Bölüm : Br Boyua Hareke Kavrama Soruları 1- Harekel br cmn yer değşrme le aldığı yol aynımıdır? - Hız le üra araındak fark nedr? 3- Oralama ve an hız araındak fark nedr? 4- Ne zaman oralama hız (vme) an hıza (vmeye) eş olur? 5- Hızı m/ olan br neğn m, yoka hızı 50 m/ olan br kamyonun mu vme daha büyükür? Konu İçerğ Sunuş -1 Yer değşrme, Hız ve Süra - An Hız ve Süra -3 İvme Oralama İvme An İvme -4 Br Boyua Sab İvmel Hareke -5 Serbe Düşme Sunuş Hareke, br cmn konumundak ürekl değşm eml eder. Mekanke br cmn hareken ncelerken yapmak edğmz şey harekel cmn konumunu zamanın fonkyonu olarak bulmakır. Br doğru boyunca hareke eden cmn konumunu belrlemek çn br, düzlemde hareke eden br cm çn k ve uzayda hareke eden br cm çn e üç ane uzunluk boyuuna hyaç duyarız. Boyu Sayıı Uzunluk Boyuu Koordnalar Örnek Br Boyu [L] x Trenn hareke İk Boyu [L].[L] x,y Araz üzerndek hareke Üç Boyu [L].[L].[L] x,y,z Uçağın hareke Bu bölümde Br Boyua Hareke başlığını kullanmamızın ebeb, hareken adece br doğru boyunca yan br boyua olduğunu varayacağız. Dolayıı le harekel cm anımlamak çn adece br ane uzunluk boyuuna hyacımız olacakır. Hareke br boyua anımladıkan onra bu anımlamalarımızı onrak bölümlerde nceleyeceğmz k ve üç boyuak harekee kolaylıkla uyarlayablrz. Hareke ncelerken k kabül yapacağız: Brnc, hareke eden cmn büyüklüğüne bakılmakızın cm nokaal parçacık olarak ele alacağız. Genel olarak parçacık le çok küçük, nokaal br küley anlayacağız. İknc e ürünmey hmal edeceğz. Bu bölümde harekel cmn br doğru boyunca hareke eğn varayıp ıraı le yer değşrme, hız ve vme kavramlarını anımlayacağız. Daha onra ab vmel hareke ayrınılı olarak nceleyeceğz. Son bölümde e br boyua ab vmel hareken br uygulamaı olan erbe düşme problemn nceleyeceğz. Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 1/11 hp://eng.ankara.edu.r/~har
-1 Yer değşrme, Hız ve Süra Br parçacığın hareke, uzaydak konumu her an blnyora amamen belldr. Konumun zamana göre naıl değşğn blyorak buradan cmn hızını, bu hız değernn de yne zaman çnde naıl değşğnden cmn vmen bulablrz. İvme blnen cmn e üzerne ek eden kuvve, lerk konularda göreceğmz gb, Newon un. kanunun kullanarak çok kolay br şeklde bulablrz. Bu ebepen dolayı harekel cmler ncelerken lk yapacağımız şey cmn konumunu, uygun koordna em kullanarak belrlemekr. Hareke, doğru boyunca oluyora, yan br boyua gerçekleşyor e, vekörel göerm kullanmadan hareke am olarak anımlayablrz. Doğru üzernde br referan nokaı eçerek, harekel cmn konumunu bu referan nokaına göre anımlayablrz. Cm x eken yönünde hareke edyora yer değşrme negaf, +x eken yönünde hareke edyora pozf olacakır. Dolayıı le harekel cmn yön ve yer değşrme büyüklüklerne lşkn edğmz büün blgler edneblrz. - x 0 + x Yer değşrme, hareke eden br cmn lk (x ) ve on (x ) konumu araındak fark olarak anımlanır. Yan Δxx -x + x Yer değşrme: Δxx -x Δxx -x x x Eğer x x e yerdeğşrme Δx0 olur.. Hareke eden parçacığın aldığı yol le parçacığın yer değşrme aynı şeyler değldr ve brbrne karışırılmamalıdır. Örneğn br cm A nokaından harekee başlaın ve B nokaına ulaşıkan onra ger dönüp ekrar A nokaına dönün. Burada cmn aldığı yol AB dr ama yer değşrme ıfırdır. Vekörler konuu ncelendğnde yer değşrmenn vekörel, alınan yolun e kaler br ncelk olduğunu göreceğz. - An Hız ve Süra Fzke yönü ve büyüklüğü olan cmler vekörlerle, adece büyüklüğü olan ncelkler e kaler ayılarla göerrz. Örneğn küle kaler br ncelkr ve adece büyüklüğünün verlme yeerldr. Bunun yanında harekel br cmn hızından bahederken hızın adece büyüklüğünü vermek yeerl değldr, çünkü büyüklüğü kadar hızın yönü de önemldr. Hızın Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı /11 hp://eng.ankara.edu.r/~har
