UDK: 61.39 Devre Anaizinde Başangıç Şartan ve Nihaî özet: Devre anaizinde esas probem, Ohm ve Kirchhoff kanunarından faydaanarak, întegre - diferansiye denkemer diye adandırıan denge denkemerini ede etmek ve bunarı başangıç şartarını kuanarak çözmektir. Devrede enerji sakıyan (Endüktans ve kapasitans) eemanarın adedi ne kada faza oursa osun, başangıç ve nihaî değererin buunduğu t = O+ ve t= co anarında devre rezistiv bir karakteristik gösterir. Bu sebepten başangıç ve nihaî değererin buunması değişken katsayıı omıyan ve dirençerden meydana gemiş devreerin anaiz metodan kuanıarak yapıır. Tarifer, ik değerer ve Eşdeğer devre: m^. * * Eektrik devre anaizeri başıca Ohm ve Kirchhoff kanunarına" dayanır. Gene oarak pasif, ineer ve yön hassasız (biatera) eemanardan bir i (t) akini geçiriirse, bu akım devre eemanında akımın giriş yönünde ( + ), çıkış ucunda ( ) işaret oan bir e (t) geriimi meydana getirir. Şeki (1) de.l. ve C eemanarında akım ve geriim bağıntıarı gösterimiştir. Bu eemanarda güç ve enerji bağantıarı ifade a, b, ve Ic de gösterimiştir. Değererin Önemi Mustafa N. PALA Ph. D. Brookyn Poytechnic mevcut değise sakanacak enerji t anındaki akım ve geriime bağı değerer aır. Empüs uyarımarı hariç, devrede anî enerji meydana gemiyeceğinden şeki () de t = o anında (b) eemanında akım ve (c) eemanında geriim sıfır değerinde oması gerekir. Bu ise t = o anında endüktansın açık devre kapasitansın ise kısa devre ie gösterimesine imkân verir. Şu hade t =o anında eemanarda enerji yok ise Şeki () de bu tip eemanar ve t = o + anı eş değereri gösterimiştir. e(ı) efo) e(ı) -L t>0 t = o + açık t>0 devre Şeki z Şeki () Endüktans ve Kapasitansın t anındaki ej değereri. t = o + kısa devre Eğer t = o anında her İM devrede de sıra ie W L = ILI«O ve W C = CE 0 -.0+ enerjieri varsa bu takdirde eşdeğer devreer Şeki (3) de oduğu gibi gösteriir. esistans b) Endüktans c) Kapasitans Şeki (1). Pasif devre eemanarı ve akımgeriim bağıntıarı. Bu eemanarda ki güç ve enerji bağatıan aşa ğıdaki taboda (a, İb ve Ic) gösterimiştir. Enerji sakama hassası oan endüktans ve kapasitansda t = 6 anında devrede akım ve geriim Seki 3. (Şeki (3) : a) Endüktansın t = o anında W i. enerjisi oduğuna göre t = o + eş değer devresi açık devre L ie parae bağı atam kaynağı ie gösteriir. Eeman L C di de Güç P --- Jj.1 ' t Enerji W = f p W t = j,*,, öt J O O o 1 ~ i (t) 1 -e W i (o) -e (o) (a) (b) (Ic) EM.M. 79
b) Kapasitansın t = o anında W c enerjisi oduğuna göre t = o + eş değer devresi kısa devre C ie seri bağı E 0 geriim kaynağı ie gösteriir. Esasen şeki (1) de verien endüktans akımı ifadesi ie kapasitans geriim ifadeeri ik enerji şartarını I 0 ve E 0 değererini denge denkeme-* rine itha ederek nazarı itibare amış buunuyoruz.şöyeki, İ L (t) = - v(t) = -.' di u.! (t) = L + i i (t) = ( - \ birim basamak f onksyonu (4) 'r' ı r ı r' 'r' e (t) = evt) -f e (t) = I + e (t) L -ico L J_^ L J 0 o L J 0 r 1 ı r ı r i (t) = - i (t) + - i (t) = E + i (t) J.. C J.. C -L o G J n Bu ifadeerden görüdüğü gibi eğer e (t) ve i (t) empus oarak verimiş ise u. ı (t) = e- ' Lt u.ı (t) (5) J f (a) (b) e (t) = o ve o i (t) d t = o böyece o i (o+) = I v (o+) = Ü our. Bu bağantıar sonucu oarak endüktansa rın akıma ve kapasitansarm da geriime hassas eemanar oduğu ve endüktansarda akımın, ka-pasitansarda da geriimin aniden değişemiyece-ği neticesine varıır. Bu eemanarın bu mühim hassaarı eektroteknikte sıra ie akım ve geriim regüasyonu için kuanımaktadır. Nihaî Değerer ve Eşdeğer Devre : (a) ' Şeki 4b). Akım fonksiyonu. 3 du.ı (t) (b) di / _ t \ du.ı v(t) = L -=L-( -c- '^ - ı- L V ' L _ f -e- ' Lt \u u.,. (t) = (t) + e-"' L ' u., (t) Nihaî değererin buunması için sıra ie L ve C devreerinde birim - basamak (unit-step) geriiminin meydana getirdiği akım değererini hesap edeim. Şeki (4) te devreer uyarımı ve cevap (response) gösterimiştir. K AA/VVVV--------------- = e- / Lt u., ( t) (6) Şeki (4a) Seri -L devresi. T=C t -» Şeki 4C). Endüktans geriim fonksiyonu. E.M.M. 79
