DOKUZUNCU SINIF ÖĞRENCİLERİNİN EŞİTLİKLERİN ÇÖZÜMÜNDEKİ BAŞARILARI VE OLASI KAVRAM YANILGILARI

Transkript

1 DOKUZUNCU SINIF ÖĞRENCİLERİNİN EŞİTLİKLERİN ÇÖZÜMÜNDEKİ BAŞARILARI VE OLASI KAVRAM YANILGILARI Ayhan Kürşat ERBAŞ 1, Yaşar ERSOY 2 1 University of Georgia Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü, ATHENS, GA/USA 2 ODTÜ Eğitim Fakültesi, OFMAE Bölümü, ANKARA Yapılan birçok çalışma göstermiştir ki, değişik okul ve sınıf düzeylerinde öğrencilerin temel Cebir kavramları (eşitlik çözümü, cebirsel ifadelerin kullanımı, problem çözme, ve değişken gibi birtakım temel cebir kavramlarını anlama) ile ilgili zorluk ve yanılgıları vardır. Bu çalışmada incelenen araştırma problemi, farklı okullardan bir grup Türk öğrencinin eşitlik çözmedeki başarı ve buna bağlı olarak karşılaştıkları güçlükler, yapılan hatalar, ve kavram yanılgılarıdır. Öğrencilerin başarıları arasında okul tipi, sınıf düzeyi ve bir önceki yıl matematik notuna göre anlamlı farklar bulunurken, cinsiyete göre karşılaştırıldığında anlamlı bir fark bulunmamıştır. Ayrıca, öğrencilerin birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitlikleri/ denklemleri çözmek için kullandıkları yanlış kurallamalar belirlenmiştir. Buna göre, düşük başarı seviyesindeki öğrencilerde ve okullarda yapılan hatalar daha çok yanlış kurallamalar odaklı iken, orta ve yüksek başarı seviyesinde hataların daha çok aritmetiksel veya işlemsel olduğu ortaya çıkmaktadır. Ayrıca ortalama başarı düzeyinin göreceli olarak daha yüksek olduğu okullarda öğrenci hataları daha iyi teşhis edilebilmiştir. 1. GİRİŞ Cebirsel kavramlar ve düşünceler, yalnızca okullarda öğrenilmesi gereken matematiksel bir alan bilgisi olmaktan öte, günümüz anlayışında matematik okur-yazarlığının vazgeçilmez ve ayrılmaz bir parçası olarak değerlendirilmektedir. Ancak, yapılan birçok çalışma göstermiştir ki, değişik okul ve sınıf düzeylerinde öğrencilerin temel Cebir kavramları (eşitsizlik kurumu, eşitlik çözümü, cebirsel ifadelerin kullanımı, problem çözme, değişken, vb) anlama ile ilgili güçlükleri, ortak yanlışları ve yanılgıları vardır (Booth, 1984; Herscovics, 1989, Kieran, 1992; MacGregor & Stacey, 1993). Bu çalışmada incelenen araştırma problemi, farklı okullardan bir grup lise öğrencisinin eşitlik çözmedeki başarı ve buna bağlı olarak karşılaştıkları güçlükler, yapılan yanlışlar (hatalar) ve olası kavram yanılgılarıdır. Bu makalede sunulan veriler dokuzuncu sınıf öğrencilerinin temel cebir konularındaki başarı, güçlük ve yanılgılarını araştıran daha kapsamlı bir projenin bir parçası olup, daha geniş bilgi Erbaş & Ersoy (2), Ersoy & Erbaş (), ve Erbaş (1999) den temin edinilebilinir. Cebir eğitim ve öğretimi üzerine yapılan bir çok çalışmanın odak noktası, akıl erdirme (idrak) anlamında, öğrencilerin eşitlik çözümünde izledikleri