büyüklüğüne Süra denr ve kaler br ncelkr. Bunun yanında Hız vekörel br ncelkr ve büyüklüğünün yanında yönünün de belrlme gerekmekedr. Bu konu Bölüm 4 de ayrınılı olarak anlaılacakır. a) Oralama Hız Br cm Δ zaman aralığında Δx kadarlık br yer değşryor e oralama hızı Δx n Δ ye oranı olarak anımlanır. Dyelm k harekel br cm Δ - zaman dlmnde x konumundan (A) x konumuna (B) yerdeğşrn. x Δxx -x x x : lk konum x : on konum : lk ölçülen zaman : on ölçülen zaman Δxx -x k konum farkı, yer değşrme Δ - k konum araında geçen zaman Br cmn hareken gözümüzde daha y canlandırablmek çn konum-zaman grafğn çzmek faydalı olacakır. Bu grafke yaay eken geçen zamanı (), düşey eken e konumu (x) göermekedr. yer değşrme, x x B x A zaman, Δ - Bu cmn AB araındak oralama hızı (v or ) Δx x x Oralama Hız ν or şeklnde anımlanır. Δ Oralama hızı grafkel olarak aşağıdak şeklde göereblrz. Bu grafken görüldüğü gb oralama hız heabı yapılırken cmn Δ zaman aralığındak x ve x konumları dkkae alınır ve cmn bu zaman aralığı çndek herhang br andak konumlarının deayı, dolayıı le de herhang br nokadak hızı göz ardı edlr. yer değşrme, x B x x A Δ - Δxx -x zaman, Eğm Δx x x Δ ν or Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 3/11 hp://eng.ankara.edu.r/~har
Hız, [ hız] kıaca m/ dr. [ uzunluk] [ zaman] [ L] [ T ] boyuundadır ve SI brm emnde brm mere/anye veya Örnek.1 Çözüm: Oralama Hız Heabı: x eken boyunca hareke eden br parçacığın konumu 1 de x 1 m ve 3 de x 4 m dr. Bu zaman aralığında parçacığın yer değşrmen ve oralama hızını bulunuz. Δ x x x 4m 1m 8m Δx x x 4m 1m 8m v 4m / Δ 3 1 Öneml No! Dkka edlecek olura oralama hız, harekel parçacığın ve zaman aralığındak hızının ayrınılarını vermemeke, adece oralama değern vermekedr. Bu zaman aralığı çernde cm kıa br ürelğne durmuş da olablr (örneğn 3,5. anyede), ama oralama hız bu blgy bze vermez! Oralama hız anımının bu ekklğnden dolayı an hız anımına hyaç duyulur. An hızda harekel parçacığın oralama hız değernden zyade herhang br anındak hızı bulunablr. b) An Hız Br parçacığın hızını, adece ınırlı br zaman aralığından zyade, herhang br anında anımlamak edğmzde an hız anımını kullanırız. Bunun çn maemake kullanılan dferanyel heap kavramını (örneğn ürev, negral gb) kullanmamız gerekecekr. An hız (v), yukarıdak oralama hız fadende zaman, Δ, ıfıra yaklaşırken Δx/Δ oranının lm değer le fade edlr. yer değşrme, x Δx dx ν lmδ 0 Δ d Herhang br anında cmn hızını veren fade x P B Δ - x A zaman, Maemak göermde bu lme x n ye göre ürev denr ve dx/d olarak yazılır. An hızı heaplayablmek çn yer değşrmey (x) zamanın fonkyonu x() olarak blmemz gerekmekedr. Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 4/11 hp://eng.ankara.edu.r/~har
Türev le lgl brkaç haırlama: Eğer elmzde y()a n +C şeklnde çok genel br fonkyon var e (Burada A ve C brer ab, n e amayı) bu fonkyonun (y) değşkene () göre ürev dy d na n 1 şeklnde anımlanır. Örneğn y()6 3-5 gb br fonkyonumuz vara bu fonkyonun zamana göre ürev dy d 3 1 3.6 18 bulunur. Örnek olmaı açıından eğer yukarıdak y() fonkyonu harekel br cmn konumunu (mere cnnden) zamanın (anye) fonkyonu olarak fade edyor e ve bz cmn anyedek hızının ne olduğunu bulmak yorak yapacağımız şey konum fonkyonunun zamana göre ürevn almak ve enlen zamanını fonkyonda yerne koyup o andak an hızı bulmak olacakır. dy 3 1 Hız fade v ( ) 3.6 18 m /. Bu, cmn hızını zamanın d fonkyonu olarak vermekedr. Herhang br andak hızı bulmak erek v() fadende yerne hızı bulmak edğmz anı yerleşrp cmn an hızını bulablrz. Cmn anyedek an hızı (m/ brmyle) dy v() 18() m / 7m / bulunur. d No: Eğer cmn hızı ab e oralama hız le an hız değerler brbrne eş olur. Bundan böyle hız ermn, an hız anlamında kullanacağız. 