IKT 415 OYUN KURAMI ARA SINAV Ayça Özdo gan 24 SUBAT 2016 AD ve NUMARA: Sınav 100 + 10 puan üzerindendir. Süreniz 120 dakikadir. Sınavda ders notlari, kitap veya hesap makinesi kullanılamaz. Başkasının sınav ka gıdına, ders notlarına, kitaba veya cep telefonuna bakmak; sınavı alan di ger kişilerle konuşmak kopya çekmek olarak kabul edilecektir. 1
1 Normal-form games (with complete-information) - 85 points 1.1 Definitions/True-False - 10 points Consider a normal form game G =< N, (S i ) i N, (u i ) i N > where N = {1,..., n} is the set of players, S i is the strategy set for player i N and u i : S R is the payoff function of player i N (attaching a payoff to each strategy profile s = (s 1,..., s n ) S = i N S i). Let s i j i S j denote a strategy profile of all players but player i. State whether the following statements are true or false. Prove if it is true and give a counter example if it is false. Define the bold faced terms rigorously to get partial credit. 1. A strictly dominated action cannot be a Nash equilibrium. (5 points) 2. A weakly dominated action cannot be a Nash equilibrium. (5 points) 2
1.2 Drawbacks of NE solution concept - 10 puan 1. Strong Nash equilibrium: Consider the following 3-player game where player 1 chooses {U, D}; player 2 chooses {L, R} and player 3 chooses {T able1, T able2}. Answer the following questions. L R U 3, 1, 3 3, 5, 2 D 3, 5, 2 3, 1, 9 L R U 2, 2, 7 4, 4, 1 D 4, 4, 1 1, 1, 1 (a) What are the pure strategy Nash equilibria. (2 puan) (b) First show that Nash equilibria may not be immune to coalitional deviations. Then, find pure strategy strong Nash equilibria of this game. Hint: Strong Nash equilibrium strengthens Nash equilibrium by adding the requirement that a strategy profile has to be immune to coalitional deviations. (3 puan) 2. Robustness (stability) of Nash equilibrium: Nash equilibrium is not immune to small perturbations in the game. Suppose that players may make mistakes and play each action at least with ɛ > 0 probability. Find the Nash equilibria of the following game. Which one is stable? Justify your answer. (5 puan) L R U 2, 2 0, 1 D 1, 0 0, 0 3
1.3 Finding equilibrium - 20 points Tellio gulları ve Sefero gulları aileleri Yeşil Vadi üzerinde anlaşmazlı ga düşüyorlar. Vadinin de geri v > 0 olsun. Kavga etmenin maliyeti (kol, bacak kırılması vb. gibi hasarlar görüldügü için) ise c > 0 ile gösterilsin. E ger iki taraf agresif/sahince (hawkish) davranırsa kavga ediyorlar (kavganın maliyetini ödemek zorunda kalıyorlar) ve vadiyi paylasıyorlar (v/2). Iki taraf da barışçıl (dovish) yollarla cözüm bulurlarsa vadiyi paylaşıyorlar ve kavga maliyeti ödemek zorunda kalmıyorlar. E ger bir taraf agresif, di ger taraf barışçıl davranırsa, agresif olan bütün vadiyi alıyor (kavga maliyeti ödemiyor). 1. Bu oyununun ödül matriksini (payoff matrix) yazın. Oyuncunun aksiyonları: H (hawkish) ve D (dovish). (3 puan) 2. Bu oyunda hawkish aksiyonunun kesin baskın strateji olmaması için gerek şart nedir? (3 puan) 3. Diyelim ki v = 4 ve c = 3. Bu durumda Nash dengeleri (pure ve mixed) nelerdir? Best response ları çizerek bulun.(14 puan) 4
1.4 Applications of strategic games - 45 puan 1.4.1 Market games - 27 points Consider Cournot duopoly market game with linear demand P (Q) = 130 Q, where Q is the total quantity, i.e. Q = q 1 +q 2. Each firm has constant marginal cost c i, C i (q i ) = 10q i i.e. marginal costs are 10. Each firm simultaneously chooses a quantity level to produce. 1. Write down the strategic form of this game. (3 puan) 2. Derive and draw the best responses of each firm. Clearly label your graph. Find the Cournot- Nash equilibrium (q c, q c ) of this game. (12 points) 3. Which choices survive one round of IESDS? What is the rationality requirement for one round of elimination? Justify your answer. (4 points) 4. Which choices survive IESDS? Is this game dominance solvable? What is the rationality requirement (rationality, k-level knowledge, common knowledge)? Justify your answer. (4 points) 5. Is the Cournot-Nash equilibrium Pareto efficient? Justify your answer. (3 points) 5
1.4.2 First-price and second-price sealed bid auctions - 18 points Two bidders are involved in a first-price and second-price auction where the valuations for the object is v 1 > v 2 > 0. Bidders simultaneously submit a bid, which can be any nonnegative number, and the highest bidder wins. In case of a tie, the lowest index individual gets the object. In the first-price auction, if bidder i bids b i and wins the object, then her payoff is v i b i, while is she loses her payoff is 0. In the second-price auction, the winner pays the second highest price, i.e. b i (since there are only two players), and her payoff is v i b i. 1. Show that truthtelling (b 1, b 2 ) = (v 1, v 2 ) is a Nash equilibrium in the second-price auction; whereas it is NOT in the first-price. (6 points) 2. Show that first-price auction is efficient (in every NE the player who values the object most gets the object); whereas there may be equilibria when the second-price auction is NOT efficient. (6 points) 3. Although there may be equilibria when the second-price auction is NOT efficient, the only weakly undominated Nash equilibrium is efficient since it is the truthtelling equilibrium: (b 1, b 2 ) = (v 1, v 2 ). You may show only for player 2. (6 points) 6
2 NFG with incomplete information Bayesian games - 15 puan Diyelim ki bir hoca (Ayça) ögrencisine (Ayşe ye) ödev veriyor. Ayşe ödevi başkasından geçirebilir (plagiarize - P ) ya da dürüst davranıp kendisi yapabilir (honest - H). Ayça, Ayşe nin başkasından çekip çekmedigini kontrol edebilir (check - C) ya da etmeyebilir (not check - N). Ayça, sert (tough) veya yumusak (soft) mizaca sahip olabilir. Ayşe, Ayça nın mizacını bilmemektedir; ancak µ (0, 1) ihtimalle sert olduguna inanmaktadir. Payoff tabloları şu şekilde verilmiştir (sagdaki tough için): C N P 0,1 2, 0 H 1,2 1, 3 C N P 0,1 2, 0 H 1,4 1,3 1. Pure strategy separating equilibria yi bulun. 2. Pure strategy pooling equilibria yi bulun. 7
3 Bonus: Bayesian games - 10 points Tellio gulları ve Sefero gulları arasındaki guvercin-sahin (dove-hawk) oyununu alalım. Iki aile için v = 4 verilsin ve bu common knowledge (ortak bilgi) olsun. Tellio gulları için c = 3 ve common knowledge olsun. Sefero gulları nın ise iki tipi olabilsin: zayıf (weak) ise c w = 3, kuvvetli (strong) ise c s = 0 olsun. Tellio gulları, Sefero gulları nın tipini kesin olarak bilmemekle birlikte µ (0, 1) ihtimalle kuvvetli oldu guna inansın. 1. Find the pooling pure strategy Bayesian Nash equilibria.(5 puan) 2. Find the separating pure strategy Bayesian Nash equilibria.(5 puan) 8