yollardır. Kieran (199) bu yolları üç kısımda özetlemektedir: (a) sezgisel; (b) deneme-yanılma yoluyla yerine koyma; ve (c) muntazam/kurallara uygun. Genel olarak bunlardan ilk ikisini sınıfta öğrenilmemekte, ilkokuldaki eksik-toplanan problemlerindeki (Örneğin, 2 + = 5) deneyimlerden ortaya çıkmaktadır. Eşitlik Çözümünün Psikolojisi: Bir Bilgi İşleme Çalışması isimli çalışmada Carry, Lewis, ve Bernard (19) gözlemledikleri öğrenci hatalarını üç kısım halınde özetlemektedirler: (i) işleçsel, (ii) uygulanabilirlilik, ve (iii) icra. Bu üç tip farklı önleyici ve giderici ölçümlere sahiptir. Eşitlik çözümünde öğrencilerin birtakım ortak yanılgı ve güçlüklerinin olduğu bilinen bir gerçektir. Bu bağlamda, akıl erdirmeyle ilgili bilim adamları öğrencilerin matematikteki işleçsel hatalarını açıklamak için misgeneralization-yanlış genelleştirme (Sleeman, 1984), competing rules model-rekabet eden kurallar modeli (Payne & Squibb, 199) gibi bazı bilişimsel düzenekler üzerinde çalışmaktadırlar. Daha açıkçası, Sleeman ın (1984) çalışmasının ana fikri, yapılan birçok yanlışın, öğrencilerin hatalı prosedürleri zihinsel temsil ve uygulamalarından kaynaklanan ve mal-rule veya yanlış kurallama olarak isimlendirilen öğeler olduğudur. Sleeman (1984) öğrencilerin hatalarını dört grup altında incelemektedir: beceri hataları, ayrıştırma hataları, yazı hataları, ve tesadüfi/rastgele hatalar. Sleeman (1984) ve Payne ve Squibb in (199) öğrencilerin hatalarını öncelikli olarak yanlış kurallama olarak düşunmelerinin aksine, Birenbaum, Kelly ve Tatsuoka (1993) eşitlik çözümünde karşılaşılan hataların öğrencilerin eşitlik çözümü için gerekli birtakım yetenek ve becerileri kazanamadıkları ile açıklamaktadır. Biz, araştırmacı olarak, bu çalışmada öğrencilerin ortak hata ve yanılgılarını açıklamya çalışırken, yanlış kurallamaların öğrencilerin öğrenim derecelerini ve olası kavram yanılgılarını ne derece yansıtabileceği fikrine de daha önce yapılan benzer çalışmalardan her yönüyle farklı bir örneklemle açıklık getirmeye çalışacağız. Planladığımız diğer inceleme ve araştırmada ortak yanlışların ve kayram yanılgılarının nasıl giderileceğini ele alacağız.

2 2. YÖNTEM Araştırmanın örneklemi/katılımcıları öğretim yılı sonbahar döneminde Ankara- Yenimahalle İlçesi okullarından okul çeşitlerini temsil edecek biçimde rastgele seçilen dört okuldaki (iki genel lise: GeLi-1 ve GeLi-2; bir meslek lisesiş MeLi; ve bir özel okul: ÖzLi) hazırlık veya lise 1 sınıflarından belirlenen ikişer sınıftan toplam 217 öğrenciden ( kız, 137 erkek) oluşmaktadır. Analiz edilecek veriler, araştırmacılar tarafından daha önce Payne & Squibb (199) tarafından kullanılan testten yararlanarak Türkçeye Doğrusal Eşitlikler Testi olarak uyarlanan bir başarı/ yanılgı testi ile derlenmistir. Soruların tümü bir bilimeyenli