Elastik zemin üzerindeki çubuk uygulamalarının serbest ve nonlineer titreşim analizi

Transkript

1 itüdergisi/d mühendisik Cit:4, Sayı:4, 5-6 Ağustos 5 Eastik üzerindeki uyguamaarının serbest ve nonineer titreşim anaizi Ai BAHÇIVAN *, Vedat KARADAĞ İTÜ Makina Fakütesi, Makina Mühendisiği Böümü, Gümüşsuyu, 34437, İstanbu Özet Bu çaışmada, değişik mesnet koşuarında iki parametrei bütünüye ve kısmi eastik üzerinde üniform kaın eemanının serbest ve nonineer titreşimerinin anaitik ve deneyse anaizi yapımıştır. Nonineer anaizde, sadece eğime hareketi 6 serbestik derecei kaın eemanı serbest titreşimeri inceenmiştir. Çubukarın titreşim anaizi, değişik mesnet koşuarında boyuna uzama da hesapara dahi edierek inceenmiştir. Eastik ; Winker modüü ve kayma modüü ie isimendirdiğimiz iki modüe karakterize edien sabit iki-parametrei mode oarak temsi ediir. Kayma deformasyonu, rijitik parametreeri ve kısmi eastik etkierinin yanında, nonineer eğime, boyuna-eğime girişimi ve büyük yer değişimerinden kaynakanan nonineer etkier inceenmiştir. Bu anaizden ede edien anaitik ve deneyse sonuçar arasında iyi bir uyumun oduğu da gözenmiştir. Anahtar Keimeer: Çubuk, doğa frekans, dönme ataeti, eastik, kayma deformasyonu. The anaysis of free and noninear vibrations of beam appications on eastic foundation Abstract In the present work, the anaytica and experimenta anaysis of free and noninear vibrations of uniform thick beam eement on two-parameter fu and partia eastic foundation is made. In the noninear anaysis, free vibrations of 6 degrees of freedom thick beam eement are ony investigated. The vibration anaysis is aso made considering axia dispacement of the beam in different end conditions. The eastic foundation is ideaized as a constant two-parameter mode characterized by two modui, i.e. the Winker foundation moduus k and the shear foundation moduus k G. In the case k G =, this mode reduces to the Winker mode, i.e. the eastic foundation is ideaized as a constant one-parameter mode. The effects of shear deformation; foundation stiffness parameters and partia eastic foundation are examined. Noninear vibrations of the beam are cacuated by considering a noninear effects. In the noninear vibration anaysis, noninear bending, ongitudina-bending and arge bending dispacement effect are incuded to noninearity. In addition to these effects, noninear bending, ongitudina and arge bending dispacement are examined as noninear effects. The resuts obtained from the anaytica and experimenta studies are presented by showing in tabes and graphs and their importance in design is discussed. The numerica resuts obtained from this anaysis are compared with the exact or avaiabe soutions in the iterature, whereever possibe. The anaytica and experimenta resuts and comparisons show the effectiveness of the proposed method. Keywords: Beam, natura frequency, rotatory inertia, eastic foundation, shear deformation. * Yazışmaarın yapıacağı yazar: Ai BAHÇIVAN. abahcivan@petkim.com.tr; Te: (3) Bu makae, birinci yazar tarafından İTÜ Makina Fakütesi'nde tamamanmış oan "İki parametrei eastik üzerinde kaın arın serbest ve nonineer titreşimerinin anaitik ve deneyse anaizi" adı doktora tezinden hazıranmıştır. Makae metni tarihinde dergiye uaşmış, tarihinde basım kararı aınmıştır. Makae ie igii tartışmaar 3..5 tarihine kadar dergiye gönderimeidir.

