İTÜ LİSANSÜSTÜ DERS KATALOG FORMU (GRADUATE COURSE CATALOGUE FORM) Dersin Adı Course Name Halka Teorisi I Ring Theory I Kodu (Code) MAT607E Enstitü/ABD/Program (Institute/ Department/Program) Dersin Türü (Course Type) Yarıyılı (Semester) Bahar/Güz Fall/Spring Kredisi (Local Credits) AKTS Kredisi (ECTS Credits) Ders Türü (Course Type) 3.0 7.5 Doktora Ph.D. Matematik Mühendisliği (Mathematics Engineering) Seçmeli (Elective) Dersin Dili (Course Language) İngilizce (English) Dersin İçeriği (Course Description) Rings and Modules and their propeties. Homomorphisims and commutative diagrams.eact sequences, the snake lemma.hom-functor, the left eactness of Hom-functor.Tensor product of modules, the right eactness of tensor-functor. Flat modules. Projective modules, flatness of projective modules. Injective modules. Divisible modules, divisibility of injective modules. Some basic properties of Et-functor. Halka ve Modül özellikleri.homomorfizmalar ve kmütatif diagramlar. Tam diziler ve uzun tam dizilerin elde edilişi. Hom-funktor ve Hom-funktorün sol tamlık durumu. Modüllerin tensor çarpımları, tensor çarpımların sağ tamlık durumu. Flat modüller.projektif modüller, projektif modüllerin flat olma durumu.injektif modüller.bölüm modülleri, injectif modüllerin bölüm modülleri olma durumu.etfunktörünün bazı temel özellikleri. Dersin Amacı (Course Objectives) 1. Further upgrade the eistance knowledge in Algebra acquired at undergraduate level. 2. Introducing the notions of homological algebra needed for research in Algebra and related fields. 3. To introduce and eamine the properties of certain functors such as Hom, Tor and Et.. 1. Lisans seviyesindeki Cebir bilgilerini bir üst seviyede ele almak ve geliştirmek. 2. Cebir ve Cebirin ilgili alanlarında yapılacak araştırmalarda kullanılabilecek Homoloji cebir kavramlarını vermek ve bu kavramlar arasındaki ilişkiyi kurmak. 3. Hom, Tor ve Et gibi bazı funktörlerin özelliklerini incelemek. Dersin Öğrenme Çıktıları (Course Learning Outcomes) Bu dersi başarıyla tamamlayan doktora öğrencileri aşağıdaki konularda bilgi, beceri ve yetkinlik kazanırlar; I. Halka ve modüllerin temel özellikleri. II. Homomorfizmalar ve değişmeli diyagramlar. III. Düz mödüller ve tensörel çarpımları IV. İki modülün tensör çarpım yapısının varlığı ve tekliği. V. Projektif ve serbest modüllerin düz modül olma özellikleri. VI. Modüllerin esaslı genişlemeleri. VII. Et ve Tor-fonktörler ve özellikleri. Ph.D. students who successfully pass this course gain knowledge, skills and competency in the following subjects; I. The properties of rings and modules. II. Homomorphisms and commutative diagrams. III. Flat moduls and tensör product of flat moduls. IV. The eistance and uniqueness of tensor product of two modules. V. The properties of flatness of projective and free modules. VI. Essential etension of modules VII. Et and Tor-functors and their properties.