-/L «-1 VL (t) = e ifadesi bu geriiminin t = es anında sıfır oduğunu beirtir ve doayısıya endüktans t = eo anında kısa devre özeiği gösterir ----------- \MAMA/-------- Şu hade devreerde son değereri hesap edebimek için devrede buunan endüktansarı kısa devre ve kapasitansarı da açık devre oarak göstermek gerekir. Şeki (4a-f) de gösterien devre ve çözümerinin sonuçan şeki 5 de gösterimiştir. 1 u, (t) Şeki (4d) u-ı (t) = i + i Seri C devresi t/'c i (t) = e (t) ı (8) Şeki (4e) Akım fonksiyonu. Şeki, 3, ve 5; L ve C eemanarının t = o + ve t = co anarındaki özeikerim göstermektedir Bu şekierde görüdüğü gibi endüktans ve kapasıtansta enerji osun veya omasın gösterien özeiker ya kısa devre veya açık devre özeikeridir, ancak, devrede enerji mevcut ise bunar t = o + anında açık devre özeiği gösteren endüktansta enerji açık devre eemanına parae bağı ve (t) = - c i = C t/c e u.ı (t) = c t/c (t) i(t),-»=, = O oduğundan kapasitans t =eo anında açık devre özeiği gösterir. Şeki 4a-f L ve C devreerinde birim-basamak uyarımının meydana getirdiği cevapardır. değen enerjiye tabı bir akım kaynağı ie ve kapaı veya kısa devre özeiği gösteren kapasitansta enerji kısa devre oarak gösterien kapasitansa seri oarak bağanmış ve değeri ik enerji ie beirtimiş bir geriim kaynağı ie gösteriir ' Örneker: T=C Şeki (4}> Kzpasıtans genım fonksiyonu t Verien devrenin t <^ O anarında enerji sahibi omadığı ve t = o anında anahtarın kapatıdığını kabu edeim. Verien devrede'ia, ib, iç ve id akımarını ve V L geriiminin ı) t = o + ve u) t = as anarındaki değererini buaım. KISA DEVE KISA DEVE ACIK DEVE *V AÇIK o DEVE Başangıç enerjisi omayan eemanar t = co için eşdeğei Başangıç enerjisi devre ian eemanar t = ee iç' n eşdeğeı devre Şeki (5) L ve C eemanarında enerji buunması ve buunmaması hainde t = cb iken devre durumu. E.M.M. 79
VvVMv- [«b ıı * ih "T >3h ) Şeki (7a) da verien devrede A! anahtarı t = o anında kapatııyor. Bu devrede her iki endüktansın uçarındaki geriimeri t = o -f- anında ve her iki kapasitansın geriimerini t= co anı için buaım. ı Şeki (6a). Çözüm : 1) t = o + için devrede hiç enerji omadığından L açık devre ve C kısa devre oacaktır. Durum (6b) de gösterimiştir. Aı E Şeki p-w$fo I (7a). Verien devrede t <^ O anında hiç bir enerji buunmadığında A, anahtarı t = o anında kapa-.. açık devre J=- E ra.d. kısa devre Şeki (7b). Şeki (7a) devresi t = o + için.'. v _ i 4 = 10 vot L c ü) t = os için devrede L kısa devre C ise açık devredir. Bu durum (6c) de gösterimiştir. -Ş- 0v * WVvWV Şeki 6c). = 5 amper =.5 amper t= os için (6a) devresinin adığı şeki. Su hade 0 ı = - = 10 amper a i = O açık devre b i = O id tüırsa Şeki (7a) devresi t = o + için Şeki (7b) ve t = os için de Şeki (7c) de oduğu gibi gösteriir. kısa d. a c vw kısa devre acık devre. Şeki (7c). Şeki (7a) devresi t = co için Şeki (7b) ve (7c) devreerinden E kaynağından çekien akımın değeri: ı = oduğu ve (7b) devresinde endüktansarın E geriimerinin İ = E ve (7c) devresinden de gene aynı akım geçtiği için kapasitansarın geriimerinin : E.M.M. 79 i = 10 amper d ı+ a oacağı koayıka görüür.
