu ve enerji sönümleyici aygıtlar kullanılması... Prof. Dr. Erkan Özer 6/6 7
BÖLÜ DOĞRUSAL OLAYAN SĐSTELERĐN ÇÖZÜ YÖNTELERĐ Bir problemin çözümünü veren denklem takımının katsayıları ve/veya sabitleri problemin çözümüne bağlı ise, yani problemin bilinmeyenlerini de içeriyorsa bu tür problemlere doğrusal olmayan problemler denir. Bir yapı sisteminin hesabında yerdeğiştirme bileşenlerinin bilinmeyenler olarak seçilmesi halinde, bilinmeyenleri veren denklem takımının matris formundaki genel ifadesi [S] : [d] : [p] : olmak üzere katsayılar matrisi (sistem rijitlik matrisi) bilinmeyenler matrisi (yerdeğiştirme matrisi) sabitler matrisi (yükleme matrisi) [S][d]=[p] (.) şeklinde yazılabilir. Doğrusal olmayan yapı mekaniği problemlerinde, problemin türüne ve çözümde uygulanan yönteme bağlı olarak, [S] katsayılar matrisi ve/veya bazı hallerde [p] sabitler matrisi problemin çözümünü, diğer bir deyişle, çözüme ait yerdeğiştirmeleri ve şekildeğiştirmeleri içermektedir. Örneğin, geometri değişimleri bakımından doğrusal olmayan sistemlerin hesabında denge denklemlerinin şekildeğiştirmiş eksen üzerinde yazılması gerektiğinden, genel olarak denklem takımının katsayıları, yani [S] matrisi bilinmeyen yerdeğiştirmelere bağlıdır. Diğer taraftan, geometri değişimlerinin denge denklemlerine etkisinin fiktif dış yüklerle temsil edilmesi halinde, [p] yükleme matrisinin elemanları sistemin yerdeğiştirmelerine bağlı olarak ifade edilmektedir. alzeme bakımından doğrusal olmayan sistemlerde de, bünye denklemlerinin doğrusal olmaması nedeniyle, elemanların etkin rijitliklerinin ve bu rijitlikleri içeren [S] matrisinin sistemin şekildeğiştirmelerine, diğer bir deyişle problemin bilinmeyenlere bağlı olarak ifade edilmesi gerekmektedir. Görüldüğü gibi, özellikle bilinmeyen sayısı fazla olan yapı sistemlerinin doğrusal olmayan teoriye göre hesabında, doğrusal olmayan denklem takımının yazılması ve bu denklemin kapalı çözümünün elde edilmesi uzun hesapları gerektirmekte ve çok kere olanaksız olmaktadır. Bu durumda, doğrusal olmayan yapı sistemlerinin etkin bir şekilde hesabı için, her adımda problemin doğrusallaştırılması esasına dayanan sayısal yöntemlerin geliştirilmesi ve uygulanması uygun olmaktadır.. Doğrusal Olmayan Sistemlerin Sayısal Çözüm Yöntemleri Doğrusal olmayan yapı sistemlerinin hesabı için uygulanan sayısal yöntemler genel olarak iki bölümde incelenebilirler. - Ardışık yaklaşım yöntemleri. - Yük artımı yöntemleri. Prof. Dr. Erkan Özer /7 /0/009
.. Ardışık Yaklaşım Yöntemleri Ardışık yaklaşım yöntemleri, bir önceki adımda elde edilen çözüme ait büyüklükler için, örneğin sözkonusu adımda bulunan yerdeğiştirme ve şekildeğiştirme durumu dolaylarında, sistem davranışının doğrusallaştırılması esasına dayanmaktadırlar. Bu yöntemler, doğrusallaştırmada uygulanan tekniğe bağlı olarak farklılıklar gösterirler. Doğrusallaştırma tekniklerinin başlıcaları şunlardır: a- başlangıç kirişi yöntemi b- başlangıç teğeti yöntemi c- teğet yöntemi d- kiriş yöntemi a- Başlangıç kirişi yöntemi Ardışık yaklaşımın her adımında, doğrusallaştırılan sistemin yük parametresiyerdeğiştirme (P-d) bağıntısı başlangıç noktasından geçen bir doğru olarak alınır, Şekil.. P P A m n m m 0 O d d d n =d A d Şekil. Başlangıç kirişi yöntemi Başlangıç kirişi yöntemi i) geometri değişimleri bakımından