Kaynaklar (References) Ödevler ve Projeler (Homework & Projects) Laboratuar Uygulamaları 1. Northcott, D. G. (1972). An introduction to homological algebra, Cambridge University press. 2. Sharpe, D.W. ve Vamos, P. (1971). Injective modules, Cambridge University press. 3. Matsumura, H. (1994). Commutative ring theory, Cambridge University press. Öğrencilerin dersi daha iyi öğrenmelerine yardım etmesi amacıyla dönem boyunca 5 tane ödev verilecek ve bunlar daha sonra değerlendirilerek %20 oranında final notunda etkili olacaktır. To help students learning and comprehending the course material better, 5 problem sets are assigned throughout the semester, and they will contribute 20% to the final grade. (Laboratory Work) Bilgisayar Kullanımı (Computer Use) Diğer Uygulamalar (Other Activities) Kısa Sınavlar Quizzes Başarı Değerlendirme Sistemi Faaliyetler (Activities) Yıl İçi Sınavları Adedi* (Quantity) (Assessment Criteria) (Midterm Eams) Kısa Sınavlar (Quizzes) Ödevler (Homework) Projeler (Projects) Dönem Ödevi/Projesi (Term Paper/Project) Laboratuar Uygulaması (Laboratory Work) Diğer Uygulamalar (Other Activities) Final Sınavı (Final Eam) *Yukarıda Belirtilen Sayılar Minimum Olup Yerine Getirilmesi Zorunludur Değerlendirmedeki Katkısı, % (Effects on Grading, %) 1 %30 (30%) 5 %20 (20%) 1 %50 (50%)
DERS PLANI Hafta Konular Dersin Çıktıları 1 Modüller ve homomorfizmaları I-II 2 Altmodüller ve özellikleri I-II 3 Sonlu Üreteçli Modüller I-II 4 Değişmeli Diagramlar ve Modüllerin Tam dizileri I-II 5 Modüllerin Tensor Çarpımları III-IV 6 Düz Modüller III-IV 7 Düz Modüllerin Tensor Çarpımları III-IV 8 Projektif Modüller ve Özellikleri V 9 Projektif ve Serbest Modüllerin Düz Modül olma özellikleri V 10 Injektif Modüller ve Özellikleri V 11 Bölünebilir Modüller V-VI 12 Modüllerin Esaslı genişlemeleri VI 13 Modüllerin İnjektif Zarfı VII 14 Et and Tor Fonktör VII COURSE PLAN Weeks Topics Course Outcomes 1 Modules and their Homomorphisims I-II 2 Operations on Submodules I-II 3 Finitely generated modules I-II 4 Commutative diagrams and Eact sequences I-II 5 Tensor product of Modules III-IV 6 Flat Modules III-IV 7 Tensor Product of Flat Modules III-IV 8 Projective Modules and their properties V 9 Flatness of Projective and Free modules V 10 Injective Modules V 11 Divisible Modules V-VI 12 Essential Etension of Modules VI 13 The Injective Hull of a Module VII 14 Et and Tor Functor VII
Dersin Matematik Mühendisliği Doktora Programıyla İlişkisi İTÜ Matematik Mühendisliği ABD Doktora Programı Çıktıları Katkı Seviyesi 1 2 3 i. Yüksek lisans yeterliliklerine dayalı olarak, alanındaki güncel ve ileri düzeydeki bilgileri özgün düşünce ve/veya araştırma ile uzmanlık düzeyinde geliştirebilme, derinleştirebilme ve alanına yenilik getirecek özgün tanımlara ulaşabilme (bilgi). ii. Alanının ilişkili olduğu disiplinlerarası etkileşimi kavrayabilme; yeni ve karmaşık fikirleri analiz, sentez ve değerlendirmede uzmanlık gerektiren bilgileri kullanarak özgün sonuçlara ulaşabilme (bilgi). iii. Alanındaki yeni bilgileri sistematik bir yaklaşımla değerlendirebilme ve kullanabilme (beceri). iv. Alanına yenilik getiren, yeni bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulama geliştirebilme ya da bilinen bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulamayı farklı bir alana uygulayabilme, özgün bir konuyu araştırabilme, kavrayabilme tasarlayabilme, uyarlayabilme ve uygulayabilme (beceri). v. Yeni ve karmaşık düşüncelerin eleştirel analizini, sentezini ve değerlendirmesini yapabilme (beceri) vi. Alanı ile ilgili çalışmalarda araştırma yöntemlerini kullanabilmede üst düzey beceriler kazanmış olma (beceri). vii. Alanına yenilik getiren, yeni bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulama geliştiren ya da bilinen bir düşünce, yöntem, tasarım ve/veya uygulamayı farklı bir alana uygulayan özgün bir çalışmayı bağımsız olarak gerçekleştirerek alanındaki ilerlemeye katkıda bulunabilme (Bağımsız Çalışabilme ve Sorumluluk Alabilme Yetkinliği). viii. Alanı ile ilgili en az birer adet bilimsel makaleyi ulusal ve uluslararası hakemli dergilerde yayınlayarak veya özgün bir yapıt üreterek ya da yorumlayarak alanındaki bilginin sınırlarını genişletebilme (Bağımsız Çalışabilme ve Sorumluluk Alabilme Yetkinliği). i. Özgün ve disiplinlerarası sorunların çözümlenmesini gerektiren ortamlarda liderlik yapabilme (Bağımsız Çalış. ve Sorum. Alabilme Yet.).. Yaratıcı ve eleştirel düşünme, sorun çözme ve karar verme gibi üst düzey zihinsel süreçlerkullanarak alanı ile ilgili yeni düşünce ve yöntemler geliştirebilme (Öğrenme Yetkinliği). i. Sosyal ilişkileri ve bu ilişkileri yönlendiren