3) Bazen verien devrede bir kaç göz endük-tans ve kapasitansar buunabiir. Bu takdirde devre beiri bir enerji konumunda iken uyarııyorsa, devrenin her zamanki denge durumunu temsi eden denge denkemerini çözmek için yanız biinmi-yen akün veya geriimerin ik ve son değererini * bimek veya hesap etmek integra-diferensiye denge denkemerini çözmeye kâfi gemez. Bunun için istenen akım veya geriimin birinci ve daha yukarı dereceerdeki türeverinin t = o + anındaki de- O tererinin hesap edimeeri gerekir. Bu gibi haerde devre denge denkemeri yazıır ve Şeki ve 3 deki esasar kuanıarak önce t = o -f değereri sonra sıra ie ik ve daha yukarı derecedeki türev değereri denge denkemerinden hesap ediir. Bu izahı Şeki (8a) da gösterien devrede çıkış e (t) geriiminin t = o + anındaki değeri ve ik üç türevinin değerini hesap etmemizde uyguıyaım. denkemerini bu düğüm geriimeri (v, ve v ) cinsinden yazabiiriz. Bu ifadeer 10a ve b de gösterimiştir. -r + 1 -s +T] (",-'.)* L f (v v \ +C L J \ a!/, ' dv '(10a) " + TT ^ob) (10a) ve (Ob) ifadeerinde tarif edien v (t) geriimi inceenmesi istenen e (t) çıkış geriimine eşittir. Şeki (8b) t = o + da : v (t) = O ve v (t) = 0 ( } t=ö+,t = o+ oduğu görüür. Bu değerer (10a) ve (Ob) de x yerine konursa: dv ı»/ ^ e(t) ŞeM (8a). \.! anahtarı t = o anında açıdığına göre :,. de d e a değerini t = o + anında buaım. t = o + anında C^ ve C eemanarı kısa devre ve L eemanı açık devre oacağından t = o + için (8a) devresi Şeki (8b) sekini aır. ( î i t: ) i«i»( ît Şeki (8b). Şeki (8a) devresinin t = o + anında eşdeğer devresi Bu tip meseeeri çözmek için t >O anarını kapsıyan ve Şeki (8a) yi temsi eden devre integra-diferensiye denge denkemerini yazmak âzımdır. Şeki (8a) devresinde iki bağımsız düğüm noktası (node point) ( ve ) oduğundan denge ve s J_ T dv ı "dt dv = O "dt oduğu gösteriir. Şimdi (Ob) nin türevi aınırsa : ede ediir. Bu son ifadeye 11 ve 1 değereri uyguanınca : =0 dv a "di 5 " ede ediir. Son oarak (13) ifadesinin tekrar türevi aınır ve bu türev ifadesine 11, 1, 14 değereri uyguanırsa : d s v. 3 değeri hesap edimiş our. (1a) (1b) (14)
E.MM. 79
dv d'v, _» 1 ~ (15) d a v a a LG LG, C, değereri hesap ediir. Bu tip meseeerin çözümerinde hatıranacak en mühim husus 10a, Ob, 13 ve 15 denkemerinin t ^> O anarının bütününü kesiksiz bir şekide kapsadığı ve bu sebepten t = o + değeri için gereki hesaparın yapıabimesini sağamış omasıdır. Bir diğer husus da (ki örnek probem ie igisi yoktur), ik değereri koayıka kuanmamıza imkân vermektedir. Şöye ki, her hangi bir devrede nazarı itibare aınan ik değerer, o devrenin ik değererin düşünüdüğü andan evve her ne şekide uyarımış ourarsa osun bu uyarım tesireri ik değer anında endüktansta bir akım ve kapasitansta bir geriim ie temsi ediirer (bak şeki 3). Bununa beraber yukarda ifade edien akım veya geriimin ne şekide eemanara tatbik edidiği ve son değeri adığı ik değererin hesaparı için önemi değidir. 