doğrusal olmayan sistemlerde, denge denklemlerinin bir önceki adımda bulunan şekildeğiştirmiş eksen üzerinde yazılması, ii) malzeme bakımından doğrusal olmayan sistemlerde ise, bir önceki adımda bulunan şekildeğiştirme durumu için, bünye denkleminin başlangıç kirişinin kullanılması (Şekil.) suretiyle uygulanır. Bu yöntemde katsayılar matrisinin her adımda yeniden hesaplanması gerekir. Buna karşılık, denklem takımının sabitleri aynı kalır. Yöntemin yakınsaklık hızı orta düzeydedir. Prof. Dr. Erkan Özer /7 /0/009
lineerleştirilmiş bünye denklemi χ i- χ Şekil. Doğrusallaştırılmış bünye denklemi (başlangıç kirişi) b- Başlangıç teğeti yöntemi Ardışık yaklaşımın her adımında, doğrusallaştırılan sistemin yük parametresiyerdeğiştirme (P-d) bağıntısı bu eğrinin başlangıç teğetine paralel olarak alınır, Şekil.3. P P A m 0 n m 0 m 0 O d ' d ' d d d n =da d Bu yaklaşım Şekil.3 Başlangıç teğeti yöntemi i) geometri değişimleri bakımından doğrusal olmayan sistemlerde, denge denklemlerinin şekildeğiştirmemiş eksen üzerinde yazılmasına, buna karşılık bir önceki adımda bulunan çözüme ait şekildeğiştirme durumu için elde edilen ikinci mertebe etkilerinin hesaba katılmasına ii) malzeme bakımından doğrusal olmayan sistemlerde ise, bir önceki adımda bulunan şekildeğiştirme durumu dolaylarında, bünye denkleminin başlangıç teğetinin kullanılmasına (Şekil.4) karşı gelmektedir. Başlangıç teğeti yönteminde katsayılar matrisinin her adımda yeniden hesaplanması gerekmez. Buna karşılık her adımda sabitler matrisi yeniden hesaplanır. Yöntemin yakınsaklık hızı genellikle düşük veya orta düzeydedir. Prof. Dr. Erkan Özer 3/7 /0/009
= = lineerleştirilmiş bünye denklemi χ p χ i- χ Şekil.4 Doğrusallaştırılmış bünye denklemi (başlangıç teğeti) c- Teğet yöntemi Ardışık yaklaşımın her adımında, doğrusallaştırılmış sistemin P-d bağıntısı için bir önceki adımda bulunan çözüme ait teğet davranışı esas alınır, Şekil.5. Bu yaklaşım, malzeme bakımından doğrusal olmayan sistemlerde, bir önceki adımda bulunan şekildeğiştirme durumu dolaylarında, bünye denkleminin başlangıç teğetinin kullanılmasına karşı gelmektedir. Bu yöntemde denklem takımının katsayılar ve sabitler matrislerinin her adımda yeniden hesaplanması gerekir. Ayrıca, P-d bağıntısının teğetinin belirlenmesinde pratik bakımdan bazı güçlükler olabilir. Teğet yönteminin yakınsaklık hızı çok yüksektir. P P A n m m 0 O d d d n =d A Şekil.5 Teğet yöntemi d d- Kiriş yöntemi Ardışık yaklaşımın her adımında, önceki iki adımda bulunan çözümleri birleştiren kiriş denklemi, doğrusallaştırılmış P-d bağıntısı olarak seçilir, Şekil.6. Bu yöntem teğet yöntemi gibidir. Ancak teğet aranması gerekmez. Yakınsaklık hızı çok yüksektir. Prof. Dr. Erkan Özer 4/7 /0/009
P P A 3 n m m 0 m 0 O d d d 3 d =d n A d Şekil.6 Kiriş yöntemi Örnek. Şekil.7 de geometrisi, sınır koşulları, yükleri ve k yay katsayısı verilen sistem P yük parametresi için ikinci mertebe teorisine göre hesaplanarak B düğüm noktasının yatay yerdeğiştirmesi hesaplanacaktır. P P k=sabit B H=αP H=aP B H=aP H=αP Sonsuz rijit Sonsuz (EI= ) rijit (EI=8 ) L A A Şekil.7 Đkinci mertebe teorisine göre hesap Sistemin analizi için önceki bölümde açıklanan ardışık yaklaşım yönteminden yararlanılacak ve hesapta çeşitli doğrusallaştırma teknikleri uygulanacaktır. denge denklemi: = 0 P + α PL k L = 0 (.) A kl P = + αl (.3) Prof. Dr. Erkan Özer 5/7 /0/009
