AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "AÇI YÖNTEMİ Slope-deflection Method"

Çağatay Paşa
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT ÜHENDİSLİĞİ BÖLÜÜ Department of Civil Engineering İN 303 YAPI STATIĞI II AÇI YÖNTEİ Slope-deflection ethod Y.DOÇ.DR. USTAA KUTANİS Sakarya Üniversitesi, İnşaat ühendisliği Bölümü Yapı Anabilim Dalı DR.USTAA KUTANİS SLIDE Prof. G.A aney Açı yöntemi, Prof. G.A aney (UNIV. Of INNESOTA da, 95 de BİLİSEL TOPLANTIDA SUNULDU) tarafından rit düğüm noktalı sistemlerin hesabında kullanılan genel bir yöntem olarak ortaya konulmuştur. Deplasman yöntemi Sürekli kiriş ve çerçevelerin çözümünde 93 yılında Hardy Cross bu yöntemi daha genel olarak kendi adı ile anılan moment dağıtım yöntemine uyarlamıştır. DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE

Of INNESOTA da, 95 de BİLİSEL TOPLANTIDA SUNULDU) tarafından rit düğüm noktalı sistemlerin hesabında kullanılan genel bir yöntem olarak ortaya konulmuştur.

2 Bu eşitliklerde eğilme momentinden meydana gelen şekil değiştirmeler göz önüne alınmış, kesme kuvveti ve normal kuvvetten meydana gelen şekil değiştirmeler ise göz ardı edilmiştir. Birçok hiperstatik kirişin ve çerçevenin hesabında normal kuvvet ve kesme kuvvetinin etkisi çok küçük olduğundan sadece eğilme momenti etkisi göz önüne alınarak yazılan açı eşitlikleri ile yapılan hesaplar sonucunda ortaya çıkacak hatalar da oldukça küçük olacaktır. DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 3 Açı-deplasman bağıntıları Açı-deplasman bağıntıları, bir çubuktaki 3 genel değişken grubu ile ifade edilir:. Çubuk uçlarına uygulanan uç kuvvetler (Uç momentler, çubuk eksenine dik uç kuvvet ve çubuk eksenine paralel uç kuvvet).. Çubuk uçlarında meydana gelen uç yer değiştirmeler (çubuğun elastik eğrisinin her bir ucundaki teğetinin eğimi, elastik eğri kirişinin uç noktalarının dönme açısı veya iki çubuğun ucunun bir birine göre rölatif yer değiştirmesi). 3. Çubuğa uygulanan dış kuvvetler. DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 4

hesaplar sonucunda ortaya çıkacak hatalar da oldukça küçük olacaktır. DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH.

3 Derivasyon X-ekseni tarafsız eksenden geçiyor i- kirişinde y : yerdeğiştirme, deplasman dy y = = θ: eğim, slope dx d y y = = κ : eğrilik, curvature = dx EI DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 5 örnek L, EI P y y = P 6 EI 3 ( x 3 L x ) θ P y' = θ = 6 6 EI ( 3x L x) Eğrilik birim dönme açısı (birim boya gelen dönme miktarı) P y ''= κ = ( x L) = EI EI DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 6

BÖLÜÜ SLIDE 5 örnek L, EI P y y = P 6 EI 3 ( x 3 L x ) θ P y' = θ = 6 6 EI ( 3x L x) Eğrilik birim

4 Derivasyon (devam) DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 7 Derivasyon (devam) y i x i i i i x y(x) x i i i L, EI Deplasmanlar i ucunda y, θ; ucunda y, θ; İç kuvvetler i ucunda T, ; ucunda T, ; DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 8

5 Derivasyon (devam) T i ucundan x mesafesinde eğilme momenti: + -T x=0 =- +T x=0 Eğrilik x Soru: Derivasyonda eleman üzerindeki yükler (yayılı veya tekil) neden dikkate alınmadı? d y y = = κ : eğrilik, curvature= dx EIy = + T x (denklem no ) EI DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 9 Eğrilik denkleminin integrali eğimi, y, verir Derivasyon (devam) x EI y = x + T + c (denklem no ) Eğim denkleminin integrali yerdeğiştirmeyi, y, verir: 3 x x EIy = + T + c x + c 6 (denklem no 3) DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 0

6 Derivasyon (devam) Sınır şartları no denklem de x=0 için y =θ c =EI θ 3 no denklem de x=0 için y=y c =EI y y = x EI + T x EI +θ (denklem no ) 3 x x y = + T + θ x + EI 6EI y (denklem no 3) DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE Derivasyon (devam) Sınır şartları x=l için y=y y =θ Sınır şartları için ve 3 nolu denklemler çözülür ve düzenlenirse: Elde edilir. Burada ( θ +θ Φ) ( θ + Φ) = K 3 T 3 θ = K K = EI L Φ = y y L DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE

BÖLÜÜ SLIDE Derivasyon (devam) Sınır şartları x=l için y=y y =θ Sınır şartları için ve 3 nolu denklemler çözülür ve

7 Genel Prensipler Bir yapı elemanında, eleman uçlarında oluşan toplam momentler:. Eleman üzerindeki dış etkilerden (yük) dolayı, eleman uşlarında oluşan Ankastrelik momentleri, E. Eleman uçlarının birbirine göre relatif hareketi ile oluşan momentler, [Φ] 3. Eleman uçlarının dönmesi ile oluşan momentler [ θ i, θ ] den oluşmaktadır. DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 3 ANKASTRELİK UÇ OENTLERİ İki ucu mesnetli tek açıklıklı bir yapının çeşitli dış etkilerden dolayı mesnetlerinde oluşan mesnet tepkilerine ANKASTRELİK UÇ OENTLERİ diyoruz. w wl wl E AB = E BA = A wl E AB = 8 L B DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 4

Eleman uçlarının birbirine göre relatif hareketi ile oluşan momentler, [Φ] 3. Eleman uçlarının dönmesi ile oluşan momentler [ θ i, θ ] den oluşmaktadır. DR.