ifadeler olup, bilinmeyenler her zaman x ile gösterilmiştir. Test, herbiri 28 sorudan oluşan iki ayri bölumden ve toplam 56 sorudan teşkil edilmiştir. Biri hariç tüm sorular cevabı tam tam sayı çıkacak sekildedir. Bu durumun, öğrencilerin eşitlik çözmedeki okul ders kitabı deneyimlerine uygunluk açısından önemli olduğu öngörülmüştür. Testin güvenilirlik değeri Guttman Splitt-Half indeksi ile.95, Cronbach a Alpha indeksi ile de.96 olarak hesaplanmıştır. 3. BULGULAR 3.1. Betimsel İstatistik Çalışmada elde edilen betimsel istatistik sonuçları boksör torbası grafikleri halinde Şekil 1 den Şekil 4 e kadar aşağıda sunulmuştur ÖzLi MeLi GeLi-1 GeLi-2 Dokuzuncu Sinif Hazirlik Sinifi OKULLAR Şekil 1. Sonuçların okul bazında dağılımı Sinif Düzeyi Şekil 2. Sonuçların sınıf düzeyinde dağılımı Kiz Erkek 1, 2, 3, 4, 5, CINSIYET Bir Önceki Yil Matematik Notu Şekil 3. Sonuçların cinsiyete göre dağılımı Şekil 4. Sonuçların bir önceki yıl matematik notuna göre dağılımı 3.2. Vardamsal İstatistik Öğrencilerin genel başarıları, SPSS programı yardımıyla, okul, cinsiyet, sınıf, ve bir önceki yıl matematik notuna göre ANOVA testi ile karşılaştırıldı. Buna göre öğrencilerin başarıları arasında okullar bazında (ANOVA, F = 22.23, p =.1 <.5) ve bir önceki yıl matematik notuna göre (ANOVA, F = 7.8, p =.1 <.5) anlamlı farklar bulunurken, cinsiyete göre ve sınıf düzeyi

3 (ANOVA, F = 3, p =.86) bazında karşılaştırıldığında anlamlı bir fark bulunmamıştır. Daha açıkcası, Schefee Test ile α =.5 düzeyinde bir karşılaştırma yapıldığında, ÖzLi, GeLi-1, ve MeLi arasında anlamlı bir fark bulunmazken, bu okulların hepsi GeLi-2 den anlamlı olarak daha başarılı olmuşlardır. Yine Schefee Test ile α =.5 düzeyinde bir karşılaştırma yapıldığında, bir önceki yıl matematik notu 1 ve 2 olan öğrenciler arasında anlamlı bir fark bulunmazken, her iki gruptaki öğrenciler notları 3, 4, ve 5 olan diğer öğrencilerden anlamlı oranda daza az başarı sergilemişlerdir. Öte yandan bir önceki yıl matematik notu 3 ve 4 olan öğrenciler arasında anlamlı bir fark bulunmazken, 3 grubundaki öğrenciler notları 1, 2 olan öğrencilerden anlamlı olarak daha fazla, 5 olanlardan ise daha az başarılı olurken, 4 grubundaki öğrenciler notları 1 ve 2 olan diğer öğrencilerden anlamlı oranda daza yüksek başarı sergilemişlerdir. Ayrıca bir önceki yıl matematik notu 4 ve 5 olan öğrenciler arasında anlamlı bir fark gözlenmemiştir Hata ve Kavram Yanılgıları Kağıtları değerlendirilmeye alınan 8 öğrenciden toplam olarak 2293 hata protokolü tesbit edilmiştir. Bu işlem zaman ve kaynak kulanımı açısından oldukça külfetli olmakla beraber amacımız gözlenebilir hataları daha önce Sleeman (1984) and Payne & Squibb (199) tarafından saptanan malrule veya yanlış kurallama olarak açıklayabilmekti. Belirlenen ortak yanlışlar alan yazınında (literatürde) önerilen yanlış kurallama (mal-rule) yanında aritmetiksel yanılgılar (sürçme), yanlış eşitlik kavramı, yerine koyma, tanımlanamayan gibi ek başlıklar altında sınıflandırılmıştır. Çalışmanın odak noktası cebir olduğu için dört işlem yaparken meydana gelen aritmetik hataları ayrı olarak değerlendirilmiştir. Diğer taraftan direk olarak yanlış kurallama içinde sınıflanamayacak olsa da alan yazınında sıklıkla karşılaşılan öğrencilerin eşitlik kavramı ile eksikliklerini de somutlaştırabilmek için yanlış eşitlik kavramı ve öğrencilerin denklem çözümünde sıklıkla kullandıkları yerine koyma tekniğini betimlemesi açısından yerine koyma kategorileri ayrı olarak duzenlenmiştir. Ayrıca öngörülen kategoriler içerisinde değerlendirilemeyecek veya tesbiti mümkün olamayan hatalar da tanımlanamayan kategorisi altında düşünülmüştür. Tablo 1 de yanlış kurallamaların ve diğer hataların örneklemin tamamı içerisindeki dağılımları gösterilmektedir. İlk bakışta göze çarpan şeylerin başında yanlış kurallamalardan üçünün sadece birer kez işlendiği gelmektedir. İlginçtir ki, bunlardan YK31 Payne ve Squıbb (199) tarafından 34 öğrenci içerisinde 64 kere gözlemlenmiş olmasına rağmen bu örneklemde sadece bir kez gözlemlenmiştir. Öte yandan, bu çalışmanın örnekleminde sıklıkla karşılaşılan fakat Payne ve Squibb (199) ve Sleeman (1984) tarafından daha az sıklıkta rapor edilen yanlış kurallamalarda vardır. Üstelik bir kısım yanlış kurallamalar, her iki çalışmada rapor edilenlerin dışında yeni yanlış kurallamalar olarak tespit edilmiştir. Bu bir anlamda yanlış kurallamaların örneklem veya bağlama göre değişiklik gösterebileceğini göstermektedir. Tablo 1 deki sıklık dağılımlarına bakarak düşük sıklıktaki yanlış kurallamaların sürçme, yanılgı veya diğer tanımlanmış hata çeşitlerinden hangisine ait olduğunu kestirmek oldukça güçtür. Bu durumda saptanan cebir hatalarının basit birer sürçme olup olmadığına bakmak daha anlamlı olacaktır. Fakat, bir kez tekrarlanıpda sürçme olduğu konusunda şüphe kaldırmayacak hatalarda yanlış kurallamalar olduğu gibi, sadece bir kez gözlemlenmesine karşılık ne tür bir sürçme mekanizması tarafında ortaya çıktığı açık bir şekilde belli olmayan kurallamaların olması da mümkündür. Örneğin, YK29: -(N * P) -N-P. Bu hata kontrol temelli sürçmelerin tüm özelliklerini göstermektedir: Çok az sıklıkta olması, 8 öğrenci içerisinden sadece birinin tek bir yerde yapması. Öte yandan, YK32: M(x + N) -M + Nx deki hatanın ne tür bir sürçme mekanizması sonucu doğduğu aynı netlikte belli olmamaktadır. Öte yandan, bu tür hataların yazımdaki hatalar veya savruk tahminlerden kaynaklanabileceği tezini de gözardı etmek mümkün değildir. Tüm bu karmaşık nedenler örgüsü içinde yalnız sık tekrarlanan yanlış kurallamalar üzerinde odaklanılması daha önemli gözükmektedir. Tablo 1 deki