Bu denklem m = P (m: bilinmeyen katsayısı) (.4) şeklinde düzenlenirse, bilinmeyen katsayısı için kl m = m( ) = (.5) + αl elde edilir. Görüldüğü gibi, bilinmeyen katsayısı problemin çözümü olan yerdeğiştirmeye bağlı olduğundan problem doğrusal değildir. Sayısal Uygulama : L = 0.00 m, k = 400 kn/m : sabit, α = 0.0, H = 0.0 P, P = 000 kn için yatay yerdeğiştirmesinin hesabı istenmektedir. Verilen sayısal değerler için (.4) denge denkleminin bilinmeyen katsayısı olmaktadır. a- Başlangıç kirişi yöntemi, Şekil.8 4000 m = m( ) = (.5a) +. adım : = 0 (birinci mertebe teorisi) 000 m o = m ( = 0) = 4000 P = 000 = 4000 = = 0. 50 m 4000 4000 000. adım : = 0.50 m m = = 667 = = 0. 75 m 0.50 + 667 4000 000 3. adım : = 0.75 m m = = 86 3 = = 0. 875m 0.75 + 86 000 P(kN) m m 3 m 0 O 0.50 0.75 3 0.875.00 Şekil.8 Başlangıç kirişi yöntemi Prof. Dr. Erkan Özer 6/7 /0/009
Diğer adımlara ait sayısal sonuçlar Tablo. de verilmiştir. Ardışık yaklaşımın 0. adımında elde edilen sonucun kesin sonuca ( kesin =.00 m) göre bağıl hatası % 0. değerini almaktadır. Tablo. Başlangıç kirişi yönteminin sayısal sonuçları Adım m i- i 4 33 0.9375 5 065 0.9688 6 03 0.9844 7 06 0.99 8 008 0.996 9 004 0.9980 0 00 0.9990 Prof. Dr. Erkan Özer 7/7 /0/009
.. Yük Artımı Yöntemleri Doğrusal olmayan bir yapı sisteminin belirli bir P A yük parametresi için hesabı yerine, yük parametresinin çeşitli değerleri için hesabı yapılarak P-d bağıntısının belirlenmesi istenirse, yük artımı yönteminden yararlanılabilir. Yük artımı yöntemi iki farklı şekilde uygulanabilir: a- basit yük artımı yöntemi b- düzeltilmiş yük artımı yöntemi a- Basit Yük Artımı Yöntemi Bu yöntemde yük parametresine küçük artımlar verilerek hesap yapılır. Her yük artımında, bir önceki çözüme ait başlangıç teğeti, başlangıç kirişi, teğet veya kiriş rijitliği esas alınarak sistem davranışı doğrusallaştırılır. Her yük artımında teğet tekniğinin uygulandığı bir basit yük artımı yöntemi Şekil.9 da şematik olarak gösterilmiştir. Bu yöntemin en önemli sakıncası, biriken hatalar nedeniyle, elde edilen çözümün her yük artımında gerçek çözümden biraz daha uzaklaşmasıdır. Toplam hata miktarı seçilen yük artımının büyüklüğüne ve her yük artımında uygulanan doğrusallaştırma tekniğine bağlı olarak değişmektedir. P 3 P 3 m P m m P m 0 m O d d d 3 Şekil.9 Basit yük artımı yöntemi b- Düzeltilmiş Yük Artımı Yöntemi Yük artımı yönteminde biriken hataları azaltmak amacıyla küçük yük artımları seçmek yerine, her yük artımında elde edilen çözüm ardışık yaklaşım tekniklerinden biri (başlangıç teğeti, başlangıç kirişi, teğet veya kiriş teknikleri) uygulanarak gerçek çözüme yaklaştırılabilir. Bu yönteme düzeltilmiş yük artımı yöntemi adı verilir. Örnek olarak, her Prof. Dr. Erkan Özer /8.0.009
yük artımında başlangıç kirişi tekniğinin ardışık olarak iki kere uygulandığı bir düzeltilmiş yük artımı yöntemi Şekil.0 da şematik olarak gösterilmiştir. P 3 P 3' 3 P ' P ' O d d d 3 Şekil.0 Düzeltilmiş yük artımı yöntemi. Göçme Yükünün Hesabı Doğrusal olmayan bir yapı sisteminin taşıma kapasitesini ifade eden göçme yüküne (limit yük veya burkulma yükü) genel olarak iki şekilde ulaşılmaktadır: a- yer değiştirmelerin sonsuza erişmesi ( P-d bağıntısının bir asimptota sahip olması) b- yük parametresi - yer