3-3 İvme Br parçacığın hızı zamanla değşğnde, parçacığın vmelenmeke olduğu öylenr. İvme, hızdak değşmn ölçüüdür. Harekel cmn hızının büyüklüğünün vme le lg yokur, öneml olan hızdak brm zamandak değşm mkarıdır. v 1 v v 3 v 4 v 5 0 Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 5/11 hp://eng.ankara.edu.r/~har
v 1 > v > v 3 > v 4 > v 5 Yukarıdak cmn hızı zaman cernde değşğnden vmelenmeke olduğu öylenr. a) Oralama İvme: Br cmn oralama vme, a or, Δ - zaman aralığındak cmn hızındak değşme, Δvv - v, oranı olarak anımlanır. Δv v v Oralama İvme aor Δ v 5 m/ v 5 m/ v 5 m/ v m/ v1 m/ a 0 a 0 Hız heabında konum-zaman grafğ çzdğmz gb cmn hızındak değmey daha y göreblmek çn de hız-zaman grafgn çzerz. v v hız, v A Δ - B Δvv -v zaman, [ uzunluk] [ zaman] [ ] [ hz] [ uzunluk] [ L] İvme, [ vme] [ zaman] zaman [ zaman] T emndek brm mere/(anye) veya kıaca m/ dr. boyuunda olup SI brm b) An İvme: An vme, an hızda olduğu gb, Δ zaman aralığının ıfıra yaklaşığı durumdak vme olarak anımlanır. Δv dv a lm Δ 0 Δ d Hız le zaman araındak lşkye br örnek verelm. Aşağıdak grafğn harekel br cmn hız-zaman eğrn verdğn düşünelm. Hızdak değşmler dkkae alarak cmn vmezaman grafğn aşağıdak şeklde elde edeblrz. Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 6/11 hp://eng.ankara.edu.r/~har
v a 3 1 İvmenn ıfır olduğu ve ıfırdan farklı olduğu durumları özelerek: a0 e aab e a(v -v )/0 dan v v a(v -v )/ fadenden v v +a, hızdak arış a kadar veya brm zamanda a kadardır No: Eğer cmn vme ab e oralama vme le an vme değerler brbrne eş olur. Bundan onra vme ermn, an vme anlamında kullanacağız. -4 Br Boyua Sab İvmel Hareke Br boyulu hareken ba br p, vmenn ab olduğu durumdur. İvme ab olduğundan oralama vme an vmeye eşr. Bu ür harekee hız hareken başından onuna kadar aynı oranda arar (veya azalır). Sab vmel hareke (aab) v x İvmez hareke (a0) v x a x v x v x v x 0 v x 0 v x Br boyua ab vmel hareke yapan br cmn harekenne lşkn a, v,, x ncelklern veren fadeler ürerek: Δv v v a Δ 0 alırak (zamanın başlanğıcını edğmz gb eçme özgürlüğüne ahbz ve bu zamanı ıfır olarak eçeblrz, bu heaplamaları değşrmez!) Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 7/11 hp://eng.ankara.edu.r/~har
Dolayıı le vme bu hal le v v a şeklnde ade br bçmde fade edleblr. İvme fade düzenlenre v v + a...1 x x Oralama hız anımı ν or İlk ve on hızlar blnyor e, vme ab olduğundan oralama hızı lk ve on hızların v + v oralamaı ν or şeklnde de fade edeblrz. x -x çekp yukarıdak oralama hız faden kullanırak, 1 x x ( v + v )... 1. eşlğ. eşlke yerne koyarak 1 x x v + a...3 Zaman çermeyen eşlk elde emek çn 1. denklemden zamanı bulup v v a. denklemde yerne koyarak 1 v v v v x x ( v + v )( ) a a v v + a( x x )...4 elde edlr. 1-4 denklemler, ab vmel, br boyulu harekele lgl herhang br problem çözmek çn kullanılablen knemak fadelerdr. Örnek. Uçak gemne nş: Br je, uçak gemne 140 ml/aa (63 m/) hızla nyor ve anye çnde duruyor. a) uçağın vme nedr? b) Bu üre çnde uçağın yer değşrme nedr? Çözüm: a) b) v v a 0 63m / 31,5m / 1 1 x x ( v + v) (63 m/ + 0). 63m Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 8/11 hp://eng.ankara.edu.r/~har