2 A. Bahçıvan, V. Karadağ Giriş Toprak-yapı etkieşimi ie igii birçok probem, eastik üzerinde ie modeenebiir. Eastik üzerine oturan ar uyguamada çok kuanıan yapı eemanarıdır. Buna pratik örneker; demiryou üst yapıarı, otoyo i ve bütünüye destekenen boru hatarıdır. Geçmiş yıarda, havaaanı yapıarında fiamenterin kuanımının artması, soğuk bögeerde yapıan bina çaışmaarı ie eastik veya viskoeastik e oturan probemerinin çözümüne oan ihtiyacı arttırmış, uyguama aanının genişiği nedeniye de bu konuda birçok araştırma yapımıştır. Eastik e oturan arın hesabı için, özeikerini ve davranışını dikkate aan birçok hipotez vardır. Eastik e oturan ara ait çaışmaarda esas hipotez, geneike tepkieri konusunda yapıan hipotezdir. Bunar arasında en çok kuanıanı, reaksiyonunun çubuğun sehimeri ie orantıı oduğuna dayanan Winker hipotezidir. Bu orantı, Winker modüü veya. parametresi oarak adandırıır. Winker modüünde, e etkiyen kuvveter yanız etkidiği noktada şeki değiştirme ouşturduğu yani bu durumda birbirinden bağımsız ve birbirine sonsuz yakın yayardan bieşikmiş gibi göz önüne aınmakta, bu yayarın yanız doğrudan doğruya yükendikerinde çekip tepki gösterdikeri, ancak her yayın komşu yayarın yükenme ve çekmesinden etkienmediği kabu edimektedir. Diğer bir ifadeye, Winker ; birbirine yakın yereştirimiş, boyunca üniform dağıan, bağımsız, ineer eastik düşey bir grup yaydan ouşmaktadır. Fakat, gerçekte yanız yükenen böge depasman yapmakta, yükenen bögeye bitişik yerer ise yükü bögeye uzakıkarıya orantıı oarak depasman yapmaktadır. Eastik, genede matematikse koayığı ve basitiği açısından Winker ie yani -parametrei ie modeenir. Fakat, Winker, pratikte birçok eastik karakteristikerini hassas ve kusursuz bir şekide temsi edemez. Winker modeinin süreksiz doğasını eimine edebimek için, Winker modeden daha kusursuz ve eastik süreki ortam modeinden daha basit oan iki parametrei modei geiştirimiştir.. parametresi, i temsi eden yayar arasındaki iişkiere veya in eastik sabiterine bağı oarak, değişik modeerinde değişik şekierde tanımanmıştır. Çaışmada, -parametrei eastik modeinde, yayar arasında kayma etkieşimi vardır. Yayarın üst uçarına, sadece transverse kayma ie deforme oan sıkıştırıamaz bir tabaka (kayma tabakası) bağanmıştır. Temede kaın arın titreşimerine yöneik çaışmaar; iteratürde görüdüğü gibi büyük igi konusu omuştur (Huang, 96; Przemieniecki, 968; İpek, 979; Bahçıvan ve Karadağ, 999). Kısmi ve bütünüye eastik üzerinde kaın arın serbest titreşimeri üzerinde yine iteratürde sayısız araştırmacı tarafından yoğun bir şekide çaışma yapımıştır (Doye ve Pavovic, 98; Eisenberger vd., 985; Vasangkar, 987). İki parametrei modei yine iteratürde kapsamı bir şekide inceenmiştir (Eisenberger ve Castornik, 987; Vasangkar ve Pradhanang, 988; Shirima ve Giger, 99; De Rosa, 993; Franciosi ve Masi, 993; De Rosa, 995; Yokoyama, 996; Mousy, 999). Titreşim anaizi üzerine sonu eemanar modeinin uyguamasına dönük çaışmaar ise, iteratürde güçü bir prosedür omuştur (Przemieniecki, 968; Severn, 97; Petyt, 99; Fagan, 99; Knight, 993). Son birkaç yı içinde, kasik Bernoui-Euer arın nonineer titreşimeri birçok yazar tarafından yoğun bir şekide araştırımıştır (Mei, 985, 986; Lewandowski, 987; Yucheng ve Raymond, 997). Yüksek kayma modüüne sahip kompozit mazemeerin yoğun bir şekide kuanımı ve uzay, inşaat ve makine mühendisiği uyguamaarında yüksek doğa frekansa sahip eemanarını kuanma gereği, kasik teorisini yetersiz kımıştır. Sonuçta, dönme ataeti ve kayma deformasyonu etkierini içine aan kaın teorisinin, arın dinamik cevaparının, serbest titreşim ve stabiite probemerinin araştırımasında kuanımı zaruri omuştur. Buradan harekete, iteratürde de görüdüğü üzere, kaın arın nonineer titreşimeri üzerine kapsamı bir çaışma yapımıştır (Rao ve