normları eleştirel bir bakış açısıyla inceleyebilme, geliştirebilme ve gerektiğinde değiştirmeye yönelik eylemleri yönetebilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). ii. Uluslararası platformlarda, uzman kişiler ile alanındaki konuların tartışılmasında özgün görüşlerini savunabilme ve alanındaki yetkinliğini gösteren etkili bir iletişim kurabilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). iii. Bir yabancı dili en az Avrupa Dil Portföyü C1 Genel Düzeyi nde kullanarak ileri düzeyde yazılı, sözlü ve görsel iletişim kurabilme ve tartışabilme (İletişim ve Sosyal Yetkinlik). iv. Alanındaki bilimsel, teknolojik sosyal veya kültürel ilerlemeleri tanıtarak, yaşadığı toplumun bilgi toplumu olma ve bunu sürdürebilme sürecine katkıda bulunabilme (Alana Özgü Yetkinlik). v. Alanı ile ilgili karşılaşılan sorunların çözümünde stratejik karar verme süreçlerini kullanarak işlevsel etkileşim kurabilme (Alana Özgü Yetkinlik). vi. Alanı ile ilgili konularda karşılaşılan toplumsal, bilimsel, kültürel ve etik sorunların çözümüne katkıda bulunabilme ve bu değerlerin gelişimini destekleyebilme (Alana Özgü Yetkinlik).
Relationship between the Course and Mathematics Engineering Ph. D. Engineering Curriculum 1: Little, 2. Partial, 3. Full Program Outcomes Level of Contribution 1 2 3 i. Developing and intensifying the current and high-level knowledge in the area with the use of original thinking and/or research processes and in a specialistic level, based upon the competency in M.S. level (knowledge). ii. Grasping the inter-disciplinary interaction related to one s area; reaching original results by using the specialistic knowledge in analyzing, synthesizing and evaluating new and comple ideas (knowledge). iii. The ability to evaluate and use new information in the area with a systematical approach (skill). iv. Developing a new idea, method, design and/or application which brings about innovation in the area; or, applying a conventional idea, method, design and/or application to a different environment; researching, grasping, designing and applying an original subject (skill). v. The ability to critically analyze, synthesize and evaluate the new and comple ideas (skill). vi. Acquiring the most developed skills about using the research methods in studies in the related area (skill). vii. Contributing to the progress in the area by independently carrying out a study which uses a new idea, method, design and/or application which brings about innovation in the area; or, applying a conventional idea, method, design and/or application to a different environment (Competence to work independently and take responsibility). viii. Epanding the limits of knowledge in the area by publishing at least one scientific article in an international peer reviewed journal and/or creating or interpreting an original work (Competence to work independently and take responsibility). i. Fulfilling the leader role in the environments where solutions are sought for the original and inter-disciplinary problems (Competence to work independently and take responsibility).. Developing area-related new ideas and methods by making use of high level intellectual processes such as creative and critical thinking, problem solving and decision making (Learning Competence). i. Ability to see and develop social relationships and the norms directing these relationships with a critical look and the ability to direct the actions to change these when necessary. (Communication and Social Competency). ii. The ability to establish effective communication with eperts in the international environments to discuss the area-related subjects and to defend original opinions, showing one s competency in the area (Communication and Social Competency). iii. Proficiency in a foreign language at least European Language Portfolio C1 Level- and establishing written, oral and visual communication and developing argumentation skills with that language (Communication and Social Competency). iv. Contributing to the society s state and progress towards being an information society by announcing and promoting the technological, scientific and social developments in one s area (Area Specific Competency). v. Ability to establish effective communication in the solving of the problems faced in the area, by using the strategic decision making processes (Area Specific Competency). vi. Contributing to the solution of area-related social, scientific, cultural and ethical problems and promoting the development of these values (Area Specific Competency). Düzenleyen (Prepared by) Vahap Erdoğdu Tarih (Date) 17.11.2011 İmza (Signature)