değiştirme bağıntısının bir maksimumdan geçmesi a- Uygulamada, genellikle doğrusal - elastik burkulma yükünün veya birinci mertebe limit yükün hesabında karşılaşılan birinci duruma ait P-d diyagramı ve bu diyagrama karşı gelen P- P/d bağıntısı Şekil. de şematik olarak gösterilmiştir. Şekilden görüldüğü gibi olmaktadır. P = P L için δ ve P/d = 0 Buna göre, çeşitli P yük parametreleri için hesap yapılarak P - P/d diyagramı çizilirse, diyagramın P eksenini kestiği noktanın absisi hesaplanarak P L limit yükü (veya burkulma yükü) elde edilebilir. Asimptotik yük parametresi-yerdeğiştirme diyagramları için P - P/d bağıntısı genelde doğrusala yakın olmaktadır. Bu nedenle, P L limit yükü kolaylıkla hesaplanabilir. Prof. Dr. Erkan Özer /8.0.009
P P L P d P P P d P d d P =0 O d d d O P P PL P Şekil. Asimptotik P-d diyagramı ve P - P/d bağıntısı b- Yük parametresi - yerdeğiştirme diyagramının bir maksimumdan geçmesi suretiyle sistemin taşıma gücüne ulaşılması halinde (örneğin elastoplastik burkulma yükü için), taşıma gücü iki şekilde hesaplanabilir. b.- P-d diyagramının pozitif ve negatif eğimli bölgeleri üzerinde çeşitli noktalar elde edilebilmesi halinde, bu noktalar arasında bir interpolasyon işlemi uygulayarak (örneğin ardışık üç noktadan bir ikinci derece parabolü geçirerek) diyagramın maksimum noktasının ordinatı, yani sistemin taşıma gücü hesaplanabilir, Şekil.. Ancak kuvvet kontrollu olarak, yani yük parametresinin seçilen değerleri için hesap yaparak uygulanan yöntemler ile, P-d diyagramının negatif eğimli bölgesi üzerinde noktalar elde edilebilmesi çok kere mümkün olamamaktadır. b.- Yük parametresi - yerdeğiştirme diyagramının bir maksimumdan geçmesi halinde göçme yükünün hesabı için uygulanabilen diğer bir yol yük artımı yöntemidir. Bu yöntemde, örneğin teğet tekniğinin uygulanması halinde, herhangi bir yük artımı için negatif yerdeğiştirme artımı elde edilmesi P-d diyagramının bir maksimumdan geçtiğini ifade eder. Bu duruma ait yük parametresi sistemin taşıma gücünü verir, Şekil.3. P P L P P 3 P O d d d L d 3 d Şekil. Đnterpolasyon ile taşıma gücünün bulunması Prof. Dr. Erkan Özer 3/8.0.009
P P 3 =PL 4' 3 4' P P O d d d d 3 Şekil.3 Yük artımı yöntemi ile taşıma gücünün bulunması Örnek. Örnek. de ikinci mertebe teorisine göre hesabı yapılan elastik sistemin burkulma yükü hesaplanacaktır, Şekil.4. P k=400 kn/m H=0.0P (α=0.0) Sonsuz rijit Sonsuz rijit (EI= ) (EI=8 ) L=0.0 m A Problemin sayısal verileri için Şekil.4 Sistem ve yükler P = m (m: bilinmeyen katsayısı) (.4) denkleminin bilinmeyen katsayısı m = m şeklini almaktadır. ( ) kl = + αl 4000 = + (.5a) Prof. Dr. Erkan Özer 4/8.0.009
Sistemin şematik yük parametresi - yerdeğiştirme diyagramı Şekil.5 te görülmektedir. Yük parametresinin P = 0 ve P = 000 kn değerleri için P/ değerleri hesaplanacak ve bu değerlerden yararlanarak, doğrusal ekstrapolasyon ile, sistemin burkulma yükü bulunacaktır. P P B burkulma yükü P P O m 0 Şekil.5 Şematik yük parametresi -yerdeğiştirme diyagramı P = 0 için hesap : = m( = 0) = 4000 P P P = 000 kn için hesap : =. 00 m (Örnek. e bakınız) = 000 P P, değerlerinden yararlanarak çizilen P - P/ diyagramı Şekil.6 da verilmiştir. Şekilden görüldüğü gibi, sistemin burkulma yükü doğrusal ekstrapolasyon ile P B =4000 kn olarak hesaplanmıştır. Burkulma yükünün kesin değeri de dur. P B 4000 = lim it = 4000 + kn Prof. Dr. Erkan Özer 5/8.0.009