3 Eastik üzerindeki uyguamaarı Raju, 976; Singh vd., 99; Rao, 99; Lewandowski, 994; Srirangarajan, 994; Lin ve Tsuai, 996; Foda, 995, 999). Çaışmada, ineer serbest titreşim anaizi eğime hareketi 4 ve 6 serbestik derecei iki farkı kaın eemanı Bahçıvan ve Karadağ (999) kuanıarak yapımıştır. Bunun yanında, nonineer anaiz, sadece eğime hareketi 6 serbestik derecei kaın eemanı kuanıarak yapımıştır. Mevcut çaışmada, doğa frekansarı üzerinde dönme ataeti ve kayma deformasyonu ie rijitik parametreeri ve kısmi in etkieri inceenmiştir. Bu etkierin yanında, nonineer anaizde, doğa frekansarı üzerinde nonineer eğime, boyuna-eğime girişimi ve büyük yer değişimerinden kaynakanan nonineer etkier araştırımıştır. Kısmi ve bütünüye eastik üzerinde eğime hareketi 4 ve 6 serbestik derecei kaın eemanarının değişik sınır şartarında sonu eemanar modeiye anaitik ve deneyse oarak serbest ve nonineer titreşim anaizi yapımıştır. Anaitik hesapamaarda, mazemesi oarak C67 çeik ve sert pastik kuanıırken; deneyse anaizde mazemesi oarak, çeik, sert pastik, pirinç ve aüminyum ve eastik mazemesi oarak da, gri sünger, beyaz sünger, poietien köpük ve cam yünü kuanımıştır. Çubuk mazemeerine ait mekanik özeiker, mazemeerinin temini esnasında satış kataogarından ede edimiştir. Bunun yanında, beyaz sünger ve gri sünger gibi eastik mazemeerinin eastikik modüeri TSE nce deneyse oarak ede edimiştir. Diğer eastik mazemeerinin mekanik özeikeri ise üretim kataogarından temin edimiştir. Deneyse anaizde, eastik modüeri hesapanırken çökmeerin hassas oarak buunmasında komparatör öçümerinden faydaanımıştır. Deneyde kuanıan ve eastik mazemeerinin küçük sönüm miktararını tespit etmek amacıya, deneyse oarak mazemeerin boyutsuz sönüm faktöreri ede edimiştir. Anaitik hesapamaarda, Winker rijitik parametresi λ ve kayma rijitik parametresi λ G değereri De Rosa (993) dan aınmıştır. Nonineer anaizde kuanıan s/r değeri ise, Srirangarajan (994) dan aınmıştır. Hareket denkemeri Kesit aanı A, eastikik modüü E, kayma modüü G, kütese ataet momenti I ve yoğunuğu ρ oan dikdörtgen kesiti L uzunuğunda eastik kaın bir için, aşağıda Şeki de görüdüğü gibi, koordinat sistemi; çubuğun asa eksenini x ekseni, kaınığını z ekseni ve yüksekiğini de y ekseni gösterecek şekide oxyz eksen takımı seçimiştir. Şeki. Koordinat ekseneri Şeki de gösteridiği gibi, kısmi eastik bir üzerinde kaın eemanını aaım. Burada, eastik ; k Winker modüü ve k G kayma modüü ismini verdiğimiz iki modüe karakterize ediebien sabit iki parametrei bir modee temsi ediir. Eğer k G = oursa, modeimiz biinen -parametrei (Winker modei) modee dönüşür. Mevcut modeimizde, (i) mazemesinin izotropik, homojen ve ineer eastik oduğunu, (ii) titreşim genikerinin yeterince küçük oduğunu, (iii) kesit düin başangıçta nötr eksenine norma oduğunu fakat, eğime sonrasında bunun değiştiğini, (iv) sönüm ve eyemsiziğinin ihma ediebiir oduğunu, (v) ve arasındaki bağın kusursuz oduğunu kabu ediyoruz. İki parametrei eastik üzerinde kaın çubuğun hareketine ait diferansiye denkemeri, potansiye ve kinetik enerji denkemeri kuanıarak ede edimiştir. -parametrei eastik üzerinde çubuğa ait topam potansiye enerji denkemeri aşağıdaki gibi yazıabiir:

4 A. Bahçıvan, V. Karadağ V = V L + V NL () V NL w u w = EAϕ max dx+ EAϕ max dx(4) 4 x x x Bu denkemde, terimer sırasıya, nonineer eğime yer değişimi nedeniye taki potansiye enerjiyi; boyuna-eğime girişimi hainde taki potansiye enerjiyi ifade eder. Şeki. Kısmi eastik üzerinde üniform kaın -parametrei eastik üzerinde çubuğun ineer potansiye enerjisi açık bir ifadeye aşağıdaki gibi yazıabiir. V L = EI + k ( w ) dx + EA ( u ) w dx + k dx + ( ) w dx + kbz G k GA ψ dx () u dx Bu denkemde, terimer sırasıya, eğimeden doayı ta depoanan potansiye enerjiyi; çubuğun topam boyuna yer değişimi potansiye enerjisini; çubuğun eğimesi esnasında dönmeden doayı ouşan kayma şeki değiştirmesi sebebiye ta depoanan potansiye enerjiyi; Winker etkisiye ouşan potansiye enerjiyi; Kayma etkisiye ouşan potansiye enerjiyi ve son ifade ise; boyuna yönde etkisi yay etkisi gibi düşünüürse, bu durumda ouşan potansiye enerjiyi ifade eder. -parametrei eastik üzerinde çubuğun nonineer potansiye enerjisi açık bir ifadeye aşağıdaki gibi yazıabiir. -parametrei eastik üzerinde çubuğa ait topam kinetik enerji denkemeri aşağıdaki gibi ede ediir. T = T + (5) T BYD -parametrei eastik üzerinde çubuğun kinetik enerji denkemi açık oarak aşağıdaki gibi ede ediir. du T ρa dx+ ρa dt dx( L) + mek dt dw dϕ dx+ ρi dx dt dt (6) = Bu denkemde, terimer sırasıya, boyuna yer değişimi kinetik enerjisini; çubuğun eğime yer değişimi hainde kinetik enerjisini; büyük yer değişimeri hainde kinetik enerjiyi ve ankastreserbest hade serbest ucunda nokta küte oması hainde kinetik enerjiyi ifade eder. -parametrei eastik üzerinde büyük eğime yer değişimerine maruz çubuğun kinetik enerjisi ise aşağıda veridiği gibi yazıabiir. w d w TBYD = ρ A dx (7) x dt x V NL = 4 w EA 4 x u w x x dx + EA dx (3) Çubuğun tanımından ϕ max i w = x i Çubuğun tanımından ϕ maxi w = x i oarak aınırsa, kinetik enerji denkemi tekrar aşağıda gösteridiği gibi veriebiir. oarak aınırsa, potansiye enerji denkemi tekrar aşağıdaki şekiye yazıabiir. T BYD d w = ρ A ϕ max dx (8) dt x

5 Eastik üzerindeki uyguamaarı Sonu eemanar formüasyonu Sistemin hareket denkemeri Hamiton prensibi kuanıarak aşağıdaki gibi yazıabiir; t ( T V ) t δ dt + δadt = (9) t t Bu denkemde T kinetik enerjiyi, V potansiye enerjiyi, δa ise virtüe işi ifade etmektedir. Hamiton prensibinden harekete kinetik ve potansiye enerji ifadeerinin yazıması ie, serbest titreşimer için; [ M ]{ δ & } + [ K]{} δ & = () bağıntısı ede ediir. Sistemin ω frekansı ie harmonik yer değişimi yaptığını kabu edersek denkem aşağıdaki şeke dönüşür; [ K ] [ M ]]{ δ } = ω () i Sonu eemanar yöntemi, () denkeminin çözüebimesi amacıya [K] ve [M] matriserini ede etmek için yeteri yakaşımı sağamaktadır. Çubukarın eğime titreşimeri inceenirken, eğime esnasında meydana geen dönmeden doayı ouşan dönme ataeti ve kayma şeki değiştirmesi de hesaba katımış ve inceenmiştir. Şeki 3 te -parametrei eastik üzerinde kaın çubuğa ait düğüm noktaarının boyuna, eğime ve dönme koordinatarı verimiştir. kuanıan mazemeerinin geometrik ve mekanik özeikerini verirken, Tabo de, kuanıan eastik mazemeerinin benzer özeikerini vermektedir. Tabo 3 ise, nonineer hesapamaarda kuanıan mazemeerinin özeikerini vermektedir. Sayısa değerer çift hassasıkı oarak hassas, standart yöntemer kuanıarak çözümüştür (İpek, 979; Karadağ, 996). Eğime hareketi 4 ve 6 serbestik derecei kaın eemanarına ait küte [M e ] ve rijitik [K e ] matriseri Bahçıvan (999) dan, eastik e ait rijitik [K f ] ve [K f ] matriseri ise Bahçıvan () dan aınmıştır. Deneyde kuanıan cihazar; Adet iki kanaı CSI Mode- Machinery Anayzer, Adet CSI İvme Transdüseri Type A7GP, Adet Darbe çekici ve adet Sensor Tutucu. Tabo. Çubuk mazemeerinin mekanik ve geometrik özeikeri (deneyse) Özeik. Pastik (Poipom) Çeik (St-37) Pirinç (%3 Zn) Aumin. (663) E (N/m ) G (N/m ) ρ (kg/m 3 ) b (mm) h (mm) L (mm) k 5/6 5/6 5/6 5/6 Tabo. Eastik mazemeerinin mekanik ve geometrik özeikeri (deneyse) Özeiker Gri Sünger Cam Yünü Poietien Köpük Beyaz Sünger E (N/m ) b (mm) h (mm) L (mm) k (N/m) k G (Nm) Şeki 3. -parametrei eastik üzerinde kaın eemanı düğüm noktaarına ait yer değiştirmeer Anaitik ve deneyse sonuçar ve tartışıması Lineer serbest titreşim anaizinde kuanıan verier Tabo ve Tabo de verimiştir. Tabo, Tabo 3. Çubuk mazemeerinin mekanik ve geometrik özeikeri (anaitik) Özeiker Pastik C67 çeik E (N/m ) G (N/m ) ρ (kg/m 3 ) b (m) h (m).3.6 L (m).. k 5/6 5/6