4) Son örnek oarak (9a) devresini ee aaım. Bu devrede t = o anında devrede enerji depoandığını ve bunarın L deki I 0 akımı ve C deki E 0 geriimi ie değerendiriebidiğini kabu edeim. (16) ve? direncinin geriimi : E = I = E dir. Şu hade t = o + için endüktansın taşıdığı akına : amper ve kapasitans geriimi I -J-g E = E» = o Bu duruma göre t = o -f anı için Şeki (9a) devresi eş değer durumu, Şeki (3) deki esasar uyguanınca Şeki (9c) haini aır. (9c) E vottur. t = o + içm jefctî (9a; ŞeşM (9a). Şeki (9a) da A! anahtarı t = o anında kapatııyor, t <^ O için devre duruş haine varmıştır. Aj den geçen akımın ve bu akımın türevinin t = o + ve aynı akımın t = oo değerini hesap edeim. O için devre Şeki (9b) de gösterimiştir.! e Şeki İ» 1 f *' \ (9t>). Geriim kaynağının vardığı akım E Şu hade A! anahtarından geçen akım : ^9- amperdir. A anahtarından geçen akımın türevinin t = o + anındaki değerini bumak için örnek (3) de yaptığımız gibi Şeki (9a) devresinin t^> O için denge denkemini yazaım. Devre bağıntıarı nı yazmak için E geriim kaynağı ve! direncini Thevenins-Nortons transformasyonuna göre değiştireim, ve Şeki (9d) devresinde V! ve v biinmiyen geriimere göre akım denge bağıntıarını yazaım: E /, 1 /-KTOOTv - onnnr^- L -"-C Şeki (90.). t - = + f ( L ı I I J V 00 (17) 70 x f,
«o Son iki bağıntıda integra ifadeerini ( eo,0) ve (O t) araıkarına ayırır ve ( co,0) değereri I 0 akımını vereceğinden, yerine koyarsak: (18) v \ (19) 0= -I +T L I fv v v 0 L ( bağıntıarı ede ediir. Bu bağıntıarda biinmiyen : v ve v geriimerini t = o + için hesap edebiiriz: T = = ^ buunmuştu. 1 o 1 Şu hade x den geçen akün : I = 10 böyece v 1 E E E» + - E 1 1 (o+) = I = 10 1 ( + ) 1 1 ' E z ( + 3 1 1 ve + 1 E = Şu hade A! o anahtarından t = o + anında geçen akün: a v(o+) - E ( + buunur. amper (18) Bağantısında t-»o + aınırsa, integra teriminin hiç bir tesiri omıyacağı görüür ve bu bağantıdan dv / çözüürse:. 3 1 g buunur. v (o+) (4) - + - (*»> 3 Şu hade Aj anahtarından t = o + anında geçen akımın türevi, ( 3 ) direnci geriiminin türevinin t = o + anı değerinin 3 oranı oarak buunması mümkün oduğunda : t=o+ K a( ç- our. (5) Son oarak (9a) devresi t = co için Şeki (9e) de görüen şeki aır. (1), -* j I j () (3) E İ ". t = co anında L kısa devre ve C açık devre oacağından, Şeki (9a) devresini gösterir. Bu devreden : r, ı a = a + 3 + 3 ı+1/ a+1/ 3 değereri buunur. I 3 t = co anında Aj anahtarından geçen akım değerini gösterir. Netice : Lineer devre anaizerinde denge denkemerini çözmek için üzumu ik değerer bu yazımızda gösterien metodar yardımı ie buunabiir. Bu sebepten devre anaizerini yapabimek için üzu- E.M.M. 79