P 4000 000 O 000 4000 P P = 4000 kn B Şekil.6 Burkulma yükünün bulunması.3 Yerdeğiştirme Kontrollu Sistem Analizi alzeme ve/veya geometri değişimleri bakımından doğrusal olmayan sistemlerin artan dış yükler altındaki davranışlarının belirlenmesi, diğer bir deyişle yük parametresiyerdeğiştirme bağıntılarının elde edilerek taşıma güçlerinin hesaplanması istendiğinde genel olarak iki farklı yoldan biri uygulanabilir. a- Kuvvet kontrollu analiz Hesabın başlangıcında yük parametresi seçilir ve ardışık yaklaşımın her adımında bu yük parametresi esas alınarak hesap yapılır. Bu durumda elde edilecek çözüm, sistemin başlangıçta seçilen yük parametresi için çözümüdür. b- Yerdeğiştirme kontrollu analiz Hesabın başlangıcında sisteme ait herhangi bir büyüklüğün değeri seçilir. Bu büyüklük yerdeğiştirme, şekildeğiştirme veya bir iç kuvvet olabilir. Ardışık yaklaşımın her adımında söz konusu büyüklüğün seçilen değerini veren yük parametresinin hesabı amaçlanır. Bu durumda, ardışık yaklaşımın sonunda bulunan yük parametresi sistemde seçilen büyüklüğü meydana getiren değere eşit olacaktır. Elde edilen iç kuvvet, şekildeğiştirme ve yerdeğiştirmeler ise sistemin bu yük parametresi için çözümünü vermektedir. Kuvvet kontrollu ve yerdeğiştirme kontrollu analiz yöntemleri karşılaştırıldığında şu sonuçlara varılmaktadır. i) Tek serbestlik dereceli sistemlerde, seçilen her hangi bir büyüklük sistemin iç kuvvet, şekildeğiştirme ve yerdeğiştirme durumunu tanımlamak için yeterli olduğundan, yerdeğiştirme kontrollu hesap kesindir; yani ilk adımda sistemin gerçek çözümünü vermektedir. Çok serbestlik dereceli sistemlerde ise, ardışık yaklaşımın birinci adımında elde edilen çözüm, artan yüklerle birlikte sisteme ait büyüklüklerin aralarındaki oran sabit kalacak şekilde arttıkları varsayımı altında problemin yaklaşık çözümünü vermektedir. Diğer adımlarda, bu varsayımın neden olduğu yaklaşıklığın etkisi gözönüne alındığından kesin çözüme hızla ulaşılacağı söylenebilir. Prof. Dr. Erkan Özer 6/8.0.009
ii) Sistemin taşıma gücünü aşan yük parametreleri için, kuvvet kontrollu analizde çözüm elde edilememektedir, Şekil.7. Buna karşılık, yerdeğiştirme kontrollu analizde, seçilen her yerdeğiştirme değeri için bir çözüm elde edilebilir. P P P B O Şekil.7 Kuvvet ve yerdeğiştirme kontrollu analizlerin karşılaştırılması () d iii) Yük parametresi - yerdeğiştirme bağıntısı bir maksimumdan geçen sistemlerde, her yük parametresine birden fazla yerdeğiştirme durumu karşı geldiği halde, seçilen her yerdeğiştirme durumuna tek bir yük parametresi karşı gelmektedir, Şekil.8. Bu özellik, söz konusu sistemlerin taşıma güçlerinin hesabında, yerdeğiştirme kontrollu yöntemin önemli bir üstünlüğünü oluşturmaktadır. iv) Göçmenin kırılma (bir kesitteki iç kuvvetin bir sınır değere ulaşması), büyük yerdeğiştirmeler veya büyük plastik şekildeğiştirmeler nedeniyle meydana gelmesi halinde, söz konusu kritik büyüklüğün seçilen sınır değeri için hesap yapmak suretiyle göçme yükü doğrudan doğruya elde edilebilmektedir, Şekil.9. P 3 P P O d d 3 d Şekil.8 Kuvvet ve yer değiştirme kontrollu analizlerin karşılaştırılması () P d P G göçme O d G d Şekil.9 Yer değiştirme kontrollu analizde göçme yükünün bulunması Prof. Dr. Erkan Özer 7/8.0.009