toplam örneklem değerlerinden yalnız yüzde on ve üzerini temel alıp bakarsak, YK1, YK2, YK6, YK11, YK13, YK18, YK21, YK24, ve YK26 yanlış kurallamaları olası kavram yanılgıları olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu listeye, her bir okul bazında inceleme yapılarak kavram yanılgısı olma olasılığı yüksek diğer yanlış kurallamalar da eklenebilir. Fakat, genel anlamda özellikle YK13, YK18, YK24, ve YK26 nın olağan kavram yanılgıları olduğu söylenebilir. Bunların tamamı Payne ve Squıbb (199) tarafından da olağan yanlış kurallamalar olarak bildirilirken, yalnız YK13 ve YK18, Sleeman (1984) tarafından olağan yanlış kurallamalar arasında sayılmıştır. Öte yandan, sık

4 tekrarlanan yanlış kurallamalar kavramsal açıdan ele alınırsa, öğrencilerin şu olası kavram yanılgılarına sahip olabilecekleri öngörülebilir: + ve - işaretleri her zaman kapalı bir sonuç gerektirir; Matematikte işlemler her zaman soldan sağa doru yapılır/başlanır; Cebirsel olarak parantezin çok bir önemi yoktur; Eşitliğin bir tarafında yapılan bir işlemin tersi öbür tarafta yapılır, aynısı değil; Çıkarma işleminin değişme özelliği vardır; Ters işlemler gereksizdir. Örneğin, YK4: Mx = N x = M/N yanlış kurallaması, Ters işlemler gereksizdir kavram yanılgısının doğal bir sonucu olabilecekken; YK18,..., YK23, Doğru yapılır/başlanır, Cebirsel olarak parantezin çok bir önemi yoktur yanılgısının sonuçları olabilir. Benzer şekilde YK24 ise, Matematikte işlemler her zaman soldan sağa doru yapılır/başlanır yanılgısını akla getirmektedir. Tablo 1. Yanlış Kurallamalar ve Diğer Hataların Örneklem İçerisindeki Dağılımları ( 8) Kodlama Yanlış Kurallama (Mal-Rules) Toplam Öğrenci Sayısı % YK-29 -(N*P) =-N-P YK-31 Pat1 ± M pat2 = pat3 pat1 pat2 = pat3 ± M YK-32 M(x + N) -M + Nx YK-14 Mx±N x + M ± N YK-3 M + pat M (pat) YK-25 Mx +N pat (M+N)x YK-8 x/m = N x = M/N YK-12 Mx ± N [M±N] YK-28 Mx = N/P Mx P = N YK-19 M(Nx ± P) (M+N)x ± M*P YK-4 Mx = N x = M/N YK-7 x/m = N x = N/M YK-9 x/m = N x = M+N YK-16 Mx Mx = YK-23 M(N * P) M + (N * P) YK-27 Mx ± Px ± Q -Mx - Px = ± N ± Q YK- M (Nx ± P) Nx ± M * P YK-22 M ± (N * P) M * N ± M * P) YK-15 Mx ± Nx x = M ± N YK-5 Mx = N x = M + N YK-3 Mx = N x =M*N YK-17 M + N N - M 16 8 YK-1 x/m = N x = M - N 22 9 YK-2 Mx = N x = M YK-11 Mx ± N M * N * x YK-1 Mx = N x = N YK-21 M(N * P) M * N *M * P YK-6 Mx = N x = M N veya N M YK-18 M (Nx ± P) M * Nx ± P YK-13 Mx ± N [M ± N ] x YK-26 Mx ± Px ± Q Mx + Px = N + Q YK-24 M ± N (pat) [M ± N] (pat) Yerine Koyma Yanlış Eşitlik Kavramı Tanımlanamayan Aritmetiksel Yanılgılar/Sürçmeler Not: M, N, ve P tam sayılar olmak üzere; pat1, bağlam içerisinde kullanılan herhangi bir cebirsel simge örüntüsü (pattern of algebraic symbols) yerine; ± ise artı veya eksi anlamında ve kural içerisinde aynı değeri alacak şekilde kullanılmıştır.