6 A. Bahçıvan, V. Karadağ Nümerik sonuçar aşağıda verien boyutsuz parametreere ede edimiştir; 4 ( ρal / EI ) ω 4 C = :Frekans parametresi λ = kl 4 / EI :Winker parametresi λ = k G L / π EI :Kayma parametresi G ( L L )/ L β = :Zemine destekenen boyun topam boyuna oranı ( L = destekenmeyen boy) -parametrei kısmi ve bütünüye eastik üzerinde eğime hareketi 4 ve 6 serbestik derecei kaın eemanarının anaitik ve deneyse oarak serbest ve nonineer titreşim anaizi yapımıştır. Nonineer anaizde, sadece eğime hareketi 6 serbestik derecei kaın eemanı kuanımıştır. Anaizerde, kayma deformasyonu ve dönme ataet etkieri hesaba katımıştır. Lineer anaiz, ankastre-serbest ve ankastre-ankastre mesnet haerinde pastik, çeik, pirinç ve aüminyum kuanıarak yapımıştır. Eastik mazemesi oarak da, gri sünger, cam yünü, poietien köpük ve beyaz sünger kuanımıştır. Nonineer anaiz, basitbasit mesnet hainde sert pastik ve C67 çeik kuanıarak yapımıştır. Kaın arın doğa frekansarı üzerinde kayma deformasyonu ve dönme ataet etkieri ie rijitik parametreerinin ve kısmi in etkieri inceenmiştir. Bunun yanında, nonineer anaizde, doğa frekansarı üzerinde nonineer eğime, boyuna-eğime girişimi ve büyük yer değişimi hainde nonineer etkier inceenmiştir. Anaitik hesapamaarda, kısmi parametresi β için,,.5,.5,.75,. değereri aınmıştır. Deneyse anaizde ise, kısmi i ifade eden β parametresi sadece.5 aınarak yapımıştır.. ve. modüeri komparatör öçümüye buunarak e ait boyutsuz parametreer ede edimiştir. Anaitik hesapamaar yapıırken; deney esnasında kuanıan sensor(4gr)+sensor tutucu (gr)+sensor kabosundan(gr) ouşan 6 gr ık ek küte hesaba katımıştır. Anaizde ik oarak, Tabo 4 te, ankastre-serbest mesnet hainde bütünüye eastik üzerinde kaın pastik çubuğun ineer serbest titreşim frekansarı üzerinde anaitik ve deneyse oarak eastik in etkisi inceenmiştir. Tabo 4 te görüen şudur ki, eastik etkisiye ineer frekansardan bir kısmı artmaktadır. Bunun yanında, eastik etkisinin, çubuğun yüksek titreşim biçimerine nazaran düşük titreşim biçimerinde daha baskın oduğu görümektedir. Deneyse sonuçara anaitik hesapamaarın karşıaştırımasında eastik sadece - parametrei modee temsi edimiştir. Yani karşıaştırmaar, iki parametrei eastik üzerinde kaın arın serbest titreşim frekansarının anaitik ve deneyse oarak karşıaştırımasıdır. Anaizer, anaitik ve deneyse sonuçar arasında iyi bir uyumun oduğunu göstermektedir. Yine Tabo 5 te, ankastre-serbest hade kısmi eastik üzerinde pastik kaın çubuğun ineer titreşim frekansarı üzerinde kısmi eastik in (β=.5) etkisi anaitik ve deneyse oarak inceenmiştir. Tabo 5 ten görüen yine şudur ki, çubuğun yüksek frekansarına nazaran düşük frekansarı üzerinde ve de özeike. frekansın üzerinde kısmi eastik in etkisi odukça beirgindir Tabo 6 da, basit-basit mesnet hainde eğime hareketi 6 serbestik derecei kaın pastik eemanı nonineer serbest titreşim frekansarı üzerinde bütünüye eastik in etkisi anaitik oarak inceenmiştir. Tabo 6 dan görüen şudur ki, kayma deformasyonu ve dönme ataetinin bazı frekansarda nonineerik etkieri oranarını arttırıcı yönde bir etkisi omaktadır. Lineer anaizin aksine, nonineer hade eastik etkisiye aynı frekansarın kuanıan örnek için azadığı tespit edimiştir. Tabo 7 ve 8 de sırasıya, basit-basit mesnet hainde eğime hareketi 6 serbestik derecei kaın eemanı nonineer titreşim frekansarı üzerinde bir parametrei ve iki parametrei kısmi eastik in etkisi anaitik oarak inceenmiştir.

