YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III"

Gonca Özek
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN

2 İçerik

3 Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları için Kuhn Tucker gerek şartları geliştirilecektir. Bu gelişimde Lagrange metodu temel alınacaktır. Bu şartlar aynı zamanda daha sonra tanımlanacak olan bazı sınırlamalar altındaki yeter şartlardır.

4 Amaç fonksiyonu maks. z = f x Kısıt g x 0 Bu eşitsizlik kısıtları uygun negatif olmayan gevşek değişkenler ilave edilerek eşitlik haline dönüştürülebilirler. Böylece negatif olmama şartlarının sağlanması için s j 2 0 g i x 0 Kısıtına ilave edilen Gevşek (dolgu) değişken olsun. Bunlar s = T s 1, s 2,, s m ve s 2 = (s 2 1, s 2 2,, s 2 m ) T

5 Lagrange fonksiyonu buna göre; L x, s, λ = f x λ [g x + s 2 ] şeklinde yazılır. Kısıtlar ise g x 0 dır. Optimallik için gerek şartlar; maksimizasyonda λ 0 minimizasyonda λ 0

6 Bu şartlar aşağıdaki gibi belirlenmiştir. Maksimizasyon durumunu ele alalım: λ, g ye bağlı olan f in değişim oranı ile ölçülür. Yani λ = f g dir. g x 0 kısıtının sağ tarafı sıfıra yaklaşır.

7 Çözüm uzayı kısıttan küçük olur ve böylece; maksimizasyon durumunda f azalamaz ve bu durum λ 0 olmasını gerektirir. Benzer şekilde kaynak artışları durumunda minimizasyon için f artamaz ve bu durumda λ 0 olmasını gerektirir. Eğer kısıtlar = şeklinde iseler, yani g x takdirde λ nın işareti sınırlı değildir. = 0 ise bu

8 Şimdi L nin X, S, ve λ ya göre kısmi türevleri alınırsa; L x = f λ g = 0 L s i = 2λ i s i = 0, i = 1, 2,. m L λ = g x + s2 = 0

9 Burada ikinci eşitlikten şu sonuçlar ortaya çıkar: 1. Eğer λ i > 0 ise s i 2 = 0 olur. (2. Şarttan ). Bu ifade kaynakların kıt olmasına karşılık gelir ve sonuç olarak eşitlik kısıtlarının tamamına son verir. 2. Eğer s i 2 0 ise λ i = 0 olur. (2. Şarttan). Bu sonuç ise i. Kaynağın kıt olmadığını gösterir ve sonuç olarak bu ifadeler f(λ i = f g i = 0 ) ın değerini etkilemez.

10 İkinci ve üçüncü eşitliklerden λ i g i x = 0, i = 1, 2,. m ortaya çıkar. Bu yeni şartlar yukarıdaki ifadelerin aslında tekrarı durumundadır. eğer λ i > 0 ise g i x = 0 veya s i 2 = 0 dır. Benzer şekilde eğer g i x < 0 ise s i 2 > 0 ve λ i = 0 dır.

11 Maksimizasyon probleminin bir stasyoner noktası olan X ve λ ya ait Kuhn Tucker gerek şartları şimdi aşağıdaki gibi özetlenebilir: λ 0 (min. f(x) için λ 0 ) f x λ g x = 0 λ i g i x = 0, i = 1, 2,. m g(x) 0

12 nın Yeterliliği Kuhn Tucker gerek şartları aynı zamanda yeterlidir, eğer amaç fonksiyonu ve çözüm uzayı konvekslik ve konkavlık ile ilgili bazı şartları sağlıyor ise. Bu şartlar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Optimizasyonun Gereken Koşullar Yönü Amaç fonksiyonu Çözüm uzayı Maksimizasyon Konkav Konveks küme Minimizasyon Konveks Konveks küme

13 nın Yeterliliği Bu şartların ispatı için aşağıdaki doğrusal olmayan genelleştirilmiş problem tanımlanabilir: Maks veya Z = f x Min g i (x) 0, i = 1, 2,, r g i x 0, i = r + 1,, p g i x = 0, i = p + 1,, m L x, s, λ = f x λ i g i x + s 2 r i=1 p λ i g i x s 2 i=r+1 m λ i g i (x) i=p+1

14 nın Yeterliliği Kuhn Tucker şartlarının yeterliliğini oluşturan şartlar ise aşağıdaki tabloda görüldüğü gibi özetlenmiştir.

15 Örnek: Aşağıdaki minimizasyon problemini ele alalım. Amaç fonksiyonu Min. f x = x x x 3 Kısıtlar g 1 x g 2 x g 3 x g 4 x g 5 x = 2x 1 + x = x 1 + x = 1 x 1 0 = 2 x 2 0 = x 3 0 Bu bir minimizasyon problemi olduğundan λ 0 dır.

16 Örnek: Buna göre Kuhn Tucker şartları şöyle yazılabilir.

17 Örnek: Bu şartları açtığımızda şu ifadeleri yazabiliriz:

18 Örnek: Yukardaki eşitliklerin ortak çözümünden x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 0; λ 1 = λ 2 = λ 5 = 0, λ 3 = 2, λ 4 = 4 sonuçları elde edilir. Problemde f(x) fonksiyonu konveks ve g(x) 0 çözüm uzayı da konveks olduğundan L x, s, λ fonksiyonunun konveks olması gerekir ve elde edilen stasyoner nokta Global Sınırlı bir Minimum verir.

19 λ 1 = λ 2 = λ 5 = 0, λ 3 = 2, λ 4 = 4 Çözümler incelendiğinde 1., 2. ve 5. Lamda değerlerinin = 0 çıkması ilgili kısıtların f(x) amaç fonksiyonu üzerinde etkilerinin olmadığını göstermektedir. λ 3 = 2, λ 4 = 4 olması ise, 3. ve 4. kısıtların amaç fonksiyonu f(x) üzerinde negatif etkiye sahip olduklarını gösterirken, bunlardan 4. kısıtın 3. kısıta göre iki kat daha fazla etkili olduğu görülmektedir.

20 Bununla birlikte bu örnek gösterir ki sonuçtaki şartları açıkça ortaya koyacak çözümlere ulaşmak genellikle zordur. Sonuç olarak Kuhn Tucker işlemleri sayısal hesaplamalar için uygun değildir. Kuhn Tucker şartlarının önemi doğrusal olmayan programlama algoritmalarının gelişiminde açıkça görülecektir.

21 Bu bölümde kısıtlı doğrusal olmayan problemlerin maksimum ve minimum noktalarının belirlenmesinde klasik teori geliştirilmiştir. Bu teorinin genel hesaplama amaçlarının tamamı için uygun olduğu söylenemez. Bazı durumlar dışında Kuhn Tucker teorisi etkin hesaplama algoritmalarının gelişimi için bir temel oluşturur. Gelecek bölümlerde inceleyecek olduğumuz Karesel(Quadratik) Programlama Kuhn - Tucker gerek şartlarının kullanımı için iyi bir örnek olacaktır.

22 Yöneylem Araştırması - II Kaynaklar 1. Wayne Winston, Operations Research Applications and Algorithms 4th. Edition, M. Turhan Çoban, Optimizasyon Ders Notları. 3. MATLAB: Yapay Zeka ve Mühendislik Uygulamaları, Prof. Dr. C.Kubat, Beşiz Yayınları-1.Basım, Aralık 2012.

23 Yöneylem Araştırması - II Çalışmalarınızda Başarılar diliyorum

Benzer belgeler

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z