5 4. SONUÇ VE BAZI ÖNERİLER Bu araştırmanın ana teması, bir bilinmeyenli eşitliklerin çözümünde genel olarak bir dizi kuralların uygulanması şeklinde olduğundan, öğrencilerin ortak hataları yanlış kurallamalar olarak belirlenmeye çalışılmıştır. Önemli sonuçları kısaca şöyle sıralanabilir: o Yanlış kurallamaların sıklıkları oldukça değişiklik göstermektedir. Bu durum, yanlış kurallamaların tutarlı (istikrarlı) olmadıklarını göstermektedir. o Farklı okullarda farklı yanlış kurallamalar ağırlıklı olarak gözlemlenmiştir. Listelenen yanlışlar ve kavram yanılgılarıyla ilgili olarak alan yazınında bulunanların yanı sıra bulunmayan bazı kurallar da saptanmıştır. o Başarı düzeyi göreceli olarak düşük öğrencilerde ve okullarda yapılan hatalar, daha çok yanlış kurallamalar odaklı iken, başarı düzeyi orta ve yüksek olanlarda hataların daha çok aritmetiksel veya işlemsel olduğu görülmektedir. o Bir bilinmeyenli eşitliklerin çözümünde yerine koyma yöntemi bu örneklem için genel olarak tercih edilen bir yöntem olmamıştır. o Başarı düzeyinin göreceli olarak daha yüksek olduğu okullarda öğrenci hataları daha iyi teşhis edilebilmiştir. Elde edilen araştırma bulguları, lise düzeyinde bile öğrencilerin basit eşitliklerin çözümünde birtakım ciddi güçlüklerinin olduğunu; bunları etkileyen olası bazı nedenler bulunduğunu göstermektedir. Bu nedenle, bazı iyileştirici ve güçlükleri giderici çalışmaların yapılmasını gerektirmektedir. Bu bağlamda, birtakım araç-gerecin tasarlanması ve geliştirilmesi, etkinliklerin öğretim programları ile tümleştirilmesi (müfredat içine entegre edilmesi); ayrıca, matematik öğretmenlerinin bu konularda hizmet içi eğitim görmeleri önerilmekte ve bu doğrultuda alanyazınındaki bilgiler ve tecrübeli eğitimcilerin deneyimlerinın esas alınması öngörülmektedir. KAYNAKÇA Birenbaum, M. and Kelly, A. and Tatsuoka, K. K. (1993). Diagnosing knowledge states in algebra using the rule-space model. Journal for Research in Mathematics Education, 24, Booth, L. R. (1984). Algebra: Children's strategies and errors. Windsor, UK: NFER Nelson. Carry, L.R., Lewis, C., & Bernard, J. (19) Psychology of Equation Solving; an Information Processing Study, Austin: University of Texas at Austin, Department of Curriculum and Instruction. Erbas, A. K. & Ersoy, Y. (2, May). High school students' performances and difficulties in elementary algebra: The case of Turkey. Paper presented at the First International Education Conference on Changing Times, Changing Needs, Gazimagusa, Northern Cyprus (basımda). Ersoy, Y. & Erbas, A. K. (). Cebir öğretiminde öğrencilerin güçlükleri-ii: Yanlışlarla ilgili öğretmen görüşleri [Students' difficulties in Algebra-II: Teacher views about students' errors]. IV.Fen Bilimleri Eğitimi Kongresi (s ). Ankara, Türkiye: Milli Eğitim Bakanlığı Yay. Erbas, A. K. (1999). An investigation into students' performances, difficulties and misconceptions in elementary algebra. Yayınlanmamış yüksek lisans tezi, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Herscovics, N. (1989). Cognitive obstacles encountered in the learning of algebra. In S. Wagner & C. Kieran (Eds.), Research issues in the learning and teaching of algebra (pp. -86). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan. Kieran, C. (199). Cognitive processes involved in learning school algebra. In P. Nesher & J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics and cognition (pp ). New York: Cambridge University Press. MacGregor, M. & Stacey, K. (1993). Cognitive models underlying students' formulation of simple linear equations. Journal for Research in Mathematics Education, 24, Payne S. J.& Squibb H. R.(199). Algebra mal-rules and cognitive account of error. Cognitive Science, 14, Sleeman, D. (1984). An attempt to understand students` understanding of basic algebra. Cognitive Science, 8,