7 Eastik üzerindeki uyguamaarı Tabo 4. Ankastre-serbest hade bütünüye eastik üzerinde pastik serbest titreşim frekansarının anaitik ve deneyse karşıaştırıması Bütünüye Zemin ( β=.) Zemin durumu Eğ. har. 4 serbestik derecei kaın Anaitik sonuçar f [Hz] Eğ. har. 6 serbestik derecei kaın Deneyse sonuçar f [Hz] Zemin yok Gri sünger Cam yünü Poietien köpük Beyaz sünger Tabo 5. Ankastre-serbest hade kısmi eastik üzerinde pastik serbest titreşim frekansarının anaitik ve deneyse karşıaştırıması Kısmi (β=.5) Zemin durumu Anaitik sonuçar f [Hz] Eğ. hareketi 4 serbestik derecei kaın Eğ. hareketi 6 serbestik derecei kaın Deneyse sonuçar f [Hz] Zemin yok Gri sünger Cam yünü Poietien köpük Beyaz sünger

8 A. Bahçıvan, V. Karadağ Tabo 6. Basit-basit mesnette eğime hareketi 6 serbestik derecei kaın pastik nonineer serbest titreşim frekansarı üzerinde bütünüye eastik in etkisi(s/r=) Eastik yok (λ=λ G =) Lineer NL GNL GNL ve BYD parametrei eastik üzerinde (λ=, λ G =) parametrei eastik üzerinde (λ=, λ G =.5) Tabo 7. Basit-basit mesnet hainde eğime hareketi 6 serbestik derecei kaın çeik nonineer serbest titreşim frekansarı üzerinde -parametrei kısmi eastik in etkisi (s/r=.) -parametrei kısmi eastik üzerinde (λ=, λ G =) β= β=.5 β=.5 β=.75 β=. Lineer NL GNL GNL ve BYD Tabo 7 ve 8 den görüen şudur ki, β>.5 omak üzere, düşük titreşim biçimerine nazaran yüksek titreşim biçimerine ait nonineer serbest titreşim frekansarı kısmi eastik den çok az etkienirer. Yani, kısmi eastik in etkisi, çubuğun düşük titreşim biçimerinde, özeike. özfrekansında daha baskındır. Tabo 8. Basit-basit mesnette eğime hareketi 6 serbestik derecei kaın çeik nonineer serbest titreşim frekansarı üzerinde - parametrei kısmi eastik in etkisi (s/r=.) -parametrei kısmi eastik üzerinde (λ=, λ G =.5) β= β=.5 β=.5 β=.75 β=. Lineer NL GNL GNL ve BYD Grafiker Deneyse anaizde kasik çekiç testi uyguanmıştır. Çekiç ie en iyi yapıan tahrik, titreşim biçimine göre seçien yererden yapıan tahriktir. Fakat birçok titreşim biçimi için en iyi uzakık ise çubuğun bir kenarından /3 ü kadar mesafesi oan uzakıktır. Bunun yanında, eğer tahrik yeri çubuğun titreşim biçimerinin herhangi bir düğüm noktası ie çakışırsa, o titreşim biçiminin frekansı öçümez. Aynı zamanda taboardaki virgü ha-nesine göre, düğüm noktaarı dışında kaan her noktadan aınan öçümer birbirini doğruamaktadır. Ankastre-serbest mesnet hainde serbest uçtan, ankastre-ankastre mesnet hainde ise boyunun /3 ve / sinden veri aınmıştır. Bunun sonucunda farkı sınır şartarında, farkı ve mazemeeri için spektrum gra-

9 Eastik üzerindeki uyguamaarı fikeri aınmıştır. Bu grafiker Şeki 4-6 da verimiştir. Aşağıda verien spektrum grafikerinde yatay eksen ineer aınmış ve frekansar Hz cinsinden öçümüştür. Yine grafikerde düşey eksen ineer aınmış ve geniker İvme (G-s) cinsinden öçümüştür. ORTALAMA G-S PİK ORTALAMA G-S PİK Frekans Genik Frekans Genik Şeki 6. Ankastre-serbest hade kısmi gri sünger üzerinde pastik spektrum grafiği (sensor uçta) Deney öçüm cihazarı ve sistemi ise, Şeki 7 ve Şeki 8 de gösterimiştir. Şeki 4. Ankastre-serbest hade siz pastik spektrum grafiği (sensor uçta) ORTALAMA G-S PİK Şeki 7. Ankastre-serbest hade bütünüye gri sünger üzerinde pastik Frekans Genik Şeki 5. Ankastre-serbest hade bütünüye gri sünger üzerinde pastik spektrum grafiği (sensor uçta) Şeki 8. Ankastre-serbest hade kısmi gri sünger üzerinde pastik

