Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi Sigma 6/ Araştırma Makalesi / Research Article A SOLUTION PROPOSAL FOR INTERVAL SOLID TRANSPORTATION PROBLEM Fügen TORUNBALCI AYDIN * Coşkun GÜLER Mustafa SİVRİ Yıldız Teknik Üniversitesi Kimya-Metalurji Fakültesi Matematik Mühendisliği Bölümü Esenler-İSTANBUL Geliş/Received: 8..6 Kabul/Accepted:.8.6 ABSTRACT The solid transportation problem is often presented in the literature. Recently the solutions of solid transportation of the goods from warehouses into markets and from warehouse into markets by any way is solved by traditional ways by complex formulas. In the present work the problem is solved with simple formulation considering transportation costs by intervals and it makes some contributions to the literature. Keywords: Interval linear programming transportation problem. ARALIKLI ÜÇ BOYUTLU SOLID TAŞIMA PROBLEMİNE BİR ÇÖÜM ÖNERİSİ ÖET Solid taşıma problemi bilinen yöntemlerle literatürde çözümüne sık rastlanan bir problemdir. Ancak son günlerde depoların pazarların ve herhangi bir yolla depolardan pazarlara giden malların miktarlarının bir aralık dahilinde olması gözönüne alınarak problem çözülmüş ve formüllerin oldukça karışık olması nedeniyle çalışmamızda bilinen yöntemden daha basit duruma getirirken bir yandan da fiyatların aralıklı olması göz önüne alınarak mevcut çalışmaya katkıda bulunmaktayız. Anahtar Sözcükler: Aralıklı lineer programlama taşıma problemi.. GİRİŞ Solid taşıma problemi klasik taşıma probleminin genel bir halidir. Klasik taşıma probleminin bu özel tipinin gözönüne alınmasının gerekliliği ürünlerin taşınmasında taşıma yollarının ve buna bağlı olarak taşıma birim fiyatlarının farklı olmasından kaynaklanmaktadır. Solid taşıma problemi ile ilgili literatürde [ 4] oldukça fazla yayın bulunmakla birlikte son günlerde bu çalışmaların aralıklı solid taşıma problemine yöneldiği görülmüştür. Yani depolardaki malların pazarların taleplerinin ve depolardan pazarlara herhangi bir yolla giden malların bir aralık dahilinde olması [] gözönüne alınmıştır. Gözönüne alınan aralıklı taşıma probleminin formüllerinin oldukça karışık olması nedeniyle biz bu çalışmamızda aralıklı taşıma problemini bilinen yöntemlerle daha basit hale getirdik. Buna ilave olarak çalışmamızda depodaki malların ve depolardan pazarlara herhangi yolla giden malların aralık olmasının yanı sıra taşıma birim fiyatların da aralık olmasını [4-] gözönüne alarak probleme katkıda bulunduk. * Sorumlu Yazar/Corresponding Autor: e-mail/e-ileti: faydin@yildiz.edu.tr tel: 449 8 4 9
F. Torunbalcı Aydın C. Güler M. Sivri Sigma 6/. SOLİD TAŞIMA PROBLEMİ VE ARALIKLI SOLİD TAŞIMA PROBLEMİ Solid taşıma problemi aşağıdaki şekildedir. Min m n i j k l C i i i ai i... m j k i b j j... n i k i ek k... l i j i Burada için i a i : i deposunda bulunan mal miktarı b j : j pazarından talep edilen miktar e k : i deposundan j pazarına k yoluyla gelen mal miktarıdır. istenen i : i deposundan j pazarına k yoluyla gelen mal miktarıdır. Aralıklı Solid Taşıma Problemi ise Min m n i j k l C i i [ ai ai ] i... m i j k [ b b ] i j j j... n i k [ ek ek ] k... l i i j i için şeklindedir. Burada a i : i i deposundaki malın alt sınırı
A Solution Proposal for Interval Solid Transportation a i : b j : b j : e k : i deposundaki malın üst sınırı j pazarındaki malın alt sınırı j pazarındaki malın üst sınırı i deposundan j pazarına k yoluyla gelen malın alt sınırı e k : i deposundan j pazarına k yoluyla gelen malın üst sınırıdır. problemi probleminden konvekslik tanımı kullanılarak Min m n i j k l C i i i ai i ai ai i... m j k i b j j b j b j j... n i k i ek k ek ek k...l i j i i için için i i j k elde edilir. Çalışmamızda yukarıdakilere ilave olarak Min l [ C ] i C i i j k i [ ai ai ] i... m i 4 j k i [ b j b j ] j... n i k [ ek ek ] k... l i i j i için. i
F. Torunbalcı Aydın C. Güler M. Sivri Sigma 6/ [6] kullanılarak ve konvekslik tanımından 4 problemi l C i Ci Min i j k i j k l Min Ci. i i j k i j k ai i ai ai i... m j k i b j j b j b j j... n i k i ek k ek ek k... l i j i için i i için i j k -amaçlı lineer programlama problemi haline getirildi. in üyeliğinin nin üyeliğinin ise olduğunu varsayalım. - amaçlı lineer programlama probleminin çözümü için üyelik fonksiyonları kullanılırsa bu durumda problemi [] i j k ai i ai ai i... m 6 j k i b j j b j b j j... n i k i ek k ek ek k... l i j i için i i için i j k şeklindedir.