Sab vmel harekee hız değernde ürekl br arış öz konuudur. Bu arış mkarı da brm zamanda vmenn büyüklüğü kadardır. -5 Serbe Düşme Br boyua gerçekleşen ab vmel harekee en güzel örnek erbe düşmedr. Yeryüzü üzernde büün cmler erbe bırakıldıkları zaman hemen hemen ab br vme le yere doğru düşerler (ürünmey hmal eğmz çn cmlern yoğunluk ve büyüklüklerne bakılmakızın hepnn vmelenme g kadar olacakır. Bunu, elde edlen knemak fadelern hçbrnde külenn yer almadığından da göreblrz) Yern küle çekmnden kaynaklanan bu vmeye yerçekm vme denr ve g embolü le göerlr. Yern yüzeynde g nn büyüklüğü yaklaşık olarak 9,80 m/ dr ve her zaman aşağıya, yern merkezne doğrudur. Yan yeryüzü üzernde erbe düşmeye bırakılan büün cmlern br anyede hızlarındak arış mkarı 9,80 m/ dr (m/ değl!). g9,80 m/ Gerçeke g nn değer yükeklğn armaı le azalır. Ayrıca g enlem le de haff değşmeler göerr. Ama bu dern kapamında bu farklılıkları dkkae almayacağız. Örnek.3 Durgun halden erbe düşmeye bırakılan br cmn 1 anye onrak hızı a) Dünyada b) Ayda nedr? (Aydak küle çekm vme yern 1/6 ı kadardır) Çözüm: h Dünya a-g Ay a-g/6 v v v 0m / a) ad g 9,8m / v 1 9,8m / bulunur. g v v v 0m / b) aa 1,6m / v 6 1 1,6m / bulunur. Cmler erbe düşme halnde ken, yerçekmnden dolayı, aşağı doğru br vmeye ahp olacaklardır. Aynı şeklde yukarı veya aşağı doğru fırlaılan cmler de fırlaıldıkan onra, durgun halden erbe düşmeye bırakılan br cm le aynı vmenn ek alında kalır. Serbe düşen cmler nceledğmzde yapacağımız kabuller: Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 9/11 hp://eng.ankara.edu.r/~har
Hava drenc hmal edlr Yerçekm vmenn yükeklkle değşmedğ Ayrıca erbe düşme hareke düşey doğruluda olduğu çn konumu (yan yer değşrmey) y koordnaı le göereceğz ve yukarı yöne pozf y eken dyeceğz. Pozf y eken yukarı doğru olduğundan, yerçekm vmenn şare negafr (yan aşağı doğru). Koordnaları bu şeklyle eçğmzde ek boyua ab vmel hareke çn üreğmz knemak denklemler aşağıdak şeklde yazablrz. xy, x y, x y +y 0 -y -g a -g vv -g 1 y y + ( v+ v ) 1 y y + v g v v g( y y ) Şmd yukarı doğru br v hızı le, düşey olarak fırlaılan br parçacığın hareken nceleyelm. v0 m/ yy max h y v v h 1 v y 0 1 -v Makmum yükeklğe çıkma zamanı ( 1 ) v v g 1 Tepede hız ıfır (v0) olacağından v g Buradan 1 bulunur. g 1 v Çıkış ve nş üreler eş olacağından oplam uçuş üre ( ), 1 ye eş olacakır. Dolayıı le v g bulunur. Makmum yükeklk, Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 10/11 hp://eng.ankara.edu.r/~har
v v g( y y ) fadenden y 0 ve epede v0 olacağından v v v gymax ymax bulunur. g Örnek.4 Br aş br bnanın ependen düşey ve yukarı yönde 0 m/ lk lk hızla fırlaılmışır. Bna 50 m yükeklğndedr. a) Taşın makmum yükeklğe ulaşmaı çn geçen zamanı, b) Makmum yükeklğ, c) Taşın aıldığı evyeye ger gelme çn geçen zamanı, d) Taşın bu andak hızını, e) 5 anyede aşın hızını ve konumunu bulunuz. Çözüm: a) vv -g0 > (0 m/)-(9,8 m/ ). 1 0 Buradan 1,04 anye bulunur. b) yv -1/)g > y max (0m/).(,04)-(1/)(9,8 m/ ).(,04) > y max 0,4 m. c) 1.(,04)4,08 d) vv -g > v(0m/)-(9,8m/ ).(4,08) > v-0m/ e) vv -g > v(0m/)-(9,8m/ ).(5) > v-9m/ yv -(1/)g > y(0m/).(5)-(0.,5).(9,8m/ ).(4) > y-,5m Bölüm nn Sonu Kaynak: Bu der noları, R. A. Serway ve R. J. Bechner (Çevr Edörü: K. Çolakoğlu), Fen ve Mühendlk çn FİZİK-I (Mekank), Palme Yayıncılık, 005. kabından derlenmşr. Bölüm : Br Boyua Hareke, Hazırlayan: Dr. H.Sarı 11/11 hp://eng.ankara.edu.r/~har