10 A. Bahçıvan, V. Karadağ Sonuçar -parametrei bütünüye ve kısmi eastik üzerinde kaın arın çeşiti sınır şartarında anaitik ve deneyse oarak serbest ve nonineer titreşim anaizi yapımıştır. Kayma deformasyonu, rijitik parametreeri ve kısmi in etkieri inceenmiştir. Bunun yanında nonineer anaizde, nonineer eğime, boyuna ve eğime girişimi ve büyük yer değişimi hainde nonineer etkier inceenmiştir. Deneyse anaizde, arın doğa frekansarı üzerinde kısmi etkisi β=.5 için inceenmiştir. Anaitik hesapamaarda, kısmi parametresi β için,,.5,.5,.75,. değereri aınmıştır. Anaitik ve deneyse sonuçar arasında iki parametrei eastik modei kabu edierek karşıaştırma yapımıştır. Verien tabo ve grafikerden görüüyor ki, eastik in varığı ineer frekansarından bir kısmını arttırmaktadır. Aynı zamanda eastik etkisinin, çubuğun yüksek titreşim biçimerine nazaran düşük titreşim biçimerinde daha baskın oduğu görümektedir. Yine taboardan, dönme ataeti ve kayma deformasyonu etkisinin bazı frekansarda nonineerik etkieri oranarını arttırıcı yönde bir etkisi omaktadır. Lineer anaizin aksine, nonineer hade eastik etkisiye aynı frekansarın kuanıan örnek için azadığı tespit edimiştir. Buna ek oarak, kısmi eastik in de çubuğun hem ineer hem de nonineer yüksek frekansarına nazaran düşük frekansarında özeike. frekansında etkii oduğu görümektedir. Sonuçta, anaitik ve deneyse oarak anaiz edien sonuçar arasında iyi bir uyumun oduğu da gözenmiştir. Semboer u GNL BYD b h m I :Boyuna yer değişimi (m) :Boyuna-eğime girişimi :Büyük yer değişimeri :Çubuk genişiği (mm) :Çubuk kaınığı (mm) :Çubuk birim ağırığı (kg/m) :Çubuk kesidinin z-eksenine göre ataet momenti (m 4 ) :Çubuk uzunuğu (mm) :Çubuğun özfrekansı (rad/sn) :Eeman sayısı L f n E :Eastikik modüü (N/m ) w :Eğime yer değişimi (m) C :Frekans parametresi r :Jirasyon yarıçapı (m) k :Kayma katsayısı φ s :Kayma deformasyon parametresi G :Kayma modüü (N/m ) λ G :Kayma parametresi k G :Kayma modüü (N/m ) ϕ :Kesit dönmesi şekinde yer değişimi (rad) ψ :Kayma yer değişimi (rad) ϕ max :Maksimum kesit dönmesi (rad) NL :Nonineer eğime ν :Poison oranı s :Titreşim geniği (m) λ :Winker parametresi k :Winker modüü (N/m ) ρ :Yoğunuk (kg/m ) k bz :Zeminin boyuna yönde kayma yay katsayısı (N/m) β :Zemine destekenen boyun topam boyuna oranı :Nokta küte (kg) m ek Kaynakar Bahçıvan, A. ve Karadağ, V., (999). Vibration frequencies and dynamic stabiity of thick beams by finite eement method, Proceedings, The ASME ETCE 99 conference and exhibition, Houston, Texas, USA. Bahçıvan, A. ve Karadağ, V., (). Vibration anaysis of thick beams on two parameter eastic foundation by finite eement method, Proceedings, ETCE ASME Engineering Technoogy Conference on Energy, Houston, Texas, USA. De Rosa, M. A., (993). Stabiity and dynamics anaysis of two-parameter foundation beams, Computers and Structures, 49, De Rosa, M. A., (995). Free vibrations of Timoshenko beams on two-parameter eastic foundation, Computers and structures, 57,, Doye, P.F. and Pavovic, M. N., (98). Vibration of beams on partia eastic foundations, Earthquake Engineering and Structura Dynamics,, Eisenberger, M. ve Yankeevsky, D.Z. and Adin, M.A., (985). Vibrations of beams fuy or partiay supported on eastic foundations, Earthquake Engineering and Structura Dynamics, 3, Eisenberger, M. ve Castornik, J., (987). Beams on variabe two-parameter eastic foundation, ASCE