A Solution Proposal for Interval Solid Transportation. ARALIKLI SOLİD TAŞIMA PROBLEMİ İÇİN ÖRNEK PROBLEM C i a i b j ve e k büyüklüklerinin aşağıdaki şekilde aralıklar halinde verildiğinde problem çözülmüştür. Min [ C ] i C i i j k [ C C ] [ 4 6 ] [ C C ] [ 68 94 ] [ C C ] [ 9 ] [ C C ] [ 7 8 ] [ C C ] [ 96 ] [ C C ] [ 8 9 ] [ C C ] [ ] [ C C ] [ 8 ] [ C C ] [ ] [ C C ] [ ] [ C C ] [ ] [ C C ] [ 4 ] [ C C ] [ 47 67 ] [ C C ] [ 7 7 ] i j k [ [ 8 9 ] [ C C [ 4 ] [ C C [ 4 ] [ C C [ 7 8 ] [ C C [ 6 ] [ C C [ 8 9 ] [ C C [ 8 8 ] [ C C [ 4 48 ] [ C C [ 9 ] [ C C [ 4 8 ] [ C C [ 48 ] [ C C [ ] [ C C [ 4 ] C C ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] [ a a ] [ 9 4 ] j k [ a a ] [ 8 ] j k
F. Torunbalcı Aydın C. Güler M. Sivri Sigma 6/ [ a a ] [ 6 ] j k i k i k i k [ b b ] [ 8 ] ik 7 [ b b ] [ 4 ] ik 9 [ b b ] [ ] ik i j i j [ e e ] [ 6 4 ] i j [ e e ] [ 7 4 ] i j [ e e ] [ 4 ] i j i j i için i Bu koşullar altında problemin çözümü aşağıdadır: Min m n k i j k C i C i i 8 76 8 8 88 48 8 6 88 84 47 98 8 7 7 6 48 4
6 4 4 9 9 7 7 4 4. Min.64.749. 98 4 8 ve.86.68.74 6 7 9 m i n j k k i i 8 7 67 4 48 8 9 6 8 9 9 8 9 94 6 C Min A Solution Proposal for Interval Solid Transportation
6 6 4 4 9 9 7 7 4 4 86. Min.877.4.79 9 7 4 ve 6.9.69.67 6 7 7 9 Bunlara ait üyelik fonksiyonları ise modelinde yazılarak 86 48 6 7 7 8 98 47 84 88 6 8 48 88 8 8 76 8 468 69 8 7 67 4 48 8 9 6 8 9 9 8 9 94 6 499 F. Torunbalcı Aydın C. Güler M. Sivri Sigma 6/
7 [ 86 ] 48 6 7 7 8 98 47 84 88 6 8 48 88 8 8 76 8 468 84999 8 9 47 86 698 48 88 68 648 8 84 4 4 696 446 8 4 764 67 4 48 8 76 996 476 4 6 4 4 9 9 7 7 4 4 elde edilir. Sonuç olarak 4. 47.769.974.6.98 8 8 4 7 bulunur. A Solution Proposal for Interval Solid Transportation
F. Torunbalcı Aydın C. Güler M. Sivri Sigma 6/ 4. SONUÇ Literaturde üç boyutlu taşıma problemine epeyce çözüm önerisinde bulunulmuştur. Ancak çözüm yöntemlerinde kullanılan formüllerin karışık olması ve problemin boyutunun artması problemi daha da karışık hale getirmesi nedeniyle probleme basit çözüm yolu önerisinde bulunduk. Son günlerde çok-amaçlı taşıma problemi çözümüne genetik algoritma [7] ile yaklaşılmış hatta solid taşıma problemi a i b j ve e k katsayıları aralık olması durumunda gözönüne alınmıştır []. Biz bunlara ilave olarak C i fiyatlarının da aralık halinde olmasını göz önüne aldık bunu yaparken de aralık aritmetiği [6] ve çok-amaçlı taşıma problemi çözümlerinden yararlandık. Çok-amaçlı lineer programlama çözümü yaparken de üyelik fonksiyonlarını gözönüne aldık [8] ve -üyelik fonksiyonu elde ettik. Üyelik fonksiyonlarını kesiştirerek problemi çözdük []. Böylece a i b j e k ve C i büyüklüklerinin aralık olması durumunda bir çözüm önerisinde bulunmuş olduk. KAYNAKLAR [] Sivri M. Ahlatçıoğlu M. Üç boyutlu taşıma problemine bir çözüm yöntemi önerisi İ.T.Ü Sanayi Endüstri Mühendisliği 998. [] Jimenez F. Verdegay J. L. Uncertain solid transportation problems Fuzzy Sets and Sysrems 4-7 998. [] Ahlatçıoğlu M. Sivri M. Fiyatların ve Talep Merkezleri Taleplerinin Belirli Aralıklar Arasında Olması Durumunda Taşıma Problemine Bir Taşıma Önerisi Marmara Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi Sayı: 999. [4] Jimenez F. Verdegay J. L. Solid fuzzy solid transportation problems by an evolutionary algorithm based parametric approach European Journal of Operational Research 7 48-999. [] Tezcan E. Fiyatların Aralıklı Verilmesi Durumunda Taşıma problemine Çözüm Önerisi Yüksek Lisans Tezi Yıldız Teknik Üniversitesi FBE.. [6] Ishibuchi H. Tanaka H. Multiobjective programming in optimization of the interval objective function Europen Journal of Operational Research 48 9- North- Holland 99. [7] Yinzhen L. Kenichi I. Mitsuo G. Improved Genetic Algorithm for Solving Multiobjective Solid Transportation Problem with Fuzzy Numbers Computers ind. Engng Vol. No: -4 pp. 89-9 997. [8] Chakraborty M. Sandipan G. Fuzzy Mathematical Programming for Multiobjective Linear Fractional Programming Problem Fuzzy Sets and Systems -4. 8