8 Genel Prensipler [devam] Statik çözümlemede işaret yönü: -Pozitif Uç omentleri: Elemanlarda TERS SAAT YÖNÜ (CCW) Düğüm noktalarında SAAT YÖNÜ (CW) - Kesme Kuvveti: Çubuğu saat yönü çeviren kuvvetler pozitif Elemanın TSY (CCW) dönme açısısi pozitif T T DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 5 Daha somut olarak; oturma EI Δ = θi +θ 3 ± L L ( θ i +θ 3Φ ) = K ± Notasyon: Text içinde Φ yerine bazen Ψ kullanılabilir DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 6

dönme açısısi pozitif T T DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH.

9 atris formunda ( θ +θ Φ ) = + K 3 Bağıntısı açık yazılırsa Φ =0 için: i DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 7 atris formunda Stifnes atrisi Ankastrelik oment atrisi Deplasman atrisi Yük Vektörü DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 8

10 P ve P açıklık ortasında; kesitler sabit ÖRNEK PROBLE DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 9 DENGE ŞARTI: θ B İÇİN ÇÖZÜLÜR DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 0

11 Bulunan θ B AB, BA, BC ve CB denklemlerinde yerine yazılırsa: DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE

12 özetle DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 3 Açı denklemi öğeleri Oturma=Δ DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 4

13 4EI EI = θi + θ + + L L i- elemanı açı denklemi ( ) ( ) Δ Dış Yükler EI 4EI i = θi + θ + + L L ( i ) ( i ) Δ Dış Yükler DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 5 Not: Tablo daki değerler kullanılacaksa EI Δ = θi +θ 3 ± L L bağıntısı yerine Tablodan alınacak değer 4EI EI = θi + θ + + L L ( ) ( ) Δ Dış Yükler DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 6

BÖLÜÜ SLIDE 5 Not: Tablo daki değerler kullanılacaksa EI Δ = θi +θ 3 ± L L bağıntısı

14 ANKASTRELİK OENTLERİ Ezbere bilinmesine gerek yok tablo kullanılabilir DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 7 Ankastrelik omentleri (/) DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 8

15 Ankastrelik omentleri (/) DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 9 Kenar mesnet: Sabit-hareketli (/) DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 30

16 Kenar mesnet: Sabit-hareketli (/) () nolu denklemi ile çarpıp nolu denklemden çıkarılırsa: BA EI = θ L 3EI = θi + + L E AB 3 B + E BA ( ) ( ) Δ Dış Yükler Bu terim; bir ucu ankastre, bir ucu sabit mesnetli sistemin ankastrelik momentidir. BA =0 3EIΔ E AB = L DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 3 HESAPTA İZLENEN YOL. Açı denklemlerinde, eğilme momentinden meydana gelen şekil değiştirmeler göz önüne alındığından, incelenen yapı sisteminin kinematik serbestliği, dönme açısı (θ) ve yanal deplasmanlar (Δ) olarak b belirlenir. Ankastrelik momentleri hesaplanır. 3. esnet hareketlerinden kaynaklanan etkiler hesaplanır. 4EI EI = θi + θ + + L L ( ) ( ) Δ Dış Yükler 4. Her elemanın iki ucu için açı denklemi yazılır. 5. Düğüm noktalarında denge denklemleri yazılır; bu denklemlerden yararlanarak, düğüm noktalarının bilinmeyen (θ) dönme açıları hesaplanır. 6. Hesaplanan (θ) dönme açıları, açı denklemlerinde yerine yazılarak, eleman uç momentleri hesaplanır ve moment diyagramı çizilir. DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 3

Açı denklemlerinde, eğilme momentinden meydana gelen şekil değiştirmeler göz önüne alındığından, incelenen yapı sisteminin kinematik serbestliği, dönme açısı (θ) ve yanal deplasmanlar (Δ) olarak b

17 , T, N diyagramını çiziniz. SORU DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 33 DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 34

18 DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 35 DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 36

19 DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 37 DR. USTAA KUTANİS SAÜ İNŞ.ÜH. BÖLÜÜ SLIDE 38

Benzer belgeler

MOMENT DAĞITMA HARDY CROSS YÖNTEMİ

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ MF İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ Department of Civil Engineering İNM 208 YAPI STATIĞI II MOMENT DAĞITMA HARDY CROSS YÖNTEMİ Y.DOÇ.DR. MUSTAFA KUTANİS kutanis@sakarya.edu.tr Sakarya Üniversitesi,