11 Eastik üzerindeki uyguamaarı Journa of Engineering Mechanics, 3,, Fagan, M. J., (99). The finite eement anaysis: Theory and practise, Longman Scientific Technica, New York, USA. Foda, M.A., (995). Anaysis of arge ampitude free vibrations of beams using KBM method, Journa of Appied Engineering Science, Cairo University, 5-8. Foda, M.A., (995). On noninear vibrations of a beam with pinned ends, Journa of Engineering Science, King Saud University, 7,, Foda, M.A., (999). Infuence of shear deformation and rotatory inertia on noninear free vibration of a beam with pinned ends, Computers and Structures, 7, Franciosi, C. ve Masi, A., (993). Free Vibrations of foundation beams on two-parameter eastic soi, Computers and Structures, 47, Hou, Y.C. ve Tseng, C.H., (996). A new high order non-uniform Timoshenko beam finite eement on variabe two-parameter foundations for vibration anaysis, Journa of Sound and Vibration, 9,, 9-6. Huang, T.C., (96). The effect of rotatory inertia and of shear deformation on the frequency and norma mode equations of uniform beams with simpe end conditions, Journa of Appied Mechanics, 8, İpek, M., (979). A mass matrix for beam eement derived from dynamic considerations, Research Report 79-3, Dpt. Of Architecture Facuty of Engand, Engand. Karadağ, V., (996). Dynamic stabiity anaysis of Timoshenko beams with geometric noninearity for three dimensiona motion, Proceedings, The ASME ESDA 96 conference, Structura Dynamics, Vibration, and Bucking, 3-8, Montpeier, France. Knight, C. E., (993). The finite eement method in mechanica design, Pws-kent Pubishing, Boston, USA. Lewandowski, R., (987). Appication of the Ritz method to the anaysis of non-inear free vibrations of beams, Journa of Sound and Vibration, 4,, 9-. Lewandowski, R., (994). Noninear free vibrations of beams by the finite eement and continuation methods, Journa of Sound and Vibration, 7, 5, Lin, Y.H. and Tsuai, Y.K., (996). Noninear free vibration anaysis of Timoshenko beams using the finite eement method, Journa of the Chinese Soc. of Mechanica Engineering, 7, 6, Mei, C., (985). A finite eement method for noninear forced vibrations of beams, Journa of Sound and Vibration,, 3, Mei, C., (986). Discussion of finite eement formuations of noninear beam vibrations, Computers and Structures,,, Mousy, M. E., (999). Fundamenta frequencies of Timoshenko beams mounted on Pasternak foundation, Journa of Sound and Vibration, 8,, Petyt, M., (99). Introduction to finite eement vibration anaysis, Cambridge University Press, Cambridge, Engand. Przemieniecki, J.S., (968). Theory of structure anaysis, McGraw Hi, New York, USA. Rao, G.V. ve Raju, K.K., (976). Noninear vibrations of beams considering shear deformation and rotatory inertia, AIAA Journa, 4, 5, Rao, B., (99). Large-ampitude vibrations of simpy-supported beams with immovabe ends, Journa of Sound and Vibration, 55, Severn, R. T., (97). Incusion of shear deformation in the stiffness matrix for a beam eement, Journa Of Strain Anaysis, 5, Shirima, L. M. ve Giger, M. W., (99). Timoshenko beam eement resting on twoparameter eastic foundation, ASCE J. of Engineering Mechanics, 8,. Singh, G., Rao, G.V. ve Iyengar, NGR., (99). Reinvestigation of arge-ampitude free vibrations of beams using finite eements, Journa of Sound and Vibration, 43, Srirangarajan, H.R., (994). Noninear free vibrations of uniform beams, Journa of Sound and Vibration, 75, 3, Vasangkar, A.J., (987). Vibrations of beams on a two-parameter eastic foundation, Proceedings, Eeventh Can. Congr. Appied Mechanics, A- A3, A. Edmanton. Vasangkar, A. J. ve Pradhanang, R. B., (987). Free vibration of partiay supported pies, ASCE Journa of Engineering Mechanics, 3, 8, Vasangkar, A.J. ve Pradhanang, R., (988). Vibrations of beam-coumns on two-parameter eastic foundations, Earthquake engineering & structura dynamics, 6, 7-5. Yokoyama, T., (996). Vibration anaysis of Timoshenko beam-coumns on two-parameter eastic foundations, Computers and Structures, 6, 6, Yucheng, S. ve Raymond, Y.Y. L., (997). Finite eement method for noninear free vibrations of composite beams and pates, AIAA Journa, 35,, 5-57.